文档文本内容
专题 2.1 分式的概念及基本性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:27)/(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)...........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)0(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:19)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)........................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:41)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:35)(cid:47)(cid:19)............................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:36)(cid:19)..........................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:49)(cid:22)(cid:19)......................................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:19)..............................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:45)(cid:54)(cid:20)(cid:19)..............................................................................................................................16
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 分式的概念 公 众
注
关
，
源
资
1. (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)A(cid:58)B教(cid:61)(cid:62) 辅 (cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:23)(cid:58)(cid:66)(cid:67)B(cid:68)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:58)(cid:72)(cid:73)(cid:23)(cid:74) (cid:58)B(cid:75)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:77)(cid:22)(cid:23) (cid:68)(cid:58)A(cid:75)(cid:76)(cid:22)(cid:74)(cid:58)
𝐴 𝐴
B(cid:75)(cid:76)(cid:22)(cid:71)(cid:77) 𝐵 𝐵
2. (cid:55)(cid:64)(cid:23)(cid:74)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:82)(cid:64)(cid:31)(cid:32)
(cid:83)1(cid:84)(cid:37)(cid:36)(cid:59) (cid:24)(cid:23)(cid:74)(cid:85)
𝐴
(cid:83)2(cid:84)A(cid:58)B(cid:34)𝐵(cid:65)(cid:23)(cid:85)
(cid:83)3(cid:84)(cid:22)(cid:71)B(cid:68)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:77)
知识点2 分式有、无意义的条件
1. (cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:71)(cid:86)(cid:87)(cid:88)0(cid:77)
2. (cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:71)(cid:87)(cid:88)0(cid:77)
知识点3 分式的值为0的条件
1. (cid:89)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:34)0(cid:58)(cid:22)(cid:71)(cid:86)(cid:34)0(cid:90)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)0(cid:77)
2. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:37)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:24)(cid:58)(cid:100)(cid:97)(cid:101)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:34)0(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:37) = (cid:67) (cid:58)(cid:63)(cid:102)
𝐴
𝐵 𝑨 𝟎 𝑩≠𝟎(cid:103)(cid:55)(cid:86)(cid:96)(cid:77)
知识点4 分式的基本性质
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:104)(cid:22)(cid:71)(cid:105)(cid:83)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:84)(cid:108)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)0(cid:24)(cid:65)(cid:23)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:77)
2. (cid:42)(cid:23)(cid:74)(cid:61)(cid:62)(cid:34) = (cid:58) = ÷ 0)(cid:58)(cid:109)(cid:68)A(cid:58)B(cid:58)C(cid:37)(cid:65)(cid:23)(cid:77)
÷
𝐴 𝑨⋅𝑪 𝐴 𝑨 𝑪
𝐵 𝑩⋅𝑪 𝐵 𝑩 𝑪(𝐶≠
知识点5 约分、最简分式
1. (cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:112)(cid:55)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:104)(cid:22)(cid:71)(cid:24)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:49)(cid:114)(cid:58)(cid:75)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:22)(cid:77)
2. (cid:22)(cid:74)(cid:104)(cid:22)(cid:71)(cid:115)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:75)(cid:76)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:77)
【题型1 分式的判断】
1 1
(cid:15)(cid:116)1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:91)(cid:94)(cid:126)(cid:127)(cid:23)(cid:68)(cid:10) (cid:128) (cid:128) (cid:128) (cid:128) (cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:27) (cid:64)(cid:77)
2 5
𝑥 𝑥+3𝑦 𝑥−𝑦
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)2 𝑎 π 𝑎+2𝑏
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:135)(cid:111)(cid:37)(cid:136)(cid:22)(cid:71)(cid:68)(cid:37)(cid:38)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:137)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:58)
(cid:59)(cid:60)(cid:86)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:137)(cid:86)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:138)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:139)(cid:96)(cid:77) +
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:94)(cid:126)(cid:127)(cid:23)(cid:68)(cid:10) 1 (cid:128) 1 (cid:128) (cid:128) (cid:128) (cid:58)公(cid:37)(cid:22)众(cid:23)(cid:24) 号 (cid:27) 1 (cid:128) (cid:58)(cid:142)2(cid:64)(cid:77)
2 5 注
𝑥 𝑥+3𝑦关𝑥−𝑦 𝑥−𝑦
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)(cid:10)2(cid:77)
辅
资𝑎 2 源π ， 𝑎+2𝑏 𝑎 2 𝑎+2𝑏
教
(cid:15)(cid:35)(cid:23)1-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:147)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:94)(cid:126)(cid:148)(cid:149)(cid:68)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
A(cid:77) 2 = 1 B(cid:77) +
3 3
𝑥
𝑥−2 𝑥+ 𝑦
1
C(cid:77) D(cid:77)
2
𝑎 + 𝑎
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)𝑎C 𝜋
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:141)(cid:154)(cid:155)(cid:20)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:83)(cid:36)(cid:59) (cid:24)(cid:23)(cid:74)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:109)(cid:68)A
𝐴
𝐵
(cid:104)B(cid:37)(cid:65)(cid:23)(cid:67)B(cid:68)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:84)(cid:141)(cid:154)(cid:155)(cid:20)(cid:77)
(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:58)(cid:22)(cid:71)(cid:68)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:24)(cid:156)(cid:157)(cid:23)(cid:158)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:138)(cid:55)(cid:22)(cid:131)(cid:127)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:38)(cid:159)(cid:160)(cid:31)(cid:32)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:161)(cid:162)(cid:127)(cid:148)(cid:149)(cid:58)(cid:163)(cid:27)(cid:148)(cid:149)C(cid:164)(cid:88)(cid:22)(cid:23)(cid:77)
(cid:143)(cid:148)(cid:10)C(cid:77)
(cid:15)(cid:35)(cid:23)1-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:120)(cid:165)(cid:28)(cid:166)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:27)(cid:65)(cid:23) (cid:58)2(cid:58) (cid:58)(cid:167)(cid:91)(cid:168)(cid:169)(cid:65)(cid:23)(cid:68)(cid:148)(cid:170)(cid:171)(cid:50)(cid:172)(cid:173)(cid:24)(cid:63)(cid:64)
2
(cid:65)(cid:23)(cid:174)(cid:39)(cid:55)(cid:64)(cid:22)(cid:23) (cid:77) 𝑥−1 𝑥
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) (cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:175)(cid:55)(cid:84)(cid:77)
𝑥−1(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:58)(cid:150)(cid:177)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)
(cid:135)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:134)(cid:30)(cid:83)(cid:22)(cid:71)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:24)(cid:65)(cid:23)(cid:179)(cid:23)(cid:84)(cid:58)(cid:180)(cid:181)(cid:134)(cid:65)(cid:23)(cid:182)(cid:58)(cid:22)(cid:183)(cid:148)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:24)(cid:65)(cid:23)(cid:184)(cid:22)(cid:71)(cid:58)(cid:109)(cid:185)(cid:65)(cid:23)(cid:184)(cid:22)(cid:74)(cid:58)
(cid:174)(cid:160)(cid:186)(cid:100)(cid:27)(cid:159)(cid:160)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:22)(cid:71)(cid:34) (cid:90)(cid:10)
2 𝑥−1
(cid:22)(cid:74)(cid:34)2(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:34) (cid:85)
𝑥−1
(cid:22)(cid:74)(cid:34) (cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:34) (cid:77)
2
2 𝑥
(cid:22)(cid:71)(cid:34)𝑥 (cid:90)(cid:10) 𝑥−1
2
𝑥
(cid:22)(cid:74)(cid:34) (cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:34) (cid:85)
𝑥−1
2
𝑥−1 2 𝑥
(cid:22)(cid:74)(cid:34)2(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:34) (cid:77)
2
𝑥
(cid:22)(cid:71)(cid:34)2(cid:90)(cid:58)(cid:113)2(cid:37)(cid:187)(cid:157)(cid:83)(cid:86)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:84)(cid:58)(cid:174)(cid:39)(cid:24) (cid:128) (cid:86)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:188)(cid:114)(cid:77)
2 22
𝑥−1 𝑥
2 2
(cid:189)(cid:168)(cid:58)(cid:100)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:34) (cid:128) (cid:128) (cid:128) (cid:77)
