文档内容
第 02 讲 勾股定理的应用
考点1：实际测量问题
考点2:几何折叠问题
考点3：立体图形最短路径问题
重点：
（1）建模能力培养：能将实际问题、几何图形问题转化为直角三角形模型，明确勾股定理
的适用条件。
（2）定理综合运用：熟练运用勾股定理进行边长计算，掌握勾股定理逆定理的判定方法。
（3）数学思想渗透：理解并运用转化思想（立体→平面、非直角→直角）和方程思想（折
叠问题设未知数）
难点：
（1）折叠问题的等量关系分析：帮助学生准确识别折叠前后的对应线段，建立未知与已知
的联系。
（2）立体图形的展开与路径讨论：让学生理解 “化立体为平面” 的本质，掌握长方体多
种展开方式的分类讨论方法。
（3）综合题的辅助线构造：引导学生总结 “作高” 这一转化技巧，突破非直角三角形的
解题障碍。
（4）数学思想的落地应用：避免思想流于形式，让学生在实际解题中主动使用转化、方程
思想解决问知识点：勾股定理的应用
应用类型 思路 解题步骤 典型案例
实际测量 构直角三角形，用 1. 建模标直角
（高度/距离） 勾股定理算边长 2. 统一单位代入公式 测旗杆高、河宽
几何折叠 折叠前后线段相 1.找等量线段
（矩形/正方形） 等，设未知数列方 2.构直角三角形 矩形折叠求线段长
程 3.勾股定理列方程
立体最短路径 化立体为平面，两 1. 展开立体表面
（圆柱/长方体） 点之间线段最短 2.确定两点构直角三角 蚂蚁爬圆柱/长方体
形
3.计算路径长
【题型1 求梯子滑落高度】
【典例1】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到
左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，
将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，求这两面直立墙壁之
间的安全通道的宽BE的长度．（单位：m）
【变式1】某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮
（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表：
课
定滑轮的物理实验
题
实 定滑轮、滑块B、木块C，绳子（没有弹性）
验
器
材
测 尺子
量
工
具
说明：滑块B、木块C均在直转道上，
它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮
测
A．图1为初始测量状态，图2为将木
量
块C竖直升高后的状态，此时滑块B向
示
左滑至点B′处．其中AC⊥BC．实验
意
图 过程中，绳子长度不变且始终保持绷
紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小
忽略不计．
测 BC=6dm，AC=8dm，CC′=7dm
量
数
据
(1)如图1，求绳子的总长度；
(2)如图2，求滑块B向左滑动的距离BB′．
【变式2】一架梯子长2.5米，靠在墙上，梯子底端离墙0.7米．
(1)求梯子顶端到地面的高度；
(2)若梯子顶端下滑0.4米，底端将水平滑动多少米？【变式3】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层
救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距
离OB=20m,∠AOB=90°，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置
上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若A A′=8m，求
BB′的长度．
【题型2 求旗杆高度】
【典例2】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动
风筝离地面垂直高度探究
课题
问题 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝．
背景某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离
BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风
筝的手到地面的距离为1.5米．
测量
数据
抽象
模型
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直
问题
高度．
产生
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少
米线？
问题
解决
⋯
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【变式1】10月25−26日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进
行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平
距离BD为24m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为25m；牵线放风筝的手到地
面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；(2)在余线仅剩6m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升11m，请问能否成功？
请说明理由．
【变式2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何
问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人
们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m
至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m，它的绳索始终拉直，
求绳索AC的长．
【变式3】如图①，AB为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗
杆的高度多1m，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）．
(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳AC笔直，如图②，此
时测量得出BC=5m，请按此方法求出旗绳AC的长度；
(2)第二小组的方法是利用2m高的标杆DE，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳AD笔直，且标杆DE垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆
和旗杆的水平距离的长度）．
【题型3 求小鸟飞行距离】
【典例3】如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高5m，旗杆高21m，
树与旗杆之间的水平距离为12m，则无人机飞行的最短距离为多少？
【变式1】如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，
其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越
向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
【变式2】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点
（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
【变式3】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米
（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小
鸟至少要飞行多少米？
【题型4 求大树折断前的高度】
【典例4】如图，线段CD表示一棵树，CD上的点B处有两只猴子，它们都要到A处的池
塘去喝水，其中一只猴子先从点B处沿线段BC爬到点C处，再从点C处沿线段CA爬
到点A处；另一只猴子先从点B处沿线段BD爬到点D处，再从点D处沿线段DA跳跃
至点A处，已知AC=2BC=10米，AC⊥DC，且两只猴子经过的路线长度相等，请
你求出这棵树的高度CD．【变式1】如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好
落在地上，求此处离树底部多远．
【变式2】如图，一棵32m高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点16m处，
科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点5m的D处竖起一架梯子AD，请问这
架梯子有多长？
【变式3】如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，
其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃
