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专题 06 利用勾股定理解决与面积有关问题的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用等积法求三角形中某边上的高
类型二、利用等积法验证勾股定理
类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积
类型四、利用割补法求不规则图形的面积
压轴专练
类型一、利用等积法求三角形中某边上的高
方法总结
1 1
1. 面积相等：同一三角形面积可用不同底和高表示，建立方程 ×底 ×高 = ×底 ×高 。
2 1 1 2 2 2
2. 高未知时：若已知两边长及第三边上的高，可先求三角形面积，再反推所求高。
解题技巧
1. 先求面积：优先用已知两边及夹角或三边（海伦公式）求出三角形面积。
2. 设未知数列式：设所求高为h，利用面积相等列一元一次方程求解。
例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，则斜边上的
高为 ．
【答案】9.6
【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出斜边长，再通过面积相等求斜边上的高即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，
∴斜边长为 ，
设斜边上的高为h，
则 ，
解得 ．
故答案为：9.6．【变式1-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在 中， ，若 ，
则 斜边上的高 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的
高．
【详解】解：在 中， ， ，
∴
的面积为： ，
设斜边上的高 的长为 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
【变式1-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在 中， 是斜边上的高，如果 ，
，那么 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出
，根据等积法求出 的值，最后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：在 中，根据勾股定理得
，，
，
∵ 是斜边上的高，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 ，腰长为4，
则其底边上的高是 ．
【答案】2或
【分析】本题考查了 角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．先进行作图，分类讨论，再结合 角所对的直角边等于斜边的一半
的性质，且结合勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：①三角形 是钝角三角形时，如图1，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴底边 上的高 ；
②三角形 是锐角三角形时，如图2，∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴底边上的高为 ，
综上所述，底边上的高是2或 ．
故答案为2或 ．
类型二、利用等积法验证勾股定理
方法总结
1. 图形构造：构造以直角三角形三边为边的正方形或图形（如弦图）。
2. 面积相等：用两种不同方法计算整个图形的面积，得到等式，化简后即得a2 + b2 = c2。
解题技巧
1. 选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”图形，面积分割清晰。
2. 代数化简：将面积等式展开后，两边消去相同项，保留平方项即得勾股定理。
例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， ， ，垂足分
别为 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，连接 ， ，利用不同方法计算四边形 的面积，证明勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等积法证明勾股定理是解题的关键：
（1）证明 ，得到 ， ，再根据线段的和差关系即可得证；
（2）根据 和 两种方法，即可得证．
【详解】（1）证明： ， ，
．
在 中， ．
，
．
在 和 中，
．
， ．
，
．
（2）解： ，
， ， ．
，
，
，
即 ．
【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）第14届数学教育大会 会标如图1所示，会标
中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．
(1)请用图2验证勾股定理： ；
(2)如果满足等式 的 是三个正整数，我们称 为勾股数．已知 是正整数且 ．
证明 是勾股数；
(3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是
勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各
边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，
不必说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)140
【分析】本题考查了勾股定理，勾股数、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
（ ）用两种方法求正方形面积即可求证；
（ ）分别求出 ， ， ，则有
，从而求证；
（ ）由 是正整数且 ，则要使勾股数最小则有 ， ，得出最小勾股数为 ， ， ，又
最短的边长为 米，则直角三角形三边为 米， 米， 米，所以这块菜园最少种植青菜
（棵），从而求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积为 ，或
，
∴ ；
（2）∵ 是正整数且 ，
∴ 均为正整数
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， 是勾股数；
（3）∵ 是正整数且 ，
∴要使勾股数最小则有 ， ，
∴最小勾股数为 ， ， ，
∵最短的边长为 米，
∴直角三角形三边为 米， 米， 米，
则这块菜园最少种植青菜 （棵），
答：这块菜园最少需要种植 棵青菜．
【变式2-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直
角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则
．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点 ， ，由于某种原
因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 在同一
条直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米？
(3)已知 中， ， ， 为 边上的高，且 ，请直接写出 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)新路 比原路 少 千米
(3)24或84