2
𝑥 𝑥−1
2 𝑥−1 𝑥−1 𝑥 2 𝑥 2 科 A A +
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)(cid:10) (cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:175)(cid:55)(cid:84)(cid:77) 全
★
号
众
公
(cid:15)(cid:35)(cid:23)1-3(cid:19) 𝑥− (cid:190) 1 (cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:55)(cid:195)(cid:196)(cid:191)(cid:58)(cid:109)(cid:68)(cid:55)关(cid:197)(cid:196) 注 (cid:191)(cid:24)(cid:198)(cid:199)(cid:37)(cid:200)(cid:201) (cid:202)(cid:58)(cid:203)(cid:200)(cid:201)(cid:204)(cid:199) (cid:202)(cid:205)(cid:206)(cid:58)(cid:137)(cid:207)(cid:197)(cid:196)(cid:191)(cid:193)
，
源
资
(cid:194)(cid:208)(cid:209)(cid:206)(cid:186)(cid:90)(cid:58)(cid:109)(cid:205)(cid:206)教(cid:210)
辅
(cid:34) (cid:202)(cid:58)(cid:180)(cid:204)(cid:199)(cid:205)(cid:206)(cid:211)(cid:212)(cid:90)(cid:58)(cid:213)(cid:191)(cid:192)(cid:207)(cid:197)𝑚(cid:196)(cid:191)(cid:24)(cid:193)(cid:194)(cid:214)(cid:37)𝑥(cid:83) (cid:84)(cid:201)(cid:77)
𝑛
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
𝑛 𝑛 𝑚 𝑚
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)
𝑚+B𝑥 𝑚−𝑥 𝑛+𝑥 𝑛−𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:110)(cid:111)(cid:157)(cid:214)(cid:215)(cid:205)(cid:206)(cid:210)÷(cid:216)(cid:199)(cid:58)(cid:180)(cid:217)(cid:96)(cid:126)(cid:23)(cid:218)(cid:141)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:207)(cid:197)(cid:196)(cid:191)(cid:24)(cid:193)(cid:194)(cid:214)(cid:37)(cid:10) (cid:83)(cid:201)(cid:84)(cid:58)
𝑛
(cid:143)(cid:148)(cid:10)B(cid:77) 𝑚−𝑥
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:221)(cid:42)(cid:58)(cid:141)(cid:129)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:37)(cid:222)(cid:141)(cid:223)(cid:224)(cid:20)(cid:29)(cid:58)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:221)(cid:24)(cid:87)(cid:214)(cid:3)(cid:228)(cid:77)
【题型2 分式有/无意义的条件】
(cid:15)(cid:116)2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:234)(cid:22)(cid:23)
1
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:137) (cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:83) (cid:84)
𝑎+
A(cid:77)0 B(cid:77) 1 C(cid:77)-1 2𝑎−1 𝑎 D(cid:77) 1
2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)B −
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:71)(cid:34)0(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:207)(cid:55)(cid:177)(cid:235)(cid:219)(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:139)(cid:22)(cid:71)(cid:34)0(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:111)(cid:155)(cid:126)(cid:186)(cid:3)(cid:88) (cid:24)(cid:236)(cid:237)(cid:218)(cid:141) (cid:77)
1 𝑎
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) (cid:22)(cid:23) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:90)(cid:58)(cid:22)(cid:71) =0(cid:58)
𝑎+
(cid:141)(cid:236)(cid:237) =∵0(cid:58)(cid:238) 2 (cid:149) 𝑎− (cid:96) 1 (cid:225) =1(cid:58) 2𝑎−1
(cid:63)(cid:239)(cid:108)
2
(cid:90)
𝑎
(cid:107)
−1
(cid:97)2(cid:58)(cid:225) =
1
(cid:77)
2𝑎
2
(cid:143)(cid:148)(cid:10)B (cid:77) 𝑎
1
(cid:15)(cid:35)(cid:23)2-1(cid:19)(cid:83)2025·(cid:120)(cid:165)(cid:240)(cid:241)·(cid:242)(cid:243)(cid:84)(cid:234)(cid:22)(cid:23) (cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:137)(cid:244)(cid:157) (cid:24)(cid:245)(cid:33)(cid:246)(cid:247)(cid:37) (cid:77)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) 2025 𝑥−2025 𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)𝑥(cid:44)≠(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:248)(cid:249)(cid:139)(cid:96)(cid:85)
1
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) (cid:22)(cid:23) (cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:58)
0∵ 𝑥−2025
∴𝑥−20220525≠
∴(cid:143)𝑥(cid:129)≠(cid:130)(cid:34)(cid:10) 2025(cid:77)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:35)(cid:23)2-2(cid:19) 𝑥 (cid:83) ≠ 2025·(cid:250)(cid:251)(cid:250)(cid:252)·(cid:242)(cid:243)(cid:84)(cid:89) =3(cid:90)(cid:58)(cid:22)(cid:23) 1 (cid:28)(cid:29)号(cid:30)(cid:58) ★ (cid:137) 全 (cid:100)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:156)(cid:157)(cid:23)(cid:96)(cid:97)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
众
公
注
关
A(cid:77) B(cid:77) +3 源 ，𝑥 C(cid:77)x □ □D(cid:77)3x
资
辅
教
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)𝑥−A3 𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:71)(cid:34)(cid:253)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:248)(cid:249)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:89) =3(cid:90)(cid:58) =0(cid:58) +3=6 0(cid:58) =9 0(cid:58)
(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑥(cid:137)(cid:22)(cid:71)(cid:34)(cid:253)𝑥−(cid:58)3(cid:96)(cid:177) (cid:100)𝑥(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:156)≠(cid:157)(cid:23)(cid:96)3𝑥(cid:97)(cid:37) ≠ (cid:58)
(cid:143)(cid:148)(cid:10)A(cid:77) □ 𝑥−3
1
(cid:15)(cid:35)(cid:23)2-3(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:89) = (cid:90)(cid:83)(cid:258)(cid:259)(cid:55)(cid:64)(cid:80)(cid:81)(cid:20)(cid:29)(cid:24)(cid:157)(cid:139)(cid:96)(cid:84)(cid:58)(cid:22)(cid:23)
2
(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:77) 𝑥 𝑥 −9
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)1(cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:175)(cid:55)(cid:84)
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:71)(cid:86)(cid:34)(cid:253)(cid:225)(cid:186) ±3(cid:58)(cid:260)(cid:55)(cid:261)(cid:139)(cid:96)(cid:225)(cid:186)(cid:129)(cid:130)(cid:77)
1 𝑥≠
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:79)(cid:101)(cid:22)(cid:23) (cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:58)
2
𝑥 −9
(cid:137) 0(cid:58)
2
𝑥 −±93≠(cid:58)
∴𝑥≠1
(cid:89) =1(cid:90)(cid:58)(cid:22)(cid:23) (cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:58)
2
∴(cid:143)(cid:129)𝑥(cid:130)(cid:34)(cid:10)1(cid:83)(cid:129)(cid:130)𝑥(cid:86)−9(cid:175)(cid:55)(cid:84)
【题型3 分式值为0的条件】
(cid:15)(cid:116)3(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:229)(cid:230)(cid:230)(cid:252)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:59)(cid:60)(cid:55)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:89) = (cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:89) =1(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)
0(cid:58)(cid:137)(cid:207)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:96)(cid:262)(cid:37)(cid:83) (cid:84) 𝑦 −2 𝑦
1
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
2 1 2
𝑦+ 𝑦−1 𝑦−1 𝑦−2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)
𝑦+C 𝑦+ 𝑦+ 𝑦−1
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:253)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:23)(cid:156)(cid:33)(cid:24)(cid:248)(cid:249)(cid:236)(cid:263)(cid:77)(cid:264)(cid:110)(cid:111)(cid:89)
= (cid:90)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:265)(cid:107)(cid:148)(cid:149)B(cid:128)D(cid:58)(cid:266)(cid:267)(cid:112) =1(cid:156)(cid:268)A(cid:128)C(cid:148)(cid:149)(cid:248)(cid:249)(cid:139)(cid:96)(cid:25)(cid:26)(cid:77)
𝑦 −2 𝑦 1
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:89) = (cid:90)(cid:58) +2=0(cid:58)(cid:137)(cid:22)(cid:23) (cid:58) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:85) +1= 0(cid:58) = 0(cid:58)(cid:137)(cid:22)(cid:23)
2 2
𝑦−1 𝑦+
𝑦 −2 𝑦 𝑦+ 𝑦+ 𝑦 −1≠ 𝑦−1 −3≠
(cid:58) (cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:143)(cid:265)(cid:107)(cid:148)(cid:149)B(cid:128)D(cid:58)
1
𝑦−1 𝑦−2
𝑦+ 𝑦−1
(cid:89) =1(cid:90)(cid:58) =0(cid:58) 1 = 2 0(cid:58)(cid:143)(cid:148)(cid:149)C(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:58)(cid:148)(cid:149)A(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:77)A A +
𝑦− 2 1 𝑦+ 2 3 ★ 全 科
号
(cid:143)(cid:148)𝑦 (cid:10)C(cid:77) 𝑦+ 𝑦+ ≠ 公 众
注
关
，
源
(cid:15)(cid:35)(cid:23)3-1(cid:19)(cid:83)24-25教(cid:269)(cid:118) 辅 (cid:119)(cid:94) 资 ·(cid:270)(cid:120)(cid:147)(cid:271)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:234)(cid:156)(cid:157)(cid:23) 2 (cid:24)(cid:33)(cid:34)0(cid:58)(cid:137)(cid:244)(cid:157) (cid:24)(cid:33)(cid:34) (cid:77)
𝑥+
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) 𝑥−3 𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)−(cid:44)2(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)0(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:77)
