文档文本内容
专题 3.4 垂径定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:19)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)............................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:45)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:19)....................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:23)(cid:19)..........................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:19)..............................................................................................................................11
知识点 垂径定理
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)
(cid:77)AM =BM
①CD是直径
如图，
②CD AB
(cid:79) = C
⇒
⊥ (cid:78)𝐴𝐶 =𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐷
2. (cid:71)(cid:72)
(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)①CD是直径
(cid:77)CD AB
如上图，②AM =BM
(cid:79) ⊥= C
（AB不是直径）
⇒ (cid:78)𝐴𝐶 =𝐵
𝐴𝐷 𝐵𝐷
(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:62)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:68)(cid:59)(cid:35)(cid:87)(cid:88) (cid:89)(cid:90)(cid:48)(cid:47)(cid:73)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:91) (cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:91) (cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:73)(cid:92)(cid:59)(cid:25)(cid:76)(cid:91) (cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)
(cid:53)(cid:93)(cid:69)(cid:91)(cid:78)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:94)(cid:69)(cid:95)①(cid:96)(cid:97)(cid:67)(cid:68)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:100)(cid:87)(cid:88)②(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:68)(cid:98)(cid:99)③(cid:62)(cid:104)(cid:105)“(cid:83)(cid:106)(cid:107)(cid:103)”(cid:70) ④
【题型1 利用垂径定理判断正误】
(cid:15)(cid:108)1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:59)(cid:25)AB (cid:44)CD(cid:60)(cid:50)E(cid:62)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:95)(cid:86)(cid:26)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) (cid:76)
⊙ ⊥
1
A(cid:70)AE(cid:116)OE B(cid:70)CE(cid:116)DE C(cid:70)OE(cid:116) CE D(cid:70) AOC(cid:116)60°
2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)1-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:16)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:126)(cid:95)(cid:76)(cid:111)(cid:112)(cid:127)(cid:20)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) ∠(cid:76)
A(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:128)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
B(cid:70)(cid:24)(cid:59)(cid:60)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:42)(cid:61)(cid:44)
C(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:35)(cid:128)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
D(cid:70)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:128)(cid:42)(cid:61)(cid:44)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)1-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)·(cid:103)(cid:133)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:134) (cid:135) (cid:122)(cid:62)(cid:136)(cid:137) (cid:62) (cid:62) (cid:70) (cid:53)(cid:42)(cid:61)(cid:35)(cid:138) (cid:60)(cid:50)
(cid:62)(cid:138) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:136)(cid:137) (cid:62) (cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:139)𝐴 (cid:31)𝐵(cid:53)(cid:75)⊙(cid:73)𝑂(cid:140)(cid:140)(cid:76) 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐵
