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专题 07 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平行四边形中的最值问题......................................................................................................................1
题型二、矩形中的最值问题..................................................................................................................................4
题型三、菱形中的最值问题..................................................................................................................................8
题型四、正方形中的最值问题............................................................................................................................12
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行四边形中的最值问题
1．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点P、Q分别
是 和 上的动点，在点P和点Q运动的过程中， 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短
作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
取 的中点G，连接 ．首先证明 ，作点B关于 的对称点F，连接 ，证 ，
则 的长即为 的最小值，求出 的长即可．
【详解】解：取 的中点G，连接 ．在 中， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
作点B关于 的对称点F，连接 ，交 于点P，由对称可知，B、A、
F在一条直线上， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点Q与点G重合时， ， 的长即为 的最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：D．
2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在 中， ， ，点 是 边上的动点，
连接 ， ， 是 的中点， 是 的中点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，中位线的性质，垂线段最短，熟练掌握中位线的性质和垂线段最短
是解题的关键，由三角形中位线定理可得 ，当 时， 有最小值，即 有最小值，由
直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点A作 于N，
∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ，
解得： ，
∵E、F分别为 、 的中点，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，即 有最小值，
∴当点P与点N重合时， 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， ， 是对角线
上的动点，连接 ．求 的最小值．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，则 ．根据“垂线段最短”得当 时， 为最小，
最小值是线段 的长，在 中，根据 得 ， ，进而得 ， ，
然后由三角形的面积公式得 ，由此可得出 的最小值．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，则 ．
，
，
，
．
∵四边形 是平行四边形，
，
，
．
∵点 在对角线 上运动， 是锐角三角形，
∴当 时， 取得最小值．
由平行四边形的性质知， ，
∴此时 ，
，的最小值为 ．
题型二、矩形中的最值问题
4．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面 与地面 垂直，一块矩形木板 的顶点
分别在 和 上滑动，连接 （图中各点均在同一平面内），已知 ，在木板滑动的过
程中，下面说法正确的是（ ）
A． 的最大值为9，最小值为3 B． 的最大值为 ，最小值为3
C． 的最大值为9，最小值为2 D． 的最大值为 ，最小值为1
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半是解题的关键．
取 的中点 ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 ，再根据勾股
定理求得 ，再利用三边关系求出 的最大值，通过观察图形得到最小值．
【详解】解：如图，取 的中点 ，
，
，
，
，
，即 存在最大值为9，
根据图形，可知当 在 上时， 存在最小值，此时 ．
故选：A．
5．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在矩形 中， ， ，动点 满足
，则点 到 、 两点距离之和 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查了距离和最小值问题，利用转化思想是解题的关键．
根据同底等高面积相等，知点 的轨迹，再利用轴对称进行转化，找到最小值，再求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
，
．
．
过点 作 ，则点 的运动轨迹是直线 ．
即在直线 上找一点 使 最小．
，
．
延长 到 ，使 ，则点 与 关于 对称，
则 ，
，
根据两点之间线段最短， ，
根据勾股定理得： ．
故答案为： ．
6．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，点 是矩形 的对称中心，点 ，点 分别位于 ，
上，且 经过点 ， ， ， ，点 在 上运动，点 ， 在 上运动，且
则：（1） 周长的最小值是 ．
（2）四边形 周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原
理是解题的关键．
作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，则 的最小值为 ，证明出
周长的最小值为 ，作 于 ， 于 ，利用勾股定理求出 和 即可．
将点 向上平移 个单位至 ，作 关于 的对称点 连接 交 于 ，在 的下方 个单位
出找到 ，则 为 的最小值，四边形 周长的最小值为 ，作
于点 ，利用勾股定理求出 即可解题．
【详解】解： 如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，
