文档内容
专题9 勾股定理中的最值问题突破技巧（解析版）
类型一 求一条线段的最小值
技巧1 利用垂线段最短求最值
典例1 （2022春•路北区期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小
值是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．4.8
思路引领：根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰
三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出
AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD=√AC2-DC2=4，
1 1
又∵S△ABC =
2
BC•AD =
2
BP•AC，
BC⋅AD 6×4
∴BP= = =4.8．
AC 5
故选：D．
总结提升：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
变式训练
1．（2022•安徽）已知点 O 是边长为 6 的等边△ABC 的中心，点 P 在△ABC 外，△ABC，△PAB，
△PBC，△PCA的面积分别记为S ，S ，S ，S ．若S +S +S ＝2S ，则线段OP长的最小值是（ ）
0 1 2 3 1 2 3 0
3√3 5√3 7√3
A． B． C．3√3 D．
2 2 2
思路引领：如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，
连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直
线PM，求出OT的值，可得结论．
解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB +S△ABC ＝S△PBC +S△PAC ，
∴S +S ＝S +S ，
1 0 2 3
∵S +S +S ＝2S ，
1 2 3 0
∴S +S +S ＝2S ，
1 1 0 ❑
0
1
∴S = S ，
1 2 0
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
√3
∴S = ×62＝9√3，
0 4
9√3
∴S = ，
1 2
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
1 9√3
∴ •AB•RT= ，CR＝3√3，OR=√3，
2 2
3√3
∴RT= ，
2
5√3
∴OT＝OR+TR= ，
2
∵OP≥OT，5√3
∴OP的最小值为 ，
2
7√3
当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为 ，
2
5√3 7√3
如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为 ，当点P在②④⑥区域时，最小值为 ，
2 2
5√3 7√3
∵ ＜ ，
2 2
故选：B．
总结提升：本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明
△PAB的面积是定值．
技巧2 转化为其他线段，再根据垂线段最短
典例 2（2022•苍溪县模拟）如图，在△ABC 中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点 M 在 AB 上运动，
MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（ ）24 48 12 6
A． B． C． D．
5 5 5 5
1
思路引领：根据矩形的性质得出CM＝PN，求出CQ= CM，要使CQ的值最小，只要CM的值最小即
2
可，根据垂线段最短得出CM⊥AB时，CM最小，再根据三角形的面积公式求出CM即可．
解：过C作CM⊥AB于M，CM交PN于W，
∵Q为PN的中点，
∴PQ＝NQ，
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
1
∴CQ= PN，
2
∵MP⊥BC，MN⊥AC，
∴∠CPM＝∠CNP＝90°，
∴四边形CPMN是矩形，
∴PN＝CM，PW＝NW，CW＝MW，
∵PQ＝MQ，
∴Q和W重合，
1
∴CQ= CM，
2
要使CQ值最小，只要CM最小就可以，
当CM⊥AB时，CM最小（垂线段最短），
1 1
∵S△ABC =
2
×AC×BC=
2
×AB×CM，
∴6×8＝10×CM，24
∴CM= ，
5
1 24 12
∴CQ的最小值是 × = ，
2 5 5
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，垂线段最短和三角形的面积等知识点，
1
能求出CQ= CM是解此题的关键．
2
变式训练
1．（2022春•思明区校级月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3．
（1）求BC的长．
（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF，求EF的最小值．
思路引领：（1）作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，BM＝CM，由直角三角
1 3 3√3
形的性质得出AM= AB= ，由勾股定理得出BM= ，即可得出答案；
2 2 2
（2）延长DE交BC于G，当BD⊥AC时，证明△BDG是等边三角形，得出BF＝GF，证明△EFG是等
1 1
边三角形，得出∠EFG＝60°＝∠DBG，证出EF∥BD，得出EF⊥AC，此时EF最小= BG= BD，由
2 2
1 3 3√3
直角三角形的性质求出AD= AB= ，BD=√3AD= ，即可得出答案．
2 2 2
解：（1）作AM⊥BC于M，如图1所示：
∵等腰三角形△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AM⊥BC，1 3
∴BM＝CM，AM= AB= ，
2 2
√ 3 3√3
∴BM= 32-( ) 2= ，
2 2
∴BC＝2BM＝3√3；
（2）连接EF、BD，延长DE交BC于G，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，∠C＝30°，DF⊥BC，
∴∠BAD＝60°，∠ADF＝60°，
当BD⊥AC时，BD最小，如图所示：
则∠DBG＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴∠BGD＝∠C+∠ADE＝60°＝∠DBG，
∴△BDG是等边三角形，
∴BG＝BD，
∵DF⊥BC，
∴BF＝GF，
∵DE⊥AB，
1
∴EF= BG＝GF，
2
∴△EFG是等边三角形，
∴∠EFG＝60°＝∠DBG，
∴EF∥BD，
1 1
∴EF⊥AC，此时EF最小= BG= BD，
2 2
∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
1 3 3√3
∴AD= AB= ，BD=√3AD= ，
2 2 2
1 3√3
∴EF的最小值= BD= ．
2 4总结提升：本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的
中线性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
技巧3 利用二次函数的性质或配方法求最小值（数形结合）．
典例3 （2021秋•昌江区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点P为此三角形
内部（包含三角形的边）的一点且P到三角形三边的距离和为7，则CP的最小值为 ．
