文档文本内容
专题 2.2 分式的加法和减法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:19)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:31)(cid:23)(cid:19)........................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:33)(cid:25)(cid:34)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:35)(cid:36)(cid:23)(cid:25)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:39)(cid:40)(cid:23)(cid:41)(cid:42)(cid:23)(cid:24)(cid:19)......................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:19)..........................................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:19)..........................................................................................................................16
知识点2 分式的通分 +
A
A
科
全
★
1. (cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:23)(cid:61)(cid:62)(cid:63)众(cid:34)(cid:64) 号 (cid:65)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:38)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:57)(cid:67)(cid:68)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:31)
公
注
关
，
(cid:23)(cid:69) 源
资
辅
教
2. (cid:59)(cid:60)(cid:23)(cid:25)(cid:31)(cid:23)(cid:70)(cid:57)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:26)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:57)(cid:83)(cid:67)(cid:68)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:69)
3. (cid:31)(cid:23)(cid:26)(cid:84)(cid:85)
(cid:86)1(cid:87)(cid:88)(cid:73)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:89)
(cid:86)2(cid:87)(cid:50)(cid:90)(cid:60)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:91)(cid:92)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:89)
(cid:86)3(cid:87)(cid:50)(cid:74)(cid:93)(cid:26)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:64)(cid:73)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:41)(cid:97)(cid:23)(cid:24)(cid:69)
知识点2 分式的加减
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
±
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:57)(cid:58)(cid:23)(cid:41)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:69)(cid:50)(cid:25)(cid:41)(cid:100)(cid:101)(cid:82) ± = (cid:69)
𝑎 𝑏 𝒂 𝒃
2. (cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) 𝑐 𝑐 𝒄
±
(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:99)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:57)(cid:103)(cid:27)(cid:28)(cid:69)(cid:50)(cid:25)(cid:41)(cid:100)(cid:101)(cid:82) ± = + = (cid:69)
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝒂𝒅 𝒃𝒄
𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑏𝑑 𝒃𝒅
【题型1 同分母分式的加减】
(cid:15)(cid:104)1(cid:19)(cid:86)2024·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:113) 1 = 1 (cid:57)(cid:114)A (cid:115)(cid:86)(cid:116)(cid:87)
1 1
2𝑥+
𝑥+ 𝐴−𝑥+A(cid:69) B(cid:69)2 C(cid:69)3 D(cid:69)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)−3B −2
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:26)(cid:115)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:122)(cid:57)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:123)(cid:93)(cid:124)(cid:3)(cid:125) (cid:26)(cid:38)(cid:25)(cid:57)(cid:88)(cid:124) (cid:26)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) 𝐴 𝐴
1 1
(cid:130)(cid:10) = (cid:57)
1 1
2𝑥+
∵1 𝑥+ 𝐴1−𝑥+
= + =2(cid:69)
1 1
2𝑥+
∴(cid:131)𝐴(cid:132)(cid:10)𝑥+ B(cid:69) 𝑥+
4
(cid:15)(cid:99)(cid:25)1-1(cid:19)(cid:86)2025·(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:138)(cid:109)(cid:87)(cid:62)(cid:30) (cid:26)(cid:139)(cid:140)(cid:115)(cid:86) (cid:87)
2
𝑚
𝑚−2−𝑚−2 2
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
2
𝑚−2 𝑚+
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)−𝑚A−2 𝑚−2 𝑚+ 𝑚−2
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:122)(cid:141)(cid:46)(cid:127)(cid:128)(cid:69)
(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
+
A
A
科
4 ★ 全
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) 号
2 众
公
𝑚 注
关
(2
𝑚
)
−
(
2−𝑚
)
−2
源
，
= = = (2+资)= (cid:57)
2 辅
教
4−𝑚 +𝑚 2−𝑚
(cid:131)(cid:132)𝑚(cid:10)−2A(cid:69) 𝑚−2 − 𝑚 −2−𝑚
(cid:15)(cid:99)(cid:25)1-2(cid:19)(cid:113) = + (cid:57)(cid:114) = (cid:57) = (cid:69)
𝐴𝑥+𝐵 5𝑥 3𝑥−1
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) 2 𝑥 − 3 1𝑥−3 3−𝑥 𝐴 𝐵
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:103)(cid:148)(cid:149)(cid:49)(cid:150)(cid:66)(cid:22)(cid:128)(cid:93)(cid:117)(cid:118)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) = +
𝐴𝑥+𝐵 5𝑥 3𝑥−1
𝑥−3 𝑥−3 3−𝑥
=
5𝑥 3𝑥−1
+−1
= 𝑥−3 𝑥−3
2𝑥
A=2(cid:57)B=1
𝑥−3
∴(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10)2(cid:57)1(cid:69)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:130)(cid:20)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:122)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:69)
(cid:15)(cid:99)(cid:25)1-3(cid:19)(cid:86)2024·(cid:133)(cid:153)(cid:154)(cid:105)·(cid:135)(cid:109)(cid:87)(cid:113) (cid:57) (cid:155)(cid:82)(cid:156)(cid:157)(cid:57)(cid:158) (cid:57)(cid:114)(cid:23)(cid:25) (cid:26)(cid:126)(cid:82)(cid:86) (cid:87)
2 2
𝑎 𝑏 𝑎𝑏
𝑎 𝑏 𝑎≠𝑏 𝑎−𝑏−𝑎−𝑏A(cid:69)0 B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)1
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D −1 −2
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:122)(cid:57)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:30)(cid:88)(cid:126)(cid:57)(cid:156)(cid:157)(cid:26)(cid:40)(cid:159)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:92)(cid:160)(cid:36)(cid:161)(cid:151)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)
(cid:147)(cid:69)(cid:102)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:122)(cid:162)(cid:163)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:103)(cid:62)(cid:30)(cid:57)(cid:139)(cid:44)(cid:156)(cid:157)(cid:26)(cid:40)(cid:159)(cid:57)(cid:29)(cid:164)(cid:88)(cid:93)(cid:117)(cid:118)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) (cid:57) (cid:155)(cid:82)(cid:156)(cid:157)(cid:57)
=1 ∵ 𝑎 𝑏
∴𝑎𝑏
= =
2 2 2 2
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏−𝑎𝑏 𝑎𝑏(𝑎−𝑏)
−
𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏
∵𝑎≠𝑏
= =1
𝑎𝑏(𝑎−𝑏)
∴(cid:131)(cid:132)(cid:10)D(cid:69) 𝑎𝑏
𝑎−𝑏
【题型2 最简公分母】
1 1 1
(cid:15)(cid:104)2(cid:19) + (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115)( )
1 1 +
A
A(cid:69)( 𝑎+ +−1)𝑎( 2 −2𝑎+) 1 − 𝑎 B(cid:69)( +1)( ★+1全)( 科 ) A
号
众
公 2
注
C(cid:69)(𝑎 )( 𝑎−1 +1) 关D(cid:69)(𝑎+1)(𝑎 −2)𝑎 𝑎−1
，
源
2 资 2
辅
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)𝑎−D1 𝑎 −2𝑎教 𝑎 𝑎−1
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:39)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:122)(cid:10)①(cid:168)(cid:140)(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:169)(cid:115)(cid:170)(cid:150)(cid:25)(cid:57)(cid:171)(cid:172)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:173)(cid:115)(cid:73)(cid:150)(cid:174)(cid:157)(cid:26)(cid:29)(cid:175)(cid:7)
(cid:176)(cid:157)(cid:177)(cid:74)(cid:75)(cid:178)(cid:24)(cid:26)(cid:29)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:26)(cid:80)(cid:57)②(cid:168)(cid:140)(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:169)(cid:115)(cid:179)(cid:150)(cid:25)(cid:57)(cid:102)(cid:58)(cid:83)(cid:180)(cid:23)(cid:130)(cid:76)(cid:25)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:58)(cid:182)(cid:60)(cid:76)(cid:25)(cid:183)(cid:68)(cid:165)
(cid:60)(cid:178)(cid:24)(cid:57)(cid:103)(cid:184)(cid:174)(cid:157)(cid:97)(cid:66)(cid:22)(cid:178)(cid:24)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:69)
1 1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) + = (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:10)( +1)( ) (cid:69)
1 1 1 ( )
2
2 2
(cid:131)(cid:132)(cid:10)D(cid:69) 𝑎+ −𝑎 −2𝑎+ 1−𝑎 𝑎+ − 𝑎−1 −𝑎−1 𝑎 𝑎−1
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:57)(cid:145)(cid:146)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:167)(cid:122)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
2 1 3
(cid:15)(cid:99)(cid:25)2-1(cid:19)(cid:86)24-25(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:189)(cid:190)(cid:134)(cid:191)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:23)(cid:25) (cid:57) (cid:57) (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115) (cid:69)