𝐶 ⊙𝑂 𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
A(cid:70) = B(cid:70) C(cid:70) = D(cid:70) =
(cid:15)(cid:117)(cid:118)𝐴1𝐶-3(cid:19)𝐵(cid:84)𝐶(cid:109)(cid:62)AB(cid:141)(cid:142)𝑂(cid:48)𝐷⊥O𝐴(cid:53)𝐵(cid:59)(cid:25)(cid:62)AC(cid:62)AD𝑂𝐶(cid:143)(cid:75)𝐶(cid:44)𝐷(cid:62)(cid:64)AC(cid:42)(cid:61) 𝐴B𝐷AD(cid:62)𝐵(cid:144)𝐷(cid:111)(cid:112)(cid:145)(cid:118)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)(cid:73) (cid:76)
∠A(cid:70)AB+AD(cid:116)2AC B(cid:70)AB+AD(cid:146)2AC
C(cid:70)AC(cid:116)AB•AD D(cid:70)AC(cid:146)AB•AD
【题型2 利用垂径定理求角度】
(cid:15)(cid:108)2(cid:19)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)2(cid:62)(cid:44) (cid:134) (cid:37)(cid:61)(cid:147)(cid:141)2 2(cid:148)2 3(cid:62)(cid:144) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:141)(cid:73)(cid:140)(cid:140)(cid:76)
A(cid:70)30° ⊙ B(cid:70)45° 𝐴𝐵 𝐴𝐶 C(cid:70)15°(cid:149)75° ∠𝐵D𝐴(cid:70)𝐶30°(cid:149)45°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)2-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:64) = (cid:62) =52°(cid:62)(cid:144) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:141)(cid:73)(cid:140)(cid:76)
𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐶𝐷 ⊙𝑂 𝐶𝐸 𝐷𝐸 ∠𝐶𝑂𝐵 ∠𝐷𝐶𝑂
A(cid:70)52° B(cid:70)50° C(cid:70)48° D(cid:70)38°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)2-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:111)·(cid:150)(cid:130)(cid:151)(cid:152)·(cid:126)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:142)(cid:25) (cid:62) (cid:62)(cid:144) (cid:53)
(cid:34)(cid:52)(cid:141)(cid:73) (cid:76) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐴𝐶∥𝑂𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶
A(cid:70)30° B(cid:70)45° C(cid:70)60° D(cid:70)75°
(cid:15)(cid:117)(cid:118)2-3(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:67)(cid:44) (cid:134) (cid:153)(cid:138)(cid:60) (cid:62)(cid:64)(cid:50) (cid:141) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:154) =32°(cid:62)(cid:144) (cid:53)(cid:34)(cid:52)
(cid:141) (cid:70) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 𝐴 𝐶𝐷 ∠𝑂𝐵𝐴 ∠𝐶𝐸𝐴【题型3 利用垂径定理求线段长度】
(cid:15)(cid:108)3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:155)(cid:156)(cid:156)(cid:157)·(cid:158)(cid:36)(cid:159)(cid:160)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:89)(cid:90)(cid:50) (0,0)(cid:62)(cid:138)y(cid:161)(cid:60)(cid:50)A(cid:62)(cid:154) ( )(cid:62)
(cid:44) (cid:37)(cid:141)(cid:73) (cid:76) ⊙𝑃 𝑂 𝑃 −10,−8
𝑂𝐴
A(cid:70)8 B(cid:70)10 C(cid:70)16 D(cid:70)20
(cid:15)(cid:117)(cid:118)3-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:162)(cid:125)(cid:163)(cid:164)·(cid:126)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135) (cid:95)(cid:62) (cid:60)(cid:50) (cid:62) =4(cid:62) =1(cid:62)(cid:144)
(cid:57)(cid:37)(cid:53)(cid:44)(cid:37)(cid:75)(cid:73) (cid:76) ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝑂𝐶 ⊙𝑂
A(cid:70)2 3 B(cid:70) 10 C(cid:70) 17 D(cid:70)2 5
(cid:15)(cid:117)(cid:118)3-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:150)(cid:130)(cid:37)(cid:165)·(cid:103)(cid:133)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:134) (cid:134) (cid:75) (cid:122)(cid:53)(cid:50)(cid:62) (cid:62)(cid:24)(cid:166)(cid:141)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:154)
=6(cid:62)(cid:144) (cid:53)(cid:37)(cid:141)(cid:73) (cid:76) 𝐴 𝐵 𝐶 ⊙𝑂 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝐷 𝐵𝐶∥𝑂𝐴
