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专题23 菱形中的最值小题特训30道
1．如图，菱形 的边长为 ， ，点 为 边上的中点，点 为对角线 上一
动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找出 点关于 的对称点 ，连接 交 于 ，则 就是 的最小值，求出
即可．
【详解】解：连接BD，交AC于O，连接DE交AC于P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，
∴PE＋PB＝PE＋PD＝DE，
即DE就是PE＋PB的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB＝∠DAB＝60°，DC＝BC＝4，
∴△DCB是等边三角形，
∵BE＝CE＝2，
∴DE⊥CB（等腰三角形三线合一的性质）．
在Rt△CDE中，DE＝ ．
即PB＋PE的最小值为 ．
故选D．【点睛】本题主要考查轴对称−最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置
是解答本题的关键．
2．如图，菱形ABCD的边长为6， ，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，
则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】连接 ， ，当 时， 的值最小，再由所给条件可得 ，则
即为所求．
【详解】解：连接 ， ，
四边形 是菱形，
点与 点关于 对称，
，
，
当 时， 的值最小，
，
，
，是等边三角形，
是 的中点，
，
，
，
的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的
性质，等边三角形的性质．
3．如图，在 中，AD＝4， ＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线 上的一个动点，
点Q是 边上的一个动点，则 PB＋PQ的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对称性可得，线段AB与AD关于AC
对称，设点Q’是点Q的对称点，则PB＋PQ =PB＋PQ’， 当点Q’运动到点Q’’时，即BQ’’⊥AD时，
PB＋PQ’最小，解直角三角形即可．
【详解】解：在 中，AD＝4，AC平分∠DAB，
∴ 是菱形，AB＝AD＝4，
∵ ＝120°，
∴ ＝60°，
∵ 是菱形，
∴线段AB与AD关于AC对称，
点Q关于AC对称的点在AD上，
设点Q’是点Q的对称点，则PB＋PQ =PB＋PQ’，
当点Q’运动到点Q’’时，即BQ’’⊥AD时，PB＋PQ’最小，此时，BQ’’=ABsin∠DAB= ，
∴PB＋PQ的最小值是 ，
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质与判定，根据垂线段最短作出辅助线，
确定点Q’’的位置是解答此题的关键．
4．如图，在平行四边形 中，对角线 平分 ， ， ，在对角线
上有一动点P，边 上有一动点Q，使 的值最小，则这个最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，得到平
行四边形ABCD是菱形，推出点A，C关于BD对称，过A作AQ⊥BC于Q交BD于P，则PQ＋PC最
小值＝AQ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴点A，C关于BD对称，
过A作AQ⊥BC于Q交BD于P，
则PQ＋PC最小值＝AQ，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝8，
∴AQ＝ AB＝ ，
∴这个最小值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三
角形的性质，准确的找到P与Q的位置是解题的关键．
5．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线
段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】首先证明四边形 是菱形，得 ，作出 关于 的对称点 ，再过 作
，交 于点 ，此时 最小，求出 即可．
【详解】解：作出 关于 的对称点 ，再过 作 ，交 于点 ，此时 最
小，此时 ，过点A作 ， 于 ，
沿 翻折得到 ，
， ，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
由勾股定理可得， ，
，
可得 ，
，
最小为 ．
故选C．
【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称 最短问题等知识，解题的关键是将利
用“将军饮马”模型对线段和转化为平行线间的线段长．
6．如图，菱形 的面积是 ，对角线交于点 ， ，若点 是 的中点，点在线段 上，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】B
【分析】连接DE交AC于M，则DE就是MB+ME的最小值，进而即可求出△BME周长的最小值．
【详解】解：连接DE交AC于M，连接DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则MD=MB，
∴ME+MB=ME+MD≥DE，
即DE就是ME+MB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
设菱形的边长为 ，即AD=AB= ，
∴ ，
∵菱形ABCD的面积是32 ，
∴S ABD=16 ，
△∴ ，即 ，
解得m=8，
∴ ，
∴△BME周长的最小值为：DE+BE=4+4 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，解直角三角形等知识点，确定M点的
位置是解答本题的关键．
7．如图，菱形 中， ， ，点E是线段 上一点（不与A，B重合），作
交 于点F，且 ，则 周长的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】只要证明 得出 是等边三角形，因为 的周长
，所以等边三角形 的边长最小时， 的周
长最小，只要求出 的边长最小值即可．
【详解】解：连接 ，
菱形 中， ，
与 是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，， ， ，
，
是等边三角形，
的周长 ，
等边三角形 的边长最小时， 的周长最小，
当 时， 最小 ，
的周长最小值为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问
题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思
想解决问题，所以中考常考题型．
8．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与
点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝ BD＝8，OC＝ AC＝6，由勾股定理可求BC的长，
