文档文本内容
专题 2.4 确定圆的条件（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:41)(cid:26)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:19)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:19)................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:19)........................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................9
知识点 三角形的外接圆
1. (cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)
(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26).
(cid:63)(cid:64)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:62)(cid:31)A(cid:65)B(cid:65)C(cid:36)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:58)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:10)
(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:31)1(cid:36)(cid:70)(cid:46)AB(cid:65)BC(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:34)AB(cid:65)BC(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)EF(cid:65)HG(cid:65)(cid:76)(cid:77)(cid:62)O(cid:71)
(cid:31)3(cid:36)(cid:78)(cid:76)(cid:62)O(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:78)(cid:76)(cid:62)(cid:80)(cid:42)(cid:62)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:62)(cid:27)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:26)(cid:65) O(cid:86)(cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:88)
⊙
2. (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)
(cid:31)1(cid:36)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:27)(cid:26)(cid:90)(cid:91)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:65)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:39)(cid:26)(cid:27)(cid:93)(cid:46)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:88)
(cid:31)2(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:65)(cid:94)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:94)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:28)(cid:95)(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:27)(cid:76)(cid:62)(cid:88)
(cid:31)3(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:80)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:27)(cid:84)(cid:85)(cid:98)(cid:99)(cid:65)(cid:99)(cid:77)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:88)
(cid:31)4(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:21) (cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:59)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:105)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
(cid:35)(cid:106)
(cid:101)(cid:102) (cid:45)(cid:30)(cid:56)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:93)(cid:107) (cid:45)(cid:30)(cid:94)(cid:108)(cid:95)(cid:27)(cid:81)(cid:62) (cid:45)(cid:30)(cid:56)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:107)
【题型1 判断确定圆的条件】
(cid:15)(cid:109)1(cid:19)(cid:31)2025·(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:116)(cid:117)(cid:60)(cid:118) (cid:65) (cid:65)(cid:62) (cid:56)(cid:60)(cid:118) (cid:61)(cid:65)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:24)(cid:27)(cid:94)(cid:31) (cid:36)
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶 𝐴𝐵
A(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
B(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65)𝐵(cid:65)𝐶(cid:65)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
C(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65)(cid:78)𝐵 𝐷(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
