专题06勾股定理常考几何模型专训（8大题型）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_重难点专题提升-V7_2025版

专题04 勾股定理常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的最值问题 题型八 勾股定理常考模型综合 知识点1、圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点 B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是 的长度， 由勾股定理得， ，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 知识点2、长方体中的最短路径模型条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞ b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时， ； 则 ； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时， ； 则 ； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时， ； 则 ； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故 ＞ ＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为 ， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 知识点3、将军饮马与空间最短路径模型条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离 容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交B的延长线于D， 则四边形 是矩形，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离， ∵由题意得， （ ）， =a（ ）， （ ）， 在 中， （ ）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定 理求解。 知识点4、三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合；知识点5、长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’. 结论：① ≌ ；②折痕AC垂直平方BB’；③ AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证： ≌ ；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴ AEC是等腰三角形。 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，① ≌ ；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，① ≌ ；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形 ≌四边形 ；②折痕AC垂直平方BB’；③ AEF是等腰 。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴ AEF是等腰三角形。 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，① ≌ ；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形 ≌四边形 ；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形 ≌四边形 ；②折痕AC垂直平方BB’；③ GC’F是 。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴ GC’F是直角三角形。 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为 ，在其外壁距离下底面 的 处有一 只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面 的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为 ，则蚂蚁 爬行的最短距离为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）某 打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体， 它的底面周长是 ，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高 ，则龙头部分的长为（ ）A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，图柱形木桩底面周长是 ，高为 ，在木桩底部S处 有一蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部 的点 处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短 路线长度是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为 ， 底面周长为 ，在盒子外壁离上沿 的点 处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部 的点 处有 一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点 处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为 ，在杯内 壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁 处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲 天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6 米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从 点A到点 ， 为 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少 为 ． 7．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，圆柱形容器的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁 离容器底部 的点 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 与蚊子相对的点 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时间长而变 形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为 ，已知 ， ，一只蚂蚁从 点爬到 点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 9．（24-25七年级上·山东威海·期末）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2， 和 是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点 的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15 的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻 璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此 时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬 行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 10．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形 卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合；探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作 装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝 线？ 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在 中点C处有一 滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ） A．15 B．25 C．35 D．45 2．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，长方体的高为 ，底面是边长为 的正方形，一只蚂蚁 从顶点 沿长方体的外表面爬到顶点 处，那么它爬行的最短路程为（ ）A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）小迅家有一个长 ，宽 ，高 的长方体无盖鱼缸，一天他 喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点 处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点 处出发，想吃到鱼缸 顶部 处的馒头屑，它爬行的最短路程是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图）， 在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点 缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50 ，底面边长为40 ，则这 圈彩带的长度至少为（ ） A．