专题3.2勾股定理的逆定理(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(苏科)

专题 3.2 勾股定理的逆定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)....................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:45)(cid:19)............................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:19)..............................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:19)..............................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:19)..............................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:61)(cid:62)(cid:52)(cid:63)(cid:19)......................................................................................................24
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:19)..........................................................................28
知识点1 直角三角形的判别条件 +
A
A
科
全
★
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:8)(cid:12) (cid:13) (cid:13) (cid:14)(cid:15) + = 众(cid:16)(cid:17) 号 (cid:18)(cid:19)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:21)(cid:9)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
公
注
， 关2 2 2
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:3)(cid:33)(cid:11)(cid:34)(cid:3)(cid:33)(cid:35) 𝑎 𝑏源𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
资
辅
教
2. (cid:24)(cid:36)(cid:37)(cid:19)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:20)(cid:38)(cid:30)(cid:21)(cid:9)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:39)(cid:40)(cid:5)
(cid:41)(cid:9)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:36) (cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:37)(cid:19)(cid:9)(cid:20)(cid:21)(cid:9)(cid:13)(cid:46)(cid:47)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:48)(cid:19)(cid:9)(cid:49)(cid:50)
(cid:41)(cid:12)(cid:51)(cid:43)(cid:24)(cid:36) (cid:48)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:12)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:51)(cid:12)(cid:11)(cid:54)(cid:39)
知识点2 勾股数
1. (cid:31)(cid:32)(cid:59)
(cid:3)(cid:4) (cid:14)(cid:15) + = (cid:11)(cid:8)(cid:19)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:13)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)
2 2 2
(cid:8)𝑎(cid:19)(cid:59)(cid:62)𝑏 (cid:20)(cid:60)𝑐(cid:61)(cid:59)
(cid:14)(cid:15)(cid:26)(cid:27)
①(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:61)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:64)(cid:61)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)
②(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:11)(cid:61)(cid:59)(cid:67)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:13)(cid:6)3(cid:13)4(cid:13)5(cid:11)2(cid:67)6(cid:13)8(cid:13)10(cid:68)
(cid:65)(cid:66)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:59).
(cid:13) (cid:13) +1(cid:22) (cid:64)(cid:57)1(cid:11)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:35)(cid:74)
(cid:69)(cid:70)(cid:10)(cid:71)
2 2
①𝑛 −(cid:13)1 2𝑛 (cid:13)𝑛 +1𝑛(cid:22)n(cid:30)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:35)(cid:56)
2 2
2. (cid:24)(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:59)(cid:11)(cid:39)(cid:40)(cid:75)②(cid:76)4𝑛: 4𝑛 −1 4𝑛(1)(cid:77)(cid:3)(cid:8)(cid:19)(cid:20)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:74)
(2)(cid:77)(cid:3)(cid:58)(cid:64)(cid:11)(cid:59)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:11)(cid:59)(cid:13)(cid:82)(cid:25)(cid:83)(cid:84)(cid:58)(cid:64)(cid:11)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:11)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:74)
(3)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:52)(cid:13)(cid:88)(cid:58)(cid:64)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:56)(cid:57)(cid:80)(cid:81)(cid:48)(cid:19)(cid:52)(cid:63)(cid:59)(cid:11)(cid:54)(cid:39)(cid:55)(cid:13)(cid:89)(cid:20)(cid:31)(cid:32)(cid:59),(cid:38)(cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:71)
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
(cid:15)(cid:72)1(cid:19)(cid:73)2025·(cid:74)(cid:16)(cid:75)(cid:76)·(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:67)(cid:46)(cid:44)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:41)(cid:82)(cid:67)(cid:86)12(cid:46)(cid:84)(cid:85)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:26)(cid:93)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79)
A(cid:71)6(cid:95)9 B(cid:71)9(cid:95)15 C(cid:71)10(cid:95)16 D(cid:71)15(cid:95)18
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)B
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:95)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:94)(cid:53)(cid:20)
(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A(cid:112)6 +9 12 (cid:95)(cid:113)(cid:26)(cid:93)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
2 2 2
B(cid:112)9 +12 =15 (cid:95)(cid:26)(cid:93)≠(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
2 2 2
C(cid:112)10 +12 16 (cid:95)(cid:113)(cid:26)(cid:93)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
+
A
2 2 2 科 A
D(cid:112)12 +15 ≠ 18 (cid:95)(cid:113)(cid:26)(cid:93)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118) ★ (cid:119)全
号
众
2 2 2 公
注
(cid:114)(cid:115)(cid:10)B(cid:71) ≠ 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:120)(cid:121)1-1(cid:19)(cid:73)24-25教(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:130)(cid:80)(cid:81)(cid:131)(cid:93)(cid:35)(cid:86)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:107)(cid:130)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:94)(cid:73)(cid:132)(cid:132)(cid:79)
A(cid:71)2(cid:95)3(cid:95)4 B(cid:71)3(cid:95)4(cid:95)6 C(cid:71)6(cid:95)8(cid:95)10 D(cid:71)7(cid:95)24(cid:95)26
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)C
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:71)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)
(cid:50)(cid:135)(cid:116)(cid:136)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:106)(cid:107)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A. 2 +3 =13(cid:95)4 =16(cid:95)2 +3 4 (cid:95)
2 2 2 2 2 2
(cid:138)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:139)(cid:35)(cid:105)∵(cid:113)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:114)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)≠(cid:119)
∴B. 3 +4 =25(cid:95)6 =36(cid:95)3 +4 6 (cid:95)
2 2 2 2 2 2
(cid:138)(cid:115)∵ (cid:116)(cid:24)(cid:139)(cid:35)(cid:105)(cid:113)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)≠(cid:114)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
∴C. 6 +8 =100(cid:95)10 =100(cid:95)6 +8 =10 (cid:95)
2 2 2 2 2 2
(cid:138)(cid:115)∵ (cid:116)(cid:24)(cid:139)(cid:35)(cid:105)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:114)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
∴D. 7 +24 =625(cid:95)26 =676(cid:95)7 +24 26 (cid:95)
2 2 2 2 2 2
(cid:138)(cid:115)∵ (cid:116)(cid:24)(cid:139)(cid:35)(cid:105)(cid:113)(cid:113)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:114)(cid:113)≠(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
∴(cid:114)(cid:115)(cid:10)C(cid:71)(cid:15)(cid:120)(cid:121)1-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:140)(cid:141)(cid:75)(cid:142)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:42)(cid:43)a(cid:112)b(cid:112)c(cid:94)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)( ) +( 12)
2 2
+| |=0(cid:95)(cid:147)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:32)(cid:148)(cid:94)(cid:73) (cid:79) 𝑎−9 𝑏−
A𝑐−(cid:71)1(cid:30)5 (cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
C(cid:71)(cid:150)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:151)(cid:41)(cid:152)(cid:113)(cid:91)(cid:149)(cid:46)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)A
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:35)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:158)(cid:139)(cid:154)(cid:155)(cid:35)(cid:46)(cid:153)(cid:86)0(cid:95)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:158)(cid:139)(cid:154)(cid:155)(cid:35)(cid:46)(cid:63)(cid:162)(cid:86)0(cid:95)
(cid:105)(cid:163)(cid:107)(cid:164) =0(cid:95) =0(cid:95) =0(cid:95)(cid:147) =9(cid:95) =12(cid:95) =15(cid:95)(cid:136)(cid:165)(cid:107)(cid:54)(cid:55) + = (cid:95)(cid:147)(cid:138)(cid:24)
2 2 2
(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:30)𝑎(cid:31)−(cid:24)9(cid:31)(cid:32)(cid:71)𝑏−12 𝑐−15 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) ( ) +( 12) +| |=0(cid:95)( ) 0(cid:95)( 12) 0(cid:95)| | 0(cid:95)
2 2 2 2
( ) =( ∵1𝑎2−)9=| 𝑏−|=0(cid:95)𝑐−15 𝑎−9 ≥ 𝑏− ≥ 𝑐−15 ≥
2 2
∴ 𝑎−9=0(cid:95)𝑏− =0(cid:95)𝑐−15 =0(cid:95)
∴𝑎−=99(cid:95) =𝑏−121(cid:95)2 =15𝑐(cid:95)−15
∴𝑎 + 𝑏=9 +1𝑐2 =81+144=225(cid:95) =15 =225(cid:95)
2 2 2 2 2 2 A +
∴𝑎 +𝑏 = (cid:95) 𝑐 科 A
全
★
2 2 2 众 号
∴(cid:138)𝑎 (cid:24)(cid:31)𝑏(cid:32)(cid:94)𝑐(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95) 公
注
关
，
源
∴(cid:114)(cid:115)(cid:10)A(cid:71) 辅 资
教
(cid:15)(cid:120)(cid:121)1-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:55)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:42)(cid:43) (cid:95) (cid:95) (cid:94) (cid:46)(cid:24)(cid:83)(cid:25)(cid:95)(cid:147)(cid:80)(cid:81)(cid:83)(cid:168)(cid:26)(cid:22)(cid:49)
(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79) 𝑎 𝑏 𝑐 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71) =1:2:3 B(cid:71)( + ) +( ) =2
2 2 2
C(cid:71)𝑎:𝑏:𝑐 =2:3:4 D(cid:71) 𝑎 =𝑏 =𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)∠𝐴B:∠𝐵:∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:130)(cid:59)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:169)(cid:31)(cid:153)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:58)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)
(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:130)(cid:59)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:169)(cid:31)(cid:153)(cid:49)(cid:50)(cid:135)(cid:116)(cid:98)(cid:99)(cid:22)(cid:23)(cid:106)(cid:107)(cid:53)(cid:96)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A(cid:71)(cid:172) =1:2:3(cid:95)(cid:173) = = = (cid:95)(cid:147) +4 9 (cid:95)(cid:106) + (cid:95)(cid:26)(cid:22)(cid:49)
2 2 2 2 2 2
(cid:113)(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:113)𝑎(cid:62):𝑏:(cid:20)𝑐 (cid:118)(cid:119) 𝑎 𝑘,𝑏 2𝑘,𝑐 3𝑘 𝑘 𝑘 ≠ 𝑘 𝑎 𝑏 ≠𝑐 △𝐴𝐵𝐶
B(cid:71)(cid:172)( + ) +( ) =2 (cid:107)(cid:164) + = (cid:95)(cid:26)(cid:22)(cid:49) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
2 2 2 2 2 2
C(cid:71)(cid:172) 𝑎 𝑏 =𝑎2−:𝑏3:4(cid:107)(cid:164)𝑐 =4𝑎0°(cid:95)𝑏 =𝑐60°(cid:95) =△80𝐴°(cid:95)𝐵𝐶(cid:113)(cid:26)(cid:22)(cid:49) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:113)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
D(cid:71)(cid:172)∠𝐴:∠=𝐵:∠𝐶= (cid:107)(cid:164) ∠𝐴=72°(cid:95) ∠𝐵=72°(cid:95) ∠𝐶=36°(cid:95)(cid:113)(cid:26)(cid:22)(cid:49) △𝐴𝐵(cid:94)𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:113)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:71)
∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 △𝐴𝐵𝐶(cid:114)(cid:115)(cid:10)B(cid:71)
【题型2 勾股数】
(cid:15)(cid:72)2(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:94)(cid:174)(cid:26)(cid:29)(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:83)(cid:25)(cid:82)(cid:46)(cid:24)(cid:139)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:95)(cid:177)(cid:178)(cid:40)(cid:179)(cid:180)(cid:90)(cid:181)(cid:182)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:121)(cid:46)(cid:94)(cid:38)(cid:183)(cid:184)(cid:185)
(cid:35)(cid:11)(cid:186)(cid:70)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:71)(cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:95)(cid:60)(cid:38) (cid:95) (cid:195)(cid:196)(cid:197) (cid:95) = 1 1 (cid:95) = 1 + 1 (cid:95) (cid:94)(cid:198)(cid:197)1
2 2 2 2
2 2
(cid:46)(cid:199)(cid:35)(cid:95)(cid:147) = (cid:73)(cid:48)(cid:200) (cid:46)(cid:121)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:79)(cid:71) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑚 − 𝑐 𝑚 𝑚
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19) 𝑏 𝑚
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)𝑚(cid:104)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:196)(cid:197)(cid:204)(cid:25)(cid:164)(cid:205) (cid:95) (cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:95) (cid:86)(cid:204)(cid:25)(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:205)
(cid:46)(cid:63)(cid:71) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:172)(cid:197)(cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:95)(cid:60)(cid:38) (cid:95) (cid:195)(cid:196)(cid:197) (cid:95)
