文档内容
专题 04 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、圆柱中的最短路径模型
类型二、长方体中的最短路径模型
类型三、阶梯中的最短路径模型
类型四、将军饮马与最短路径模型
压轴专练
类型一、圆柱中的最短路径模型
【方法总结】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算与圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股
定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面
圆周长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—应用勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
例1．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于 ，底面
周长为 ，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．
若蚂蚁爬行的速度为 ．那么它至少需要 秒．【答案】
【分析】按不同的展开方式，分类讨论：第一种情况：蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，利用勾股定
理即可求解；第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点，此时爬行的距离为 加上底面圆的直径；
最后比较两种方式所用的时间即可求解．
本题考查了圆柱体中的最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．
解答此题时，熟练掌握勾股定理，圆周长公式，注意分类讨论．
【详解】解：分两种情况讨论：
第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接从A点到达B点，
设圆柱侧面展开图中的 为高， 为底面周长，
此时：将圆柱体的侧面展开，连接 ，即 为最短路径，如图，
根据题意有： ，
∵ 为底面圆周长的一半，
∴ ，
∵B点为 中点，
∴ ，
在 中， （ ），
∵蚂蚁的速度为 ，
∴蚂蚁需要的时间为： （s），即此时蚂蚁需要 ；
第二种情况：蚂蚁由A点经过底面圆直达B点，
连接 ，可知 为底面圆的直径，圆柱体展开如图，
∵底面圆的周长为24，
∴底面圆的直径 ，
∵ ，
∴此时蚂蚁行走的距离为 （ ），
∴此时蚂蚁需要的时间为： （s），
∵ ，
∴蚂蚁需要的最短时间为： ，
故答案为： ．
【变式1-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如
图所示，每根雕龙木柱高 为6米，在底面周长为 米的木柱上，有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘
绕3圈到达柱顶正上方的 点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．【答案】
【分析】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角
三角形的斜边，再利用勾股定理求解．
将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图：
根据题意可得柱身高为 米，底面周长为 米，
有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的 点，
米， 米，
米，
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．
故答案为： ．
【变式1-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时
间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为 ，已知 ， ，一只蚂
蚁从 点爬到 点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（ 取 ）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用 最短路径问题，将中间半圆展开，连接 ，则线段 的长度即为
蚂蚁爬行的最短路程，先求出 的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题
的关键．
【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接 ，则线段 的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，由题意可得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴它至少要走 的路程，
故答案为： ．
【变式1-3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼
梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中．
(1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点
为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示
意图；
(2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为 ，扶手所在圆柱的底面半径为 ，求这一层圆形旋
转楼梯的扶手长度．（ 取3）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键．
（1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可；
（2）利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图3所示，线段 即为所求；（2）解：如图3所示，根据题意可得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为 ．
类型二、长方体中的最短路径模型
【方法总结】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
例2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高
分别为 ， ， ，一只蚂蚁想从盒底的点 沿盒的侧面爬到盒顶的点 ，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
【答案】最短行程是
【分析】此题考查了勾股定理—最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意分两种情
况，分别作图，利用勾股定理列式计算，进行求解，然后比较即可．
【详解】解： 如图所示，连接 即为所求路线，
根据题意： ， ，
∵在 中，
∴根据勾股定理， ，
如图所示，连接 即为所求路线，
根据题意： ， ，
∵在 中，
∴根据勾股定理， ，
∵
∴∴最短行程是 ．
【变式2-1】（2025八年级上·陕西·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的
距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】25
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．
把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算 长度进行比较即可
得到答案．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
， ，
在Rt△ 中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
