文档内容
专题 03 勾股定理应用的四考法全攻略
类型一、最短距离问题
例1．空心玻璃圆柱的底面圆的周长是 ，高是5，内底面的点A有一只飞虫，要吃到B点的食物，最短
路径的长是（ ）
A．6 B．7 C．13 D．10
例2．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 在棱上，点 离点 的距离为 ，一只蚂蚁如果要沿
着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是______．
【变式训练1】在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块，
它的侧棱长平行且大于场地宽 ，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点 处到 处
需要走的最短路程是______米．【变式训练2】如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 _____．
【变式训练3】棱长分别为 两个正方体如图放置，点P在 上，且 ，一只蚂蚁如果
要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______．
【变式训练4】如图，长方体中 ，P为 中点，在P处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从点
A出发，沿长方体表面到点P处吃蜂蜜，那么它爬行的最短路程是________________．
【变式训练5】如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上．若 米，点 到
的距离是6米，有一只蚂蚁要从点 爬到点 ，它的最短行程是________米．类型二、水杯中的筷子问题
例．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷
子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，玻璃杯的底面半径为3cm，高为8cm，有一只长12cm的吸管任意斜放于杯中， 则
吸管露出杯口外的长度至少为（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出
水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
【变式训练3】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿 竖直插到水底，此时竹竿 离岸边点C处的距离 米．竹竿高出水面的部分 长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉
向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度 为（ ）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
【变式训练4】我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，
出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺
的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达
池边的水面D处，问水的深度是多少？
类型三、台风影响问题
例．如图，公路 和公路 在点 处交汇，且 ，点A处有一所中学， ．假设汽
车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路 上沿 方向行驶时，学校是否会受到
噪声影响？请说明理由．如果受影响，已知汽车的速度为 ，那么学校受影响的时间为多少秒？
【变式训练2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极
强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 的正南方向 的 处有一台风中心，该台风中心现在正以
的速度沿北偏东 方向移动，若在距离台风中心 范围内都要受到影响．（结果精确到）（ ）
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【变式训练3】如图，台风中心位于点 处，并沿东北方向（北偏东 ），以 千米/小时的速度匀速移
动，在距离台风中心 千米的区域内会受到台风的影响，在点 的北偏东 方向，距离 千米的地方有
一城市 ，问： 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请
说明理由．
【变式训练4】今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向
125km的B处，正以15km/h的速度沿 方向移动，已知A市到 的距离 ．
(1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
类型四、汽车超速问题例．如图， ， 是两条公路相交成 ，沿公路 方向离点 米的点A处有一所学校，当重型运
输卡车沿道路 方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心、 长为半径的圆形区域内都会受
到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路 方向行驶的
速度为18千米/小时．
(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离（保留根号）；(直角三角形中 锐角所对的直角
边等于斜边的一半)．
(2)求卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【变式训练1】“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米时，如图，
一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪 正前方24米的 处，过
了1.5秒后到达 处（ ），测得小汽车与车速检测仪间的距离 为40米，判断这辆小汽车是否
超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
【变式训练2】超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自
己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为 的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶
来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为 ，并测得 ， ，(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了 / 的限制速度？（ ）
【变式训练3】如图，公路AB和公路CD在点P处交汇，点E处有一所学校，EP＝160米，点E到公路
AB的距高EF＝80米，假若拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路AB上沿方
向行驶时，学校是否受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学
校受到影响的时间为多少？
【变式训练4】根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速60千米/时．已知
测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50米、34米，M距公路l的距离（即MN的长）为30米．
现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒，通过计算判断此车是否超速．