思路引领：作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，设PE＝x，PF＝y，则PG＝7﹣x﹣y，根据
面积法知，3x+4y+5（7﹣x﹣y）＝24，则y＝11﹣2x，再证明四边形PECF为矩形，得出PC2＝x2+（11
﹣2x）2＝5x2﹣44x+121，利用二次函数的性质求出最小值．
解：作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，
在△ABC中，由勾股定理知，AB=√62+82=10，
设PE＝x，PF＝y，则PG＝7﹣x﹣y，
根据面积法知，3x+4y+5（7﹣x﹣y）＝24，
∴y＝11﹣2x，
∵∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴CF＝PE＝x，
在Rt△CFP中，由勾股定理得，PC2＝x2+（11﹣2x）2＝5x2﹣44x+121，
4×5×121-442 121
∴PC2的最小值为 = ，
4×5 511
∴PC的最小值为 √5，
5
11
故答案为： √5．
5
总结提升：本题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质，二次函数的性质等知识，利用勾股定理表示
出PC2是解题的关键，有一定的难度．
变式训练
1．（2022春•仓山区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，a﹣1），点B（b+3，b），连接AB，则AB的
最小值是（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．3
思路引领：根据点A（a，a﹣1），点B（b+3，b），利用勾股定理可以表示出AB的长，然后化简，即
可得到AB的最小值．
解：∵点A（a，a﹣1），点B（b+3，b），
∴AB=√(a-b-3) 2+(a-1-b) 2
=√[(a-b)-3] 2+[(a-b)-1] 2
=√(a-b) 2-6(a-b)+9+(a-b) 2-2(a-b)+1
=√2(a-b) 2-8(a-b)+10
=√2[(a-b)-2] 2+2，
∵2[（a﹣b）﹣2]2≥0，
∴√2[(a-b)-2] 2+2≥√2，
即AB的最小值是√2，
故选：B．
总结提升：本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
技巧4 一点与直角顶点相连时，再取斜边中点，三点共线时求的最小值（一箭穿心法）
典例4（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动
点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（ ）A．√2 B．2 C．2√2-1 D．4√2-4
思路引领：根据∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，则∠ADB＝90°，取AB的中点E，连接DE，
CE，利用勾股定理求出OC的长，从而得出答案．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
取AB的中点E，连接DE，CE，
1
∴DE= AB＝4，
2
∴EC=√2EB＝4√2，
∵CD≥CE﹣DE，
∴CD的最小值为4√2-4，
故选：D．
总结提升：本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系等知识，确定∠ADB＝90°是解题的关键．
变式训练
1．（2021秋•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣
AD2＝CD2.若AB＝2√13，BC＝4，则BD长的最小值为 ．思路引领：由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而
解决问题．
解：取AC的中点H，连接HD，HB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB2-BC2=√52-16=6，
∵AC2﹣AD2＝CD2．
∴∠ADC＝90°，
∵点H为AC的中点，
∴DH＝CH＝3，
∴BH=√CH2+BC2=√32+42=5，
∵BD≥BH﹣DH，
∴BD的最小值为5﹣3＝2，
故答案为：2．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，
作辅助线构造三角形是解题的关键．
技巧5用定长减去最大值求最小值
典例5（2022秋•乳山市期中）如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为xcm，则x的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．12 D．13
思路引领：分析可知，当铅笔如图放置时x最小，在Rt△ABC中，运用勾股定理即可得到答案．
解：当铅笔如图放置时x最小．
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝122+92＝152，
∴AC＝15，
∴x＝20﹣15＝5．
∴x的最小值是5．
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出斜边的长度．
变式训练
1．（2022春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，
长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长
方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）A．（10﹣5√2）cm B．3cm C．（10﹣4√2）cm D．5cm
思路引领：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，根据勾股定理求解即可．
解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI=√AC2+CG2，
而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，
∴GI=√25+52=√50=5√2，
∴GJ长度的最小值为（10﹣5√2）cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出GI的最大值是解题的关键．
类型二 求两条线段和的最小值
技巧1 将军饮马模型用轴对称法求最值
典例6（2022春•龙华区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是底边BC的中点，以
1
A、C为圆心，大于 AC的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线EF上有一个动点P，则线
2
段PC+PD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
思路引领：连接PA、AD，如图，利用基本作图可判断EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得
到PA＝PC，由于PC+PD＝PA+PD≥AD（当且仅当P、A、D共线时取等号），所以PC+PD的最小值
为AD，接着利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用勾股定理计算出AD即可．解：连接PA、AD，如图，
由作法得EF垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴PC+PD＝PA+PD，
