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专题 02 利用勾股定理求最短路径问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、圆柱中的最短路径模型...................................................................................................................1
题型二、长方体中的最短路径模型...............................................................................................................6
题型三、阶梯中的最短路径模型.................................................................................................................10
题型四、将军饮马与最短路径模型.............................................................................................................15
B综合攻坚・能力跃升
题型一、圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，圆柱高为 ，底面周长为 ，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从
点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是 cm．
【答案】13
【分析】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题的关键是画出圆柱的侧面展开图，利用勾
股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据两点之间，线段最短，可得 就是蚂蚁爬行的最短路线．
由题可得： ，
由勾股定理得： ，
故答案为：13．
2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时间而变形，
中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为 ，已知 ， ，一只蚂蚁从 点爬
到 点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（ 取 ）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用 最短路径问题，将中间半圆展开，连接 ，则线段 的长度即为
蚂蚁爬行的最短路程，先求出 的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题
的关键．
【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接 ，则线段 的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴它至少要走 的路程，
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点
是圆柱下底面外壁的一点，点 是上底面外壁与点 相对的一点，在点 正下方的水面紧贴内壁 处有一
食物．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若圆柱高为 ，底面半径为 ，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入
木棒的最大长度．
(2)若圆柱高为 ，底面周长为 ，水深 ，一只蚂蚁在点 处．
①蚂蚁从点 处沿圆柱侧面外壁爬行到点 处，则爬行的最短路程________ ．
②蚂蚁从点 处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________ ．
【答案】(1)
(2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为
【分析】本题主要考查了平面展开 最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意
画出示意图是解题的关键．
（1）利用勾股定理进行计算即可；
（2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可；
②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可．
【详解】（1）解：由题知，
因为底面直径为 ，圆柱的高为 ，
所以容器内能放入木棒的最大长度为： ；
（2）解：①如图所示，
．
因为 ，
所以 ．
故答案为：15；
②如图所示，
，
所以 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司在 △ 中，
，
所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 ．
故答案为：20．
4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上
下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，
该平台的长度约为 ．若油罐高约 ，油罐底面圆直径约为 ，且顶处的扶手位置处于底面扶手正
对面上．
(1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为 ，求旋梯的扶手长度 的最小值．
(2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的 最小值．（本题（1）（2）中 ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）由题意得，将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 ，
即 最小，进而通过勾股定理即可求解；
（2）由题意得，将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 ，
即 最小，进而通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下，
将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 最小，如下图，
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学科网（北京）股份有限公司∵油罐底面圆直径约为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴旋梯的扶手长度
；
（2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下，
将平台 平移至 线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度 最小，如下图，
∵油罐底面圆直径约为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴旋梯的扶手长度
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学科网（北京）股份有限公司．
题型二、长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理
进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
5．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，点 在
边 上， ．若一只蚂蚁从 点开始经过 个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行的最短路径长
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即
可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将长方体展开，连接 ，
∵长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
根据两点之间线段最短， ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3， ， 为长方体的两
个顶点．
(1)求点 到点 之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点 爬到点 ，求爬行的最短路程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）如图1，标记顶点 ， ，连接 ， ，根据勾股定理先算出 的长，再利用勾股定理计算出
的长即可．
（2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面
与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出 的长进行比较即可．
【详解】（1）解：如图1，标记顶点 ， ，连接 ， ．
在 中， ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
即点 到点 的距离为 ．
（2）将长方体中含有 ， 两点的平面展开成平面图．
如图2所示， ，
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学科网（北京）股份有限公司如图3所示， ，
如图4所示， ，
因为 ，
所以一只蚂蚁从长方体表面的点 爬到点 ，爬行的最短路程为 ．
7．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定 两点的位
置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________ ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径 为 ，点A处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（ 取3）
【答案】（1） ，（2）26 （3） （4）
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之
间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边
的长度，进而构建直角三角形求解．
【详解】解：（1）展开后 、 、C构成直角三角形，两直角边分别为 和 ．
根据勾股定理，最短路径为：
（2）底面是正方形，周长为 ，垂直方向为直四棱柱的高 ，绕一周高为 ，
根据勾股定理， ，
绕两周彩条最短长度为： ；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为 ，绕一周垂直长度为 ；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
（4）底面是半圆长加一个半径， ，高为6 ，
根据勾股定理，爬行最短长度为 ．
8．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践