50 B．120 C．130 D．150 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 ．6．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的 表面从点 到点 的所有路径中，最短路径的长是 ． 7．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，点P在棱 上， ，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿 ）爬行到达P点，则蚂 蚁爬行的最短路径长为 ． 8．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在一个长 为 ，宽 为 的长方形未板上，放 着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽 平行且棱长大于 ，木块从正面看是边长为 的正 方形，一只蚂蚁从点 出发到达 边中点 需要走的最短路程为 ． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一只蚂蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈到达点 ，若蚂蚁的爬行速度为 内蚂蚁能否爬到点 ？ 10．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践：如图，某校园有一尊孔子雕像． (1)如图，孔子雕像底座正面是四边形 ，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方案检测雕像底座正 面的边 是否垂直于边 ． (2)若孔子雕像底座是个长方体，量得边 ，边 ，一只蚂蚁从顶部点 沿长方体的 表面爬到底部点 ，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水， 已知A村、B村到河边的距离分别为 和 ，且C、D相距 ，则铺水管的最短长度是（ ）A．5 B． C．7 D． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们 对它的证明趋乙若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的 证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为 、 、 ．显然， ， ．请用含 、 、 的最简代数式分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探 究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______ ______ ______． 则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理． 知识运用： 如图2所示， 表示一条铁路， 、 是两个城市，它们到铁路所在直线 的垂直距离分别为 千米， 千米，且 千米，现要在 之间设一个中转站．求出 应建在离 点多少 千米处，才能使它到 、 两个城市的距离相等． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式 的最小值． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名 的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．(1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为 、 、 ．显然， ， ．用含 、 、 的式子分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个 图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股 定理 ． (2)如图2，铁路上 、 两点（看作直线上的两点）相距 千米， 、 为两个村庄（看作两个点）， ， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为________千 米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在 上建造一个供应站 ，使得 ，求出 的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ． 4．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们 在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结 合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题 途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且 ，求 的最小值．通过分析，小明想到 了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ， ，点E是线段 上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设 ， ． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；②据此写出 的最小值 ． (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式 的最小值是 ． (3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且 ，试运用构图法，写出 的最小值 ． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数 式最小值的问题，如，“求代数式 的最小值”．小强同学发现 可看作两直角 边分别为 和2的直角三角形斜边长， 可看作两直角边分别是 和4的直角三角形的斜边 长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段 的长，进而求得 的最小值是 ______． （2）类比计算：已知 均为正数，且 ．求 的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中， ， ， ，直接写出 的最小值． 6．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定 条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来， 通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题 具体化，从而起到优化解题途径的目的．(1)（思想应用）已知 ， 均为正实数，且 ，求 的最小值．通过分析，爱思考 的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ， ，点 是线段 上的动点，且不与端点重合，连接 ， ，设 ， ． ①用含 的代数式表示 ______，用含 的代数式表示 ______； ②据此直接写出 的最小值为______； (2)（类比应用）已知 为正实数 ，根据上述的方法，求代数式 的最小值． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁 有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得 的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称 点 ，连接 ，则 与直线l的交点即为P，且 的最小值为 ． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2， 中， ， ，E是 的中点，P是 边上的一动点，则 的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式 的最小值； (3)几何拓展：如图3， ， ， ，若在 、 上各取一点M、N使 的值最 小，最小值是 ．8．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系， 搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形 的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线 的同侧有两个点 、 ，已知点 和点 到直线 的距离分别为2和5，且 ．现 要在直线 上取点 ，使得 的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出 的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出 的最小值为_______． 9．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对 它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 证法如下： 把两个全等的直角三角形 （如图1放置， ， 点 在边 上，现设 两直角边长分别为 、 ，斜边长为 ，请用 分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上 两点（看作直线上的两点）相距 千米， 为两个村庄（看作直线上的两点）， ， ，垂足分别为 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为______千米． (3)在（2）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，使得 ，请在图2中作出 点的位置并求出 的距离． (4)借助上面的思考过程，当 时，直接写出代数式 的最小值． 10．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河 的同侧，它们到河岸的距离 分别为1千米和4千米，又知道 的长为4千米． 