【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键．
（1）根据梯形的面积的表示方法计算即可；
（2）设 千米，则 ，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：梯形的面积为 ，梯形面积也等于 ，
∴ ，
∴ ，
∵左边： ，
∴ ；
（2）解：∵ ， 千米， 千米， ，
∴设 千米，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，∴新路 比原路 少 千米；
（3）解：如图所示，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
如图所示， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的面积为24或84．
【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早
已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国
家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜．【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边
分别为a、b，斜边为 ）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积 个小
三角形面积+小正方形面积，从而得到等式 ，化简证得勾股定理 ．
【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题：
（1）如图1，若 ，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________．
（2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果 ，那么空白部分的面积等于
__________．
（3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为 ，
求该风车状图案的面积．
【迁移运用】如图4，用三张含 角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验
证过程，发现含 角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？
（4）请直接写出此等量关系式：__________．
（知识补充：如图5，含 角的直角三角形，对边 ：斜边 定值 ．）
【答案】（1） ；（2）19；（3） ；（4）
【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题
的关键．
（1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；
（2）根据空白部分的面积为 小正方形的面积 两个三角形的面积，计算即可，
（3）可设 ，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据大正三角形面积 三个全等三角形面积 小正三角形面积，构建关系式即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ，
∴小正方形面积：大正方形面积 ，
故答案为： ；
（2）根据题意得
，
∵空白部分的面积为 小正方形的面积 两个三角形的面积，
∴空白部分的面积 ．
故答案为：19；
（3）如图，
，
根据题意得
， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴该风车状图案的面积 ；
（4） ．
理由：设大正三角形的高为 ，中心小正三角形的高为 ，三个全等三角形的边a上的高为 ．由图可知大正三角形面积 三个全等三角形面积 小正三角形面积，
，
大等边三角形的面积 ，
，
小等边三角形的面积 ，
，
，
三个这样的三角形面积之和为 ，
，
即 ，
∴ ．
类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积
方法总结
1. 勾股树构造：以直角三角形三边为边长向外作正方形，重复此过程形成“树”状图形。
2. 面积递推：每个直角三角形所生三个正方形面积满足S = S + S ，各层面积之和有递推规律。
大 中 小
解题技巧
1. 找基本单元：识别图形中的直角三角形及其三边上的正方形，面积关系即勾股定理。
2. 分层求和：逐层计算各正方形面积，利用等比或等差规律求总面积。
例3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图， 中， ，分别以这个三角形的三条边为
边长向外作正方形，面积分别记为 ，若 ，则阴影部分的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查了利用勾股定理求图形面积，利用勾股定理将正方形面积的关系转化为线段长度的关系，
进而求出阴影部分的面积．
【详解】解：在 中， ，
根据勾股定理，得 ．
∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
观察图形，阴影部分面积等于 ．
故答案为： ．
【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆．
若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由图可设半圆 、半圆 、半圆的面积分别为 ，由勾股定理可得 ，则有 ，然后根据割补法可进行
求解．
【详解】解：由图可设半圆 、半圆 、半圆 的面积分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ；
故答案为15．
【变式3-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ．
【答案】72
【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有
， ， ，等量代换即可求六个小正方形
的面积之和．
【详解】解：根据勾股定理知： ， ， ，
∴ ．故答案为： ．
【变式3-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，分别以 为
边向外作正方形 、正方形 、正方形 ，其面积分别为 ，则 之间的等
量关系为 ；分别以 为边向外作正方形，其面积分别为 ，则
之间的等量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
利用勾股定理可得 ；过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，延
长 交 于点 ，延长 交 于点 ，证明 ，即可用 表示出
，即可解答．
【详解】解：设 中， ，则 ，
根据题意可得 ，
，
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，延
长 交 于点 ，根据题意可得 ，即 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得 ，即 ，
同理可得 ，
， ，
，
根据勾股定理可得 ，即 ，
根据勾股定理可得 ， 即 ，，
故答案为： ； ．
类型四、利用割补法求不规则图形的面积
方法总结
1. 分割法：将不规则图形分割成若干个规则图形（三角形、矩形、梯形等），分别求面积后相加。