2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)6 3𝑎𝑏 𝑎 𝑏 2𝑎𝑐
2
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)𝑎(cid:20)𝑏(cid:120)𝑐 (cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:57)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:174)(cid:157)(cid:26)(cid:29)(cid:175)(cid:7)(cid:176)(cid:157)(cid:34)(cid:178)(cid:24)(cid:76)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:26)(cid:80)(cid:81)(cid:7)
(cid:23)(cid:24)(cid:57)(cid:90)(cid:194)(cid:26)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:68)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:69)
(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:159)(cid:130)(cid:117)(cid:127)(cid:128)(cid:69)
2 1 3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)(cid:23)(cid:25) (cid:57) (cid:57) (cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115)6 (cid:69)
2
2
3𝑎𝑏 𝑎 𝑏 2𝑎𝑐 𝑎 𝑏𝑐(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10)6 (cid:69)
2
𝑎 𝑏𝑐 2
(cid:15)(cid:99)(cid:25)2-2(cid:19)(cid:23)(cid:25) (cid:34) (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115)(cid:86) (cid:87)
2 2
𝑥 𝑥
2 2 2
A(cid:69)x4-y4 (𝑥+𝑦) B(cid:69)𝑥(x−2𝑦+y2)(x2﹣y2) C(cid:69)(x﹣y)4 D(cid:69)(x+y)2(x﹣y)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:58)(cid:195)(cid:138)(cid:60)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:130)(cid:76)(cid:25)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:167)(cid:122)(cid:130)(cid:117)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) x2-y2=(cid:86)x+y(cid:87)(cid:86)x-y(cid:87)(cid:57)
(cid:86)x+y(cid:87)2(cid:34)x∵2-y2(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:82)(cid:86)x+y(cid:87)2(cid:86)x-y(cid:87)(cid:57)
(cid:131)∴ (cid:132)D(cid:69)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:57)(cid:3)(cid:147)(cid:196)(cid:125)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:197)(cid:39)(cid:23)(cid:130)(cid:76)(cid:25)(cid:69)
1 2 3
(cid:15)(cid:99)(cid:25)2-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:133)(cid:134)(cid:198)(cid:199)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:23)(cid:25) (cid:57) (cid:57) (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115) (cid:69)
6
3
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) ( +2)( ) 𝑥−2 3𝑥+ 𝑥 −4𝑥
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)3(cid:54)𝑥(cid:20)𝑥(cid:120)(cid:121)(cid:142)𝑥(cid:29)−2(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:69)
(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:40)(cid:159)(cid:10)(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:174)(cid:157)(cid:26)(cid:29)(cid:175)(cid:7)(cid:176)(cid:157)(cid:34)(cid:178)(cid:24)(cid:76)(cid:25)(cid:26)(cid:29)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:26)+(cid:80)(cid:81)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:57)(cid:90)(cid:194)(cid:26)(cid:7)
A
A
科
全
★
(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:68)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:127)(cid:128)(cid:88)(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:69) 号
众
公
注
关
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) 2 = 2 (cid:57) 资 3 源 = ，3 = 3 (cid:57)
6 3 教 ( 2辅) ( ) ( 2)( )
3 2
1 2 3𝑥+ 3 𝑥+ 𝑥 −4𝑥 𝑥 𝑥 −4 𝑥 𝑥+ 𝑥−2
(cid:23)(cid:25) (cid:57) (cid:57) (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115) ( +2)( )(cid:57)
6
3
∴(cid:131)(cid:117)(cid:118) 𝑥− (cid:82) 2 (cid:10) 3𝑥+ ( + 𝑥 2 − ) 4(𝑥 )(cid:69) 3𝑥 𝑥 𝑥−2
【题型3 通 3𝑥 分 𝑥 】 𝑥−2
1 1 1 1
(cid:15)(cid:104)3(cid:19)(cid:200)(cid:23)(cid:25) (cid:34)(cid:23)(cid:25) (cid:31)(cid:23)(cid:164)(cid:57) (cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:99)(cid:82)(1+ (cid:57)(cid:114) (cid:26)(cid:23)(cid:41)(cid:99)(cid:82)(cid:86) (cid:87)
1 1
𝑎+ 𝑎+ 2
2 2 2 2
A(cid:69) 1−𝑎 B(cid:69)1 𝑎 + −2𝑎+ 𝑎 −C2(cid:69)𝑎+ 𝑎)D ( (cid:69) 1−𝑎) + 1−𝑎
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)1−A𝑎 𝑎 −1−𝑎 −1 𝑎
1 1
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:102)(cid:51)(cid:52)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115)(cid:86)1+ (cid:57)(cid:200)(cid:23)(cid:25) (cid:99)(cid:82) (cid:57)(cid:23)(cid:41)(cid:177)(cid:23)(cid:24)(cid:169)(cid:96)(cid:92)(cid:86) (cid:57)(cid:127)(cid:128)
1- (1
2
2
(cid:93)(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:69) 𝑎)(1−𝑎) 𝑎 +𝑎)(1−𝑎) 1−𝑎)
1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) = = (cid:69)
1- (1 (1
1−𝑎
2 2
(cid:131)(cid:132)(cid:10)A(cid:69)𝑎 +𝑎)(1−𝑎) +𝑎)(1−𝑎)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:39)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:115)(cid:31)(cid:23)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)5 5
(cid:15)(cid:99)(cid:25)3-1(cid:19)(cid:86)22-23(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:203)(cid:134)(cid:204)(cid:205)·(cid:192)(cid:206)(cid:87)(cid:58) (cid:57) (cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:114) = (cid:57) = .
4 4
𝑦 𝑦
2 2
3 𝑥 6𝑥𝑦 𝑥 6𝑥𝑦
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)
12 2 12
𝑦 10𝑥
2 2
𝑥 𝑦 5 𝑥 𝑦 5
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:102)(cid:207)(cid:124) (cid:57) (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:23)(cid:24)12 (cid:57)(cid:103)(cid:208)(cid:50)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:200) (cid:57) (cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:209)(cid:62)(cid:82)12 (cid:127)(cid:128)(cid:69)
4 4
𝑦 𝑦
2 2
2 2
𝑥 6𝑥𝑦 3 5 5 𝑥 (𝑦) 𝑥 6𝑥𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) = = (cid:57) = = (cid:57)
4 12 12 2 12 12
𝑦 𝑦⋅3𝑦 𝑦 ⋅ 2𝑥 10𝑥
2 2 2 2 2
3 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 6𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10) (cid:57) (cid:69)
12 2 12
𝑦 10𝑥
2 2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)𝑥(cid:120)𝑦(cid:121)(cid:23)𝑥(cid:25)𝑦(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:69)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:41)(cid:177)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:70)(cid:96)(cid:92)(cid:42)(cid:91)(cid:92)
(cid:22)(cid:165)(cid:60)(cid:98)(cid:82)0(cid:26)(cid:33)(cid:25)(cid:57)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:126)(cid:98)(cid:99)(cid:69)
1 1
(cid:15)(cid:99)(cid:25)3-2(cid:19)(cid:23)(cid:25) (cid:34) (cid:31)(cid:23)(cid:164)(cid:26)(cid:139)(cid:140)(cid:115) (cid:69)
2 2
3 𝑥 −3𝑥 𝑥 −9
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) (cid:57)
( 3)( ) ( 3)( )
𝑥+ 𝑥
𝑥 𝑥+ 𝑥−3 𝑥 𝑥+ 𝑥−3
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:31)(cid:23)(cid:26)(cid:167)(cid:122)(cid:88)(cid:130)(cid:127)(cid:128)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) = ( )(cid:57) =( +3)( )(cid:57)
+
A
2 2 科 A
(cid:23)(cid:25) 1 = ∵𝑥1−3 = 𝑥 𝑥 𝑥−33 (cid:57) 𝑥 −9 𝑥 𝑥−3 号 ★ 全
( ) ( 3)( ) 众
𝑥+ 公
2 关 注
∴ 𝑥1−3𝑥 𝑥 𝑥
1
−3 𝑥 𝑥+ 𝑥−3
源
，
(cid:23)(cid:25) = = 资(cid:69)
( 3)( ) (辅3)( )
教 𝑥
2
𝑥 −9 𝑥+ 𝑥−3 𝑥 𝑥+ 𝑥−3
x 3 x
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82) (cid:57) (cid:69)
x(x 3)(x−3) x(x 3)(x−3)
+
+ +
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:210)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:25)(cid:31)(cid:23)(cid:26)(cid:167)(cid:122)(cid:69)
(cid:15)(cid:99)(cid:25)3-3(cid:19)(cid:86)23-24(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:105)(cid:106)(cid:211)(cid:212)·(cid:192)(cid:206)(cid:87)(cid:31)(cid:23)(cid:10)
1
(1) (cid:57) (cid:57) (cid:89)
( )
𝑥 2𝑥
2 2 2
2𝑥−14 6𝑥2−3𝑥 5𝑥 −4
(2) (cid:57) (cid:57) (cid:69)
8 3
4 2 3 2
(cid:15)(cid:117)−(cid:118)𝑥 (cid:19)𝑦
(1)
𝑥(cid:213)𝑦(cid:130)𝑧(cid:119)6𝑥𝑧
(2)(cid:213)(cid:130)(cid:119)
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:207)(cid:214)(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:176)(cid:157)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
(cid:86)1(cid:87)(cid:51)(cid:52)( ) (cid:57) (cid:57) (cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:7)(cid:176)(cid:157)(cid:82) +2)(cid:162)(cid:163)(cid:31)(cid:23)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
2 2 2 2