可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝8，OC＝ AC＝6，∴BC＝ ＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S ＝ OB OC＝ BC OP，
OBC
△
∴OP＝ ＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
9．如图，两条宽为1的纸带交叉叠放，则重叠部分的面积（ ）
A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最大值
【答案】A
【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继
而求得AB＝BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则分析可求得答案．
【详解】过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设两条纸带的夹角为 ，在Rt△AEB中，AB＝ ，
在Rt△BFC中，BC＝ ，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S ＝
菱形ABCD
∵ 随着 的增大而增大，
∴当 ＝90°时， 最大＝1，
此时，S 有最小值1，
菱形ABCD
故选A．
【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理，难度适中，注意掌握辅助线的作法是关键．
10．如图，菱形ABCD的的边长为6， ，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F
的左侧），若EF=2，则AE+CF的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【分析】作 ，使得 ，连接 交 于 ，由四边形 是平行四边形，
推出 ，推出 ，根据两点之间线段最短可知，此时 最短，
由四边形 是菱形，在 中，根据 计算即可．
【详解】解：如图，作 ，使得 ，连接 交 于 ，
， ，
四边形 是平行四边形，，
，
根据两点之间线段最短可知，此时 最短，
四边形 是菱形， ，
，
是等边三角形，
，
在 中，
的最小值为 ．
故选：A
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决．
11．如图，在菱形 中， ， ，点 是线段 上一动点，点 是线
段 上一动点，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得
BH和GH的长，最后在Rt BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
【详解】解：作点E关于A△C的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt BHC中，BH=CH= ，
△
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt BHG中，BG= ，
△
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是 ．
故选：D．
【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距
离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个
图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
12．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条
垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ( )
A．17 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
【详解】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理：x2＝（8−x）2＋22，
解得：x＝ ，
∴4x＝17，
即菱形的最大周长为17．
故选：A．
【点睛】考查了菱形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根
据图形列方程．
13．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大
值是( )
A．15 B．16 C．19 D．20
【答案】D
【分析】首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线
时，四边形ABCD的面积最大，如图2，设AB＝BC＝x，则BE＝8−x，利用勾股定理求出x的值，即
可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．
【详解】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是4，∴AE＝AF＝4，
∵S ＝AE•BC＝AF•CD，
四边形ABCD
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，
设AB＝BC＝x，则BE＝8−x，
∵BC2＝BE2＋CE2，
∴x2＝（8−x）2＋42，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：5×4＝20．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练
掌握．
14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交
射线AD于点Q，连接CP，CQ，则 CPQ面积的最大值是（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设菱形的高为h，解直角三角形求得h＝ ，设AP＝x，则PB＝1﹣x，AQ＝2x，PQ＝
x，DQ＝1﹣2x，然后根据S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S 表示出△APQ的面积，根据二次函数
CPQ 菱形ABCD PBC PAQ CDQ
△ △ △ △
的性质即可求得．
【详解】解：设菱形的高为h，
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，
∴h＝ ，
若设AP＝x，则PB＝1﹣x，
∵PQ⊥AB，
AQ＝2x，PQ＝ x，
∴DQ＝1﹣2x，
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S
CPQ 菱形ABCD PBC PAQ CDQ
△ △ △ △
＝1× ﹣ （1﹣x）• ﹣ x• x﹣ （1﹣2x）•
＝﹣ x2+ x
＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴△CPQ面积有最大值为 ，
故选：D．
【点睛】本题是对菱形的综合考查，熟练掌握菱形的性质定理和二次函数的运用是解决本题的关
键.