2. 补形法：将不规则图形补成一个规则图形，减去补上的部分面积即得原图形面积。
解题技巧
1. 选择最优法：根据图形特点，选择分割或补形中计算量较小的方法。
2. 坐标辅助：在网格或坐标系中，利用顶点坐标计算各规则图形的面积。
例4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）问题背景：在 中， 三边的长分别为 、
、 ，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的
边长为1），再在网格中画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样
不需求 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1) 的面积=______； 边上的高=______．
(2)在图2中画 ， 三边的长分别为 、 、
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．
【答案】(1) ，
(2)画图见解析；① 是直角三角形，理由见解析；②
【分析】本题考查勾股定理的应用和勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
（1）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到 的面积，根据等积法即可求得 边上
的高；（2）①根据题意即可画出图形，勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形；②利用长方形的面积减去
三个直角三角形的面积进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
设 边上的高为h，
则 ，
∵
∴
故答案为： ，
（2）解：①画图如下： 即为所求；
由图可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
② ．
【变式4-1】（25-26八年级上·重庆·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的
公式，即三角形的三边长分别为 ， ， ，则其中三角形的面积 .此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设 ，那么其三角形的面积
，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．
(1)如图 ，若 的三边长依次为 ， ， ．请利用以上公式（任选一个），
求该三角形的面积 ；
(2)如图 ，在四边形 中， ， ， ， ， ，求该四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算．
（1）利用题干给出的海伦公式即可求解；
（2）连接 ，先利用勾股定理求出 ，再结合题干的海伦公式计算即可作答．
【详解】（1）解：选择海伦提出的公式，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
即： ，
∴该四边形的面积 ．
【变式4-2】（24-25八年级上·广东惠州·月考）【问题背景】在 中， ， ， 三边的边长分
别为 ， ， ，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小
正方形的边长为 ），再在网格中画出格点 ，如图 所示．这样不需求 的高，借助网格就能计
算三角形的面积．
(1)直接写出 的面积， ．
(2)【思维拓展】若 三边的长分别为 ， ， ，请利用图 的正方形网格中画出
（每个小正方形的边长为 ），并直接写出 的面积， ．(3)【探索创新】若 的三边长分别为 ， ， （ ， ，且
），请直接写出 的面积， ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据割补法求解即可；
（2）根据 三边的长分别为 ， ， ，可得
画出图形即可，然后根据割补法求面积即可；
（3）根据题意可得 ，求解即可．
【详解】（1）解： ，故答案为： ；
（2）∵ ，
∴如图： 即为所作：
，
故答案为： ；
（3）根据题意可得：
，
故答案为： ．
【变式4-3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）综合与实践：
材料（一）小明遇到一个问题：在 中， ， ， 三边的长分别为 、 、 ，求
的面积．小明是这样解决问题的：如图 所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 ），
在网格中画出格点 （即 三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出
的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形
的边长为 ）(1)小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______
(2)图2是一个 的正方形网格．利用构图法在图 中画出格点 ，使 ， ，
；直接写出 的面积______
(3)如图 ，已知 ，以 ， 为边向外作正方形 ，正方形 ，连接 ， 与
面积之间的关系为______；
(4)请利用以上的解题方法求出图 中六边形花坛 的面积（正方形 面积为 ；正方形
面积为 ，正方形 面积为 ）为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查全等三角形的判定方法及勾股定理与网格问题，熟练掌握网格特征及勾股定理是解题关键．
（1）根据三边长一定，利用 可证明三角形都全等即可得答案；
（2）把 、 、 表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理在网格中画出图形，用三角形所在
长方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出 的面积；
（3）利用网格分别求出两个三角形的面积，比较即可得答案；
（4）把 、 、 表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理，把图 中六边形花坛 在
边长为 的网格中画出，利用网格特征求出四个三角形的面积，再求四个三角形与三个正方形的面积和即
可得答案．
【详解】（1）解：∵ ， ， 三边的长分别为 、 、 ，三边长一定，
∴根据 ，无论怎样画，这样的三角形都与 全等，
∴这样的三角形形状大小都是一样的．
故答案为：
（2）解：如图所示：
由勾股定理可知， ， ，
∴ ．
故答案为：
（3）解：由图 可知：
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：
（4）解：∵正方形 面积为 ；正方形 面积为 ，正方形 面积为9，∴ ， ， ，
∴把图 中六边形花坛 在边长为 的网格中画出，如图所示：
∴ ，
，
，
，
∴六边形花坛 的面积 ．
故答案为：
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（
）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A【分析】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解．
根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为 和 ，
∴斜边长为 .