(cid:86)2(cid:87)(cid:51)(cid:52)82𝑥−(cid:57)4 3 6𝑥−(cid:57)3𝑥 𝑥(cid:26)−(cid:29)4(cid:30)(cid:7)(cid:176)(cid:157)(cid:82)24 12𝑥(𝑥(cid:162)−(cid:163)2)(cid:31)((cid:23)𝑥 (cid:127)(cid:128)(cid:69)
4 2 3 2 4 3 2
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:86)1𝑥(cid:87)𝑦(cid:130)(cid:10)𝑥( 𝑦 𝑧 )6(cid:57)𝑥𝑧 (cid:57) (cid:26)(cid:29)(cid:30)𝑥 (cid:7)𝑦 (cid:23)𝑧 (cid:24)(cid:82) +2)(cid:57)
2 2 2 2
2𝑥3−4 2) 6𝑥−3𝑥 3 𝑥6−4 12𝑥(𝑥−2) (𝑥
= = = (cid:89)
( ) 4 2 2) 3 2 2)
𝑥 𝑥 𝑥 (𝑥+ 𝑥 + 𝑥
2 2 2 2
2𝑥−4 (𝑥−2) 12𝑥(𝑥−2) (𝑥+ 12𝑥(𝑥−2) (𝑥+1 1 2) 16
= = = (cid:89)
2) 2 2)
4(𝑥−2)(𝑥+ −4𝑥 +
2 2 2
6𝑥−3𝑥 −3𝑥(𝑥−2) −12×𝑥(𝑥−2) (𝑥+ 2142𝑥(𝑥−2) (𝑥+
= = = (cid:89)
2)
3 22)
2𝑥 2𝑥 12𝑥 2𝑥(𝑥−2) 𝑥 −48𝑥
2 2 2
𝑥(cid:86)−24(cid:87)(cid:130) (𝑥 (cid:10) +2 8 )(𝑥−2 (cid:57) ) 3 12𝑥(𝑥−(cid:57)2) (𝑥+ (cid:26)(cid:29) 12 (cid:30) 𝑥( (cid:30) 𝑥− (cid:7) 2) (cid:23) (𝑥+ (cid:24)(cid:82)24 (cid:57)
4 2 3 2 4 3 2
1 3𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 6𝑥𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
= (cid:89)
8 24 2 2
𝑦 𝑧
4 4 3 2
− 2𝑥 𝑦 −16𝑥 𝑦 𝑧
= (cid:89)
3 24 2
𝑥 𝑧
2 3 4 3 2
𝑥5 𝑦
=
𝑧 20x3y𝑥3𝑦
(cid:69)
𝑧
6xz2 24x4y3z2
【题型4 异分母分式的加减】
1
(cid:15)(cid:104)4(cid:19)(cid:86)24-25(cid:215)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)·(cid:192)(cid:206)(cid:87)(cid:220)(cid:221)(cid:168)(cid:222)(cid:223)(cid:223)(cid:141)(cid:46) + (cid:26)(cid:224)(cid:225)(cid:10)(cid:114)(cid:188)(cid:226)(cid:227)(cid:122)(cid:197)(cid:39)(cid:26)(cid:115)(cid:86) (cid:87)
𝑥−3
2
𝑥 −4 2−𝑥
1 1
+ = ①
𝑥−3 𝑥−3
2
𝑥 −4 2−𝑥 (𝑥+2)(𝑥 2 −2)−𝑥−2
= + ②
𝑥−3 𝑥+ +
A
=
(𝑥+2)(𝑥−2) ( 𝑥 + 2
③
)(𝑥−2)
全
科 A
★
号
众
公
= 𝑥− 3 − 𝑥 ④−2
关
注
，
源
资
− A 5 (cid:69)(cid:45)(cid:46)(cid:228)(cid:229)(cid:197)(cid:39)教 辅 B(cid:69)(cid:195)①②(cid:230)(cid:84)(cid:169)(cid:75)(cid:231)
C(cid:69)(cid:232)(cid:75)(cid:195)③(cid:84)(cid:75)(cid:231) D(cid:69)(cid:195)②③(cid:230)(cid:84)(cid:169)(cid:75)(cid:231)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:233)(cid:197)(cid:39)(cid:162)(cid:163)(cid:31)(cid:23)(cid:177)(cid:234)(cid:9)(cid:235)(cid:236)(cid:57)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:240)(cid:196)(cid:69)
(cid:102)(cid:162)(cid:163)(cid:31)(cid:23)(cid:103)(cid:162)(cid:163)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:127)(cid:128)(cid:69)
1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) +
𝑥−3
2
𝑥1−4 2−𝑥
= ①
𝑥−3
(𝑥+2)(𝑥−2)−𝑥−2
2
= ②
𝑥−3 𝑥+
(𝑥+2)(𝑥−2)−(𝑥+2)(𝑥−2)
= ③
𝑥−3−𝑥−2
(𝑥+2)(𝑥−2)
= ④
−5
2
(cid:241)(cid:160)𝑥 (cid:57)−4(cid:195)②(cid:84)(cid:177)(cid:195)③(cid:84)(cid:209)(cid:240)(cid:196)(cid:231)(cid:242)(cid:57)
(cid:131)(cid:132)(cid:10)D(cid:69)1
(cid:15)(cid:99)(cid:25)4-1(cid:19)(cid:86)2025·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:62)(cid:30) (cid:26)(cid:139)(cid:140)(cid:115)(cid:86) (cid:87)
𝑚+ 𝑛−1
𝑚 − 𝑛
A(cid:69)1 B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
𝑚−𝑛 𝑛−𝑚 𝑚+𝑛
𝑚𝑛 𝑚𝑛 𝑚𝑛
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)D
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:122)(cid:57)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:145)(cid:146)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:122)(cid:26)(cid:141)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:69)
(cid:247)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:99)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:57)(cid:103)(cid:51)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:122)(cid:122)(cid:114)(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:98)(cid:99)(cid:57)(cid:58)(cid:23)(cid:41)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:162)
(cid:163)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:130)(cid:20)(cid:69)
1 ( 1) ( )
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) = = (cid:57)
𝑚+ 𝑛−1 𝑛 𝑚+ 𝑚 𝑛−1 𝑚+𝑛
(cid:131)(cid:132)(cid:10)D(cid:69) 𝑚 − 𝑛 𝑚𝑛 − 𝑚𝑛 𝑚𝑛
5
(cid:15)(cid:99)(cid:25)4-2(cid:19)(cid:86)24-25(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:248)(cid:249)(cid:133)(cid:244)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:35)(cid:36) = (cid:57)(cid:114) = (cid:57) = (cid:69)
1
𝑥+ 𝐴 𝐵
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) (𝑥+1)(𝑥−3) 𝑥+ −𝑥−3 𝐴 𝐵
−1 −2 =1
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:28)(cid:122)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:38)(cid:25)(cid:250)(cid:251)(cid:162)(cid:163)(cid:31)(cid:23)(cid:45)(cid:46)(cid:164)(cid:93) =5(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:88)(cid:130)(cid:89)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:25)(cid:28)(cid:122)(cid:45)
𝐴−𝐵
(cid:46)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69) −3𝐴−𝐵 A +
A
科
全
★
号
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) 公 众
1 注
𝐴 𝐵 ， 关
𝑥++−1𝑥)−3 资 源
= 教 辅
+
𝐴(𝑥−3)−𝐵(𝑥
( ) ( )
=
(𝑥 1)(𝑥−3)(cid:57)
𝐴−𝐵 𝑥+ −3𝐴−𝐵
(𝑥+1)(𝑥−3)
5
= (cid:57)
1
𝑥+ 𝐴 𝐵
∵ (𝑥+1)(𝑥−3=) 1 𝑥+ −𝑥−3
=5(cid:57)
𝐴−𝐵
∴ −3𝐴−=𝐵
(cid:130)(cid:93)(cid:10) = (cid:57)
𝐴 −1
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:10)𝐵 (cid:57)−2 (cid:69)
−1 −2 5 5
(cid:15)(cid:99)(cid:25)4-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:168)(cid:140) >1(cid:57)(cid:171)(cid:172)(cid:25)(cid:41) (cid:34) (cid:26)(cid:256)(cid:175)(cid:3)(cid:174)(cid:115)(cid:86) (cid:87)
( )
2 2
5 5 5𝑎 5 𝑎−1 𝑎 −1
A(cid:69) > B(cid:69) <
( ) ( )
2 2 2 2
𝑎−51 𝑎5−1 𝑎−1 𝑎 −1
C(cid:69) = D(cid:69)(cid:257)(cid:122)(cid:39)(cid:40)
( )
2 2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)𝑎− A 1 𝑎 −1
5 5
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:122)(cid:57)(cid:58) (cid:34) (cid:66)(cid:28)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:51)(cid:52)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:162)(cid:163)(cid:141)(cid:46)(cid:127)(cid:128)(cid:57)(cid:145)(cid:146)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:115)
( )
2 2
𝑎−1 𝑎 −1(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
5 5
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)
( )
2 2
5( )𝑎−1 −𝑎 5−(1 )
=
( )2( ) ( ) ( 2 )
𝑎 −1 𝑎−1
5( 2) 2 ( −) 2 2
= 𝑎−1 𝑎 −1 𝑎−1 𝑎 −1
(2 ) ( ) 2
𝑎 −1 −5 𝑎−1
5 2( 2 +1)
= 𝑎−1 𝑎 −1
2( ) (2 )
𝑎 −5−5 𝑎 −2𝑎
5 2 +2
= 𝑎−1 𝑎 −1
2( ) (2 )
𝑎 −5−5𝑎 10𝑎−5
2 2
= 𝑎−1 (cid:57)𝑎 −1
( ) ( )
10𝑎−10
2 2
>
𝑎−
1
1(cid:57)𝑎 −1
∵𝑎( ) >0(cid:57)( )>0(cid:57) >0(cid:57)
2 2
∴ 𝑎−1 >0 𝑎 (cid:57) −1 10𝑎−10
( ) ( )
10𝑎−10
2 2
∴ 𝑎−51 𝑎 −51
>0(cid:57)
+
( ) A A
科
2 2 全
∴ 𝑎− 5 1 −𝑎 −51 号 ★
> (cid:57) 公 众
( ) 注
关
∴(cid:131)𝑎(cid:132)−1(cid:10) 2 A(cid:69) 𝑎 2 −1 辅 资 源 ，
教
【题型5 整式与分式的加减】
9
(cid:15)(cid:104)5(cid:19)(cid:86)2024·(cid:252)(cid:253)(cid:258)(cid:216)·(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:35)(cid:36) +1=0(cid:57)(cid:114)4 + (cid:26)(cid:126)(cid:82) (cid:69)
1
2 2
2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)3 𝑎 −3𝑎 𝑎 −9𝑎−2 +𝑎
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:88)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:126)(cid:57)(cid:259)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:44)(cid:236)(cid:26)(cid:99)(cid:260)(cid:261)(cid:33)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:89)(cid:265) +1=0(cid:99)(cid:260)(cid:93)
2 2
= +1= (cid:57)(cid:103)(cid:149)(cid:74)(cid:88)(cid:263)(cid:157)(cid:25)(cid:162)(cid:163)(cid:99)(cid:260)(cid:57)(cid:237)(cid:33)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:89) 𝑎 −3𝑎 𝑎
2
−(cid:15)3(cid:129)𝑎(cid:130)(cid:19)−1(cid:130),𝑎(cid:10) 3𝑎 +1=0(cid:57)
2
= ∵𝑎 +−13𝑎= (cid:57)
2 2
9
∴𝑎 −3𝑎 −1,𝑎 3𝑎
4 +
1+
2
∴ 𝑎 −9𝑎−2 2 9
=4( + 𝑎+
1+
2
𝑎 −3𝑎) 3𝑎9−2 2
= + + 𝑎
−4 3𝑎3−2
= + 3𝑎
3𝑎−6
𝑎3 +3
=
2
𝑎 −6𝑎
3( )+ +3
= 𝑎
2
𝑎 −3𝑎 3𝑎
+ +3
= 𝑎
−3 3𝑎
=3(cid:69)
𝑎
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10)3.
2
(cid:15)(cid:99)(cid:25)5-1(cid:19)(cid:141)(cid:46) (cid:57)(cid:139)(cid:140)(cid:115)(cid:86) (cid:87)
1
𝑥−1−1
2
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
3−𝑥
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) 𝑥−1 D −1 𝑥−2 𝑥−1
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:149)(cid:64)(cid:25)(cid:162)(cid:163)(cid:31)(cid:23)(cid:62)(cid:30)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:162)(cid:165)(cid:84)(cid:141)(cid:46)(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:127)(cid:128).
