文档内容
第 02 讲 勾股定理的应用
考点1：实际测量问题
考点2:几何折叠问题
考点3：立体图形最短路径问题
重点：
（1）建模能力培养：能将实际问题、几何图形问题转化为直角三角形模型，明确勾股定理
的适用条件。
（2）定理综合运用：熟练运用勾股定理进行边长计算，掌握勾股定理逆定理的判定方法。
（3）数学思想渗透：理解并运用转化思想（立体→平面、非直角→直角）和方程思想（折
叠问题设未知数）
难点：
（1）折叠问题的等量关系分析：帮助学生准确识别折叠前后的对应线段，建立未知与已知
的联系。
（2）立体图形的展开与路径讨论：让学生理解 “化立体为平面” 的本质，掌握长方体多
种展开方式的分类讨论方法。
（3）综合题的辅助线构造：引导学生总结 “作高” 这一转化技巧，突破非直角三角形的
解题障碍。
（4）数学思想的落地应用：避免思想流于形式，让学生在实际解题中主动使用转化、方程
思想解决问知识点：勾股定理的应用
应用类型 思路 解题步骤 典型案例
实际测量 构直角三角形，用 1. 建模标直角
（高度/距离） 勾股定理算边长 2. 统一单位代入公式 测旗杆高、河宽
几何折叠 折叠前后线段相 1.找等量线段
（矩形/正方形） 等，设未知数列方 2.构直角三角形 矩形折叠求线段长
程 3.勾股定理列方程
立体最短路径 化立体为平面，两 1. 展开立体表面
（圆柱/长方体） 点之间线段最短 2.确定两点构直角三角 蚂蚁爬圆柱/长方体
形
3.计算路径长
【题型1 求梯子滑落高度】
【典例1】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到
左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，
将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，求这两面直立墙壁之
间的安全通道的宽BE的长度．（单位：m）
【答案】BE=2.7m
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，
领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而
可得出结论．
【详解】解：由题意得AD=AC，∠AEB=∠ABC=90°，
∵ AE=0.7m，DE=2.4m，
∴ AC=AD=❑√AE2+DE2=❑√0.72+2.42=2.5m，
∵ BC=1.5m，∴ AB=❑√AC2−BC2=❑√2.52−1.52=2m，
∴ BE=AE+AB=0.7+2=2.7m，
即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE=2.7m．
【变式1】某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮
（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如
表：
课
定滑轮的物理实验
题
实 定滑轮、滑块B、木块C，绳子（没有弹性）
验
器
材
测 尺子
量
工
具
说明：滑块B、木块C均在直转道上，
它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮
测
A．图1为初始测量状态，图2为将木
量
块C竖直升高后的状态，此时滑块B向
示
左滑至点B′处．其中AC⊥BC．实验
意
图 过程中，绳子长度不变且始终保持绷
紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小
忽略不计．
测 BC=6dm，AC=8dm，CC′=7dm
量
数
据
(1)如图1，求绳子的总长度；
(2)如图2，求滑块B向左滑动的距离BB′．
【答案】(1)绳子的总长度为18dm；
(2)滑块B向左滑动的距离为9dm．
【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合AC=8dm，BC=6dm，∠ACB=90°，运用勾股定理列式计算，得AB=10，
此时AB+AC=10+8=18(dm)，即可作答．
（2）先运算AB′=10+7=17(dm)，再根据AB′2=AC2+B′C2，代入数值计算，即可
作答．【详解】（1）解：根据题意得AC=8dm，BC=6dm，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
即AB2=82+62，
解得AB=10．
∴AB+AC=10+8=18(dm)，
答：绳子的总长度为18dm；
（2）解：根据题意，得∠ACB′=90°，AC=8dm，CC′=7dm，
∴AB′=10+7=17(dm)，
在Rt△AB′C中，AB′2=AC2+B′C2，
即172=82+B′C2，
∴B′C=15，
∴BB′=B′C−BC=15−6=9(dm)
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
【变式2】一架梯子长2.5米，靠在墙上，梯子底端离墙0.7米．
(1)求梯子顶端到地面的高度；
(2)若梯子顶端下滑0.4米，底端将水平滑动多少米？
【答案】(1)2.4米
(2)0.8米
【分析】（1）设梯子顶端到地面的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可求解；
（2）设底端将水平滑动y米，根据勾股定理列出方程解答即可求解；
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为x米，
由勾股定理得，x2+0.72=2.52，
解得x=2.4，
答：梯子顶端到地面的高度为2.4米；
（2）解：设底端将水平滑动y米，
由题意得，(2.4−0.4) 2+(0.7+ y) 2=2.52，
解得y=0.8，
答：底端将水平滑动0.8米．
【变式3】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层
救援现场，如图，已知一架云梯AB长25m斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离OB=20m,∠AOB=90°，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置
上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若A A′=8m，求
BB′的长度．
【答案】4m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
在Rt△AOB中，根据勾股定理可得OA的长，从而得到OA′的长，然后在Rt△A′OB′
中，根据勾股定理可得OB′的长，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AB=A′B′=25m，
在Rt△AOB中，OB=20m,∠AOB=90°，
∴OA=❑√AB2−OB2=❑√252−202=15m，
∵A A′=8m，
∴OA′=OA−A A′=15−8=7m，
在Rt△A′OB′中，OB′=❑√A′B′2−OA′2=❑√252−72=24m，
∴BB′=OB′−OB=24−20=4m．
【题型2 求旗杆高度】
【典例2】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动
风筝离地面垂直高度探究
课题
问题 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝．
背景
测量 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离
数据 BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风
抽象 筝的手到地面的距离为1.5米．
模型经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直
问题
高度．
产生
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少
米线？
问题
解决
⋯
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为9.5米；（2）他应该再放出8米线
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解题意，运用勾股定理得出AC=8米，再把数值代入AD=AC+CD，即可
作答．
（2）先整理得出A′C=A′ A+AC=20（米），再把数值代入A′B2=A′C2+BC2，求
出A′B=25（米），故25−17=8（米），即可作答．
【详解】解：（1）由题意得：∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米，CD=1.5米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2−BC2，
∴AC=❑√172−152=8（米），
∴AD=AC+CD=8+1.5=9.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度为9.5米；
（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米时，
∴A′C=A′ A+AC=12+8=20
（米），在Rt△A′BC中， A′B2=A′C2+BC2，
∴A′B=❑√202+152=25（米），
∴25−17=8（米），
答：他应该再放出8米线．
【变式1】10月25−26日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进
行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平
距离BD为24m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为25m；牵线放风筝的手到地
