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专题 14.2 全等三角形的判定（七大题型）
【题型1：三角形全等的判定-SSS】...............................................1
【 题 型 2 ： 三 角 形 全 等 的 判 定 -
SAS】...............................................6
【 题 型 3 ： 三 角 形 全 等 的 判 定 -
ASA】...............................................11
【 题 型 4 ： 三 角 形 全 等 的 判 定 -
AAS】...............................................15
【 题 型 5 ： 三 角 形 全 等 的 判 定 -
HL】..................................................23
【 题 型 6 ： 添 加 条 件 使 三 角 形 全
等】......................................................28
【题型7：全等三角形判定和性质综合】...................................33
【题型1：三角形全等的判定-SSS】
1．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，点B，E，C，F在直线l上（E，C之间不能
直接测量），点A，D在l同侧，测得AB=DE，AC=DF，BE=FC．求证：
△ABC≌△≝¿．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定．先证明BC=EF，再根据SSS即可证明．【详解】证明：BE=FC，
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，
{AB=DE
)
AC=DF ，
BC=EF
∴△ABC≌△≝(SSS)．
2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是
BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定
和性质．根据SSS即可证明△ADB≌△ADC．
【详解】证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
在△ABD和△ACD中，
{AB=AC
)
AD=AD ，
BD=CD
∴△ADB≌△ADC(SSS)．
3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图所示，在△ABC和△FED中，AD=FC，
AB=FE，BC=ED，求证：△ABC≌△FED．
【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，根据AD=FC，结合线段的和差关系，推出
AC=DF，利用SSS证明△ABC≌△FED即可．
【详解】证明：∵AD=FC，
∴AD+DC=FC+DC，即：AC=DF，
在△ABC和△FED中
{AC=DF
)
AB=FE ，
BC=ED
∴△ABC≌△FED(SSS)．
4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，
AC=DF，BE=CF，
(1)求证：△ABC≌△≝¿
(2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数
【答案】(1)见解析
(2)50°
【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握
其性质定理是解决此题的关键．
（1）根据BE=CF，可得出BC=EF，即可判定△ABC≌△≝¿；
（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得∠ACB=∠F=85°，在△ABC中根据三
角形内角和定理即可求出∠A．
【详解】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
∴在△ABC和△≝¿中，
{AB=DE
)
AC=DF ，
BC=EF
∴ △ABC≌△≝(SSS)．（2）解：∵ △ABC≌△≝¿，∠B=45°，∠F=85°，
∴∠ACB=∠F=85°，
∴∠A=180°−∠ACB−∠B=50°．
5．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE．
(1)求证：∠BAC=∠DAE；
(2)猜想∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)∠3=∠1+∠2，理由见解析．
【分析】（1）首先利用SSS证明△BAD≌△CAE，根据性质可得∠1=∠CAE，再由
角度和差即可求证；
（2）根据全等三角形对应角相等求出∠ABD=∠2，由三角形外角的性质可得
∠3=∠1+∠2；
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应
用是解题的关键．
【详解】（1）证明：在△BAD和△CAE中，
{AB=AC
)
AD=AE ，
BD=CE
∴△BAD≌△CAE(SSS)，
∴∠1=∠CAE，
∴∠1+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE；
（2）∠3=∠1+∠2，理由如下：
由（1）得：△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠2，
∵∠3=∠ABD+∠1，
∴∠3=∠1+∠2．
6．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知AD=BC,AC=BD，求证：△ABC≌△BAD．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定．直接利用SSS进行证明即可．
【详解】证明：在△ABC和△BAD中，
{BC=AD
)
AC=BD ，
AB=BA
∴△ABC≌△BAD(SSS)．
7．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，E是AC上一点，
BC=CE,BC+AE=DE,AB=CD．求证：△ABC≌△DCE．
【答案】见解析
【分析】由已知可得AC=DE，由SSS可证明△ABC≌△DCE．
【详解】证明：∵BC=CE,BC+AE=DE，
∴CE+AE=DE，
即AC=DE．
在△ABC≌△DCE中，
¿，
∴△ABC≌△DCE(SSS)．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定(SSS)这一知识点的理解和掌握，此题
难度不大，要求学生应熟练掌握．
【题型2：三角形全等的判定-SAS】1．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，AB=DE，∠ABC=∠≝¿，BE=CF．求证：
△ABC≌△≝¿．
【答案】证明见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；