2 2 3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:265)(cid:20)(cid:123)(cid:93)(cid:10) = = (cid:57)
𝑥−1 −𝑥
(cid:131)(cid:132)(cid:10)D. 𝑥−1−1 𝑥−1−𝑥−1 𝑥−1
+
A
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:122)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:66)(cid:3)(cid:167)(cid:122)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:3)(cid:147). 科 A
全
★
号
众
公
(cid:15)(cid:99)(cid:25)5-2(cid:19)(cid:141)(cid:46) (cid:26)(cid:139)(cid:140)(cid:115) 关(cid:69)注
2 ，
𝑎 源
资
辅
𝑎−𝑏−教𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)
2
𝑏
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)𝑎(cid:51)−𝑏(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:57)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:103)(cid:27)(cid:28)(cid:69)
( ) ( )
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)(cid:64)(cid:25)=
2
𝑎 𝑎 𝑎−𝑏 𝑏 𝑎−𝑏
( ) ( 𝑎)−𝑏− 𝑎−𝑏 − 𝑎−𝑏
=
2
𝑎 −𝑎 𝑎−𝑏 −𝑏 𝑎−𝑏
+ +
= 𝑎−𝑏
2 2 2
𝑎 −𝑎 𝑎𝑏−𝑎𝑏 𝑏
= (cid:69) 𝑎−𝑏
2
𝑏
𝑎−𝑏
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10) (cid:69)
2
𝑏
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)𝑎(cid:20)−𝑏(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:145)(cid:146)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:177)(cid:45)(cid:46)(cid:266)(cid:267)(cid:69)
(cid:15)(cid:99)(cid:25)5-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:215)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:268)(cid:189)(cid:269)(cid:270)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:196)(cid:23)(cid:25)(cid:206)(cid:57)(cid:183)(cid:23)(cid:41)(cid:26)(cid:78)(cid:157)(cid:256)(cid:125)(cid:42)(cid:38)(cid:125)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:78)(cid:157)(cid:70)(cid:57)(cid:271)(cid:180)(cid:272)
(cid:273)(cid:82)“(cid:274)(cid:23)(cid:25)”(cid:57)(cid:183)(cid:23)(cid:41)(cid:26)(cid:78)(cid:157)(cid:175)(cid:125)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:78)(cid:157)(cid:70)(cid:57)(cid:271)(cid:180)(cid:272)(cid:273)(cid:82)“(cid:275)(cid:23)(cid:25)”(cid:57)(cid:274)(cid:23)(cid:25)(cid:128)(cid:92)(cid:62)(cid:63)“(cid:276)(cid:23)(cid:25)”(cid:57)(cid:127)(cid:33)(cid:25)
3 2( 1) 1 1
(cid:34)(cid:275)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:177)(cid:26)(cid:260)(cid:25)(cid:57)(cid:168)(cid:10) = =2+ (cid:69)
1 1 1
2𝑥+ 𝑥+ +
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+(1)(cid:277)(cid:278)(cid:188)(cid:226)“(cid:274)(cid:23)(cid:25)”(cid:62)(cid:63)“(cid:276)(cid:23)(cid:25)”(cid:26)(cid:139)(cid:140)(cid:115)(cid:279)(cid:197)(cid:39)(cid:86)(cid:280)(cid:281)“(cid:115)”(cid:42)(cid:282)“(cid:279)”(cid:87)(cid:69)
1 3 2
① =1+ (cid:86) (cid:87)(cid:89)② = +2+ (cid:86) (cid:87)(cid:69)
2 1 1
𝑥 𝑎 +3𝑎+
(2)(cid:113) 𝑥− (cid:23) 1 (cid:25) 3𝑥 (cid:26) −1 (cid:126)(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57)(cid:88)(cid:283) 𝑎+ (cid:284)(cid:285)(cid:286) 𝑎 (cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:197) 𝑎+ (cid:33)(cid:157)a(cid:26)(cid:126)(cid:89)
．．．
4𝑎+
𝑎−1
6 1
(3)(cid:113)(cid:23)(cid:25) (cid:177) (cid:26)(cid:126)(cid:22)(cid:70)(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57)(cid:88)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:47)(cid:157)x(cid:26)(cid:126)(cid:69)
．．
3𝑥+
3−2𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(1)①(cid:115)(cid:89)②(cid:279)
(2)2(cid:42)8
1
(3) = (cid:42) =1
3
(cid:15)(cid:23)𝑥 (cid:119)(cid:19)(cid:54)𝑥(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:25)(cid:62)(cid:30)(cid:57)(cid:287)(cid:40)(cid:159)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
(cid:86)1(cid:87)①(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:206)(cid:74)(cid:288)(cid:287)(cid:40)(cid:159)(cid:177)(cid:74)(cid:288)(cid:167)(cid:122)(cid:162)(cid:163)(cid:141)(cid:46)(cid:277)(cid:278)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
②(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:206)(cid:74)(cid:288)(cid:287)(cid:40)(cid:159)(cid:177)(cid:74)(cid:288)(cid:167)(cid:122)(cid:162)(cid:163)(cid:141)(cid:46)(cid:277)(cid:278)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
(cid:86)2(cid:87)(cid:265)(cid:20)(cid:206)(cid:74)(cid:288)(cid:167)(cid:122)(cid:62)(cid:82)(cid:276)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:260)(cid:25)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
1 1 6 7
(cid:86)3(cid:87)(cid:289) = (cid:57)(cid:114) = (cid:57)(cid:158)a(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57) 0(cid:57)(cid:114)(cid:75) =2+ (cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:51)(cid:52) +=±1(cid:42) =±7(cid:130)
A
3𝑥+ 科 A
全
(cid:167)(cid:225)(cid:57)(cid:162)𝑎(cid:290)(cid:128) 𝑥 (cid:88)(cid:130)𝑥(cid:69) 𝑎 𝑎≠ 3−2𝑥 号3★𝑎−2 3𝑎−2 3𝑎−2
众
公
注
关
，
源 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:130)(cid:10)①(cid:265)(cid:20)(cid:123)资(cid:128)(cid:93)(cid:10) = =1+ (cid:57)①(cid:197)(cid:39)(cid:57)
辅
教 𝑥 𝑥−1+
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10)(cid:115)(cid:89) 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1
3
②
2 1
𝑎 +3𝑎+
( 𝑎++1) +( +1)+1
=
2 +1
𝑎 𝑎
1
= +1+1𝑎+
+1
𝑎
1
= +2+ (cid:57)𝑎 ②(cid:231)(cid:242)(cid:57)
1
(cid:131)(cid:117)𝑎(cid:118)(cid:82)(cid:10) 𝑎 (cid:279) + (cid:89)
3 4( ) 7 7
(cid:86)2(cid:87)(cid:130)(cid:10) = =4+ (cid:57)
4𝑎+ 𝑎−1 +
(cid:291)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:126)𝑎−(cid:82)1 (cid:33)(cid:157)(cid:57)𝑎−1 𝑎−1
∵ (cid:26)(cid:126)(cid:128)(cid:82)±7(cid:57)±1(cid:57)
∴(cid:292)𝑎−a1(cid:82)(cid:197)(cid:33)(cid:157)(cid:57)
a∵(cid:26)(cid:126)(cid:82)2(cid:42)8(cid:89)
∴6 1
(cid:86)3(cid:87)(cid:130)(cid:10) (cid:23)(cid:25) (cid:177) (cid:26)(cid:126)(cid:22)(cid:70)(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57)
3𝑥+
1 ∵ 3− 1 2𝑥 𝑥
(cid:289) = (cid:57)(cid:114) = (cid:57)(cid:158)a(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57) 0(cid:57)
∴ 𝑎6 𝑥3 1 6𝑥 𝑎 3 2( ) 7 𝑎≠ 7
= = = =2+
1
3𝑥+ ⋅𝑎+ 6𝑎+ 3𝑎−2 +
∴3−2𝑥 =3±−21⋅𝑎(cid:42) 3𝑎−2 =±7 3 (cid:57) 𝑎−2 3𝑎−2
∴3𝑎−2 3𝑎1−2 5
(cid:130)(cid:93) =1(cid:42) = (cid:86)(cid:293)(cid:95)(cid:87)(cid:42) =3(cid:42) = (cid:86)(cid:293)(cid:95)(cid:87)(cid:57)
3 3
𝑎1 𝑎 𝑎 𝑎 −
= (cid:42) =1(cid:69)
3
∴𝑥 𝑥
【题型6 已知分式恒等式确定分子或分母】
3( 1) 5
(cid:15)(cid:104)6(cid:19)(cid:86)23-24(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:297)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:298)(cid:299)(cid:10)(cid:23)(cid:25) (cid:128)(cid:162)(cid:163)(cid:168)(cid:188)(cid:99)(cid:260)(cid:10) = = (cid:69)
1 1 1 1
3𝑥−2 3𝑥−2 𝑥+ −5
𝑥+ 𝑥+ 𝑥+ 3−𝑥+
(cid:300)(cid:301)(cid:10)(cid:168)(cid:140) =5+ (cid:57)(cid:114) = (cid:89)
2 2
5𝑥−3 𝑚
𝑥+ 𝑥+ 𝑚
(cid:302)(cid:139)(cid:10)(cid:168)(cid:140) = + (cid:86)(cid:259)(cid:206)a(cid:57)b(cid:57)c(cid:82)(cid:71)(cid:157)(cid:87)(cid:57)(cid:114) = (cid:89)
𝑎𝑥+𝑏 𝑚
+
𝑥+𝑐 𝑎 𝑥+𝑐 𝑚 A A
(cid:49)(cid:50)(cid:10)(cid:208)(cid:50)(cid:160)(cid:303)(cid:139)(cid:304)(cid:130)(cid:305)(cid:10)(cid:113)(cid:263)(cid:157)(cid:25) (cid:26)(cid:126)(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57)(cid:88)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:26)全(cid:33)(cid:157)
科x(cid:26)(cid:126)(cid:69)
★
4𝑥−3 众 号
公
𝑥−1 注
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(cid:300)(cid:301)(cid:10) (cid:89)(cid:302)(cid:139)(cid:10) (cid:89)(cid:49)(cid:50)(cid:10)关2(cid:42)0
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)−(cid:202)1(cid:120)3(cid:121)教(cid:142)(cid:23)(cid:25)𝑏(cid:62)−(cid:30)𝑎𝑐(cid:88)(cid:126)(cid:57)(cid:306)(cid:39)(cid:23)(cid:119)(cid:141)(cid:46)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
(cid:300)(cid:301)(cid:10)(cid:58)(cid:35)(cid:36)(cid:25)(cid:41)(cid:307)(cid:308)(cid:63)5+ (cid:88)(cid:130)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
2
−13
𝑥+
(cid:302)(cid:139)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:285)(cid:286)(cid:62)(cid:25)(cid:41)(cid:82) = + (cid:141)(cid:46)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
𝑎𝑥+𝑏 𝑏−𝑎𝑐
𝑥+𝑐 𝑎 𝑥 1 +𝑐
(cid:49)(cid:50)(cid:10)(cid:51)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:285)(cid:286)(cid:93)(cid:214) =4+ (cid:57)(cid:103)(cid:51)(cid:52)(cid:263)(cid:157)(cid:25) (cid:26)(cid:126)(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:141)(cid:46)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
4𝑥−3 4𝑥−3
𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1
5( 2)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)(cid:300)(cid:301)(cid:10) = =5+ (cid:57)
2 2 2
5𝑥−3 𝑥+ −13 −13
(cid:74)(cid:92) = (cid:89) 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+
𝑚 −13 ( )
(cid:302)(cid:139)(cid:10) = = + = + (cid:57)
𝑎𝑥+𝑏 𝑎 𝑥+𝑐 +𝑏−𝑎𝑐 𝑏−𝑎𝑐 𝑚
= 𝑥+𝑐 (cid:89) 𝑥+𝑐 𝑎 𝑥+𝑐 𝑎 𝑥+𝑐
∴𝑚 𝑏−𝑎𝑐 4( ) 1 1
(cid:49)(cid:50)(cid:10) = =4+ (cid:57)
4𝑥−3 𝑥−1 +
∵𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1
(cid:292) (cid:263)(cid:157)(cid:25) (cid:26)(cid:126)(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57)
4𝑥−3
∵1 𝑥−1
(cid:82)(cid:33)(cid:157)(cid:57)
∴𝑥−1=1(cid:42) = (cid:57)
∴𝑥−=12(cid:42)0(cid:69)𝑥−1 −1
∴𝑥 K 2K
(cid:15)(cid:99)(cid:25)6-1(cid:19)(cid:113) = + (cid:57)(cid:114)K(cid:309) (cid:69)
3𝑥−4
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)1 (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥−1 𝑥−2
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:177)(cid:37)(cid:38)(cid:3)(cid:174)(cid:127)(cid:128)(cid:88)(cid:130)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)(cid:64)(cid:25)(cid:99)(cid:260)(cid:57)(cid:93)
x
(cid:309) ,
(x x
3𝑥−4 3𝑘 −4𝑘
(𝑥 3 − K 1 (cid:309) )(𝑥 3 − (cid:57) 2) 4K(cid:309)− 4 1(cid:57))( −2)
∴(cid:130)(cid:93)K(cid:309)1(cid:69)
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)1(cid:69)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:57)(cid:130)(cid:305)(cid:54)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:37)(cid:38)(cid:3)(cid:174)(cid:99)(cid:260)(cid:69)
4
(cid:15)(cid:99)(cid:25)6-2(cid:19)(cid:35)(cid:36) = + (cid:57)(cid:114) = (cid:57) = (cid:57) = .
