文档文本内容
专题 3.2 勾股定理的逆定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)....................................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:45)(cid:19)............................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:19)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:19)................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:63)(cid:19)........................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:19)............................................................................9
知识点1 直角三角形的判别条件
1. 定义：如果三角形的三边 ， ， 满足 + = 那么这个三角形是直角三角形(cid:71)（此判别条件也称
2 2 2
为勾股定理的逆定理） 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法：
从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余
从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方
知识点2 勾股数
1. 勾股数
定义 满足 + = 的三个正整数，称为勾股数
2 2 2
三𝑎个数都𝑏 是正𝑐整数
满足条件
①两个较小整数的平方和等于最大整数的平方
②勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍
拓展
为勾股数.
， ， +1（ 大于1的全部数）；
常见形式
2 2
①𝑛 −，1 2𝑛 ，𝑛 +1𝑛（n为正整数）等
2 2
2. 判断勾股数的方法步②骤4𝑛: 4𝑛 −1 4𝑛(1)确定三个是正整数；
(2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和；
(3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是(cid:71)
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
(cid:15)(cid:72)1(cid:19)(cid:73)2025·(cid:74)(cid:16)(cid:75)(cid:76)·(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:67)(cid:46)(cid:44)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:41)(cid:82)(cid:67)(cid:86)12(cid:46)(cid:84)(cid:85)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:26)(cid:93)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79)
A(cid:71)6(cid:95)9 B(cid:71)9(cid:95)15 C(cid:71)10(cid:95)16 D(cid:71)15(cid:95)18
(cid:15)(cid:96)(cid:97)1-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:106)(cid:80)(cid:81)(cid:107)(cid:93)(cid:35)(cid:86)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:108)(cid:106)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:94)(cid:73)(cid:109)(cid:109)(cid:79)
A(cid:71)2(cid:95)3(cid:95)4 B(cid:71)3(cid:95)4(cid:95)6 C(cid:71)6(cid:95)8(cid:95)10 D(cid:71)7(cid:95)24(cid:95)26
(cid:15)(cid:96)(cid:97)1-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:110)(cid:111)(cid:75)(cid:112)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:42)(cid:43)a(cid:113)b(cid:113)c(cid:94)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)( ) +( 12)
2 2
+| |=0(cid:95)(cid:118)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:32)(cid:119)(cid:94)(cid:73) (cid:79) 𝑎−9 𝑏−
A𝑐−(cid:71)1(cid:30)5 (cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:120)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
C(cid:71)(cid:121)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:122)(cid:41)(cid:123)(cid:124)(cid:91)(cid:120)(cid:46)(cid:120)(cid:123)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)1-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:125)(cid:126)(cid:24)(cid:55)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:42)(cid:43) (cid:95) (cid:95) (cid:94) (cid:46)(cid:24)(cid:83)(cid:25)(cid:95)(cid:118)(cid:80)(cid:81)(cid:83)(cid:127)(cid:26)(cid:22)(cid:49)
(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79) 𝑎 𝑏 𝑐 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71) =1:2:3 B(cid:71)( + ) +( ) =2
2 2 2
C(cid:71)𝑎:𝑏:𝑐 =2:3:4 D(cid:71) 𝑎 =𝑏 =𝑎−𝑏 𝑐
【题型
∠2 𝐴 :∠
勾
𝐵
股
:∠
数
𝐶
】
∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶
(cid:15)(cid:72)2(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:94)(cid:128)(cid:26)(cid:29)(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:83)(cid:25)(cid:82)(cid:46)(cid:24)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:35)(cid:95)(cid:132)(cid:133)(cid:40)(cid:134)(cid:135)(cid:90)(cid:136)(cid:137)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:97)(cid:46)(cid:94)(cid:38)(cid:138)(cid:139)(cid:140)
(cid:35)(cid:11)(cid:141)(cid:70)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:71)(cid:148)(cid:149)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:95)(cid:60)(cid:38) (cid:95) (cid:150)(cid:151)(cid:152) (cid:95) = 1 1 (cid:95) = 1 + 1 (cid:95) (cid:94)(cid:153)(cid:152)1
2 2 2 2
2 2
(cid:46)(cid:154)(cid:35)(cid:95)(cid:118) = (cid:73)(cid:48)(cid:155) (cid:46)(cid:97)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:79)(cid:71) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑚 − 𝑐 𝑚 𝑚
(cid:15)(cid:96)(cid:97)2-1(cid:19)𝑏(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:159)𝑚(cid:75)(cid:160)(cid:161)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:162)(cid:138)(cid:94)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:138)(cid:166)(cid:167)(cid:135)(cid:95)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:152)(cid:162)(cid:138)(cid:139)(cid:140)
(cid:141)(cid:172)(cid:46)(cid:35)(cid:11)(cid:141)(cid:70)(cid:142)(cid:160)(cid:173)(cid:145)(cid:174)(cid:147)(cid:38)(cid:95)(cid:80)(cid:81)(cid:107)(cid:93)(cid:35)(cid:38)(cid:95)(cid:94)“(cid:33)(cid:34)(cid:35)”(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79)