现要在河岸 上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即 ）．（如图2） 方案2：作A点关于直线 的对称点 ，连接 交 于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道 和 ．（即 ）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断 哪种方案更合适． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在 中， ， ， ，在 上取 一点E，连接 ，将 沿 翻折得到 ，使得点 落在直线 上，则 的长度为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．32．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，三角形纸片 ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿着 翻折，得到 ， 与 交于点 ，连接 交 于点 ．若 ， ， ， 的面积为8，则点 到 的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在 中， ，将边 沿 翻折，点B落在点F处，连接 交 于点D．则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 在 上， 将 沿直线 翻折后，将点 落在点 处，如果 ，那么线段 的长为( ) A．1 B． C． D． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 中， ， ， ，将边 沿翻折，使点A落在 上的点 处；再将边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两 条折痕与斜边 分别交于点 ，则线段 的长为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海·期末）如图，在 中， ， ， ，点D是 的中 点，将 沿直线 翻折后点A落在点E，那么 的长为 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在 中， ，点 为 边上一点，将 沿 翻折得到 ，若点 在 边上， ，则 的长为 ． 8．（24-25九年级下·重庆丰都·阶段练习）如图，在 中， ， ，点E，F分别为 边 与 上两点，连接 ，将 沿着 翻折，使得B点落在 边上的D处，， ，则 的值为 ． 9．（2023·江苏常州·模拟预测）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在 中， （如图1），怎样证明 呢？把 沿 的平分线 翻折，因为 ，所以点 落在 上的点 处（如图 ．于是，由 ， ，可得 ． 【感知】 （1）如图2，在 中，若 ， ，则 ______ ． 【探究】 （2）若将图2中 是角平分线的条件改成 是高线，其他条件不变（图3），即在 中， ， ，请探索线段 、 、 之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在 中， ， ， ，点 是 边上的一个动点（不与 、 重 合），将 沿 翻折，点 的对应点是点 ．若以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形，直接 写出 的长度______． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【问题背景】 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt 中， ， ， 平分 ，试判断 和 之间的数量关系． 【初步探索】 小明发现，将 沿 翻折，使点 落在 边上的 处，展开后连接 ，则得到一对全等的三角形， 从而将问题解决（如图2）． （1）写出图2中全等的三角形； （2）直接写出 和 之间的数量关系； 【类比运用】 （3）如图3，在 中， ， 平分 ， ， ，借鉴上述方法，求 的周长； 【实践拓展】 （4）如图4，在一块形状为四边形 的空地上，养殖场王师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖 场，即图4中的 和 ，若 平分 ， ， ， ．请你帮 王师傅算一下需要买多长的栅栏． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图长方形 中， ， ，点 为边 上一点，将 沿 翻折后，点 恰好落在边 上的点 处，则 （ ） A．2 B． C． D．1 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，把 沿 翻折，点 恰好落在 边上的 处，延长 ，与 的平分线交于点 ， 交 于点 ，则 的长度为（ ）． A． B． C．4 D． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，将长方形 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙 无重叠的四边形 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形 放置于平面直角坐标系中，点 与原点重 合，点 分别在 轴和 轴上，点 ，连接 ，并将 沿 翻折至长方形 所在平面， 点 的对称点为点 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，若 ， ，则 的面积为 ． 6．（24-25九年级下·山东滨州·期中）如图，点E为矩形 边 上一点，连接 ，将 沿 翻 折得到 ，连接 ，过点F作 于H，若 ， ，则 的长度为 ．7．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）如图所示，四边形 是一张长方形纸片，将该纸片沿着 翻折， 点A的对应点为点 ，若 ， ，则 的面积为 ． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，P为 上一点， 将 沿 翻折至 ， ， 与 分别相交于点O，G，且 ． (1)试说明： ； (2)求 的长． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）（1）如图， 的平分线 交 于点E，D为 边上一点， 且满足 ． ①求证： ； ②若 ， ， ，求 的长． （2）在长方形 的 边上取一点E，将 沿 翻折，使点C恰好落在 边上点F处． ①如图1，若 ，求 的度数； ②如图2，当 ， ，求 的长．10．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形 中， 是 的中点，将 沿 翻折得 到 ， 交 于点 ，延长 ， 相交于点 ，若 ， ，求 的长． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 1．（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示 的“垂美”四边形 ，对角线 ， 交于点O．若 ， ，则 ． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）在学习等腰直角三角形的过程中，小宛同学遇到了一个问题： 在等腰直角 中， ， ，点 为线段BC上任意一点，试说明 ， ， 之间 的数量关系．小宛的思路是：首先过点 作 的垂线，再构造与 全等的三角形，从而转化 ， ，使问题得到解决．请根据小宛的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点 作 的垂线 ，在 上方的直线 上截取 ，连接 ， （用基本作图， 保留作图痕迹，不写作法、结论）．证明： 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ______， 在 和 中， ， ， ，______， ， ， ， 在 中， ， ， 在 中， ，______， 又 ， ， ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在 中， ， ．点 、 在线段 上． (1)如图1，如果 ，求证： ． (2)如图2，如果 ，求证： ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图， 中， ．(1)图1中，若 ， ，则 边上的高 的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段 上找一点P，使得 ，画出点P的位置并说明理由． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）（1）问题①：如图1，长方形 中， ， ， ，则 与 的数量关系是________． ②如图2，P是长方形 内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现 与 的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形 外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在 中， ， ，B是 内一点，且 ， ， 则 的最小值 ________． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图， ，M，N分别是 ， 的中点． (1)猜想 与 的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出 、 、 三者之间的数量关系：_______ 7．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在 中， ， 若 如图①，则有 ；若 是锐角三角形，小明猜想 ，理由： 如图②， 过点A作 ， 垂足为D，设 ．在 中， ，在 中， ， ，整理得 ， ， ， ， ，∴当 是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想， 是钝角三角形且 为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若 ， 则 的面积是 ． 