(cid:272)(cid:273)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:74)(cid:34)0(cid:217)(cid:22)(cid:71)(cid:86)(cid:34)0(cid:184)(cid:129)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
2
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) (cid:156)(cid:157)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:34)0(cid:58)
𝑥+
+2=0(cid:67) ∵ 0(cid:58) 𝑥−3
∴(cid:139)𝑥 = (cid:67) 𝑥−33(cid:58)≠
𝑥= −2(cid:58) 𝑥≠
∴(cid:143)𝑥(cid:129)(cid:130)−(cid:34)2 (cid:10) (cid:77)
−2
(cid:15)(cid:35)(cid:23)3-2(cid:19)(cid:234)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:34)0(cid:58)(cid:137)(cid:244)(cid:157)x(cid:221)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:83)(cid:274)(cid:274)(cid:84)
2
𝑥 −1
A(cid:77) =1 𝑥−1B(cid:77) = C(cid:77) 1 D(cid:77) =1(cid:106) =
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)𝑥 B 𝑥 −1 𝑥≠ 𝑥 𝑥 −1
=0
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:253)(cid:58)(cid:275)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:253)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:225) 0 (cid:58)(cid:218)(cid:186) (cid:24)(cid:33)(cid:58)(cid:139)(cid:96)(cid:218)(cid:141)(cid:85)(cid:222)(cid:141)(cid:22)(cid:23) =0
2
𝐴
𝑥 −1
𝑥−1≠ 𝑥 𝐵(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:34) =0(cid:67) 0(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)𝐴(cid:141)(cid:10)(cid:275)(cid:20)𝐵(cid:29)≠(cid:225)
=0
0 (cid:58)
2
𝑥 −1
(cid:141)𝑥(cid:225)−1(cid:10)≠= (cid:58)
(cid:143)(cid:148)(cid:10)𝑥B(cid:77) −1
| |
(cid:15)(cid:35)(cid:23)3-3(cid:19)(cid:234)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:87)(cid:88)0(cid:58)(cid:137) = (cid:77)
𝑦−5
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) 5−𝑦 𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)−(cid:44)5(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:253)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:33)(cid:236)(cid:237)(cid:128)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:87)(cid:177)(cid:235)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:225)(cid:226)| |
=0(cid:58)(cid:67) 0(cid:58)(cid:218)(cid:141)(cid:139)(cid:96)(cid:225)(cid:226)(cid:129)(cid:130)(cid:77)(cid:150)(cid:280)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:253)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:141)(cid:154)(cid:54)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77) 𝑦
−5 5−𝑦≠ | |
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) (cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:87)(cid:88)0(cid:58)
𝑦−5
| | =0(cid:58)∵(cid:67) 5−𝑦 0(cid:58)
(cid:141)∴(cid:225)𝑦 −=5 (cid:58) 5−𝑦≠
+
A
(cid:143)(cid:129)𝑦(cid:130)(cid:34)−(cid:10)5 (cid:77) 科 A
全
★
号
众
【题型4 分 −5 式的值】 关 注 公
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:116)4(cid:19)(cid:83)22-23(cid:269)(cid:118)
教
(cid:119)(cid:94)·(cid:281)(cid:230)(cid:282)(cid:283)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:101)(cid:22)(cid:23)
7
(cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:157)(cid:24)(cid:100)(cid:27)(cid:65)(cid:157)x(cid:24)(cid:284)(cid:34)(cid:83) (cid:84)
A(cid:77)8 B(cid:77)4 C(cid:77)0𝑥−1 D(cid:77)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)B −2
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:275)(cid:65)(cid:107)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:96)(cid:177)(cid:58) (cid:37)7(cid:24)(cid:113)(cid:157)(cid:58)(cid:139)(cid:96)(cid:22)(cid:183)(cid:225)(cid:186)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:24) (cid:33)(cid:58)(cid:285)(cid:218)(cid:284)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
7 𝑥−1 𝑥
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) (cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:65)(cid:157)(cid:58)
(cid:34)7(cid:24)(cid:113)∵(cid:157) 𝑥 (cid:58) −1
∴𝑥−1=±1(cid:58)(cid:106) =±7(cid:77)
(cid:286)∴𝑥−1(cid:34)(cid:65)(cid:157)(cid:58) 𝑥−1
∵=𝑥 2(cid:58)(cid:106) =0(cid:58)(cid:106) =8(cid:58)(cid:106) = (cid:58)
∴𝑥2+0+ 𝑥 =4(cid:58) 𝑥 𝑥 −6
(cid:143)∴(cid:148)(cid:10)B(cid:77)8−6
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:58)(cid:152)(cid:153)(cid:65)(cid:107)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)(cid:44)(cid:20)(cid:37)(cid:43)(cid:287)(cid:177)(cid:235)(cid:24)(cid:98)(cid:133)(cid:58)(cid:288)(cid:289)(cid:51)(cid:216)(cid:77)
(cid:15)(cid:35)(cid:23)4-1(cid:19)(cid:83)23-24(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:254)(cid:255)(cid:290)(cid:252)·(cid:291)(cid:292)(cid:151)(cid:293)(cid:84)(cid:294)(cid:177)(cid:22)(cid:23)
4
(cid:24)(cid:33)(cid:37)(cid:295)(cid:296)(cid:157)(cid:58)(cid:72)(cid:73)x(cid:24)(cid:245)(cid:33)(cid:246)(cid:247)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
𝑥+
2
𝑥A(cid:77) > (cid:67) 0 B(cid:77) C(cid:77) 0 D(cid:77) (cid:67) 0
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)𝑥 D−4 𝑥≠ 𝑥≥−4 𝑥≠ 𝑥≥−4 𝑥≠
4
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:297)(cid:296)(cid:45)(cid:54)(cid:20)(cid:58)(cid:298)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:141)(cid:55)(cid:202)(cid:55)(cid:299)(cid:86)(cid:87)(cid:23)(cid:77)(cid:110)(cid:111) (cid:24)(cid:33)(cid:37)(cid:295)(cid:296)(cid:157)(cid:225)(cid:226) (cid:300)4 0
𝑥+
2
(cid:67) 0(cid:58)(cid:260)(cid:217)(cid:262)(cid:218)(cid:186)x(cid:24)(cid:245)(cid:33)(cid:246)(cid:247)(cid:77) 𝑥 𝑥 ≥
𝑥≠ 4
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) 0(cid:58)
𝑥+
2
(cid:300)4 0(cid:67) ∵𝑥 0(cid:58)≥
∴𝑥 ≥(cid:67) 𝑥≠0(cid:77)
∴(cid:143)𝑥(cid:148)≥(cid:10)−D4(cid:77)𝑥≠
1
(cid:15)(cid:35)(cid:23)4-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:229)(cid:230)(cid:301)(cid:302)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:89)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:297)(cid:157)(cid:90)(cid:58)(cid:259)(cid:186)(cid:55)(cid:64)(cid:80)(cid:81)(cid:31)(cid:32)(cid:24)x(cid:24)(cid:33) (cid:77)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)3(cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:175)(cid:55)(cid:58)(cid:80)(cid:81) >1(cid:139)(cid:96)(cid:84) 𝑥−1
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:34)𝑥(cid:297)(cid:157)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:37)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:297)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:126)(cid:186)(cid:86)(cid:87)(cid:23)(cid:218)(cid:141)(cid:77)
(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:297)(cid:157)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:126)(cid:186)(cid:86)(cid:87)(cid:23)(cid:58)(cid:218)(cid:186) (cid:24)(cid:245)(cid:33)(cid:246)(cid:247)(cid:58)(cid:285)(cid:91)(cid:246)(cid:247)(cid:303)(cid:245)(cid:55)(cid:64)(cid:33)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
+
A
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:96)(cid:225)(cid:10) >0(cid:77) 𝑥 科 A
全
★
号
众
(cid:141)(cid:225)(cid:10) >1(cid:77) 𝑥−1 公
注
关
，
源
(cid:72)(cid:73)(cid:91)𝑥>1(cid:207)(cid:64)(cid:246)(cid:247)(cid:303)(cid:304)辅(cid:245)(cid:55)资(cid:64)(cid:33)(cid:305)(cid:80)(cid:81)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:116)(cid:59) =3(cid:77)
教
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)𝑥 (cid:10)3(cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:175)(cid:55)(cid:58)(cid:80)(cid:81) >1(cid:139)(cid:96)(cid:84) 𝑥
(cid:15)(cid:35)(cid:23)4-3(cid:19)(cid:83)2024(cid:117)(cid:118)(cid:119)·(cid:208)(cid:306)·(cid:307)
𝑥
(cid:308)(cid:84)(cid:234)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:297)(cid:157)(cid:58)(cid:137) (cid:24)(cid:245)(cid:33)(cid:246)(cid:247)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
| |
𝑥−1
A(cid:77)1< <2(cid:106) < 2 B(cid:77) 𝑥−2 < 2(cid:106) >2 𝑥
C(cid:77) 2<𝑥<1(cid:106) 𝑥>−2 D(cid:77)𝑥 −< <𝑥 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)−(cid:19)C 𝑥 𝑥 −2 𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:126)(cid:186)(cid:86)(cid:87)(cid:23)(cid:174)(cid:58)(cid:141)(cid:86)(cid:87)(cid:23)(cid:174)(cid:137)(cid:96)(cid:77)(cid:155)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:58)(cid:141)(cid:86)(cid:87)(cid:23)(cid:174)(cid:58)(cid:141)(cid:20)(cid:3)(cid:178)(cid:91)(cid:88)(cid:110)(cid:111)
(cid:20)(cid:29)(cid:126)(cid:186)(cid:86)(cid:87)(cid:23)(cid:174)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) (cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:34)(cid:297)(cid:157)(cid:58)
| |
𝑥−1
| | >0 ∵ | | 𝑥−<2 0
>0 (cid:106) <0 (cid:58)
𝑥 −2 𝑥 −2
∴(cid:141)(cid:225)𝑥−(cid:10)1 < <𝑥1−(cid:106)1 >2.
