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专题 03 勾股定理应用的四考法全攻略
类型一、最短距离问题
例1．空心玻璃圆柱的底面圆的周长是 ，高是5，内底面的点A有一只飞虫，要吃到B点的食物，最短
路径的长是（ ）
A．6 B．7 C．13 D．10
【答案】C
【详解】如图所示，连接 ，
∵空心玻璃圆柱的底面圆的周长是 ，
∴ ，解得 ，
∵ ，高是5，
∴ ．∴最短路径的长是13．
故选：C．
例2．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 在棱上，点 离点 的距离为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是______．
【答案】
【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
∵长方体的宽为 ，高为 ，点 离点 的距离是 ，
∴A ；
把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
长方体的宽为 ，高为 ，点 离点 的距离是 ，
；
把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：长方体的宽为 ，高为 ，点 离点 的距离是 ， ；
，
蚂蚁爬行的最短距离是 ．
故答案为： ．
【变式训练1】在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块，
它的侧棱长平行且大于场地宽 ，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点 处到 处
需要走的最短路程是______米．
【答案】
【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为 米，
长方形的宽为3米， 一只蚂蚁从点 处到 处需要走的最短路程是对角线 ，
米，
故答案为 ．【变式训练2】如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 _____．
【答案】13m
【详解】解：如图所示，
台阶平面展开图为长方形， ， ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得： ，即 ， ，
故答案为： m．
【变式训练3】棱长分别为 两个正方体如图放置，点P在 上，且 ，一只蚂蚁如果
要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______．【答案】 cm．
【详解】解：如图，有两种展开方法：
方法一∶ ，
方法二∶ ．
故需要爬行的最短距离是 cm．
故答案为： cm．
【变式训练4】如图，长方体中 ，P为 中点，在P处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从点
A出发，沿长方体表面到点P处吃蜂蜜，那么它爬行的最短路程是________________．
【答案】
【详解】解：如图1，
如图2．
【变式训练5】如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上．若 米，点 到
的距离是6米，有一只蚂蚁要从点 爬到点 ，它的最短行程是________米．
【答案】
【详解】解：如图，将教室的墙面 与地面 展成一个平面，
过P作 于G，连接 ，
∵ 米， 米，
∴ (米)，
∴ 米，∴ （米）．
故这只蚂蚁的最短行程应该是 米．
故答案为： ．
类型二、水杯中的筷子问题
例．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷
子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，
∴h＝BD＝24（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，
在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，
∴AB＝ （cm），
所以h的取值范围是：24cm≤h≤26cm．
故选：C．
【变式训练1】如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则
吸管露出杯口外的长度至少为（ ）cmA．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：如图：
玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，
∵CD＝6，AD＝8，∴BD＝ cm，
露出杯口外的长度为＝12−10＝2cm，
故选：B．
【变式训练2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出
水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
【答案】D
【详解】解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得： ，∴ ，解得 ，∴ 尺
故选D.【变式训练3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿 竖直插到水底，
此时竹竿 离岸边点C处的距离 米．竹竿高出水面的部分 长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉
向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度 为（ ）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
【答案】A
【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故选：A．
【变式训练4】我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，
出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺
的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达
池边的水面D处，问水的深度是多少？
【答案】12尺
【详解】解：设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．
设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺，根据勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12，
∴水深为12尺，
故答案是： 12尺．
类型三、台风影响问题
例．如图，公路 和公路 在点 处交汇，且 ，点A处有一所中学， ．假设汽
车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路 上沿 方向行驶时，学校是否会受到
噪声影响？请说明理由．如果受影响，已知汽车的速度为 ，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为8秒
【详解】解：如图，过点A作 于点B，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∵汽车的速度为 ，
∴受影响的时间为： ．【变式训练2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极
强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 的正南方向 的 处有一台风中心，该台风中心现在正以