( 4) 4
𝐴 𝐵𝑥+𝐶
2 2 +
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) 1 𝑥 𝑥 + 𝑥 0 𝑥 + 𝐴 𝐵 𝐶 科 A A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:31)(cid:224)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:58)−(cid:38)1(cid:25)(cid:250)(cid:251)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:88)(cid:177)(cid:57)(cid:103)公(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:37)(cid:38)(cid:64)(cid:236)(cid:57)(cid:310)(cid:311)(cid:73)(cid:150)(cid:174)(cid:157)(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:88)(cid:130).
注
关
，
源
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19) +
4
=教
2 4
辅4
)
)
+
资
4)
=
2
4)
4)
=
2 2 4)
(cid:57)
𝐴 𝐵𝑥+𝐶 𝐴(𝑥 + 𝑥(𝐵𝑥+𝐶) 𝐴(𝑥 + +𝑥(𝐵𝑥+𝐶) 𝐴𝑥 +𝐵𝑥 +𝐶𝑥+4𝐴
2 2 2 2 2
4 ∵𝑥 𝑥 + 𝑥(𝑥 + 𝑥(𝑥 + 𝑥(𝑥 + 𝑥(𝑥 +
(cid:292) = + (cid:57)
( 4) 4
𝐴 𝐵𝑥+𝐶
2 2
∵𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 +4
= (cid:57)
2 2 4) ( 4)
𝐴𝑥 +𝐵𝑥 +𝐶𝑥+4𝐴
∴ 𝑥(𝑥
2
+ 𝑥 𝑥
2
+
+ =0 =1
4 =4 (cid:57)(cid:130)(cid:93)(cid:10) = (cid:57)
𝐴 =𝐵 0 𝐴=0
∴ 𝐴 𝐵 −1
(cid:131)(cid:117)(cid:118)𝐶 (cid:115)(cid:10)1(cid:57) (cid:57)0. 𝐶
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)−(cid:202)1(cid:120)(cid:121)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:122)(cid:122)(cid:114)(cid:57)(cid:31)(cid:224)(cid:31)(cid:23)(cid:58)(cid:38)(cid:25)(cid:250)(cid:251)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:88)(cid:177)(cid:57)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147).
6
(cid:15)(cid:99)(cid:25)6-3(cid:19)(cid:86)22-23(cid:215)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:203)(cid:134)(cid:296)(cid:312)·(cid:313)(cid:314)(cid:144)(cid:315)(cid:87)(cid:35)(cid:36) = + (cid:57)(cid:259)(cid:206) (cid:57) (cid:57) (cid:57) (cid:82)(cid:71)
3 1 1 1
𝑥 +10𝑥 𝐴𝑥+𝐵 𝐶𝑥+𝐷
4 2 2 2
(cid:157)(cid:57)(cid:114) + + + = (cid:69) 𝑥 +𝑥 + 𝑥 +𝑥+ 𝑥 −𝑥+ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
(cid:15)(cid:117)(cid:118)𝐴(cid:19)6 𝐵 𝐶 𝐷
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:265)(cid:125) + +1=( +1) =( +1+ )( + )(cid:57)(cid:208)(cid:50)(cid:90)(cid:60)(cid:38)(cid:25)(cid:247)(cid:102)(cid:58)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:25)(cid:250)(cid:251)(cid:31)
4 2 2 2 2 2 2
(cid:23)(cid:62)(cid:30)(cid:57)(cid:181)(cid:164)𝑥(cid:208)(cid:50)(cid:23)𝑥(cid:24)(cid:66)(cid:22)(cid:57)𝑥(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:126)−𝑥(cid:66)(cid:38)(cid:127)𝑥(cid:128)(cid:93)(cid:214)(cid:23)𝑥(cid:41)(cid:66)𝑥 (cid:38)(cid:57)1−(cid:265)𝑥(cid:210)(cid:127)(cid:128)(cid:93)(cid:214)(cid:3)(cid:125) (cid:97) (cid:97) (cid:97) (cid:26)(cid:167)(cid:225)(cid:316)(cid:57)
(cid:130)(cid:167)(cid:225)(cid:316)(cid:127)(cid:128)(cid:88)(cid:130)(cid:69) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷6
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10) = + (cid:57)(cid:158) + +1=( +1) =( +1+ )( + )(cid:57)
3 1 1 1
𝑥 +10𝑥 𝐴𝑥+𝐵 𝐶𝑥+𝐷 4 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2
6 ( ∵𝑥)+(𝑥 + )𝑥(+𝑥+ )( 𝑥 1 −𝑥+ ) 𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1−𝑥
=
3 1 2 1 2
𝑥 +10𝑥 𝐴𝑥+𝐵 𝑥 +1−𝑥 + 𝐶𝑥+𝐷 𝑥 + +𝑥
4 2 4 2
∴ 6 𝑥 +𝑥 + + =( + )𝑥(+𝑥 ++ )+( + )( +1+ )
3 2 2
∴(cid:183)𝑥 =100(cid:70)𝑥(cid:57) 𝐴+𝑥 =𝐵 0𝑥① 1−𝑥 𝐶𝑥 𝐷 𝑥 𝑥
(cid:183)∴ =𝑥 1(cid:70)(cid:57) +𝐵 +𝐷3( + )=16②
(cid:183)𝑥= (cid:70)(cid:57)𝐴3(𝐵 )+𝐶 𝐷 = ③
6𝑥 +−1 =( 𝐵−+𝐴 𝐷)−+𝐶( −+16 )( )+( + )+( + )(1+ ),
3 3 2 3 2
∵(cid:127)6𝑥 +10𝑥 =𝐴(𝑥+ )𝐵𝑥 + 𝐴+𝑥 ( 𝐵 +1−)𝑥( )𝐶𝑥+ 𝐷+𝑥( +𝐶𝑥)(1𝐷+ ) 𝑥
3 3 2 2
+𝑥 =106𝑥④ 𝐴 𝐶 𝑥 𝐵𝑥 𝐴𝑥 𝐵 1−𝑥 𝐷𝑥 𝐶𝑥 𝐷 𝑥
∴(cid:317)𝐴(cid:318) 𝐶 (cid:130)(cid:273)(cid:93)
= ①=②3(cid:97)③④= (cid:97) =2(cid:57)
𝐴 +𝐶 + 𝐵+ −=26(cid:69)𝐷
(cid:131)∴(cid:117)𝐴 (cid:118)𝐵(cid:82)(cid:10)𝐶6(cid:69)𝐷
A
+
A
科
全
★
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:19)(cid:210)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:319)(cid:23)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:20)(cid:320)(cid:310)(cid:311)(cid:321)(cid:322)(cid:57)号(cid:130)(cid:20)(cid:70)(cid:247)(cid:102)(cid:197)(cid:39)(cid:236)(cid:130)(cid:20)(cid:123)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:123)(cid:226)(cid:124)
众
公
注
关
(cid:3)(cid:125) (cid:97) (cid:97) (cid:97) (cid:26)(cid:167)(cid:225)(cid:316)(cid:127)(cid:128)(cid:130)(cid:305)源(cid:323)，(cid:20)(cid:69)
资
辅
教
【题
𝐴 型7𝐵
分
𝐶
式的
𝐷
加减混合运算】
1
(cid:15)(cid:104)7(cid:19)(cid:86)2025·(cid:189)(cid:244)(cid:324)(cid:325)·(cid:165)(cid:109)(cid:87)(cid:141)(cid:46)(cid:10) (cid:188)(cid:326)(cid:115)(cid:327)(cid:22)(cid:11)(cid:26)(cid:130)(cid:117)(cid:224)(cid:225)(cid:10)
𝑎
2 2
𝑎 −𝑏 −𝑎+𝑏
(cid:130)(cid:10)(cid:64)(cid:25)= …(cid:195)(cid:165)(cid:84)
( )( ) ( )( )
𝑎 𝑎−𝑏
𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 − 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
= …(cid:195)(cid:138)(cid:84)
𝑎
2 2
(1)(cid:195)𝑎 (cid:165)−𝑏(cid:84)(cid:26)(cid:328)(cid:52)(cid:115)_____(cid:57)(cid:45)(cid:50)(cid:26)(cid:167)(cid:122)(cid:115)____________(cid:89)
(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:89) (cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:122)(cid:114)(cid:89) (cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:23)(cid:89) (cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:329)(cid:23)(cid:122)(cid:114)(cid:69)
① 1 2 ② ③ ④
(2)(cid:141)(cid:46)(cid:10) (cid:69)
2
𝑥 +2𝑥+
2
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(1𝑥) −1(cid:89)−𝑥−(cid:89)1
(2)1(cid:69) ① ③
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:141)(cid:46)(cid:27)(cid:28)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
(cid:86)1(cid:87)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:23)(cid:127)(cid:128)(cid:93)(cid:124)(cid:139)(cid:140)(cid:89)
(cid:86)2(cid:87)(cid:102)(cid:58)(cid:23)(cid:41)(cid:23)(cid:24)(cid:76)(cid:25)(cid:23)(cid:130)(cid:57)(cid:329)(cid:23)(cid:57)(cid:103)(cid:141)(cid:46)(cid:27)(cid:28)(cid:127)(cid:128)(cid:69)(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:130)(cid:10)(cid:130)(cid:10)(cid:195)(cid:165)(cid:84)(cid:26)(cid:328)(cid:52)(cid:115)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:45)(cid:50)(cid:26)(cid:167)(cid:122)(cid:115)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:23)(cid:57)
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10) (cid:89) (cid:89)
① 1③ 2
(cid:86)2(cid:87)(cid:130)(cid:10)
2
𝑥 +2𝑥+
2
( +1)𝑥 −1 −𝑥−21
=
( +1)( 2 )
𝑥
+1 2 −
= 𝑥 𝑥−1 𝑥−1
𝑥
+ −
= 𝑥−1 𝑥−1
𝑥 1−2
= 𝑥−1
𝑥−1
=1(cid:69)
𝑥−1
8
(cid:15)(cid:99)(cid:25)7-1(cid:19)(cid:86)2024·(cid:243)(cid:244)(cid:330)(cid:295)·(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:87)(cid:102)(cid:62)(cid:30)(cid:57)(cid:103)(cid:88)(cid:126)(cid:10) + (cid:57)(cid:259)(cid:206) = 1(cid:69)