，
的最小值为 ，
周长的最小值为 ，
作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
，
，， ，
，
周长的最小值为 ．
故答案为： ．
如图，将点 向上平移 个单位至 ，作 关于 的对称点 连接 交 于 ，在 的下方
个单位出找到 ，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，由对称得， ，
为 的最小值，
四边形 周长的最小值为 ，
作 于点 ，
， ，
，
，
，
四边形 周长的最小值为： ．
故答案为： ．
题型三、菱形中的最值问题
7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形 的两条对角线相交于 点， ，
，点 是边 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点 作 ，当点 与点 重合
时， 的值最小，根据菱形的性质可以求出 ，利用三角形的面积公式可得 ，
从而可以求出 的最小值．
【详解】解：如下图所示，过点 作 ，
当点 与点 重合时， 的值最小，
四边形 是菱形，
， ， ，
， ，
， ，
，
，
，
解得： ，
，
的最小值为 ．
故选：C．
8．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，在菱形 中， ， ， 为对角线 上的
一个动点，点 在边 上， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，当 的值最小时， 、
、 三点共线，即求 的长度，根据题意判断 为等边三角形，且 点为 的中点，根据直角
三角形的性质，求出 的长度即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，当 、 、 三点共线时，即当 点位于 时， 的值最
小，即为 的长，由菱形的性质可知， ，
又 ，
∴ 为等边三角形，
∵ 点为 的中点， ，
∴ ， ，
∴在 中， ．
故答案为： ．
9．（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践
问题背景
如图，在菱形 中，连接 ， ， ．
初步探究
（1）菱形 的面积为 ．
（2）如图1，若E，F分别是 ， 上的动点，且 ，过点E作 ，过点F作 ，
垂足分别为点G，点H，求 的值．
拓展延伸
（3）如图2，P是 上的动点，连接 ．
① 的最小值为 ；
②如图3，Q是 上的动点，连接 ，且 ，求 的最小值．
【答案】（1）24；（2）4；（3）① ；②
【分析】（1）连接 ，交 于点O，根据菱形的性质得出 ， ，
，根据勾股定理求出 ，最后求出结果即可；
（2）连接 ，交 于点O，过点E作 于点K，证明 ，得出 ，
即可得出 ，求出结果即可；（3）①过点A作 于点 ，根据垂线段最短，得出 的最小值为 的长，根据菱形面积求出
结果即可；
②在 的延长线上截取 ，连接 ， ．证明 ，得出 ，根据当点
A，点P，点R在同一条直线上时， 有最小值，即 的最小值为 的长，过点A作
于点T，根据勾股定理求出 ．
【详解】解：（1）连接 ，交 于点O，如图所示：
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图1，连接 ，交 于点O，过点E作 于点K．
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵
∴四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为4．
（3）①如图2，过点A作 于点 ，
∵垂线段最短，
∴ 的最小值为 的长，
由（1）可知菱形 的面积为24，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ 的最小值为 ．
②如图3，在 的延长线上截取 ，连接 ， ．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴当点A，点P，点R在同一条直线上时， 有最小值，
即 的最小值为 的长，
∴ 的最小值为 的长
过点A作 于点T，
由①易知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
题型四、正方形中的最值问题
10．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形 的边长为12，点E在AB上，且 ，点F
是 上一动点，则 的最小值是（ ）
A．15 B． C． D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，
一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
连接 ，依据 ，可得 ，当 在同一直线上时， 的最小值等于
的长，再根据勾股定理即可得到 的长即为 的最小值．
【详解】如图所示，连接 ，∵点 与点 关于 对称，
，
当 在同一直线上时，
的最小值等于 的长，
∴ 的最小值等于15，
故选：A．
11．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，正方形 的边长为5，点E，F在对角线 上（点E
在点F的左侧），且 ．则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】作 ， ，连接 ，得到四边形 为平行四边形，进而得到 ，得到
，进而得到当点 在线段 上时， 的值最小为 的长，作 于点 ，
作 交 的延长线于点 ，易得 为等腰直角三角形，求出 的长，进而求出
的长，再利用勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：作 ， ，连接 ，则：四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴当点 在线段 上时， 的值最小为 的长，
作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
12．（24-25九年级上·吉林长春·月考）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图
①，在正方形 中 ，点 分别在边 上，且 ，试探究线段 长度的最小值．
【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或
老定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：
① ；
②直接写出 的大小为____度．（2）如图②，取 的中点 ，连结 ．
线段 长度为____，线段 长度的最小值为____．
【方法应用】如图③，在正方形 中，对角线 ，点 在边 上，点 在边 上，且始终
保持 ，连接 ，过点 作 交直线 于点 ．线段 的最小值为____．
【答案】（1）①见解析② （2）2， （3）
【分析】（1）①证明 ，即可得出结论；②根据 ，得到
，进而得到 即可；
（2）斜边上的中线求出 的长，勾股定理求出 的长，根据 ，进行求解即可；
（3）设 交于点 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 ，证明 ，得