向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘
A的距离有多少米？【题型5 解决水杯中筷子问题】
【典例5】我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：
有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至
池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．
（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈=10尺，1米=3尺）
【变式1】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几
何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即∠ACB=90°，AC=5，DC=1，
BD=BA，求BC的长．【变式2】将一根长是22cm的细木棒DE置于内部底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水
杯中，设细木棒露在杯子外的部分CD的长为hcm，请探究h的取值范围．
【变式3】如图，一个直径为10cm（即BC=10cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间
点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm（即FG=1cm），当筷子GE倒向杯壁时
（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子GE的长度．
【题型6 解决航海问题】
【典例6】如图所示，一艘轮船以18km/h的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一
艘轮船同时以24 km/h的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？
【变式1】如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口1.5h后，
相距多远？
【变式2】如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长
为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置．
(1)求CD的长：
(2)求船向岸边移动了多少米？
【变式3】在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西55°
方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西35°方向上，港
口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船
的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔
的安全信号时间不低于0.6小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否
符合航行安全标准，并说明理由？
【题型7 求河宽】
【典例7】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作
为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告．
活动课
测量某水潭的宽度AB
题
测量工 测角仪、测距仪等
具
测量过 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均
程及示 无法到达，测量小组在与AB垂直的直线l上取点C（AC⊥AB于点A），用
意图 测距仪测得AC、BC的长测量数 AC=8米，BC=17米
据
…… ……
请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度AB．
【变式1】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地
点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．求该河的宽度BC的长．
【变式2】为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好
为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得AC长为10m，BC长为8m，求出
图中A、B两点之间的距离．
【变式3】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿
高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？
【题型8 求台阶上地毯长度】
【典例8】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全
盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C=90°，AC=3m，AB=5m．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．
（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【变式1】如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的
长度至少为（ ）
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
【变式2】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如
图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费 元．【变式3】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯
每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【题型9 判断汽车是否超速】
【典例9】如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，
与这条路平行的直线l上的点C处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速
检测仪C处正前方50m的B处，经过4s后，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速
检测仪间的距离AC为130m．
(1)求AB的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1m/s=3.6km/h）【变式1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽
车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，
过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
【变式2】行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/h，小明尝试用自己所学的
知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P到该路段l的距离（
OP的长）为40米，测得一辆汽车从A处匀速行驶到B处用时3秒，
∠APO=60°,∠BPO=45°．试通过计算判断此车是否超速？（❑√3≈1.7,❑√2≈1.4）【变式3】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速
检测仪A处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车
速检测仪间的距离为200米．
(1)求BC的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过
70千米/小时，这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：
1m/s=3.6km/h）
【题型10 判断是否受台风影响】
【典例10】海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在5∼11月，9月更是台风登陆
数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向
340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距
离AD为160km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点?
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时?