面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在余线仅剩6m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升11m，请问能否成功？
请说明理由．
【答案】(1)8.5m
(2)能成功，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，由勾股定理得出CE的长可推出结果；
（2）假设能上升11m，如图，延长DC至点F，使CF=11m，连接AF，根据勾股定理
求出AF的长，可推出结论．
【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则AE=BD=24m,AB=CD=1.5m,∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
CE=❑√AC2−AE2=❑√252−242=7m，∴CD=CE+CD=7+1.5=8.5m；
（2）解：能成功，理由如下：
假设能上升11m，
如图，延长DC至点F，使CF=11m，连接AF，
∴EF=CE+CF=7+11=18m
，
在Rt△AEF中，AF=❑√AE2+EF2=❑√182+242=30m，
∵AC=25m，余线剩6m，
∴25+6=31>30，
∴能成功上升11m．
【变式2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何
问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人
们，更因为应用广泛而使人入迷．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m
至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m，它的绳索始终拉直，
求绳索AC的长．
5
【答案】绳索AC的长为 m
2
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设AC=xm，则AD=AB−DB=(x−1)m，在
Rt△ADC中，利用勾股定理列出方程，即可求解．【详解】解：由题意可得AC=AB，DE=CF=1.5m，CD=EF=2m，BE=0.5m，
∴BD=DE−BE=1.5−0.5=1m，
设AC=xm，则AD=AB−DB=(x−1)m，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=(x−1)m，AC=xm，CD=2m，
由勾股定理得AD2+DC2=AC2，
即(x−1) 2+22=x2，
5
解得x= ，
2
5
故绳索AC的长为 m．
2
【变式3】如图①，AB为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗
杆的高度多1m，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）．
(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳AC笔直，如图②，此
时测量得出BC=5m，请按此方法求出旗绳AC的长度；
(2)第二小组的方法是利用2m高的标杆DE，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动
标杆至旗绳AD笔直，且标杆DE垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆
和旗杆的水平距离的长度）．
【答案】(1)13m
(2)❑√69m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题．
（1）根据题意可知△ABC构成直角三角形，设AC=x,AB=x−1，根据勾股定理即可
求得AC的长度；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，于是构成矩形DEBF，在直角三角形ADF中利
用勾股定理即可求得DF的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度．
【详解】（1）设旗绳AC的长度为xm，则旗杆AB的长为(x−1)m，
∵AB⊥BC,∴∠ABC=90∘,
∴AB2+BC2=AC2
∴(x−1) 2+52=x2,
解得：x=13，即AC=13m．
答：旗绳AC的长度为13m．
（2）由题意可知：AB=12m,AD=AC=13m,DE=2m,
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DF=BE,FB=DE=2m，
∴AF=AB−FB=12−2=10(m),
∴DF=❑√AD2−AF2=❑√132−102=❑√69(m)
答：标杆与旗杆的水平距离为❑√69m．
【题型3 求小鸟飞行距离】
【典例3】如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高5m，旗杆高21m，
树与旗杆之间的水平距离为12m，则无人机飞行的最短距离为多少？
【答案】20m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作AE⊥CD于E，连接AC，由题意得：
DE=AB=5m，AE=BD=12m，∠AEC=90°，求出CE=16m，最后由勾股定理计
算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，作AE⊥CD于E，连接AC，由题意得：DE=AB=5m，AE=BD=12m，∠AEC=90°，
∴CE=CD−DE=21−5=16m，
∴AC=❑√AE2+CE2=❑√122+162=20m．
即：无人机飞行的最短距离为20m．
【变式1】如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，
其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越
向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
【答案】树高为9米．
【分析】由题意知AD+DB=BC+CA，设BD=x米，则AD=(18−x)米，且在
Rt△ACD中CD2+C A2=AD2，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：由题意知AD+DB=BC+CA，且CA=12米，BC=6米，
设BD=x米，则AD=(18−x)米，
在Rt△ACD中：CD2+C A2=AD2，
即(18−x) 2=(6+x) 2+122，
解得x=3，
故树高为CD=6+3=9米．
答：树高为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD+DB=BC+CA
的等量关系，并根据勾股定理CD2+C A2=AD2求解是解题的关键．
【变式2】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C
点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点
（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．【答案】17米
【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，
则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度．
【详解】解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225，
∴BC=15（米），
∵BD=AB−AD=20−12=8（米），
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=❑√DB2+BC2=❑√82+152=17，
∴此时小鸟到地面C点的距离17米．
答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的
关键．
【变式3】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米
（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小
鸟至少要飞行多少米？
【答案】小鸟至少飞行了10米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所
行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在Rt△AEB中，AB=❑√AE2+BE2=10（米），
答：小鸟至少飞行了10米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
【题型4 求大树折断前的高度】
【典例4】如图，线段CD表示一棵树，CD上的点B处有两只猴子，它们都要到A处的池
塘去喝水，其中一只猴子先从点B处沿线段BC爬到点C处，再从点C处沿线段CA爬
到点A处；另一只猴子先从点B处沿线段BD爬到点D处，再从点D处沿线段DA跳跃
至点A处，已知AC=2BC=10米，AC⊥DC，且两只猴子经过的路线长度相等，请
你求出这棵树的高度CD．
【答案】CD=7.5m
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设CD=xm，则
有BD=(x−5)m，AD=(20−x)m，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：∵AC=2BC=10m，
∴AC=10m,BC=5m，
∴AC+BC=15m=BD+AD，
设CD=xm，则有BD=(x−5)m，AD=15−BD=15−(x−5)=(20−x)m，
∵AC⊥DC，∴AC2+DC2=AD2，即102+x2=(20−x) 2，
解得：x=7.5；
即CD=7.5m．