(cid:95) (cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:95) (cid:86)(cid:204)(cid:25)(cid:95) 𝑎 𝑏 𝑐
∴ 𝑎+𝑏 = (cid:95) 𝑐
2 2 2
∴𝑎 ( 1 𝑏 1 ) 𝑐 + =( 1 + 1 ) (cid:95)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 +
(cid:164) ∴ (cid:205) 1𝑚 − 1 + 𝑏 1 + = 𝑚 1 + 1 + 1 (cid:95) 全 科 A A
4 2 4 4 2 4 号 ★
4 2 2 4 2 公 众
=
𝑚 −(cid:95)𝑚 𝑏 𝑚 𝑚
关
注
，
源
2 2 辅 资
∴𝑏=±𝑚(cid:95) 教
∴𝑏 (cid:94)(cid:198)𝑚(cid:197)1(cid:46)(cid:199)(cid:35)(cid:95)
∵ 𝑚= (cid:71)
(cid:114)∴(cid:96)𝑏 (cid:97)𝑚(cid:86)(cid:10) (cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:100)𝑚(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:95)(cid:98)(cid:207)(cid:208) (cid:95) (cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:95) (cid:86)(cid:204)(cid:25)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)2-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:209)(cid:75)(cid:210)(cid:211)·(cid:129)(cid:38)𝑎(cid:79)𝑏(cid:212)(cid:183)(cid:94)(cid:213)(cid:214)(cid:103)𝑐(cid:53)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:183)(cid:215)(cid:216)(cid:180)(cid:95)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:197)(cid:212)(cid:183)(cid:184)(cid:185)
(cid:186)(cid:221)(cid:46)(cid:35)(cid:11)(cid:186)(cid:70)(cid:187)(cid:210)(cid:222)(cid:190)(cid:223)(cid:192)(cid:38)(cid:95)(cid:80)(cid:81)(cid:131)(cid:93)(cid:35)(cid:38)(cid:95)(cid:94)“(cid:33)(cid:34)(cid:35)”(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79)
A(cid:71)5(cid:95)12(cid:95)11 B(cid:71)6(cid:95)8(cid:95)10 C(cid:71)7(cid:95)8(cid:95)9 D(cid:71)15(cid:95)17(cid:95)18
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)B
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:170)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:94)(cid:175)(cid:225)(cid:53)(cid:96)(cid:163)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:95)(cid:24)(cid:139)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:95)
(cid:44)(cid:139)(cid:226)(cid:196)(cid:35)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:153)(cid:149)(cid:197)(cid:226)(cid:198)(cid:35)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:95)(cid:161)(cid:24)(cid:139)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:28)(cid:29)(cid:180)(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:136)(cid:137)(cid:22)(cid:49)(cid:106)(cid:107)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)A(cid:112)5 +11 12 (cid:95)(cid:114)(cid:113)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
2 2 2
B(cid:112)6 +8 =10 (cid:95)(cid:114)(cid:94)(cid:33)≠(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
2 2 2
C(cid:112)7 +8 9 (cid:95)(cid:114)(cid:113)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:119)
2 2 2
≠D(cid:112)15 +17 18 (cid:95)(cid:114)(cid:113)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:95)
2 2 2
(cid:114)(cid:115)(cid:10)B(cid:71) ≠
(cid:15)(cid:120)(cid:121)2-2(cid:19)(cid:229)8(cid:95)15(cid:95) (cid:94)(cid:180)(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:147) (cid:46)(cid:63)(cid:86) (cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)17 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:95)(cid:98) (cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:153)(cid:204)(cid:25)(cid:44)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:98)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:95)(cid:236)(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:164)(cid:182)(cid:96)(cid:97)
(cid:106)(cid:107)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:3)(cid:110)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:94)(cid:107)𝑥(cid:130)(cid:28)(cid:29)(cid:180)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:46)(cid:180)(cid:93)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:237) (cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:238)(cid:95) =161(cid:95)x(cid:113)(cid:94)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:95)(cid:113)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:95)
2
(cid:237) (cid:86)(cid:204)(cid:25)(cid:238)(cid:95) 𝑥=17(cid:95)(cid:94)(cid:175)(cid:176)(cid:35)𝑥 (cid:95)(cid:117)(cid:62)(cid:20)(cid:118)(cid:95)
(cid:61)𝑥(cid:40)(cid:95)(cid:229)8(cid:95)15𝑥(cid:95) (cid:94)(cid:180)(cid:93)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:147) (cid:46)(cid:63)(cid:86)17(cid:95)
(cid:114)(cid:96)(cid:97)(cid:86)(cid:10)17(cid:71) 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:120)(cid:121)2-3(cid:19)(cid:80)(cid:81)(cid:239)(cid:240)(cid:10)
(cid:241)(cid:86)0.6(cid:95)0.8(cid:95)1(cid:113)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:242)(cid:130)(cid:130)0.6(cid:95)0.8(cid:95)1(cid:86)(cid:25)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:113)(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
①(cid:229)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:243) > (cid:95) > (cid:95)(cid:147)(cid:244)(cid:194) + =
2 2 2 A +
②(cid:241)(cid:130)0.5(cid:95)1.2(cid:95)1.3(cid:86)(cid:25)(cid:82)𝑐(cid:46)(cid:24)𝑏(cid:31)(cid:32)𝑐 (cid:94)𝑎(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)𝑎(cid:95)(cid:242)𝑏(cid:130)0.𝑐5(cid:95)1.2(cid:95)1.科3(cid:94)(cid:33)A(cid:34)(cid:35)
全
★
号
众
③(cid:229)(cid:24)(cid:139)(cid:176)(cid:35)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:83)(cid:25)(cid:95)(cid:147)公(cid:95) (cid:95) (cid:244)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
注
关
，
源
④(cid:60)(cid:38)(cid:175)(cid:225)(cid:46)(cid:94) (cid:73)辅(cid:245)(cid:246)资(cid:9)(cid:79)(cid:71) 3𝑎 3𝑏 3𝑐
教
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19) /
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:247)②(cid:22)④(cid:23)④(cid:94)②(cid:27)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:244)(cid:248)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:94)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:95)(cid:249)(cid:238)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:54)(cid:44)(cid:196)(cid:25)(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:153)(cid:94)(cid:27)(cid:149)(cid:197)(cid:213)(cid:82)(cid:25)
(cid:46)(cid:227)(cid:228)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) (cid:253)(cid:254)0.6(cid:95)0.8(cid:95)1(cid:113)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:255)(cid:94)0.6 +0.8 =1 (cid:95)(cid:242)(cid:130)(cid:130)0.6(cid:95)0.8(cid:95)1(cid:86)(cid:25)(cid:46)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:94)
2 2 2
(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)①(cid:114) (cid:239)(cid:240)(cid:256)(cid:257)(cid:119)
(cid:229)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:94)①(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:95)(cid:243) > (cid:95) > (cid:95)(cid:147)(cid:244)(cid:194) + = (cid:95)(cid:114) (cid:239)(cid:240)(cid:175)(cid:225)(cid:119)
2 2 2
②(cid:241)(cid:86)0.5(cid:95)1.2(cid:95)1.3(cid:162)(cid:113)(cid:94)𝑐(cid:175)(cid:176)𝑏(cid:35)(cid:95)𝑐 (cid:242)𝑎(cid:130)0.5(cid:95)1.2𝑎(cid:95)1.3𝑏(cid:113)(cid:94)𝑐(cid:33)(cid:34)(cid:35)②(cid:95)(cid:114) (cid:239)(cid:240)(cid:256)(cid:257)(cid:119)
③(cid:229)(cid:24)(cid:139)(cid:176)(cid:35)a(cid:95)b(cid:95)c(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:147) (cid:95) (cid:95) (cid:180)(cid:49)(cid:94)(cid:33)(cid:34)③(cid:35)(cid:95)(cid:114) (cid:239)(cid:240)(cid:175)(cid:225)(cid:71)
(cid:114)④(cid:96)(cid:97)(cid:86)(cid:10) (cid:71) 3𝑎 3𝑏 3𝑐 ④
(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:100)②(cid:20)(cid:133)④(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:145)(cid:146) + = (cid:46)(cid:24)(cid:139)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:95)(cid:258)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:71)(cid:4)(cid:118)(cid:10)(cid:24)(cid:139)(cid:35)(cid:244)(cid:248)(cid:94)(cid:175)(cid:176)
2 2 2
(cid:35)(cid:95)(cid:72)(cid:143)(cid:10)2.5(cid:112)6(cid:112)6.5(cid:145)(cid:146) + = 𝑎(cid:95)(cid:255)𝑏(cid:94)(cid:217)𝑐(cid:259)(cid:113)(cid:94)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:95)(cid:242)(cid:130)(cid:217)(cid:259)(cid:113)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:71)
2 2 2
【题型3 网格中判断直角三 𝑎 角形 𝑏 】 𝑐
(cid:15)(cid:72)3(cid:19)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:260)(cid:180)(cid:139)6×6(cid:46)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:95)(cid:194)(cid:24)(cid:139)(cid:37)(cid:45)(cid:24)(cid:31)(cid:32)((cid:261)(cid:45)(cid:260)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:262)(cid:45)(cid:40))(cid:95)(cid:60)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:139)(cid:35)(cid:94) (cid:73) (cid:79)
A(cid:71)0 B(cid:71)1 C(cid:71)2 D(cid:71)3
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)C
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:135)(cid:139)(cid:22)(cid:23)(cid:106)(cid:107)(cid:119)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:10)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
源
，
资
辅
教
=2 +1 =5(cid:95) =3 +1 =10(cid:95) =2 +1 =5(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝐴𝐵 + = (cid:95) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 𝐵(cid:94)𝐶(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:119)
∴△𝐴𝐵=𝐶3 +1 =10(cid:95) =2 +1 =5(cid:95) =3 +2 =13(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝐷𝐸 + (cid:95) 𝐸𝐹 𝐷𝐹
2 2 2
∴𝐷𝐹 𝐸(cid:113)𝐹(cid:94)≠(cid:30)𝐷(cid:31)𝐹(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:119)
∴△𝐷𝐸=𝐹3 +3 =18(cid:95) =2 +2 =8(cid:95) =5 +1 =26(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∵𝑃𝑀 + = (cid:95) 𝑁𝑀 𝑃𝑁
2 2 2
∴𝑃𝑀 𝑀(cid:94)𝑁(cid:30)(cid:31)𝑃(cid:24)𝑁(cid:31)(cid:32)(cid:119)
(cid:114)∴△(cid:96)𝑃(cid:97)𝑀(cid:115)𝑁C(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:95)(cid:263)(cid:225)(cid:264)(cid:190)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)3-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:40)·(cid:166)(cid:167)(cid:265)(cid:266)·(cid:267)(cid:85)(cid:171)(cid:268)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:95)(cid:260)4×4(cid:46)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:38)(cid:95)(cid:196)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:46)(cid:261)
(cid:45)(cid:258)(cid:86)(cid:37)(cid:45)(cid:95) (cid:46)(cid:261)(cid:45)(cid:162)(cid:260)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:95)(cid:269)(cid:139)(cid:196)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:82)(cid:195)(cid:86)1(cid:95)(cid:147) (cid:46)(cid:32)(cid:148)(cid:270)(cid:271)(cid:213)(cid:263)(cid:225)(cid:46)(cid:94)(cid:73) (cid:79)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶A(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) B(cid:71)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32) C(cid:71)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32) D(cid:71)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)C
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:71)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:98)(cid:272)(cid:52)(cid:182)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:46)(cid:82)(cid:67)(cid:95)(cid:236)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)
(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) (cid:25)(cid:82)(cid:86)1(cid:46)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:95)(cid:45)A(cid:95)B(cid:95)C(cid:195)(cid:260)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:95)
=2 +∵4 =20(cid:95) =1 +3 =10(cid:95) =1 +3 =10(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝐵 + = (cid:95) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵=𝐶90°(cid:243)𝐴𝐵 = (cid:95)
+
A
A
科
∴∠𝐴𝐶𝐵(cid:86)(cid:149)(cid:152)(cid:30)𝐴(cid:31)𝐶(cid:24)(cid:31)𝐵𝐶(cid:32)(cid:95)
★
全
号
众
公
注
(cid:114)∴△(cid:115)𝐴(cid:10)𝐵C𝐶(cid:71) 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:120)(cid:121)3-2(cid:19)(cid:73)24-25教(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:40)·(cid:273)(cid:183)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:46)(cid:94)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:147) = °(cid:73)(cid:45) (cid:95) (cid:95)
(cid:95) (cid:95) (cid:86)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:262)(cid:45)(cid:79)(cid:71) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 𝐴 𝐵
𝐶 𝐷 𝑀
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)45
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:94)(cid:108)(cid:109)(cid:91)(cid:3)(cid:43)(cid:274)(cid:275)(cid:35)(cid:32)(cid:276)(cid:62)(cid:71)(cid:260)
