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专题01 勾股定理中的最短路径模型
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活
实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两
大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先
画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，
然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
.........................................................................................................................................1
模型1.圆柱中的最短路径模型.................................................................................................................1
模型2.长方体中的最短路径模型.............................................................................................................4
模型3.阶梯中的最短路径模型.................................................................................................................8
模型4.将军饮马与空间最短路径模型....................................................................................................11
.......................................................................................................................................14
模型1.圆柱中的最短路径模型条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点
B。
结论：彩带最短需要厘米．
证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是 的长度，
由勾股定理得， ，则这条丝线的最短长度是厘米，
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处
沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（ ）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
例2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图,这是一个供滑板爱好者使用的 型池,该 型池可以看作
是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为 m的半圆,其边缘
,点 在 上, ,一位滑行爱好者从A点到E点,则他滑行的最短距离是 m（边
缘部分的厚度可以忽略不计， 取 ）
变式1．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个圆柱高 ，底面周长为 ，一只蚂蚁从点
A沿圆柱表面爬到点B处觅食，要爬行的最短路程为 ．变式2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方
B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是 ，高是 ，那么所需彩带最短的长度是 ．
模型2.长方体中的最短路径模型
条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞
b）。
结论：蚂蚁爬行的最短路程是
证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时， ；则 ；
如图，当长方体的侧面按图乙展开时， ；
则 ；
如图，当长方体的侧面按图丙展开时， ；
则 ；
∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故 ＞ ＞
∴蚂蚁所行的最短路线长为 ，
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
例1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，已知长方体的三条棱 、 、 分别为4，5，2，蚂蚁
从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程是（ ）
A． B． C． D．11
例2．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，
若 米，点P到 的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A． B． C． D．
变式1．（23-24八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为 ， ， ，
在 中点 处有一滴蜜糖，有一只小虫从 点爬到 处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为 ．变式2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，某长方体的底面为正方形 ， ， ，
现用一根绳子从点A开始，沿着长方体的表面环绕长方体2圈，最后在点 处结束，则这根绳子的最小长
度为（ ）
A． （或 ）m B． （或 ）m C． （或 ）m D． （或 ）m
模型3.阶梯中的最短路径模型
条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，
点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点 的最短路程为
证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h，
∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线的长，
则由勾股定理得 ；
则蚂蚁沿着台阶面爬到 点最短路程是 ．
注意：展开—定点—连线—勾股定理
例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为 、 、
，则它爬行的最短路程为 ．
例2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片 折叠，如图所示，已知
， ， ，则蚂蚁从点A处到达点C处
需要走的最短路程是 ．
变式1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块，
已知 米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A
爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）A．19米 B． 米 C．15米 D． 米
变式2．（2023春·广东八年级课时练习）棱长分别为 两个正方体如图放置，点P在 上，且
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______．
模型4.将军饮马与空间最短路径模型
条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离
容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，
结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。
证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交B的延长线于D，
则四边形 是矩形，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离，
∵由题意得， （ ）， =a（ ）， （ ），
在 中， （ ）．注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解。
例1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面
周长为 ，在容器内壁离容器底部 的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿
的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
变式1．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看
成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为 的半圆，其边缘
．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则
他滑行的最短距离约为（ 取3） ．
变式2.（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，
高 ，水深 ，在水面上紧贴内壁的 处有一块面包屑， 在水面线 上，且
，一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为
．1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在一个长为 、宽为 、高为 的长方体上，居中截去一个
长为 、宽为 、深为 的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点
处，沿着几何体的表面到几何体上和 相对的顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径
为 ，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（ 取3）（ ）
A． B．8 C． D．10
3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁
离杯底 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 且与蜂蜜相对的点A处，则
蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ） ．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
4．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，
若 米，点P到 的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A． B． C． D．
5．（2024·广东茂名·八年级校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为 ，沿其
相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面
从点A爬行到点B的最短路程为（ ）A． B． C． D．
6．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为 ， 是正方体的一个顶点， 是侧
面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点 爬到点 的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂
蚁在 处发现 处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．5
8．（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从
点A爬到点B的最短路程是（ ）A． B．5 C． D．10
9．（2023秋·湖北·八年级专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表
面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B． C． D．
10．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，四边形 是长方形地面，长 ，宽 ，中
间竖有一堵砖墙高 ，一只蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，一圆柱高 ，底面周长为 ，现需按如图方式缠绕一
圈彩带进行装饰，则彩带最短要用 ．12．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，
从顶点 到顶点 镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为 ，底面边长为 ，则这图金属丝的长度至
少为 ．
13．（2023春·山东济宁·八年级校考期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，
每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长
均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米．
14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知
米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过
木块到达 处需要走的最短路程是 米．
15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一个圆柱体高 ，底面半径 ，蚂蚁在圆柱表面从
点A爬到点B处，要爬行的最短路程是 （ 取3）．16．（23-24七年级上·山东烟台·期中）底面是等边三角形的三棱柱，底面边长为5，棱柱高为8，按如图
方法缠绕一周的最短长度是 ．
17．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方
体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4 的半圆，其边缘 ，点E在
上， ，一滑行爱好者从 点滑行到 点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．
18．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长
为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱
侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B
对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．【方法应用】（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处
有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥
的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
19．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别
为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着
台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成
平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点
A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处
有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处
到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）20．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践
长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形 的
长方体盒子， ， ， ．该小组把长方体的两侧面 ， 剪下来，沿着
和 剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”．
【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为 ，小正方形 的面积为16．求大正方形
的面积；
【探究二】（2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）；
【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽
度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：
将长方体盒子侧面 ， 展开成图③所示的平面图形，连接 ，在 中，
，即l的最小值为 ．上述探究结果是否正确？若不正
确，画图并求出l的最小值．