由BE=CF知BC=EF，结合AB=DE、∠ABC=∠≝¿，利用“SAS”即可得证；
【详解】证明：BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，
{ AB=DE )
，
∠ABC=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△≝(SAS)；
2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）已知：如图，点D，B在线段AE上，AD=BE，
∠A=∠FDE，AC=DF．求证：△ABC≌△≝¿．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
由AD=BE得到AB=DE，通过“SAS”即可证明．
【详解】证明：∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DE，即AB=DE，
∴在△ABC和△≝¿中
{
AB=DE
)
∠CAB=∠FDE ，
AC=DF
∴△ABC≌△≝(SAS)．3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图：AD=BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC
于F，DE=BF．求证：
(1)AF=CE
(2)AB∥CD
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握HL判定
定理是解题的关键；
（1）利用题中的垂直关系，借助HL即可证明Rt△AED≌Rt△CFB，结合全等三角
形的性质即可得到结论；
（2）证明△AFB≌△CED得∠BAF=∠DCE，根据平行线判定定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
又∵DE=BF，AD=BC，
∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL)，
∴AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE；
（2）证明：由（1）得AF=CE，
在△AFB和△CED中
{
AF=CE
)
∠AFB=∠CED=90° ，
BF=DE
∴△AFB≌△CED(SAS)，
∴∠BAF=∠DCE，
∴AB∥CD．
4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EB∥CF，
EB=CF，AC=BD．(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)判断AE、DF的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AE∥DF，AE=DF，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，证得
△ABE≌△DCF是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质以及线段的和差可得∠EBC=∠FCB、AB=DC，再结合
EB=CF即可证明结论；
（2）运用全等三角形的性质可得∠A=∠D，AE=DF；再根据内错角相等、两直线
平行即可解答．
【详解】（1）证明：∵EB∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABE=∠DCF；
∵AC=BD，
∴AC−BC=DB−BC，即AB=DC．
在△ABE和△DCF中
{
EB=FC
)
∠ABE=∠DCF
AB=DC
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
（2）解：AE∥DF，AE=DF，理由如下：
∵△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D，AE=DF；
∴AE∥DF．
5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF
相交于点O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．
说明：△ABC≌△DFE．【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质．先
证明∠A=∠EDF，AC=DE，再利用SAS证明△ABC≌△DFE即可．
【详解】证明：∵AB∥DF，
∴∠A=∠EDF，
∵AD=CE，
∴AD+CD=CE+CD，即AC=DE，
在△ABC和△DFE中，
{
AB=DF
)
∠A=∠FDE ，
AC=DE
∴△ABC≌△DFE．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，
AB∥DE，AB=DE．
(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)AC与DE交于点G，当∠B=35°，∠F=70°时，求∠AGD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)75°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的内角和定理等
知识点，正确寻找全等三角形全等的条件是解题的关键．
（1）由线段的和差可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠≝¿，根据SAS即可
证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB=∠F=70°、∠≝=∠B=35°，再根据三角
形内角和定理可得∠EGC=75°，最后根据对顶角相等即可解答．【详解】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠≝¿，
在△ABC和△≝¿中，
{ AB=DE )
，
∠B=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△≝(SAS)；
（2）解：∵△ABC≌△≝¿，
∴∠ACB=∠F=70°，∠≝=∠B=35°，
∴在△CEG中，∠EGC=180°−∠ACB−∠≝=180°−70°−35°=75°，
∴∠AGD=∠EGC=75°．
7．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，点E、B在AD上，已知AE=DB，AC=DF，
∠A=∠D，求证：△ABC≌△≝¿．
【答案】见解析
【详解】由AE=DB推出AB=DE，再利用SAS直接证明三角形全等即可．本题主要
考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【分析】证明：∵AE=DB，
∴AE+EB=DB+EB，
即AB=DE．
在△ABC和△≝¿中，
{
AB=DE
)
∠A=∠D ，
AC=DF
∴△ABC≌△≝(SAS)．
【题型3：三角形全等的判定-ASA】1．（2025·江西·模拟预测）如图，已知AC=CD，∠1=∠2=∠3，求证：
△ABC≌△DEC．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
首先利用∠1=∠3以及对顶角相等，利用三角形内角和得出∠A=∠D．然后通过