(cid:30)(cid:84) (cid:40)(cid:277)(cid:45) (cid:95)(cid:278)(cid:164) = (cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)(cid:280)(cid:45) (cid:70) (cid:95)(cid:262) (cid:46)(cid:281)(cid:82)(cid:84)(cid:197)(cid:45) (cid:95)(cid:164)(cid:205)
𝐴𝐵= 𝐸(cid:95)(cid:282)(cid:182)𝐸𝑀 𝐷𝑀 =𝐷𝐸 (cid:95)(cid:104)𝐸(cid:105)(cid:33)𝐸𝐹(cid:34)⊥(cid:49)𝐶𝐷(cid:50)(cid:46)(cid:51)𝐶(cid:49)𝐷(cid:50)(cid:54)(cid:55) 𝐷(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:276)(cid:62)
∠𝑀𝐴=𝐵 ∠(cid:95)𝐸(cid:106)𝐷𝐹(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:71)∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵 ∠𝐸𝐷𝑀 △𝐷𝐸𝑀
(cid:15)𝐸𝑀(cid:111)(cid:53)𝐷(cid:19)𝑀(cid:53)(cid:10)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:260)(cid:30)(cid:84) (cid:40)(cid:277)(cid:45) (cid:95)(cid:278)(cid:164) = (cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)(cid:280)(cid:45) (cid:70) (cid:95)(cid:262) (cid:46)(cid:281)(cid:82)(cid:84)(cid:197)(cid:45) (cid:95)
𝐴𝐵 𝐸 𝐸𝑀 𝐷𝑀 𝐷𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐹(cid:172)(cid:39)(cid:107)(cid:43)(cid:95) = (cid:95)
∠𝑀𝐴𝐵 =∠𝐸𝐷𝐹 = (cid:95)
∴ ∠𝑀𝐷𝐶=−∠𝑀𝐴=𝐵 1 ∠+𝑀2𝐷𝐶=−∠5(cid:95)𝐸𝐷𝐹 =∠𝐸1𝐷𝑀+3 =10(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2
∵ 𝑀𝐸 + 𝑀𝐷 = (cid:95) 𝐷𝐸
2 2 2
∴ 𝐸𝑀 𝐷(cid:94)𝑀(cid:30)(cid:31)𝐷(cid:24)𝐸(cid:31)(cid:32)(cid:95)
∴ △𝐷=𝐸𝑀 (cid:95)
∵ 𝐸𝑀 𝐷=𝑀45°(cid:95)(cid:106) =45°
(cid:114)∴(cid:96)∠(cid:97)𝐸𝐷(cid:86)𝑀(cid:10)45(cid:71) ∠𝑀𝐷𝐶−∠𝑀𝐴𝐵
(cid:15)(cid:120)(cid:121)3-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:209)(cid:126)(cid:283)(cid:284)·(cid:78)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:79)(cid:39)(cid:94)(cid:172)(cid:196)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:288)(cid:29)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:95) (cid:44)(cid:45)(cid:195)(cid:260)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:95) (cid:44)(cid:45)(cid:195)(cid:86)
(cid:196)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:180)(cid:25)(cid:46)(cid:38)(cid:45)(cid:95)(cid:30)(cid:84) (cid:41)(cid:30)(cid:84) (cid:262)(cid:197)(cid:45) (cid:95)(cid:147) =(cid:73) (cid:79) 𝐴,𝐵 𝐶,𝐷
+
A
A
科
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:71)60° B(cid:71)75° C(cid:71)90° D(cid:71)105°
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)C
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:227)(cid:289)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:290)(cid:280)(cid:227)(cid:289)(cid:95)(cid:291)(cid:45)C(cid:112)D(cid:289)(cid:205)(cid:37)(cid:45)(cid:94)(cid:292)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
1
(cid:291) (cid:293)(cid:80)(cid:227)(cid:289)(cid:180)(cid:37)(cid:95)(cid:236)(cid:293)(cid:294)(cid:227)(cid:289) (cid:37)(cid:95)(cid:164)(cid:205) (cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:54)(cid:55) =90°(cid:95)(cid:106)
2
(cid:107)𝐶(cid:172)𝐷(cid:227)(cid:137)(cid:84)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:52)(cid:164) = =90 𝐺 °(cid:95)𝐹(cid:295)(cid:165)(cid:52)𝐺(cid:164)𝐵 (cid:71) ∠𝐵𝐹𝐺
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:227)(cid:289)∠𝐵𝐸𝐶(cid:296) ∠𝐵(cid:297)𝐹(cid:95)𝐺(cid:147) (cid:195)(cid:260)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:37)∠𝐵(cid:45)𝐸(cid:40)𝐷(cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)
𝐶𝐷 𝐹𝐺 𝐹,𝐺 𝐺𝐵
(cid:173)(cid:196)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:82)(cid:86)1(cid:95)(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:10)
=1 +2 =5(cid:95) =1 +2 =5(cid:95) =1 +3 =10(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
𝐵𝐹 𝐺𝐹 𝐵𝐺+ =
2 2 2
∴𝐵𝐹 𝐺=𝐹90° 𝐵𝐺
∴(cid:227)∠𝐵(cid:289)𝐹𝐺 (cid:296) (cid:297)(cid:95)(cid:71)
∵ 𝐶𝐷 𝐹𝐺
∴𝐶𝐷∥𝐺𝐹= =90°
∴∠𝐵𝐸𝐶 =∠90𝐵°𝐹𝐺
∴(cid:114)∠(cid:115)𝐵𝐸(cid:10)𝐷C(cid:71)
【题型4 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
(cid:15)(cid:72)4(cid:19)(cid:45) A(cid:73)2(cid:95)m(cid:79)(cid:95)B(cid:73)2(cid:95)m-5(cid:79)(cid:260)(cid:227)(cid:298)(cid:30)(cid:31)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:38)(cid:95)(cid:45)O(cid:86)(cid:299)(cid:300)(cid:302)(cid:45)(cid:71)(cid:229) ABO(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
(cid:147)m(cid:46)(cid:63)(cid:113)(cid:107)(cid:26)(cid:94)(cid:73) (cid:79) △
A(cid:71)4 B(cid:71)2 C(cid:71)1 D(cid:71)0
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)B
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:98) OAB(cid:303)90°(cid:95) OBA(cid:303)90°(cid:95) AOB(cid:303)90°(cid:24)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:101)(cid:304)(cid:10)(cid:237) OAB(cid:303)90°(cid:238)(cid:95)(cid:45)A(cid:260)x(cid:305)(cid:40)(cid:95)(cid:136)(cid:165)
+
A
A
科
(cid:107)(cid:164)(cid:182)m(cid:303)∠0(cid:119)(cid:237) OBA(cid:303)∠90°(cid:238)(cid:95)(cid:45)B(cid:260)∠x(cid:305)(cid:40)(cid:95)(cid:136)(cid:165)(cid:107)(cid:164)(cid:182)m★ (cid:303)5全(cid:119)(cid:237)∠ AOB(cid:303)90°(cid:238)(cid:95)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:164)
号
众
公
注
(cid:182)(cid:3)(cid:197)m(cid:46)(cid:180)(cid:306)(cid:77)∠(cid:90)(cid:228)(cid:307)(cid:95)(cid:53)(cid:216)(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:182)关m(cid:46)(cid:63)(cid:71)(cid:61)(cid:40)(cid:95)(cid:308)(cid:309)(cid:140)(cid:139)(cid:115)(cid:116)∠(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:182)(cid:276)(cid:235)(cid:71)
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)
(cid:53)(cid:10)(cid:98)(cid:24)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:101)(cid:304)(cid:73)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:79)(cid:10)
(cid:237) OAB(cid:303)90°(cid:238)(cid:95)m(cid:303)0(cid:119)
(cid:237)∠OBA(cid:303)90°(cid:238)(cid:95)m−5(cid:303)0(cid:95)(cid:53)(cid:164)(cid:10)m(cid:303)5(cid:119)
(cid:237)∠AOB(cid:303)90°(cid:238)(cid:95)AB2(cid:303)OA2(cid:310)OB2(cid:95)(cid:106)25(cid:303)4(cid:310)m2(cid:310)4(cid:310)m2−10m(cid:310)25(cid:95)
(cid:53)∠(cid:164)(cid:10)m (cid:303)1(cid:95)m (cid:303)4(cid:71)
1 2(cid:61)(cid:40)(cid:242)(cid:271)(cid:10)m(cid:46)(cid:63)(cid:107)(cid:130)(cid:86)0(cid:95)5(cid:95)1(cid:95)4(cid:71)
(cid:114)(cid:115)B(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:299)(cid:300)(cid:41)(cid:39)(cid:32)(cid:156)(cid:157)(cid:130)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:98) OAB(cid:303)90°(cid:95) OBA(cid:303)90°(cid:95) AOB(cid:303)90°(cid:24)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:52)
(cid:182)m(cid:46)(cid:63)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:120)(cid:121)4-1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:45) (cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:86)(3,5)(cid:95)(cid:45) (cid:260) (cid:305)(cid:40)(cid:95)(cid:243) =13(cid:95)(cid:159)(cid:160)(cid:45) (cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:86) .
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)( )(cid:311)(1𝐴5,0) 𝐵 𝑥 𝐴𝐵 𝐵
−9,0
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:91)(cid:92)B(cid:11)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:30)t(cid:13)(cid:96)(cid:97)(cid:48)(cid:92)(cid:98)(cid:11)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:71)(cid:102)(cid:103) +5 =13(cid:13)(cid:41)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)t(cid:11)(cid:109).
2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:110)(cid:5)(cid:91)(cid:92)B(cid:11)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:30)t(cid:13) (3−𝑡)
(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:102) +5 =169(cid:13)(cid:115) =12.
2 2 2
(cid:116)(cid:106)3-t=12((cid:46)3−3𝑡-)t=-12(cid:117) (3−𝑡)
t=-9(cid:46)t=15.
∴(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:30)( )(cid:311)(15,0)(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)4-2−(cid:19)9(cid:260),0(cid:227)(cid:298)(cid:30)(cid:31)(cid:299)(cid:300)(cid:301)(cid:38)(cid:95)(cid:45)A(cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:86)(1(cid:95)1)(cid:95)(cid:45)B(cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:86)(11(cid:95)1)(cid:95)(cid:45)C(cid:205)(cid:30)(cid:84)AB(cid:46)(cid:312)(cid:313)(cid:86)
+
A
A
科
5(cid:95)(cid:243) ABC(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:147)(cid:145)(cid:146)(cid:83)(cid:168)(cid:46)C(cid:45)(cid:194)((cid:132)(cid:132))
★
全
号
众
公
注
A(cid:71)△4(cid:139) B(cid:71)5(cid:139) 关C(cid:71)6(cid:139) D(cid:71)8(cid:139)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)C 教
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:237) A=90°(cid:238)(cid:95)(cid:145)(cid:146)(cid:83)(cid:168)(cid:46)C(cid:45)2(cid:139)(cid:119)(cid:237) B=90°(cid:238)(cid:95)(cid:145)(cid:146)(cid:83)(cid:168)(cid:46)C(cid:45)2(cid:139)(cid:119)(cid:237) C=90°(cid:238)(cid:95)(cid:145)(cid:146)(cid:83)
(cid:168)(cid:46)C(cid:45)2∠(cid:139)(cid:71)(cid:242)(cid:130)(cid:314)(cid:194)6(cid:139)(cid:71) ∠ ∠
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19) (cid:45)A(cid:95)B(cid:46)(cid:315)(cid:299)(cid:300)(cid:91)(cid:149)(cid:95)
AB x(cid:305)∵(cid:95)
∴(cid:45)C∥ (cid:205)AB(cid:312)(cid:313)(cid:86)5(cid:95)AB=10(cid:95)
∵(cid:45)C(cid:260)(cid:227)(cid:137)(cid:197)AB(cid:46)(cid:44)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:40)(cid:95)
∴(cid:280)(cid:45)A(cid:46)(cid:316)(cid:84)(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:194)2(cid:139)(cid:262)(cid:45)(cid:95)(cid:280)(cid:45)B(cid:46)(cid:316)(cid:84)(cid:41)(cid:159)(cid:44)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:194)2(cid:139)(cid:262)(cid:45)(cid:95)(cid:130)AB(cid:86)(cid:30)(cid:317)(cid:46)(cid:318)(cid:41)(cid:159)
∴(cid:44)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:194)(cid:319)(cid:194)2(cid:139)(cid:262)(cid:45)(cid:73)(cid:161)(cid:44)(cid:139)(cid:44)(cid:45)(cid:260)(cid:84)(cid:85)AB(cid:46)(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:40)(cid:79)(cid:95)
(cid:145)(cid:146)(cid:83)(cid:168)(cid:46)C(cid:45)(cid:314)(cid:95)6(cid:139)(cid:71)
∴(cid:114)(cid:115)C(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:48)(cid:205)(cid:46)(cid:43)(cid:274)(cid:45)(cid:86)(cid:10)(cid:205)(cid:180)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:312)(cid:313)(cid:86)(cid:320)(cid:139)(cid:49)(cid:63)(cid:46)(cid:30)(cid:84)(cid:194)(cid:44)(cid:83)(cid:71) ABC(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:217)(cid:46)(cid:321)(cid:118)(cid:180)
(cid:139)(cid:261)(cid:45)(cid:162)(cid:194)(cid:107)(cid:26)(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:261)(cid:45)(cid:71) △
(cid:15)(cid:120)(cid:121)4-3(cid:19)(cid:45) (cid:260) (cid:305)(cid:40)(cid:95) (4,1)(cid:112) (1,4)(cid:95)(cid:143)(cid:144) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:52)(cid:45) (cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:71)
𝑃 𝑦 𝐴 𝐵 △𝐴𝐵𝑃 𝑃(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(cid:45) (cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:86)(0,3)(cid:311)( )
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)𝑃(cid:101)(cid:102)(cid:46)(cid:94)(cid:44)(cid:45)(cid:312)(cid:313)0,(cid:41)−3(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:104)(cid:105)A(cid:112)B(cid:299)(cid:300)(cid:28)(cid:322)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:323)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:44)(cid:45)(cid:324)(cid:312)(cid:313)
(cid:7)(cid:121)(cid:95)(cid:98)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:182)(cid:45)P(cid:299)(cid:300)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:173)(cid:45) (cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:86)( )(cid:95)(cid:98)(cid:44)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:10)
(cid:237)(cid:45) (cid:86)(cid:30)(cid:31)𝑃(cid:261)(cid:45)(cid:238)(cid:95)(cid:45)0,𝑥(cid:260) (cid:305)(cid:175)(cid:325)(cid:305)(cid:95)
①(cid:70) 𝐵(cid:305)(cid:197) (cid:95) (cid:305)(cid:197)𝑃 (cid:95)𝑦 (cid:305)(cid:197) (cid:95)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:10)
𝐴𝐷⊥𝑦 𝐷 𝐵𝐸⊥𝑦 𝐸 𝐵𝐹⊥𝑥 𝐹
(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:164) + = (cid:95)
2 2 2
(cid:106)1 +( ) +𝑃3𝐵 +𝐴3𝐵=(𝑃𝐴 ) +4 (cid:95)(cid:53)(cid:164) =3(cid:95)
2 2 2 2 2 2
(cid:45) (cid:46)(cid:299)4(cid:300)−𝑥(cid:86)(0,3)(cid:71) 𝑥−1 𝑥 A +
A
科
全
★
∴ (cid:237)𝑃(cid:45) (cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:261)(cid:45)(cid:238)(cid:95)(cid:45) (cid:260) (cid:305)(cid:155)(cid:325)(cid:305)(cid:95)(cid:70) (cid:305) 众 (cid:197) (cid:95)号 (cid:305)(cid:197) (cid:95)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:10)
公
注
关
，
② 𝐴 𝑃 𝑦 源 𝐴𝐷⊥𝑦 𝐷 𝐵𝐸⊥𝑦 𝐸
资
辅
教
(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:164) + = (cid:95)
2 2 2
(cid:106)4 +( ) +𝑃3𝐴 +𝐴3𝐵=(𝑃𝐵 ) +1 (cid:95)(cid:53)(cid:164) = (cid:95)