【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望
小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄．
【包装准备】
如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为 ；第二种长
方体纸箱，尺寸规格为 ，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为 ，并且扣手到
所在面相对两条边的距离相等．
【问题解决】
(1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______ ．
(2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳
子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键．
（1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案．
（2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：分三种展开方式求解：
①前与右： ；
②左与后： ；
③前与下： ；
∵ ，
∴胶带的最短长度为： ，
故答案为： ．
（2）如图所示为长度最短的部分展开图：
如图，连接 ， ，易得 ．
由题可得 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
所以，这根绳子的最短长度为 ．
题型三、阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：
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学科网（北京）股份有限公司注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
9．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一只小蚂蚁在墙面 上的点P处，若 米，
米，点P到 的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是 米（墙面与地面 垂
直）
【答案】
【分析】本题主要考查平面展开--最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短
距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．将墙面 与地面 展
开，连接 ，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将墙面 与地面 展开到同一平面，过 作 于 ，连接 ，
此时 的长为这只蚂蚁从点 爬到点 的最短行程，
∵ 米， 米，点 到 的距离是3米，
米，
（米），
（米），
（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是 米．
故答案为： 米．
10．（25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高 ，宽 ，长 ．一只蚂蚁从点 爬到点
，最短路程是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】130
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键．
将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可；
【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形，
∵台阶阶梯每一层高 ，宽 ，长 ，
∴ ， ，
∴在 中， ．
故答案为：130．
11．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
， ， ， 和 是这个三级台阶两个相对的端点，若 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的
食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到 点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接 ，经过计算得到
长度即为最短路程，则 ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点 出发
沿着玻璃杯的侧面到与点 相对的点 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程
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学科网（北京）股份有限公司是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为
．
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ， 点与对称点 的连线，即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为 ，宽为 ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程为 ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到 点的最短路程是 ．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得： ， ，
，
该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ，
连接 ， 即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程为 ．
12．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个
三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 和 是一个三级台阶上两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬
到 点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为 ，宽为
的长方形，连接 ，经过计算得到 的长度为____________，就是最短路程．
【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为 ，圆柱高为 ，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，
从点 爬到点 ，再从点 爬回点 ，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________．
【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点
处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到
内壁 处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2） ；（3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想
解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得： ，
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ；
（2）将圆柱体展开，如图，
由题意得 ，
，
故这只蚂蚁爬行的最短路程为 ．
故答案为： ；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
， ，
，此时蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短，最短路程为 的长，
，
∴ ，
，
∴蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 ．
题型四、将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
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学科网（北京）股份有限公司注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
13．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，小区 与公路 的距离 ，小区 与公路 的距离
．已知 ，现要在公路旁建造一家利民超市 ，使超市 到 ， 两小区的路程之和
最短．
(1)请在图中画出点 ，并写出画法．
(2)求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，即可得到结果；
（2）由对称性得 的最小值为线段 的长，过点 作 ，交 的延长线于点 ，在
中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ， 即为所求的点．
（2）解：由对称性，得 的最小值为线段 的长．
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
在 中， ，
，
，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，勾股定理，确定出 的位置是解决本题的关键．
14．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题
【几何模型】（1）如图①， 、 是直线 同侧的两个定点，问题：在直线 上找一点 ，使 值最
小．
方法：如图②，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 点，则 为所求作的点．试说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【模型应用】（2）如图③，若 、 两点在直线 同侧，分别过点 、 作 ， ， 为
线段 上一动点，连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．请问点 满足什么条件
时， 的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）当点 关于 的对称点与点 共线时， 的值最小，最小值为 ；
（3）
【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质
求解．
（1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解；
（2）作点 关于 的对称点 ，过点 作 延长线的垂线，垂足为点 ，连接 ，则
，那么 ，故当点 三点共线时， 的值最小，
最小值为 ，再由勾股定理求解即可；
（3）将代数式 的值转化为点 到点 和点 的距离之和，设 ，
， ，过点 作 轴的对称点 ，连接 与 轴交点即为点 ，此时最小值即为 ，
再由两点之间距离公式求解即可．
【详解】解：（1）由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴当点 三点共线时， 的值最小，点 为 为直线 的交点；