∵PA+PD≥AD（当且仅当P、A、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为AD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝6，
∴AD=√102-62=8，
∴PC+PD的最小值为8．
故选：B．
总结提升：本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角
等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了
角平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题．
变式训练
1．（2022春•开福区校级月考）如图，长方形 ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将
△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
（1）求CE的长；
（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不
存在，请说明理由．思路引领：（1）先判断出AF＝AD＝8，进而利用勾股定理求出BF＝6，最后在Rt△ECF，利用勾股定
理，即可得出结论；
（2）先作出点E关于BC的对称点E'，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论．
解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，
∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=√AF2-AB2=6，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴16+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CE＝3；
（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P，
此时，PA+PE最小，最小值为AE'，
∵CD＝8，
∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11，
在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'=√AD2+DE'2=√221．总结提升：此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，求出CE是解本题的关键．
技巧2 构造全等，利用三角形两边之和大于第三边，在三点共线时，求出最小值
典例7（2022春•上虞区期末）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC
上的动点，始终保持AP＝BQ，连结AQ，CP，则AQ+CP的最小值为（ ）
A．3√5 B．√34 C．3√3 D．6
思路引领：作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接MQ，AM，首先利用SAS证明△ACP≌△BMQ，得CP＝
MQ，即A、Q、M三点共线时，AQ+MQ的最小值为AM的长，利用勾股定理即可解决问题．
解：作BM⊥AB，使得BM＝AC，连接MQ，AM，
∴∠ABC+∠CBM＝90°，
∵∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠CBM，
在△ACP和△BMQ中，
{
AC=BM
∠CAP=∠CBM，
AP=BQ
∴△ACP≌△BMQ（SAS），
∴CP＝MQ，
∴AQ+CP＝AQ+MQ，
即A、Q、M三点共线时，AQ+MQ的最小值为AM的长，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB=√32+42=5，在Rt△ABM中，∠ABM＝90°，BM＝AC＝3，
∴AM=√AB2+MB2=√52+32=√34，
∴AQ+CP的最小值为√34，
故选：B．
总结提升：本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，构造全
等三角形将CP转化为MQ是解题的关键．
变式训练
1．（2022秋•武汉月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB=4√2，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在
BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ．
思路引领：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线
于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS证明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即为BG的长，再
结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解．
解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，则
∠RBC＝∠BRA＝90°，
∴∠GAF＝∠ACE，
在△AFG和△CEA中，
{
AG=AC
∠GAF=∠ACE，
AF=CE
∴△AFG≌△CEA（SAS），
∴GF＝AE，
∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，
∴∠RAB＝∠EBA＝45°，
∵AB＝4√2，
∴BR＝AR＝4，
∵AC＝6，
∴AG＝AC＝6，
∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，
∴BG=√BR2+RG2=√42+102=2√29，
即AE+BF的最小值为2√29．
故答案为：2√29．
总结提升：本题主要考查全等三角形的性质与判定，线段的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识的
综合运用，判断AE+BF的最小值即为BG的长是解题的关键．
技巧3 两个动点的时候，轴对称法与垂线段最短结合求最值
典例8（2021秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和
AB上的任意一点，设PA+PD＝m．
（1）连接CD交BH于点E，则m CD（填表示相等或大小关系的符号）；
（2）若BA＝BC＝5，AC＝6，BH＝4，则m的最小值是 ．
思路引领：（1）根据等腰三角形的性质得到BH⊥AC，AH＝CH，求得PA＝PC，于是得到结论；
（2）根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，根据
6×4 24
三角形的面积公式得到CD= = ，于是得到结论．
5 5
解：（1）∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，
∴PA+PD＝PD+PC＝m≥CD，
故答案为：≥；（2）根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，
1
在Rt△ABH中，AB＝5，AH= AC＝3，BH＝4，
2
1 1
∵ •AB•CD = •AC•BH，
2 2
6×4 24
∴CD= = ，
5 5
24
∴PA+PD的最小值为 ，
5
24
即m的最小值是 ，
5
24
故答案为： ．
5
总结提升：本题考查了勾股定理，轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，