A(cid:71)5(cid:95)12(cid:95)11 B(cid:71)6(cid:95)8(cid:95)10 C(cid:71)7(cid:95)8(cid:95)9 D(cid:71)15(cid:95)17(cid:95)18
(cid:15)(cid:96)(cid:97)2-2(cid:19)(cid:175)8(cid:95)15(cid:95) (cid:94)(cid:135)(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:118) (cid:46)(cid:63)(cid:86) (cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)2-3(cid:19)(cid:80)(cid:81)(cid:176)(cid:177)(cid:10)𝑥 𝑥
(cid:178)(cid:86)0.6(cid:95)0.8(cid:95)1(cid:124)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:179)(cid:106)(cid:106)0.6(cid:95)0.8(cid:95)1(cid:86)(cid:25)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:124)(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
①(cid:175)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:180) > (cid:95) > (cid:95)(cid:118)(cid:181)(cid:149) + =
2 2 2
② 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐(cid:178)(cid:106)0.5(cid:95)1.2(cid:95)1.3(cid:86)(cid:25)(cid:82)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:179)(cid:106)0.5(cid:95)1.2(cid:95)1.3(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
③(cid:175)(cid:24)(cid:129)(cid:131)(cid:35)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:83)(cid:25)(cid:95)(cid:118) (cid:95) (cid:95) (cid:181)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
④(cid:60)(cid:38)(cid:130)(cid:182)(cid:46)(cid:94) (cid:73)(cid:183)(cid:184)(cid:9)(cid:79)(cid:71) 3𝑎 3𝑏 3𝑐
【题型3 网格中判断直角三角形】
(cid:15)(cid:72)3(cid:19)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:185)(cid:135)(cid:129)6×6(cid:46)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:95)(cid:149)(cid:24)(cid:129)(cid:37)(cid:45)(cid:24)(cid:31)(cid:32)((cid:187)(cid:45)(cid:185)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:188)(cid:45)(cid:40))(cid:95)(cid:60)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)
(cid:129)(cid:35)(cid:94) (cid:73) (cid:79)
A(cid:71)0 B(cid:71)1 C(cid:71)2 D(cid:71)3
(cid:15)(cid:96)(cid:97)3-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:40)·(cid:125)(cid:126)(cid:189)(cid:190)·(cid:191)(cid:85)(cid:192)(cid:193)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:179)(cid:158)(cid:95)(cid:185)4×4(cid:46)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:38)(cid:95)(cid:151)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:46)(cid:187)
(cid:45)(cid:194)(cid:86)(cid:37)(cid:45)(cid:95) (cid:46)(cid:187)(cid:45)(cid:195)(cid:185)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:95)(cid:196)(cid:129)(cid:151)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:82)(cid:150)(cid:86)1(cid:95)(cid:118) (cid:46)(cid:32)(cid:119)(cid:197)(cid:198)(cid:163)(cid:199)(cid:182)(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:120)(cid:123)(cid:24)(cid:31)(cid:32) C(cid:71)(cid:120)(cid:123)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:120)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)3-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:40)·(cid:200)(cid:138)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:179)(cid:158)(cid:46)(cid:94)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:118) = °(cid:73)(cid:45) (cid:95) (cid:95)
(cid:95) (cid:95) (cid:86)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:188)(cid:45)(cid:79)(cid:71) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 𝐴 𝐵
𝐶 𝐷 𝑀
(cid:15)(cid:96)(cid:97)3-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:159)(cid:102)(cid:201)(cid:202)·(cid:78)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:79)(cid:39)(cid:94)(cid:206)(cid:151)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:207)(cid:29)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:95) (cid:44)(cid:45)(cid:150)(cid:185)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:95) (cid:44)(cid:45)(cid:150)(cid:86)
(cid:151)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:135)(cid:25)(cid:46)(cid:38)(cid:45)(cid:95)(cid:30)(cid:84) (cid:41)(cid:30)(cid:84) (cid:188)(cid:152)(cid:45) (cid:95)(cid:118) =(cid:73) (cid:79) 𝐴,𝐵 𝐶,𝐷
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷A(cid:71)60° B(cid:71)75° C(cid:71)90° D(cid:71)105°
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
(cid:15)(cid:72)4(cid:19)(cid:45) A(cid:73)2(cid:95)m(cid:79)(cid:95)B(cid:73)2(cid:95)m-5(cid:79)(cid:185)(cid:208)(cid:209)(cid:30)(cid:31)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:38)(cid:95)(cid:45)O(cid:86)(cid:210)(cid:211)(cid:213)(cid:45)(cid:71)(cid:175) ABO(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
(cid:118)m(cid:46)(cid:63)(cid:124)(cid:108)(cid:26)(cid:94)(cid:73) (cid:79) △
A(cid:71)4 B(cid:71)2 C(cid:71)1 D(cid:71)0
(cid:15)(cid:96)(cid:97)4-1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:45) (cid:46)(cid:210)(cid:211)(cid:86)(3,5)(cid:95)(cid:45) (cid:185) (cid:214)(cid:40)(cid:95)(cid:180) =13(cid:95)(cid:215)(cid:216)(cid:45) (cid:46)(cid:210)(cid:211)(cid:86) .
