文档内容
专题 02 利用勾股定理求最短路径问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、圆柱中的最短路径模型...................................................................................................................1
题型二、长方体中的最短路径模型...............................................................................................................6
题型三、阶梯中的最短路径模型.................................................................................................................10
题型四、将军饮马与最短路径模型.............................................................................................................15
B综合攻坚・能力跃升
题型一、圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，圆柱高为 ，底面周长为 ，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从
点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是 cm．
2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时间而变形，
中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为 ，已知 ， ，一只蚂蚁从 点爬
到 点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（ 取 ）3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点
是圆柱下底面外壁的一点，点 是上底面外壁与点 相对的一点，在点 正下方的水面紧贴内壁 处有一
食物．
(1)若圆柱高为 ，底面半径为 ，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入
木棒的最大长度．
(2)若圆柱高为 ，底面周长为 ，水深 ，一只蚂蚁在点 处．
①蚂蚁从点 处沿圆柱侧面外壁爬行到点 处，则爬行的最短路程________ ．
②蚂蚁从点 处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________ ．
4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上
下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，
该平台的长度约为 ．若油罐高约 ，油罐底面圆直径约为 ，且顶处的扶手位置处于底面扶手正
对面上．
(1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为 ，求旋梯的扶手长度 的最小值．
(2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的 最小值．（本题（1）（2）中 ）
题型二、长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
5．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，点 在
边 上， ．若一只蚂蚁从 点开始经过 个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行的最短路径长
为 ．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3， ， 为长方体的两
个顶点．
(1)求点 到点 之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点 爬到点 ，求爬行的最短路程．
7．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定 两点的位
置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________ ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径 为 ，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（ 取3）
8．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践
【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望
小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄．
【包装准备】
如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为 ；第二种长
方体纸箱，尺寸规格为 ，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为 ，并且扣手到
所在面相对两条边的距离相等．
【问题解决】
(1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______ ．
(2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳
子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小）
题型三、阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
9．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一只小蚂蚁在墙面 上的点P处，若 米，
米，点P到 的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是 米（墙面与地面 垂
直）10．（25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高 ，宽 ，长 ．一只蚂蚁从点 爬到点
，最短路程是 ．
11．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
， ， ， 和 是这个三级台阶两个相对的端点，若 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的
食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到 点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接 ，经过计算得到
长度即为最短路程，则 ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点 出发
沿着玻璃杯的侧面到与点 相对的点 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程
是多少厘米？（杯壁厚度不计）
12．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个
三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 和 是一个三级台阶上两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬
到 点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为 ，宽为
的长方形，连接 ，经过计算得到 的长度为____________，就是最短路程．
【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为 ，圆柱高为 ，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，
从点 爬到点 ，再从点 爬回点 ，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________．
【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点
处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到
内壁 处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
题型四、将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
13．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，小区 与公路 的距离 ，小区 与公路 的距离
．已知 ，现要在公路旁建造一家利民超市 ，使超市 到 ， 两小区的路程之和
最短．
(1)请在图中画出点 ，并写出画法．
(2)求 的最小值．
14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题【几何模型】（1）如图①， 、 是直线 同侧的两个定点，问题：在直线 上找一点 ，使 值最
小．
方法：如图②，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 点，则 为所求作的点．试说明理由．
【模型应用】（2）如图③，若 、 两点在直线 同侧，分别过点 、 作 ， ， 为
线段 上一动点，连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．请问点 满足什么条件
时， 的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式 的最小值．
15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，
是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和 ，
并使直角边 和 在同一直线上（图 ），向右平移直角 使点 和 重合（图 ），这时
， ， ，问题就变成“点 在线段 的何处时， 最短？”根据两
点间线段最短，得到线段 就是它们的最小值．
（1）代数式 的最小值为______；
（2）变式训练：求代数式 的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数 满足 ，则 ______．
（4） 的最大值是______；
16．（25-26八年级上·全国·假期作业）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个
新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，
， ．请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再
探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
，
，
，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米（直
接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出 的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值
一、单选题
1．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台
阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ）
A． 分米 B． 分米 C．16分米 D．20分米
2．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知 米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块到达 处需要走的最短路程是
多少米？（ ）
A．15 B． C．13 D．10
3．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 的距离为 ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点
爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点 到顶点 沿六棱柱的侧面镶有一
圈金属丝，已知此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条
“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路 比走路 ”少了
米．6．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁底部的点 处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的爬行最短路线
的长为 ．（杯壁厚度不计）
7．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点 处，不计线头，
细线的最短长度为 ．
8．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯
线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么
用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
三、解答题
9．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部
的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部 的点 处，
则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少 ？10．如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短路
径长多少厘米：
(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
11．如图，长方体的长 ，宽 ，高 ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点
出发到点 处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁乙的行走路径为翻
过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即
）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
12．如图，观察图形解答下面的问题：
(1)此图形的名称为_______；
(2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是
一个_______；
(3)如果点 是 的中点，在 处有一只蜗牛，在 处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到 处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4) 的长为10，侧面展开图的圆心角为 ，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
13．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的
金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
14．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
15．【阅读材料】
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点
之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置
如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处有一蜘蛛，与
蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走
的最短路线的长度．（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