， ，
在Rt△ 中，根据勾股定理得：
；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
，
在Rt△ 中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25．
【变式2-2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设
计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）．
(1)如图①，正方体的棱长为 ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点 处；
(2)如图②，长方体的长和宽都为 ，高为 ，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到
点 处；
(3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是 、 和 ，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬
到长方体上和 相对的顶点 处．
【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为 ；
(2)蚂蚁爬行的最短路程为 ；
(3)蚂蚁爬行的最短路程是 ．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键．
（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接 ，两点之间线段最短， 是最短路
径，利用勾股定理求 即可；
（2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接 ，两点之间线段最短，
是最短路径，利用勾股定理求 ，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接 ，
两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求 比较两种方法之下的 ，确定最短的即可．
（3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接 ，
两点之间线段最短， 是最短路径，
如图所示，在 中，由勾股定理得
；
（2）解：分两种情况讨论：
①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接 ，
两点之间线段最短， 是最短路径，
如图所示，有 ．②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接 ，
两点之间线段最短， 是最短路径，
如图所示 ．
因为 ，
所以最短路程为 ，即最短路程为 ．
（3）解：将长方体按下列三种方案展开：
第一种；如图④，
,
∴根据勾股定理得
；
第二种：如图⑤，, ；
∴根据勾股定理得
第三种：如图⑥，
, ．
∴根据勾股定理得
，
蚂蚁爬行的最短路程是 ．
【变式2-3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图
1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点 出发，沿着正方体的表面爬行到点 ．沿怎样的路线爬行路
程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点 ，
之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿
线段 爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为 ．问题解决：
(1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为 、 、 ，一只蚂蚁想从盒底的点 沿盒的
表面爬到盒顶的点 ，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
(2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点 在棱 上， ．一只蚂蚁要沿长方
体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是多少？
【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为 （P为 的中点），最短路程是
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．
（1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可；
（2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：如图1， ．如图2， ．
因为 ，
故蚂蚁爬行的最短路线为 （P为 的中点），最短路程是 ．
（2）解：将长方体按下列三种方案展开：
如图3，一直角边为 ，另外一条直角边为 ，
根据勾股定理得 ．
如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为 ，
根据勾股定理得 ．
如图5， ， ，
根据勾股定理得 ．
因为 ，
所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 ．
类型三、阶梯中的最短路径模型
【方法总结】阶梯中最短路径基本模型如下：注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
例3．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图所示，四边形 是长方形地面，长 ，宽
．中间竖有一堵墙，高 ．一只蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，求它至
少要走多长的路程．
【答案】至少要走 的路程
【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．将图展
开，连接 ，利用勾股定理求出 的长，即可得出蚂蚱从点 爬到点 需要走的最短路程．
【详解】解：如图所示，将图展开，连接 ，
图形长度增加 ，原图长度增加 ，则 ，
∵四边形 是长方形， ，宽 ，
∴ ，
∴ ，负值舍去，
即蚂蚱从点 爬到点 ，它至少要走 的路程．
【变式3-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中
．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？【答案】10
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，把长方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求
得最短路程．
【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为 ，如图所示．
因为 ，
则 ，
所以 ，即蚂蚁爬行的最短距离为10．
【变式3-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的 型池的示意图，
该 型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为 的半圆，其边缘
．小诚是一名滑板爱好者，若他从点 处滑到点 处，他滑行的最短距离是多少米？（边
缘部分的厚度忽略不计）
【答案】他滑行的最短距离是 米
【分析】本题考查最短路径，勾股定理．根据题意可知， 型池的展开图为长方形，根据勾股定理计算即
可．
【详解】解：如图，长方形 是 型池的展开图，
根据题意可得 ，
连接 ，则 的长为滑行的最短距离，在 中， ， ， ，
∴
∴他滑行的最短距离是 米．
【变式3-3】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽
为 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正
面看是一个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接 ．
(1)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是______；
(2)问题解决：求出这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
【答案】(1)两点之间线段最短
(2)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解；
（2）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中 等于长方
形地毛毯的宽，根据勾股定理计算 的长即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；
（2）解：根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
类型四、将军饮马与最短路径模型
【方法总结】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股
定理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
例4．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，
底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离
容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、
熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短
可知 的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一饭粒，此时
蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点 处，
将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，连接 ，则 即为最短距离，
，
，
即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 ．
【变式4-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，A，B两个小镇在河岸 同侧，到河岸的距离分别
为 ，且 ．现在要在河边修建一个自来水厂，向A，B两个小镇供水．铺
设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸 上确定自来水厂的位置P，使铺设水管的费用最低，并求出
最低费用．
【答案】150万元
【分析】本题主要是运用轴对称求最短距离问题，作点A关于直线 的对称点 ，连接 与CD交
于点P，则点P为所求的自来水厂的位置，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，作点A关于直线 的对称点 ，连接 与CD交于点P，则点P为所求的自来水厂的位置．过点 作 ，交 的延长线于点E，
则 为直角三角形， ．
在 中，
由题意，得 ．
由勾股定理，得 ，
所以 ，所以 （万元）．
故铺设水管的最低费用为150万元．
【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高 ，
水深 ，在水面线 上紧贴内壁 处有一粒食物，且 ，一只小虫想从水缸外的 处沿
水缸壁爬到水缸内的 处吃掉食物．
(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注．
(2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）．
【答案】(1)见解析
(2)小虫爬行的最短路线长为 ．
【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
（1）作 关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点 ，此时 最短；
（2） 为 的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，作点 关于 所在直线的对称点 ，
连接 ， 与 交于点 ，
则 为最短路线；
（2）解：因为 ， ，
所以 ．
在 中， ， ， ，
所以 ．
由对称性可知 ，
所以： ．
所以：小虫爬行的最短路线长为 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，
人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新
的证法．证法如下：
把两个全等的直角三角形 （如图1放置， ， 点 在边
上，现设 两直角边长分别为 、 ，斜边长为 ，请用 分别表示出梯形
、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上 两点（看作直线上的两点）相距 千米， 为两个村庄（看作直线上的两点），， ，垂足分别为 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为______千米．
(3)在（2）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，使得
，请在图2中作出 点的位置并求出 的距离．
(4)借助上面的思考过程，当 时，直接写出代数式 的最小值．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法，
（1）根据全等三角形的性质可得 ，则 ，分
别用含 的式子，结合图形表示出梯形 、四边形 、 的面积，根据
，代入计算即可求解；
（2）如图所示，连接 ，作 于点 ，可得， 的长，在 中，运用勾股定理可得
，由此即可求解；
（3）如图所示，设 ，则 ，运用勾股定理可得
， ，再根据 ，代入计算即可求解；
（4）将代数式变形得 ， ，结合
（3）中的计算方法，令 ，则 ，可得 ，即为两直角三角形斜
边的和，由此作图分析，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则
，此时 的值最小，在 中，运用勾股定理即可求解 的值，由此
即可求解．
【详解】（1）解：根据题意， ，∴ ，则 ，
∴ ， ，
，
∵ ，
∴ ，整理得， ；
（2）解：如图所示，连接 ，作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为： ；
（3）解：如图所示，设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
两边同时平方得， ，
解得， ，
∴ ；
（4）解： ， ，
根据上述计算方法，令 ，
∴ ，即两条直角三角形斜边的和，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
如图所示， ， ， ， ，则 ，作点 关于 的
对称点 ，连接 交 于点 ，则 ，此时 的值最小，即代数式
的值最小，
过点 作 ，交 延长线于点 ，
∴ ，
∵对称，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴代数式 的最小值为 ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为 ，高 为 ， 是上底面的直
径，一只蚂蚁从点 出发，沿侧面爬行到点 ，则爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．
将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图，
圆柱体的底面周长为 ，
半周长为 ，
又 ，
，
沿着圆柱的侧面爬行到点 ，蚂蚁爬行的最短路程是 ．