D(cid:88)(cid:63)(cid:64)(cid:62)𝐴(cid:65) (cid:65)𝐴𝐷(cid:78) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:124)(cid:38)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)1-1(cid:19)(cid:31)𝐴24-𝐵25(cid:128)(cid:129)𝐴𝐷(cid:130)(cid:61)·(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)·(cid:135)(cid:118)(cid:136)(cid:137)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:94)(cid:58)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:27)(cid:26)(cid:44)(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:80)(cid:58)(cid:138)
(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:52)(cid:58)(cid:155)(cid:27)(cid:26)(cid:44)(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:27)(cid:141)(cid:159)(cid:94)(cid:31) (cid:36)
A(cid:88)① B(cid:88)② C(cid:88)③ D(cid:88)④
(cid:15)(cid:126)(cid:127)1-2(cid:19)(cid:75)(cid:160)(cid:61)(cid:161)(cid:162)(cid:39)(cid:62)(cid:65)(cid:64)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:83)3(cid:39)(cid:62)(cid:58)(cid:163)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:31)(cid:164)(cid:164)(cid:36)
A(cid:88)0(cid:165)3(cid:165)4 B(cid:88)0(cid:165)1(cid:165)3 C(cid:88)0(cid:165)1(cid:165)3(cid:165)4 D(cid:88)0(cid:165)1(cid:165)4
(cid:15)(cid:126)(cid:127)1-3(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:131)(cid:132)(cid:166)(cid:134)·(cid:135)(cid:118)(cid:136)(cid:137)(cid:36)(cid:116)(cid:117) (1,2)(cid:65) ( )(cid:65) ( )(cid:42)(cid:62)(cid:167)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)
(cid:168)(cid:78)(cid:119) (cid:62)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:169)(cid:170)(cid:146)(cid:37)(cid:27)(cid:94)(cid:31) (cid:36) 𝑀 𝑁 3,−3 𝑃 𝑥,𝑦
A(cid:88)𝑃(3,5) B(cid:88)( ) C(cid:88)( ) D(cid:88)( )
−3,5 −1,7 1,−3【题型2 确定圆心（尺规作图）】
(cid:15)(cid:109)2(cid:19)(cid:31)2024·(cid:171)(cid:172)(cid:125)(cid:173)·(cid:42)(cid:115)(cid:36)(cid:174)(cid:95)(cid:125)(cid:79)2(cid:27)(cid:52)(cid:123)(cid:175)(cid:44)ABCD (cid:176)(cid:95)(cid:125)(cid:79)4(cid:27)(cid:154)(cid:123)(cid:175)(cid:44) EFGH(cid:69)(cid:35)(cid:177)(cid:178)(cid:65)
(cid:179)(cid:180)C(cid:181)E(cid:182)(cid:62)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:65)(cid:187)B(cid:181)C(cid:181)H(cid:42)(cid:62)(cid:163)(cid:60)(cid:65)(cid:188)(cid:189)(cid:63)(cid:64)A(cid:181)F(cid:181)G(cid:42)(cid:62)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:168)(cid:157)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)2-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:56)(cid:99)(cid:190) ABC(cid:81)(cid:65)AB(cid:191)AC(cid:191)2 5(cid:65)BC(cid:191)8(cid:65)(cid:192)(cid:119)(cid:120)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:10)①(cid:78)(cid:62)A(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:193)(cid:194)
△ 1
(cid:27)(cid:125)(cid:195)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:196)(cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:76)AB(cid:65)AC(cid:77)(cid:62)E(cid:65)F(cid:65)(cid:197)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:62)E(cid:65)F(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:154)(cid:77) EF(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:196)(cid:98)(cid:76)
2
1
(cid:77)(cid:62)H(cid:65)(cid:34)(cid:198)(cid:60)AH(cid:71)②(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:62)A(cid:65)B(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:154)(cid:77) AB(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:196)(cid:98)(cid:76)(cid:77)(cid:62)M(cid:65)N(cid:65)(cid:34)(cid:59)(cid:60)MN(cid:65)