(cid:143)(cid:148)(cid:10)−C(cid:77)2 𝑥 𝑥【题型5 判断分式变形是否成立】
(cid:15)(cid:116)5(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:229)(cid:230)(cid:309)(cid:251)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:94)(cid:126)(cid:127)(cid:23)(cid:68)(cid:58)(cid:297)(cid:310)(cid:24)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
A(cid:77) = B(cid:77) =
−𝑥 𝑥 𝑥+𝑦 −𝑥+𝑦
−𝑦 −𝑦 − 𝑎 𝑎
C(cid:77) = D(cid:77) =
𝑥−𝑦 𝑦−𝑥 𝑥 −𝑥
(cid:15)(cid:129)(cid:130)
− (cid:19)C𝑎 𝑎 −𝑦−𝑥 𝑥−𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:277)(cid:159)(cid:9)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:137)(cid:58)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:39)(cid:34)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)
(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:277)(cid:159)(cid:9)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:137)(cid:138)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)A(cid:77)(cid:311)(cid:239) = (cid:83)(cid:22)(cid:74)(cid:296)(cid:296)(cid:225)(cid:297)(cid:84)(cid:58)(cid:312)(cid:239) = (cid:58)(cid:313)(cid:266)(cid:86)(cid:87)(cid:58)(cid:143)A(cid:314)(cid:315)(cid:77)
−𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
−𝑦 𝑦 −𝑦 −𝑦
B(cid:77)(cid:311)(cid:239) = (cid:83)(cid:22)(cid:74)(cid:65)(cid:316)(cid:245)(cid:317)(cid:84)(cid:58)(cid:312)(cid:239) (cid:58)(cid:22)(cid:74)(cid:159)(cid:9)(cid:86)(cid:108)(cid:58)(cid:143)B(cid:314)(cid:315)(cid:77)
𝑥+𝑦 −𝑥−𝑦 −𝑥+𝑦
C(cid:77)(cid:311)(cid:239) − 𝑎 = ( 𝑎 ) = (cid:58)(cid:104)(cid:312)(cid:239)(cid:318)(cid:208)(cid:227)(cid:108)(cid:58) 𝑎 (cid:143)C(cid:297)(cid:310)(cid:77)
𝑥−𝑦 − 𝑥−𝑦 𝑦−𝑥
− 𝑎 𝑎 𝑎
D(cid:77)(cid:311)(cid:239) = (cid:58)(cid:312)(cid:239) = = (cid:58)(cid:311)(cid:239)(cid:34)(cid:296)(cid:58)(cid:312)(cid:239)(cid:34)(cid:297)(cid:58)(cid:143)D(cid:314)(cid:315)(cid:77)
( )
𝑥 𝑥 −𝑥 −𝑥 𝑥 A +
A
(cid:143)(cid:148)C(cid:77) −𝑦−𝑥 −𝑦−𝑥 𝑥−𝑦 − 𝑦−𝑥 𝑦−𝑥 全 科
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:35)(cid:23)5-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:250)(cid:251)(cid:319)(cid:30)，·(cid:124)
关
(cid:125)(cid:84)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:23) (cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:34)(cid:83) (cid:84)
源
资
辅 𝐴
教
𝐵
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
𝐴 −𝐴 𝐴 −𝐴
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)−𝐵B −𝐵 −𝐵 −−𝐵
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:135)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:90)(cid:105)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:108)(cid:55)(cid:64)(cid:295)(cid:253)
(cid:24)(cid:157)(cid:106)(cid:23)(cid:74)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:58)(cid:25)(cid:134)(cid:139)(cid:96)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:141)(cid:154)(cid:155)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)
×( )
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) = = (cid:58)
×( )
𝐴 𝐴 −1 −𝐴
(cid:143)(cid:148)(cid:10)B(cid:77) 𝐵 𝐵 −1 −𝐵
(cid:15)(cid:35)(cid:23)5-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:229)(cid:230)(cid:301)(cid:302)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:94)(cid:126)(cid:23)(cid:74)(cid:68)(cid:58)(cid:180)(cid:311)(cid:320)(cid:312)(cid:35)(cid:36)(cid:314)(cid:315)(cid:24)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
A(cid:77) = 3 B(cid:77) = 1 C(cid:77) 1 = 1 D(cid:77) =
2 2
3𝑚 𝑥 −1 𝑥+ 𝑏 𝑏𝑐
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) 2𝑚D (𝑥−1) 𝑥−1 −𝑥−1 1−𝑥 𝑎 𝑎𝑐
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)“(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:105)(cid:107)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:34)0(cid:24)(cid:157)(cid:106)
(cid:156)(cid:157)(cid:23)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)”(cid:138)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)A(cid:128) = ÷ = 3 (cid:58)(cid:155)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
÷ 2
3𝑚 3𝑚 𝑚
2𝑚 2𝑚 𝑚B(cid:128) = ( 1)( ) = 1 (cid:58)(cid:155)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
( 2 ) ( )
𝑥 −1 𝑥+ 𝑥−1 𝑥+
2 2
C(cid:128) 𝑥− 1 1 = 1𝑥−1 = 1 (cid:58) 𝑥− (cid:155) 1 (cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
( )
−𝑥−1 − 𝑥−1 1−𝑥
D(cid:128) = × = ( 0)(cid:58)(cid:155)(cid:148)(cid:149)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
×
𝑏 𝑏 𝑐 𝑏𝑐
(cid:143)(cid:148) 𝑎 (cid:10)D𝑎(cid:77)𝑐 𝑎𝑐 𝑐≠
(cid:15)(cid:35)(cid:23)5-3(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:120)(cid:165)(cid:321)(cid:251)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:94)(cid:126)(cid:87)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:24)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
A(cid:77) = B(cid:77) 1 = 1
1 1
𝑏𝑐 𝑏 −𝑎+ 𝑎+
𝑎𝑐 𝑎 −𝑏+ 𝑏+
C(cid:77) = D(cid:77) = 1
1 1 1
0.3𝑎 3𝑎 𝑎 𝑎+
(cid:15)(cid:129)(cid:130) 0 (cid:19) .5𝑎A+ 5𝑎+ 𝑏 𝑏+
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:284)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:90)(cid:105)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:34)0(cid:24)(cid:157)(cid:106)(cid:23)(cid:74)(cid:58)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:58)(cid:111)(cid:155)(cid:218)(cid:141)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)A(cid:128) = (cid:58)(cid:198)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:58)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
𝑏𝑐 𝑏
+
B(cid:128) 1 1 (cid:58)(cid:198) 𝑎𝑐 (cid:23)(cid:86) 𝑎 (cid:39)(cid:40)(cid:58)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85) 全 科 A A
−𝑎+ 1 𝑎+ 1 众 号 ★
公
−𝑏+ ≠ 𝑏+ 关 注
C(cid:128) 1 = 10 (cid:58)(cid:198)(cid:23)(cid:86)(cid:39)(cid:40) 资 (cid:58)(cid:86) 源 (cid:159)(cid:160)，(cid:20)(cid:29)(cid:85)
0.3𝑎 3𝑎 辅
教
0.5𝑎+ 5𝑎+
1
D(cid:128) (cid:58)(cid:198)(cid:23)(cid:86)(cid:39)(cid:40)(cid:58)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
1
𝑎 𝑎+
(cid:143)(cid:148)𝑏(cid:10)≠A𝑏(cid:77)+
【题型6 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
(cid:15)(cid:116)6(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:233)(cid:255)(cid:322)(cid:323)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:68)(cid:24)x(cid:58)y(cid:24)(cid:33)(cid:108)(cid:90)(cid:324)(cid:325)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24)2025(cid:327)(cid:58)(cid:137)(cid:35)(cid:47)
𝑥
(cid:267)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:83) (cid:84)
2𝑥−4𝑦
A(cid:77)(cid:324)(cid:325)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24)2025(cid:327) B(cid:77)(cid:328)(cid:329)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24)25
C(cid:77)(cid:330)(cid:331)(cid:86)(cid:35) D(cid:77)(cid:97)(cid:168)(cid:305)(cid:86)(cid:297)(cid:310)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)C
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:68)(cid:24)(cid:35)(cid:214)(cid:108)(cid:90)(cid:324)(cid:325)(cid:227)(cid:108)(cid:327)(cid:157)(cid:267)(cid:58)(cid:161)(cid:162)(cid:22)(cid:74)(cid:284)(cid:22)(cid:71)(cid:24)(cid:35)(cid:47)(cid:332)(cid:333)(cid:58)(cid:25)(cid:26)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:334)(cid:35)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:89) (cid:284) (cid:24)(cid:33)(cid:108)(cid:90)(cid:324)(cid:325)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24)2025(cid:327)(cid:90)(cid:58)(cid:301)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:34) (cid:58)(cid:22)(cid:71)(cid:34)
2× × 𝑥 𝑦 =2025( )(cid:77) 2025𝑥
2025𝑥−4 2025𝑦 2𝑥−4𝑦(cid:155)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:34)(cid:10) = (cid:58)(cid:335)(cid:60)(cid:104)(cid:198)(cid:22)(cid:23)(cid:227)(cid:108)(cid:58)(cid:113)(cid:155)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:330)(cid:331)(cid:86)(cid:35)(cid:77)
2025( )
2025𝑥 𝑥
(cid:143)(cid:148)(cid:10)C 2𝑥−4𝑦 2𝑥−4𝑦
1
(cid:15)(cid:35)(cid:23)6-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:233)(cid:255)(cid:255)(cid:336)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:112)(cid:22)(cid:23) ( 0)(cid:68)(cid:24) (cid:305)(cid:328)(cid:329)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24) (cid:58)(cid:137)(cid:22)(cid:23)
2
𝑥−3𝑦
(cid:24)(cid:33)(cid:83) (cid:84) 2𝑥 𝑥≠0,𝑦≠ 𝑥,𝑦
1
A(cid:77)(cid:328)(cid:329)(cid:226)(cid:198)(cid:326)(cid:24) B(cid:77)(cid:324)(cid:325)(cid:226)(cid:198)(cid:326)(cid:24)2(cid:327)
2
1
C(cid:77)(cid:334)(cid:35)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24) D(cid:77)(cid:86)(cid:334)(cid:35)
4
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)D
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:68)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:105)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:34)(cid:253)(cid:24)(cid:157)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:77)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:22)
(cid:23)(cid:68)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:24)(cid:325)(cid:329)(cid:35)(cid:47)(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)