【变式1】如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好
落在地上，求此处离树底部多远．
【答案】8m
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角
形模型，利用勾股定理计算边长．
先确定折断后形成的直角三角形的直角边（树高残留部分）和斜边（折断部分长度），
再用勾股定理求出另一条直角边（树顶端到树底部的距离）．
【详解】解：由题意，树高16m，离地面6m处折断，
则折断部分长度为16−6=10m，
设树顶端到树底部的距离为xm，
∵ 树残留部分与地面垂直，
∴ 由勾股定理得：62+x2=102，
即x2=102−62=100−36=64，
∴x=8（舍去负根）．
答：此处离树底部8m远．
【变式2】如图，一棵32m高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点16m处，
科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点5m的D处竖起一架梯子AD，请问这
架梯子有多长？
【答案】这架梯子的长为13m【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设AB的长为xm，则AC=(32−x)m，利
用勾股定理求出AB，再利用勾股定理即可求出AD．
【详解】解：设AB的长为xm，则AC=(32−x)m．
根据题意，得AB2+BC2=AC2，
即x2+162=(32−x) 2，
解得x=12．
AB的长为12m．
∴在Rt△ABD中，BD=5m，
由勾股定理，得AD=❑√AB2+DB2=❑√122+52=13(m)．
答：这架梯子的长为13m．
【变式3】如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，
其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃
向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘
A的距离有多少米？
【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题
中正确的找出BD+DA=BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．
已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关
系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
【详解】解：设BD为x米，且存在BD+DA=BC+CA，
即BD+DA=15，DA=15−x，
在直角△ACD中，AD为斜边，
则CD2+AC2=AD2，即(5+x) 2+102=(15−x) 2
解得x=2.5，
∴AD=15−x=12.5米，
CD=BC+BD=5米+2.5米=7.5米，
答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【题型5 解决水杯中筷子问题】
【典例5】我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：
有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至
池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．
（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈=10尺，1米=3尺）
【答案】水池深12尺，芦苇长13尺
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中
的直角三角形，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，根据勾股定理可得
x2+
(10) 2
=(x+1) 2 ，进而求解即可．
2
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由题意得：
x2+
(10) 2
=(x+1) 2 ，
2
解得：x=12，
∴芦苇的长度为x+1=1+12=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
【变式1】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几
何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即∠ACB=90°，AC=5，DC=1，
BD=BA，求BC的长．【答案】BC的长为12
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设BC=x，则BD=BA=(x+1)，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设BC=x，则BD=BA=(x+1)，
由题意，得(x+1) 2=52+x2，
解得x=12，即BC=12．
【变式2】将一根长是22cm的细木棒DE置于内部底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水
杯中，设细木棒露在杯子外的部分CD的长为hcm，请探究h的取值范围．
【答案】7cm0.6，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
【题型7 求河宽】
【典例7】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作
为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告．
活动课
测量某水潭的宽度AB
题
测量工 测角仪、测距仪等
具
测量过 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均
程及示 无法到达，测量小组在与AB垂直的直线l上取点C（AC⊥AB于点A），用测距仪测得AC、BC的长
意图
测量数 AC=8米，BC=17米
据
…… ……
请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度AB．
【答案】水潭的宽度AB为15米．
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵AC=8米，BC=17米，
∴AB=❑√BC2−AC2=15米，
∴水潭的宽度AB为15米．
【变式1】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地
点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．求该河的宽度BC的长．
【答案】75米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个
直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．设BC=x米，则
AC=(x+10)米，根据勾股定理得出(x+10) 2=402+x2，求出x=75即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：设BC=x米，则AC=(x+10)米，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AC2=AB2+BC2，即(x+10) 2=402+x2，
解得：x=75，
即BC=75米，
答．该河的宽度BC为75米．
【变式2】为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好
为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得AC长为10m，BC长为8m，求出
图中A、B两点之间的距离．
【答案】A、B两点之间的距离是6m．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点
（∠B=90°），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一
条直角边求另一条直角边）进行计算．
题目中△ABC是直角三角形且∠B=90°，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平
方和等于斜边的平方，即AB2+BC2=AC2．要求A、B两点间的距离即求AB的长度，
已知AC=10m，BC=8m，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出
AB的长度．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形且∠B=90°，
∴AB和BC为直角边，AC为斜边．
根据勾股定理可得：AB2+BC2=AC2．
∵AC=10m，BC=8m，将其代入上述公式，可得：
AB2+82=102
AB2=102−82=100−64=36
由于线段长度为正数，得：
AB=❑√36=6m故A、B两点之间的距离是6m．
【变式3】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿
高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度
为多少米？
【答案】2米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所
构成直角三角形是解题关键．
根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算
即可．
【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m,A'C=1.5m,AB=A'B，