2 2 2 2 2 2
(cid:45) (cid:46)(cid:299)1(cid:300)−𝑥(cid:86)( )(cid:71) 4−𝑥 𝑥 −3
∴(cid:61)(cid:40)𝑃(cid:242)(cid:271)(cid:95)(cid:143)(cid:144)0,−3 (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:159)(cid:160)(cid:45) (cid:46)(cid:299)(cid:300)(cid:86)(0,3)(cid:311)( )(cid:71)
(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:46)(cid:3)△(cid:110)𝐴𝐵(cid:94)𝑃(cid:98)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:45)P(cid:46)(cid:231)(cid:232)(cid:95)(cid:275)𝑃(cid:326)(cid:327)(cid:323)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)0,(cid:153)−3(cid:44)(cid:45)(cid:324)(cid:312)(cid:313)(cid:7)(cid:121)(cid:71)
【题型5 利用勾股定理的逆定理求解】
(cid:15)(cid:72)5(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:166)(cid:167)(cid:328)(cid:329)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:260) (cid:38)(cid:95) =90°(cid:95) = (cid:95) (cid:94) (cid:169)(cid:46)
(cid:180)(cid:45)(cid:95)(cid:243) =1(cid:95) =2(cid:95) =3(cid:95)(cid:147) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:86)△(cid:73)𝐴(cid:132)𝐵𝐶(cid:132)(cid:79) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐴 ∠𝐵𝑃𝐶A(cid:71)120° B(cid:71)135° C(cid:71)140° D(cid:71)150°
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)B
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:330)(cid:331)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:170)(cid:219)(cid:131)(cid:156)(cid:157)(cid:275)(cid:70)
(cid:332)(cid:333)(cid:84)(cid:28)(cid:322)(cid:182)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:153)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:291) (cid:334) (cid:45)(cid:330)(cid:331)90°(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:330)(cid:331)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:107)(cid:164)(cid:182) =45°(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:54)(cid:182) =90°(cid:95)(cid:295)(cid:165)(cid:107)
(cid:164)(cid:182)△(cid:96)𝐴𝐶(cid:97)𝑃(cid:71)𝐶 ∠𝑄𝑃𝐶 ∠𝑃𝐵𝑄
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:291) (cid:334) (cid:45)(cid:330)(cid:331)90°(cid:95)(cid:164) (cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)
△𝐴𝐶𝑃 𝐶 △𝐵𝐶𝑄 𝑃𝑄
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
(cid:172)(cid:330)(cid:331)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:107)(cid:43)(cid:10)Rt 辅 资Rt (cid:95) =90°(cid:95)
教
= =2(cid:95) = △𝐴=𝐶3𝐵(cid:95)∽ △𝑃=𝐶𝑄 ∠𝑃(cid:95)𝐶𝑄
∴𝐶𝑄 =𝐶𝑃 + 𝐵𝑄=8𝑃(cid:95)𝐴(cid:243) ∠𝑄=𝐵4𝐶5°(cid:95)∠𝑃𝐴𝐶
2 2 2
(cid:260)∴𝑃𝑄 𝐶(cid:38)𝑄(cid:95)𝐶𝑃 + =∠8𝑄+𝑃1𝐶=9(cid:95)
2 2
△𝐵+𝑃𝑄 =𝑃𝐵 (cid:95)𝑃𝑄
2 2 2
∴𝑃𝐵 𝑃=𝑄90°(cid:95)𝐵𝑄
∴∠𝑄𝑃𝐵= + =135°(cid:71)
∴(cid:114)∠(cid:115)𝐵𝑃B𝐶(cid:71) ∠𝑄𝑃𝐵 ∠𝑄𝑃𝐶
(cid:15)(cid:120)(cid:121)5-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:40)·(cid:335)(cid:74)(cid:336)(cid:266)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:337)(cid:338) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:98)(cid:272)(cid:86) =6(cid:95) =8(cid:95)
=10(cid:95)(cid:193)(cid:291)(cid:25) (cid:339) (cid:340)(cid:341)(cid:95)(cid:278)(cid:217)(cid:342)(cid:260)(cid:25) (cid:40)(cid:95)(cid:45) (cid:41)(cid:45) (cid:343)(cid:62)(cid:95)𝐴𝐵(cid:52)𝐶 (cid:46)(cid:82)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶 𝐸 𝐶𝐷(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)3
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:112)(cid:340)(cid:341)(cid:344)(cid:20)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:108)(cid:109)(cid:156)(cid:157)(cid:49)(cid:50)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:345)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:182) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95) =90°(cid:95)(cid:236)(cid:104)(cid:105)(cid:340)(cid:341)(cid:164)(cid:182)
= = =90°(cid:95)△(cid:254)(cid:346)𝐴𝐵(cid:173)𝐶 = = (cid:95)(cid:104)∠𝐴(cid:105)𝐶(cid:33)𝐵 (cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:182)(cid:96)(cid:97)(cid:71)
(cid:15)𝐴𝐸(cid:111)(cid:53)𝐴(cid:19)𝐶(cid:53)(cid:10)6,∠(cid:260)𝐴𝐸𝐷 (cid:38)(cid:95) = 𝐷𝐸 =𝐶𝐷 =𝑥 10(cid:95)
+ = △𝐴(cid:95)𝐵𝐶 𝐴𝐶 6,𝐵𝐶 8,𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:94)𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)𝐴𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:95) =90°(cid:95)
∴△𝐴𝐵𝐶(cid:94) (cid:347)(cid:340)(cid:165)∠(cid:29)𝐴(cid:95)𝐶𝐵
∵△𝐴𝐸=𝐷 △=𝐴𝐶𝐷 =90°(cid:95)
(cid:173)∴𝐴𝐸 =𝐴𝐶 =6,(cid:95)∠𝐴𝐸𝐷
𝐷𝐸= 𝐶𝐷 𝑥 = =4(cid:95)
(cid:260)∴R𝐵t𝐸 𝐴𝐵−(cid:38)𝐴(cid:95)𝐸 10−=6 + (cid:95)(cid:106)( ) =4 + (cid:95)
2 2 2 2 2 2
(cid:53)(cid:164)△=𝐵3𝐷(cid:71)𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐸 8−𝑥 𝑥
+
A
(cid:114)CD𝑥(cid:46)(cid:82)(cid:86)3(cid:71) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:120)(cid:121)5-2(cid:19)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:260)(cid:140)(cid:25)(cid:32)ABCD(cid:38)(cid:95)AB(cid:10)BC(cid:10)公CD(cid:10)DA=2(cid:10)2(cid:10)3(cid:10)1(cid:95)(cid:243) ABC=90°(cid:95)(cid:147) DAB(cid:46)(cid:67)(cid:35)
注
关
，
源
(cid:94) °(cid:71) 辅 资 ∠ ∠
教
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)135°
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:172)(cid:42)(cid:43)(cid:107)(cid:164)AB=BC(cid:95)(cid:295)(cid:165)(cid:107)(cid:52)(cid:164) BAC(cid:46)(cid:67)(cid:35).(cid:173)AB(cid:303)2x (cid:95)(cid:290)(cid:280)(cid:264)(cid:190)(cid:54)(cid:55)AC2+AD2=CD2(cid:95)(cid:295)(cid:165)
(cid:54)(cid:164) ACD(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:205) DAC∠=90°(cid:95)(cid:295)(cid:165)(cid:52)(cid:164) DAB(cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)△(cid:19)(cid:53)(cid:10) AB(cid:10)BC(cid:10)CD(cid:10)DA=2(cid:10)∠ 2(cid:10)3(cid:10)1(cid:95)(cid:243) ABC=∠90°(cid:95)
AB=BC(cid:95) ∵ ∠
∴ BAC= ACB=45°(cid:95)
∴∠(cid:173)AB(cid:303)∠2x(cid:95)(cid:147)BC(cid:303)2x(cid:95)CD=3x(cid:95)DA=x,
∴AC2=AB2+BC2=(2x)2+(2x)2=8x2
∴(cid:348)CD2-AD2=(3x)2-x2=8x2
AC2= CD2-AD2
∴AC2+AD2=CD2
∵ ACD(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
∴△DAC=90°(cid:95)
∴∠DAB=45°+90°=135°(cid:71)
∴(cid:114)∠(cid:96)(cid:97)(cid:94)(cid:10)135°.
(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:163)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:11)(cid:349)(cid:308)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:50)(cid:53)(cid:153)(cid:323)(cid:48)(cid:26)(cid:350)(cid:95)(cid:175)(cid:225)(cid:164)(cid:182) DAC=90°(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)5-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:351)(cid:352)(cid:62)(cid:353)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:260) (cid:38)∠(cid:95) = = = (cid:46)(cid:227)(cid:98)(cid:84)
(cid:262) (cid:197)(cid:45) (cid:95)(cid:45) (cid:95) (cid:98)(cid:272)(cid:86)(cid:84)(cid:85) (cid:95)(cid:25) (cid:40)(cid:46)(cid:354)(cid:45)(cid:71)(cid:147)△𝑂𝐴𝐵+ (cid:46)𝑂𝐴(cid:213)(cid:196)3(cid:63),𝑂(cid:86)𝐵(cid:73)(cid:132)4,(cid:132)𝐴𝐵(cid:79) 5,∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐶 𝑃 𝑄 𝐴𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝑃 𝑃𝑄
+
A
A
科
全
★
号
众
A(cid:71)2 B(cid:71)2.4 C(cid:71)2.公5 D(cid:71)2.6
注
关
，
源
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)B 辅 资
教
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:31)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:316)(cid:84)(cid:85)(cid:213)(cid:355)(cid:95)(cid:305)(cid:308)(cid:258)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:108)(cid:109)(cid:43)(cid:274)
(cid:45)(cid:95)(cid:47)(cid:48)(cid:305)(cid:308)(cid:258)(cid:156)(cid:157)(cid:52)(cid:53)(cid:213)(cid:63)(cid:344)(cid:20)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:345)(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:205) (cid:95)(cid:70) (cid:262) (cid:197)(cid:45) (cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:31)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:156)(cid:157)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:205) = (cid:95)(cid:236)(cid:172)(cid:149)
(cid:298)(cid:356)(cid:240)(cid:52)(cid:182) (cid:95)(cid:70)(cid:45) (cid:3)(cid:197)𝑂𝐴⊥(cid:46)𝑂𝐵(cid:308)(cid:258)(cid:45)𝐶𝐷(cid:95)⊥𝐴(cid:147)𝐵(cid:260)(cid:45)𝐴𝐵 (cid:260) 𝐷(cid:40)(cid:95)(cid:147) = (cid:95)(cid:280)(cid:45) (cid:70) 𝐶𝑂 𝐶(cid:262)𝐷 (cid:197)(cid:45)
′ ′ ′
H(cid:95)(cid:159)(cid:160) 𝑂+𝐶 = 𝑄 + 𝐴𝐶 (cid:95)(cid:114)𝑄(cid:237)(cid:45) (cid:112) (cid:112)𝑄 (cid:24)𝐴𝐵(cid:45)(cid:314)(cid:84)(cid:243)𝑃(cid:45)𝑄 (cid:41)𝑃𝑄(cid:45) (cid:343)(cid:62)(cid:238)𝑂(cid:95)𝑂𝐻⊥+𝐴𝐵 =𝐴𝐵 +
′ ′ ′ ′
(cid:213)(cid:196)(cid:95) 𝑂𝑃(cid:86)(cid:213)𝑃(cid:196)𝑄(cid:63)(cid:95)𝑂(cid:236)𝑃 (cid:172)𝑃(cid:149)𝑄(cid:298)≥(cid:356)𝑂(cid:240)𝐻(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:71)𝑂 𝑃 𝑄 𝑄 𝐻 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑃𝑄
(cid:15)(cid:111)(cid:53)𝑂(cid:19)𝐻(cid:53)(cid:10) = = =5
+ ∵=𝑂𝐴 3(cid:95),𝑂𝐵 4,𝐴𝐵
2 2 2
∴ 𝑂𝐴 𝑂(cid:94)𝐵(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:95) (cid:95)
(cid:70)∴ △𝑂𝐴𝐵(cid:262) (cid:197)(cid:45) (cid:95) 𝑂𝐴⊥𝑂𝐵
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐷= =90°(cid:95)
(cid:348)∴ ∠ 𝑂 (cid:94)∠𝐶𝐷𝐴 (cid:46)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:95)
∵ 𝐴=𝐶 ∠(cid:71)𝑂𝐴𝐵
∴ 𝐶𝑂 𝐶 = 𝐷1 = 1 (cid:95)
2 2
∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵·𝐶𝐷 𝐵𝐶·𝐴𝑂
(cid:106) 1 ×5× = 1 ×3= 1 ( )×3= 1 ( )×3(cid:95)
2 2 2 2
𝑂𝐶 𝐵𝐶 𝑂𝐵−𝑂𝐶 4−𝑂𝐶
3
= (cid:95)
2
∴ 𝑂𝐶(cid:94) (cid:46)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:95)(cid:45) (cid:86) (cid:40)(cid:354)(cid:45)(cid:95)(cid:70)(cid:45) (cid:3)(cid:197) (cid:46)(cid:308)(cid:258)(cid:45) (cid:95)(cid:147)(cid:260)(cid:45) (cid:260) (cid:40)(cid:95)
′ ′
∵ 𝐴𝐶 =∠𝑂𝐴𝐵(cid:71) 𝑄 𝑂𝐴 𝑄 𝐴𝐶 𝑄 𝑄 𝐴𝐵
′
∴ 𝑃𝑄 𝑃𝑄
(cid:280)(cid:45) (cid:70) (cid:262) (cid:197)(cid:45)H(cid:95)
+
A
A
科
𝑂+ 𝑂𝐻=⊥𝐴𝐵+ 𝐴𝐵 ★ 全
号
众
′ 公
注
(cid:237)∴𝑂(cid:45)𝑃 (cid:112)𝑃𝑄(cid:112) 𝑂(cid:24)𝑃 (cid:45)𝑃(cid:314)𝑄(cid:84)≥(cid:243)𝑂(cid:45)𝐻 (cid:41)(cid:45) (cid:343)(cid:62)(cid:238)关(cid:95) + = + (cid:213)(cid:196)(cid:95) (cid:86)(cid:213)(cid:196)(cid:63)(cid:71)
，
源
′ 辅 资′ ′
(cid:172)(cid:73)𝑂1(cid:79)(cid:107)𝑃(cid:43)𝑄(cid:95) 教(cid:94)(cid:30)(cid:31)𝑄(cid:24)(cid:31)(cid:32)𝐻(cid:95) 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝐻
= 1 △𝑂𝐴 = 𝐵 1 (cid:95)
2 2
∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐵·𝑂𝐴 𝑂𝐻·𝐴𝐵
1 1
×4×3= ×5
2 2
∴ 𝑂𝐻
(cid:53)(cid:164)(cid:10) =2.4(cid:71)
(cid:114)(cid:115)(cid:10)B𝑂(cid:71)𝐻
【题型6 利用勾股定理的逆定理证明】
(cid:15)(cid:72)6(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:357)(cid:358)(cid:323)(cid:359)·(cid:267)(cid:85)(cid:171)(cid:268)(cid:79)(cid:49)(cid:224)(cid:10)(cid:260) (cid:38)(cid:95)(cid:229) = (cid:95) = (cid:95) = (cid:95)(cid:243)a(cid:95)
b(cid:95)c(cid:145)(cid:146) + = (cid:95)(cid:147)(cid:258)(cid:161)(cid:139)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:86)“(cid:233)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)△”(cid:71)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
2 2
(cid:360)(cid:104)(cid:105)(cid:130)(cid:40)𝑎𝑐(cid:49)(cid:224)𝑎(cid:53)(cid:64)𝑏(cid:80)(cid:81)(cid:344)(cid:20)(cid:10)(1)(cid:143)(cid:39)1(cid:95)(cid:229)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:94)“(cid:233)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)”(cid:95) = (cid:95) > (cid:95)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
(2)(cid:143)(cid:39)2(cid:95)(cid:260) (cid:38)(cid:95)𝐴𝐵𝐶= (cid:95)(cid:243) > 𝐴𝐵(cid:95)D𝐵(cid:94)𝐶 AB𝐴𝐶(cid:40)(cid:46)𝐴(cid:45)𝐵(cid:95)(cid:92)∠(cid:279)𝐶CD(cid:95)(cid:145)(cid:146) = (cid:95)(cid:280)(cid:45) (cid:70)
(cid:95)(cid:316)(cid:146)△(cid:86)𝐴𝐵(cid:71)𝐶(cid:52)(cid:54)∠(cid:10)𝐵 2∠𝐴(cid:86)“(cid:233)∠(cid:33)𝐴𝐶(cid:34)𝐵(cid:24)(cid:31)∠(cid:32)𝐴”(cid:71) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶
(cid:15)𝐶𝐸(cid:96)⊥(cid:97)𝐴𝐵(cid:19)(1)45° 𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:59)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:149)(cid:43)(cid:274)(cid:45)(cid:95)(cid:170)(cid:362)(cid:108)(cid:109)(cid:131)(cid:156)(cid:157)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79)(cid:173) = (cid:95) = (cid:95) = (cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:233)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:363)(cid:364) + = (cid:95)(cid:365) = (cid:185)(cid:366)(cid:323)(cid:190)(cid:52)(cid:53)(cid:106)(cid:107)(cid:71)
2 2
(cid:73)2(cid:79)(cid:173)𝐵𝐶=𝑎(cid:95)𝐴𝐶=𝑏(cid:95)𝐴𝐵=𝑐(cid:95)(cid:47)(cid:48)(cid:31)(cid:46)(cid:149)(cid:367)(cid:185)(cid:368)(cid:54)(cid:182) 𝑎𝑐= 𝑎 (cid:95)𝑏(cid:164)(cid:205) 𝑎 =𝑐 = (cid:95)(cid:47)(cid:48)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)
𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐 ∠𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐵 𝑎