（2）作点 关于 的对称点 ，过点 作 延长线的垂线，垂足为点 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 三点共线时， 的值最小，最小值为
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴最小值为 ；
（3）解：∵ ，
∴代数式 的值表示点 到点 和点 的距离之和，
设 ， ， ，如图，过点 作 轴的对称点 ，连接 与 轴交点即为点 ，
此时最小值即为 ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ．
15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，
是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和 ，
并使直角边 和 在同一直线上（图 ），向右平移直角 使点 和 重合（图 ），这时
， ， ，问题就变成“点 在线段 的何处时， 最短？”根据两
点间线段最短，得到线段 就是它们的最小值．
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学科网（北京）股份有限公司（1）代数式 的最小值为______；
（2）变式训练：求代数式 的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数 满足 ，则 ______．
（4） 的最大值是______；
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） （ ） ．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（ ）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（ ）以 和 对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可；
（ ）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可．
【详解】解：（ ）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
设 ， ，点 在 的上方，且 ， ，点 在 的下方，且 ，
，
则 ， ，
∴ 表示 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长， 即代数式 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司（ ）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
设 ， ，点 在 的上方，且 ， ，点 在 的下方，且 ， ，
则 ， ，
∴ 表示 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长， 即代数式 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ；
（ ）如图，构造 ， 于点 ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程的解是 ，
故答案为： ；
（ ）构造 ， ， ， ， ， ， ，如图所示，
过点 作 ，交 延长线于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
∴代数式 表示 ，
∵ ，
∴ 的最大值为 的长， 即代数式 的最大值为 的长，
在 中,由勾股定理得： ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
16．（25-26八年级上·全国·假期作业）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，
人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个
新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，
， ．请用a、b、c分别表示出梯形 、四边形 、 的面积，再
探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
，
，
，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米（直
接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站P，使
得 ，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出 的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值
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学科网（北京）股份有限公司【答案】小试牛刀： ； ； ； ；
知识运用：（1）41；
（2） 千米；
知识迁移：20．
【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接 ，过点 作 的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得
．
（2）作 的垂直平分线，交 于点 ，分别在 和 中用勾股定理表示出 与 联立
方程求解即可．
知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可．
【详解】解：小试牛刀：
，
，
，
则它们满足的关系式为： ．
知识运用：
（1）如图2①，连接 ，作 于点E，
，
，
，
由勾股定理得到：
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学科网（北京）股份有限公司（千米）
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于点 ，
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
即 千米．
知识迁移：
如图3， 作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，
过 作 ，
根据对称性： ，
设 ，则 ，由勾股定理得，
，
．
∴代数式 的最小值为：
．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台
阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ）
A． 分米 B． 分米 C．16分米 D．20分米
【答案】D
【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出 的长即可得出结论．
本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的
关键．
【详解】解：如图所示
（分米）
答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米．
故选：D
2．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知 米， 米，该木块的较
长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块到达 处需要走的最短路程是
多少米？（ ）
A．15 B． C．13 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面展开 最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间
想象能力．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将木块展开， 即为所求，
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学科网（北京）股份有限公司则 （米 ， 米，
最短路径为： （米 ．
故选：D．
3．如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 的距离为 ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点
爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开
图是解题关键．
将长方体展开，连接 ，根据两点之间线段最短，即可求解．
【详解】解：将长方体展开，连接 ，
根据两点之间线段最短，共有 种情况：
①如图，
， ，
由勾股定理，得： ；
②如图，
， ，
由勾股定理，得： ；
③如图，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
由勾股定理，得： ；
，
蚂蚁需要爬行的最短距离是 ．
故选：B．
4．如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点 到顶点 沿六棱柱的侧面镶有一
圈金属丝，已知此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解
题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为 的长，
由勾股定理得， ，
这圈金属丝的长度至少为 ．
故选：A．
二、填空题
5．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条
“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路 比走路 ”少了
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学科网（北京）股份有限公司米．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
在 中，直接利用勾股定理得出 的长，再利用 进而得出答案．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁底部的点 处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的爬行最短路线
的长为 ．（杯壁厚度不计）
【答案】13
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于 的
对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即最短，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于 的对称点 ，
∴ 为矩形，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意得 ， ， ，
∴ ，
连接 ，则 即为最短距离，
．
故答案为：13．
7．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点 处，不计线头，
细线的最短长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“
”是解题的关键．把长方体沿边 剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把长方体沿边 剪开，连接 ，
根据题意： ， ，
在 中，由勾股定理得： .