的速度沿北偏东 方向移动，若在距离台风中心 范围内都要受到影响．（结果精确到
）（ ）
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【答案】(1)该城市会受到这次台风的影响，理由见解析
(2)台风影响该城市的持续时间有 小时
【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作 于 ．在直角 中，
， ，
，
，
该城市会受到这次台风的影响；
（2）如图以A为圆心， 为半径作 交 于 、 ．
则 ．
台风影响该市持续的路程为： ．
台风影响该市的持续时间 （小时），
台风影响该城市的持续时间有 小时．
【变式训练3】如图，台风中心位于点 处，并沿东北方向（北偏东 ），以 千米/小时的速度匀速移
动，在距离台风中心 千米的区域内会受到台风的影响，在点 的北偏东 方向，距离 千米的地方有
一城市 ，问： 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请
说明理由．
【答案】会受到影响，受到影响时间约为 小时【详解】解：会受到影响，影响时间约为 小时．
理由如下：
由题意得 ， ， ，
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴会受到影响，
如图， ，由题意知，台风从 点开始影响 城市到 点影响结束，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵风速为 ，∴ （小时），
∴影响时间约为 小时．
【变式训练4】今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向
125km的B处，正以15km/h的速度沿 方向移动，已知A市到 的距离 ．
(1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要8小时；
(2)A市受台风影响的时间为 小时．
【详解】（1）解：由题意得，在 中，
，
∴ ，
∴时间为 小时，
即台风中心从B点移到D点需要8小时；
（2）解：以A为圆心，以40km为半径画弧，交 于P、Q，
则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图），
由题意， ，在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
时间为 (小时)．
即A市受台风影响的时间为 小时．类型四、汽车超速问题
例．如图， ， 是两条公路相交成 ，沿公路 方向离点 米的点A处有一所学校，当重型运
输卡车沿道路 方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心、 长为半径的圆形区域内都会受
到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路 方向行驶的
速度为18千米/小时．
(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离（保留根号）；(直角三角形中 锐角所对的直角
边等于斜边的一半)．
(2)求卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】(1)40米
(2)卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒
【详解】（1）解：过点A作 于H，
∵ ， 米，
∴ 米，
∴对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离为40米；
（2）解：如图，当 米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知 米，
∴ （米），
∵ ，
∴ （米），
∵重型运输卡车行驶的速度为18千米/小时，即 米/秒，
∴ （秒），
∴卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
【变式训练1】“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米时，如图，
一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪 正前方24米的 处，过
了1.5秒后到达 处（ ），测得小汽车与车速检测仪间的距离 为40米，判断这辆小汽车是否
超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
【答案】超速，超速 千米 时
【详解】解：小汽车已超速，理由如下：
根据题意得： 米， 米， ，
在 中，根据勾股定理得： （米），
小汽车1.5秒行驶32米， 小汽车行驶速度为76.8千米 时，
，小汽车已超速，超速 （千米 时）．
【变式训练2】超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自
己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为 的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶
来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为 ，并测得 ， ，
(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了 / 的限制速度？（ ）
【答案】(1)AP的长为200m
(2)此车超过了80 / 的限制速度
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：在 中， ，
，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴此车超过 的限制速度．
【变式训练3】如图，公路AB和公路CD在点P处交汇，点E处有一所学校，EP＝160米，点E到公路
AB的距高EF＝80米，假若拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路AB上沿方
向行驶时，学校是否受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学
校受到影响的时间为多少？【答案】0.4分钟
【详解】：∵EF=80＜100，
∴学校是否受到影响，
设拖拉机在公路AB上行驶时，从点M到点N学校受到影响，
在Rt△MEF中，∵EM=100，EF=80，
∴MF= =60，
∴MN=2MP=120，
∵拖拉机的速度是18千米/小时，
∴ =0.4（分钟），
答：学校受到影响的时间为0.4分钟．
【变式训练4】根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速60千米/时．已知
测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50米、34米，M距公路l的距离（即MN的长）为30米．
现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒，通过计算判断此车是否超速．
【答案】此车没有超速
【详解】试题分析：在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由
AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断．
解：∵在Rt△AMN中，AM=50，MN=30，
∴AN= =40米，
∵在Rt△MNB中，BM=34，MN=30，∴BN= =16米，
∴AB=AN+NB=40+16=56（米），
∴汽车从A到B的平均速度为56÷5=11.2（米/秒），
∵11.2米/秒=40.32千米/时＜60千米/时，
∴此车没有超速．