(cid:32)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:164)(cid:205) = = (cid:95)(cid:236)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:81)(cid:121)(cid:52)(cid:53)(cid:106)(cid:107)(cid:71)
2
𝑐−𝑎
𝐷𝐸 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:173) = (cid:95) = (cid:95) = (cid:95)
(cid:94)“(cid:233)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)𝐵𝐶(cid:32)”(cid:95)𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
∵△+𝐴𝐵𝐶 = (cid:95)
2 2
∴𝑎𝑐 =𝑎 (cid:95)𝑏
+
A
A
科
∵𝐴𝐵= (cid:95)𝐵𝐶 ★ 全
号
众
公
注
∴𝑎 +𝑐 = (cid:95) 关
，
源
2 2 2 辅 资
∴𝑐 =𝑎90°(cid:95)𝑏 教
∴∠𝐵 (cid:94)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
∴△𝐴=𝐵4𝐶5°(cid:119)
∴(cid:73)∠2𝐶(cid:79)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:173) = (cid:95) = (cid:95) = (cid:95)
= (cid:95) 𝐵𝐶 𝑎 𝐴𝐶 𝑏 𝐴𝐵 𝑐
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐷 (cid:95)
∴∠𝐴 ∠=𝐷𝐶𝐴+ = (cid:95)
∴(cid:348)∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐴(cid:95)∠𝐷𝐶𝐴 2∠𝐴
∵∠=𝐵 2∠𝐴(cid:95)
∴∠𝐵= ∠𝐶𝐷=𝐵 (cid:95)
∴𝐶𝐷 =𝐶𝐵 =𝑎(cid:95)
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷(cid:95) 𝑎
∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵
= = (cid:95)
2
𝑐−𝑎
∴𝐷𝐸 𝐵𝐸(cid:260)Rt (cid:38)(cid:95) = + = + = (cid:95)(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:164) = = (cid:95)
2 2 2 2
𝑐−𝑎 𝑐+𝑎 2 2 2 2 𝑎+𝑐
△𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑎 𝐶𝐸 𝐴𝐶 −𝐴𝐸 𝑏 −
(cid:260)Rt (cid:38)(cid:95)(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:164) = = (cid:95)
2 2
𝑐−𝑎
2 2 2 2
△𝐶𝐸𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐷 −𝐷𝐸 𝑎 −
= (cid:95)
2 2 2 2
2 𝑎+𝑐 2 𝑐−𝑎
∴𝑏 −= + (cid:95)𝑎 −
2 2
∴𝑏 𝑎(cid:86)“𝑎(cid:233)𝑐(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:31)(cid:32)”(cid:71)
∴(cid:15)△(cid:120)𝐴(cid:121)𝐵𝐶6-1(cid:19)(cid:143)(cid:39)(cid:95) (cid:38)(cid:95) (cid:46)(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98)(cid:84) (cid:98)(cid:272)(cid:262) (cid:112) (cid:197)(cid:45)D(cid:95)E(cid:95)(cid:243) = (cid:71)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:119)
(2)(cid:229) =∠8𝐶(cid:95) =4(cid:95)(cid:52) (cid:46)(cid:82)(cid:71)
+
A
(cid:15)(cid:96)(cid:97)𝐴𝐶(cid:19)(1)(cid:54)(cid:55)𝐵𝐶(cid:361)(cid:53)(cid:99) 𝐴𝐷 科 A
全
★
号
众
(2)5 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:172)(cid:84)(cid:85)(cid:316)(cid:30)辅(cid:227)(cid:98)资(cid:84)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:164)(cid:205) = (cid:95)(cid:236)(cid:276)(cid:62) = (cid:54)(cid:55) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
教
2 2 2
(cid:106)(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:276)(cid:235)(cid:119) 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶 △𝐵𝐶𝐷
(cid:73)2(cid:79)(cid:173) = = (cid:95)(cid:147) = (cid:95)(cid:254)(cid:346)(cid:104)(cid:105) = (cid:167)(cid:369)(cid:228)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:106)(cid:107)(cid:71)
2 2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)𝐴(cid:73)𝐷1(cid:79)𝐵(cid:54)𝐷(cid:55)(cid:10)𝑥(cid:143)(cid:39)𝐶(cid:242)𝐷(cid:203)(cid:95)8−(cid:92)𝑥(cid:279) (cid:95) 𝐵𝐷 −𝐷𝐶 𝐵𝐶
𝐵𝐷
(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98) (cid:95)
∵𝐷𝐸 = (cid:95) 𝐴𝐵
∴𝐴𝐷 𝐵𝐷 = (cid:95)
2 2 2
∵𝐴𝐷 −𝐷𝐶 =𝐵𝐶 (cid:95)
2 2 2
∴𝐵𝐷 −𝐷(cid:94)𝐶(cid:30)(cid:31)𝐵(cid:24)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:95)
∴△𝐵𝐶=𝐷90°(cid:119)
∴∠𝐶(cid:73)2(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:173) = = (cid:95)(cid:147) = = (cid:95)
(cid:172)(cid:73)1(cid:79)(cid:164) 𝐴𝐷 𝐵𝐷= 𝑥 (cid:95) 𝐶𝐷 𝐴𝐶−𝐴𝐷 8−𝑥
2 2 2
( 𝐵)𝐷=−4𝐷𝐶(cid:95) 𝐵𝐶
2 2 2
(cid:53)∴𝑥(cid:164)− 8=−5𝑥(cid:95)
𝑥=5(cid:71)
∴(cid:15)𝐴(cid:45)𝐷(cid:206)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:149)(cid:43)(cid:274)(cid:95)(cid:94)(cid:343)(cid:134)(cid:101)(cid:45)(cid:95)(cid:370)(cid:67)(cid:226)(cid:371)(cid:95)(cid:372)(cid:373)
(cid:332)(cid:333)(cid:84)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)6-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:209)(cid:126)(cid:374)(cid:357)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:42)(cid:43) (cid:46)(cid:24)(cid:25) = ( >1)(cid:95) = (cid:95) = +1(cid:71)
2 2
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:94) (cid:46)(cid:213)(cid:82)(cid:25)(cid:119) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑛 −1 𝑛 𝑏 2𝑛 𝑐 𝑛
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10)𝑐 △𝐴(cid:94)𝐵𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:119)
(3)(cid:30)(cid:279)(cid:375)(cid:182)△(cid:180)𝐴𝐵(cid:93)𝐶(cid:145)(cid:146) (cid:46)(cid:24)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:60)(cid:38)(cid:200)(cid:175)(cid:176)(cid:35)12(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(1)(cid:361)(cid:53)(cid:99) △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
+
A
(3)12(cid:95)35(cid:95)37 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:163)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:112)(cid:176)(cid:121)公(cid:376)(cid:62)(cid:323)(cid:190)(cid:153)(cid:377)(cid:240)(cid:7)(cid:121)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:94)
注
关
，
源
(cid:3)(cid:110)(cid:71) 辅 资
教
(cid:73)1(cid:79)(cid:98)(cid:272)(cid:54)(cid:55) > (cid:95) > (cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:54)(cid:55)(cid:276)(cid:235)(cid:119)
(cid:73)2(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)𝑐(cid:49)(cid:50)𝑎(cid:46)(cid:51)𝑐(cid:49)(cid:50)𝑏 (cid:136)(cid:137)(cid:54)(cid:55)(cid:106)(cid:107)(cid:119)
(cid:73)3(cid:79)(cid:237) = =12(cid:238)(cid:95)(cid:106) =6(cid:95)(cid:52)(cid:182)(cid:163)(cid:238) =35(cid:95) =37(cid:106)(cid:107)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)𝑏(cid:73)12(cid:79)𝑛(cid:53)(cid:10) =𝑛( +1) ( 𝑎)= +𝑐 +1=2>0
2 2 2 2
> (cid:95) ∵𝑐−𝑎 𝑛 − 𝑛 −1 𝑛 1−𝑛
∴𝑐 >𝑎1(cid:95)
∵𝑛 >0
∴𝑛−1=( +1) =( ) >0(cid:95)
2 2
∴𝑐−>𝑏 (cid:95)𝑛 −2𝑛 𝑛−1
∴(cid:61)𝑐(cid:40)(cid:107)𝑏(cid:43)(cid:95) (cid:94) (cid:46)(cid:213)(cid:82)(cid:25)(cid:119)
(cid:73)2(cid:79) =𝑐( △+𝐴1𝐵)𝐶(cid:95) + =( ) +( ) = +1+4 = +2 +1=( +1) (cid:95)
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2
+∵𝑐 = 𝑛(cid:95) 𝑎 𝑏 𝑛 −1 2𝑛 𝑛 −2𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
2 2 2
∴𝑎 𝑏 (cid:94)(cid:30)𝑐(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:119)
∴△𝐴𝐵𝐶(cid:73)3(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:237) = =12(cid:238)(cid:95)(cid:106) =6(cid:95)
(cid:147)(cid:163)(cid:238) = 𝑏 2=𝑛6 =35(cid:95)𝑛 = +1=6 +1=37(cid:95)
2 2 2 2
𝑎(cid:46)(cid:24)𝑛 (cid:25)−1(cid:82)(cid:86)12−(cid:95)135(cid:95)37(cid:71)𝑐 𝑛
∴(cid:15)△(cid:120)𝐴(cid:121)𝐵𝐶6-3(cid:19)(cid:73)2025·(cid:209)(cid:126)(cid:378)(cid:379)·(cid:180)(cid:78)(cid:79)(cid:15)(cid:344)(cid:20)(cid:380)(cid:182)(cid:19)
(cid:73)1(cid:79)(cid:143)(cid:39)1(cid:95) (cid:153) (cid:162)(cid:94)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:45) (cid:260) (cid:169)(cid:381)(cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95) (cid:95) (cid:71)
(cid:52)(cid:54)(cid:10) =△𝐴𝐵(cid:119)𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷
①(cid:229) 𝐵𝐷=15𝐴0𝐸°(cid:95)(cid:52)(cid:54)(cid:10) = + (cid:119)
2 2 2
②(cid:15)(cid:344)(cid:20)∠𝐴(cid:382)𝐷(cid:383)𝐶(cid:19) 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:73)2(cid:79)(cid:143)(cid:39)2(cid:71) (cid:153) (cid:162)(cid:94)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:45) (cid:260) (cid:384)(cid:381)(cid:95)(cid:229) = A++ (cid:385)(cid:254)(cid:29)(cid:369)(cid:95)(cid:52)
A
科
★ 全 2 2 2
(cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸 𝐷 △众𝐴𝐵号𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
公
注
关
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(cid:73)1(cid:79) (cid:361)(cid:53)(cid:99)(cid:119) (cid:361)(cid:53)源(cid:99)(cid:119)，(cid:73)2(cid:79)30°(cid:71)
资
辅
教
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)①(cid:102)(cid:103)(cid:273)(cid:149)(cid:24)②(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:108)(cid:109)(cid:43)(cid:274)(cid:45)(cid:46)(cid:58)
(cid:48)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79) (cid:172)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:156)(cid:157)(cid:107)(cid:164) = (cid:95) = (cid:95) = =60°(cid:95)(cid:254)(cid:346)(cid:47)(cid:48)“SAS”(cid:54)(cid:55)
① (cid:106)(cid:107)(cid:119) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷
△(cid:172)𝐷𝐶𝐵≌△=𝐸𝐶1𝐴50°(cid:95)(cid:147) = =90°(cid:95)(cid:236)(cid:290)(cid:280)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:164) + = (cid:95)(cid:348) = (cid:95)
2 2 2
②(cid:295)(cid:165)(cid:52)∠𝐴(cid:54)𝐷(cid:119)𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐸𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐷
(cid:73)2(cid:79)(cid:54)(cid:55) (SAS)(cid:95)(cid:147)(cid:194) = (cid:95)(cid:348) = + (cid:95)(cid:147) = + (cid:95)(cid:295)(cid:165)(cid:164)(cid:182)
2 2 2 2 2 2
=90△°(cid:95)𝐷(cid:213)𝐶𝐵(cid:346)≌(cid:48)△(cid:31)𝐸(cid:67)𝐶𝐴(cid:153)(cid:386)(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:53)𝐵(cid:71)𝐷 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸
(cid:15)∠𝐴(cid:111)𝐷𝐸(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:73)1(cid:79)(cid:54)(cid:55)(cid:10) (cid:153) (cid:162)(cid:94)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
= (cid:95) = (cid:95) ①∵=△𝐴𝐵𝐶 =△60𝐷°(cid:95)𝐶𝐸
∴𝐵𝐶 𝐴=𝐶 𝐶𝐷 𝐶𝐸 =∠𝐴𝐶𝐵 (cid:95)∠𝐸𝐶𝐷
∴∠𝐷𝐶𝐵 60°−∠𝐷(𝐶SA𝐴S)(cid:95)∠𝐸𝐶𝐴
∴△𝐷=𝐶𝐵≌(cid:119)△𝐸𝐶𝐴
∴𝐵𝐷 𝐴𝐸(cid:94)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
②∵△𝐷=𝐶𝐸60°(cid:95) = (cid:95)
∴∠𝐸𝐷𝐶 =150°(cid:95)𝐷𝐸 𝐶𝐷
∵∠𝐴𝐷𝐶 = =90°(cid:95)
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴=𝐷𝐶−∠(cid:95)𝐸𝐷𝐶
2 2 2
(cid:172)∴𝐴𝐷 (cid:43)𝐷𝐸= 𝐴(cid:95)𝐸
① =𝐴𝐸 𝐵+𝐷 (cid:119)
2 2 2
∴(cid:73)𝐵2𝐷(cid:79)(cid:53)(cid:10)𝐴𝐷 𝐶𝐷(cid:153) (cid:162)(cid:94)(cid:149)(cid:25)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
= (cid:95)△𝐴𝐵=𝐶 △=𝐷𝐶𝐸(cid:95) = =60°= (cid:95)
∴𝐵𝐶 𝐴=𝐶60𝐶°𝐷+ 𝐶𝐸 =𝐷𝐸 ∠𝐴(cid:95)𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸
∴∠𝐷𝐶𝐵 ∠(𝐴S𝐶A𝐷S)(cid:95)∠𝐸𝐶𝐴
∴△𝐷=𝐶𝐵≌(cid:95)△𝐸𝐶𝐴
∴𝐵𝐷 =𝐴𝐸 + (cid:95)
2 2 2 A +
∵𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 +𝐶𝐷 (cid:95) 科 A
全
★
2 2 2 众 号
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐷90°(cid:95)𝐷𝐸 公
注
关
，
源
∴∠𝐴𝐷𝐸= =辅30°资(cid:71)
教
∴
【
∠
题
𝐴𝐷
型
𝐶7 ∠
勾
𝐴
股
𝐷𝐸
定
−
理
∠𝐶
的
𝐷
逆
𝐸
定理实际应用】
(cid:15)(cid:72)7(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:302)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:180)(cid:390)(cid:65)(cid:391)(cid:392)(cid:330)(cid:393)(cid:260)(cid:394)(cid:38)(cid:45)A(cid:297)(cid:95)(cid:45)A(cid:41)(cid:395)(cid:298)(cid:40)(cid:45)B(cid:216)(cid:324)
(cid:46)(cid:312)(cid:313) =20(cid:396)(cid:95)(cid:45)A(cid:41)(cid:395)(cid:298)(cid:40)(cid:45)C(cid:73)(cid:45)B(cid:112)C(cid:297)(cid:197)(cid:249)(cid:180)(cid:397)(cid:227)(cid:298)(cid:40)(cid:79)(cid:46)(cid:312)(cid:313) =25(cid:396)(cid:95)(cid:243) =15(cid:396)(cid:71)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:119)
(2)(cid:193)(cid:161)∠𝐴(cid:390)𝐵𝐶(cid:65)(cid:391)(cid:392)(cid:339) (cid:242)(cid:260)(cid:30)(cid:84)(cid:293)(cid:80)(cid:398)(cid:137)(cid:296)(cid:45)D(cid:297)(cid:95)(cid:229)(cid:45)D(cid:399)(cid:400)(cid:260)(cid:25) (cid:46)(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:40)(cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)(cid:52)(cid:161)(cid:390)
(cid:65)(cid:391)(cid:392)(cid:293)(cid:80)(cid:398)(cid:137)(cid:46)(cid:312)𝐴𝐵(cid:313)(cid:73) (cid:46)(cid:82)(cid:79)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(1)90° 𝐴𝐷
125
(2) (cid:396)
8(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:153)(cid:84)(cid:85)(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:46)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:153)(cid:84)
(cid:85)(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:107)(cid:53)(cid:96)(cid:119)
(cid:73)2(cid:79)(cid:260)Rt (cid:38)(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:106)(cid:107)(cid:53)(cid:96)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)△1(cid:79)𝐵𝐷(cid:53)𝐶(cid:10) + =20 +15 =625(cid:95) =25 =625(cid:95)
2 2 2 2 2 2
+ = (cid:95)∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
2 2 2
∴𝐴𝐵 (cid:94)𝐵𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)𝐴𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:95) =90°(cid:119)
(cid:73)∴△2(cid:79)𝐴𝐵(cid:173)𝐶 = (cid:396)(cid:95)(cid:229)(cid:45)∠(cid:399)𝐴𝐵(cid:400)𝐶(cid:260)(cid:25) (cid:46)(cid:316)(cid:30)(cid:227)(cid:98)(cid:84)(cid:40)(cid:95)
(cid:147) =𝐴𝐷 =𝑥(cid:396)(cid:95) 𝐷=( )(cid:396)𝐴𝐶(cid:95)
(cid:260)𝐶R𝐷t 𝐴𝐷(cid:38)(cid:95)𝑥 𝐵=𝐷 2+0−𝑥(cid:95)
2 2 2
△=𝐵(𝐷𝐶 ) 𝐷+𝐶15 (cid:95)𝐵𝐷 𝐵𝐶
2 2 2
(cid:53)
∴
(cid:164)
𝑥
=
21205−
.