所以BC即为河水深度，A′B=BC+0.5m，
∵A′C⊥AB，
∴△A′CB是直角三角形，
∴A′C2+BC2=A′B2，
∴1.52+BC2=(BC+0.5) 2，
解得：BC=2(m)，
答：河水的深度为2米．【题型8 求台阶上地毯长度】
【典例8】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全
盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C=90°，AC=3m，AB=5m．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．
（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【答案】(1)BC的长为4m；
(2)490元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，AC=3m，AB=5m，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√52−32=4(m)，
答：BC的长为4m；
（2）解：地毯长为：3+4=7(m)，
∴地毯的面积为2.8×7=19.6(m2)，
∵每平方米地毯25元，
∴需要花费25×19.6=490（元）；
答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶．
【变式1】如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的
长度至少为（ ）A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计
算是解决本题的关键.
先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的
和.
【详解】解：楼梯的水平宽度=❑√52−32=4，
∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，
∴地毯的长度至少为：3+4=7米，
故选D.
【变式2】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如
图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费 元．
【答案】6800
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用.
先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即
可得到答案．
【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为❑√132−52=12(m)，
∴购买地毯需花费(12×4+5×4)×100=68×100=6800（元），
故答案为：6800．
【变式3】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯
每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？【答案】1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角
△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯
每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得AB=❑√AC2−BC2=❑√132−52=12(m)，
则地毯总长为12+5=17(m)，
则地毯的总面积为17×2=34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×30=1020（元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
【题型9 判断汽车是否超速】
【典例9】如图，已知某高速公路限速100km/h，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，
与这条路平行的直线l上的点C处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速
检测仪C处正前方50m的B处，经过4s后，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速
检测仪间的距离AC为130m．
(1)求AB的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据1m/s=3.6km/h）
【答案】(1)120米
(2)大巴车超速了
【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键．
（1）由勾股定理求出线段AB长度即可得到答案；
（2）先计算出大巴车的速度，将速度化为km/h，与高速公路限速100km/h比较即
可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=50m，，则由勾股定理可得 ，
AC=130m AB=❑√AC2−BC2=❑√1302−502=120 (m)
∴AB的距离为120米；
（2）解：大巴车的速度为120÷4=30m/s，
则30m/s=30×3.6km/h=108km/h，
∵108km/h>100km/h，
∴大巴车超速了．
【变式1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽
车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方30m处，
过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
【答案】超速了，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理
得BC=❑√AB2−AC2=40m，再求出小汽车的速度为v=40÷2=20m/s，然后由
20m/s>19m/s，即可得出结论．
【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下：
如图，在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m，
根据勾股定理得：BC=❑√AB2−AC2=❑√502−302=40m，
∴小汽车的速度为v=40÷2=20m/s，
∵20m/s>19m/s，
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【变式2】行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/h，小明尝试用自己所学的
知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P到该路段l的距离（
OP的长）为40米，测得一辆汽车从A处匀速行驶到B处用时3秒，
∠APO=60°,∠BPO=45°．试通过计算判断此车是否超速？（❑√3≈1.7,❑√2≈1.4）【答案】未超速，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的
判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
先求出OB=OP=40，∠PAO=90°−∠APO=30°，则AP=2OP=80，可求出
AO=❑√AP2−OP2=40❑√3，继而求出AB=OA−OB=40❑√3−40≈28．可得此车
28
的速度为 m/s，即可解答．
3
【详解】解：在Rt△BPO中，OP=40,∠BPO=45°，
∴Rt△BPO是等腰直角三角形，
∴OB=OP=40，
在Rt△BPO中，∠APO=60°，
∴∠PAO=90°−∠APO=30°，
∴AP=2OP=80，
∴AO=❑√AP2−OP2=40❑√3，
AB=OA−OB=40❑√3−40≈28．
28
∴此车的速度为 m/s．
3
100 28 100
∵40km/h= m/s， < ，
9 3 9
∴此车未超速．
【变式3】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速
检测仪A处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车
速检测仪间的距离为200米．(1)求BC的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过
70千米/小时，这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：
1m/s=3.6km/h）
【答案】(1)160米
(2)超速了，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AC=120,AB=200，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√2002−1202=160，
答：BC的长为160米；
160
（2）解：小汽车的速度为：v= =20m/s=20×3.6km/h=72km/h，
8
∵72>70，
故小汽车超速了．
【题型10 判断是否受台风影响】
【典例10】海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在5∼11月，9月更是台风登陆
数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向
340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距
离AD为160km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点?