(cid:15)(cid:96)(cid:97)4-2(cid:19)(cid:185)(cid:208)(cid:209)(cid:30)𝐴 (cid:31)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:38)(cid:95)(cid:45)A𝐵(cid:46)(cid:210)𝑥(cid:211)(cid:86)(1(cid:95)𝐴1)𝐵(cid:95)(cid:45)B(cid:46)(cid:210)(cid:211)(cid:86)𝐵(11(cid:95)1)(cid:95)(cid:45)C(cid:217)(cid:30)(cid:84)AB(cid:46)(cid:218)(cid:219)(cid:86)
5(cid:95)(cid:180) ABC(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:118)(cid:116)(cid:117)(cid:83)(cid:127)(cid:46)C(cid:45)(cid:149)((cid:109)(cid:109))
A(cid:71)△4(cid:129) B(cid:71)5(cid:129) C(cid:71)6(cid:129) D(cid:71)8(cid:129)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)4-3(cid:19)(cid:45) (cid:185) (cid:214)(cid:40)(cid:95) (4,1)(cid:113) (1,4)(cid:95)(cid:114)(cid:115) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:52)(cid:45) (cid:46)(cid:210)(cid:211)(cid:71)
【题型5 利用 𝑃 勾股 𝑦 定理的逆 𝐴 定理求 𝐵 解】 △𝐴𝐵𝑃 𝑃
(cid:15)(cid:72)5(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:125)(cid:126)(cid:220)(cid:221)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:185) (cid:38)(cid:95) =90°(cid:95) = (cid:95) (cid:94) (cid:222)(cid:46)
(cid:135)(cid:45)(cid:95)(cid:180) =1(cid:95) =2(cid:95) =3(cid:95)(cid:118) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:86)△(cid:73)𝐴(cid:109)𝐵𝐶(cid:109)(cid:79) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ∠𝐵𝑃𝐶
A(cid:71)120° B(cid:71)135° C(cid:71)140° D(cid:71)150°
(cid:15)(cid:96)(cid:97)5-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:40)·(cid:223)(cid:74)(cid:224)(cid:190)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:225)(cid:226) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:227)(cid:228)(cid:86) =6(cid:95) =8(cid:95)
=10(cid:95)(cid:148)(cid:229)(cid:25) (cid:230) (cid:231)(cid:232)(cid:95)(cid:233)(cid:168)(cid:234)(cid:185)(cid:25) (cid:40)(cid:95)(cid:45) (cid:41)(cid:45) (cid:235)(cid:62)(cid:95)𝐴𝐵(cid:52)𝐶 (cid:46)(cid:82)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶 𝐸 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:96)(cid:97)5-2(cid:19)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:185)(cid:110)(cid:25)(cid:32)ABCD(cid:38)(cid:95)AB(cid:10)BC(cid:10)CD(cid:10)DA=2(cid:10)2(cid:10)3(cid:10)1(cid:95)(cid:180) ABC=90°(cid:95)(cid:118) DAB(cid:46)(cid:67)(cid:35)
(cid:94) °(cid:71) ∠ ∠(cid:15)(cid:96)(cid:97)5-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:236)(cid:237)(cid:62)(cid:238)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:185) (cid:38)(cid:95) = = = (cid:46)(cid:208)(cid:227)(cid:84)
(cid:188) (cid:152)(cid:45) (cid:95)(cid:45) (cid:95) (cid:227)(cid:228)(cid:86)(cid:84)(cid:85) (cid:95)(cid:25) (cid:40)(cid:46)(cid:239)(cid:45)(cid:71)(cid:118)△𝑂𝐴𝐵+ (cid:46)𝑂𝐴(cid:163)(cid:151)3(cid:63),𝑂(cid:86)𝐵(cid:73)(cid:109)4,(cid:109)𝐴𝐵(cid:79) 5,∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐶 𝑃 𝑄 𝐴𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝑃 𝑃𝑄
A(cid:71)2 B(cid:71)2.4 C(cid:71)2.5 D(cid:71)2.6
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
(cid:15)(cid:72)6(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243)·(cid:191)(cid:85)(cid:192)(cid:193)(cid:79)(cid:49)(cid:244)(cid:10)(cid:185) (cid:38)(cid:95)(cid:175) = (cid:95) = (cid:95) = (cid:95)(cid:180)a(cid:95)