设斜边上的高为 ，
∵面积相等，即 ，
解得 ，
故选A．
2．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含有 角的三角板 和 按如图所示的方式
放置．已知 ，则四边形 的面积为（ ）
A．24 B． C．48 D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关
键．
通过两个三角板是含有 角的三角板可得到 ， ， ， ，
然后通过勾股定理求出 ，四边形 的面积等于 和 的面积之和，最后根据三
角形的面积公式得到答案．
【详解】解： 含有 角的三角板 和 ， ，
， ， ， ，
设 ，由勾股定理可得： ，即 ，
解得： 或 （舍去），
，
四边形 的面积
，
故选：A．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， ， ， 三点均在
正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．点 到直线 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求
边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键．
先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最
后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项．
【详解】解：∵ ， ， ，
，
，故A，B选项的结论正确，不符合题意；
，故C选项的结论错误，符合题意；设点 到直线 的距离是 ，则 ，
，故D选项的结论正确，不符合题意．
故选：C．
4．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数
思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾
股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾
股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点
并能运用其来求解．
利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故A不符合；
，
所以 ，
即 ，故B不符合；
，
所以 ，
即 ，
故C不符合；
图D不能推导出勾股定理，
故D符合，
故选：D．
5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，连接 ，交 于
点P．如图所示，若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．24
【答案】B
【分析】首先证明出 ，得到 ，然后证明出 ，得到
， ，推出 ，得到 ，然后由 得
到 ，相加求出 ，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，设 ， 交于点M∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴∴ 得，
∴
∴正方形 的面积 ．
故选：B．
二、填空题
6．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形 的面积为
．
【答案】8
【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是
解题的关键．
设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，根据题意，运用勾股定理可得
，正方形 的面积是正方形 的面积和，正方形 的面积是正方形 的面积和，正方形
的面积是正方形 的面积和，由此即可求解．
【详解】解：如图，设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
根据题意可得， ， ，
∴ ，
∴正方形 的面积为3，即正方形 的面积是正方形 的面积和，同理，正方形 的面积是正方形 的面积和，即正方形 的面积为 ，
∴同理可得，正方形 的面积为 ，
故答案为：8．
7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直
线 的距离为 ．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小
正方形的边长为1，利用勾股定理求出 ，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形 面积，
利用面积法求出 边上的高即可．
【详解】解：如图，作 ，
由勾股定理得 ，
∵ ，
，
解得： ．
故答案为： ．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地 ，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量 ， ， ， ， ，则空地
的面积为 ．
【答案】114
【分析】连接对角线 分割成两个直角三角形．先在 中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾
股定理的逆定理判断 是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面
积．
【详解】解：如图，连接 ．在 中， ，
．
， ， ，
．
为直角三角形，且 ．
．
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，在 中， ，以 ， ， 向外作正方形，
面积依次分别记为 ， ， ，若阴影部分面积为 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积；由勾股定理结合正方形的面积可知，
，结合已知可推出 ，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可．
【详解】解：∵在 中， ，
由勾股定理得， ,
结合正方形的面积可知 ，即 ，
又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以 为边的正方形等底等高，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ， ，
是 的平分线，若P、Q分别是 和 的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，解含有 的直角三角形，勾股定理的应用，解决本题的关键是添
加辅助线构造直角三角形．
先根据垂线段最短可得 是点C到直线 的最短距离，再根据特殊角可得 ， ，再根
据 的长度，即可求解 的长度，由此可解．
【详解】解：如图，作 ，垂足为E，交 于P点，过P点作 ，垂足为Q，如图．∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是点C到直线 的最短距离，
∴ 就是 的最小值，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在四边形 中，
，求四边形 的面积．【答案】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．
连接 ，根据勾股定理的逆定理判断出 为直角三角形，且 ，然后利用三角形的面积