解题的关键是证明BH垂直平分线段AC，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
针对训练
1．（2022秋•临平区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．
若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
12 24
A． B．4 C． D．5
5 5
思路引领：过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC
的平分线．得出 PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即 CM的长度，运用勾股定理求出 AB，再运用
1 1
S△ABC =
2
AB•CM =
2
AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．
1 1
∵S△ABC =
2
AB•CM =
2
AC•BC，
AC⋅BC 6×8 24
∴CM= = = ，
AB 10 5
24
即PC+PQ的最小值为 ．
5
故选：C．
总结提升：本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
类型三 立体图形上求最短路径
技巧1 化曲为直法求最小值
典例9（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为
10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A．13cm B．3√61cm C．√61cm D．2√61cm
思路引领：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即
为所求．
解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=√A'D2+BD2=√52+122=13（cm）．
故选：A．
总结提升：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算
是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
针对训练
1．（2019春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁
要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需
要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+2√13） cm B．√97 cm C．√85 cm D．√109 cm
思路引领：把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计
算．
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是√42+92=√97；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是√72+62=√85；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是√32+102=√109；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
故选：C．
总结提升：本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，
然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．
类型四 求一条线段的最大值
技巧1 构造有两边已知的三角形，用一边小于等于两边之和求最大值。
典例10（2022春•武汉期末）如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是
AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
思路引领：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，由勾股定理可求AC的长，利用直角三
角形斜边上的中线可求解DM的长，根据三角形的中位线可求解EM的长，再利用三角形的三边关系可
求解．解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CD＝6，
∴AC=√AD2+CD2=√82+62=10，
∵M是AC的中点，
1
∴DM= AC＝5，
2
∵M是AC的中点，E是AB的中点，
∴EM是△ABC的中位线，
∵BC＝2，
1
∴EM= BC＝1，
2
∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），
∴DE≤6，
∴DE的最大值为6．
故选：A．
总结提升：本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的
综合运用，构造直角三角形是解题的关键．
技巧2 构造等腰直角三角形，此时斜边为最大值
典例11（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，
在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个
网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（
）A．4√2 B．6 C．2√10 D．3√5
思路引领：在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．
解：如图所示：
∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，
∴△BMN≌△CNP（SAS），
∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，
∵∠BMN+∠BNM＝90°，
∴∠BNM+∠CNP＝90°，
∴∠MNP＝90°，
∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，
在Rt△BMN和Rt△NCP中，
根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，
则PM=√M N2+PN2=2√10．
故选：C．
总结提升：此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
技巧3 一点与直角顶点相连，取斜边中点，三点共线时求最大值（一箭穿心法）典例12（2022春•丹江口市期末）如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON
上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为 ．
思路引领：取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性
质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．
解：取AB的中点E，连接OE，CE，
∴AE＝4，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，
CE=√AC2+AE2=√42+62=2√13，
∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，
1
∴OE= AB＝4，
2
∵OC≤OE+CE，
∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2√13，
故答案为：4+2√13．
总结提升：本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系
求单线段的最值是解题的关键．
1
技巧4 用基本不等式 xy≤ （x2+y2）求最大值
2
典例13（2022•南京一模）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的
最大值为 ．1
思路引领：过点D作DE⊥AC，交AC延长线于E，由含30°角的直角三角形的性质得DE= CD，设DC
2
1 √3 √3 1
＝BC＝x，AC＝y，则DE= x，CE= x，再由勾股定理得AD2＝AE2+DE2＝（y+ x）2+（ x）2＝
2 2 2 2
x2+y2+√3xy，当x＝y时，AD最大，此时，△ABC为等边三角形，则x＝y＝AB＝2，AD2＝x2+y2＝8+4
√3，即可解决问题．
解：过点D作DE⊥AC，交AC延长线于E，如图所示：
∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，
∴∠DCE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
1
∴DE= CD，
2
设DC＝BC＝x，AC＝y，
1 √ 1 √3
则DE= x，CE=√CD2-DE2= x2-( x) 2= x，
2 2 2
√3
∴AE＝AC+CE＝y+ x，
2
√3 1
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝（y+ x）2+（ x）2＝x2+y2+√3xy，
2 2
∵（x﹣y）2≥0，
1
∴xy≤ （x2+y2），
2
当x＝y时，取等号，
√3
∴AD2＝x2+y2+√3xy≤x2+y2+ （x2+y2），
2
∴当x＝y时，AD最大，
∵∠ACB＝60°，
∴AD最大时，△ABC为等边三角形，
此时，x＝y＝AB＝2，√3 √3
AD2＝x2+y2+ （x2+y2）＝22+22+ （22+22）＝8+4√3，
2 2
∵AD＞0，
∴AD=√6+√2，
故答案为：√6+√2．
总结提升：本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及最值问题
等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•南宫市期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝3，若P是
BC上的动点，则线段DP的最小值是（ ）
A．3 B．2.4 C．4 D．5
思路引领：由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论．
解：当DP⊥BC时，DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，
当DP⊥BC时，
DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值是3，
故选：A．
总结提升：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
2．（2022秋•敦煌市期中）已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP
长的最小值是（ ）
60 30
A． B．5 C． D．12
13 13
思路引领：首先判断△ABC的形状，再利用三角形面积求法得出答案．
解：∵AB＝5，BC＝12，AC＝13，
∴AB2+BC2＝169＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
当BP⊥AC时，BP最小，
∴线段BP长的最小值是：13•BP＝5×12，
60
解得：BP= ．
13
故选：A．
总结提升：本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定
理进行分析．
3．（2022春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，
PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
24
A．5 B． C．4 D．3
5
思路引领：根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，然后再根据PE⊥AB，PF⊥AC，即可得到
四边形AEPF是矩形，根据矩形的性质可以得到EF＝AP，要求EF的最小值，只要求得AP的最小值即
可，然后根据垂线段最短，即可得到AP的最小值，从而可以得到EF的最小值．
解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝62+82＝100＝102＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
连接AP，
∴EF＝AP，
∵当AP⊥BC时，AP取得最小值，
AB⋅AC BC⋅AP
∴此时 = ，
2 2
24
解得AP= ，
5
24
∴EF的最小值是 ，
5
故选：B．
总结提升：本题考查勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是求出 EF
和AP的关系，利用数形结合的思想解答．
4．（2022•长沙开学）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标
1
为（3，√3），点 C 的坐标为（ ，0），点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为
2
（ ）
√13 √31 3+√19
A． B． C． D．2√7
2 2 2
思路引领：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．
解：法一：
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP＝PA，
∴PA+PC＝PD+PC＝CD，
∵B（3，√3），
∴AB=√3，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2√3，
1 1
由三角形面积公式得： ×OA×AB= ×OB×AM，
2 2
3
∴AM= ，
2
3
∴AD＝2× =3，
2
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA＝30°，
1 3 3
∴AN= AD= ，由勾股定理得：DN= √3，
2 2 2
1
∵C（ ，0），
2
1 3
∴CN＝3- - =1，
2 2
√ 3 √31
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC= 12+( √3) 2= ，
2 2
√31
即PA+PC的最小值是 ，
2
法二：
如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．
∵AB=√3，OA＝3
∴∠AOB＝30°，∴∠DOC＝2∠AOB＝60°
∵OC＝OD
∴△OCD是等边三角形
√3 1
∴DM＝CD•sin60°= ，OM＝CM＝CD•cos60°=
4 4
1 11
∴AM＝OA﹣OM＝3- =
4 4
√31
∴AD=√DM2+AM2=
2
√31
即PA+PC的最小值为
2
故选：B．
总结提升：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30度角的直角三
角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