2
𝑥 𝑥
2
4 𝑥+ −𝑥−2 𝑥 −4 𝑥 −
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19) (cid:57)
2
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)−(cid:51) 𝑥 (cid:52) + (cid:32)(cid:23)−4(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:122)(cid:114)(cid:162)(cid:163)(cid:141)(cid:46)(cid:127)(cid:128)(cid:69)
+
A
A
科
(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:30)(cid:88)(cid:126)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:66)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:122)(cid:114)全(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
★
号
众
公
注
( ) ( 2) 关 8
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)(cid:64)(cid:25)= ，+
(
𝑥
2
𝑥辅
)
−
(
2
资) (源
𝑥
2
𝑥
)
+
( ) ( )( 2)
教
+8 𝑥+ 𝑥−2 − 𝑥+ 𝑥−2 𝑥−2 𝑥+
=
2( +2)2( )
𝑥 −2𝑥−𝑥 −2𝑥
( )
= 𝑥 𝑥−2
( +2)( )
−4 𝑥−2
= 𝑥 4 (cid:57) 𝑥−2
2
−𝑥+
4
(cid:183) = 1(cid:70)(cid:57)(cid:64)(cid:25)= = (cid:69)
2
(cid:15)𝑥(cid:99)(cid:25)−7-2(cid:19)(cid:86)23-24−(cid:185)−(cid:186)1+(cid:187)(cid:160)−·(cid:229)4(cid:331)·(cid:170)(cid:332)(cid:112)(cid:333)(cid:87)(cid:141)(cid:46)(cid:10)
1 2 3
(1) + (cid:89)
2 3
2 2 2
𝑥 𝑦 𝑥 −4𝑥𝑦
3 1
(2) + (cid:89)
2
2𝑥
2
𝑥+ 2−𝑥−4−𝑥
1
(3) + (cid:89)
𝑥
1−1−𝑥 𝑥−1
(4) +1 + (cid:69)
21 2 1
𝑎 𝑎 −1
2
𝑎+ −𝑎 8 𝑎 +2𝑎+
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(1) (cid:89)
12 2
6𝑦+ 𝑦 −9𝑥
2 2
𝑥 𝑦4
(2) (cid:89)
2
𝑥+
(3) (cid:89)
2𝑥
𝑥−1
(4) (cid:69)
1
𝑎
𝑎+
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:261)(cid:45)(cid:46)(cid:266)(cid:267)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:69)
(cid:86)1(cid:87)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:103)(cid:51)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:93)(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:86)2(cid:87)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:103)(cid:51)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:93)(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:86)3(cid:87)(cid:334)(cid:9)(cid:335)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:103)(cid:51)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:93)(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:89)
(cid:86)4(cid:87)(cid:334)(cid:9)(cid:335)(cid:102)(cid:31)(cid:23)(cid:57)(cid:23)(cid:41)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:130)(cid:76)(cid:25)(cid:57)(cid:103)(cid:51)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:141)(cid:46)(cid:57)(cid:127)(cid:128)(cid:93)(cid:124)(cid:117)(cid:118)(cid:69)
1 2 3
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:130)(cid:10) +
2 3
2 2 2
8 𝑥 𝑦 𝑥 −4𝑥𝑦
= +
12 12 2 12
6𝑦 𝑦 9𝑥
2 2 2 2− 2 2
8
= 𝑥 𝑦 (cid:89)𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
12 2
6𝑦+ 𝑦 −9𝑥
2 2 +
𝑥 𝑦 3 1 科 A A
(cid:86)2(cid:87)(cid:130)(cid:10) + 全
2 ★
2𝑥 众 号
2 公
3( )𝑥+ +22−𝑥−4−𝑥
关
注
= + ，
源
资
𝑥−2 𝑥 教2𝑥 辅
3(2 )− 2 + 2
= 𝑥 −4 𝑥 −4 𝑥 −4
𝑥−2 −𝑥−2 2𝑥
2
= 𝑥 −4
( +2)( )
4𝑥−8
= 𝑥4 (cid:89) 𝑥−2
2
𝑥+
1
(cid:86)3(cid:87)(cid:130)(cid:10) +
𝑥
11−1−𝑥 𝑥−1
=
1−𝑥 𝑥
− −
= 1−𝑥 1−𝑥 1−𝑥
1−𝑥−1−𝑥
= 1(cid:89)−𝑥
2𝑥
𝑥−1
(cid:86)4(cid:87)(cid:130)(cid:10) +1 +
21 2 1
𝑎 𝑎 −1
2
(𝑎++−1𝑎)( ) 𝑎 +(2𝑎++1)( )
= +
+21 +1 ( +1)
𝑎 𝑎 𝑎−1 𝑎 𝑎−1
1 − 2
= 𝑎 + 𝑎 𝑎
+1 +1
𝑎−1
𝑎 𝑎= (cid:69)
1
𝑎
𝑎+
(cid:15)(cid:99)(cid:25)7-3(cid:19)(cid:141)(cid:46)(cid:10)
1 1 1 1
(1) + + + + (cid:69)
1) 2) 3) 2023)
𝑥(𝑥+ (𝑥+1)(𝑥+ (𝑥+2)(𝑥+ ⋯ (𝑥+2022)(𝑥+
(2) + + (cid:69)
2𝑎−𝑏−𝑐 2𝑏−𝑐−𝑎 2𝑐−𝑏−𝑎
(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐) 2 ( 0 𝑏 2 − 3 𝑐)(𝑏−𝑎) (𝑐−𝑏)(𝑐−𝑎)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(1)
2
(2)0 𝑥 +2023𝑥
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:115)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:89)
(cid:86)1(cid:87)(cid:102)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:55)(cid:56)(cid:162)(cid:163)(cid:99)(cid:260)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:103)(cid:208)(cid:50)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:128)(cid:162)(cid:163)(cid:88)(cid:130)(cid:89)
(cid:86)2(cid:87)(cid:51)(cid:52)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:122)(cid:45)(cid:46)(cid:128)(cid:162)(cid:163)(cid:88)(cid:130)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:130)(cid:10)(cid:64)(cid:25)= + + + +
1 1 2 2 3 2022 2023
1 1 + 𝑥−𝑥+ 𝑥+ −𝑥+ 𝑥+ −𝑥+ ⋯ 𝑥+ −𝑥+
= =
+2023 ( +2023)
𝑥 2023−𝑥
+
=𝑥 − 20𝑥23 = 202 𝑥 3 𝑥(cid:69) 全 科 A A
( 2023) 号 ★
众
2 公
𝑥 𝑥+ 𝑥 +2023𝑥 注
1 1 1 1 关1 1
(cid:86)2(cid:87)(cid:130)(cid:10)(cid:64)(cid:25)= + + + ，+ +
源
资
辅
教
𝑎−𝑐 𝑎−𝑏 𝑏−𝑎 𝑏−𝑐 𝑐−𝑎 𝑐−𝑏
1 1 1 1 1 1
= + + =0(cid:69)
𝑎−𝑐 𝑎−𝑏−𝑎−𝑏 𝑏−𝑐−𝑎−𝑐−𝑏−𝑐
【题型8 分式加减的实际应用】
(cid:15)(cid:104)8(cid:19)(cid:86)24-25(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:189)(cid:190)(cid:336)(cid:189)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:327)(cid:337)(cid:225)(cid:338)(cid:202)(cid:339)(cid:340) (cid:341)(cid:57)(cid:64)(cid:141)(cid:342)(cid:343)(cid:209)(cid:182)(cid:248)(cid:339) (cid:341)(cid:69)(cid:76)(cid:248)(cid:344)(cid:64)(cid:76)(cid:57)(cid:343)(cid:209)
(cid:182)(cid:248)(cid:345)(cid:339) (cid:341)(cid:86) < (cid:87)(cid:69)(cid:76)(cid:210)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:228)(cid:63)(cid:337)(cid:225)(cid:26)(cid:70)(cid:346)(cid:310)(cid:64)(cid:141)(cid:342)𝑎 (cid:347)(cid:348)(cid:26)(cid:248)(cid:157)(cid:82)(cid:86) (cid:87) 𝑏
𝑐 𝑐 𝑏
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
( ) ( ) ( ) ( )
𝑎𝑏 𝑎𝑐 𝑎𝑏 𝑎𝑐
𝑏 𝑏−𝑐 𝑏 𝑏−𝑐 𝑏 𝑏+𝑐 𝑏 𝑏+𝑐
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)B
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:210)(cid:20)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:57)
(cid:51)(cid:52)(cid:64)(cid:141)(cid:342)(cid:177)(cid:47)(cid:48)(cid:26)(cid:337)(cid:81)(cid:349)(cid:350)(cid:57)(cid:23)(cid:61)(cid:88)(cid:124)(cid:228)(cid:63)(cid:70)(cid:346)(cid:57)(cid:103)(cid:141)(cid:46)(cid:230)(cid:282)(cid:26)(cid:351)(cid:126)(cid:127)(cid:82)(cid:347)(cid:348)(cid:248)(cid:157)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:64)(cid:141)(cid:342)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10)(cid:302)(cid:340)(cid:225)(cid:82) (cid:341)(cid:57)(cid:64)(cid:141)(cid:342)(cid:182)(cid:248)(cid:339) (cid:341)(cid:57)(cid:131)(cid:64)(cid:141)(cid:342)(cid:228)(cid:63)(cid:70)(cid:346)(cid:82) (cid:248)(cid:69)
𝑎
𝑎 𝑏 𝑏
(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10)(cid:47)(cid:48)(cid:182)(cid:248)(cid:339) (cid:341)(cid:57)(cid:131)(cid:47)(cid:48)(cid:228)(cid:63)(cid:70)(cid:346)(cid:82) (cid:248)(cid:69)
𝑎
(cid:347)(cid:348)(cid:248)(cid:157)(cid:82)(cid:47)(cid:48)(cid:70)(cid:346)(cid:28)(cid:95)𝑏−(cid:64)𝑐(cid:141)(cid:342)(cid:70)(cid:346)(cid:57) 𝑏−𝑐