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时?
【答案】(1)15小时
(2)12小时
【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意，利用勾股定理，求出BD，计算即可求解；
（2）根据题意找到受台风影响的临界点E，F，在利用勾股定理求出DE、DF和EF
的长，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题可得，AB=340 km，AD=160 km，
在Rt△ABD中，BD=❑√AB2−AD2=❑√3402−1602=300（km），
300÷20=15（h），
则台风中心经过15小时从B点移到D点；
（2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响，
由题意得，AE=AF=200 km，
在Rt△ADE中，DE=❑√AE2−AD2=❑√2002−1602=120（km），
在Rt△ADF中，DF=❑√AF2−AD2=❑√2002−1602=120（km），
∴EF=240（km），
240÷20=12（h）
则A市受到台风影响的时间持续12小时．
【变式1】台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为130km，即距离台风中心为130km的区域都会受到台风的影响．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B
市的路线，A是大型农场，且AB⊥AC．若A，B之间相距150km，A，C之间相距
200km．判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
【答案】农场A会受到台风的影响，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线
段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键．
先利用勾股定理求出BC的长度，再通过三角形面积公式求出A到BC的距离AD，最
后比较AD与台风影响半径130km的大小，判断农场A是否受影响．
【详解】解：农场A是否会受到台风的影响，理由如下：
过点A作AD⊥BC于D．
∵AB⊥AC AB=150km AC=200km
， ， ，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC=❑√AB2+AC2
=❑√1502+2002
=❑√22500+40000
=250km，
1 1
∵S = AB⋅AC= BC⋅AD，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×150×200= ×250×AD，
2 2
解得AD=120km，
∵120<130，
∴农场A会受到台风的影响．
【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成
极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，
AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若海港C受台风影响，且台风影响海港C持续的时间为7小时，台风中心移动的速
度多少千米/小时？（若海港C不受台风影响，则忽略此问）
【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析
(2)台风中心移动的速度为20km/h
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）过点C作CD⊥AB于点D，通过勾股定理逆定理判断△ACB是直角三角形，利
用面积法求出CD的长，比较CD与250km的大小，从而判断海港是否受台风影响；
（2）设台风中心移动到点E、F处时刚好影响海港，连接CE、CF，利用勾股定理求
出ED的长度，进而得到EF的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可．
【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，如图：
∵AC=300km BC=400km
、 、
AB=500km
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°
1 1
∴ AC⋅BC= AB⋅CD
2 2
即300×400=500CD
∴CD=240km∵240km<250km
∴海港C受台风影响；
（2）解：设台风中心移动到点E、F处时刚好影响海港，连接CE、CF，如图，
∴EC=FC=250km
时，正好影响海港C，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
ED=❑√CE2−CD2=❑√2502−2402=70km
∴EF=140km
∵台风影响海港C持续的时间为7小时
∴140÷7=20km/h
∴台风中心移动的速度为20km/h
答：台风中心移动的速度20千米/小时．
【变式3】2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14
级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约250km
（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段
BC表示台风中心在深圳附近从C地向西北方向移动到B地的路径，A是深圳市某观测
点，且AB⊥AC．已知A、C之间相距300km，A、B之间相距400km．
(1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为20km/h，则观测点A受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析
(2)观测点A受台风影响的时间有7小时
【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理．（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求
出AD长度，最后进行比较即可；
（2）作AE=AF=250km，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间
即可．
【详解】（1）解：观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下：
如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴由勾股定理得，BC=❑√AB2+AC2=500km，
AB⋅AC 300×400
由等面积得AD= = =240km，
BC 500
∵240<250，
∴观测点A会受到台风“桦加沙”的影响；
（2）解：如图所示，作AE=AF=250km，
由勾股定理得，DE=❑√AE2−AD2=❑√2502−2402=70km，
根据题意，EF=2DE=140km，
140÷20=7（小时）
∴观测点A受台风影响的时间有7小时．
【题型11 选址使到两地距离相等】
【典例11】如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点C，D处，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AB=2.2km，AD=1.7km，BC=0.5km．为了
更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路AB的边上建一个游客服务中心E，使
得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等．
(1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？
(2)求∠CED的度数．
【答案】(1)0.5km
(2)90°
【分析】（1）设AE=xkm，则BE=(2.2−x)km，根据勾股定理将DE2和CE2表示