1
(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:68) (cid:58) (cid:328)(cid:329)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24) (cid:58)(cid:266)(cid:267)(cid:156)(cid:268)(cid:47)(cid:51)(cid:218)(cid:141)(cid:288)(cid:289)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
2
𝑥 𝑦 1
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19) (cid:22)(cid:23) ( 0)(cid:68)(cid:24) (cid:128) (cid:328)(cid:329)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24) (cid:58)
2
𝑥−3𝑦
+
∵ 12𝑥3 𝑥≠0,𝑦≠ 𝑥 𝑦 A A
科
(cid:198)(cid:22)(cid:23)(cid:47)(cid:34)(cid:10)2 2 = (cid:58)(cid:198)(cid:23)(cid:86)(cid:337)(cid:338)(cid:334)(cid:35)(cid:77) ★ 全
号
𝑥− 𝑦 𝑥−3𝑦 众
公
(cid:143)∴ (cid:148)(cid:10)D(cid:77) 𝑥 2𝑥 关 注
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:35)(cid:23)6-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:144)(cid:145)(cid:339)(cid:233)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:234)(cid:48) (cid:128) (cid:24)(cid:33)(cid:324)(cid:325)3(cid:327)(cid:58)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:83)(cid:274)(cid:274)(cid:84)
2 2
𝑥 −2𝑥𝑦+𝑦
2 2
A(cid:77)(cid:328)(cid:329)3(cid:327) B(cid:77)(cid:86)(cid:35) C(cid:77)(cid:324)(cid:325)𝑥 3𝑦(cid:327) D(cid:77)(cid:324)(cid:325)9(cid:327)𝑥 −𝑦
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)B
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:139)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:284)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:90)(cid:105)(cid:83)(cid:106)(cid:107)
(cid:97)(cid:84)(cid:108)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:34)0(cid:24)(cid:65)(cid:23)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:58)(cid:340)(cid:341)(cid:156)(cid:268)(cid:284)(cid:47)(cid:51)(cid:326)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:33)(cid:24)(cid:35)(cid:47)(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)(cid:110)(cid:111) (cid:128) (cid:24)
(cid:33)(cid:324)(cid:325)3(cid:327)(cid:225)(cid:226)(cid:301)(cid:24) (cid:128) (cid:33)(cid:58)(cid:285)(cid:48)(cid:109)(cid:156)(cid:268)(cid:198)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:340)(cid:341)(cid:47)(cid:51)(cid:301)(cid:22)(cid:23)(cid:66)(cid:104)(cid:198)(cid:22)(cid:23)(cid:279)(cid:288)(cid:58)(cid:180)(cid:217)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:33)𝑥(cid:24)(cid:35)𝑦(cid:47)
(cid:332)(cid:333)(cid:77) 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:48) (cid:128) (cid:24)(cid:33)(cid:324)(cid:325)3(cid:327)(cid:58)(cid:137) (cid:35)(cid:34) (cid:58) (cid:35)(cid:34) (cid:58)(cid:156)(cid:268)(cid:22)(cid:23) (cid:96)(cid:225)(cid:10)
2 2
𝑥 −2𝑥𝑦+𝑦
2 2
) × 𝑥× 𝑦 + ) 𝑥 3𝑥 𝑦 3𝑦 𝑥 −𝑦
2 ) ) 2
(3𝑥 −2 (3𝑥) (3𝑦) (3𝑦
9 +2 9 2
= (3𝑥 −(3𝑦
29 2
𝑥 −18𝑥𝑦 𝑦
2 2
(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:96)(cid:93)(cid:245)(cid:7)(cid:113)(cid:23)9(cid:58)
𝑥 −9𝑦
∵9 9 9( )
= =
29 2 92( )2 2 2
𝑥 −18𝑥𝑦+ 𝑦 𝑥 −2𝑥𝑦+𝑦 𝑥 −2𝑥𝑦+𝑦
2 2 2 2 2 2
∴ 𝑥 −9𝑦 𝑥 −𝑦 𝑥 −𝑦(cid:301)(cid:22)(cid:23)(cid:104)(cid:198)(cid:22)(cid:23)(cid:227)(cid:108)(cid:58)(cid:100)(cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:77)
(cid:143)(cid:148)(cid:10)B(cid:77)
(cid:15)(cid:35)(cid:23)6-3(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:120)(cid:165)(cid:342)(cid:123)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:234)(cid:22)(cid:23) (cid:68)(cid:24) (cid:284) (cid:305)(cid:324)(cid:325)(cid:34)(cid:198)(cid:326)(cid:24)3(cid:327)(cid:267)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:58)
𝐴
(cid:137) (cid:96)(cid:262)(cid:37)(cid:83) (cid:84) 2𝑥+𝑦 𝑥 𝑦
𝐴A(cid:77) B(cid:77) + C(cid:77) D(cid:77)3
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)𝑥 B 𝑥 𝑦 𝑥𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:152)(cid:153)(cid:227)(cid:3)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:139)(cid:96)(cid:218)(cid:141)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:48) (cid:284) (cid:22)(cid:183)(cid:343)(cid:344)(cid:34) (cid:284) (cid:58)(cid:22)(cid:71)(cid:35)(cid:34)2 + =3( + )(cid:77)
A(cid:10)(cid:89) = (cid:90)(cid:58)
𝑥
(cid:137)
𝑦
(cid:22)(cid:74)=( )
3
=
𝑥
9
3𝑦
(cid:58)(cid:345)
9
=
⋅33𝑥 3𝑦
(cid:58)(cid:143)
2𝑥
(cid:155)(cid:148)
𝑦
(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:77)
3( 2 ) 2 2
2 2 2 𝑥 𝑥 𝑥
𝐴 𝑥 3𝑥 𝑥 2𝑥+𝑦 2𝑥+3𝑦(≠2 ) 𝑥+𝑦
B(cid:10)(cid:89) = + (cid:90)(cid:58)(cid:137)(cid:22)(cid:74)= + =3( + )(cid:58)(cid:100)(cid:97) = (cid:58)(cid:143)(cid:155)(cid:148)(cid:149)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:77)
3( )
𝑥+𝑦 𝑥+𝑦
𝐴 𝑥 𝑦 3𝑥 3𝑦 𝑥 𝑦 2𝑥+𝑦 2𝑥+𝑦
C(cid:10)(cid:89) = (cid:90)(cid:58)(cid:137)(cid:22)(cid:74)= =9(cid:58)(cid:345) = (cid:58)(cid:345) = (cid:58)(cid:143)(cid:155)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:77)
3( )
9𝑥𝑦 3𝑥𝑦 𝑥𝑦
D(cid:10)(cid:89) 𝐴 = 𝑥 3 𝑦 (cid:90)(cid:58)(cid:137)(cid:22)(cid:74)=3 3 (cid:58) 𝑥· (cid:345) 3𝑦 3 = 3𝐴 1 3𝑥𝑦3 (cid:58)(cid:143)(cid:155) 2𝑥+ (cid:148) 𝑦 (cid:149)(cid:86) 2𝑥 (cid:159) +𝑦 (cid:160) ≠ (cid:20) 2 (cid:29) 𝑥+𝑦 (cid:77) +
3( ) A
A
科
全
(cid:143)(cid:148)(cid:10)𝐴B(cid:77) 2𝑥+𝑦 2𝑥+𝑦≠2𝑥+𝑦 号 ★
众
公
注
关
，
【题型7 将分式的基本性质将资分 源 式变形】
辅
教
(cid:15)(cid:116)7(cid:19)(cid:83)22-23(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:120)(cid:165)(cid:346)(cid:251)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:86)(cid:334)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:58)(cid:101)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:68)(cid:24)(cid:50)(cid:347)(cid:299)(cid:149)(cid:24)
1−2𝑥
2
(cid:228)(cid:157)(cid:305)(cid:37)(cid:297)(cid:157)(cid:58)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:96)(cid:47)(cid:34)(cid:83) (cid:84) −𝑥 +3𝑥−3
1 1
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
3 3
2𝑥−1 2𝑥−1 2𝑥+ 2𝑥+
2 2 2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)𝑥 +B3𝑥−3 𝑥 −3𝑥+ 𝑥 +3𝑥−3 𝑥 +3𝑥+
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:110)(cid:111)(cid:348)(cid:349)(cid:9)(cid:263)(cid:137)(cid:58)(cid:279)(cid:100)(cid:218)(cid:23)(cid:74)(cid:348)(cid:349)(cid:9)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:260)(cid:350)(cid:47)(cid:51)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
( )
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) = = (cid:77)
( 3) 3
1−2𝑥 − −1+2𝑥 2𝑥−1
2 2 2
(cid:143)(cid:148)B(cid:77) −𝑥 +3𝑥−3 − 𝑥 −3𝑥+ 𝑥 −3𝑥+
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:97)(cid:277)(cid:348)(cid:349)(cid:9)(cid:263)(cid:137)(cid:58)(cid:4)(cid:29)(cid:89)(cid:349)(cid:9)(cid:92)(cid:351)(cid:352)“-”(cid:90)(cid:58)(cid:349)(cid:9)(cid:182)(cid:24)(cid:127)(cid:149)(cid:305)(cid:334)(cid:35)(cid:297)(cid:296)(cid:9)(cid:77)
(cid:15)(cid:35)(cid:23)7-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:353)(cid:354)(cid:354)(cid:255)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:86)(cid:334)(cid:35)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:58)(cid:48)(cid:22)(cid:23) (cid:68)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:24)(cid:228)(cid:157)(cid:305)(cid:47)
0.02𝑥+0.5𝑦
𝑥+0.004𝑦
(cid:34)(cid:65)(cid:157)(cid:58)(cid:109)(cid:335)(cid:60)(cid:34)(cid:83)(cid:274)(cid:274)(cid:84)
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
20𝑥+500𝑦 20𝑥+500𝑦 2𝑥+50𝑦 2𝑥+5𝑦
1000𝑥+4𝑦 100𝑥+4𝑦 1000𝑥+4𝑦 𝑥+4𝑦(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)A
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:90)(cid:105)(cid:97)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:108)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:34)(cid:253)(cid:24)(cid:157)(cid:106)(cid:65)(cid:23)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:77)
(cid:41)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:90)(cid:324)(cid:325)(cid:227)(cid:108)(cid:24)(cid:327)(cid:157)(cid:139)(cid:96)(cid:218)(cid:141)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)
0.02𝑥+0.5𝑦
1000×( 𝑥+0+.004𝑦 )
=
1000×( + )
0.02𝑥 0.5𝑦
=
(cid:77)𝑥 0.004𝑦
20𝑥+500𝑦
(cid:143)(cid:148)
10
(cid:10)
00𝑥A+
(cid:77)
4𝑦
(cid:15)(cid:35)(cid:23)7-2(cid:19)把分式 的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（ ）
2
1−3𝑥
−𝑥+
1
A(cid:77)﹣ B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
2
1−3𝑥 3𝑥−1 3𝑥−1 3𝑥+
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)C𝑥−2 𝑥+ 𝑥−2 𝑥−2
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:112)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:305)(cid:105)﹣1(cid:139)(cid:96). +
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:305)(cid:105)﹣1(cid:58)(cid:225)(cid:58) 号
众
公
注
关
，
(cid:198)(cid:23)=( )×(-1) = (cid:58) 资 源
( 2)×(-1) 辅
1−3𝑥 3𝑥−1教
(cid:143)(cid:148)C −(cid:77)𝑥+ 𝑥−2
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:104)(cid:22)(cid:71)(cid:305)(cid:105)(cid:97)(cid:83)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:84)(cid:108)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:253)(cid:24)(cid:65)(cid:23)(cid:58)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35).