5．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，在等腰△ABC和等腰△ABE中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，
D为AE的中点，则线段CD的最小值为（ ）A．2 B．√7-1 C．2√3-1 D．√6-1
思路引领：取AB的中点G，连接DG，CG，过C作CH⊥AB于点H，根据三角形中位线的性质和勾股
定理解答即可．
解：取AB的中点G，连接DG，CG，过C作CH⊥AB于点H，
∵D是AE的中点，G是AB的中点，
∴DG是△ABE的中位线，
1
∴DG= BE，
2
∵AB＝BC＝BE＝2，
∴DG＝1，BG＝1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝180°﹣120°＝60°，
∵CH⊥BH，
∴∠CHB＝90°，∠BCH＝90°﹣60°＝30°，
1
∴BH= BC＝1，
2
∴CH=√BC2-BH2=√4-1=√3，
∴HG＝BG+BH＝1+1＝2，
在Rt△CHG中，CG=√CH2+HG2=√3+4=√7，
∵CG﹣DG≤CD≤DG+CG，
∴√7-1≤CD≤√7+1，
当且仅当D，G，C三点共线时，CD最短为√7-1，
故选：B．
总结提升：此题考查勾股定理，关键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答．6．（2022春•昭阳区校级月考）如图，BD⊥CD，垂足为D，∠ABD＝30°，∠A＝90°，且AD＝4，DC＝
6，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．7.1 B．6.5 C．4.8 D．3.2
思路引领：过D点作DH⊥BC于H，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD＝8，再利
用勾股定理计算出BC＝10，接着利用面积法计算出DH，然后根据垂线段最短求解．
解：过D点作DH⊥BC于H，如图，
∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝2×4＝8，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴BC=√CD2+BD2=√62+82=10，
1 1
∵ DH•BC= BD•CD，
2 2
6×8
∴DH= =4.8，
10
∴DP的最小值为4.8．
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长
的平方．
7．（2022春•海门市期末）A（a，0），B（1，3）是平面直角坐标系中的两点，线段AB的最小值为
．
思路引领：根据勾股定理和非负数的性质，可以计算出AB的最小值．解：∵A（a，0），B（1，3），
∴AB=√(a-1) 2+(0-3) 2=√(a-1) 2+9，
∴（a﹣1）2≥0，
∴当a＝1时，AB取得最小值，此时AB＝3，
故答案为：3．
总结提升：本题考查勾股定理、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出线段AB的最小值．
8．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，
设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值 ，h的最大值 ．
思路引领：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到
h的取值范围．
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大 ＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内部分=√122+52=13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12．
故答案为：11cm；12cm．
总结提升：此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解
答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．
9．（2022春•东平县期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝
3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．思路引领：如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DF+DC＝
AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；
解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．
∵EG垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴DF+DC＝AD+DF，
∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，
1
∵ •BC•AH＝120，
2
∴AH＝12，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝10，
∵BF＝3FC，
∴CF＝FH＝5，
∴AF=√AH2+H F2=√122+52=13，
∴DF+DC的最小值为13．
∴△CDF周长的最小值为13+5＝18；
故答案为18．
总结提升：本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的
关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
10．（2022秋•泰山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是AC边上的一个动点，
当点P在AC边上移动时，BP为最小值时，PC的长是 ．思路引领：作AD⊥BC于D，则∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当BP⊥AC时，
BP最小；由△ABC的面积的计算方法求出BP的最小值，再由勾股定理求出PC即可．
解：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
1
∴BD= BC＝6，
2
由勾股定理得：AD=√AB2-BD2=√102-62=8，
当BP⊥AC时，BP最小，
此时，∠BPC＝90°，
1 1
∵△ABC的面积= AC•BP= BC•AD，
2 2
1 1
即 ×10×BP= ×12×8，
2 2
48
解得：BP= ，
5
√ 48 36
∴PC=√BC2-BP2= 122-( ) 2= ；
5 5
36
故答案为： ．
5
总结提升：本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握
勾股定理，由三角形面积的计算方法求出BP的最小值是解决问题的关键．11．（2022春•如皋市校级月考）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m
﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 ．
思路引领：由m﹣n2+4＝0可得3n2﹣9＝3m+3，根据点到坐标原点的距离可求解．
解：∵m﹣n2+4＝0，
∴n2﹣4＝m，
∴3n2﹣9＝3m+3，
∵P（m，3n2﹣9），
√ 9 9