【变式1】台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为130km，即距离台风
中心为130km的区域都会受到台风的影响．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B
市的路线，A是大型农场，且AB⊥AC．若A，B之间相距150km，A，C之间相距
200km．判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成
极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，
已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，
AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若海港C受台风影响，且台风影响海港C持续的时间为7小时，台风中心移动的速
度多少千米/小时？（若海港C不受台风影响，则忽略此问）
【变式3】2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14
级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约250km
（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段
BC表示台风中心在深圳附近从C地向西北方向移动到B地的路径，A是深圳市某观测
点，且AB⊥AC．已知A、C之间相距300km，A、B之间相距400km．
(1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为20km/h，则观测点A受台风影响的时间有多长？
【题型11 选址使到两地距离相等】
【典例11】如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C，D处，已知
DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AB=2.2km，AD=1.7km，BC=0.5km．为了
更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路AB的边上建一个游客服务中心E，使
得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等．(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？
(2)求∠CED的度数．
【变式1】某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出
行．如图，C城到铁路AB的距离AC=20km，D城到铁路AB的距离DB=60km，
AB=100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建
火车站，求AE，BE的长．
【变式2】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村
庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，
BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问
煤栈应建在距A点多少千米处？【变式3】如图，九龙大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，
CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收
购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等．
(1)求E站应建在离A点多少km处？
(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？
【题型12 求最短路径】
【典例12】如图，若圆柱的底面周长是12cm，高是5cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一
圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（ ）A．5cm B．10cm C．13cm D．17cm
【变式1】如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D C 的中点M处，它到
1 1
BB 的中点N的最短路线是（ ）
1
A．8 B．2❑√5 C．2❑√10 D．4❑√2
【变式2】如图，一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距
离为（ ）cm
A．8 B．❑√10π C．❑√73 D．10
【变式3】如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为4cm，高为6cm．若一只
蚂蚁从该棱柱底面的顶点A处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的
最短距离为（ ）
A． B． C． D．
14cm 10cm (2❑√13+4)cm 2❑√13cm
【题型13 折叠问题】
【典例13】如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BF的长为（ ）
A．6cm B．7.5cm C．5cm D．4cm
【变式1】如图，△ABC中 ，AC=6，BC=8，AB=10，点D在BC边上，连接AD，
沿AD翻折，使点C落在AB边点E上，则DB=（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.2
【变式2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC
折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）cm
25 15 7 5
A． B． C． D．
4 4 4 3
【变式3】如图，在长方形ABCD中，E，F分别是BC，AB边上的点，将△BEF沿EF折
叠，点B的对应点G恰好落在AD边上．若AB=4，BE=5，则AF的长为（ ）
4 2 3
A．1 B． C． D．
3 3 21．如图，一旗杆在离地面3m处折断，旗杆顶部距底部4m，求旗杆原有多长（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面
的水平线，CE是竖直线，高度为4m，BC的长是8m，则BE的长是（ ）
8
A．4❑√3m B．8m C． ❑√3m D．4m
3
3．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟
从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么
梯子的底端将滑动（ ）A．4m B．6m C．8m D．10m
5．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高
出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶
部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年
级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的学生的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果该学生想让风筝沿CD方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？7．如图．在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，AC=9cm，现将直角
边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上、若折痕交BC于点D，点C落在点E处，
你能求出CD的长吗？请写出求解过程．
8．如图，一架梯子搭在墙上．已知梯子每两根横木之间的距离（包括一根横木的宽在内）
以及梯子下端到第一根横木的距离都是0.5m，梯子下端A到墙脚B的距离是3m．求
墙高．
9．在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：
如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为∠BAF时，
显示屏的顶部边缘点B离桌面的高度为BC，底板边缘点A和点C之间的距离AC为
24cm，已知电脑显示屏的宽AB为25cm．（显示屏与底板的厚度忽略不计）
(1)求此时显示屏的顶部边缘点B离桌面的高度BC；
(2)小亮将张角调整为∠DAF（D是点B的对应点），此时显示屏的顶部边缘点D离桌
面的高度为DE，底板边缘点A和点E之间的距离AE为15cm，当张角从∠BAF调整
为∠DAF时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？10．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测
得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