2
(cid:76)(cid:198)(cid:60)AH(cid:77)(cid:62)O(cid:71)③(cid:78)(cid:62)O(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:60)(cid:118)OA(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:26)(cid:88)(cid:168) O(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) (cid:88)
⊙
(cid:15)(cid:126)(cid:127)2-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:202)·(cid:203)(cid:81)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:204)(cid:205)(cid:27)(cid:26)(cid:44)(cid:206)(cid:159)(cid:61)(cid:65)(cid:207) (cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:76)(cid:196)
(cid:77)(cid:62)C(cid:65)(cid:76)(cid:207) (cid:77)(cid:62)D(cid:88) 𝐴𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝐵
(1)(cid:37)(cid:34)(cid:188)(cid:205)(cid:159)(cid:87)(cid:56)(cid:27)(cid:26)(cid:31)(cid:55)(cid:208)(cid:34)(cid:122)(cid:65)(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:211)(cid:212)(cid:36)(cid:71)
(2)(cid:116)(cid:117)(cid:10) =16(cid:65) =4(cid:88)(cid:37)(cid:31)1(cid:36)(cid:81)(cid:87)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)2-3𝐴(cid:19)𝐵(cid:31)24-25𝐶(cid:128)𝐷(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:110)(cid:111)(cid:110)(cid:134)·(cid:203)(cid:81)(cid:36)“(cid:213)(cid:214)(cid:215)”(cid:94)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:65)(cid:139)(cid:226)(cid:79)“(cid:227)(cid:175)(cid:228)(cid:175)”(cid:88)(cid:52)(cid:229)(cid:57)(cid:11)(cid:230)(cid:58)(cid:39)(cid:95)(cid:125)(cid:79)2 2(cid:27)(cid:123)(cid:175)(cid:44)(cid:231)(cid:159)(cid:232)(cid:34)(cid:233)(cid:69)(cid:35)①(cid:27)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:65)(cid:234)(cid:235)(cid:233)(cid:69)(cid:35)②(cid:27)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:35)(cid:44)(cid:88)(cid:64)(cid:157)(cid:35)(cid:44)(cid:27)
A(cid:65)B(cid:65)C(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:168)(cid:92)(cid:39)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:125)(cid:79)(cid:31) (cid:36)
3 2 5 73 73
A(cid:88) B(cid:88) C(cid:88) D(cid:88)
2 2 32 16
【题型3 求能确定的圆的个数】
(cid:15)(cid:109)3(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:10)A(cid:65)B(cid:65)C(cid:65)D(cid:65)E(cid:239)(cid:39)(cid:62)(cid:81)(cid:240)(cid:82)(cid:241)(cid:42)(cid:62)(cid:163)(cid:60)(cid:65)(cid:240)(cid:82)(cid:241)(cid:162)(cid:62)(cid:163)(cid:26)(cid:65)(cid:242)(cid:243)(cid:64)(cid:100)(cid:81)(cid:27)(cid:42)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:51)
(cid:244)(cid:38)(cid:34)(cid:233)( )(cid:88)
A(cid:88)5(cid:39)(cid:26) B(cid:88)8(cid:39)(cid:26) C(cid:88)10(cid:39)(cid:26) D(cid:88)12(cid:39)(cid:26)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)3-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65)(cid:62)A(cid:65)B(cid:65)C(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:65)(cid:62)M(cid:56)AC(cid:45)(cid:65)(cid:63)(cid:64)(cid:35)(cid:81)(cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:65)(cid:167)(cid:78)(cid:34)
(cid:39)(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)3-2(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:62)A(cid:65)B(cid:176)(cid:59)(cid:60)l(cid:65)(cid:34)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:179)(cid:245)(cid:63)(cid:64)(cid:62)A(cid:176)(cid:62)B(cid:65)(cid:234)(cid:187)(cid:26)(cid:30)(cid:56)(cid:59)(cid:60)l(cid:61)(cid:88)