求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
在 中， ，
，则 ．
，
．
为直角三角形，且 ．
．
12．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架 ，
，两轮中心的距离 ．
(1)判断支架 ， 是否垂直；
(2)求点C到 的距离
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可；
（2）过C作 于D，利用等面积法进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
理由：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
（2）解：如图，过C作 于D，
∵ ，
∴ ，解得 ，
即点C到 的距离为 ．
13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛
而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图
1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾
股树”．解决问题：(1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若
正方形的 面积分别是6，10，3，6，则正方形 的面积是_____，正方形 的边长是_______；
(2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接 ， ．
①求证：
②若正方形 ，正方形 的面积分别为16，9，请直接写出 的长为______．
【答案】(1)16，5
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是
解这道题的关键．
（1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较
大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题；
（2）①证 和 全等，即可得出结论；
②根据正方形 ，正方形 的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理
求出 的长度，根据 ，即可得出结果．
【详解】（1）解：根据勾股定理，得 ，
正方形E的面积是16，
同理可得 ，
，
正方形G的边长为5．
故答案为：16，5．
（2）①证明：∵正方形 和正方形 ，
， ，
，
在 和 中，，
．
②解： 正方形 ，正方形 的面积分别为16，9，
， ， ，
．
由①可知： ．
14．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．
(1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足 的有________个；
(2)如图3，在 中， ，分别以 、 、 为边向外作等边三角形 、 、
．记 的边长为 、面积为 ， 的边长为 、面积为 ， 的边长为 、面积为 ．
请证明图3中 、 、 之间的数量关系；
(3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注
解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴
影部分的面积为 ，空白部分的面积为 ，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若 ，请直
接写出 ________．【答案】(1)3
(2) ，证明见详解
(3)
【分析】本题主要考查勾股定理的证明、一元二次方程与几何图形，理解题意求得 、 是解题的关键．
（1）根据题意设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，分别表示出正方形、半圆、等边
三角形的面积，结合勾股定理得出的 ，判断 正误即可；
（2）根据（1）的过程即可证明等边三角形 、 、 之间的数量关系；
（3）根据题意设出 ， ， ，将阴影部分的面积和空白面积利用m，n，a表示出
来得到一个一元二次方程，再根据 推断出m与a之间的关系，得到 进而将 看为
一个整体进行求解即可．
【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，
在图1中， ， ， ，
∵直角三角形中， ，
∴ ；
在图2中， ， ， ，
∵直角三角形中， ，
∴ ；
在图3中， ， ， ，
∵直角三角形中， ，∴ ；
∴满足 的有3个，
故答案为：3；
（2）证明：∵ 的边长为 、面积为 ，
∴ ，
∵ 的边长为 、面积为 ，
∴ ，
∵ 的边长为 、面积为 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（3）解：如图，由题意得： ， ， 是直角三角形， ，且 ， 为正数，
∴大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
设 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，即 ，解得： （负值已舍去），
将 代入 ，得： ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得： （负值已舍去），
∴ ，
故答案为： ．
15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为
“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如
图1所示的形状，使点 、 、 在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
【问题解决】
（1）如图1， ， ，直角边分别为 ， ，斜边为 ，证明勾股定理
．
（2）如图2， ， ， ， ， ，求阴影部分的面积．
【知识应用】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，该村为方便村民取水，
决定在河边新建一个取水点 （ ， ， 在同一条直线上 ，并新修一条路 ，使 ，现测得
千米， 千米， 千米，则新修路 的长为______千米．【答案】（1）见解析；（2）24；（3）1.2
【分析】本题考查了勾股定理的验证，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，解决本题的
关键是熟练掌握勾股定理解三角形的公式的应用．
（1）根据三角形全等以及 可得 ，再由三角形面积公式可分别求解出 、
与 的面积，再由梯形面积公式求解出梯形 的面积，由此可表示．
（2）根据勾股定理可求解 的长度，再由勾股定理逆定理可得 为90度，分别计算 与
的面积即可求解阴影面积．
（3）设 ，结合两个直角三角形由勾股定理列式求解x的值，再代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
梯形 的面积为 ，
∴ ，即 ．
（2）解：∵ ， ， ，
由勾股定理可得 ，
∵ ， ，
满足 ，即 ，
∴阴影部分的面积为 ．
（3）解：设 千米，则 千米，
∵ ，即 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，即 ，整理可得 ，
解得 ，
∴ 千米，
∴ （千米），
则新修路 的长为1.2千米．
故答案为：1.2．