8．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）已知 与 都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证： ； (2)如图2，点D是 外一点，且 ，请证明结论 ； (3)如图3，若 ， ， ．试求 的度数． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）在正方形 中，点E，F分别在边 上，且 ．(1)若点G在边 的延长线上，且 ，（如图①），求证： ； (2)若直线 与 的延长线分别交于点M，N（如图②），求证： ； (3)若 ．求线段 的长度． (4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③）， ，请你直接写出 的面积． 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图 ，在四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点， 且 ，试探究图 中线段 ， ， 之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：如图 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，先证 明 ，再证明 ，则可得到线段 ， ， 之间的数量关系是________． （2）如图 ，在等腰直角三角形 中， ， ，点 ， 在边 上，且 ， 请写出 ， ， 之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 如图 ，在四边形 中， ， ， ，在边 和 分别有一点 和点 ， 使 的周长恰好是 长的 倍，求此时 的度数．【经典例题七 勾股定理中的最值问题】 1．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图， 为线段BD上一动点，分别过 、 作 ， ，连 接 、 ，已知 ， ， ，设 ．线段 的长可表示为 ，当 、 、 三点共线时， 的值最小，根据上述方法，求代数式 的最小值为（ ） A．11 B．13 C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图， 中， ，点D，E分别是 ， 的中 点，在 上找一点P，使 最小，则这个最小值是（ ）A．2 B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一 动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A．8 B． C．16 D． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当 时，求 代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为 和2的 的斜边长， 可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长．于是将问题转化为求 的最小 值，如图所示当 与 共线时， 为最小．请你解决问题：当 时，则代数式 的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．75．（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点 ，使得 的值最小．解法：如图1，作点 关于直 线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且 的最小值为 ．请利用上述模型 解决下列问题： （1）几何应用：如图2， 中， 是 的中点， 是 边上的一动点，则 的最小值为 ； （2）几何拓展：如图3， 中， ，若在 上取一点 ，则 的值最小值 是 ． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当 时，求 代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的 的斜边长， 可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长．于是将问题转化为求 的最小 值，如图所示，当 与 共线时， 为最小．请你解决问题：当 时，则代数式 的最小值是 ． 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）在 中，点D，E分别为 ， 上的动点．如图， ， ， ，当 时，则 的值最小为 ．8．（23-24八年级下·江苏南京·开学考试）为了探索代数式 的最小值，小明巧妙地运 用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图， 为线段 上一动点，分别过点 、 作 ， ，连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．则 ， 则问题即转化成求 的最小值． （1）我们知道当 、 、 在同一直线上时， 的值最小，于是可求得 的最 小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式 的最小值等于 ． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离 AC 1km， 村到公路l的距离BD2km，且CD4km．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计 算： (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作 出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和 的最小值为 km． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，C为线段BD上一个动点，分别过点B，D作 ， EDBD，连接AC，EC. (1)当点C满足什么条件时，ACCE的值最小？ x24 12x2 9 (2)根据（1）中的结论，请构图求出代数式 的最小值. 【经典例题八 勾股定理常考模型综合】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在 中，AB AC 8，BAC 90，点D是BC的中点，点 E是AB边上的动点，连接DE，过点D作DF DE交 于点F ，连接EF，下列结论：① VADE≌VCDF； ②AFEADE；③ ；④DE的最小值是4；⑤四边形AEDF 的面积是 定值．其中正确的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边VABC中，点M 在线段AB上，AM 2， AM CM ，则以线段 ， ， 的长为边组成的三角形面积为（ ）3 A． B． C．4 D．1 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC BC 2，点D在AB的延长线上，且CD AB， 则 的长是（ ） 10 2 2 22 A． B． C． D． 4．（2024·安徽宿州·二模）如图， 是等边VABC边BC上的高，在AD、AC上分别取一点E、F，使 AECF BF AD 3 mBEBF ，连接 、 ．若 ，设 ，则 的最小值为（ ） 2 2 A． B． C．2 D．3 ABCD AB3 CD2 2 A105 E 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）四边形 中， ， ， ， ， 为AD 的中点，若BEC 90，则 的长度为 ．6．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知在Rt△ABC中，ACB90，AC 8， ， D是AC上的一点，CD3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运 动时间为t．过点 作DE AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使DECD？ 7．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，O是正VABC内一点，OA3，OB4， ，将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段BO，下列结论：①点O与 的距离为4；②AOB150； ③ ．其中正确的结论是 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形ABCD，连接对角线AC、BD，ACD=90， 且 ，若ABC 90，AB1，BD5，则 的长为 ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）【问题呈现】（1）如图1，VABC和VADE均为等边三角形， 点 为BC边上一个动点，BC 4，点O为 边中点，连接CE，写出图中全等的三角形__________，线 段OE的最小值__________． 【问题探索】（ ）如图2，△ACB是等腰直角三角形， ，CACB，点E是AB上一点， CED45，交 于D．试探究AE、BE、EC的数量关系，并给予证明； 【灵活运用】（3）如图3，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，AB AD， ，ACB30， ，求四边形ABCD的面积．10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1， 和DEC均为等边三角形，当 绕点C旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE． ①AEB的度数为______； ②线段AD，BE之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，VABC和DEC均为等腰三角形，且ACBDCE 90，点 ，D，E在同 一直线上，若AE10，DE6，求 的长度； （3）探究发现：图1中的VABC和DEC，在DEC旋转过程中当点A，D，不在同一直线上时，设直线 AD与距相交于点O，请直接写出AOE的度数．