(cid:31)1(cid:36)(cid:194)(cid:59)(cid:60)l(cid:151)(cid:59)(cid:60) (cid:55)(cid:74)(cid:59)(cid:189)(cid:65)(cid:167)(cid:34)(cid:246)(cid:39)(cid:26)(cid:247)
(cid:31)2(cid:36)(cid:194)(cid:59)(cid:60)l(cid:151)(cid:59)(cid:60)𝐴𝐵(cid:74)(cid:59)(cid:248)(cid:55)(cid:63)(cid:64) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:189)(cid:65)(cid:167)(cid:34)(cid:246)(cid:39)(cid:26)(cid:247)
(cid:31)3(cid:36)(cid:194)(cid:59)(cid:60)l(cid:94)(cid:60)(cid:118)𝐴𝐵(cid:27)(cid:74)(cid:59)(cid:75)(cid:72)(cid:60)𝐴(cid:189)𝐵(cid:65)(cid:167)(cid:34)(cid:246)(cid:39)(cid:26)(cid:247)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)3-3(cid:19)(cid:249)(cid:250)(cid:56)(cid:69)𝐴(cid:35)𝐵(cid:87)(cid:106)(cid:27)12×12(cid:27)(cid:251)(cid:252)(cid:35)(cid:44)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:41)(cid:58)(cid:39)(cid:26)(cid:65)(cid:168)(cid:87)(cid:41)(cid:27)(cid:26)(cid:51)(cid:244)(cid:38)(cid:63)(cid:64)169(cid:39)(cid:252)(cid:62)(cid:81)(cid:27)
(cid:39)(cid:252)(cid:62)(cid:88)【题型4 画圆（尺规作图）】
(cid:15)(cid:109)4(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:132)(cid:16)(cid:240)(cid:253)·(cid:135)(cid:118)(cid:136)(cid:137)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:116)(cid:117)(cid:104)(cid:43) (cid:81)(cid:65) = (cid:88)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(1)(cid:249)(cid:56)(cid:35)1(cid:81)(cid:230)(cid:240)(cid:254)(cid:195)(cid:27)(cid:59)(cid:32)(cid:176)(cid:26)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:34) (cid:27)(cid:75)(cid:72)(cid:60) (cid:71)(cid:34) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26) (cid:71)(cid:31)(cid:55)(cid:208)(cid:34)(cid:122)(cid:65)
(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:211)(cid:212)(cid:36) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 ⊙𝑂
48
(2)(cid:56)(cid:31)1(cid:36)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:119)(cid:65)(cid:144) = (cid:65) (cid:27)(cid:59)(cid:50)(cid:79)10(cid:65)(cid:168) = (cid:88)(cid:31)(cid:69)(cid:255)(cid:41)(cid:256)(cid:35)(cid:65)(cid:249)(cid:179)(cid:230)(cid:35)2(cid:36)
5
(cid:15)(cid:126)(cid:127)4-1(cid:19)(cid:31)2024·(cid:257)(cid:258)𝐴·(cid:115)𝐵(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:36)⊙(cid:37)𝑂(cid:34)(cid:10) (cid:65)(cid:179)(cid:245)(cid:63)𝐴𝐶(cid:64)(cid:62)B(cid:176)(cid:62)C(cid:65)(cid:234)(cid:187)(cid:26)(cid:30)O(cid:56) (cid:27)(cid:75)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:88)
⊙𝑂 ∠𝐴
(cid:15)(cid:126)(cid:127)4-2(cid:19)(cid:31)2025·(cid:257)(cid:258)(cid:25)(cid:262)·(cid:115)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:36)(cid:161)(cid:263)(cid:27)(cid:264)(cid:26)(cid:265)(cid:20)(cid:10)(cid:266)(cid:267)(cid:26)(cid:27)(cid:160)(cid:268)(cid:7)(cid:127) (cid:65)(cid:26)(cid:160)(cid:268)(cid:269)(cid:154)(cid:27)(cid:264)(cid:40)(cid:94)(cid:49)
2
(cid:50)(cid:269)(cid:154)(cid:264)(cid:40)(cid:27)(cid:75)(cid:175)(cid:65)(cid:270)(cid:271)(cid:94)(cid:49)(cid:50)(cid:269)(cid:154)2(cid:264)(cid:65)(cid:160)(cid:268)(cid:272)(cid:269)(cid:154)4(cid:264)(cid:88) π𝑟
(cid:156)(cid:230)(cid:10)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:273)(cid:274)(cid:149)(cid:161)(cid:39)(cid:26)(cid:44)(cid:275)(cid:276)(cid:65)(cid:277)(cid:79) (cid:65)(cid:79)(cid:278)(cid:279)(cid:273)(cid:274)(cid:65)(cid:280)(cid:281)(cid:173)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:65)(cid:145)(cid:285)(cid:157)(cid:275)(cid:276)(cid:27)(cid:160)(cid:268)(cid:269)(cid:154)(cid:286)(cid:152)