∠1=∠2，在等式两边同时加上∠HCB，从而得出∠ACB=∠DCE，最后利用ASA
判定△ABC≌△DEC．
【详解】证明：∵∠1=∠3，∠AHC=∠DHG，
∴∠A=∠D．
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠HCB=∠2+∠HCB，
即∠ACB=∠DCE．
在△ABC与△DEC中，
{∠ACB=∠DCE
)
AC=DC ，
∠A=∠D
∴△ABC≌△DEC(ASA)．
2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，AE∥BC且AE=AC，∠EFA=∠B．求证：
△ABC≌△EFA．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到∠EAF=∠C，
再利用AAS即可证明△ABC≌△EFA．【详解】证明：∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠C，
又∵∠EFA=∠B，AE=AC，
∴△ABC≌△EFA(AAS)．
3．（2025·云南昭通·模拟预测）如图，∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB，求证：
△ABC≌△BAD．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解
题的关键．
直接运用AAS进行证明即可．
【详解】证明：在△ABC和△BAD中，
{∠C=∠D=90°
)
∠CBA=∠DAB ，
AB=BA
∴△ABC≌△BAD(AAS)．
4．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，点A、B、C、D在一条直线上，
AF∥DE，AC=DB，∠E=∠F，求证：△ABF≌△DCE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角
形的判定方法．由AF∥DE可得∠A=∠D，根据AC=DB，可得AB=DC，即可得
证．
【详解】证明：∵ AF∥DE，
∴ ∠A=∠D，∵ AC=DB，
∴ AC−BC=DB−BC，即AB=DC，
在△ABF和△DCE中，
{∠F=∠E
)
∠A=∠D ，
AB=CD
∴ △ABF≌△DCE(AAS)．
5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点E，C在线段BF上，∠ACB=∠≝¿，
BE=CF，∠B=∠F．求证：△ABC≌△DFE．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由BE=CF，得到BC=FE，再根据ASA即
可证明△ABC≌△DFE，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
{∠ACB=∠≝¿BC=FE)
，
∠B=∠F
∴△ABC≌△DFE(ASA)．
6．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，
AB=CD，∠B=∠D．求证：△ABC≌△CDE．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题首先根据AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上条件AB=CD，∠B=∠D，
可利用角边角定理证明三角形全等；【详解】解：∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
{
∠B=∠D
)
AB=CD ，
∠BAC=∠DCE
∴△ABC≌△CDE(ASA)
7．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，已知AB=AC，∠ABE=∠2，
∠BAC=∠EAD ,∠1=25°,∠2=30°．
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)求∠3的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)55°
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．
（1）由∠BAC=∠EAD得到∠BAE=∠1，即可证明△ABE≌△ACD(ASA)；
（2）根据三角形外角和性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠EAD，
∴∠EAC+∠BAE=∠EAC+∠1，
∴∠BAE=∠1，
∵∠ABE=∠2，AB=AC，
∴△ABE≌△ACD (ASA)；
（2）解：由（1）知∠BAE=∠1=25°，
∵∠ABE=∠2=30°，
∴∠3=∠ABE+∠BAE=30°+25°=55°．
【题型4：三角形全等的判定-AAS】1．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，
AD∥BC，∠ADC=∠ACD，∠AED=∠ABC．求证：△ABC≌△DEA．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线性质，熟练掌握
全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据平行线性质结合三角形内角和定理得到
∠BAC=∠ADE，再根据“AAS”即可证明三角形全等．
【详解】证明：∵ ∠ADC=∠ACD，
∴ AD=AC，
∵ AD∥BC，
∴ ∠DAB+∠ABC=180°，即∠DAE+∠BAC+∠AED=180°，
∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，
∴ ∠BAC=∠ADE，
在△ABC与△DEA中，
{∠ADE=∠BAC
)
∠AED=∠ABC ，
AD=AC
∴ △ABC≌DEA(AAS)．
2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，∠A=∠D，∠B=∠E，AF=CD．
(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)若∠A=30°，∠E=75°，求∠BCF的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)105°
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．
（1）根据AAS判定△ABC≌△≝¿即可；
（2）根据题意可得∠B=∠E=75°，在△ABC中根据外角的性质即可求出∠BCF．
【详解】（1）证明：∵AF=CD，
∴AF−CF=CD−CF，
∴AC=DF，
∴在△ABC和△≝¿中，
{∠A=∠D
)
∠B=∠E ，
AC=DF
∴△ABC≌△≝(AAS)．
（2）解：∵△ABC≌△≝¿，
∴∠B=∠E，
∵∠E=75°，
∴∠B=∠E=75°，
∵∠A=30°，∠BCF是△ABC的外角，
∴∠BCF=∠A+∠B=105°．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，
AB=CD=5，AD=4，∠ACB=∠E，∠A=∠CDE．
(1)试说明：△ABC≌△DCE；