𝐵𝐶 𝑂𝐷
A(cid:70)3 3 B(cid:70)3 C(cid:70)2 3 D(cid:70)4
(cid:15)(cid:117)(cid:118)3-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:111)·(cid:150)(cid:167)(cid:168)(cid:169)·(cid:158)(cid:36)(cid:159)(cid:160)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:50)A(cid:62)C(cid:62)D(cid:135) (cid:122)(cid:62)(cid:50)B(cid:135) (cid:170)(cid:62)
⊙𝑂 ⊙𝑂 ∠𝐵(cid:148) (cid:171)(cid:141)(cid:59)(cid:33)(cid:62) =2(cid:62) =6(cid:62) =4(cid:62)(cid:144) (cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)(cid:73) (cid:76)
∠𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ⊙𝑂
A(cid:70)5 B(cid:70)3 2 C(cid:70)2 5 D(cid:70) 21
【题型4 利用垂径定理求面积】
(cid:15)(cid:108)4(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135)(cid:142)(cid:25)(cid:141)1(cid:53) (cid:95)(cid:172)(cid:103)(cid:68)(cid:44)(cid:62)(cid:173)(cid:174)(cid:65)(cid:66)(cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:33)(cid:61)(cid:147)(cid:141)60°(cid:62)90°(cid:62)120°(cid:62)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:103)(cid:68)(cid:44)
(cid:37)(cid:141)(cid:179)(cid:37)(cid:53)(cid:103)(cid:33)(cid:180)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:75) ⊙ 𝑂 (cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)4-1(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:155)(cid:156)(cid:181)(cid:130)·(cid:126)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:136)(cid:137) (cid:62) (cid:62)
(cid:154) =8cm(cid:62) =2cm(cid:62)(cid:144) (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:75)(cid:73) (cid:76) 𝐴𝐶 ⊙𝑂 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝑂𝐵
𝐵𝐷 𝐴𝐸 △𝑂𝐵𝐶
A(cid:70)10cm B(cid:70)20cm C(cid:70)40cm D(cid:70)5cm
2 2 2 2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)4-2(cid:19)(cid:73)2025·(cid:150)(cid:167)·(cid:106)(cid:133)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:182)(cid:180) (cid:53)(cid:183)(cid:50)B(cid:62)C(cid:135)(cid:142)(cid:25)(cid:141)5(cid:53)(cid:142)(cid:48)O(cid:122)(cid:62)(cid:183)(cid:50)A(cid:62)D(cid:135)
(cid:59)(cid:25) (cid:122)(cid:70)(cid:154) =2(cid:62)(cid:144)(cid:182)(cid:180) (cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:184)(cid:60)(cid:73)𝐴𝐵 𝐶 𝐷(cid:76)
𝐸𝐹 𝐸𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:70)21 B(cid:70)22 C(cid:70)23 D(cid:70)24(cid:15)(cid:117)(cid:118)4-3(cid:19)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:103)(cid:51)(cid:183)(cid:50)(cid:143)(cid:135)(cid:48)O(cid:122)(cid:62)(cid:50)O(cid:185) (cid:53)(cid:186)(cid:187)(cid:141)3(cid:62) =8(cid:64) = (cid:62)(cid:144) (cid:53)
(cid:38)(cid:39)= (cid:70) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵 △𝐴𝐵𝐶
【题型5 利用垂径定理求坐标】
(cid:15)(cid:108)5(cid:19)(cid:73)2025·(cid:123)(cid:156)(cid:130)(cid:188)·(cid:86)(cid:133)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:50) ( )(cid:62) ( )(cid:62)(cid:142)(cid:25)(cid:141)5(cid:53) (cid:89)(cid:90)(cid:50) (cid:62) (cid:62)(cid:144)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)
(cid:141)(cid:73) (cid:76) 𝑀 0,−2 𝑁 0,−8 ⊙𝐴 𝑀 𝑁 𝐴
A(cid:70)( ) B(cid:70)( ) C(cid:70)( ) D(cid:70)( )
(cid:15)(cid:117)(cid:118)5-−15(cid:19),−(cid:73)424-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)−(cid:122)4,·−(cid:189)6(cid:190)·(cid:126)(cid:191)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135)−6(cid:42),−(cid:38)4(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:192)(cid:95)(cid:62)(cid:142)−4(cid:25),−(cid:141)55(cid:53) (cid:89)(cid:90)(cid:50) ( )(cid:62)