故答案为： ．
8．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯
线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么
用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与最短路径的计算，理解题意，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
根据题意，将立体图形展开，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示， 米，
点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，
米，
∴ 米，
故答案为： ．
三、解答题
9．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部
的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部 的点 处，
则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少 ？
【答案】 ．
【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再
借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练
掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是
解题的关键．
【详解】解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的A处有一饭粒，此时一只蚂
蚁正好在容器外壁且距离容器上沿 的点 处，
底部周长的一半为 ， ，
将容器侧面展开，作A关于 的对称点 ，
连接 ，则 即为最短距离，
10．如图①，圆柱的底面直径为 ，高 ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点 爬到点 的最短路
径长多少厘米：
(1)图②是将圆柱侧面沿 裁剪后展开形成的四边形 ，点 在线段 上，求 的长（ 取
3）；
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度．
【答案】(1) ；
(2) ，图见解析
【分析】本题考查蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题，涉及圆柱侧面展开图、圆周长公式、两点之间线段
最短及勾股定理求线段长，根据问题，作出图形求解是解决问题的关键．
（1）根据 的长为圆柱底面圆的周长，利用圆周长公式代值求解即可得到答案；
（2）由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段 ，作出图形，再利用勾股定理求解即可得到最短路
径的长度．
【详解】（1）解：由圆柱的侧面展开图可知， 的长为圆柱底面圆的周长，
圆柱的底面直径为 ，
；
（2）解：如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司由两点之间线段最短即可得到最短路径为线段 ，
由（1）知 ，高 ，
，
在 中，由勾股定理可得 ．
11．如图，长方体的长 ，宽 ，高 ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点
出发到点 处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁乙的行走路径为翻
过棱 后到达点 处（即 ），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱 后到达点 处（即
）．
(1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？
(2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？
【答案】(1) ， ，
(2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达
【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论；
（2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径 ， ， 的大小，即可得出结论．
【详解】（1）解：将长方体表面展开，
如图 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
，
如图 ，连接 ，
在 中， ，
，
如图 ，连接 ，
在 中， ，
，
甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是 ， ， ；
（2）解： ，即 ，
，
又 三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点 出发，
行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达，
即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．
12．如图，观察图形解答下面的问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)此图形的名称为_______；
(2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是
一个_______；
(3)如果点 是 的中点，在 处有一只蜗牛，在 处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的
侧面爬行一周到 处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4) 的长为10，侧面展开图的圆心角为 ，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
【答案】(1)圆锥
(2)扇形
(3)见解析
(4)125
【分析】本题考查勾股定理应用、圆锥的侧面展开图，“化曲面为平面”等知识，解题的关键是理解扇形
的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（1）根据几何体的特点可判断此图形为圆锥；
（2）圆锥的侧面展开图是扇形；
（3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果；
（4）直接用勾股定理解直角三角形即可．
【详解】（1）解：此图形的名称为圆锥;
故答案为：圆锥；
（2）动手操作略．它的侧面展开图是一个扇形；
故答案为：扇形；
（3）把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连接 ，则 为蜗牛爬行的最短路线．
（4）由题易知 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
故蜗牛爬行的最短路程的平方为125．
13．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的
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学科网（北京）股份有限公司金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为 的无盖长方体木箱（如图3，
）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)
(3)最短为 ，方案见解析
【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为： ，
∴最短长度是 ；
（3）①把 展开，如图此时总路程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司②把 展开，如图
此时的总路程为 ；
③如图所示，把 展开，
此时的总路程为 ，
由于 ，所以第三种方案路程更短，最短路程为 ．
14．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
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学科网（北京）股份有限公司【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1） （2） （3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，
故答案为： ；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为： ；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
， ,
，
，
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 ．
15．【阅读材料】
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
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学科网（北京）股份有限公司【方法探究】
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点
之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置
如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处有一蜘蛛，与
蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走
的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】（1）34cm；（2） 秒．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握
运用勾股定理是解题关键．
（1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可；
（2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径 爬行，爬行捕
捉到昆虫甲需x秒．在 中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段 就是蜘蛛走的最短路线．
由题意可得在 中，
， ， ，
∴ ，
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
（2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径 爬行，爬行捕
捉到昆虫甲需x秒．
如图2，在 中，
∵长方体的棱长 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
解得 ．
答：昆虫乙至少需要 秒才能捕捉到昆虫甲．
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