b(cid:95)c(cid:116)(cid:117) + = (cid:95)(cid:118)(cid:194)(cid:245)(cid:129)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:86)“(cid:246)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)△”(cid:71)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
2 2
(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:106)(cid:40)𝑎𝑐(cid:49)(cid:244)𝑎(cid:53)(cid:64)𝑏(cid:80)(cid:81)(cid:250)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:114)(cid:39)1(cid:95)(cid:175)(cid:120)(cid:123)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:94)“(cid:246)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)”(cid:95) = (cid:95) > (cid:95)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
(2)(cid:114)(cid:39)2(cid:95)(cid:185) (cid:38)(cid:95)𝐴𝐵𝐶= (cid:95)(cid:180) > 𝐴𝐵(cid:95)D𝐵(cid:94)𝐶 AB𝐴𝐶(cid:40)(cid:46)𝐴(cid:45)𝐵(cid:95)(cid:92)∠(cid:251)𝐶CD(cid:95)(cid:116)(cid:117) = (cid:95)(cid:252)(cid:45) (cid:70)
(cid:95)(cid:253)(cid:117)△(cid:86)𝐴𝐵(cid:71)𝐶(cid:52)(cid:54)∠(cid:10)𝐵 2∠𝐴(cid:86)“(cid:246)∠(cid:33)𝐴𝐶(cid:34)𝐵(cid:24)(cid:31)∠(cid:32)𝐴”(cid:71) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶
𝐶(cid:15)𝐸(cid:96)⊥(cid:97)𝐴𝐵6-1(cid:19)(cid:114)(cid:39)(cid:95)𝐸 (cid:38)△(cid:95)𝐴𝐵𝐶(cid:46)(cid:253)(cid:30)(cid:208)(cid:227)(cid:84) (cid:227)(cid:228)(cid:188) (cid:113) (cid:152)(cid:45)D(cid:95)E(cid:95)(cid:180) = (cid:71)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:254)
∠𝐶(2)(cid:175) =8(cid:95) =4(cid:95)(cid:52) (cid:46)(cid:82)(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)𝐴𝐶6-2(cid:19)(cid:73)𝐵2𝐶4-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)𝐴𝐷(cid:80)·(cid:159)(cid:102)(cid:255)(cid:240)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:42)(cid:43) (cid:46)(cid:24)(cid:25) = ( >1)(cid:95) = (cid:95) = +1(cid:71)
2 2
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:94) (cid:46)(cid:163)(cid:82)(cid:25)(cid:254) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑛 −1 𝑛 𝑏 2𝑛 𝑐 𝑛
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10)𝑐 △𝐴(cid:94)𝐵𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:254)
(3)(cid:30)(cid:251)(cid:256)(cid:137)△(cid:135)𝐴𝐵(cid:93)𝐶(cid:116)(cid:117) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:60)(cid:38)(cid:155)(cid:130)(cid:131)(cid:35)12(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)6-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:159)△(cid:102)𝐴(cid:257)𝐵𝐶(cid:258)·(cid:135)(cid:78)(cid:79)(cid:15)(cid:250)(cid:20)(cid:259)(cid:137)(cid:19)
(cid:73)1(cid:79)(cid:114)(cid:39)1(cid:95) (cid:260) (cid:195)(cid:94)(cid:120)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:45) (cid:185) (cid:222)(cid:261)(cid:95)(cid:92)(cid:251) (cid:95) (cid:95) (cid:71)
(cid:52)(cid:54)(cid:10) =△𝐴𝐵(cid:254)𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷
①(cid:175) 𝐵𝐷=15𝐴0𝐸°(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:10) = + (cid:254)
2 2 2
(cid:15)②(cid:250)(cid:20)∠𝐴(cid:262)𝐷(cid:263)𝐶(cid:19) 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:73)2(cid:79)(cid:114)(cid:39)2(cid:71) (cid:260) (cid:195)(cid:94)(cid:120)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:45) (cid:185) (cid:264)(cid:261)(cid:95)(cid:175) = + (cid:265)(cid:266)(cid:29)(cid:267)(cid:95)(cid:52)
2 2 2
(cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
【题型7 勾股定理的逆定理实际应用】