( )(cid:62)(cid:144)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:141) (cid:70) ⊙𝐴 𝐵 0,−1 𝐶
0,−7 𝐴
(cid:15)(cid:117)(cid:118)5-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)·(cid:126)(cid:95)(cid:76)(cid:135)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:192)(cid:95)(cid:62) (cid:53)(cid:48)(cid:47)(cid:40)(cid:41)(cid:75) >3)(cid:62)
(cid:142)(cid:25)(cid:141)3(cid:62)(cid:198)(cid:52) = (cid:53)(cid:109)(cid:199)(cid:200) (cid:201)(cid:202)(cid:53)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:141)2 3(cid:62)(cid:144) (cid:53)(cid:58)(cid:75) ⊙ 𝑃(cid:70) (3,𝑎)(𝑎
𝑦 𝑥 ⊙𝑃 𝐴𝐵 𝑎
(cid:15)(cid:117)(cid:118)5-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)·(cid:126)(cid:191)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:192)(cid:95)(cid:62)(cid:30)(cid:207)(cid:180) (cid:53)(cid:183)(cid:50) (cid:62) (cid:61)(cid:147)
(cid:135) (cid:161)(cid:62) (cid:161)(cid:122)(cid:62)(cid:177) (cid:141)(cid:44)(cid:53) (cid:208) (cid:161)(cid:153)(cid:209)(cid:62)(cid:154)(cid:50) (cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:141)(0,8)(cid:62)(cid:144)(cid:48)(cid:47) (cid:53)(cid:40)(cid:41)𝐴(cid:141)𝐵(cid:73)𝐶𝑂 (cid:76) 𝐴 𝐶
𝑦 𝑥 𝐴𝐵 ⊙𝑀 𝑥 𝐴 𝑀A(cid:70)( ) B(cid:70)( ) C(cid:70)( ) D(cid:70)( )
−4,5 −5,4 −4,4 −4,3
【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】
(cid:15)(cid:108)6(cid:19)(cid:135)(cid:48)(cid:210)(cid:180)(cid:211)(cid:212)(cid:170)(cid:213)(cid:172)(cid:86)(cid:214)(cid:211)(cid:62)(cid:201)(cid:38)(cid:84)(cid:109)(cid:65)(cid:215)(cid:62)(cid:110)(cid:83)(cid:201)(cid:38) O(cid:142)(cid:25)(cid:141)5cm(cid:62)(cid:211)(cid:38)(cid:216)AB(cid:141)6cm(cid:62)(cid:84)(cid:85)
(cid:217)(cid:4)(cid:218)(cid:86)(cid:214)(cid:211)(cid:219)(cid:62)(cid:211)(cid:38)(cid:216)(cid:117)(cid:141)8cm(cid:62)(cid:144)(cid:211)(cid:38)AB(cid:122)(cid:220)(cid:221)(cid:73) (cid:76)cm ⊙
A(cid:70)1 B(cid:70)3 C(cid:70)3(cid:149)4 D(cid:70)1(cid:149)7
(cid:15)(cid:117)(cid:118)6-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:182)(cid:180)ABCD(cid:208)(cid:48)(cid:47)(cid:135)AB(cid:122)(cid:53)(cid:222)O(cid:138)(cid:60)(cid:50)G(cid:62)B(cid:62)F(cid:62)E(cid:62) GB =5(cid:62)EF =4(cid:62)(cid:175)(cid:176)AD =_____(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)6-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:223)(cid:224)(cid:123)(cid:225)(cid:226)(cid:123)·(cid:126)(cid:191)(cid:76)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)13(cid:62)(cid:44) (cid:42)(cid:43)(cid:60)(cid:44) (cid:62) =10(cid:62)
=24(cid:62) (cid:148) (cid:227)(cid:228)(cid:53)(cid:186)(cid:187)(cid:75) (cid:70) ⊙𝑂 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐷
𝐴(cid:15)𝐵(cid:117)(cid:118)6-3(cid:19)𝐴𝐵(cid:73)2𝐶4𝐷-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:129)(cid:167)(cid:229)(cid:230)(cid:197)·(cid:126)(cid:95)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)3(cid:62)(cid:44) =2 3,Rt (cid:53)(cid:59)(cid:33)(cid:183)
(cid:50)B(cid:135)(cid:44) (cid:122)(cid:231)(cid:232)(cid:73)(cid:82)(cid:208)(cid:50)M(cid:62)N(cid:233)(cid:234)(cid:76)(cid:62)(cid:50)A(cid:62)C(cid:235)(cid:236)⊙(cid:135)𝑂 (cid:122)(cid:62)(cid:64) =𝑀3𝑁(cid:70)(cid:3)(cid:60)(cid:237)(cid:237)△(cid:148)𝐴(cid:238)𝐵(cid:238)𝐶(cid:53)(cid:239)(cid:240)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:115)(cid:53)(cid:75)𝑀𝑁(cid:73) (cid:76) ⊙𝑂 𝐴𝐵(cid:237)(cid:237)(cid:239)(cid:10)“(cid:241)(cid:50)B(cid:208)(cid:50)M(cid:62)(cid:50)N(cid:233)(cid:234)(cid:242)(cid:62) (cid:53)(cid:34)(cid:52)(cid:75)30°(cid:70)”