1
(cid:15)(cid:35)(cid:23)7-3(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:231)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:86)(cid:334)(cid:35)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:33)(cid:58)(cid:112)(cid:358)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:24)(cid:127)(cid:149)(cid:228)(cid:157)(cid:305)(cid:47)(cid:34)
0.2𝑥+
5−0.3𝑥
1
(cid:65)(cid:157)(cid:58) =
0.2𝑥+
5−0.3𝑥
10
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) (cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:175)(cid:55)(cid:84)
2𝑥+
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)50(cid:20)−3𝑥(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:284)(cid:22)(cid:71)(cid:163)(cid:262)(cid:108)(cid:90)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:55)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:88)0 (cid:24)(cid:157)(cid:106)(cid:65)(cid:23)(cid:58)
1
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:33)(cid:86)(cid:35)(cid:58)(cid:111)(cid:155)(cid:112)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:90)(cid:105)(cid:97)10(cid:139)(cid:96)(cid:225)(cid:226)(cid:129)(cid:130)(cid:77)
0.2𝑥+
5−0.3𝑥
1 10
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:112)(cid:22)(cid:23) (cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:108)(cid:90)(cid:105)(cid:97)10(cid:225) (cid:58)
0.2𝑥+ 2𝑥+
5−0.3𝑥 50−3𝑥
1 10
= (cid:58)
0.2𝑥+ 2𝑥+
∴5−0.3𝑥 50−3𝑥 10
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)(cid:10) (cid:83)(cid:129)(cid:130)(cid:86)(cid:175)(cid:55)(cid:84)(cid:77)
2𝑥+
50−3𝑥【题型8 约分】
(cid:15)(cid:116)8(cid:19)(cid:83)23-24(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:233)(cid:255)(cid:353)(cid:359)·(cid:216)(cid:202)(cid:360)(cid:361)(cid:84)(cid:94)(cid:126)(cid:49)(cid:22)(cid:297)(cid:310)(cid:24)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
( )( )
A(cid:77) = B(cid:77) =1
6 ( )( )
𝑥 𝑥−1 𝑥−5
2
3
𝑥 4 𝑥 1−𝑥 5−𝑥
C(cid:77) = + D(cid:77) =
2 2 2 2 2
𝑥 + 𝑦 𝑐 +𝑏 𝑐
2 2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) 𝑥+B2𝑦 𝑥 2𝑦 𝑎 +𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:49)(cid:22)(cid:10)(cid:362)(cid:264)(cid:48)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:363)(cid:47)(cid:34)(cid:105)(cid:364)(cid:24)(cid:36)(cid:23)(cid:58)(cid:285)(cid:365)(cid:186)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:24)(cid:50)(cid:325)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:66)(cid:49)(cid:114)(cid:58)
(cid:4)(cid:29)(cid:86)(cid:79)(cid:366)(cid:367)(cid:157)(cid:70)(cid:228)(cid:157)(cid:24)(cid:49)(cid:22)(cid:77)
(cid:41)(cid:42)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:22)(cid:134)(cid:30)(cid:25)(cid:26)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)A(cid:128) = (cid:58)A(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
6
𝑥 3
3
B(cid:128) ( )( ) = ( 𝑥 )( 𝑥 ) =1(cid:58)B(cid:148)(cid:149)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
( )( ) ( )( )
𝑥−1 𝑥−5 𝑥−1 𝑥−5
1−𝑥 5−𝑥 𝑥−1 𝑥−5
4
C(cid:128) (cid:34)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)C(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
2 2
𝑥 + 𝑦
+
𝑥+2𝑦 A A
科
D(cid:128) (cid:34)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)D(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:77) 全
2 2 ★
号
𝑐 +𝑏 众
2 2 公
(cid:143)(cid:148)𝑎(cid:10)+𝑏B(cid:77) 关 注
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:35)(cid:23)8-1(cid:19)(cid:49)(cid:22)(cid:47)(cid:51)(cid:10) = (cid:85) = (cid:77)
2 2 16
𝑎𝑥 𝑥 −4𝑥
2 2
𝑎 𝑥 𝑥 −8𝑥+
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)
𝑥 𝑥
𝑎 𝑥−4
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:264)(cid:279)(cid:198)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:284)(cid:22)(cid:71)(cid:113)(cid:23)(cid:22)(cid:141)(cid:58)(cid:285)(cid:49)(cid:114)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19) = = (cid:85)
2
𝑎𝑥 𝑎𝑥•𝑥 𝑥
2
𝑎 𝑥 𝑎𝑥•𝑎 𝑎
= = .
2 16
𝑥 −4𝑥 𝑥(𝑥−4) 𝑥
2 2
𝑥 −8𝑥+ (𝑥−4) 𝑥−4
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34) (cid:85) .
𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19) 𝑎 (cid:155)(cid:20)𝑥−(cid:98)4(cid:133)(cid:24)(cid:177)(cid:235)(cid:219)(cid:37)(cid:49)(cid:22)(cid:58)(cid:3)(cid:178)(cid:37)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:264)(cid:22)(cid:141)(cid:113)(cid:23)(cid:58)(cid:285)(cid:49)(cid:114)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:77)
?
(cid:15)(cid:35)(cid:23)8-2(cid:19)(cid:83)23-24(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:229)(cid:355)(cid:330)(cid:134)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:368)(cid:368)(cid:91)(cid:47)(cid:51)(cid:22)(cid:23) (cid:90)(cid:225)(cid:226)(cid:24)(cid:335)(cid:60)(cid:34) (cid:58)(cid:137)(cid:369)(cid:209)(cid:22)(cid:24)(cid:156)(cid:157)(cid:23)
2
𝑥−2
2
(cid:221)(cid:213)(cid:37) (cid:77) 𝑥 −4 𝑥+
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)( )
2
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:110)𝑥−(cid:111)2(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:141)(cid:129)(cid:139)(cid:96)(cid:58)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:23)(cid:47)(cid:51)(cid:24)(cid:43)(cid:44)(cid:236)(cid:263)(cid:37)(cid:141)(cid:20)(cid:24)(cid:3)(cid:178)(cid:77)?