15．如图，已知菱形 ， ， ， 为 中点， 为对角线 上一点，则
的最小值等于（ ）A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】在菱形ABCD中，B与D关于AC对称，连接BE，BE即为PE＋PD的最小值，通过证明
ABD是等边三角形，得到BE⊥AD，然后在Rt ABE中利用勾股定理即可求解.
△【详解】解：在菱形ABCD中，B与D关于AC对△称，连接BE，BE即为PE＋PD的最小值，
∵AB＝AD＝4，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴ ABD是等边三角形，
∵△E为AD的中点，
∴AE＝2，BE⊥AD，
∴BE＝ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及利用轴对称求最短距
离，通过菱形的轴对称性确定BE为PE＋PD的最小值是解题的关键．
16．如图，在菱形 中， ，E为BC边的中点，M为对角线BD上的一个动点．则
下列线段的长等于 最小值的是（ ）A．AD B．AE C．BD D．BE
【答案】B
【分析】过点M作PM⊥CB于P，根据菱形和直角三角形的性质可得PM= ，从而可得
=AM+PM，根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长；
【详解】过点M作PM⊥CB于P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PBM= ∠ABC=30°，AB=BC
∴PM= BM，
∴ =AM+PM，
∵AB=BC,
∴ 是等边三角形
∵E为BC边的中点，
∴AE⊥BC；
根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长，
故选B．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问
题，属于中考常考题型．
17．如图，正 的边长为2，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为
线段 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】连接CC'，根据 ABC、 A'BC'均为正三角形即可得出四边形A'BCC'为菱形，进而得出点C
关于BC'对称的点是A'，△以此确定△当点D与点B重合时，AD＋CD的值最小，代入数据即可得出结
论
【详解】解：连接CC'，如图所示：
∵△ABC、 A'BC'均为正三角形，
∴∠ABC＝△∠A'＝60°，A'B＝BC＝A'C'，
∴A'C'∥BC，
∴四边形A'BCC'为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD＋CD取最小值，
此时AD＋CD＝2＋2＝4．
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质和菱形的判定，找出点C关
于BC'对称的点是A'是解题的关键．
18．如图， ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，点D是BC上的一个动点，点D关于
△AB，AC的对称点分别是点E，F，四边形AEGF是平行四边形，则四边形AEGF面积的最小值是
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由对称的性质和菱形的定义证出四边形AEGF是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，当
AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，求出AD= ，即可得出
四边形AEGF的面积的最小值．
【详解】由对称的性质得：AE=AD=AF，
∵四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形，
∴∠EAF=2∠BAC=120°，
当AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，
∵∠ABC=45°，AB=2，
∴AD= ，
∴四边形AEGF的面积的最小值= ．
故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、对称的性质；熟练掌握平行四边形
的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
19．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是
（ ）A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】设AC=x，则BD=12-x，根据题意表示出四边形ABCD的面积，根据二次函数的性质解答．
【详解】解：设AC=x，则BD=12−x，
则四边形ABCD的面积= AC×BD
= ×x×(12−x)
=− x²+6x
=− (x−6)²+18，
∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18，
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握二次函数的性质、四边形的面积公式是解题的关
键．
20．如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，点P是对角线AC上的动点，点M在边AB上，且
AM=4，则点P到点M与到边AB的距离之和的最小值是( )
A．4 B． C． D．
【答案】B
【详解】试题解析：作M关于AC的对称点M′，则M′在AD上,且AM′=AM=4，
过M′作M′N⊥AB交AC于P，
则此时,点P到点M与到边AB的距离之和的最小,且等于M′N，
∴△AMM′是等边三角形，
即点P到点M与到边AB的距离之和的最小值是
故选B.