(cid:238)(cid:238)(cid:239)(cid:10)“(cid:136)(cid:137) (cid:62)(cid:241) (cid:208)(cid:44) (cid:42)(cid:43)(cid:242)(cid:62)∠𝐶(cid:50)B(cid:185) (cid:53)(cid:186)(cid:187)(cid:141)2(cid:70)”
A(cid:70)(cid:237)(cid:237)(cid:30)(cid:115)𝑂𝐴(cid:62)(cid:238)(cid:238)𝑂(cid:139)𝐴 (cid:31) 𝑀𝑁 B(cid:70)(cid:237)𝑂(cid:237)𝐴 (cid:139)(cid:31)(cid:62)(cid:238)(cid:238)(cid:30)(cid:115)
C(cid:70)(cid:237)(cid:237)(cid:30)(cid:115)(cid:62)(cid:238)(cid:238)(cid:243)(cid:30)(cid:115) D(cid:70)(cid:237)(cid:237)(cid:139)(cid:31)(cid:62)(cid:238)(cid:238)(cid:243)(cid:139)(cid:31)
【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】
(cid:15)(cid:108)7(cid:19) (cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:86)(cid:244)(cid:245)(cid:53)(cid:69)(cid:180)(cid:246)(cid:158)(cid:62)(cid:247)(cid:122)(cid:248)(cid:111)(cid:249)(cid:75)(cid:86)(cid:250)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:200)(cid:86)(cid:68)(cid:59)(cid:35)(cid:65)(cid:201)(cid:202)(cid:53)(cid:86)(cid:250)(cid:48)(cid:69)(cid:70)(cid:110)(cid:83)(cid:251)(cid:51)(cid:246)
(cid:158)(cid:216)(cid:34)(cid:141)32cm(cid:73)(cid:252)(cid:153)(cid:253)(cid:67)(cid:69)(cid:142)(cid:25)(cid:153)(cid:254)32cm(cid:76)(cid:62)(cid:255)(cid:202)AB=200cm(cid:62)AC=BD=40cm(cid:62)(cid:144)(cid:69)AB(cid:65)(cid:135)(cid:53)(cid:48)(cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)
cm
(cid:15)(cid:117)(cid:118)7-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:67)(cid:51)(cid:48)(cid:143)(cid:177)(cid:50)O(cid:141)(cid:48)(cid:47)(cid:70)
(cid:32)(cid:256)(cid:10) = (cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)𝐴7𝐶-2(cid:19)𝐵(cid:84)𝐷(cid:109)(cid:62)(cid:67)(cid:51)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:61)(cid:147)(cid:141)2(cid:148)4(cid:62)(cid:182)(cid:180) (cid:53)(cid:179) (cid:148) (cid:61)(cid:147)(cid:75)(cid:67)(cid:48)(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:144)(cid:182)(cid:180)
(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:57)(cid:257)(cid:58)(cid:75) (cid:70) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:117)(cid:118)7-3(cid:19)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:98)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:75)(cid:264)SARS(cid:260)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:34)(cid:269)(cid:270)(cid:53)(cid:266)(cid:267)(cid:260)(cid:70)(cid:73)1(cid:76)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:172)8(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:62)(cid:278)(cid:279)(cid:172)1(cid:276)(cid:277)(cid:202)(cid:221)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:62)(cid:84)(cid:85)(cid:74)(cid:280)(cid:281)(cid:96)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:62)(cid:175)(cid:176)(cid:62)(cid:185)(cid:287)(cid:106)(cid:288)(cid:289)(cid:131)(cid:290)
(cid:260)(cid:277)10(cid:276)(cid:62)(cid:185)(cid:287)(cid:103)(cid:288)(cid:291)(cid:289)(cid:131)(cid:290)(cid:260)(cid:277)100(cid:276)(cid:62)(cid:177)(cid:219)(cid:251)(cid:288)(cid:131)(cid:290)(cid:260)(cid:277)(cid:52)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:107)(cid:62)(cid:295)(cid:45)(cid:10)(cid:185)(cid:287)(cid:296)(cid:288)(cid:62)(cid:297)(cid:172)(cid:298)(cid:299)(cid:276)