出来，列出等式进行求解即可．
（2）根据SSS证明△AED≌△BCE，则可得∠AED=∠BCE，由
∠BCE+∠BEC=90°可得∠AED+∠BEC=90°，进而可得∠CED=90°．
本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个
直角三角形的斜边表示出来，是解题关键．
【详解】（1）解：在Rt△AED中，DE2=AD2+AE2，
在Rt△BEC中，CE2=BC2+BE2，
∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等，
∴DE=CE．
设AE=xkm，
∵ AB=2.2km，
∴ BE=(2.2−x)km，
∵ AD=1.7km，BC=0.5km，
∴1.72+x2=0.52+(2.2−x) 2，
解得x=0.5，
∴游客服务中心应建在距点A0.5km处．
（2）解：由（1）可知AE=0.5km，BE=2.2−0.5=1.7(km)，DE=CE，∵ AD=1.7km，BC=0.5km，
∴AE=BC，AD=BE．
{AE=BC
)
在△AED和△BCE中， AD=BE ，
DE=EC
∴△AED≌△BCE(SSS)，
∴∠AED=∠BCE．
∵∠B=90°，
∴ ∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠CED=180°−(∠AED+∠BEC)=90°．
【变式1】某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出
行．如图，C城到铁路AB的距离AC=20km，D城到铁路AB的距离DB=60km，
AB=100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建
火车站，求AE，BE的长．
【答案】AE=66km，BE=34km
【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出CE和DE，再根据CE=DE建立方
程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方
程是解题的关键．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=(100−x)km．
根据题意，得CE=DE．
∴202+x2=(100−x) 2+602，
解得x=66．
∴100−x=34．
∴AE=66km，BE=34km．
【变式2】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，
BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问
煤栈应建在距A点多少千米处？
【答案】煤栈应建在距A点16千米处．
【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关
系，再解方程得到答案．
设煤栈的位置为点E，AE=x千米，则BE=AB−AE=40−x（千米），分别在
Rt△ADE和Rt△BEC中，利用勾股定理表示出CE和DE，然后通过CE=DE建立方
程，解方程即可．
【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接DE，CE
设AE=x千米，则BE=AB−AE=(40−x)（千米），
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=x2+242，
在Rt△BEC中，CE2=BE2+BC2=(40−x) 2+162，
∵CE=DE，
∴x2+242=(40−x) 2+162，
解得x=16，
即AE=16千米，
∴煤栈应建在距A点16千米处．
【变式3】如图，九龙大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，
CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等．
(1)求E站应建在离A点多少km处？
(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？
【答案】(1)E站应建在离A点6km处
(2)2小时
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得AE的长是解答的关键．
（1）设AE=xkm，则BE=(14−x)km，根据勾股定理得到DA2+AE2=CB2+BE2，
进而列方程求解即可；
（2）利用勾股定理求得DE=10km即可求解．
【详解】（1）解：设AE=xkm，则BE=(14−x)km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE中，DE2=DA2+AE2，
在Rt△BCE中，CE2=CB2+BE2，
∵C，D两商场到E站的距离相等，
∴DE=CE，则DE2=CE2，
∴DA2+AE2=CB2+BE2，又DA=8km，CB=6km，
∴82+x2=62+(14−x) 2，解得x=6，
∴E站应建在离A点6km处；
（2）解：在Rt△ADE中，DE=❑√DA2+AE2=❑√82+62=10km，
10÷5=2(h)，
答：某人需要多少小时从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要2小时．
【题型12 求最短路径】
【典例12】如图，若圆柱的底面周长是12cm，高是5cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一
圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（ ）A．5cm B．10cm C．13cm D．17cm
【答案】C
【分析】本题主要考查圆柱的展开图、勾股定理和最短距离，将圆柱的侧面展开为矩
形是解题的关键．
首先将圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，根据已知条件即可得到矩形的长和宽，进
而利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，
∵圆柱的底面周长是12cm，高是5cm，
∴AC=12cm，BC=5cm，
在Rt△ACB中，AB=❑√AC2+BC2=13cm，
∴这条彩带的最小长度是13cm，
故选：C．
【变式1】如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D C 的中点M处，它到
1 1
BB 的中点N的最短路线是（ ）
1
A．8 B．2❑√5 C．2❑√10 D．4❑√2
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】解：①沿CC 展开，如图所示，
1
在Rt△MB N中，B M=2+4=6，B N=2，∠B =90°，
1 1 1 1
∴MN=❑√B N2+B M2=❑√22+62=2❑√10(cm)；
1 1
②沿B C 展开，如图所示：
1 1
在Rt△MNH中，NH=B C =4，MH=MC +C H=MC +B N=2+2=4，
1 1 1 1 1 1
∠NHM=90°，
∴MN=❑√M H2+N H2=❑√42+42=4❑√2(cm)，
∵4❑√2<2❑√10，
∴最短路线长是4❑√2cm，
故选：D．
【变式2】如图，一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距
离为（ ）cm
A．8 B．❑√10π C．❑√73 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握圆柱的侧面展开图是矩形是解题的关
键．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的顶点A到边的中点B的距离，由勾股定理求出AB的长即得到问题的答案．
【详解】如图，过B作BC⊥AC于点C，连接AB，
1
∵ AC= ×16=8 BC=6
2
， ，
∴ AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10，