21．如图，OM＝2，MN＝6，A为射线ON上的动点，以OA为一边作内角∠OAB＝120°的菱形
OABC，则BM＋BN的最小值为 （ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接OB，OB ，
1
∵菱形OABC，∠OAB=120°，∴∠OBA=30°，
同理可证，∠OB A =30°，
1 1
在四边形BAA B 中，∠ABB =360°－60°－30°－120°=150°，
1 1 1∴∠OBA+∠ABB =180°，
1
∴O、B、B 三点共线，
1
∴要求BM+BM最小，即要在射线OB 上找一点B使得B点到M、N点的距离之和最小，
1
如图，作点N关于射线OD的对称点N＇,连接M N＇交射线OD于点B，此时BM+BN最小，作
MC⊥NN＇交NN＇于点C，
∵OA⊥NN＇，∴MC∥OA，∴∠O=∠CMN=30°，
∵OM=2，MN=6，∴ON=8，∴AN=AN＇=4，CN=3，∴MC=3 ，AC=1，∴CN＇=5，
∴BM+BN=BM+BN＇=M N＇,
（M N＇）2=（MC）2+（CN＇） 2=27+25=52，
∴M N＇=2 ．
故选C．
【点睛】本题考查求线段之和最小，可以往“将军饮马”问题上考虑，先找出使距离之和最小的
点的位置，要求线段之和一般作垂线，借助勾股定理来求．
22．如图菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，点E为AB边的中点，点F、P为BC、AC边上的动点，
则PE+PF的最小值为（ ）．
A．5 B．4.8 C．4.5 D．4
【答案】B
【详解】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，过E′作AD的垂线交BC于
点F′，连接E′F′，则E′F′的长度即为PE+PF的最小值，最后根据菱形的面积求出E′F的长度即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AD= =5，
作E关于AC的对称点E′，过E′作AD的垂线交BC于点F′，连接E′F′，则E′F′的长度即为PE+PF
的最小值，
∵
∴
即
故选B．
点睛： 本题主要考查菱形的性质及最短路径. 解题的关键在于要利用菱形的轴对称的特性将点E
从AB边变换到AD边上，再根据平行线间的距离最短即可得到PE+PF的最小值.
23．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，
则PK+QK的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2 +2
【答案】B
【详解】试题分析：根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的
交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD
时，PK+QK的最小值，然后求解即可．
解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，
∵AB=4，∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4× =2 ，∴PK+QK的最小值为2 ，
故选B．
考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共0分)
24．如图，在菱形ABCD中， ， ，点M为 边中点，点E为菱形四条边上的
一个动点，沿 的方向运动，连接 ，以 为边作直角三角形 ，其中
， ，在点E运动的过程中，线段 长度的最大值为______．
【答案】
【分析】根据点E在菱形的边 、 、 、 的运动，可确定点F的运动路径，即可求得
的最大值．
【详解】如图，当点E在 上时，则点F在射线 运动，当运动到点B时，点F点运动到点 ，
且 ；当点E在 上时，则点F在线段 上运动，且 ；当点E在 上时，则点
F在线段 上运动，且 ；当点E在 上时， ，则点F在线段 上运动，且
， ；所以点F的运动路径是一个菱形，其边长为4，当点E与点D重合，点F
与点 重合时， 最长；连结 ；
∵在菱形ABCD中， ， ，点M为 边中点，∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴在 中， ；
所以线段 长度的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，确定点F的运动
路径是解题的关键与难点．
25．两张宽为 的纸条交叉重叠成四边形 ，如图所示．若 ，则对角线 上的动
点 到 三点距离之和的最小值是__________．
【答案】
【分析】由题意易得四边形 是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得 ， ，然后根据勾股定理可得 ，则
， ，进而可得 ，要使
为最小，即 的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使 ，连接
BM，最后根据“胡不归”问题可求解．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
过点A作AM⊥AP，且使 ，连接BM，如图所示：∴ ，
要使 的值为最小，则需满足 为最小，根据三角不等关系可得： ，
所以当B、P、M三点共线时， 取最小，即为BM的长，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，即 的最小值为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利
用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
26．如图，菱形ABCD的边长为6， ，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左
侧），若 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定