(cid:153)(cid:160)(cid:268)(cid:27)8(cid:264)(cid:65)(cid:248)(cid:152)(cid:153)(cid:275)(cid:276)(cid:56)(cid:287)(cid:275)(cid:276)(cid:27)(cid:93)(cid:107)⊙(cid:65)𝑂(cid:249)(cid:250)(cid:266)(cid:267)(cid:288)(cid:289)(cid:27)(cid:290)(cid:291)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:65)(cid:292)(cid:286)(cid:119)(cid:160)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:20)(cid:10)(cid:31)(cid:192)(cid:69)(cid:119)
(cid:67)(cid:68)(cid:292)(cid:286)(cid:65)(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:211)(cid:212)(cid:36)
1
①(cid:56) (cid:81)(cid:34)(cid:59)(cid:50) (cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:62)A(cid:65)B(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:65)(cid:154)(cid:77) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:196)(cid:65)(cid:182)(cid:196)(cid:56)(cid:59)(cid:50) (cid:61)(cid:175)(cid:76)(cid:77)(cid:62)C(cid:65)
2
(cid:34)(cid:198)(cid:60)⊙𝑂(cid:71) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵
②(cid:293)(cid:125)𝑂(cid:59)𝐶(cid:50) (cid:65)(cid:56)(cid:293)(cid:125)(cid:60)(cid:61)(cid:294)(cid:295) = (cid:65)(cid:57)(cid:155)(cid:56)(cid:198)(cid:60) (cid:61)(cid:294)(cid:295) = (cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:71)
③(cid:78)(cid:62)O(cid:79)𝐴(cid:26)𝐵(cid:30)(cid:65) (cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:49)(cid:50)𝑂(cid:41)𝐷(cid:26)(cid:65)2𝑂(cid:154)𝐵 (cid:79)(cid:87)(cid:37)(cid:34)(cid:27)𝑂𝐶(cid:275)(cid:276)(cid:88) 𝑂𝐸 2𝑂𝐵 𝐷𝐸
𝐷𝐸 ⊙𝑂
(cid:15)(cid:126)(cid:127)4-3(cid:19)(cid:31)2025·(cid:132)(cid:16)(cid:296)(cid:134)·(cid:42)(cid:115)(cid:36)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:31)(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:211)(cid:212)(cid:86)(cid:167)(cid:36)(1)(cid:249)(cid:56)(cid:35)①(cid:81)(cid:34)(cid:297)(cid:44) (cid:65)(cid:179)(cid:180)(cid:62)E(cid:56) (cid:61)(cid:65)(cid:62)F(cid:56) (cid:61)(cid:71)(cid:31)(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:211)(cid:212)(cid:86)(cid:167)(cid:36)
(2)(cid:249)(cid:56)(cid:35)②(cid:81)(cid:78)(cid:298)(cid:44)𝐷𝐸𝐵𝐹(cid:27) (cid:95)(cid:79)(cid:95)(cid:34)𝐴(cid:297)𝐷(cid:44) (cid:65)(cid:179)𝐵(cid:180)𝐶(cid:62) (cid:56) (cid:61)(cid:71)(cid:31)(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:211)(cid:212)(cid:86)(cid:167)(cid:36)
(3)(cid:249)(cid:56)(cid:35)③(cid:81)(cid:78)(cid:298)(cid:44)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:27)𝐴𝐷(cid:95)(cid:79)(cid:59)(cid:50)(cid:34) 𝐴𝐷(cid:65)𝐸𝐹(cid:234)(cid:56) (cid:61)𝐸(cid:24)𝐵(cid:25)𝐶(cid:62)P(cid:65)(cid:179)(cid:180) (cid:27)(cid:160)(cid:268)(cid:151)(cid:298)(cid:44) (cid:27)
(cid:160)(cid:268)(cid:98)(cid:99)(cid:88)(cid:31)(cid:208)(cid:233)(cid:299)(cid:146)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:300)𝐷(cid:301)(cid:121)𝐴𝐷(cid:225)(cid:36) ⊙𝑂 ⊙𝑂 Δ𝐵𝐶𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷
【题型5 三角形的外接圆】
(cid:15)(cid:109)5(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:131)(cid:132)(cid:166)(cid:134)·(cid:135)(cid:118)(cid:136)(cid:137)(cid:36)(cid:116)(cid:117) (cid:94)(cid:26)(cid:93)(cid:46)(cid:99)(cid:190)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:245)(cid:27)(cid:302)(cid:95)(cid:125)(cid:94)8(cid:65)(cid:144)(cid:26)(cid:27)
(cid:49)(cid:50)(cid:94)5(cid:65)(cid:168) (cid:27)(cid:160)(cid:268)(cid:94)(cid:31) (cid:36) △𝐴𝐵𝐶