故选：C．2．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为 的中点，则一只蚂蚁从M
点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，
再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线 爬行路程最短，
∵ ，M为 的中点，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口 的点
处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管外表面距离右侧管口 的点 处觅食，已知钢管横截面的周长为
，长为 ，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、圆柱的侧面展开图，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意先画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开，过点 作 于点 ，连接 ，
由题意得， ，
∵钢管横截面的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是 ．
故选：B．
4．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为
，高为 ．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点
处，爬行到正方形格子内部底面的顶点 处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平
面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的A点沿礼盒的表
面爬到盒内的B点，蚂蚁爬行的最短距离是如图 的长度，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：将立体图形展开，作A关于 的对称点C，连接 ，得到如下图形，此时 即为所求，根据题意，得 ， ， ，
∴ ，
故选：D．
5．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线 的同侧，A到 的距离 ，B到
的距离 ，已知 ，P是直线 上的一个动点，记 的最小值为a， 的最
大值为b，则 的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【答案】A
【分析】本题考查轴对称解决最短路径问题、勾股定理，熟练掌握利用轴对称解决最短路径问题是解题的
关键．
作点A关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点P，则点P即为所求点，过点 作 于
点E，则线段 的长为 的最小值，根据勾股定理得到 ，即 ；延长 交
于点 ，则 ，当点P运动到 时， 有最大值，过点B作 于点F，则
，根据勾股定理求得 ，即 有最大值 ，据此求解即可．
【详解】解：如图，作点A关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点P，则点P即为所求点，
过点 作 于点E，线段 的长为 的最小值，
、 、 ,
、 、 ，
即 的最小值 ；
延长 交 于点 ，
、
当点P运动到 时， 有最大值，
、 、 ，
过点B作 于点F，则 ，
即 有最大值 ，
，
故选：A．二、填空题
6．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个“ ”型的零件，四边形 和四边形 均为长方
形，在点 处有一只蚂蚁（看作点），点 到 的距离为 ， ， ，则蚂蚁沿零
件表面从点 到点 爬行的最短路程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用勾股定理求最短路径问题，要求最短路径，最直接的作法，就是将零件展开，然
后利用两点之间线段最短解答，利用勾股定理是解题的关键．
将其展开，连接 ，过点D作 于点H，由题意得， ， ，进而利用勾股定
理求解即可．
【详解】解：将其展开，连接 ，过点D作 于点H，如图，
由题意得， ， ，
，
，，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个直六棱柱，底面边长均为 ，侧棱 ，有一只
蚂蚁从底面的顶点A处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短路线长为
．
【答案】
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，运用转化思想是解题关键．
将直六棱柱的侧面展开为平面图形，使用勾股定理计算即可．
【详解】解：直六棱柱的侧面展开图如图所示，
由题意可知， ， ，
由勾股定理得， ，
根据“两点之间，线段最短”可知，蚂蚁沿着 爬行时，路径最短，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为 ．
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点A出
发，经过长方体的表面爬到顶点B的最短路程为 ．【答案】
【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最
近”这类问题的关键．
把此长方体的一面展开，然后在平面内，分情况利用勾股定理求点 和点 间的线段长，即可得到蚂蚁爬
行的最短距离．
【详解】解：①展开前面和上面，连接 ，如图，
由勾股定理得 ；
②展开前面和右面，连接 ，如图，
由勾股定理得 ；
③展开左面和上面，连接 ，如图，由勾股定理得 ；
，
最短路径的长为 ，
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与 轴交于点
，与 轴的负半轴交于点 ，且 ， 、 是该直线上的两个动点，且 ，连接
、 ，则 周长的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】如图作点O关于直线 的对称点 ，作 且 ，连接 交 于点D，连
接 ， 则四边形 为平行四边形， 垂直平分 ，根据含30度的直角三角形性质得
，得 ，由勾股定理得 ，即 ，即得
周长的最小值 ．
【详解】解：如图，作点O关于直线 的对称点 ，作 ，且 ，连接 交 于
点D，连接 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∴ ，
，
即 ，
∴当点M到点D的位置时，即当 、M、C三点共线， ， 取得最小值，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，含30度角的直角三角形
性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当 时，求
代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的 的斜边长，可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长．于是将问题转化为求 的最小
值，如图所示，当 与 共线时， 为最小．请你解决问题：当 时，则代数式
的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，仿照例题， 可以看作两直角边分别是x和1的 的斜边长，
可以看作两直角边分别是 和3的 的斜边长，问题转化为求 的最小值，利
用两点之间线段最短和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，由题意得， 可以看作两直角边分别是x和1的 的斜边长，
可以看作两直角边分别是 和3的 的斜边长，
故问题转化为求 的最小值，则当 与 共线时， 有最小值，最小值为 的长，
则 ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴代数式 的最小值是 ．
故答案为： ．三、解答题