故选：D．
【变式3】如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为4cm，高为6cm．若一只
蚂蚁从该棱柱底面的顶点A处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的
最短距离为（ ）
A．14cm B．10cm C．(2❑√13+4)cm D．2❑√13cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了立体图形侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体路
径转化为平面线段并运用勾股定理比较长度是解题的关键．
将四棱柱侧面展开，分两种情况得到平面图形，利用勾股定理分别计算路径长度，再
比较得出最短距离．
【详解】如图1，展开侧面后，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4×2=8cm，BC=6cm．
∴此时距离AB=❑√82+62=❑√64+36=❑√100=10cm．如图2，展开侧面后，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6×2=12cm．
∴AB=❑√42+122=❑√16+144=❑√160=4❑√10cm．
∵10<4❑√10，
∴最短距离为10cm．
故选：B．
【题型13 折叠问题】
【典例13】如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B
与点D重合，折痕为EF，则BF的长为（ ）
A．6cm B．7.5cm C．5cm D．4cm
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的
关键．
根据折叠的性质可得，BC'=DC，C'F=CF，∠C'=∠C，设BF=xcm，则，根据勾股定理列出方程，求解即可．
C'F=(9−x)cm
【详解】解：如图，记点C的对应点为C'，
∵ ABCD AB=3cm AD=9cm
长方形 中， ， ，
∴ DC=AB=3cm，BC=AD=9cm，∠C=90°，
由折叠可得，BC'=DC=3cm，C'F=CF，∠C'=∠C=90°，
设BF=xcm，则C'F=CF=BC−BF=(9−x)cm，
在Rt△BC'F中，BC'2+C'F2=BF2，
∴ 32+(9−x) 2=x2，解得x=5，
则BF的长为5cm．
故选：C．
【变式1】如图，△ABC中 ，AC=6，BC=8，AB=10，点D在BC边上，连接AD，
沿AD翻折，使点C落在AB边点E上，则DB=（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.2
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的
性质是解决本题的关键．
先由勾股定理逆定理得到∠C=90°，再由翻折可得∠DEB=90°，设DB=x，则
DC=8−x，DE=8−x，在Rt△DEB，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由AC=6、BC=8、AB=10，满足62+82=102，
故△ABC是直角三角形，∠C=90°，
沿AD翻折后，C落在AB上的E点，因此：AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，
即∠DEB=90°，设DB=x，则DC=8−x，DE=8−x；
又BE=AB−AE=10−6=4，
在Rt△DEB中，
DE2+BE2=DB2，即(8−x) 2+42=x2，
解得x=5，即DB=5．
故选：C．
【变式2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC
折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）cm
25 15 7 5
A． B． C． D．
4 4 4 3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得AD=BD，设CD=xcm，
则AD=BD=BC−CD=(8−x)cm，在Rt△ACD中利用勾股定理列出方程，求出x的
值即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质得，AD=BD，
设CD=xcm，则AD=BD=BC−CD=(8−x)cm，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，
∴62+x2=(8−x) 2，
7
解得x= ，
4
7
∴CD的长为 cm．
4
故选：C．
【变式3】如图，在长方形ABCD中，E，F分别是BC，AB边上的点，将△BEF沿EF折
叠，点B的对应点G恰好落在AD边上．若AB=4，BE=5，则AF的长为（ ）4 2 3
A．1 B． C． D．
3 3 2
【答案】D
【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型．过点E作EH⊥AD，由折叠可知：¿=BE=5，BF=FG，
由勾股定理可得GH=❑√GE2−EH2=3，再得AG=2，设AF=t，则BF=FG=4−t，
利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥AD，
由题意可得：EH=AB=4,AH=BE=5，
由折叠可知：¿=BE=5，BF=FG，
∴GH=❑√GE2−EH2=3，
∴AG=AH−GH=5−3=2，
设AF=t，则BF=FG=4−t，
在Rt△AFG中，AF2+AG2=FG2，
∴t2+22=(4−t) 2，
3
解得：t= ，
2
3
∴ AF= ．
2
故选：D．1．如图，一旗杆在离地面3m处折断，旗杆顶部距底部4m，求旗杆原有多长（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据实际情况找出直角三角形是解题关键．
利用勾股定理求得AC的长，从而求得旗杆折断前的高度．
【详解】解：如图，根据题意，得：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3m，
BC=4m，
∴在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
∴AC=❑√32+42=5，
∴AB+AC=3+5=8m．
∴旗杆原有8m长．
故选：D．
2．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面
的水平线，CE是竖直线，高度为4m，BC的长是8m，则BE的长是（ ）8
A．4❑√3m B．8m C． ❑√3m D．4m
3
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边
的平方是解答关键．
根据题意得到两条直角边的长度，用勾股定理求解．
【详解】解：由题意得CE=4m，BC=8m，
∴BE=❑√BC2−CE2=❑√82−42=4❑√3(m)．
故选：A．
3．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟
从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所
行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，构造直角三角形ABC
∵两棵树的高度差为AC=8−2=6（米），间距为AB=8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC=❑√82+62=10（米）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
4．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么
梯子的底端将滑动（ ）
A．4m B．6m C．8m D．10m
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，