(2)求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是
解题的关键．
（1）直接根据已知条件AAS判定三角形全等即可；（2）根据△ABC≌△DCE，求出AC=DE，即可求解．
{∠A=∠CDE
)
【详解】（1）解：在△ABC和△DCE中， ∠ACB=∠E ，
AB=DC
∴△ABC≌△DCE(AAS)．
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴AC=DE，
∵AD=4,DC=5，
∴DE=AC=AD+DC=9，即DE的长为9．
4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图．在△ABC和△≝¿中，点B，C，E，F在同一
条直线上．已知AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)若BE=6，EC=5，求BF的长．
【答案】(1)见详解
(2)17
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，根据性质解答即可．
（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠≝¿，再根据全等三角形的判定定理即可证明．
（2）根据全等三角形的性质得到BE=CF，再由BE=6，EC=5，即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠≝¿，
在△ABC和△≝¿中
¿，
∴△ABC≌△≝(ASA)．
（2）解：∵△ABC≌△≝¿，
∴BC=EF，
∴BC−EC=EF−EC，
即BE=CF，
∵BE=6，EC=5，∴BE=CF=6，
∴BF=BE+EC+CF=6+5+6=17．
5．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点E，B，F，C在同一条直线上，
AC∥DF,AB∥DE,BE=CF．
(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)若∠C=35°，∠D=81°，求∠ABC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)64°
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，
利用ASA证明△ABC≌△≝¿是解题的关键．
（1）根据平行线的性质及线段的和差得出∠C=∠DFE，∠ABC=∠E，BC=EF，
利用ASA证明△ABC≌△≝¿，即可得解；
（2）全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠C=∠DFE，∠ABC=∠E，
∵BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF，
∴BC=EF，
在△ABC与△≝¿中，
¿，
∴△ABC≌△≝(ASA)；
（2）解：∵△ABC≌△≝¿，
∴∠A=∠D=81°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−81°−35°=64°．
6．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，
EC∥BF，∠E=∠F，AB=DC，求证：△AEC≌△DFB．【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等
三角形的判定方法是解题的关键．
由AB=DC可得AB+BC=DC+BC，进而可得AC=DB，由平行线的性质可得
∠ACE=∠DBF，然后利用AAS即可得出结论．
【详解】证明：∵AB=DC，
∴AB+BC=DC+BC，
∴AC=DB，
∵EC∥BF，
∴∠ACE=∠DBF，
在△AEC和△DFB中，
{
∠E=∠F
)
∠ACE=∠DBF ，
AC=DB
∴△AEC≌△DFB(AAS)．
7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
(1)求证：△ADC≌△CEB．
(2)AD=15cm，DE=10cm，求BE的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)5cm
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用BE⊥CE，得出∠BCE+∠CBE=90°，利用∠ACB=90°，得出
∠BCE+∠ACD=90°，则可得∠ACD=∠CBE，结合∠CDA=∠BEC=90°，
AC=BC，即可证明；
（2）利用全等性质得出BE=CD，AD=CE=15cm，再利用线段的和差即可求解．
【详解】（1）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠CDA=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
{∠CDA=∠BEC=90°
)
∠ACD=∠CBE ，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB；
（2）解：∵△ADC≌△CEB，
∴BE=CD，AD=CE=15(cm)，
∵DE=10cm，
∴BE=CD=CE−DE=15−10=5(cm)．
8．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）如图，已知CB=DE，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE，AC与DE交于点F．求证：△ABC≌△ADE．
【答案】见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定，正确运用三角形内角和定理及证明
△ABC≌△ADE是解题的关键．先证明∠BAC=∠DAE，，根据全等三角形的判定
证明△ABC≌△ADE即可．
【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
{∠BAC=∠CAE
)
∠C=∠E ，
CB=DE
∴△ABC≌△ADE(AAS)．
9．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直
线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．当直线MN绕点C旋转到图的
位置时，
求证：
(1)△ADC≌△CEB；
(2)DE=AD+BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质
等知识点，熟练掌握全等三角形性质和判定是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理和等量代换得到∠ACD=∠CBE，再利用“AAS”证明
三角形全等即可；
（2）利用全等三角形性质得到AD=CE、CD=BE，再结合等量代换即可证明结论．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)．
（2）解：∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE、CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE．