𝑥
8
𝑥
125
(cid:96)(cid:10)(cid:161)(cid:390)(cid:65)(cid:391)(cid:392)(cid:293)(cid:80)(cid:398)(cid:137)(cid:46)(cid:312)(cid:313)( (cid:46)(cid:82)(cid:79)(cid:86) (cid:396)(cid:71) +
8 A A
科
全
(cid:15)(cid:120)(cid:121)7-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:74)𝐴(cid:358)𝐷(cid:401)(cid:266)·(cid:267)(cid:85)(cid:171)(cid:268)(cid:79)(cid:143)(cid:39)
众
(cid:95)号(cid:320)(cid:196) ★ (cid:402)(cid:46)(cid:44)(cid:139)(cid:403)(cid:404) (cid:95) (cid:405)(cid:197)(cid:196)(cid:406) (cid:46)(cid:249)(cid:407)(cid:95)(cid:44)
公
注
关
(cid:139)(cid:403)(cid:404)(cid:216)(cid:324)(cid:46)(cid:312)(cid:313) =25m(cid:71)(cid:193)(cid:134)源(cid:86)，(cid:403)(cid:404)(cid:408)(cid:173)(cid:409)(cid:397)(cid:410)(cid:411) (cid:95) (cid:95)(cid:409)(cid:397)(cid:45) (cid:260)𝐴(cid:196)(cid:406)𝐵 (cid:40)(cid:95)(cid:409)𝐴(cid:397)𝐶(cid:45) (cid:205) (cid:46)
资
辅
教
(cid:312)(cid:313) =12m(cid:95)𝐴𝐵 =15m(cid:71) 𝐴𝑀 𝐵𝑀 𝑀 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐵
𝑀𝑁 𝐵𝑀
(1)(cid:52)(cid:409)(cid:397)(cid:45) (cid:205)(cid:403)(cid:404) (cid:251)(cid:134)(cid:408)(cid:173)(cid:46)(cid:410)(cid:411)(cid:82) (cid:71)
(2)(cid:52)(cid:54)(cid:10) 𝑀 =90𝐴°(cid:71) 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(∠1𝐵)(cid:409)𝑀(cid:397)𝐴(cid:45) (cid:205)(cid:403)(cid:404) (cid:251)(cid:134)(cid:408)(cid:173)(cid:46)(cid:410)(cid:411)(cid:82) (cid:86)20m(cid:119)
(2)(cid:361)(cid:111)(cid:53)(cid:71) 𝑀 𝐴 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:153)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:153)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:95)
(cid:134)(cid:4)(cid:118)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:37)(cid:121)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79)(cid:260)Rt (cid:38)(cid:95)(cid:345)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:182) (cid:95)(cid:295)(cid:165)(cid:52)(cid:182) (cid:95)(cid:236)(cid:260)Rt (cid:38)(cid:95)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:182) (cid:119)
(cid:73)2(cid:79)(cid:47)(cid:48)(cid:33)△(cid:34)𝑀(cid:49)𝑁(cid:50)𝐵(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:55) (cid:94)(cid:30)𝐵𝑁(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:236)(cid:104)𝐴𝑁(cid:105)(cid:204)(cid:25)(cid:242)(cid:308)△(cid:46)𝐴(cid:31)𝑁𝑀(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:295)(cid:165)(cid:164)(cid:205) =𝐴9𝑀0°(cid:71)
△𝐴𝑀𝐵 ∠𝐵𝑀𝐴(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:172)(cid:20)(cid:118)(cid:107)(cid:43)(cid:10) (cid:95)
(cid:260)Rt (cid:38)(cid:95) = 𝑀𝑁=⊥1𝐴5𝐵 12 =81(cid:95)
2 2 2 2 2
△=𝑀9𝑁m𝐵(cid:95) 𝐵𝑁 𝐵𝑀 −𝑀𝑁 −
∴𝐵𝑁= = =16m(cid:95)
(cid:260)∴R𝐴t𝑁 𝐴𝐵−(cid:38)𝐵𝑁(cid:95) 25−=9 + =16 +12 =400(cid:95)
2 2 2 2 2
△=𝐴2𝑁0𝑀m(cid:95) 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁
∴𝐴(cid:409)𝑀(cid:397)(cid:45) (cid:205)(cid:403)(cid:404) (cid:251)(cid:134)(cid:408)(cid:173)(cid:46)(cid:410)(cid:411)(cid:82) (cid:86)20m(cid:119)
(cid:73)∴2(cid:79)(cid:54)(cid:55)𝑀(cid:10) 𝐴=20m(cid:95) =15m𝐴(cid:95)𝑀 =25m(cid:95)
+ ∵=𝐴𝑀20 +15 =𝐵𝑀25 = (cid:95)𝐴𝐵
2 2 2 2 2 2
∴𝐴𝑀 𝐵(cid:94)𝑀(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95) =90𝐴°(cid:71)𝐵
(cid:15)∴△(cid:120)𝐴(cid:121)𝑀7𝐵-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)∠(cid:124)𝐵(cid:40)𝑀·𝐴(cid:209)(cid:75)(cid:412)(cid:413)·(cid:129)(cid:414)(cid:79)(cid:320)(cid:323)(cid:354)(cid:415)(cid:130)(cid:416)(cid:417)(cid:112)(cid:418)(cid:419)(cid:112)(cid:420)(cid:421)(cid:86)(cid:182)(cid:422)(cid:45)(cid:95)(cid:308)(cid:323)(cid:354)(cid:423)(cid:424)(cid:425)(cid:402)(cid:136)
(cid:137)(cid:103)(cid:426)(cid:427)(cid:173)(cid:264)(cid:71)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:140)(cid:25)(cid:32) (cid:86)(cid:424)(cid:428)(cid:402)(cid:429)(cid:95)(cid:140)(cid:210)(cid:94)(cid:430)(cid:411)(cid:95) (cid:95)(cid:38)(cid:324)(cid:94)(cid:431)(cid:432)(cid:230)(cid:433)(cid:402)(cid:429)(cid:95)(cid:86)(cid:434)(cid:435)(cid:436)
(cid:437)(cid:95)(cid:38)(cid:324)(cid:438)(cid:439)(cid:103)(cid:440)(cid:26)(cid:441)(cid:416)(cid:417)(cid:442)𝐴(cid:354)𝐵(cid:430)𝐶𝐷(cid:411) (cid:95)(cid:223)(cid:287)(cid:367) =9(cid:95) =𝐴1𝐵2(cid:95)⊥𝐵𝐶 =8(cid:95) =17(cid:71)
+
A
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷科 A𝐴𝐷
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) (cid:71)
(2)(cid:52)(cid:140)(cid:25)(cid:32)𝐴𝐶⊥𝐶𝐷(cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(1)𝐴(cid:361)𝐵(cid:53)𝐶𝐷(cid:99)
(2)114
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:323)(cid:48)(cid:95)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:264)(cid:190)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79)(cid:323)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:205) =225(cid:95)(cid:236)(cid:323)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:205) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:172)(cid:163)(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:119)
2
(cid:73)2(cid:79)(cid:104)(cid:105) = 𝐴𝐶 + (cid:95)(cid:185)(cid:366)(cid:264)(cid:190)(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:71) △𝐴𝐶𝐷
四边形
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)𝑆1(cid:79)(cid:54)𝐴(cid:55)𝐵𝐶(cid:10)𝐷 (cid:260)𝑆R△t𝐴𝐵𝐶 𝑆(cid:38)△𝐴(cid:95)𝐶𝐷 =9(cid:95) =12(cid:95)
(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:164) = △+𝐴𝐵𝐶=9𝐴+𝐵12 =𝐵2𝐶25(cid:95)
2 2 2 2 2
=17 =2𝐴8𝐶9(cid:95) 𝐴𝐵=6𝐵4𝐶(cid:95)
2 2 2
∵𝐴𝐷 = + =𝐶2𝐷89(cid:95)
2 2 2
∴𝐴𝐷 𝐶(cid:94)𝐷(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐶(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:243) =90°(cid:95)
∴△𝐴𝐶𝐷 (cid:71) ∠𝐴𝐶𝐷
∴𝐴𝐶⊥𝐶𝐷(cid:73)2(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:172)(cid:73)1(cid:79)(cid:95)(cid:107)(cid:164) =15(cid:95) =90°(cid:95)
= + 𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷
四边形
∴𝑆1 𝐴𝐵𝐶𝐷 1𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐶𝐷
= +
2 2
1𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 1𝐴𝐶⋅𝐶𝐷
= ×9×12+ ×15×8
2 2
=114(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)7-3(cid:19)(cid:212)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:223)(cid:446)(cid:447)(cid:284)(cid:448)(cid:449)(cid:450)(cid:451)(cid:452)(cid:95)(cid:284)(cid:448)(cid:94)(cid:180)(cid:230)(cid:453)(cid:254)(cid:454)(cid:455)(cid:95)(cid:217)(cid:130)(cid:284)(cid:448)(cid:38)(cid:427)(cid:86)(cid:318)(cid:427)(cid:260)(cid:210)(cid:456)(cid:40)(cid:457)(cid:396)(cid:46)(cid:458)
(cid:456)(cid:169)(cid:32)(cid:29)(cid:459)(cid:460)(cid:450)(cid:461)(cid:95)(cid:194)(cid:459)(cid:462)(cid:46)(cid:463)(cid:464)(cid:350)(cid:71)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:194)(cid:180)(cid:284)(cid:448)(cid:38)(cid:427)(cid:339)(cid:465)(cid:358)(cid:228)(cid:293)AB(cid:172)(cid:45)A(cid:137)(cid:466)(cid:293)(cid:45)B(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:45)C(cid:86)
(cid:180)(cid:467)(cid:468)(cid:95)(cid:243)(cid:45)C(cid:41)(cid:30)(cid:84)AB(cid:40)(cid:44)(cid:45)A(cid:95)B(cid:46)(cid:312)(cid:313)(cid:98)(cid:272)(cid:86)300km(cid:153)400km(cid:95)(cid:243) =500km(cid:95)(cid:130)(cid:284)(cid:448)(cid:38)(cid:427)(cid:86)(cid:318)
(cid:427)(cid:210)(cid:456)250km(cid:130)(cid:169)(cid:86)(cid:447)(cid:451)(cid:452)(cid:402)(cid:429)(cid:71) 𝐴𝐵
+
A
A
科
全
★
(1)(cid:52)(cid:54)(cid:10) =90°(cid:119)
众
号
公
注
关
(2)(cid:467)(cid:468)C∠(cid:447)𝐴(cid:284)𝐶𝐵(cid:448)(cid:451)(cid:452)(cid:469)(cid:470)(cid:86)(cid:471)(cid:160)(cid:470)源 ，
资
辅
教
(3)(cid:229)(cid:284)(cid:448)(cid:46)(cid:472)(cid:67)(cid:86)40km/h(cid:95)(cid:147)(cid:284)(cid:448)(cid:451)(cid:452)(cid:138)(cid:467)(cid:468)(cid:473)(cid:474)(cid:46)(cid:238)(cid:324)(cid:194)(cid:475)(cid:82)(cid:470)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(1)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
(2)(cid:467)(cid:468)C(cid:447)(cid:284)(cid:448)(cid:451)(cid:452)(cid:95)(cid:50)(cid:172)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
(3)3.5h
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:119)
(cid:73)2(cid:79)(cid:280)(cid:45)C(cid:70) (cid:197)D(cid:71)(cid:104)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:95)(cid:107)(cid:164) 1 = 1 (cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:119)
2 2
(cid:73)3(cid:79)(cid:260)(cid:84)(cid:85)AB𝐶(cid:40)𝐷⊥(cid:277)𝐴(cid:45)𝐵E(cid:95)F(cid:95)(cid:278) =250km(cid:95) =250km(cid:95)𝐴𝐶(cid:147)⋅(cid:284)𝐵𝐶(cid:448)(cid:38)(cid:427)𝐴𝐵(cid:260)⋅(cid:84)𝐶𝐷(cid:85)EF(cid:40)(cid:238)(cid:175)(cid:400)(cid:451)(cid:452)C(cid:468)
(cid:211)(cid:71)(cid:104)(cid:105)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:107)(cid:164)E𝐸D𝐶=FD(cid:95)(cid:254)(cid:346)(cid:104)𝐹(cid:105)𝐶(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:107)(cid:164) =70(km)(cid:95)(cid:295)(cid:165)(cid:164)(cid:205) =140km(cid:95)(cid:106)
(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:71) 𝐸𝐷 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:53)(cid:10) =300km(cid:95) =400km(cid:95) =500km(cid:95)
+ = (cid:71)∵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:94)𝐶(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:24)𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:95)
∴△𝐴𝐵𝐶=90°(cid:119)
∴∠𝐴𝐶𝐵(cid:73)2(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:467)(cid:468)C(cid:447)(cid:284)(cid:448)(cid:451)(cid:452)(cid:71)(cid:50)(cid:172)(cid:143)(cid:80)(cid:10)
(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:280)(cid:45)C(cid:70) (cid:197)D(cid:71)
= 1 𝐶𝐷 = ⊥1𝐴𝐵 (cid:95)
2 2
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷
= = 300×400 =240(km)(cid:71)
500
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶
∴𝐶 25 𝐷 0>2 𝐴 4 𝐵 0(cid:95)
∵(cid:467)(cid:468)C(cid:447)(cid:205)(cid:284)(cid:448)(cid:451)(cid:452)(cid:71)
∴
(cid:73)3(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:260)(cid:84)(cid:85)AB(cid:40)(cid:277)(cid:45)E(cid:95)F(cid:95)(cid:278) =250km(cid:95) =250km(cid:95)(cid:147)(cid:284)(cid:448)(cid:38)(cid:427)(cid:260)(cid:84)(cid:85)EF(cid:40)(cid:238)(cid:175)(cid:400)
(cid:451)(cid:452)C(cid:468)(cid:211)(cid:71) 𝐸𝐶 𝐹𝐶
+
A
A
科
EC=FC(cid:95)
★
全
号
众
公
∴CD AB(cid:95) 关 注
，
源
资
辅
∵ED=⊥FD(cid:95) 教
∴(cid:260) (cid:38)(cid:95)(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:10)
𝑅=𝑡△70𝐶(𝐸k𝐷m)(cid:95)
𝐸𝐷 =140km(cid:95)
∴(cid:284)𝐸𝐹(cid:448)(cid:46)(cid:472)(cid:67)(cid:86)40km/h(cid:95)
∵140÷40=3.5(h)(cid:71)
∴(cid:284)(cid:448)(cid:451)(cid:452)(cid:138)(cid:467)(cid:468)(cid:473)(cid:474)(cid:46)(cid:238)(cid:324)(cid:86)3.5h (cid:71)
∴(cid:15)(cid:45)(cid:206)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:48)(cid:95)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)
(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:175)(cid:225)(cid:28)(cid:322)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合求值】
