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专题 04 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、圆柱中的最短路径模型
类型二、长方体中的最短路径模型
类型三、阶梯中的最短路径模型
类型四、将军饮马与最短路径模型
压轴专练
类型一、圆柱中的最短路径模型
【方法总结】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算与圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股
定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面
圆周长的一半进行计算.
注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—应用勾股定理的步骤进行计算；
（2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数.
【最值原理】两点之间线段最短.
例1．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于 ，底面
周长为 ，在盒下底面的点A处有一只蚂蚁，想沿盒壁外部爬行吃到盒外部正对面中部点B处的食物．
若蚂蚁爬行的速度为 ．那么它至少需要 秒．【变式1-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如
图所示，每根雕龙木柱高 为6米，在底面周长为 米的木柱上，有一条雕龙从柱底 点沿立柱表面盘
绕3圈到达柱顶正上方的 点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 米．
【变式1-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯 ，因使用时
间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为 ，已知 ， ，一只蚂
蚁从 点爬到 点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（ 取 ）
【变式1-3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼
梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中．
(1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点
为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示
意图；
(2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为 ，扶手所在圆柱的底面半径为 ，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（ 取3）
类型二、长方体中的最短路径模型
【方法总结】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论.
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同.
【最值原理】两点之间线段最短.
例2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高
分别为 ， ， ，一只蚂蚁想从盒底的点 沿盒的侧面爬到盒顶的点 ，蚂蚁要爬行的最短行程
是多少？
【变式2-1】（2025八年级上·陕西·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的
距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
【变式2-2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设
计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）．(1)如图①，正方体的棱长为 ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点 处；
(2)如图②，长方体的长和宽都为 ，高为 ，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到
点 处；
(3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是 、 和 ，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬
到长方体上和 相对的顶点 处．
【变式2-3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图
1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点 出发，沿着正方体的表面爬行到点 ．沿怎样的路线爬行路
程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点 ，
之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿
线段 爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为 ．问题解决：
(1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为 、 、 ，一只蚂蚁想从盒底的点 沿盒的
表面爬到盒顶的点 ，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
(2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点 在棱 上， ．一只蚂蚁要沿长方
体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是多少？
类型三、阶梯中的最短路径模型
【方法总结】阶梯中最短路径基本模型如下：
注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短.
例3．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图所示，四边形 是长方形地面，长 ，宽
．中间竖有一堵墙，高 ．一只蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，求它至
少要走多长的路程．【变式3-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中
．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？
【变式3-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个供滑板爱好者使用的 型池的示意图，
该 型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为 的半圆，其边缘
．小诚是一名滑板爱好者，若他从点 处滑到点 处，他滑行的最短距离是多少米？（边
缘部分的厚度忽略不计）
【变式3-3】（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽
为 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正
面看是一个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接 ．
(1)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是______；
(2)问题解决：求出这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．类型四、将军饮马与最短路径模型
【方法总结】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决.
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股
定理求解.
【最值原理】两点之间线段最短.
例4．（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，
底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离
容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长
【变式4-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，A，B两个小镇在河岸 同侧，到河岸的距离分别
为 ，且 ．现在要在河边修建一个自来水厂，向A，B两个小镇供水．铺
设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸 上确定自来水厂的位置P，使铺设水管的费用最低，并求出
最低费用．
【变式4-2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高 ，水深 ，在水面线 上紧贴内壁 处有一粒食物，且 ，一只小虫想从水缸外的 处沿
水缸壁爬到水缸内的 处吃掉食物．
(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注．
(2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）．
【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，
人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新
的证法．证法如下：
把两个全等的直角三角形 （如图1放置， ， 点 在边
上，现设 两直角边长分别为 、 ，斜边长为 ，请用 分别表示出梯形
、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上 两点（看作直线上的两点）相距 千米， 为两个村庄（看作直线上的两点），
， ，垂足分别为 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为______千米．
(3)在（2）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，使得
，请在图2中作出 点的位置并求出 的距离．
(4)借助上面的思考过程，当 时，直接写出代数式 的最小值．一、单选题
1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，圆柱的底面周长为 ，高 为 ， 是上底面的直