(cid:277)(cid:202)(cid:221)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:260)(cid:300)(cid:185)(cid:287)(cid:301)(cid:288)(cid:62)(cid:302)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:65)(cid:172)(cid:277)(cid:143)(cid:303)(cid:200)(cid:263)(cid:267)(cid:300)
(cid:73)2(cid:76)(cid:141)(cid:283)(cid:304)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:305)(cid:306)(cid:62)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:26)(cid:10)(cid:187)(cid:310)(cid:50)3(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:170)(cid:141)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:62)(cid:65)(cid:172)(cid:261)(cid:294)(cid:189)(cid:318)(cid:315)(cid:316)(cid:91)(cid:187)(cid:310)(cid:50)3(cid:319)5(cid:311)
(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:170)(cid:141)(cid:320)(cid:310)(cid:317)(cid:62)(cid:65)(cid:172)(cid:53)(cid:261)(cid:294)(cid:321)(cid:322)(cid:320)(cid:310)(cid:91)(cid:46)(cid:242)(cid:62)(cid:66)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:148)(cid:320)(cid:310)(cid:317)(cid:170)(cid:53)(cid:323)(cid:324)(cid:134)(cid:325)(cid:326)(cid:54)(cid:43)(cid:189)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:27)(cid:70)(cid:330)
(cid:172)(cid:86)(cid:68)(cid:331)(cid:59)(cid:53)(cid:7)(cid:326)AB(cid:332)(cid:90)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:260)(cid:317)(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:62)O(cid:141)(cid:310)(cid:50)(cid:62)(cid:135)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:170)(cid:53)(cid:7)(cid:326)CD(cid:37)(cid:141)4(cid:311)(cid:312)(cid:62)(cid:45)(cid:178)(cid:68)(cid:7)(cid:326)
(cid:135)(cid:302)(cid:320)(cid:310)(cid:317)(cid:170)(cid:172)(cid:298)(cid:299)(cid:311)(cid:312)
【题型8 利用垂径定理求整点个数】
(cid:15)(cid:108)8(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)AB(cid:75) C(cid:53)(cid:44)(cid:62)(cid:59)(cid:25)MN AB(cid:60)(cid:50)O(cid:62)MN=10(cid:62)AB=8(cid:62)(cid:84)(cid:109)(cid:177)O(cid:141)(cid:333)(cid:50)(cid:334)(cid:335)(cid:40)(cid:41)(cid:192)(cid:70)(cid:336)(cid:174)
(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:40)(cid:41)(cid:143)(cid:75)(cid:49)(cid:52)(cid:53)⊙(cid:50)(cid:340)(cid:341)(cid:49)(cid:52)(cid:50)(cid:62)(cid:144)⊥(cid:35)(cid:36)OC(cid:37)(cid:75) (cid:62) C(cid:122)(cid:53)(cid:49)(cid:52)(cid:50)(cid:172) (cid:51)(cid:70)
⊙
(cid:15)(cid:117)(cid:118)8-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) (cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)10(cid:62) (cid:53)(cid:86)(cid:68)(cid:44) =16(cid:62)(cid:154) (cid:170)(cid:53)(cid:86)(cid:50)P(cid:342)(cid:343)(cid:135) (cid:122)(cid:62)(cid:144)(cid:35)
(cid:36) (cid:53)(cid:37)(cid:34)(cid:141)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:172)⊙(cid:73)𝑂 (cid:76) ⊙𝑂 𝐴𝐵 ⊙𝑂 𝐴𝐵
𝑂𝑃
A(cid:70)2(cid:51) B(cid:70)3(cid:51) C(cid:70)4(cid:51) D(cid:70)5(cid:51)(cid:15)(cid:117)(cid:118)8-2(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:59)(cid:25)(cid:141)10(cid:53) (cid:170)(cid:172)(cid:86)(cid:50) (cid:62)(cid:64) =3(cid:62)(cid:144)(cid:89)(cid:90) (cid:50)(cid:53)(cid:65)(cid:172)(cid:44)(cid:95)(cid:37)(cid:34)(cid:141)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:172)
(cid:68)(cid:70) ⊙𝑂 𝑃 𝑂𝑃 𝑃
(cid:15)(cid:117)(cid:118)8-3(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:192) (cid:95)(cid:62)(cid:177)(cid:333)(cid:50)O(cid:141)(cid:48)(cid:47)(cid:53)(cid:48)(cid:90)(cid:50) 13(cid:62)0 (cid:62)(cid:59)(cid:35) = +4( 0)