∴P点到原点的距离为√m2+(3n2-9) 2=√m2+(3m+3) 2=√10m2+18m+9= 10(m+ ) 2+ ，
10 10
√ 9 3√10
∴点P到原点O的距离的最小值为 = ，
10 10
3√10
故答案为 ．
10
总结提升：本题主要考查勾股定理，两点间的距离，求解3n2﹣9＝3m+3是解题的关键．
12．（2021秋•胶州市期末）如图，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作
等边△AMC和等边△BMD，若AB＝12，则线段CD的最小值为 ．
思路引领：过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G，根据勾股定理可以求得
CD=√EF2+CG2，根据CG的取值范围可以求得CD的最小值，即可解题．
解：如图过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．则四边形DGEF是矩形，
1
∴DG＝EF= AB＝6，CD≥DG，
2∴CD=√EF2+CG2，故CG＝0时，CD有最小值，
当P为AB中点时，有CD＝DG＝6，
∴CD长度的最小值是6．
故答案为：6．
总结提升：本题考查的是等边三角形的性质及勾股定理在直角三角形中的灵活运用，本题中根据勾股定
理计算CD的值是解题的关键．
13．（2022秋•铁岭期中）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，
连PC，则线段PC的最小值是 ．
思路引领：当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=√BC2+AC2=√62+82=10，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
1 1
此时： •AB•PC= •AC•BC，
2 2
24
∴PC= ，
5
24
故答案为 ．
5
总结提升：本题考查勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考
题型．
14．（2022春•中山市期末）平面直角坐标系中有两点A（m，﹣1），B（3，4），当m取任意实数时，
线段AB长度的最小值为 ．
思路引领：根据垂线段最短即可解决问题．
解：∵A（m，﹣1），
∴点A在直线y＝﹣1上，
要使AB最小，根据“垂线段最短”，可知：
过B作直线y＝﹣1的垂线，垂足为即为A，
∴AB最小为5．
故答案为：5．
总结提升：本题考查了点到直线的距离，理解垂线段最短是解题的关键．
15．（2022春•海安市期末）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，2n2﹣4），且实数m，n满足m﹣
n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 ．
思路引领：根据题意，可以先表示出PO，然后根据m﹣n2+4＝0和非负数的性质，可以得到PO的最小
值．
解：∵点P（m，2n2﹣4），点O（0，0），
∴PO=√(m-0) 2+(2n2-4-0) 2=√m2+(2n2-4) 2，
∵m﹣n2+4＝0，
∴n2＝m+4，
∴PO=√m2+[2(m+4)-4] 2
=√m2+(2m+4) 2
=√m2+4m2+16m+16
√ 8 16
= 5(m+ ) 2+ ，
5 5
8
∵（m+ ）2≥0，
5
√ 8 16 √16 4√5
∴ 5(m+ ) 2+ ≥ = ，
5 5 5 5
4√5
即PO的最小值是 ，
5
4√5
故答案为： ．
5
总结提升：本题考查勾股定理、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出PO的最小值．
16．（2021秋•锦江区校级期末）如果一个直角三角形的两边长分别是3，4，那么这个直角三角形斜边上
的高长最小值为 ．
思路引领：可分两种情况：若3，4是直角三角形的两条直角边；若3为直角三角形的直角边，4为斜边，利用勾股定理分别求解直角三角形的第三边，利用三角形的面积可求解斜边上的高线的最小值．
解：若3，4是直角三角形的两条直角边，则斜边长为：√32+42=5，
3×4 12
∴斜边上的高为： = ；
5 5
若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：√42-32=√7，
3×√7 3
∴斜边上的高为： = √7，
4 4
12 3
∵ ＞ √7，
5 4
3
∴这个直角三角形斜边上的高长最小值为 √7．
4
3
故答案为： √7．
4
总结提升：本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．
17．（2022春•铜梁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3.2，0），点B（1.8，0），
点C在y轴上，且AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，点P为线段AB上一动点，连接CP，过点P作PM⊥AC
PN
于点M，作PN⊥BC于点N，则当线段CP取最小值时， 的值为 ．
PM
思路引领：先根据垂线段最短确定点P的位置，然后根据等积法分解求解PM，PN的值，进而可求解．
解：由垂线段最短可得当点P运动到点O时，CP最小，∵点A（﹣3.2，0），点B（1.8，0），
∴AB＝1.8﹣（﹣3.2）＝5，AO＝3.2，BO＝1.8，
∵AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，
AC⋅BC 4×3 12
∴CP= = = ，
AB 5 5
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
12
×3.2
∴PM PC⋅AP 5 ，
= = =1.92
AC 4
12
×1.8
PN PC⋅BP 5 ，
= = =1.44
BC 3
PN 1.44 3
∴ = = ．
PM 1.92 4
3
故答案为： ．
4
总结提升：本题主要考查坐标与图形的性质，两点间的距离，注意等积法的运用，求解PM，PN的值是
解题的关键．
18．（2022秋•牡丹区校级月考）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最
小值是 ．
思路引领：根据点与直线上各点的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定
理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD=√AC2-DC2=4，
1 1
又∵S△ABC =
2
BC•AD =
2
BP•AC，
BC⋅AD 6×4
∴BP= = =4.8．
AC 5
故答案为：4.8．
总结提升：此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，
熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19．（2022春•如皋市校级月考）如图，线段 AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在
AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是
．
1 √3
思路引领：设AC＝x，BC＝10﹣x，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得CD= x，CE= （8
2 2
﹣x），再由勾股定理和配方法即可求解．
解：设AC＝x，BC＝8﹣x，∵△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，∠A＝30°，
1 1