径，一只蚂蚁从点 出发，沿侧面爬行到点 ，则爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为 的中点，则一只蚂蚁从M
点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A．3 B． C． D．
3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口 的点
处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管外表面距离右侧管口 的点 处觅食，已知钢管横截面的周长为
，长为 ，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．4．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为
，高为 ．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点
处，爬行到正方形格子内部底面的顶点 处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为
（ ）
A． B． C． D．
5．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线 的同侧，A到 的距离 ，B到
的距离 ，已知 ，P是直线 上的一个动点，记 的最小值为a， 的最
大值为b，则 的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
二、填空题
6．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个“ ”型的零件，四边形 和四边形 均为长方
形，在点 处有一只蚂蚁（看作点），点 到 的距离为 ， ， ，则蚂蚁沿零
件表面从点 到点 爬行的最短路程是 ．7．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个直六棱柱，底面边长均为 ，侧棱 ，有一只
蚂蚁从底面的顶点A处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短路线长为
．
8．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点A出
发，经过长方体的表面爬到顶点B的最短路程为 ．
9．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与 轴交于点
，与 轴的负半轴交于点 ，且 ， 、 是该直线上的两个动点，且 ，连接
、 ，则 周长的最小值为 ．10．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当 时，求
代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的 的斜边长，
可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长．于是将问题转化为求 的最小
值，如图所示，当 与 共线时， 为最小．请你解决问题：当 时，则代数式
的最小值是 ．
三、解答题
11．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点 与点 的距离为
2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 爬到点 ．求蚂蚁需要爬行的最短距离．
12．（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着
树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？
阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）：
(1)如图，若树底面的周长为 ，从点 绕1圈到点 ，葛藤升高 ，则它绕树盘旋的最短路程是多少
分米？(2)若树底面的周长为 ，葛藤绕树1圈的路程是 ，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树
顶，则树干的高为多少分米？
13．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为 ，底面圆的周长
为 的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点 处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点 相对的中点 处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是
___________
任务二：小星把圆柱的高变为 ，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部 处，帮蚂蚁
设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点 相对的点 处的食物，吃完后再设计另一条与
前一条不一样的最短路径回到点 处（此时 两点重合）小星沿着 竖直方向将圆柱剪开，得到长方
形 （如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想 平分 ，请根据题意，在图③中补全图形，
并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为 的正方形纸片（如图④），点 为 中点，他将 沿 对折
到正方形内部 的位置，并把线段 抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点 处，不计蜂蜜的宽度，你能帮
小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
14．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为 ，如图1所示． 和 是这个四级台阶两个相对的端点，
若点 处有一只蚂蚁，它想到点 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接 ，经
过计算得到 长度即为最短路程，则 ______________ ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，一只蚂蚁从点 出发沿着
玻璃杯的侧面到与点 相对的点 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）
15．（25-26八年级上·吉林长春·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点 、 之间的
距离时，进行了如下的分类讨论：当 轴时， 、 两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意
两点间的距离，可得 ；当 轴时， 、 两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴
上任意两点间的距离，可得 ；当 、 两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直
角三角形，由勾股定理 ．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充
完整．
解：过 、 分别向 轴、 轴作垂线，两条垂线交于点 ．
∵ 轴， 轴，
∴ （_________，_________），
∴ ______________，
______________，
在 中，由勾股定理可得，
∴ ．
解答以下问题：
（1）若 ， ，则 _________．
（2）在平面直角坐标系中，已知点 和 ，将线段 平移到 ，点 的对应点是 ，点
的对应点是 ，若 的坐标是 ，且 ，求点 的坐标．
（3）已知点 为 轴上一点，则 的最小值为_________．
16．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践
【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望
小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄．
【包装准备】
如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为 ；第二种长
方体纸箱，尺寸规格为 ，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为 ，并且扣手到
所在面相对两条边的距离相等．
【问题解决】
(1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______ ．
(2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳
子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小）如图，连接 ， ，易得 ．
由题可得 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
所以，这根绳子的最短长度为 ．
17．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定 两点的位
置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________ ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A
开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高 为 ，底面边长为 ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径 为 ，点A处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（ 取3）
18．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式 的最小值．
分析： 和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，
是直角边分别是 和 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 和 ，并使直角边 和 在同一直线上（图 ），向右平移直角 使点 和 重合（图 ），这时
， ， ，问题就变成“点 在线段 的何处时， 最短？”根据两
点间线段最短，得到线段 就是它们的最小值．
（1）代数式 的最小值为______；
（2）变式训练：求代数式 的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数 满足 ，则 ______．
（4） 的最大值是______；