(cid:208) (cid:138)(cid:60)B(cid:134)C(cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:144)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:141)𝑥𝑂(cid:49)𝑦(cid:52)(cid:53)(cid:172) (cid:68)(cid:70) 𝐴 𝑦 𝑘𝑥−3𝑘 𝑘≠
⊙𝑂 𝐵𝐶
【题型9 垂径定理的实际应用】
(cid:15)(cid:108)9(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:157)(cid:344)(cid:345)(cid:157)·(cid:158)(cid:36)(cid:159)(cid:160)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:172)(cid:86)(cid:51)(cid:152)(cid:318)(cid:346)(cid:347)(cid:180)(cid:53)(cid:348)(cid:349)(cid:62)(cid:347)(cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)5cm(cid:62)(cid:349)(cid:170)(cid:350)
(cid:351)(cid:110)(cid:89)(cid:90)(cid:142)(cid:62)(cid:57)(cid:257)(cid:352)(cid:34) =7cm(cid:62)(cid:144)(cid:201)(cid:38)(cid:48)(cid:95)(cid:44) (cid:53)(cid:37)(cid:141)(cid:73) (cid:76)
𝐶𝐷 𝐴𝐵
A(cid:70)4cm B(cid:70)4 6cm C(cid:70)2 21cm D(cid:70)2 29cm
(cid:15)(cid:117)(cid:118)9-1(cid:19)(cid:336)(cid:190)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:52)(cid:11)(cid:355)(cid:357)(cid:358)(cid:119)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:363)(cid:297)(cid:364)(cid:365)(cid:221)246(cid:51)(cid:52)(cid:11)(cid:45)(cid:20)(cid:62)(cid:178)(cid:214)(cid:45)(cid:20)(cid:53)(cid:360)(cid:240)(cid:366)(cid:264)(cid:367)(cid:368)(cid:46)
(cid:294)(cid:360)(cid:240)(cid:369)1500(cid:120)(cid:70)(cid:101)(cid:95)(cid:172)(cid:178)(cid:370)(cid:86)(cid:51)(cid:45)(cid:20)(cid:10)“(cid:371)(cid:172)(cid:48)(cid:372)(cid:62)(cid:373)(cid:135)(cid:374)(cid:95)(cid:62)(cid:74)(cid:83)(cid:257)(cid:375)(cid:62)(cid:177)(cid:376)(cid:376)(cid:227)(cid:62)(cid:352)(cid:86)(cid:377)(cid:62)(cid:376)(cid:325)(cid:37)
(cid:86)(cid:378)(cid:62)(cid:45)(cid:25)(cid:301)(cid:282)(cid:300)”(cid:23)(cid:52)(cid:11)(cid:379)(cid:380)(cid:82)(cid:177)(cid:381)(cid:382)(cid:141)(cid:10)“(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:141) (cid:53)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44) (cid:60)(cid:50)E(cid:62) =2(cid:377)(cid:62) =8
(cid:377)(cid:73)(cid:4)(cid:10)1(cid:378)=10(cid:377)(cid:76)(cid:62)(cid:144)(cid:82)(cid:202)(cid:59)(cid:25) (cid:53)(cid:37)(cid:141) 𝐶𝐷(cid:378)(cid:70)⊙” 𝑂 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐵
𝐶𝐷(cid:15)(cid:117)(cid:118)9-2(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:16)(cid:123)(cid:383)(cid:384)·(cid:126)(cid:191)(cid:76)(cid:84)(cid:109)①(cid:75)(cid:375)(cid:385)(cid:386)(cid:387)(cid:387)(cid:341)(cid:53)(cid:86)(cid:51)(cid:388)(cid:389)(cid:390)(cid:62)(cid:109)②(cid:75)(cid:173)(cid:53)(cid:201)(cid:38)(cid:109)(cid:62)
(cid:24)(cid:59)(cid:391)(cid:392)(cid:53)(cid:388)(cid:389)(cid:208)(cid:390)(cid:393)(cid:394)(cid:395)(cid:67)(cid:396)(cid:397)(cid:53)(cid:138)(cid:50)(cid:141) (cid:62) (cid:62) =32cm (cid:62)(cid:388)(cid:389)(cid:59)(cid:25)(cid:141)40cm(cid:62)(cid:144)(cid:388)(cid:389)(cid:57)(cid:398)(cid:50) (cid:185)
(cid:53)(cid:186)(cid:187)(cid:75) cm(cid:70) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:117)(cid:118)9-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:16)(cid:123)(cid:237)(cid:384)·(cid:126)(cid:191)(cid:76)(cid:399)(cid:400)(cid:135)(cid:358)(cid:401)(cid:402)(cid:331)(cid:403)(cid:362)(cid:95)(cid:364)(cid:404)(cid:221)(cid:405)(cid:360)(cid:48)(cid:69)(cid:37)(cid:34)(cid:53)“(cid:303)(cid:48)(cid:361)”(cid:62)(cid:406)