到 ，斜边上的中线得到 ，勾股定理求出 的长，根据
，求出 的最小值即可．
【详解】解：（1）①∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ；
（2）由（1）知： ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值为： ；
（3）设 交于点 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时， 有最小值为 ．
一、单选题
1．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形 中，对角线 ， ，点M、N分别是
边 、 边上的动点，点P在 上运动，在运动过程中，存在 的最小值，则这个最小值是
（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6
【答案】B
【分析】作 关于 的对称点 ，连接 ， ．当 三点共线，且垂直于 ，
最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解．
【详解】解：作 关于 的对称点 ，连接 ， ，
∵四边形 是菱形，
∴四边形 关于 对称，
∴点 的对称点 在 上，
∴ ，且当 时， 最小，即 最小，
∴当点 三点共线，且 时，取得最小值，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
， ，
，，
，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
2．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形 中， ，动点 分别在对角线
上（点 在点 左侧），连接 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 ，使得 ，连接 交 于点F，交 于点H，连接 交 于点 ，
易证四边形 是平行四边形，推出 ，此时 取得最小值，再根据矩形的性质证明
，推出 ，再证明 ，进而证明 ，推出
，利用勾股定理求出 ，结合 ，求出 ，证明 ，推
出 ，由勾股定理求出 ，再根据 ，得到 ，
即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 ，使得 ，连接 交 于点F，交 于点H，连接 交
于点 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
此时 取得最小值，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ．
故选：D．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形 中， ，点E，F分别在边 ， 上，点 在对角
线 上， ， ．下列结论错误的是（ ）A．若 ，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则
C．若 ，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，平行线性质，勾股
定理解直角三角形，是解决问题的关键．
在 上取点E关于 的对称点G，连接 交 于点P，则 ，得到m的最小值为 ， 根据
， ，得到 ， ，得到 ，当
时， ，判断A正确；当 时， , ，判断B正确；当 时，
，判断C正确；当 时， ， ,或 ，判断D不正确．
【详解】如图，根据正方形的对称性，在 上取点E关于 的对称点G，连接 交 于点P，
则 ，
∴ ，为m的最小值，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当 时， ，
∴A正确；
当 时， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴B正确；
当 时， ，
∴C正确；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,或 ，
∴D不正确．
故选：D．
4．（24-25九年级下·安徽六安·期中）如图，在Rt 中， ， ， ，已知点
是 延长线上任意一点，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连 ， ，则下列结论错误的是
（ ）
A． 的面积不变
B．若点 与点 关于 对称，则 的最大值为
C． 的最小值为
D． 的周长的最小值为
【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，过点 作
于点 ，证明 ，得到 ，即得 ，即可判断 ；作点
关于 的对称点 ，连接 ，由轴对称的性质得 ，由三角形三边关系得
，可知当点 三点共线时， 的值最大，利用勾股定理求出 ，进而求出 即
可判断 ；由 可知点 到直线 的距离为 ，即点 在如图直线 上运动，延长 交直线
于点 ，至点 ，使得 ，连接 ，可得 ，即得 ，即可判断
；由 ，可知当点 三点共线时， 取得最小值，求出最小值
的长，进而可求出 的周长的最小值，即可判断 ，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，则 ，
∵平行四边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积不变，故 正确；
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，
∵ ，
∴当点 三点共线时， 的值最大，如图，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，故 正确；
∵ ，
∴点 到直线 的距离为 ，即点 在如图直线 上运动，
延长 交直线 于点 ，至点 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 为点 关于直线 上的对称点，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，故 正确；
∵ ，
∴当点 三点共线时， 取得最小值，最小值即为 的长，
∵ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ，
又∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
∴当 取最小值时， 的周长最小，
∴ 的周长的最小值为 ，故 错误；
综上，结论错误的是 ，
故选： ．
二、填空题
5．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在 中， ．点H，G分别是边 ，
上的动点，连接 ， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含 角的直角三角形，勾股定理；
连接 ，根据三角形中位线定理可得 ，可得 时， 和 取最小值，然后求出
的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点E，F分别是 ， 的中点，
∴ ，
∴当 取最小值时， 可取得最小值，
∴当 时， 和 取最小值，
∵在 中， ，
∴ ，