再计算梯子底端滑动的距离即可．
【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为：
BO=❑√252−72=24(m)，
梯子的顶端下滑4m后，顶端距离墙角的距离：
B′O=24−4=20(m)，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为：
A′O=❑√252−202=15(m)，
梯子的底端滑动的距离为：
A A′=15−7=8(m)．
故选：C．
5．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高
出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶
部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
先求出AB⊥B′C，B′C=5尺，再设AB′=AB=x尺，则AC=(x−1)尺，在
Rt△AB′C中，利用勾股定理求解即可得．
1
【详解】解：由题意得：AB⊥B′C，AB′=AB，B′C= ×10=5（尺），BC=1尺，
2
设AB′=AB=x尺，则AC=AB−BC=(x−1)尺，
在Rt△AB′C中，AC2+B′C2=B′ A2，即(x−1) 2+52=x2，
解得x=13，
即这根芦苇的长度是13尺，
故选：C．
6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年
级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的学生的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；(2)如果该学生想让风筝沿CD方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的垂直高度CE为21.6米
(2)他应该往回收线8米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本
题的关键．
（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出垂直高度CE；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=252−152=400，
∴CD=20（负值已舍去），
∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米）．
答：风筝的垂直高度CE为21.6米．
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=CD−CM=20−12=8（米）．
在Rt△MDB中，
由勾股定理得，BM=❑√DM2+BD2=❑√82+152=17（米），
∴BC−BM=25−17=8（米）．
∴他应该往回收线8米．
7．如图．在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，AC=9cm，现将直角
边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上、若折痕交BC于点D，点C落在点E处，
你能求出CD的长吗？请写出求解过程．
9
【答案】CD= cm
2
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出BC=12cm，由折
叠的性质可推出CD=ED，BE=6cm，∠BED=90°，设CD=ED=xcm，则，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案．
BD=BC−CD=(12−x)cm (12−x) 2=x2+62
【详解】解：∵在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，AC=9cm，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√152−92=12(cm)，
由折叠的性质可得CD=ED，AE=AC=9cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB−AE=6cm，∠BED=180°−∠DEA=90°，
设CD=ED=xcm，则BD=BC−CD=(12−x)cm，
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2=DE2+BE2，
∴(12−x) 2=x2+62，
9
解得x= ，
2
9
∴CD= cm．
2
8．如图，一架梯子搭在墙上．已知梯子每两根横木之间的距离（包括一根横木的宽在内）
以及梯子下端到第一根横木的距离都是0.5m，梯子下端A到墙脚B的距离是3m．求
墙高．
【答案】墙高4m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．转化为直角
三角形求边长问题，理解题意并求出三角形的边长，并利用勾股定理求墙高所对应的
边长即可．
【详解】解：如图，由题意得：AB=3m，AC=10×0.5=5(m)，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=❑√AC2−AB2=❑√52−32=4(m)，
答：墙高4m．
9．在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：
如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为∠BAF时，
显示屏的顶部边缘点B离桌面的高度为BC，底板边缘点A和点C之间的距离AC为
24cm，已知电脑显示屏的宽AB为25cm．（显示屏与底板的厚度忽略不计）
(1)求此时显示屏的顶部边缘点B离桌面的高度BC；
(2)小亮将张角调整为∠DAF（D是点B的对应点），此时显示屏的顶部边缘点D离桌
面的高度为DE，底板边缘点A和点E之间的距离AE为15cm，当张角从∠BAF调整
为∠DAF时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？
【答案】(1)7cm
(2)13cm
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）在Rt△ADE，利用勾股定理求出DE的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AB=25cm，AC=24cm，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√252−242=7(cm)，答：此时显示屏的顶部边缘点B离桌面的高度BC为7cm；
（2）解：由题意得，在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=25cm，AE=15cm，
∴DE=❑√AD2−AE2=❑√252−152=20(cm)，
20−7=13(cm)，
答：电脑显示屏的顶部边缘上升了13cm．
10．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测
得如下数据：
①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)16.6米
(2)7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定
理是解题的关键；
（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论∶
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=172−82=225
所以，CD=15（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=15+1.6=16.6（米），
答：风筝的高度CE为16.6米；（2）如图：由题意得，CM=9米，∴DM=6米，
∴BM2=DM2+BD2=82+62=100，
∴BM=10米，
∴BC−BM=7（米），
∴他应该往回收线7米．