(cid:15)(cid:72)8(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:351)(cid:352)(cid:476)(cid:351)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:143)(cid:80)(cid:39)(cid:95)(cid:11)(cid:477)(cid:194)(cid:180)(cid:478)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:394)(cid:395) (cid:95)(cid:264)(cid:479)(cid:291)(cid:161)(cid:478)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:394)(cid:395)(cid:98)
(cid:480)(cid:29)(cid:140)(cid:25)(cid:32) (cid:153)(cid:24)(cid:31)(cid:32) (cid:95)(cid:98)(cid:272)(cid:481)(cid:482)(cid:44)(cid:230)(cid:113)(cid:249)(cid:46)(cid:431)(cid:432)(cid:71)(cid:223)(cid:287)(cid:367)(cid:95) 𝐴=𝐵𝐶90°(cid:95) =15(cid:95) =20(cid:95)
=35(cid:95)𝐴𝐵𝐷=𝐸40(cid:95) =𝐸5𝐷(cid:95)𝐶(cid:52)(cid:140)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:71)(cid:73)(cid:483)(cid:405)(cid:10)(cid:396)(cid:79) ∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸
𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵𝐷𝐸(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)450m
2
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:345)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:190)(cid:182) (cid:46)(cid:82)(cid:95)(cid:136)(cid:165)(cid:107)(cid:130)(cid:164)(cid:205) (cid:46)(cid:131)(cid:25)(cid:82)(cid:95)(cid:236)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:205)(cid:163)(cid:24)
(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:136)(cid:165)(cid:164)(cid:205)𝐸(cid:242)𝐶(cid:52)(cid:298)(cid:356)(cid:86) (cid:46)(cid:298)(cid:356)△(cid:434)𝐴𝐵(cid:484)𝐶 (cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:205)(cid:96)(cid:97)(cid:119)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10) =90°(cid:95) =15(cid:95)△𝐴=𝐵𝐶20(cid:95) △𝐸𝐷𝐶
=25(cid:95) ∵∠𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 = + =30(cid:95)
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸+ 𝐶𝐸=50(cid:95) =40
∵𝐵𝐶 +𝐷𝐵 =𝐷𝐶2500= 𝐴𝐵(cid:95)
2 2 2
∴𝐴𝐵 (cid:94)𝐴𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)𝐵(cid:243)𝐶 =90°
∴△𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴=450(m )
四边形 +
A
2 科 A
∴(cid:15)𝑆(cid:45)(cid:206)(cid:19)𝐴𝐵(cid:100)𝐷𝐸(cid:20)(cid:133)𝑆(cid:134)△𝐴(cid:101)𝐵𝐶(cid:102)−𝑆(cid:103)△(cid:33)𝐶𝐷(cid:34)𝐸 (cid:49)(cid:50)(cid:153)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:53)(cid:64)(cid:163)
★
(cid:20)(cid:46)全(cid:3)(cid:110)(cid:94)(cid:62)(cid:50)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:71)
号
众
公
注
(cid:15)(cid:120)(cid:121)8-1(cid:19)(cid:143)(cid:39) =90°(cid:95) =20(cid:95) 关=15(cid:95) =7(cid:95) =24(cid:95)(cid:52) (cid:46)(cid:67)(cid:35)(cid:71)
，
源
资
辅
∠𝐵教 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐷
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19) =90°
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)∠(cid:100)𝐷(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:46)(cid:94)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)(cid:345)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:52)(cid:182) (cid:46)(cid:63)(cid:95)(cid:236)(cid:172)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)
2
(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:182) (cid:46)(cid:32)(cid:148)(cid:106)(cid:107)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)△(cid:143)𝐴𝐶(cid:39)𝐷(cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)
𝐴𝐶=90°(cid:95) =20(cid:95) =15(cid:95)
∵∠𝐵 = +𝐴𝐵 =20𝐵𝐶+15 =625(cid:95)
2 2 2 2 2
∴𝐴𝐶 =7𝐴(cid:95)𝐵 =𝐵𝐶24(cid:95)
∵𝐶𝐷 + 𝐴𝐷=7 +24 =625= (cid:95)
2 2 2 2 2
∴𝐶𝐷 𝐴(cid:94)𝐷(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95) 𝐴𝐶
∴△𝐴=𝐶𝐷90°(cid:71)
∴(cid:15)∠(cid:120)𝐷(cid:121)8-2(cid:19)(cid:143)(cid:39)(cid:95)(cid:194)(cid:180)(cid:478)(cid:140)(cid:25)(cid:32)(cid:431)(cid:485) (cid:95) =90°(cid:95) =4m(cid:95) =13m(cid:95) =12m(cid:95) =3
m(cid:95)(cid:138)(cid:431)(cid:485)(cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:86) m (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐶
2
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)24
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:323)(cid:48)(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:100)(cid:20)(cid:38)(cid:22)(cid:23)
+
A
A
科
(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71) 全
★
号
众
公
注
(cid:92)△(cid:279)𝐴𝐵𝐶(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:53)(cid:30)(cid:31) (cid:52) (cid:46)(cid:82)(cid:67)(cid:95)关(cid:52)(cid:54) (cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:140)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:298)(cid:356)= (cid:298)
，
源
资
辅
(cid:356) 𝐴𝐶 (cid:298)(cid:356)(cid:106)(cid:107)(cid:264)教△(cid:190)𝐴(cid:71)𝐷𝐶 𝐴𝐶 △𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)−(cid:111)△(cid:53)(cid:19)𝐴𝐶(cid:143)𝐷(cid:39)(cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:71)
𝐴𝐶
=4m =3m =90°(cid:95)
∵𝐷𝐴=5m(cid:95),𝐶𝐷 ,∠𝐷
∴𝐴𝐶 =3×4× 1 =6(m )(cid:95)
2
2
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷
(cid:260) (cid:38)(cid:95) =5m =12m =13m(cid:95)
△𝐴𝐵+𝐶 =∵𝐴𝐶 (cid:95) ,𝐵𝐶 ,𝐴𝐵
2 2 2
∴𝐴𝐶 𝐵(cid:86)𝐶(cid:30)(cid:31)(cid:24)𝐴𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:243) =90°(cid:95)
∴
R
△
t
𝐴𝐵𝐶
(cid:46)(cid:298)(cid:356)=12×5
∠
×
𝐴1𝐶𝐵
=30(m )(cid:95)
2
2
∴ △𝐴𝐵𝐶
(cid:140)(cid:25)(cid:32) (cid:46)(cid:298)(cid:356)= =24(m )(cid:71)
2
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 30−6(cid:114)(cid:96)(cid:97)(cid:86)(cid:10)24(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)8-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:80)·(cid:486)(cid:358)(cid:487)(cid:266)·(cid:129)(cid:38)(cid:79)(cid:15)(cid:488)(cid:489)(cid:41)(cid:490)(cid:101)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:491)(cid:492)(cid:165)(cid:493)(cid:494)(cid:95)(cid:217)(cid:46)(cid:54)(cid:240)(cid:475)(cid:230)(cid:475)(cid:495)(cid:95)
(cid:60)(cid:496)(cid:494)(cid:131)(cid:194)(cid:113)(cid:249)(cid:71)(cid:260)(cid:136)(cid:137)(cid:187)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:192)(cid:180)(cid:189)(cid:11)(cid:268)(cid:238)(cid:95)(cid:497)(cid:498)(cid:499)(cid:500)(cid:249)(cid:11)(cid:259)(cid:136)(cid:137)(cid:382)(cid:383)(cid:327)(cid:354)(cid:10)(cid:143)(cid:39)1(cid:95)(cid:161)(cid:94)(cid:48)(cid:337)(cid:338)(cid:501)
(cid:29)(cid:46)(cid:140)(cid:139)(cid:273)(cid:149)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:44)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:82)(cid:98)(cid:272)(cid:86)a(cid:95) > (cid:95)(cid:204)(cid:25)(cid:82)(cid:86)c(cid:79)(cid:153)(cid:180)(cid:139)(cid:25)(cid:82)(cid:86)c(cid:46)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:95)
(cid:360)(cid:502)(cid:291)(cid:217)(cid:259)(cid:288)(cid:29)(cid:180)(cid:139)(cid:39)(cid:32)(cid:95)(cid:138)(cid:39)(cid:32)(cid:26)(cid:252)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71) 𝑏(𝑏 𝑎)
(cid:15)(cid:321)(cid:503)(cid:19)
(1)(cid:143)(cid:39)2(cid:95)(cid:161)(cid:94)(cid:196)(cid:504)(cid:249)(cid:11)(cid:288)(cid:29)(cid:46)(cid:39)(cid:32)(cid:71)(cid:360)(cid:502)(cid:47)(cid:48)(cid:39)2(cid:252)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:71)
(2)(cid:180)(cid:139)(cid:505)(cid:168)(cid:46)(cid:32)(cid:148)(cid:143)(cid:39)3(cid:242)(cid:203)(cid:95)(cid:506)(cid:309)(cid:69)(cid:49)(cid:95)(cid:505)(cid:168)(cid:38) (cid:153) (cid:162)(cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:95)(cid:507)(cid:94)(cid:62)(cid:37)(cid:505)(cid:168)(cid:71)(cid:143)(cid:39)4(cid:242)(cid:203)(cid:95)(cid:508)
+
A
A
科
(cid:391)(cid:498)(cid:509)(cid:287)(cid:164)(cid:505)(cid:168) =90°(cid:95) =39cm(cid:95) =3∠6𝐴cm𝐵𝐷(cid:95) ∠𝐶=★9cm全(cid:95) =12cm(cid:95)(cid:161)(cid:139)(cid:505)(cid:168)(cid:117)(cid:62)(cid:134)(cid:52)(cid:469)(cid:470)
号
众
公
注
(cid:360)(cid:22)(cid:23)(cid:275)(cid:239)(cid:55)(cid:50)∠(cid:172)𝐴(cid:71)𝐵𝐷 𝐴𝐷 关𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(1)(cid:361)(cid:53)(cid:99) 教
(2)(cid:161)(cid:139)(cid:505)(cid:168)(cid:117)(cid:62)(cid:134)(cid:52)(cid:95)(cid:50)(cid:172)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:54)(cid:55)(cid:112)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:149)(cid:43)(cid:274)(cid:45)(cid:95)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:70)(cid:48)(cid:94)
(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79) (cid:104)(cid:105)(cid:39)2(cid:48)(cid:44)(cid:230)(cid:228)(cid:240)(cid:202)(cid:203)(cid:182)(cid:198)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:95)(cid:254)(cid:346)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:50)(cid:106)(cid:107)(cid:53)(cid:96)(cid:119)
(cid:73)2(cid:79)①(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:252)(cid:54)(cid:153)(cid:94)(cid:27)(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:106)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:161)(cid:139)(cid:505)(cid:168)(cid:94)(cid:27)(cid:117)(cid:62)(cid:134)(cid:52)(cid:71)
1
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:53)(cid:10) (cid:104)(cid:105)(cid:39)2(cid:10)(cid:198)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:298)(cid:356)(cid:107)(cid:202)(cid:203)(cid:86)(cid:10) (cid:311) ×4+ (cid:95)
2
2 2
∵ 𝑐 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎)
1 ×4+ = (cid:95)(cid:106) + + = (cid:95)
2
2 2 2 2 2
∴ 𝑎𝑏 (𝑏−𝑎) 𝑐 2𝑎𝑏 𝑏 −2𝑎𝑏 𝑎 𝑐
+ = (cid:71)
2 2 2
(cid:73)∴𝑎2(cid:79)(cid:53)𝑏(cid:10)(cid:161)𝑐(cid:139)(cid:505)(cid:168)(cid:117)(cid:62)(cid:134)(cid:52)(cid:95)(cid:50)(cid:172)(cid:143)(cid:80)(cid:10)
(cid:260)Rt (cid:38)(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:107)(cid:164)(cid:10)
=△𝐴𝐵𝐷 =39 36 =225(cid:95)
2 2 2 2 2
(cid:260)𝐵𝐷 𝐴𝐷(cid:38)−(cid:95)𝐴𝐵 + −=9 +12 =225
2 2 2 2
△𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷+ = (cid:71)
2 2 2
∴𝐵𝐶 𝐶(cid:94)𝐷(cid:30)(cid:31)𝐵(cid:24)𝐷(cid:31)(cid:32)(cid:95) (cid:94)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:243) =90°
∴(cid:161)△(cid:139)𝐵𝐶(cid:505)𝐷(cid:168)(cid:117)(cid:62)(cid:134)(cid:52)(cid:71) ∠𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷
∴ 【题型9 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图】
(cid:15)(cid:72)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:510)(cid:123)(cid:124)(cid:40)·(cid:74)(cid:358)(cid:511)(cid:266)·(cid:267)(cid:85)(cid:171)(cid:268)(cid:79)(cid:84)(cid:85) (cid:46)(cid:460)(cid:45) (cid:95) (cid:260)6×6(cid:46)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:46)(cid:37)(cid:45)(cid:73)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:46)
(cid:262)(cid:45)(cid:79)(cid:40)(cid:95)(cid:360)(cid:512)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:260)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:506)(cid:134)(cid:52)(cid:70)(cid:39)𝐴(cid:71)𝐵 𝐴 𝐵