∴当 时， ，此时 ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值是 ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形 中, ， ， ，则CE+DF
的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长 到点M，使得 ，连接 ，证明 转化得到 ，
当D，F，M三点共线时， 取得最小值，勾股定理解答即可．
【详解】解：延长 到点M，使得 ，连接 ，
∵矩形 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
连接
∵ ，
∴ ，
故当D，F，M三点共线时， 取得最小值，且最小值为
故答案为： ．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知菱形 的边长为2， ， 分别是边 ， 上的
动点， ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关
内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
由四边形 是菱形得 ， ， ，而 ，则 是等
边三角形，接着可证 也是等边三角形，再证明 ，得 ，而 ，则
是等边三角形，当 时， 的值最小，此时 的值也最小，通过勾股定理可求得
的最小值．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
，
为等边三角形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
，
又∵ ，
为等边三角形，
当 最小值时，即 为最小值，而当 时， 值最小，
∵ ， ，
，∴ ，即 ，
故答案为： ．
8．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为 的正方形 内有一动点 ，满足 ，
为边 上的动点，连接 ， ．
（1）当点 为边 的中点时， 长的最小值为 ；
（2） 的最小值为 ．
【答案】 / /
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，根据直角三角形的性质可得， 为定值．由
线段公理可得， ，用勾股定理计算出 即可；
（2）作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 ，作 ，垂足为 ，根据轴对称的性质，
，因此 ．由线段公理可得， ，用勾股定理计算出
即可．
【详解】解：（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ，
在正方形 中， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，
又∵点 是 的中点，
∴ 为定值，
∵点 为边 的中点，
∴ ，
在直角 中， ，
由线段公理可得， ，
∴ ，当点 、 、 三点共线时， 取到最小值 ；（2）如图，作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 ，作 ，垂足为 ，
在正方形 中， ， ，
由轴对称的性质可得， ， ， ，
∴点 、 、 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在直角 中， ，
由线段公理可得， ，
∴ ，当点 、 、 、 四点共线时， 取到最小值 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
三、解答题
9．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在 中， ， ， ， 为 边上一
动点， 于点 ， 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)在点 运动的过程中， 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，EF的长度最小值为【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，
（1）根据勾股定理的逆定理得到 ，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF是矩形；
（2）连接 ，根据矩形的性质得到 ，当 时， 最短，即 的长度最小，根据三角
形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：存在．
理由：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵当 时， 最短，即 的长度最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长度最小值为 ．
10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在 中 ， ，
(1)求 度数．
(2)点 是 上的动点，将 沿直线 翻折等到 ，则线段 是否存在最小值？存在则求出
最小值，不存在请说明理由．
(3)在（2）的条件之下，点 是线段 上的动点，连接 ， ， 是否存在最小值？存在则求
出最小值，不存在请说明理由．【答案】(1) ；
(2)存在， ；
(3)存在， ．
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，则 ，证明 是等边三角形得出
，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；
（2）得出 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的半圆．结合当点 在线段 上时，线段 最小，即
可得解；
（3）作 点关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，连 交 于 ，点 即为所求，当 、
、 共线时， 的值最小，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
， ， ，
是等边三角形
∴ ，
又 ，
∴ ，
．
（2）解：∵ 到点 的距离等于 ，
∴ 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的半圆．
当 在线段 上时，线段 最小，
由（1）可得 ，
∴ ，
即线段 长度最小值为
（3）解：存在．
作 点关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，连 交 于 ，点 即为所求．
，
则 ，
当 、 、 共线时， 的值最小，由题意可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ，即 的最小值为 ．
11．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形 中， ，点E是边 的中点，
点P是边 上的动点（点P不与点A重合），以点E为旋转中心，将点P逆时针旋转 ，得到点F．连
结 ．
(1)求出点F与直线 的距离．
(2)线段 的长度的最小值是______．