(cid:15)(cid:72)7(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:213)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:135)(cid:271)(cid:65)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:185)(cid:276)(cid:38)(cid:45)A(cid:277)(cid:95)(cid:45)A(cid:41)(cid:278)(cid:209)(cid:40)(cid:45)B(cid:167)(cid:279)
(cid:46)(cid:218)(cid:219) =20(cid:280)(cid:95)(cid:45)A(cid:41)(cid:278)(cid:209)(cid:40)(cid:45)C(cid:73)(cid:45)B(cid:113)C(cid:277)(cid:152)(cid:281)(cid:135)(cid:282)(cid:208)(cid:209)(cid:40)(cid:79)(cid:46)(cid:218)(cid:219) =25(cid:280)(cid:95)(cid:180) =15(cid:280)(cid:71)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:254)
(2)(cid:148)(cid:245)∠𝐴(cid:271)𝐵𝐶(cid:65)(cid:272)(cid:273)(cid:230) (cid:179)(cid:185)(cid:30)(cid:84)(cid:283)(cid:80)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:45)D(cid:277)(cid:95)(cid:175)(cid:45)D(cid:287)(cid:288)(cid:185)(cid:25) (cid:46)(cid:253)(cid:30)(cid:208)(cid:227)(cid:84)(cid:40)(cid:95)(cid:92)(cid:251) (cid:95)(cid:52)(cid:245)(cid:271)
(cid:65)(cid:272)(cid:273)(cid:283)(cid:80)(cid:284)(cid:285)(cid:46)(cid:218)𝐴𝐵(cid:219)(cid:73) (cid:46)(cid:82)(cid:79)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:96)(cid:97)7-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)𝐴(cid:100)𝐷(cid:80)·(cid:74)(cid:241)(cid:289)(cid:190)·(cid:191)(cid:85)(cid:192)(cid:193)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:290)(cid:151)(cid:291)(cid:46)(cid:44)(cid:129)(cid:292)(cid:293) (cid:95) (cid:294)(cid:152)(cid:151)(cid:295) (cid:46)(cid:281)(cid:296)(cid:95)(cid:44)
(cid:129)(cid:292)(cid:293)(cid:167)(cid:279)(cid:46)(cid:218)(cid:219) =25m(cid:71)(cid:148)(cid:297)(cid:86)(cid:292)(cid:293)(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:282)(cid:301)(cid:302) (cid:95) (cid:95)(cid:300)(cid:282)(cid:45) (cid:185)𝐴(cid:151)(cid:295)𝐵 (cid:40)(cid:95)(cid:300)𝐴(cid:282)𝐶(cid:45) (cid:217) (cid:46)
𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝑀 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐵(cid:218)(cid:219) =12m(cid:95) =15m(cid:71)
𝑀𝑁 𝐵𝑀
(1)(cid:52)(cid:300)(cid:282)(cid:45) (cid:217)(cid:292)(cid:293) (cid:303)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:46)(cid:301)(cid:302)(cid:82) (cid:71)
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10) 𝑀 =90𝐴°(cid:71) 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:96)(cid:97)7-2∠(cid:19)𝐵𝑀(cid:73)𝐴24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:40)·(cid:159)(cid:75)(cid:304)(cid:305)·(cid:105)(cid:306)(cid:79)(cid:290)(cid:242)(cid:239)(cid:307)(cid:106)(cid:308)(cid:309)(cid:113)(cid:310)(cid:311)(cid:113)(cid:312)(cid:313)(cid:86)(cid:137)(cid:314)(cid:45)(cid:95)(cid:315)(cid:242)(cid:239)(cid:316)(cid:317)(cid:318)(cid:291)(cid:319)
(cid:285)(cid:165)(cid:320)(cid:321)(cid:299)(cid:322)(cid:71)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:110)(cid:25)(cid:32) (cid:86)(cid:317)(cid:323)(cid:291)(cid:324)(cid:95)(cid:110)(cid:160)(cid:94)(cid:325)(cid:302)(cid:95) (cid:95)(cid:38)(cid:279)(cid:94)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:291)(cid:324)(cid:95)(cid:86)(cid:330)(cid:331)(cid:332)
(cid:333)(cid:95)(cid:38)(cid:279)(cid:334)(cid:335)(cid:165)(cid:336)(cid:26)(cid:337)(cid:308)(cid:309)(cid:338)𝐴(cid:239)𝐵(cid:325)𝐶𝐷(cid:302) (cid:95)(cid:174)(cid:205)(cid:339) =9(cid:95) =𝐴1𝐵2(cid:95)⊥𝐵𝐶 =8(cid:95) =17(cid:71)