A(cid:88)32(cid:165)1△6 𝐴𝐵𝐶 B(cid:88)32(cid:165)8 C(cid:88)8(cid:165)16 D(cid:88)24(cid:165)32
(cid:15)(cid:126)(cid:127)5-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:44)ABC(cid:94) O(cid:27)(cid:93)(cid:46)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)BO(cid:151)AC(cid:98)(cid:76)(cid:77)(cid:62)D(cid:65)(cid:290) ABC(cid:191)m ABD﹣45°(cid:65) ADB
(cid:191)n ABD+45°(cid:65)(cid:168)m(cid:181)n(cid:27)(cid:99)(cid:303)(cid:3)⊙(cid:304)(cid:79) (cid:88) ∠ ∠ ∠
∠
(cid:15)(cid:126)(cid:127)5-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:305)(cid:306)(cid:132)(cid:307)(cid:308)(cid:132)·(cid:203)(cid:81)(cid:36)(cid:49)(cid:50)(cid:79)6(cid:27) (cid:94)(cid:104)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:65)
= (cid:65)(cid:70)(cid:46) (cid:65) (cid:65)(cid:293)(cid:125) (cid:76)(cid:207) (cid:77)(cid:62)D(cid:65)(cid:144) (cid:94)(cid:59)⊙(cid:43)𝑂(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:168)(cid:207) 𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:125)(cid:79) (cid:88)
𝐴(cid:15)𝐵(cid:126)(cid:127)𝐴𝐶5-3(cid:19)(cid:31)2𝑂3𝐵-24𝑂(cid:128)𝐶(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:131)𝐶𝑂(cid:132)(cid:309)(cid:134)𝐴𝐵·(cid:135)(cid:118)(cid:136)(cid:137)(cid:36)(cid:40)△(cid:11)𝑂(cid:310)𝐵𝐷(cid:221)(cid:311)(cid:61)(cid:65)(cid:128)(cid:31)1(cid:36)(cid:312)(cid:57)(cid:11)𝐵𝐶(cid:56)(cid:313)(cid:314)Rt
(cid:31) =90°(cid:36)(cid:176)(cid:99)(cid:190) (cid:31) = (cid:36)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:189)(cid:65)(cid:161)(cid:78)(cid:119)(cid:224)(cid:315)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶
(cid:52)∠(cid:225)𝐴(cid:121)𝐶𝐵“(cid:194) = △(cid:65)𝐷𝐸𝐹= 𝐹𝐷(cid:189)(cid:65)𝐹(cid:92)𝐸 (cid:182)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:94)(cid:99)(cid:26)”(cid:71)
(cid:52)(cid:183)(cid:121)“(cid:194)∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐷𝐹𝐸(cid:65)𝐴𝐶 =𝐷𝐸(cid:189)(cid:65)(cid:92)(cid:182)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:94)(cid:99)(cid:26)”(cid:88)
(cid:250)(cid:316)(cid:79)(cid:121)(cid:122)𝑆△(cid:123)𝐴(cid:24)𝐵𝐶(cid:27)(cid:94)𝑆△(cid:31)𝐷𝐸 𝐹 (cid:36)𝐴𝐶 𝐷𝐸A(cid:88)(cid:52)(cid:225)(cid:237)(cid:52)(cid:183)(cid:55)(cid:237) B(cid:88)(cid:52)(cid:183)(cid:237)(cid:52)(cid:225)(cid:55)(cid:237)
C(cid:88)(cid:52)(cid:225)(cid:52)(cid:183)(cid:317)(cid:237) D(cid:88)(cid:52)(cid:225)(cid:52)(cid:183)(cid:317)(cid:55)(cid:237)
【题型6 求三角形外心坐标】
(cid:15)(cid:109)6(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:199)(cid:200)(cid:318)(cid:319)·(cid:203)(cid:320)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:56)(cid:75)(cid:160)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:304)(cid:81)(cid:65)(cid:58)(cid:28)(cid:26)(cid:196)(cid:63)(cid:64)(cid:152)(cid:62)
(cid:42)(cid:62)(cid:65)(cid:168)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:81)(cid:321)(cid:322)(cid:27)(cid:94)(cid:31) (cid:36) 𝑂,𝐴(4,0),𝐵(4,3)
5 3
A(cid:88)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:196)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) B(cid:88)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:196)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:79) 2,
2 2