(3)求线段 与 长度之和的最小值．
(4)直接写出线段 与 长度之和的最大值．
【答案】(1)2
(2)3
(3)
(4)
【分析】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及点到直线的距离等知识点，通过作辅助线，
利用旋转的性质构造全等三角形来求解点到直线的距离，再根据几何关系求线段长度的最值．
（1）过点 作 于点 ，根据 证明 ，可得 ；
（2）由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 最小，即 ；
（3）由 三点共线时， 的最小值为 ，即 的最小值为 ，由勾股定理得，即可得出结论；
（4）当点 与 点重合时， 最大，即 最大， 也最大，由勾股定理得出 即可．
【详解】（1）解：过点 作 于点 ，如图，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵点E是边 的中点，
∴ ，
由题意知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，即点F与直线 的距离为2．
（2）解：由（1）可知，点 在线段 上运动，且 之间的距离为2，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 最小，即 ；
故答案为：3；
（3）解：根据题意得， ，如图，当 三点共线时， 的最小值为 ，
在 中， ，
所以， 的最小值为 ，即 的最小值为 ；
（4）解：如图，当点 与点 重合时，点 与点 重合， 与 交于点 ，
∴
又 ，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
当点 与 点重合时， 最大，即 最大， 也最大，此时，点 与点 重合，
，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
而 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
所以， 的最大值为 ，即 的最大值为 ．
12．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形 中， 、 交于 点．(1)若 为对角线 上一动点， 是 的中点，请在图 中画出当 取得最小值时的点 ，简单
写出点 的做法，不需要证明；
(2)如图 ， 为对角线 上一动点， 为边 上一动点，若 的最小值为 ，这个值恰好
与（1）中 的最小值相等，求菱形的边长 要求画出必要的图形 ；
(3)在（2）的条件下，如图 所示，若点 是 的中点，点 为线段 上的动点，在 绕着点 旋
转过程中，点 的对应点是 ，直接写出 、 两点间的距离的最大值和最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 、 两点间的距离最小值为 ； 、 两点间的距离最大值为
【分析】（1）连接 ，交 于 ，当点 在 处时， 最小；
（2）作 于 ，交 于 ，此时 最小，最小值是 的值，由（1）知， 是 的中
点， ，根据四边形 是菱形得出 ，从而得出 是等边三角形，进一步得出结果；
（3）作 于 ，以 为圆心， 和 为半径画圆，则 在圆环内运动（包括在大圆和小圆
上），进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图 ，
连接 ，交 于 ，
当点 在 处时， 最小；
（2）解：如图 ，作 于 ，交 于 ，此时 最小，最小值是 的值，
由（1）知，
是 的中点，
，
四边形 是菱形，
，
是等边三角形，
，
；
菱形的边长为 ；
（3）解：如图 ，
作 于 ，
以 为圆心， 和 为半径画圆，则 在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），
由（2）知，
，
，
当点 在 处时， 、 两点间的距离最小，距离为： ，
当点 在点 处时， 、 两点间的距离最大，最大为： ．13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】
（1）如图1，正方形 的边长为6，M是对角线 上的一个动点， 是边 的中点，连接 ，
，则在点M的运动过程中， 的最小值为______．
【问题探究】
（2）如图2，四边形 是菱形， ，M，N是对角线 上的动点， 的长度为4且始
终保持不变，连接 ， ，求 的最小值．
【问题解决】
（3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形 ，如图3．为了效果更好，站在边
处的学生队伍要平分 ，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边
上的点M处和边 上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边 ， 上的动点．通过记录并
计算，得到 的最小值为 ，请你计算学生训练方阵正方形 的边长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）16
【分析】（1）连接 ， ，先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，则可得
，再根据两点之间线段最短可得当点 共线时， 的值最小，最小值为
的长，利用勾股定理求解即可得；
（2）过点 作 ，且使得 ，连接 ， 与 交于点 ，先根据菱形的性
质可得 ，再证出四边形 是平行四边形， ，则可得 ，然后根据
两点之间线段最短可得当点 共线时， 的值最小，最小值为 的长，利用勾股定理求解即
可得；
（3）在 上取一点 ，使得 ，连接 ， 与 交于点 ，先根据正方形的性质
可得 ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，则可得
，然后根据两点之间线段最短可得当点 共线时， 的值最小，最小值
为 ，根据垂线段最短可得当 时， 的值最小，最小值为 ，则可得 ，由此
即可得．
【详解】解：（1）如图1，连接 ， ，∵正方形 的边长为6， 是边 的中点，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 的值最小，最小值为 ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
（2）如图2和图3，过点 作 ，且使得 ，连接 ， 与 交于点 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在图2和图3中，都有 ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∴ ，∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 的值最小，最小值为 ，
即 的最小值为 ．
（3）如图4，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， 与 交于点 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 的值最小，最小值为 ，
由垂线段最短可知，当 时， 的值最小，最小值为 ，
∵ 的最小值为 ，
∴ ，
∴ ，
即学生训练方阵正方形 的边长为16．