【题型5：三角形全等的判定-HL】
1．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC
上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【答案】见解析
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，由BE=CF推出BF=CE，再利用HL证
明全等即可，解题关键是由BE=CF推出BF=CE，利用HL进行判定．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
{BF=CE)
，
AB=CD
∴ Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，
AD=CE．
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)若AD=2，BE=6，求DE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用HL证明三角形全等”是解本题的关键．
（1）根据HL证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出CD=BE=6，CE=AD=2，再由DE=CD−CE即
可求值．
【详解】（1）∵ AD⊥CD，BE⊥CD，
且AC=BC，AD=CE，
在Rt△ACD与Rt△CBE，
{AC=BC)
，
AD=CE
∴ Rt△ACD≌Rt△CBE(HL)．
（2）∵ △ACD≌△CBE，
∴ CD=BE=6，CE=AD=2，
∴ DE=CD−CE=6−2=4．
3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形ABCD中，BA=BC，
∠A=∠C=90°．
(1)求证：△ABD≌△CBD．
(2)若∠ABC=70°，则∠BDC= °
【答案】(1)见解析
(2)55
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握斜边直角边证明三角形全等是
解题的关键．
（1）根据HL证明三角形全等即可．
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠CBD=35°，然后根据三角形的内
角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】（1）∵ BA=BC，∠A=∠C=90°，
∴在Rt△ABD与Rt△CBD中，{BD=BD)
，
BA=BC
∴ Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)．
（2）∵ △ABD≌△CBD，∠ABC=70°，
1
∴ ∠ABD=∠CBD= ∠ABC=35°，
2
∵ ∠BDC+∠CBD+∠C=180°，且∠C=90°，
∴ ∠BDC=180°−35°−90°=55°．
4．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在△ABC中AB=AC，F是BC上的一点，
BD⊥AF，CE⊥AF的延长线于点E，AD=CE．
(1)求证：△ABD≌△AEC．
(2)判断BD、DE、CE这三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD=DE+CE，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）根据已知条件用HL证两个直角三角形全等即可；
（2）由（1）中的结论可得BD=AE，再结合已知条件即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AF，CE⊥AF的延长线于点E，
∴△ABD和△AEC是直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
{AB=AC)
，
AD=CE
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
即△ABD≌△AEC；
（2）解：BD=DE+CE，理由如下：
∵△ABD≌△AEC，
∴BD=AE，
∵AE=AD+DE，AD=CE，∴BD=DE+CE．
5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足
分别为D，E，且CD=BE．
(1)求证：Rt△BCE≌Rt△CAD；
(2)若AD=2.4，DE=1.6，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)0.8
【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判
定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
（1）根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出Rt△BCE≌Rt△CAD；
（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
在Rt△BCE和Rt△CAD中，
{AC=BC)
，
BE=CD
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL)．
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△CAD，
∴BE=DC，CE=AD=2.4，
∵DC=CE−DE，DE=1.6，
∴DC=CE−ED=2.4−1.6=0.8，
∴BE=0.8．
6．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，E、B、F、C四点在同一直线上，
∠A=∠D=90°，BE=FC，AB=DF．求证：△DFE≌△ABC．【答案】见解析
【分析】由BE=FC，可得BE+BF=FC+BF，即EF=BC，进而可证
△DFE≌△ABC(HL)．
【详解】证明：∵BE=FC，
∴BE+BF=FC+BF，即EF=BC，
∵AB=DF，∠A=∠D=90°，
∴△DFE≌△ABC(HL)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．解题的关键是掌握HL证明直角三角形全等．
7．（20-21八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点C、D、E、F在同一条直线上，
∠A=∠B=90°，AC=BF，CD=EF，AE与BD相交于点O．
(1)求证：EA=DB；
(2)若∠C=55°，求∠BOE的度数．
【答案】(1)见详解
(2)∠BOE=70°
【分析】（1）先证出CE=FD，再证明Rt△ACE≌Rt△BFD(HL)，即可得出结论；
（2）先由直角三角形的性质得∠AEC=35°，再由全等三角形的性质得
∠AEC=∠BDF=35°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵CD=EF，
∴CD+DE=EF+DE，
即CE=FD，
∵∠A=∠B=90°，
∴△ACE和△BFD是直角三角形，
在Rt△ACE和Rt△BFD中，
{CE=FD)
，
AC=BF