C(cid:88)(cid:62) (cid:56)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:196)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:61) D(cid:88)(cid:62) (cid:56)(cid:92)(cid:28)(cid:26)(cid:196)(cid:87)(cid:56)(cid:26)(cid:61)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)6-𝑁1(cid:19)(0(cid:31),3)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:199)(cid:323)(cid:324)(cid:325)·(cid:203)(cid:320)(cid:36)(cid:69)(cid:35)𝑀(cid:65)((cid:56)2,5(cid:326))(cid:52)(cid:123)(cid:175)(cid:44)(cid:327)(cid:286)(cid:27)(cid:251)(cid:252)(cid:35)(cid:81)(cid:111)(cid:328)(cid:58)(cid:39)(cid:75)(cid:160)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)
(cid:304)(cid:65)(cid:58)(cid:28)(cid:26)(cid:196)(cid:63)(cid:64)(cid:252)(cid:62) (0,2)(cid:65) (4,2)(cid:65) (6,0)(cid:88)(cid:26)(cid:30)(cid:79) (cid:65)(cid:168) (cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:94) (cid:88)
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷
1
(cid:15)(cid:126)(cid:127)6-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:132)(cid:16)(cid:329)(cid:134)·(cid:203)(cid:81)(cid:36)(cid:56)(cid:75)(cid:160)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:304) (cid:81)(cid:65)(cid:59)(cid:60) = +2(cid:72)(cid:73)(cid:76)x(cid:236)(cid:65)y
2
(cid:236)(cid:77)(cid:62)A(cid:65)(cid:62)B(cid:65)(cid:168) (cid:27)(cid:45)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:94) (cid:88) 𝑥𝑂𝑦 𝑦 − 𝑥
(cid:15)(cid:126)(cid:127)6-3(cid:19)(cid:31)22-23(cid:128)△(cid:129)𝐴𝐵(cid:130)𝑂(cid:61)·(cid:323)(cid:330)(cid:331)(cid:332)·(cid:135)(cid:118)(cid:136)(cid:137)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65) (cid:65) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:168)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴(−1,3) 𝐵(−2,−2) 𝐶(4,−2) △𝐴𝐵𝐶(cid:45)(cid:30)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(cid:31) (cid:36)
A(cid:88)(0,0) B(cid:88)(1,1) C(cid:88)(1,0) D(cid:88)
【题型7 求三角形外接圆的半径】 (1,−2)
(cid:15)(cid:109)7(cid:19)(cid:31)22-23(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:333)(cid:323)(cid:334)(cid:335)·(cid:203)(cid:320)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:87)(cid:106)(cid:65) (cid:27)(cid:42)(cid:39)(cid:89)(cid:62)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:73)(cid:79) ( )(cid:181)
( )(cid:181) ( )(cid:65)(cid:168) (cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:27)(cid:125)(cid:79)(cid:31) (cid:36)△. 𝐴𝐵𝐶 𝐴 −1,3 𝐵
−2,−2 𝐶 4,−2 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:88)3 2 B(cid:88)2 3 C(cid:88) 10 D(cid:88) 13
(cid:15)(cid:126)(cid:127)7-1(cid:19)(cid:31)22-23(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:336)(cid:227)(cid:337)(cid:309)·(cid:203)(cid:320)(cid:36)(cid:285)(cid:58)(cid:28)(cid:125)2m(cid:27)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:286)(cid:89)(cid:43)(cid:79)120°(cid:27)(cid:99)(cid:190)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:242)(cid:243)(cid:92)
(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:79) m(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)7-2(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:132)(cid:16)(cid:240)(cid:253)·(cid:203)(cid:81)(cid:36)(cid:56)Rt (cid:81)(cid:65) =90°(cid:65) =6(cid:65) =8(cid:65)(cid:62)D(cid:65)E(cid:65)F
(cid:72)(cid:73)(cid:94) (cid:65) (cid:65) (cid:27)(cid:81)(cid:62)(cid:65)(cid:168) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)△(cid:79)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:88)∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:126)(cid:127)𝐴7𝐵-3(cid:19)𝐵(cid:69)𝐶(cid:35)(cid:65)𝐴𝐶(cid:56) (cid:81)(cid:65)△𝐷𝐸=𝐹 (cid:65)(cid:62) (cid:79) (cid:61)(cid:58)(cid:62)(cid:65) = =6(cid:65) = =10(cid:65)(cid:168) (cid:27)