11．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点 与点 的距离为
2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 爬到点 ．求蚂蚁需要爬行的最短距离．
【答案】
【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键；
根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可．
【详解】解：将长方体的两个面展开，连接 ．
分三种情况：
①如图①， ；
②如图②， ；
③如图③， ．，
蚂蚁需要爬行的最短距离是 ．
12．（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着
树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？
阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）：
(1)如图，若树底面的周长为 ，从点 绕1圈到点 ，葛藤升高 ，则它绕树盘旋的最短路程是多少
分米？
(2)若树底面的周长为 ，葛藤绕树1圈的路程是 ，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树
顶，则树干的高为多少分米？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则
长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为 ， ，再利用勾
股定理求出长方形对角线长即为最短路程；
（2）先根据勾股定理求出绕树 圈的高度，再求出绕树 圈的高度，即为树干高．
【详解】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形 ，
则长方形的对角线 的长为最短路径．
由题意，得 ， ．
由勾股定理，得 ．
故葛藤绕树盘旋的最短路程是 ．（2）解：如图②，同（1）得到长方形 ，则由题意得 ， ．
由勾股定理，得 ，
葛藤绕树1圈升高 ．
若绕树 圈到达树顶，则树干的高为 ．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，最
短路径为长方形的对角线长得出是解题关键．
13．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为 ，底面圆的周长
为 的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点 处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点 相对的中点 处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是
___________
任务二：小星把圆柱的高变为 ，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部 处，帮蚂蚁
设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点 相对的点 处的食物，吃完后再设计另一条与
前一条不一样的最短路径回到点 处（此时 两点重合）小星沿着 竖直方向将圆柱剪开，得到长方
形 （如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想 平分 ，请根据题意，在图③中补全图形，
并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为 的正方形纸片（如图④），点 为 中点，他将 沿 对折
到正方形内部 的位置，并把线段 抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点 处，不计蜂蜜的宽度，你能帮
小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．【答案】任务一： ；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为
【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质；
任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解；
任务二：根据题意画出图形，证明 是等边三角形，进而即可得出 平分 ，即可求解；
任务三：连接 ，过点 作 于点 ，依题意，将 沿 对折到正方形内部 的位置，
则 垂直平分 ， ，进而根据等面积法求得 ，设 ，则 ，
在 中， ，在 中， ，进而建立方程，求得 的长，
再根据勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：任务一，如图
依题意，
∴ ；
任务二：小星的猜想对，理由如下，
如图，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，∴
依题意，
在 中， ，
在 中，
∴
∴ 是等边三角形
∴
又∵
∴ ，
∴
即 平分 ，
任务三：
如图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴
依题意，将 沿 对折到正方形内部 的位置，则 垂直平分 ， ，
∴
∴
设 ，则 ，在 中， ，在 中，
∴
∴
解得： ，即
∴
∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 ．
14．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为 ，如图1所示． 和 是这个四级台阶两个相对的端点，
若点 处有一只蚂蚁，它想到点 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接 ，经
过计算得到 长度即为最短路程，则 ______________ ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，一只蚂蚁从点 出发沿着
玻璃杯的侧面到与点 相对的点 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2） 厘米；（3） ；【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ， 点与对称点 的连线，即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长 ，宽 ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程为 ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得： ， ，
，
该蚂蚁爬行的最短路程 厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ，
连接 ， 即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程，， ， ，
，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程为 ．
15．（25-26八年级上·吉林长春·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点 、 之间的
距离时，进行了如下的分类讨论：当 轴时， 、 两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意
两点间的距离，可得 ；当 轴时， 、 两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴
上任意两点间的距离，可得 ；当 、 两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直
角三角形，由勾股定理 ．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充