∴
𝑎 𝑎
∴𝑏−𝑐−𝑏( )
=
( )
𝑎⋅𝑏−𝑎⋅ 𝑏−𝑐
+
= 𝑏 𝑏−𝑐
( )
𝑎𝑏−𝑎𝑏 𝑎𝑐
= 𝑏 𝑏−(cid:69)𝑐
( )
𝑎𝑐
𝑏 𝑏−𝑐
(cid:131)(cid:132)(cid:10)B(cid:69)
(cid:15)(cid:99)(cid:25)8-1(cid:19)(cid:86)24-25(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:352)(cid:353)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:230)(cid:354)(cid:66)(cid:355)n(cid:356)(cid:341)(cid:57)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:184)(cid:165)(cid:354)(cid:214)(cid:362)(cid:165)(cid:354)(cid:202)(cid:50)t(cid:175)(cid:70)(cid:57)(cid:357)(cid:358)
(cid:164)(cid:163)(cid:361)(cid:70)(cid:346)(cid:28)(cid:345)(cid:142)1(cid:175)(cid:70)(cid:57)(cid:357)(cid:358)(cid:164)(cid:360)(cid:361)(cid:310)(cid:64)(cid:65)(cid:358)(cid:363)(cid:364)(cid:142) (cid:356)(cid:341)/(cid:175)(cid:70)(cid:69)((cid:139)(cid:140)(cid:62)(cid:82)(cid:29)(cid:30)(cid:260)(cid:25))
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)
𝑛
2
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)𝑡(cid:54)−(cid:20)𝑡 (cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:97)(cid:226)(cid:263)(cid:157)(cid:25)(cid:38)(cid:36)(cid:161)(cid:151)(cid:57)(cid:145)(cid:146)(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:122)(cid:114)(cid:63)(cid:82)(cid:130)(cid:20)(cid:26)
(cid:3)(cid:147)(cid:69)
(cid:102)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:123)(cid:100)(cid:101)(cid:124)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:164)(cid:360)(cid:361)(cid:26)(cid:358)(cid:363)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:81)(cid:351)(cid:237)(cid:45)(cid:46)(cid:127)(cid:128)(cid:130)(cid:117)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)(cid:265)(cid:20)(cid:123)(cid:128)(cid:93)(cid:10)
(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:358)(cid:363)(cid:82)(cid:10) (cid:57)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:361)(cid:358)(cid:363)(cid:82)(cid:10) (cid:57) +
A
𝑛 𝑛 科 A
全
𝑡 ( 𝑡−1 ) ( 号) ★
(cid:357)(cid:358)(cid:164)(cid:360)(cid:361)(cid:310)(cid:64)(cid:65)(cid:358)(cid:363)(cid:364)(cid:142) = =公 众= = (cid:69)
( ) ( 注) ( ) ( )
𝑛 𝑛 𝑛𝑡 关𝑛 𝑡−1 𝑛𝑡− 𝑛𝑡−𝑛 𝑛 𝑛
， 2
𝑡− 资 1−𝑡源𝑡 𝑡−1 −𝑡 𝑡−1 𝑡 𝑡−1 𝑡 𝑡−1 𝑡 −𝑡
(cid:131)(cid:117)(cid:118)(cid:82)(cid:10) (cid:69) 教 辅
𝑛
2
(cid:15)(cid:99)(cid:25)8-2(cid:19)𝑡(cid:86)−𝑡 24-25(cid:365)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:243)(cid:244)(cid:244)(cid:216)·(cid:313)(cid:314)(cid:144)(cid:315)(cid:87)(cid:366)(cid:367)(cid:26)(cid:170)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:73)(cid:372)(cid:76)(cid:373)(cid:98)(cid:278)(cid:99)(cid:374)(cid:57)(cid:165)(cid:314)(cid:70)(cid:346)(cid:335)(cid:57)(cid:327)
(cid:375)(cid:141)(cid:342)(cid:95)(cid:27)(cid:367)(cid:376)(cid:27)(cid:230)(cid:78)(cid:367)(cid:57)(cid:230)(cid:78)(cid:27)(cid:367)(cid:70)(cid:366)(cid:367)(cid:170)(cid:368)(cid:98)(cid:22)(cid:57)(cid:377)(cid:75)(cid:230)(cid:372)(cid:27)(cid:367)(cid:167)(cid:118)(cid:10)(cid:378)(cid:167)(cid:118)(cid:10)(cid:182)(cid:78)(cid:27)(cid:367)(cid:26)(cid:302)(cid:379)(cid:380)(cid:381)
(cid:40)(cid:89)(cid:382)(cid:167)(cid:118)(cid:10)(cid:182)(cid:78)(cid:74)(cid:27)(cid:26)(cid:367)(cid:383)(cid:381)(cid:40)(cid:69)(cid:113)(cid:384)(cid:40)(cid:343)(cid:209)(cid:170)(cid:368)(cid:385)(cid:386)(cid:57)(cid:114)(cid:291)(cid:27)(cid:367)(cid:167)(cid:118)(cid:385)(cid:47)(cid:387)(cid:57)(cid:98)(cid:120)(cid:388)(cid:259)(cid:389)(cid:76)(cid:373)(cid:390)(cid:391)(cid:57)
(cid:114)(cid:86) (cid:87)
A(cid:69)(cid:378)(cid:167)(cid:118)(cid:47)(cid:387) B(cid:69)(cid:382)(cid:167)(cid:118)(cid:47)(cid:387)
C(cid:69)(cid:392)(cid:372)(cid:167)(cid:118)(cid:47)(cid:387)(cid:233)(cid:265)(cid:230)(cid:78)(cid:367)(cid:368)(cid:305)(cid:40) D(cid:69)(cid:230)(cid:372)(cid:167)(cid:118)(cid:165)(cid:194)(cid:47)(cid:387)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)A
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:310)(cid:311)(cid:122)(cid:196)(cid:98)(cid:38)(cid:25)(cid:256)(cid:175)(cid:310)(cid:311)(cid:206)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:289)(cid:230)(cid:78)(cid:27)(cid:367)(cid:26)(cid:367)(cid:368)(cid:23)(cid:61)(cid:82)a(cid:57) >0(cid:158) (cid:200)
(cid:230)(cid:78)(cid:27)(cid:367)(cid:26)(cid:343)(cid:209)(cid:367)(cid:368)(cid:23)(cid:61)(cid:50)a(cid:57)b(cid:100)(cid:101)(cid:124)(cid:65)(cid:57)(cid:81)(cid:351)(cid:127)(cid:128)(cid:310)(cid:311)(cid:256)(cid:175)(cid:69) 𝑏 𝑎≠𝑏
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:130)(cid:10)(cid:289)(cid:230)(cid:78)(cid:27)(cid:367)(cid:26)(cid:367)(cid:368)(cid:23)(cid:61)(cid:82)a(cid:57) >0(cid:158) (cid:57)
(cid:378)(cid:167)(cid:118)(cid:10)(cid:289)(cid:182)(cid:78)(cid:27)(cid:367)(cid:302)(cid:379)(cid:380)(cid:82)W(cid:57)(cid:114)(cid:343)(cid:209)(cid:367)𝑏(cid:368) = 𝑎≠ = 𝑏 2 = (cid:89)
1 1
2𝑊 2𝑎𝑏
𝑊 𝑊
𝑥 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏
(cid:382)(cid:167)(cid:118)(cid:10)(cid:289)(cid:182)(cid:78)(cid:27)(cid:367)(cid:383)(cid:82)N(cid:57)(cid:114)(cid:343)(cid:209)(cid:367)(cid:368) = = (cid:57)
2
𝑎𝑁+𝑏𝑁 𝑎+𝑏
𝑦 2𝑁( ) ( )
(cid:114) = = = (cid:57)
2 2( ) 2 2( )2
2𝑎𝑏 𝑎+𝑏 4𝑎𝑏− 𝑎+𝑏 − 𝑎−𝑏
(cid:76)𝑥(cid:82)−(cid:57)𝑦a(cid:57)𝑎+𝑏>−0(cid:158) (cid:57)𝑎+𝑏 𝑎+𝑏
(cid:74)(cid:92)(cid:57) +𝑏 >0(cid:57)𝑎(≠𝑏) >0(cid:57)
2
(cid:74)(cid:92)(cid:57)𝑎 𝑏<0(cid:57) 𝑎−𝑏
(cid:74)(cid:92)(cid:57)𝑥−<𝑦 (cid:57)(cid:378)(cid:167)(cid:118)(cid:47)(cid:387)(cid:69)
(cid:131)(cid:132)(cid:10)𝑥A(cid:69)𝑦
(cid:15)(cid:99)(cid:25)8-3(cid:19)(cid:86)24-25(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:160)·(cid:393)(cid:394)(cid:395)(cid:396)·(cid:192)(cid:193)(cid:87)(cid:327)(cid:397)(cid:398)(cid:7)(cid:399)(cid:400)(cid:201)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:406)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:57)(cid:200)(cid:196)(cid:165)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:177)(cid:138)(cid:410)
(cid:23)(cid:413)(cid:206)(cid:414)(cid:415)(cid:163)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:69)(cid:168)(cid:222)(cid:57)(cid:7)(cid:399)(cid:106)(cid:418)(cid:289)(cid:419)(cid:170)(cid:420)(cid:160)(cid:163)(cid:421)(cid:374)(cid:422)(cid:423)(cid:57)(cid:244)(cid:418)(cid:289)(cid:419)(cid:170)(cid:420)(cid:188)(cid:163)(cid:421)(cid:374)(cid:422)(cid:423)(cid:57)(cid:421)(cid:374)(cid:422)(cid:423)
(cid:26)(cid:296)(cid:363)(cid:209)(cid:82) m(cid:57)(cid:259)(cid:45)(cid:163)(cid:358)(cid:363)(cid:209)(cid:82) m/s( <0.4)(cid:183)(cid:422)(cid:423)(cid:424)(cid:425)(cid:70)(cid:57)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:160)(cid:163)(cid:97)(cid:188)(cid:163)(cid:26)(cid:358)(cid:363)(cid:23)(cid:61)(cid:82)0.4m/s(cid:57)