(1)(cid:260)(cid:39) (cid:38)(cid:513)(cid:182)(cid:37)(cid:45) (cid:95)(cid:275)(cid:92)(cid:279) (cid:95) (cid:95)(cid:278) = + (cid:119)
2 2 2
(2)(cid:260)(cid:39)①(cid:38)(cid:70)(cid:182) 𝐶 (cid:46)(cid:514) (cid:95)𝐴𝐶(cid:275)(cid:30)𝐵𝐶(cid:279)(cid:375)(cid:182)𝐴𝐶 (cid:46)(cid:82)𝐴𝐵(cid:86)___𝐵_𝐶____(cid:71)
+
A
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)②(1)(cid:361)(cid:53)(cid:99)△𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐻 𝐶𝐻 科 A
全
★
号
众
(2)(cid:361)(cid:53)(cid:99)(cid:95) = 16 注 公
关
5 ，
源
资
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:73)1 𝐶 (cid:79) 𝐻 (cid:143)(cid:39) 教(cid:95)(cid:172) 辅 (cid:20)(cid:118)(cid:43)(cid:95) =2 +4 =20(cid:95) =2 +1 =5(cid:95) =3 +4 =25(cid:95)(cid:147)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + (cid:95)(cid:37)(cid:45)①(cid:95) (cid:95) (cid:106)(cid:86)𝐴(cid:242)𝐵(cid:70)(cid:119) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐶
2 2
(cid:73)2𝐴(cid:79)𝐵(cid:143)(cid:39)𝐵𝐶 (cid:95)(cid:70) 𝐶 𝐴(cid:95)𝐶 𝐵(cid:112)𝐶 (cid:46)(cid:262)(cid:45)(cid:86) (cid:95)(cid:54)(cid:55) (SAS)(cid:95)(cid:147) = (cid:95)(cid:107)(cid:52)
= ② ( △𝐵𝐶+𝐷 𝐶𝐷 )=𝐴𝐵90°(cid:95)(cid:106) 𝐻(cid:86) △(cid:46)𝐶𝐵(cid:514)𝐷(cid:95)≌(cid:172)△(cid:33)𝐴𝐸(cid:34)𝐵(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:95) ∠𝐵=𝐶𝐷5(cid:95)(cid:172)∠(cid:20)𝐸𝐴(cid:118)𝐵(cid:43)(cid:95) =
∠1𝐵𝐻 × 𝐶 1 = 801°− ∠ × 𝐵𝐶𝐷 (cid:95)(cid:106) ∠1𝐴 × 𝐵𝐸 5× = 1 × 𝐶 4 𝐻 ×4 △ (cid:95) 𝐴 (cid:264) 𝐵 (cid:190) 𝐶 (cid:52)(cid:53)(cid:106)(cid:107)(cid:71) 𝐴𝐵 𝑆△𝐴𝐵𝐶
2 2 2 2
(cid:15)𝐴(cid:111)𝐵 (cid:53)𝐶(cid:19)𝐻(cid:73)1(cid:79)𝐵(cid:53)𝐶 (cid:10)𝐴(cid:143)𝐸(cid:39) (cid:95) 𝐶𝐻
①
(cid:172)(cid:20)(cid:118)(cid:43)(cid:95) =2 +4 =20(cid:95) =2 +1 =5(cid:95) =3 +4 =25(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 𝐴𝐵+ (cid:95) 𝐵𝐶 𝐴𝐶
2 2 2
∴(cid:37)𝐴𝐶(cid:45) (cid:95)𝐴𝐵 (cid:95)𝐵𝐶(cid:106)(cid:86)(cid:242)(cid:70)(cid:119)
∴ 𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶(cid:73)2(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:143)(cid:39) (cid:95)(cid:70) (cid:95) (cid:112) (cid:46)(cid:262)(cid:45)(cid:86) (cid:95)
② △𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐻
=4= (cid:95) =90°= (cid:95) =3= (cid:95)
∵𝐶𝐵 𝐴𝐸 ∠(𝐶S𝐵A𝐷S)(cid:95) ∠𝐴𝐸𝐵 𝐵𝐷 𝐸𝐵
∴△𝐶𝐵𝐷=≌△𝐴𝐸(cid:95)𝐵
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐴𝐵= + =90°(cid:95)
∴∠𝐵𝐶𝐷 =∠𝐴𝐵𝐸 ( ∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐸)=90°(cid:95)
∴∠𝐵𝐻(cid:86)𝐶 180(cid:46)°−(cid:514)∠(cid:95)𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸
∴(cid:172)𝐶(cid:33)𝐻(cid:34)(cid:49)△(cid:50)𝐴𝐵(cid:164)𝐶(cid:95) =5(cid:95)
+
A
A
科
= 1 × 𝐴𝐵 = 1 × (cid:95)(cid:106) 1 ×5× = 1 ×4×4号(cid:95) ★ 全
2 2 2 2 众
公
注
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐸 ， 关 𝐶𝐻
16 源
(cid:53)(cid:164)(cid:95) = (cid:71) 资
5 辅
教
(cid:15)(cid:45)(cid:206)𝐶(cid:19)𝐻(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:273)(cid:149)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:169)(cid:31)(cid:153)(cid:49)(cid:50)(cid:149)(cid:43)
(cid:274)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:108)(cid:109)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:273)(cid:149)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:41)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:169)(cid:31)(cid:153)(cid:49)(cid:50)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)9-1(cid:19)(cid:73)2025·(cid:357)(cid:465)(cid:515)(cid:266)·(cid:78)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:147) + = (cid:73)(cid:45) (cid:95)
(cid:95) (cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:262)(cid:45)(cid:79)(cid:95)(cid:360)(cid:319)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:46)(cid:30)(cid:68)(cid:95)(cid:260)(cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:95)(cid:516)(cid:182)(cid:53)∠(cid:64)𝑃(cid:138)𝐴𝐵(cid:20)(cid:46)∠(cid:3)𝑃(cid:110)𝐵𝐴(cid:490)(cid:406)(cid:46)(cid:92)(cid:84)(cid:71)𝐴
𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)45°(cid:311)45(cid:67)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:384)(cid:31)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:95)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:22)(cid:49)(cid:153)(cid:156)(cid:157)(cid:95)
(cid:281)(cid:82) (cid:262)(cid:37)(cid:45)(cid:197) (cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:164)(cid:205) = =1 +2 =5(cid:95) =1 +3 =10(cid:95)(cid:52)(cid:164)
2 2 2 2 2 2 2 2
+ 𝐴𝑃= (cid:95)(cid:197)𝐷(cid:94)(cid:164)(cid:205)𝐵𝐷 =90°(cid:95)(cid:104)(cid:105)(cid:24)(cid:31)𝑃(cid:32)𝐷(cid:384)(cid:31)𝐵(cid:46)𝐷(cid:156)(cid:157)(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:205)(cid:276)(cid:235)𝑃(cid:95)𝐵(cid:175)(cid:225)(cid:46)(cid:70)(cid:182)(cid:332)(cid:333)(cid:84)(cid:94)(cid:53)(cid:20)𝑃𝐷(cid:46)
2 2
(cid:3)𝐷(cid:110)𝐵(cid:71) 𝑃𝐵 ∠𝑃𝐷𝐵
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:53)(cid:10)(cid:281)(cid:82) (cid:262)(cid:37)(cid:45)(cid:197) (cid:95)(cid:92)(cid:279) (cid:95)
𝐴𝑃 𝐷 𝐵𝐷= =1 +2 =5(cid:95) =1 +3 =10(cid:95)
2 2 2 2 2 2 2
∴𝑃𝐷 + 𝐵𝐷 = (cid:95) 𝑃𝐵
2 2 2
∴𝑃𝐷 𝐷=𝐵90°(cid:95)𝑃𝐵
∴∠𝑃𝐷𝐵 (cid:86)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)
∴△𝑃𝐵𝐷= + =45°(cid:95)
(cid:114)∴∠(cid:96)𝐷𝑃(cid:97)𝐵(cid:86)(cid:10)∠4𝑃5𝐴°𝐵(cid:71) ∠𝑃𝐵𝐴
(cid:15)(cid:120)(cid:121)9-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:40)·(cid:74)(cid:358)(cid:387)(cid:351)·(cid:129)(cid:414)(cid:79)(cid:143)(cid:39)(cid:94)4×4(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:45)A(cid:95)B(cid:95)(cid:360)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:30)(cid:68)
(cid:506)(cid:134)(cid:52)(cid:70)(cid:39)(cid:71)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:260)(cid:39)1(cid:38)(cid:95)(cid:130) (cid:86)(cid:152)(cid:95)(cid:70)(cid:149)(cid:152) (cid:119)
(2)(cid:260)(cid:39)2(cid:38)(cid:95)(cid:130)𝐴𝐵(cid:86)(cid:204)(cid:25)(cid:95)(cid:70)(cid:30)(cid:31)△𝐴𝐵𝐶 (cid:95)(cid:278)(cid:60)(cid:298)(cid:356)(cid:213)(cid:196)(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)(1)(cid:361)(cid:111)𝐴(cid:53)𝐵 △𝐴𝐵𝑀
(2)(cid:361)(cid:111)(cid:53)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:49)(cid:224)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:170)(cid:171)(cid:108)(cid:109)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)
(cid:50)(cid:94)(cid:53)(cid:20)(cid:46)(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:95)(cid:136)(cid:137)(cid:70)(cid:39)(cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:164)(cid:53)(cid:119)
(cid:73)2(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:298)(cid:356)(cid:213)(cid:196)(cid:95)(cid:147) (cid:46)(cid:63)(cid:213)(cid:196)(cid:95)(cid:243)(cid:275)(cid:243)(cid:145)(cid:146)(cid:130) (cid:86)(cid:204)(cid:25)(cid:95)(cid:70)(cid:30)(cid:31) (cid:161)(cid:139)(cid:83)(cid:168)(cid:95)(cid:276)(cid:62)(cid:33)(cid:34)(cid:49)
(cid:50)(cid:46)(cid:51)(cid:49)(cid:50)(cid:70)(cid:39)(cid:106)(cid:107)(cid:71) 𝐴𝑀·𝐵𝑀 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝑀
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:149)(cid:152) (cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:10)
△𝐴𝐵𝐶(cid:73)2(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:30)(cid:31) (cid:143)(cid:39)(cid:242)(cid:203)(cid:10)
△𝐴𝐵𝑀
(cid:15)(cid:120)(cid:121)9-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:40)·(cid:387)(cid:388)(cid:82)(cid:517)·(cid:267)(cid:85)(cid:171)(cid:268)(cid:79)(cid:39) (cid:112)(cid:39) (cid:112)(cid:39) (cid:94)3×3(cid:46)(cid:175)(cid:228)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:269)(cid:139)(cid:196)(cid:175)(cid:228)
(cid:32)(cid:46)(cid:25)(cid:82)(cid:162)(cid:86)1(cid:71)(cid:84)(cid:85) (cid:46)(cid:460)(cid:45)(cid:260)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:71)(cid:319)(cid:48)(cid:65)(cid:66)(cid:67)①(cid:46)(cid:30)(cid:68)②(cid:95)(cid:260)(cid:181)(cid:49)③(cid:46)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:506)(cid:134)(cid:52)(cid:516)(cid:39)(cid:95)(cid:242)(cid:516)(cid:39)(cid:32)(cid:46)
(cid:261)(cid:45)(cid:195)(cid:260)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:95)(cid:113)(cid:134)𝐴(cid:52)𝐵(cid:375)(cid:182)(cid:516)(cid:240)(cid:95)(cid:275)(cid:417)(cid:518)(cid:70)(cid:39)(cid:519)(cid:520)(cid:71)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:260)(cid:39) (cid:38)(cid:130)AB(cid:86)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:516)(cid:180)(cid:139)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:278)(cid:217)(cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:86)3(cid:71)
(2)(cid:260)(cid:39)①(cid:38)(cid:130)AB(cid:86)(cid:25)(cid:516)(cid:180)(cid:139)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:278)(cid:217)(cid:46)(cid:298)(cid:356)(cid:86)3(cid:71)
(3)(cid:260)(cid:39)②(cid:38)(cid:130)AB(cid:86)(cid:204)(cid:25)(cid:516)(cid:180)(cid:139)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:71)
(cid:15)(cid:96)(cid:97)(cid:19)③(1)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
(2)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
(3)(cid:361)(cid:53)(cid:99)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:19)(cid:100)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:37)(cid:45)(cid:516)(cid:39)(cid:112)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:112)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:149)(cid:43)(cid:274)(cid:45)(cid:71)(cid:108)(cid:109)(cid:91)(cid:3)(cid:49)(cid:224)(cid:29)(cid:86)(cid:53)(cid:20)(cid:46)
(cid:3)(cid:110)(cid:71)
(cid:73)1(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:130)(cid:59)(cid:298)(cid:356)(cid:86)3(cid:516)(cid:182)(cid:242)(cid:52)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:106)(cid:107)(cid:119)
(cid:73)2(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:149)(cid:152)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:130)(cid:59)(cid:298)(cid:356)(cid:86)3(cid:516)(cid:182)(cid:242)(cid:52)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:106)(cid:107)(cid:119)(cid:73)3(cid:79)(cid:104)(cid:105)(cid:149)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:46)(cid:49)(cid:224)(cid:516)(cid:182)(cid:242)(cid:52)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:106)(cid:107)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:53)(cid:19)(cid:73)1(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:143)(cid:39) (cid:112)(cid:39) (cid:106)(cid:86)(cid:242)(cid:52)(cid:71)
① ②
(cid:73)2(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:143)(cid:39) (cid:106)(cid:86)(cid:242)(cid:52)(cid:71)
③
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
(cid:73)3(cid:79)(cid:53)(cid:10)(cid:143)(cid:39) (cid:106)(cid:86)(cid:242)(cid:52)辅(cid:71)资
教
④