∴CD= AC= x，∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，
2 2
∵△BCE为直角三角形，∠BEC＝90°，∠B＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
1 8-x
∴BE= BC= ，
2 2
√ 8-x √3
∴CE=√BC2-BE2= (8-x) 2-( ) 2= （8﹣x），
2 2
∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝90°，
1 √3
∴DE2＝CD2+CE2＝（ x）2+[ （8﹣x）]2＝x2﹣12x+40＝（x﹣6）2+12，
2 2
∴当x＝6时，DE2取最小值为12，
此时DE的最小值为√12=2√3，
故答案为：2√3．
总结提升：本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及最小值问题，熟练掌握勾股定理和
含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
20．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（5，0），点B在y
轴上运动，以AB为边作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°（点A，B，C呈顺时针排列），当点B在y轴上运
动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，OC+AC的最小值为 ．
思路引领：过点A作直线l⊥x轴，过点C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证△CDA≌△AEB，从
而得出AD＝BE＝OA＝5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当 O，C，A′三点
共线时，OC+AC有最小值＝OA′，利用勾股定理即可求解．
解：如图，过点A作直线l⊥x轴，过点C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，∵∠DCA+∠CAD＝90°，∠EAB+∠CAD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCA＝∠EBA，
在△CDA和△AEB中，
{
∠DCA=∠EBA
∠CDA=∠AEB=90°，
AB=AC
∴△CDA≌△AEB（AAS），
∴BE＝AD，
∵A（5，0），
∴AD＝BE＝OA＝5，
作点A关于CD的对称点A′，连接CA′，则点A′在直线l上，DA′＝DA＝5，AC＝A′C，
∴OC+AC＝OC+A′C，
∵OC+A′C≥OA′，
∴当O，C，A′三点共线时，OC+AC有最小值＝OA′，
此时，OA′=√OA2+AA'2=√52+102=5√5，
∴OC+AC最小值＝5√5．
故答案为：5√5．
总结提升：本题考查轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加合适的
辅助线，构造直角三角形是解题关键．
21．（2022春•郧西县月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 ．思路引领：（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．
（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．
（3）过B作BP⊥AC，解答即可．
解：（1）AB=√42+22=2√5，BC=√22+12=√5，AC=√32+42=5，
△ABC的周长＝2√5+√5+5＝3√5+5，
（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°．
（3）过B作BP⊥AC，
1 1
∵△ABC的面积= AB⋅BC= AC⋅BP，
2 2
1 1
即 ×2√5×√5= ×5⋅BP，
2 2
解得BP＝2，
故答案为：2
总结提升：本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
22．（2022春•铜梁区校级期末）已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10．
（1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；
（2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．思路引领：（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用
直角三角形的两个锐角互余可得求出∠A的度数，最后根据直角三角形斜边上的中线性质可得 CD＝
DA，从而利用等腰三角形的性质即可解答；
（2）利用面积法，进行计算即可解答．
解：（1）在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，
∵点D是AB的中点，
1
∴CD＝DA= AB，
2
∴∠A＝∠DCA＝50°，
∴∠DCA的度数为50°；
（2）如图：当CE⊥AB时，线段CE最小，
1 1
∵△ABC的面积= AB•CE= AC•BC，
2 2
∴AB•CE＝AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8，
∴线段CE的最小值为4.8．总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及垂线段最短
是解题的关键．
23．（2021秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，AD＝
3，若点P在BC上运动．
（1）求线段DP的最小值；
（2）当DP最小时，求△CDP的面积．
思路引领：（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）由勾股定理得BD＝5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB＝4，设PC＝x，CD＝y，则
BC＝BP+PC＝4+x，AC＝AD+CD＝3+y，然后由勾股定理和三角形面积公式求出x的值，即可求解．
解：（1）当DP⊥BC时，线段DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，
当DP⊥BC时，DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值是3；
（2）∵∠A＝90°，
∴BD=√AB2+AD2=√42+32=5，
当DP最小时，DP＝3，DP⊥BC，
则∠DPB＝∠DPC＝90°，∴PB=√BD2-DP2=√52-32=4，
设PC＝x，CD＝y，
则BC＝BP+PC＝4+x，AC＝AD+CD＝3+y，
∴CD2＝PD2+PC2，
即y2＝32+x2①，
∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积，
1 1 1
∴ ×4×（3+y）= ×4×3+ ×（4+x）×3，
2 2 2
整理得：4y＝12+3x②，
{ y2=32+x2
由①②得： ，
4 y=12+3x
72
{x=
7 {x=0
解得： ，或 （舍去），
75 y=3
y=
7
72
∴PC= ，
7
1 1 72 216 108
∴△CDP的面积= CP×DP= × ×3= = ，
2 2 7 14 7
108
即当DP最小时，△CDP的面积为 ．
7
总结提升：本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股
定理和角平分线的在是解题的关键．