∴Rt△ACE≌Rt△BFD(HL)，
∴EA=DB；
（2）解：∵∠A=90°，∠C=55°，∴∠AEC=90°−55°=35°，
由（1）得：Rt△ACE≌Rt△BFD，
∴∠AEC=∠BDF=35°，
∴∠BOE=∠AEC+∠BDF=70°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形的外角
性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【题型6：添加条件使三角形全等】
1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点E、C在线段BF上，且BE=CF，
∠B=∠≝¿，添加一个条件，不能判定△ABC≌△≝¿的是（ ）
A．AC=DF B．AB=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠F
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问
题的关键．由“SSA”不能判定全等可判断A选项；由“SAS”能判定全等可判断B选
项；由“AAS”能判定全等可判断C选项；由“ASA”能判定全等可判断D选项．
【详解】解：根据BE=CF得BC=EF，
当添加选项A中的条件AC=DF时，
在△ABC和△≝¿中，
BC=EF，AC=DF，∠B=∠≝¿，
此时不能判定△ABC≌△≝¿，故选项A符合题意；
当添加选项B中的条件AB=DE时，
在△ABC和△≝¿中，
¿，
∴△ABC≌△≝(SAS)，故选项B不符合题意；
当添加选项C中的条件∠A=∠D时，
在△ABC和△≝¿中，
¿，
∴△ABC≌△≝(AAS)，故选项C不符合题意；当添加选项D中的条件∠ACB=∠F时，
在△ABC和△≝¿中，
{∠B=∠≝¿BC=EF)
，
∠ACB=∠F
∴△ABC≌△≝(ASA)，故选项D不符合题意，
故选：A．
2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，已知∠1=∠2，要判定△ABD≌△ACD，则
添加的条件不能是（ ）
A．AB=AC B．∠B=∠C C．∠ADB=∠ADC D．BD=CD
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
得到已有的条件∠1=∠2，AD=AD，再结合已有条件，从而可得答案．
【详解】解：∵∠1=∠2，AD=AD，
∴补充AB=AC，可利用SAS得到：△ABD≌△CBD，故A不符合题意；
补充∠B=∠C，可利用AAS得到：△ABD≌△CBD，故B不符合题意；
补充∠ADB=∠ADC，可利用ASA得到：△ABD≌△CBD，故C不符合题意；
补充BD=CD，不能判定△ABD≌△CBD，故D符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在△ABC与△DFE中，∠B=∠F，
AB=DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（ ）
A．∠ACB=∠≝¿B．BE=CF C．AC=DE D．∠A=∠D
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
{ ∠B=∠F )
【详解】解：A、在△ABC与△DFE中， ，故
∠ACB=∠≝¿AB=DF
△ABC≌△DFE(AAS)，不符合题意；
B、∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC与△DFE中，
{
BC=FE
)
∠B=∠F ，故△ABC≌△DFE(SAS)，不符合题意；
AB=DF
C、添加AC=DE无法证明△ABC≌△DFE，故符合题意；
{∠B=∠F
)
D、在△ABC与△DFE中， AB=DF ，故△ABC≌△DFE(ASA)，不符合题意；
∠A=∠D
故选：C．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知AB=DE，BE=CF．若要使
△ABC≌△≝¿，则需再添加的一个条件可以是（ ）
A．∠A=∠D B．AB∥DE C．BE=EC D．AC∥DF
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理，结合已知条件对每个选项进行分析即可．
【详解】解：A． 虽然有两组边AB=DE，BC=EF，以及∠A=∠D，但“边边
角”(SSA)不能判定两个三角形全等，故该选项不符合题意；
B．因为AB∥DE，根据两直线平行，同位角相等，可得∠B=∠≝¿．
{ AB=DE )
在△ABC和△≝¿中， ，根据全等三角形判定定理“边角边”
∠B=∠≝¿BC=EF
(SAS)，可以判定△ABC≌△≝¿，故该选项符合题意；
C．已知BE=CF，增加条件BE=EC，只能得到BE=EC=CF，无法得到能判定
△ABC≌△≝¿的条件，故该选项不符合题意；
D．因为AC∥DF，根据两直线平行，同位角相等，可得∠ACB=∠F．在△ABC和△≝¿中，虽然有AB=DE，BC=EF和∠ACB=∠F ，但“边边角”
(SSA)不能判定两个三角形全等，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE与边AC交
于点F，CD=CB，∠B=∠CDE，添加下列条件能判断△ABC≌△EDC的是（）
A．EF=BD B．∠ADE=∠E
C．AC=EC D．∠ACE=∠BCD
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：
SAS,ASA,AAS,SSS,HL．由全等三角形大的判定方法，即可判断．
【详解】解：A．EF和BD不是两三角形的边，添加EF=BD不能判定
△ABC≌△EDC，故A不符合题意；
B．∠ADE不是△ABC的角，∠ADE和∠E不是对应角，添加∠ADE=∠E不能判定
△ABC≌△EDC，故B不符合题意；
C．∠B和∠CDE分别是AC和CE的对角，不能判定△ABC≌△EDC，故C不符合题
意；
D．由∠ACE=∠BCD得到∠DCE=∠BCA，由ASA判定△ABC≌△EDC，故D符
合题意．
故选：D．
6．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在△ADF和△CBE中，AE=CF，
∠A=∠C，再添加一个条件就能使△ADF≌△CBE，下列条件：①AD=BC；②
BE=DF；③BE∥DF；④∠B=∠D，则可以添加的条件是（ ）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
利用全等三角形的判定方法对四个选项分别证明即可．
【详解】解：∵AE=CF，
∴AF=CE，
①AD=BC，∠A=∠C，AF=CE，∴△ADF≌△CBE(SAS)，
②BE=DF，AF=CE，∠A=∠C，利用SSA不能证得三角形全等，
③BE∥DF，可得到∠BEC=∠DFA，AF=CE，∠A=∠C，∴
△ADF≌△CBE(ASA)，
④∠B=∠D，∠A=∠C，AF=CE，∴△ADF≌△CBE(AAS)
故能证明△ADF≌△CBE的条件可以为：①③④
故选：B．
7．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，点E，F在AC上，AD=CB，DF=BE，下
列5个条件中选择一个条件，①∠A=∠C；②∠D=∠B；③AE=CF；④DF∥BE；