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:96)(cid:225)(cid:10) = (cid:58)
2
𝑥−2
2
? 𝑥 −4 𝑥+
= (cid:58)
( 2)( ) 2
𝑥−2
𝑥+ 𝑥−2 𝑥+
? ( )
= (cid:58)
( 2)( ) ( 2)( 2 )
𝑥−2
𝑥 ? + =(𝑥−2 ) (cid:58) 𝑥+ 𝑥−2
2
(cid:143)∴ (cid:129)(cid:130)𝑥(cid:34)−2(cid:10)( ) (cid:77)
2
𝑥−2
(cid:15)(cid:35)(cid:23)8-3(cid:19)(cid:248)(cid:249) (cid:24)(cid:335)(cid:60)(cid:34) (cid:77)
2 2
(𝑥+𝑦) −(𝑥−𝑦)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)1 4𝑥𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:49)(cid:114)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:139)(cid:96)(cid:77)
( ) ( )
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19) = =1
2 2
𝑥+𝑦 − 𝑥−𝑦 4𝑥𝑦
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)1 4𝑥𝑦 4𝑥𝑦
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:22)(cid:58)(cid:89)(cid:22)(cid:74)(cid:128)(cid:22)(cid:71)(cid:37)(cid:370)(cid:149)(cid:23)(cid:90)(cid:58)(cid:362)(cid:264)(cid:79)(cid:112)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:22)(cid:141)(cid:113)(cid:23)(cid:77)
+
【题型9 最简分式】 A A
科
全
★
号
众
公
(cid:15)(cid:116)9(cid:19)(cid:83)23-24(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:229)(cid:355)(cid:371)(cid:372)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)关(cid:234) 注☆(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:37)(cid:55)(cid:64)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:137) (cid:96)(cid:97)(cid:37)(cid:83)(cid:84)
， ☆
资 源 4−
A(cid:77) 教B(cid:77) 辅 C𝑥 (cid:77) −2 D(cid:77)
2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)2𝑥 B 𝑥 4𝑥−𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:58)(cid:139)(cid:96)(cid:218)(cid:141)(cid:77)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:134)(cid:30)(cid:58)(cid:22)(cid:74)(cid:104)(cid:22)(cid:71)(cid:115)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:23)
(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:75)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)A(cid:128)(cid:89) (cid:34) (cid:90)(cid:58) = (cid:58)(cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:143)(cid:213)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
☆
4−2𝑥
2𝑥 𝑥−2 −2
B(cid:128)(cid:89) (cid:34)x(cid:90)(cid:58) (cid:58)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:143)(cid:213)(cid:148)(cid:149)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
☆
4−𝑥
𝑥−2
C(cid:128)(cid:89) (cid:34) (cid:90)(cid:58) = ( ) = (cid:58)(cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:143)(cid:213)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
☆ 2 2
2 4−4𝑥+𝑥 𝑥−2
4𝑥−𝑥 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2
D(cid:128)(cid:89) (cid:34) (cid:90)(cid:58) = ( 2)( ) = (cid:58)(cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:143)(cid:213)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
☆ 2
2 4−𝑥 − 𝑥+ 𝑥−2
(cid:143)(cid:148)(cid:10)B(cid:77)𝑥 𝑥−2 𝑥−2 −𝑥−2
(cid:15)(cid:35)(cid:23)9-1(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:281)(cid:230)(cid:373)(cid:251)·(cid:291)(cid:292)(cid:151)(cid:293)(cid:84)(cid:94)(cid:126)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
3
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
1
𝑥−1 𝑥 3𝑥+ 1−𝑥
2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)𝑥 −B1 2𝑥−2 𝑥 +2𝑥+ 𝑥−1(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:155)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:128)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:47)(cid:51)(cid:87)(cid:177)(cid:235).(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:47)(cid:51)(cid:267)(cid:110)(cid:111)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:260)(cid:350)(cid:25)(cid:26)(cid:139)
(cid:96).
1
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)A. = = (cid:58)(cid:143)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:86)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
( 1)( ) 1
𝑥−1 𝑥−1
2
𝑥 −1 𝑥+ 𝑥−1 𝑥+
B. (cid:58)(cid:148)(cid:149)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:159)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
𝑥
C. 2𝑥−2 3 = 3( 1) = 3 (cid:58)(cid:143)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:86)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
1 ( 1) 1
3𝑥+ 𝑥+
2 2
D. 𝑥 +2𝑥 = + ( 𝑥 ) + = (cid:58) 𝑥+ (cid:143)(cid:148)(cid:149)(cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:86)(cid:160)(cid:20)(cid:29)(cid:85)
1−𝑥 − 𝑥−1
(cid:143)(cid:148)𝑥−(cid:10)1B 𝑥−1 −1
(cid:15)(cid:35)(cid:23)9-2(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:233)(cid:121)(cid:374)(cid:68)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:234) (cid:37)(cid:55)(cid:64)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:137) (cid:96)(cid:97)(cid:37)(cid:83) (cid:84)
16𝑥
1 16−△ △
A(cid:77)x B(cid:77) C(cid:77)4 D(cid:77)
4
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)A 4𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:71)(cid:55)(cid:134)(cid:69)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:58)(cid:67)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:74)(cid:284)(cid:22)(cid:71)(cid:115)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:58)(cid:260)(cid:350)
+
A
(cid:25)(cid:26)(cid:139)(cid:96)(cid:77) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:275)(cid:20)(cid:29)(cid:58) (cid:68)(cid:375)(cid:376)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:58)(cid:67)(cid:22)(cid:74)(cid:22)公(cid:71)(cid:86)(cid:262)(cid:377)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:23)(cid:58)
注
关
，
源
(cid:148)(cid:149)B(cid:128)C(cid:68)(cid:115)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:58)△(cid:156)辅(cid:268)(cid:267)资(cid:61)(cid:378)(cid:23)(cid:86)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:143)(cid:265)(cid:107)(cid:85)
教
(cid:148)(cid:149)D(cid:156)(cid:268)(cid:267)(cid:58)(cid:22)(cid:23)(cid:34) (cid:58)(cid:22)(cid:74)(cid:22)(cid:71)(cid:27)(cid:7)(cid:113)(cid:23)4(cid:58)(cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:143)(cid:265)(cid:107)(cid:77)
16𝑥
(cid:163)(cid:27)(cid:148)(cid:149)A(cid:80)(cid:81)(cid:20)(cid:29)(cid:77) 16−4𝑥
(cid:143)(cid:148)A(cid:77)
( 2)
(cid:15)(cid:35)(cid:23)9-3(cid:19)(cid:234) (cid:34)(cid:244)(cid:157)(cid:58)(cid:22)(cid:23) (cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:137) = .
𝑥 𝑥+
2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)0(cid:106)(cid:379)𝑚4 𝑥 +𝑚 𝑚
( 2)
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:275)(cid:22)(cid:23) (cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:96)(cid:225)x(cid:106)x+2(cid:37)x2+m(cid:24)(cid:55)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:58)(cid:22)(cid:69)x(cid:284)x+2(cid:63)(cid:197)(cid:332)(cid:333)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:370)(cid:149)(cid:23)
𝑥 𝑥+
2
(cid:105)(cid:97)(cid:370)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:380)(cid:249)𝑥 +(cid:263)𝑚(cid:137)(cid:218)(cid:186)m(cid:24)(cid:33)(cid:139)(cid:96).
( 2)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19) (cid:22)(cid:23) (cid:86)(cid:37)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:58)
𝑥 𝑥+
2
x(cid:106)x+2∵(cid:37)x2+m𝑥 +(cid:24)𝑚(cid:55)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:58)
∴(cid:89)x(cid:37)x2+m(cid:24)(cid:55)(cid:64)(cid:113)(cid:23)x(cid:90)(cid:58)(cid:381)(cid:382)(cid:55)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:34)x+a(cid:58)
(cid:137)(cid:27)x(cid:83)x+a(cid:84)=x2+ax=x2+m(cid:58)
m=0(cid:58)
∴(cid:89)x+2(cid:37)x2+m(cid:24)(cid:55)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:90)(cid:58)(cid:381)(cid:382)(cid:55)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:34)x+a(cid:58)
(cid:137)(cid:27)(x+2)(x+a)=x2+(a+2)x+2a=x2+m(cid:58)
+2=0
= (cid:58)
𝑎
∴ 𝑚 2𝑎=
(cid:141)(cid:225)(cid:10) = (cid:58)
𝑎 −2
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)𝑚(cid:10)0 −(cid:106)4 -4.
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:277)(cid:370)(cid:149)(cid:23)(cid:105)(cid:97)(cid:370)(cid:149)(cid:23)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:225)(cid:186)x(cid:106)x+2(cid:37)x2+m(cid:24)(cid:55)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:37)(cid:141)(cid:20)
(cid:3)(cid:178).