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:71)
(2)(cid:52)(cid:110)(cid:25)(cid:32)𝐴𝐶⊥𝐶𝐷(cid:46)(cid:209)(cid:340)(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)7-3(cid:19)𝐴(cid:162)𝐵𝐶(cid:341)𝐷(cid:342)(cid:343)(cid:174)(cid:344)(cid:345)(cid:202)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:95)(cid:202)(cid:346)(cid:94)(cid:135)(cid:328)(cid:351)(cid:266)(cid:352)(cid:353)(cid:95)(cid:168)(cid:106)(cid:202)(cid:346)(cid:38)(cid:321)(cid:86)(cid:354)(cid:321)(cid:185)(cid:160)(cid:355)(cid:40)(cid:356)(cid:280)(cid:46)(cid:357)
(cid:355)(cid:222)(cid:32)(cid:29)(cid:358)(cid:359)(cid:348)(cid:360)(cid:95)(cid:149)(cid:358)(cid:361)(cid:46)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:71)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:149)(cid:135)(cid:202)(cid:346)(cid:38)(cid:321)(cid:230)(cid:365)(cid:241)(cid:186)(cid:283)AB(cid:206)(cid:45)A(cid:285)(cid:366)(cid:283)(cid:45)B(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:45)C(cid:86)
(cid:135)(cid:367)(cid:368)(cid:95)(cid:180)(cid:45)C(cid:41)(cid:30)(cid:84)AB(cid:40)(cid:44)(cid:45)A(cid:95)B(cid:46)(cid:218)(cid:219)(cid:227)(cid:228)(cid:86)300km(cid:260)400km(cid:95)(cid:180) =500km(cid:95)(cid:106)(cid:202)(cid:346)(cid:38)(cid:321)(cid:86)(cid:354)
(cid:321)(cid:160)(cid:355)250km(cid:106)(cid:222)(cid:86)(cid:345)(cid:349)(cid:350)(cid:291)(cid:324)(cid:71) 𝐴𝐵
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:254)
(2)(cid:367)(cid:368)C∠(cid:345)𝐴(cid:202)𝐶𝐵(cid:346)(cid:349)(cid:350)(cid:369)(cid:370)(cid:86)(cid:371)(cid:216)(cid:370)
(3)(cid:175)(cid:202)(cid:346)(cid:46)(cid:372)(cid:67)(cid:86)40km/h(cid:95)(cid:118)(cid:202)(cid:346)(cid:349)(cid:350)(cid:373)(cid:367)(cid:368)(cid:374)(cid:375)(cid:46)(cid:376)(cid:279)(cid:149)(cid:377)(cid:82)(cid:370)
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】
(cid:15)(cid:72)8(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:236)(cid:237)(cid:378)(cid:236)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:114)(cid:80)(cid:39)(cid:95)(cid:11)(cid:379)(cid:149)(cid:135)(cid:380)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:276)(cid:278) (cid:95)(cid:322)(cid:381)(cid:229)(cid:245)(cid:380)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:276)(cid:278)(cid:227)
𝐴𝐵𝐶(cid:382)(cid:29)(cid:110)(cid:25)(cid:32) (cid:260)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:95)(cid:227)(cid:228)(cid:383)(cid:384)(cid:44)(cid:328)(cid:124)(cid:281)(cid:46)(cid:326)(cid:327)(cid:71)(cid:174)(cid:205)(cid:339)(cid:95) =90°(cid:95) =15(cid:95) =20(cid:95)
=35(cid:95)𝐴𝐵𝐷=𝐸40(cid:95) =𝐸5𝐷(cid:95)𝐶(cid:52)(cid:110)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:209)(cid:340)(cid:71)(cid:73)(cid:385)(cid:294)(cid:10)(cid:280)(cid:79) ∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸
𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:96)(cid:97)8-1(cid:19)(cid:114)(cid:39) =90°(cid:95) =20(cid:95) =15(cid:95) =7(cid:95) =24(cid:95)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
∠𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐷
(cid:15)(cid:96)(cid:97)8-2(cid:19)(cid:114)(cid:39)(cid:95)(cid:149)(cid:135)(cid:380)(cid:110)(cid:25)(cid:32)(cid:326)(cid:386) (cid:95) =90°(cid:95) =4m(cid:95) =13m(cid:95) =12m(cid:95) =3