⑤AD∥BC，能够使得△ADF≌△CBE的条件个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，
利用全等三角形判定方法依次判断，可求解．
【详解】解： AD=CB，DF=BE，
添加条件∠A∵ =∠C时，无法判断△ADF≌△CBE，故 不符合题意；
∴添加条件∠D=∠B时，可利用SAS判断△ADF≌△CBE①，故 符合题意；
添加条件AE=CF时，有AF=CE，则利用SSS判定△ADF≌△②CBE，故 符合题意；
添加条件DF∥BE，得∠DFA=∠BEC时，无法判断△ADF≌△CBE，③故 不符合
题意； ④
添加条件AD∥BC，得∠A=∠C时，无法判断△ADF≌△CBE，故 不符合题意；
⑤故选B
【题型7：全等三角形判定和性质综合】
1．（2025·江苏无锡·三模）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于点
E，DE=EF．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB=5，CF=4，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质．
（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠F，∠A=∠ECF，再利用AAS证明即可；
（2）由（1）可得，△ADE≌△CFE，即可得AD=CF=4，即可求解．
【详解】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠F，∠A=∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
{∠A=∠ECF
)
∠ADE=∠F ，
DE=FE
∴△ADE≌△CFE(AAS)；
（2）解：由（1）可得，△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB−AD=5−4=1．
2．（2025·海南·一模）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，AB=DE，
∠B=∠E，线段BC与线段DF交于点G．(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)若∠BGF=38°，∠A=82°，求∠F的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三
角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先证明∠A=∠EDF，再根据全等三角形的判定ASA可证得结论；
（2）先平行线的性质得到∠B=∠BGF=38°，再根据三角形的内角和定理求出
∠ACB，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB∥DF，
∴∠A=∠EDF，
在△ABC和△≝¿中，
{∠A=∠EDF
)
AB=DE ，
∠B=∠E
∴△ABC≌△≝(ASA)；
（2）解：∵AB∥DF，∠BGF=38°，
∴∠B=∠BGF=38°，
∵∠A=82°，
∴∠ACB=180°−∠B−∠A=60°，
∵△ABC≌△≝¿，
∴∠F=∠ACB=60°．
3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AD平分
∠BAC,P是线段AD上一点，PE⊥AD交直线BC于点E，且PE=AC,∠B=30°．(1)求证:△ADC≌△EDP;
(2)求∠E的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠E=30°
【分析】（1）根据“AAS”判定△ADC和△EDP全等即可．
（2）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得
∠DAC的度数，从而根据△ADC≌△EDP，进一步求得∠E的度数．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是结合图
形分析清楚角与角之间的关系．
【详解】（1）证明：∵PE⊥AD
∴∠EPD=90°
∴∠ACB=∠EPD=90°
在△ADC和△EDP中
¿
∴△ADC≌△EDP(AAS)
（2）∵∠ACB=90°,∠B=30°
∴∠BAC=90°−∠B=60°
∵AD平分∠BAC
1
∴∠DAC= ∠BAC=30°
2
∵△ADC≌△EDP
∴∠E=∠DAC=30°
4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，AB=AC，E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD，∠EAD=∠BAC．(1)求证：AE=AD；
(2)若CD=5cm，DE=2cm，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)7cm
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题
的关键．
（1）证明△ABE≌△ACD(ASA)，可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE的长，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，即：∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
{∠ABE=∠ACD
)
AB=AC ，
∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴AE=AD；
（2）解：由（1）得△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE=CD=5cm，
∵DE=2cm，
BD=BE+DE=7cm．
5．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，已知BD∥CE,AB=BC,BD=CE．
(1)求证：△ABD≌△BCE．(2)若∠DBE=65°，求∠D的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)65°
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题
的关键．
（1）根据平行线的性质求出∠ABD=∠C，利用SAS即可证明△ABD≌△BCE；
（2）根据全等三角形的性质求出∠D=∠E，再根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△BCE中，
{
AB=BC
)
∠ABD=∠C ，
BD=CE
∴ △ABD≌△BCE(SAS)；
（2）解：∵ △ABD≌△BCE，
∴∠D=∠E，
∴AD∥BE，
∴∠E=∠DBE=65°，
∴∠D=65°．
6．（2024·江苏无锡·二模）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，
∠ACB=∠CED，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△CDE；