(cid:366)(cid:407)(cid:326)(cid:75)(cid:408)(cid:318)(cid:177)(cid:59)(cid:354)(cid:409)(cid:62)(cid:410)(cid:43)(cid:411)(cid:412)(cid:405)(cid:360)(cid:70)(cid:84)(cid:109)(cid:62) (cid:75)(cid:177) (cid:141)(cid:48)(cid:47)(cid:134) (cid:141)(cid:142)(cid:25)(cid:53)(cid:48)(cid:69)(cid:62) (cid:75)(cid:44) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62) (cid:75)
𝐴𝐵 𝑂 𝑂𝐴 𝐶 𝐴𝐵 𝐷
(cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:144) (cid:37)(cid:34)(cid:53)(cid:411)(cid:412)(cid:58) = + (cid:70)(cid:154) =2(cid:62) =8(cid:62)(cid:144) =(cid:73) (cid:76)
2
𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝑙 𝐴𝐵 𝑂𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑙
A(cid:70)8.8 B(cid:70)8.7 C(cid:70)8.6 D(cid:70)8.5
【题型10 利用垂径定理求最值】
(cid:15)(cid:108)10(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:110)(cid:83) O(cid:53)(cid:142)(cid:25)(cid:141)5(cid:62)P(cid:75)(cid:59)(cid:25)AB(cid:53)(cid:306)(cid:37)(cid:35)(cid:122)(cid:86)(cid:50)(cid:62)BP=1(cid:62)CD(cid:75) O(cid:53)(cid:86)(cid:68)(cid:44)(cid:62)CD=6(cid:62)
(cid:177)PC(cid:62)PD(cid:141)(cid:153)(cid:253)(cid:67)(cid:179)⊙(cid:357)(cid:42)(cid:43)(cid:296)(cid:179)(cid:180)PCED(cid:62)(cid:241)C(cid:62)D(cid:50)(cid:135)(cid:48)(cid:413)(cid:122)(cid:231)(cid:232)(cid:242)(cid:62)(cid:35)(cid:36)PE(cid:37)(cid:53)⊙(cid:57)(cid:375)(cid:58)(cid:75) (cid:70)(cid:15)(cid:117)(cid:118)10-1(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135) O(cid:95)(cid:62)AD(cid:141)(cid:59)(cid:25)(cid:62)(cid:44)BC AD(cid:60)(cid:50)H(cid:62)(cid:136)(cid:137)OB(cid:62)(cid:110)(cid:83)OB(cid:116)2cm(cid:62) OBC(cid:116)30°(cid:62)
(cid:232)(cid:50)E(cid:135)(cid:59)(cid:25)AD(cid:122)(cid:247)⊙D(cid:414)A(cid:177)1cm/s(cid:53)(cid:268)(cid:34)(cid:341)(cid:415)⊥(cid:268)(cid:231)(cid:232)(cid:62)(cid:231)(cid:232)(cid:242)(cid:228)(cid:141)ts(cid:62)(cid:241) OBE(cid:116)30°(cid:242)(cid:62)∠t(cid:53)(cid:58)(cid:141) (cid:70)
∠
(cid:15)(cid:117)(cid:118)10-2(cid:19)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135) (cid:95)(cid:62)(cid:59)(cid:25) =8(cid:62)(cid:44) =3(cid:62)(cid:50) (cid:75) (cid:53)(cid:95)(cid:50)(cid:62)(cid:90)(cid:50) (cid:357) (cid:60)(cid:50) (cid:62)(cid:154)(cid:50)
(cid:134) (cid:135) (cid:122)(cid:231)(cid:232)(cid:73)(cid:50)⊙(cid:134)𝑂 (cid:208)(cid:50) (cid:134)𝐴𝐵(cid:74)(cid:233)(cid:234)(cid:76)(cid:62)𝐶𝐷(cid:144) (cid:53)(cid:57)(cid:257)𝐸(cid:58)𝐶(cid:75)𝐷(cid:73) (cid:76) 𝐶 𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹
𝐶 𝐷 ⊙𝑂 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐸𝐹
9 8
A(cid:70) B(cid:70)4 C(cid:70) D(cid:70)6
2 3
(cid:15)(cid:117)(cid:118)10-3(cid:19)(cid:73)24-25(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:111)·(cid:157)(cid:344)(cid:416)(cid:125)·(cid:417)(cid:11)(cid:418)(cid:419)(cid:76)(cid:84)(cid:109)(cid:62)(cid:135)(cid:42)(cid:38)(cid:59)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:192)(cid:95)(cid:62)(cid:177)(cid:50) (0,1)(cid:141)(cid:48)(cid:47)(cid:62)(cid:142)
(cid:25)(cid:141)2(cid:53)(cid:48)(cid:208) (cid:161)(cid:138)(cid:60) (cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:208) (cid:161)(cid:138)(cid:60) (cid:67)(cid:50)(cid:62)(cid:50) (cid:141) (cid:122)(cid:86)(cid:232)(cid:50)(cid:62) (cid:60)(cid:50)𝐺(cid:62)(cid:144)(cid:50) (cid:135) (cid:122)
(cid:231)(cid:232)(cid:90)(cid:420)(cid:95)(cid:62)𝑥(cid:35)(cid:36) 𝐴(cid:53),𝐵(cid:37)(cid:53)(cid:57)(cid:375)(cid:58)𝑦(cid:141)(cid:73) 𝐶(cid:76),𝐷 𝐸 ⊙𝐺 𝐶𝐹⊥𝐴𝐸 𝐹 𝐸 ⊙𝐺
𝐹𝐺
A(cid:70) 5 B(cid:70) 3 C(cid:70) 5+2 D(cid:70) 3+1
−2 −1