完整．
解：过 、 分别向 轴、 轴作垂线，两条垂线交于点 ．
∵ 轴， 轴，
∴ （_________，_________），
∴ ______________，
______________，在 中，由勾股定理可得
，
∴ ．
解答以下问题：
（1）若 ， ，则 _________．
（2）在平面直角坐标系中，已知点 和 ，将线段 平移到 ，点 的对应点是 ，点
的对应点是 ，若 的坐标是 ，且 ，求点 的坐标．
（3）已知点 为 轴上一点，则 的最小值为_________．
【答案】推导过程补充： ； ； ．
（1） （2） 或 （3）
【分析】（1）直接应用平面直角坐标系中两点间距离公式求出 ；
（2）先确定平移的水平变化量，结合 ，用两点间距离公式列方程，求出纵坐标的变化量，再根据
“线段上所有点平移的横、纵坐标变化量一致”，将 按对应变化量平移，得到 的坐标；
（3）因 在 轴上，故 ，式子表示“ 到 和 的距离和”，作 关于 轴的对称点 ，
连接对称点与 ，用两点间距离公式计算该线段长度，即为距离和的最小值．
【详解】解：根据题意，可知 ，则 ， ．
故推导过程补充： ； ； ．
（1）根据 ，
可知 ．
．（2）由题可知， 到 ，横坐标变化为 ，纵坐标变化为 ，
由 ，则 ，
解得 ， ，
当 ，可知点 由点 向左平移 个单位，向上平移 个单位，即 的坐标为 ；
当 ，可知点 由点 向左平移 个单位，向下平移 个单位，即 的坐标为 ；
故点 的坐标为 或 ．
（3）点 在 轴上，则 ，令 ， ，
根据题意，可知 表示 ，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴与点 ，
根据对称的性质可知， ，
则 ，
此时 即为 取得的最小值， ，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面直角坐标系两点间距离公式，坐标的平移变换，最短路径问题，勾股定理的几何应
用，将 轴上点到两定点的折线距离转化为直线距离是解题关键．
16．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望
小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄．
【包装准备】
如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为 ；第二种长
方体纸箱，尺寸规格为 ，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为 ，并且扣手到
所在面相对两条边的距离相等．
【问题解决】
(1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______ ．
(2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳
子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键．
（1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案．
（2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：分三种展开方式求解：
①前与右： ；
②左与后： ；
③前与下： ；
∵ ，∴胶带的最短长度为： ，
故答案为： ．
（2）如图所示为长度最短的部分展开图：
如图，连接 ， ，易得 ．
由题可得 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
所以，这根绳子的最短长度为 ．
17．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定 两点的位
置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________ ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径 为 ，点A处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（ 取3）
【答案】（1） ，（2）26 （3） （4）
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之
间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解．
【详解】解：（1）展开后 、 、C构成直角三角形，两直角边分别为 和 ．
根据勾股定理，最短路径为：
（2）底面是正方形，周长为 ，垂直方向为直四棱柱的高 ，绕一周高为 ，
根据勾股定理， ，
绕两周彩条最短长度为： ；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为 ，绕一周垂直长度为 ；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
（4）底面是半圆长加一个半径， ，高为6 ，
根据勾股定理，爬行最短长度为 ．
18．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，
是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和 ，
并使直角边 和 在同一直线上（图 ），向右平移直角 使点 和 重合（图 ），这时
， ， ，问题就变成“点 在线段 的何处时， 最短？”根据两
点间线段最短，得到线段 就是它们的最小值．
（1）代数式 的最小值为______；（2）变式训练：求代数式 的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数 满足 ，则 ______．
（4） 的最大值是______；
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） （ ） ．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（ ）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（ ）以 和 对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可；
（ ）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可．
【详解】解：（ ）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
设 ， ，点 在 的上方，且 ， ，点 在 的下方，且 ，
，
则 ， ，
∴ 表示 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长， 即代数式 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ；（ ）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
设 ， ，点 在 的上方，且 ， ，点 在 的下方，且 ， ，
则 ， ，
∴ 表示 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长， 即代数式 的最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ；
（ ）如图，构造 ， 于点 ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴方程的解是 ，
故答案为： ；
（ ）构造 ， ， ， ， ， ， ，如图所示，
过点 作 ，交 延长线于点 ，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
∴代数式 表示 ，
∵ ，
∴ 的最大值为 的长， 即代数式 的最大值为 的长，
在 中,由勾股定理得： ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