【题型10 分式的规律性问题】
1 1
(cid:15)(cid:116)10(cid:19)(cid:83)24-25(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:233)(cid:255)(cid:383)(cid:384)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:294)(cid:177) = +1(cid:83) 0(cid:67) (cid:84)(cid:58) = (cid:58) = (cid:58)…(cid:58)
1
𝑎1
𝑥 𝑥≠ 𝑥≠−1
𝑎2 1−𝑎1 𝑎3 1−𝑎2
= (cid:58)(cid:137) (cid:24)(cid:33)(cid:34) (cid:77)
𝑎𝑛 1−𝑎𝑛−1 𝑎2025
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)
1
𝑥
+
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44) 𝑥+ (cid:20)(cid:132)(cid:79)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:47)(cid:51)(cid:58)(cid:157)(cid:70)(cid:35)(cid:47)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:264)(cid:22)(cid:183)(cid:61)(cid:62)(cid:186)科, A, A , (cid:58)(cid:139)(cid:96)(cid:225)(cid:186)(cid:157)(cid:70)(cid:35)(cid:47)(cid:24)(cid:52)
全
★
号
(cid:53)(cid:58)(cid:260)(cid:217)(cid:225)(cid:186)(cid:129)(cid:130)(cid:77) 公 众 𝑎2 𝑎3𝑎4𝑎5
注
关
，
源
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19) = +1(cid:58) 辅 资
教
∵1𝑎1 𝑥 1 1
= = = (cid:85)
1)
∴𝑎2 1−1(𝑥+ 11−𝑥−1 −𝑥
= = = (cid:85)
1 1 1
) 𝑥
𝑥+
𝑎3
1−1(−𝑥 1𝑥
𝑥+
= = = +1(cid:85)
1 1
𝑥 𝑥+1−𝑥
𝑎4 1−𝑥 1 + 𝑥+ 1 𝑥
= = (cid:85)
1)
𝑎5 1−(𝑥+ −𝑥
⋅(cid:96)⋅⋅(cid:177)(cid:82)(cid:64)(cid:157)(cid:55)(cid:64)(cid:385)(cid:386)(cid:58)
2025÷3=675(cid:58)
= = (cid:77)
1
𝑥
∴𝑎2025 𝑎3 𝑥+
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)(cid:10) (cid:77)
1
𝑥
𝑥+
(cid:15)(cid:35)(cid:23)10-1(cid:19)(cid:83)23-24(cid:269)(cid:118)(cid:119)(cid:168)·(cid:120)(cid:165)(cid:387)(cid:251)·(cid:124)(cid:125)(cid:84)(cid:161)(cid:162)(cid:94)(cid:126)(cid:22)(cid:23)(cid:10) 2 5 , 10 17 , 26 (cid:388)(cid:155)(cid:52)(cid:53)(cid:389)10(cid:64)(cid:22)(cid:23)
2 3 4 5
(cid:37) (cid:77) 𝑥,−𝑥 𝑥 ,−𝑥 𝑥 ⋯,101
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)
10
−𝑥
1
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:53)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:390)(cid:100)(cid:181)(cid:24)(cid:92)(cid:391)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:392)(cid:335)(cid:186)(cid:55)(cid:56)(cid:52)(cid:53)( ) (cid:58)(cid:139)(cid:96)(cid:141)
2
𝑛+1𝑛 +
𝑛
(cid:129)(cid:77) −1 𝑥
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:96)(cid:225)(cid:10)
2 1 1
(cid:389)1(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:10) =( ) (cid:58)
2
+
2
(cid:389)2(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:10) 𝑥 5 = − ( 1 ) 𝑥2 1 (cid:58)
2
+
3
2 2
−10𝑥 −1 3 𝑥 1
(cid:389)3(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:10) =( ) (cid:58)
2
+
4
3 3
(cid:389)4(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:10) 𝑥 17 = − ( 1 ) 𝑥4 1 (cid:58)
2
+
5
4 4
−26𝑥 −15 𝑥1
(cid:389)5(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:10) =( ) (cid:58)
2
+
6
5 5
…… 𝑥 −1 𝑥
1
(cid:389)n(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:10)( ) (cid:58) +
2 A A
(cid:389)10(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:34) − ( 1 𝑛+ ) 1𝑛 𝑥1 + 𝑛 0 1 = 101 (cid:58) 公 众 号 ★ 全 科
2 注
(cid:143) ∴ (cid:129)(cid:130)(cid:34)(cid:10) 101 (cid:77) −1 教
11
𝑥 辅
1 + 0
资−𝑥
源10 ， 关
10
−𝑥
(cid:15)(cid:35)(cid:23)10-2(cid:19)(cid:55)(cid:174)(cid:388)(cid:52)(cid:53)(cid:265)(cid:126)(cid:24)(cid:23)(cid:74)(cid:10) , , ( 0)(cid:58)(cid:109)(cid:68)(cid:389)7(cid:64)(cid:23)(cid:74)(cid:37) (cid:77)
2 5 8 11
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
2 3 4
−𝑎 𝑎 ,−𝑎 𝑎 ,⋯ 𝑎𝑏≠
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)
20
𝑏
7
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)−(cid:110)𝑎(cid:111)(cid:22)(cid:74)(cid:24)(cid:35)(cid:47)(cid:225)(cid:186)(cid:22)(cid:74)(cid:35)(cid:47)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:71)(cid:225)(cid:35)(cid:47)(cid:225)(cid:186)(cid:22)(cid:71)(cid:35)(cid:47)(cid:24)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:157)(cid:159)(cid:9)(cid:24)(cid:35)
(cid:47)(cid:52)(cid:53)(cid:225)(cid:186)(cid:22)(cid:157)(cid:159)(cid:9)(cid:24)(cid:239)(cid:47)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:139)(cid:96)(cid:225)(cid:226)(cid:213)(cid:174)(cid:23)(cid:74)(cid:24)(cid:35)(cid:47)(cid:52)(cid:53)(cid:58)(cid:260)(cid:217)(cid:96)(cid:225)(cid:186)(cid:335)(cid:393)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10)(cid:22)(cid:74)(cid:34) (cid:58)(cid:109)(cid:394)(cid:157)(cid:34)2(cid:58)5(cid:58)8(cid:58)11(cid:58)…(cid:58)(cid:109)(cid:52)(cid:53)(cid:34) (cid:58)
(cid:22)(cid:71)(cid:34) (cid:58)(cid:109)(cid:394)(cid:157)(cid:34)1𝑏(cid:58)2(cid:58)3(cid:58)4(cid:58)…(cid:58)(cid:109)(cid:52)(cid:53)(cid:34) (cid:58) 3𝑛−1
(cid:22)(cid:157)(cid:159)𝑎(cid:9)(cid:34) (cid:58)+(cid:58) (cid:58)+(cid:58)…(cid:58) 𝑛
− −
(cid:389) (cid:64)(cid:23)(cid:74)(cid:37)( ) (cid:58)
3𝑛−1
𝑛𝑏
𝑛
𝑛 −1 𝑎
(cid:389)7(cid:64)(cid:23)(cid:74)(cid:37) (cid:58)
20
𝑏
7
∴ −𝑎
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)(cid:10) (cid:77)
20
𝑏
7
(cid:15)(cid:219)(cid:220)(cid:19)(cid:44)−(cid:20)𝑎(cid:98)(cid:133)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:58)(cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:10)(cid:157)(cid:70)(cid:24)(cid:35)(cid:47)(cid:395)(cid:58)(cid:141)(cid:20)(cid:3)(cid:178)(cid:91)(cid:88)(cid:222)(cid:141)(cid:20)(cid:29)(cid:365)(cid:226)(cid:35)(cid:344)(cid:52)(cid:53)(cid:77)(cid:15)(cid:35)(cid:23)10-3(cid:19)(cid:83)23-24(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)·(cid:144)(cid:145)(cid:39)(cid:305)·(cid:124)(cid:68)(cid:84)(cid:279)(cid:88)(cid:22)(cid:23) = (cid:58)(cid:396)(cid:397)(cid:112)(cid:22)(cid:23) = (cid:75)(cid:76)P(cid:24)(cid:398)(cid:399)(cid:22)(cid:23)(cid:77)(cid:234)
1
𝑥 ′ 1−𝑦
𝑃 𝑦 𝑃 +𝑥
(cid:22)(cid:23) = (cid:58)(cid:22)(cid:23) (cid:37) (cid:24)(cid:398)(cid:399)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:22)(cid:23) (cid:37) (cid:24)(cid:398)(cid:399)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:22)(cid:23) (cid:37) (cid:24)(cid:398)(cid:399)(cid:22)(cid:23)(cid:58)…(cid:97)(cid:155)(cid:395)(cid:400)(cid:58)
𝑎−1
(cid:137)(cid:22)
𝑃
(cid:23)
1 𝑎
(cid:87)(cid:88)
𝑃2
(cid:77)
𝑃1 𝑃3 𝑃2 𝑃4 𝑃3
𝑃2024
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)
𝑎−1
2−𝑎
(cid:15)(cid:22)(cid:131)(cid:19)(cid:44)(cid:20)(cid:98)(cid:133)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:58)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:20)(cid:77)(cid:110)(cid:111)(cid:398)(cid:399)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:134)(cid:30)(cid:135)(cid:299)(cid:218)(cid:186)(cid:200)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:398)(cid:399)(cid:22)(cid:23)(cid:58)(cid:266)(cid:267)(cid:337)
(cid:203)(cid:200)4(cid:64)(cid:34)(cid:55)(cid:385)(cid:386)(cid:58)(cid:285)(cid:401)2024÷4(cid:58)(cid:110)(cid:111)(cid:335)(cid:60)(cid:139)(cid:96)(cid:310)(cid:134)(cid:77)
(cid:15)(cid:140)(cid:141)(cid:19)(cid:141)(cid:10) = (cid:58)
𝑎−1
∵𝑃1 𝑎
= = (cid:58)
1
1−𝑎 1−𝑎
∴ 𝑃2 +𝑎−1 𝑎
= = (cid:58)
1 1
1−𝑎 1−𝑎
∴ 𝑃3 + +𝑎 2−𝑎
= = (cid:58)
1
1−(2−𝑎) 𝑎−1
∴ 𝑃4 +1−𝑎 2−𝑎
= = (cid:58) +
1 1 −(2−𝑎) 𝑎−1 科 A A
全
∴ 𝑃5 = + (cid:58) (𝑎−1) = 𝑎 (cid:58)......(cid:58) 众 号 ★
公
注
关
∴4𝑃(cid:64)5 (cid:55)𝑃(cid:385)1(cid:386)𝑃(cid:58)6 𝑃2
源
，
资
辅
教
∴2024÷4=506(cid:58)
∵
= = (cid:58)
𝑎−1
∴ 𝑃2024 𝑃4 2−𝑎
(cid:143)(cid:129)(cid:130)(cid:34)(cid:10) (cid:77)
𝑎−1
2−𝑎