m(cid:95)(cid:373)(cid:326)(cid:386)(cid:46)(cid:209)(cid:340)(cid:86) m (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐶
2
(cid:15)(cid:96)(cid:97)8-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:80)·(cid:387)(cid:241)(cid:388)(cid:190)·(cid:105)(cid:38)(cid:79)(cid:15)(cid:389)(cid:390)(cid:41)(cid:391)(cid:392)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:393)(cid:394)(cid:395)(cid:396)(cid:397)(cid:95)(cid:168)(cid:46)(cid:54)(cid:177)(cid:377)(cid:328)(cid:377)(cid:398)(cid:95)
(cid:60)(cid:399)(cid:397)(cid:107)(cid:149)(cid:124)(cid:281)(cid:71)(cid:185)(cid:319)(cid:285)(cid:142)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:147)(cid:135)(cid:144)(cid:11)(cid:193)(cid:376)(cid:95)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:281)(cid:11)(cid:404)(cid:319)(cid:285)(cid:262)(cid:263)(cid:405)(cid:239)(cid:10)(cid:114)(cid:39)1(cid:95)(cid:245)(cid:94)(cid:48)(cid:225)(cid:226)(cid:406)
(cid:29)(cid:46)(cid:110)(cid:129)(cid:200)(cid:120)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:44)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:82)(cid:227)(cid:228)(cid:86)a(cid:95) > (cid:95)(cid:407)(cid:25)(cid:82)(cid:86)c(cid:79)(cid:260)(cid:135)(cid:129)(cid:25)(cid:82)(cid:86)c(cid:46)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:95)
(cid:247)(cid:408)(cid:229)(cid:168)(cid:404)(cid:207)(cid:29)(cid:135)(cid:129)(cid:39)(cid:32)(cid:95)(cid:373)(cid:39)(cid:32)(cid:26)(cid:409)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71) 𝑏(𝑏 𝑎)
(cid:15)(cid:410)(cid:411)(cid:19)
(1)(cid:114)(cid:39)2(cid:95)(cid:245)(cid:94)(cid:151)(cid:412)(cid:281)(cid:11)(cid:207)(cid:29)(cid:46)(cid:39)(cid:32)(cid:71)(cid:247)(cid:408)(cid:47)(cid:48)(cid:39)2(cid:409)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71)
(2)(cid:135)(cid:129)(cid:413)(cid:127)(cid:46)(cid:32)(cid:119)(cid:114)(cid:39)3(cid:179)(cid:158)(cid:95)(cid:414)(cid:415)(cid:69)(cid:49)(cid:95)(cid:413)(cid:127)(cid:38) (cid:260) (cid:195)(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:95)(cid:416)(cid:94)(cid:62)(cid:37)(cid:413)(cid:127)(cid:71)(cid:114)(cid:39)4(cid:179)(cid:158)(cid:95)(cid:417)
∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶(cid:272)(cid:401)(cid:418)(cid:205)(cid:419)(cid:413)(cid:127) =90°(cid:95) =39cm(cid:95) =36cm(cid:95) =9cm(cid:95) =12cm(cid:95)(cid:245)(cid:129)(cid:413)(cid:127)(cid:420)(cid:62)(cid:297)(cid:52)(cid:369)(cid:370)
(cid:247)(cid:22)(cid:23)(cid:421)(cid:176)(cid:55)(cid:50)∠(cid:206)𝐴(cid:71)𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷
【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
(cid:15)(cid:72)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:422)(cid:99)(cid:100)(cid:40)·(cid:74)(cid:241)(cid:423)(cid:190)·(cid:191)(cid:85)(cid:192)(cid:193)(cid:79)(cid:84)(cid:85) (cid:46)(cid:359)(cid:45) (cid:95) (cid:185)6×6(cid:46)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:37)(cid:45)(cid:73)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:46)
(cid:188)(cid:45)(cid:79)(cid:40)(cid:95)(cid:247)(cid:424)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:185)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:414)(cid:297)(cid:52)(cid:70)(cid:39)𝐴(cid:71)𝐵 𝐴 𝐵
(1)(cid:185)(cid:39) (cid:38)(cid:425)(cid:137)(cid:37)(cid:45) (cid:95)(cid:421)(cid:92)(cid:251) (cid:95) (cid:95)(cid:233) = + (cid:254)