0.6m/s(cid:69)(cid:384)(cid:40)𝑠 (cid:10)①(cid:337)(cid:81)(cid:192)(cid:346)(cid:421)(cid:374)(cid:422)𝑣 (cid:423)(cid:426)𝑣(cid:427)(cid:235)(cid:125)(cid:45)(cid:163)(cid:428)(cid:429)(cid:89)②(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:232)(cid:128)(cid:132)(cid:430)(cid:165)(cid:418)(cid:26)(cid:422)(cid:423)(cid:57)(cid:237)(cid:196)(cid:165)(cid:410)(cid:177)(cid:138)(cid:410)
(cid:346)(cid:162)(cid:163)(cid:165)(cid:78)(cid:431)(cid:432)(cid:57)(cid:433)(cid:82)(cid:228)(cid:63)(cid:165)(cid:78)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:69)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(1)(cid:274)(cid:168)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:132)(cid:430)(cid:244)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:45)(cid:163)(cid:70)源(cid:228)(cid:63)，(cid:165)(cid:78)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:57)(cid:88)(cid:74)(cid:233)(cid:70)(cid:346)(cid:89)(cid:86)(cid:50)(cid:434) (cid:57) (cid:26)(cid:263)(cid:157)(cid:25)(cid:100)(cid:101)(cid:87)
资
辅
教
(2)(cid:435)(cid:436)(cid:277)(cid:278)(cid:165)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:289)(cid:419)(cid:196)(cid:7)(cid:399)(cid:392)(cid:165)(cid:418)(cid:57)(cid:437)(cid:93)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:26)(cid:405)(cid:406)(cid:349)(cid:350)(cid:438)(cid:77)(cid:439)(cid:237)(cid:227)(cid:440)𝑠 (cid:236)𝑣(cid:265)(cid:69)
(cid:15)(cid:117)(cid:118)(cid:19)(1)
( )(3 )
25𝑠
2−5𝑣 +5𝑣
(2)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:132)(cid:430)(cid:184)(cid:106)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:45)(cid:163)(cid:70)(cid:228)(cid:63)(cid:165)(cid:78)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:405)(cid:406)(cid:349)(cid:350)(cid:438)(cid:77)(cid:89)(cid:236)(cid:265)(cid:213)(cid:130)(cid:119)
(cid:15)(cid:23)(cid:119)(cid:19)(cid:54)(cid:20)(cid:201)(cid:202)(cid:120)(cid:121)(cid:142)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:57)(cid:130)(cid:20)(cid:26)(cid:3)(cid:147)(cid:115)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:123)(cid:226)(cid:124)(cid:46)(cid:25)(cid:57)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:23)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)
(cid:122)(cid:114)(cid:69)
(cid:86)1(cid:87)(cid:51)(cid:52)(cid:358)(cid:363)(cid:97)(cid:340)(cid:225)(cid:97)(cid:70)(cid:346)(cid:3)(cid:174)(cid:57)(cid:23)(cid:61)(cid:88)(cid:124)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:160)(cid:163)(cid:74)(cid:50)(cid:70)(cid:346)(cid:177)(cid:188)(cid:163)(cid:74)(cid:50)(cid:70)(cid:346)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:66)(cid:27)(cid:127)(cid:128)(cid:89)
(cid:86)2(cid:87)(cid:102)(cid:88)(cid:124)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:132)(cid:430)(cid:106)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:45)(cid:163)(cid:70)(cid:228)(cid:63)(cid:165)(cid:78)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:57)(cid:74)(cid:233)(cid:70)(cid:346)(cid:57)(cid:181)(cid:164)(cid:34)(cid:130)(cid:119)(cid:86)1(cid:87)(cid:206)(cid:88)(cid:124)(cid:26)(cid:70)(cid:346)(cid:162)
(cid:163)(cid:310)(cid:311)(cid:127)(cid:128)(cid:69)
(cid:15)(cid:129)(cid:130)(cid:19)(cid:86)1(cid:87)(cid:130)(cid:10)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:184)(cid:244)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:160)(cid:163)(cid:233)(cid:202)(cid:26)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10) = (cid:57)
上
𝑠
𝑡 0.4−𝑣
(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:184)(cid:244)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:188)(cid:163)(cid:233)(cid:202)(cid:26)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10) = (cid:57)
下 0.6
𝑠
𝑡 +𝑣
(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:132)(cid:430)(cid:244)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:45)(cid:163)(cid:70)(cid:228)(cid:63)(cid:165)(cid:78)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:57)(cid:74)(cid:233)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10)
= +
上 下
𝑡 𝑡 𝑡= +
0.6+
𝑠 𝑠
= +
02.4−𝑣 3 𝑣
+
5𝑠 5 𝑠
−𝑣 𝑣
= +
3+
5𝑠 5𝑠
2−5𝑣 5𝑣
= +
3+
5𝑠 5𝑠
(3+ ) ( )
= 2−5𝑣 5𝑣 +
( )(3+ ) ( )(3+ )
5𝑠 5𝑣 5𝑠 2−5𝑣
(3+ )+ ( )
= 2−5𝑣 5𝑣 2−5𝑣 5𝑣
( )(3+ )
5𝑠 5𝑣 5𝑠 2−5𝑣
+ +
= 2−5𝑣 5𝑣
( )(3+ )
15𝑠 25𝑠𝑣 10𝑠−25𝑠𝑣
= 2−5𝑣 (cid:89) 5𝑣
( )(3 )
25𝑠
2−5𝑣 +5𝑣
(cid:86)2(cid:87)(cid:130)(cid:10)(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:132)(cid:430)(cid:184)(cid:106)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:45)(cid:163)(cid:70)(cid:228)(cid:63)(cid:165)(cid:78)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:57)(cid:405)(cid:406)(cid:349)(cid:350)(cid:438)(cid:77)(cid:89)(cid:236)(cid:265)(cid:168)(cid:188)(cid:10)
(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:184)(cid:106)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:160)(cid:163)(cid:233)(cid:202)(cid:26)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10) 上 = 0.4 (cid:57) A +
′ 𝑠 科 A
全
𝑡 +𝑣 号 ★
(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:184)(cid:106)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:188)(cid:163)(cid:233)(cid:202)(cid:26)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10)
下
=
注
(cid:57)公 众
，′ 关𝑠
(cid:407)(cid:408)(cid:409)(cid:132)(cid:430)(cid:106)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:45)(cid:163)辅(cid:70)(cid:228)资(cid:63)(cid:165) 源 (cid:78)(cid:405) 𝑡 (cid:406)(cid:416)(cid:417) 0 (cid:57) .6− (cid:74) 𝑣 (cid:233)(cid:70)(cid:346)(cid:82)(cid:10)
教
= +
上 下
′ ′ ′
𝑡 𝑡 𝑡
= +
0.4+
𝑠 𝑠
= +
2 𝑣 30.6−𝑣
+
5 𝑠 5𝑠
𝑣 −𝑣
= +
2+
5𝑠 5𝑠
5𝑣 3−5𝑣
= +
2+
5𝑠 5𝑠
( ) (2+ )
= 5𝑣 3−5𝑣 +
(2+ )( ) (2+ )( )
5𝑠 3−5𝑣 5𝑠 5𝑣
( )+ (2+ )
= 5𝑣 3−5𝑣 5𝑣 3−5𝑣
(2+ )( )
5𝑠 3−5𝑣 5𝑠 5𝑣
+ +
= 5𝑣 3−5𝑣
(2+ )( )
15𝑠−25𝑠𝑣 10𝑠 25𝑠𝑣
=
5𝑣(cid:57)3−5𝑣
(2 )( )
25𝑠
+5𝑣 3−5𝑣
(2+ )( )=6+ (cid:57)
2
∵ 5𝑣 3−5𝑣 5𝑣−25𝑣( )(3+ )= (cid:57)
2
2−>5𝑣0(cid:57) 5𝑣 6−5𝑣−25𝑣
∵𝑣6+ > (cid:57)
2 2
∴(cid:127)(2+5𝑣−2)(5𝑣 )6>−5(𝑣−25𝑣)(3+ )(cid:57)
(2+ 5𝑣)( 3−5𝑣)>( 2−5𝑣)(3+ 5𝑣)>0(cid:57) >0(cid:57)
∵ 5𝑣 3−5𝑣 2−5𝑣 5𝑣 25𝑠
< (cid:57)
(2 )( ) ( )(3 )
25𝑠 25𝑠
∴ +5𝑣 3−5𝑣 2−5𝑣 +5𝑣
(cid:127) < (cid:57)
′
(cid:407)𝑡(cid:408)(cid:409)𝑡(cid:132)(cid:430)(cid:184)(cid:106)(cid:418)(cid:422)(cid:423)(cid:45)(cid:163)(cid:70)(cid:228)(cid:63)(cid:165)(cid:78)(cid:405)(cid:406)(cid:416)(cid:417)(cid:57)(cid:74)(cid:233)(cid:70)(cid:346)(cid:311)(cid:345)(cid:57)(cid:405)(cid:406)(cid:349)(cid:350)(cid:438)(cid:77)(cid:69)
∴
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