(2)若AB=2，DE=4，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的
关键．（1）由AB⊥BD，ED⊥BD，可得∠B=∠D=90°，利用“ASA”即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得到CD=AB=2，BC=DE=4，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ∠B=∠D=90°，
∵ ∠ACB=∠CED，BC=DE，
∴ △ABC≌△CDE(ASA)；
（2）∵ △ABC≌△CDE，
∴ CD=AB=2，BC=DE=4，
∴ BD=BC+CD=4+2=6．
1．（21-22七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，∠A=∠ACB，CD平分∠ACB，
点E为CD延长线上一点，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接CF．
(1)若CD=DE，求证：AD=DF；
(2)若∠ABC=∠ECF=24°，求∠CFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠CFE=117°
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知
识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）由AAS可证△ADC≌△FDE，可得AD=DF；
180°−24°
（2）由三角形内角和定理可得∠A=∠ACB= =78°，由角平分线定义
2和平行线的性质求得∠ACD=∠E=39°，根据三角形内角和定理可求∠CFE的度数．
【详解】（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠A=∠EFD，∠ACD=∠E，
在△ADC和△FDE中，
¿，
∴△ADC≌△FDE(AAS)，
∴AD=DF；
（2）解：∵∠A=∠ACB,∠ABC=∠ECF=24°，
180°−24°
∴∠A=∠ACB= =78°，
2
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=39°，
∵EF∥AC，
∴∠ACD=∠E=39°，
∵∠ECF=24°，
∴∠CFE=180°−∠ECF−∠E=180°−24°−39°=117°．
2．（24-25八年级下·广东东莞·开学考试）如图（1）∠ACB=90∘，AC=BC，BE⊥CE
于E，AD⊥CE于D．
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)如图（2）其它条件不变的前提下，将CE所在的直线旋转到△ABC的外部，若
BE=3cm，AD=9cm，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)12cm
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性
质定理是解题关键．（1）根据同角的余角相等可得∠CBE=∠ACD，然后利用AAS即可证明
△ACD≌△CBE；
（2）同理可证△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质可得CD=3cm,CE=9cm，
问题得解．
【详解】（1）证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠DCA=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
（2）解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴∠BEC=∠CDA=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠DCA=90°，
∴∠CBE=∠DCA，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴BE=CD,CE=AD，
∵BE=3cm,AD=9cm，
∴CD=3cm,CE=9cm，
∴DE=CE+CD=12cm．
3．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图（1），AB=8cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足
分别为A、B，AC=6cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时
点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s)（当点P运动结束时，点Q运动随之结
束）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时判断此时线段PC和线段PQ的
位置关系，请分别说明理由；
(2)如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，点Q的运动
速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等？求
出相应的x的值．
【答案】(1)PC⊥PQ，见解析
3
(2)当△ACP与△BPQ全等时，x的值为1或 ．
2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．
（1）结合AP=BQ=2，BP=AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则
∠C=∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ=90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）分情况讨论：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ；②若
△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，，然后分别求出x和t的值即可．
【详解】（1）解：△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由如下：
∵AC⊥AB,BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=BQ=2，
∴BP=AB−AP=6，
∴BP=AC，
∴△ACP≌△BPQ(SAS)，
∴∠C=∠BPQ，
∵∠C+∠APC=90°，
∴∠APC+∠BPQ=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（2）解：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
可得6=8−t，t=xt，
解得x=1，t=2；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
可得6=xt，t=8−t，
3
解得：x= ，t=4．
23
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为1或 ．
2