2 2 2
(2)(cid:185)(cid:39)①(cid:38)(cid:70)(cid:137) 𝐶 (cid:46)(cid:426) (cid:95)𝐴𝐶(cid:421)(cid:30)𝐵𝐶(cid:251)(cid:256)(cid:137)𝐴𝐶 (cid:46)(cid:82)𝐴𝐵(cid:86)___𝐵_𝐶____(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)②9-1(cid:19)(cid:73)202△5·𝐴(cid:240)𝐵(cid:365)𝐶 (cid:427)(cid:190)𝐶·𝐻(cid:78)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:79)(cid:114)(cid:39)𝐶(cid:179)𝐻(cid:158)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:118) + = (cid:73)(cid:45) (cid:95)
(cid:95) (cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:188)(cid:45)(cid:79)(cid:95)(cid:247)(cid:428)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:95)(cid:185)(cid:114)(cid:39)(cid:179)(cid:158)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:95)(cid:429)(cid:137)(cid:53)∠(cid:64)𝑃(cid:373)𝐴𝐵(cid:20)(cid:46)∠(cid:3)𝑃(cid:430)𝐵𝐴(cid:391)(cid:295)(cid:46)(cid:92)(cid:84)(cid:71)𝐴
𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:96)(cid:97)9-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:40)·(cid:74)(cid:241)(cid:268)(cid:236)·(cid:105)(cid:306)(cid:79)(cid:114)(cid:39)(cid:94)4×4(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:45)A(cid:95)B(cid:95)(cid:247)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:30)(cid:68)
(cid:414)(cid:297)(cid:52)(cid:70)(cid:39)(cid:71)
(1)(cid:185)(cid:39)1(cid:38)(cid:95)(cid:106) (cid:86)(cid:123)(cid:95)(cid:70)(cid:120)(cid:123) (cid:254)
(2)(cid:185)(cid:39)2(cid:38)(cid:95)(cid:106)𝐴𝐵(cid:86)(cid:407)(cid:25)(cid:95)(cid:70)(cid:30)(cid:31)△𝐴𝐵𝐶 (cid:95)(cid:233)(cid:60)(cid:209)(cid:340)(cid:163)(cid:151)(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)9-3(cid:19)(cid:73)24𝐴-𝐵25(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:40)·(cid:268)(cid:269)(cid:82)△(cid:431)𝐴𝐵·(cid:191)𝑀(cid:85)(cid:192)(cid:193)(cid:79)(cid:39) (cid:113)(cid:39) (cid:113)(cid:39) (cid:94)3×3(cid:46)(cid:130)(cid:186)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:196)(cid:129)(cid:151)(cid:130)(cid:186)
(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:82)(cid:195)(cid:86)1(cid:71)(cid:84)(cid:85) (cid:46)(cid:359)(cid:45)(cid:185)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:71)(cid:428)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)①(cid:46)(cid:30)(cid:68)②(cid:95)(cid:185)(cid:136)(cid:49)③(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:414)(cid:297)(cid:52)(cid:429)(cid:39)(cid:95)(cid:179)(cid:429)(cid:39)(cid:32)(cid:46)
(cid:187)(cid:45)(cid:150)(cid:185)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:95)(cid:124)(cid:297)𝐴(cid:52)𝐵(cid:256)(cid:137)(cid:429)(cid:177)(cid:95)(cid:421)(cid:309)(cid:432)(cid:70)(cid:39)(cid:433)(cid:434)(cid:71)(1)(cid:185)(cid:39) (cid:38)(cid:106)AB(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:429)(cid:135)(cid:129)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:233)(cid:168)(cid:46)(cid:209)(cid:340)(cid:86)3(cid:71)
(2)(cid:185)(cid:39)①(cid:38)(cid:106)AB(cid:86)(cid:25)(cid:429)(cid:135)(cid:129)(cid:120)(cid:123)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:233)(cid:168)(cid:46)(cid:209)(cid:340)(cid:86)3(cid:71)
(3)(cid:185)(cid:39)②(cid:38)(cid:106)AB(cid:86)(cid:407)(cid:25)(cid:429)(cid:135)(cid:129)(cid:120)(cid:123)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:71)
③