理解答即可．
【详解】如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD⊥AC，
∵AM⊥AC，
∴AM∥BD，
∴AM∥EF，
∵AM＝EF，AM∥EF，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AE＝FM，
∴AE＋CF＝FM＋FC＝CM，
根据两点之间线段最短可知，此时AE＋FC最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°
∴BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
在Rt△CAM中，CM＝
∴AE＋CF的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的
压轴题．
27．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE＋
AF＝a，则线段EF的最小值为_____．【答案】
【详解】解：连接AC、CE、CF，如图所示：
∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，
∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，
∵AE＋AF＝a，
∴AE＝a－AF＝AD－AF＝DE，
在△ACE和△DCF中， ，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠ACE＝∠DCF，
∴∠ACE＋∠ACF＝∠DCF＋∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，
当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，
当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为 a，
∵EF＝CE，∴EF的最小值为 a．
故答案为： ．
28．如图所示，四边形 中， 于点 ， ， ， 的面积为
12，点 为线段 上的一个动点．过点 分别作 于点 ，作 于点 ．连接
，在点 运动过程中， 的最小值是______．
【答案】7.8
【分析】证四边形ABCD是菱形，得CD=AD=5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN=4.8，
得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．
【详解】解：∵AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵△ABD的面积为12，
∴ BD•AO=12，
∴AO=CO=4，
∴AD=5，
∴CD=AD=5，
连接PD，如图所示：∵ ，
∴ AD•PM+ DC•PN= AC•OD，
即 ×5×PM+ ×5×PN= ×8×3，
∴5（PM+PN）=8×3，
∴PM+PN=4.8，
∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值=4.8+3=7.8，
故答案为：7.8．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及
三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
29．四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，点M、N分别为
BD、BC的中点，点P、Q分别是线段AB、MN上的动点，则AP﹣PQ的最大值为______．
【答案】2
【分析】如图，连接CM，CP，CQ．证明 CMN是边长为2的等边三角形，再证明PA=PC，推出
PA-PQ=PC-PQ≤CQ，求出CQ的最大值，可△得结论．
【详解】解：如图，连接CM，CP，CQ．
∵四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线BD，
∴AB=BC，AD=DC，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∵AB=AD=4，∠ABD=30°，∴AB=BC=AD=DC=4，∠ABD=∠CBD=∠CDB=30°，
∴四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∵CB=CD=4，BM=DM，
∴CM⊥BD，
∴CM= BC=2，
∵BN=CN，
∴MN=BN=NC=2，
∴CM=CN=MN=2，
∴△CMN是等边三角形，
∵A，C关于BD对称，
∴PA=PC，
∴PA-PQ=PC-PQ≤CQ，
∵点Q在线段MN上，
∴当点Q与M或N重合时，CQ的值最大，最大值为2，
∴PA-PQ≤2，
∴PA-PQ的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
30．如图所示，四边形 中， 于点 ， ， ，点 为线段
上的一个动点．过点 分别作 于点 ，作 于点 ．连接 ，在点 运动
过程中， 的最小值等于_______．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 ，根据题意先证明四边形 是菱形，则， ，可知 ，进而可知 ， 共线，根据等面积法求得
，当 时 最短即 的长，进而求得 的最小值为 ．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
， ，
于点 ， ， ，
四边形 是菱形，
， ， ，
在 和 中
，
（ASA），
，
，
，
， ，
，
，
三点共线，
，
，
，当 时 最短即 的长，
的最小值为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，轴对称，找到
的最小值为 是解题的关键．