(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:79)(cid:31) (cid:36) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐴 △𝐴𝐸𝐷10 11
A(cid:88)3 B(cid:88) C(cid:88) D(cid:88)4
3 3
【题型8 最小覆盖圆】
(cid:15)(cid:109)8(cid:19)(cid:216)(cid:289)(cid:174)(cid:38)(cid:292)(cid:341)(cid:53)(cid:54)(cid:342)(cid:75)(cid:160)(cid:35)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:238)(cid:79)(cid:157)(cid:75)(cid:160)(cid:35)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:88)(cid:109)(cid:69)(cid:60)(cid:118)AB(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)
(cid:271)(cid:94)(cid:78)(cid:60)(cid:118)AB(cid:79)(cid:59)(cid:50)(cid:27)(cid:26)(cid:88)
(cid:31)1(cid:36)(cid:249)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:233)(cid:119)(cid:35)(cid:81)(cid:182)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:31)(cid:146)(cid:37)(cid:230)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:65)(cid:209)(cid:210)(cid:34)(cid:35)(cid:211)(cid:212)(cid:65)(cid:55)(cid:208)(cid:34)(cid:122)(cid:36)(cid:71)
(cid:31)2(cid:36)(cid:343)(cid:314)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:26)(cid:161)(cid:241)(cid:33)(cid:344)(cid:247)(cid:249)(cid:208)(cid:233)(cid:250)(cid:87)(cid:180)(cid:80)(cid:27)(cid:345)(cid:346)(cid:31)(cid:55)(cid:146)(cid:37)(cid:347)(cid:225)(cid:36)(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)8-1(cid:19)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:174) (cid:178)(cid:56)(cid:348)(cid:39)(cid:52)(cid:123)(cid:175)(cid:44)(cid:27)(cid:95)(cid:125)(cid:79)1(cid:27)(cid:251)(cid:252)(cid:81)(cid:65)(cid:62)A(cid:181)B(cid:181)C(cid:349)(cid:350)(cid:56)(cid:252)(cid:62)(cid:61)(cid:65)(cid:230)(cid:58)(cid:39)
(cid:26)(cid:160)(cid:147)(cid:53)(cid:54) (cid:65)(cid:38)△(cid:351)𝐴(cid:292)𝐵𝐶(cid:341)(cid:53)(cid:54)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:160)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:94) (cid:88)
△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:126)(cid:127)8-2(cid:19) ABC(cid:81)(cid:65)AB = AC = 10 cm(cid:65)BC = 16 cm(cid:65)(cid:144)(cid:146)(cid:352)(cid:58)(cid:353)(cid:26)(cid:44)(cid:231)(cid:159)(cid:54)(cid:354)(cid:92)(cid:39)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:65)(cid:168)(cid:26)(cid:44)(cid:231)(cid:159)
(cid:27)(cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:50)(cid:79)△ cm(cid:88)
(cid:15)(cid:126)(cid:127)8-3(cid:19)(cid:31)24-25(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:61)·(cid:132)(cid:16)(cid:355)(cid:356)·(cid:135)(cid:118)(cid:136)(cid:137)(cid:36)(cid:69)(cid:35)(cid:65)(cid:75)(cid:160)(cid:59)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:304)(cid:81)(cid:161)(cid:58)(cid:39) (cid:88)
△𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:357)(cid:230)(cid:251)(cid:252)(cid:65)(cid:124)(cid:230)(cid:240)(cid:254)(cid:195)(cid:27)(cid:59)(cid:32)(cid:34)(cid:233) (cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:30)O(cid:65)(cid:234)(cid:208)(cid:233)(cid:26)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:94)______(cid:71)
．．．
(2)(cid:22)(cid:23)(cid:62) (cid:151) (cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:3)(cid:304)(cid:65)(cid:121)△(cid:225)𝐴(cid:358)𝐵𝐶(cid:326)(cid:71)
(3) 𝐸(cid:51)(2(cid:52),0(cid:53)) (cid:54)⊙(cid:26)(cid:27)𝑂(cid:49)(cid:50)(cid:79)______(cid:88)
△𝐴𝐵𝐶
