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12.2 HL判定三角形全等
判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简
写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具
备.
注意：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条
件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角
三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条
件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
题型1：用HL判定三角形全等
1.如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：
△ACB≌△BDA．
【答案】证明：∵∠C=∠D=90° ，
∴△ACB 和 △BDA 都是直角三角形，
在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，
{AB=BA
AD=BC
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL) ．
【解析】【分析】先求出 △ACB 和 △BDA 都是直角三角形， 再利用HL证明三角
形全等即可。
【变式1-1】已知：如图，∠A =∠D = 90° ， BE = EC . 求证： △ABC ≌ △DCB .【答案】证明：在△ABE 和△DCE 中
{
∠A=∠D
∠AEB=∠DEC
BE=EC
∴△ABE ≌△DCE （ AAS）
∴ AB = DC
∵∠A =∠D = 90°
∴在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中
{AB=DC
CB=BC
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DCB （ HL ）
【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ACB=∠DBC，再由AAS证明△ABE
≌△DCE得到AB=DC，再由HL证明△ABC≌△DCB即可.
【变式1-2】已知：如图，点C、D，在线段AB上，且AC =BD，AE=BF，ED⊥AB，
FC⊥AB．求证：AE∥BF．
【答案】∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠DEA＝∠FCB＝90°，
又∵AC＝BD，
∴AD＝BC，
{AE=BF
在Rt△AED和Rt△BFC中， ，
AD=BC
∴Rt△AED≌Rt△BFC（HL）
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF.
【解析】【分析】先由HL证明两直角三角形全等，对应角相等，再由内错角相等两直线平行即可得证.
题型2：全等的判定条件选择
2.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，BC＝EF，如果添加一个条件后，可以直
接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（ ）
A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．
∠B=∠E
【答案】C
【解析】【解答】由题意可知，一对直角边相等，即BC＝EF，
根“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△DEF，还需补充一对斜边相等，即AB＝DE.
故答案为C.
【分析】先求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定方法判断求解即可。
【变式2-1】如图所示，在下列条件中，不能判断 △ABD ≌ △BAC 的条件是
（ ）
A．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABC B．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC
C．∠BAD=∠ABC ， ∠ABD=∠BAC D．AD=BC ， BD=AC
【答案】B
【解析】【解答】解：A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该
选项符合题意；
C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可。
【变式2-2】如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE， 还需添加两个条件才能使
△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（ ）A．AC=DC，AB=DE B．AC=DC， ∠A=∠D
C．AB=DE，∠B=∠E D．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E
【答案】B
【解析】【解答】解：由题知：CB=CE；
A选项，AC=DC、AB=DE、CB=CE，满足定理：SSS，使ΔABC≅ΔEDC，故A
选项正确；
B选项，AC=DC、∠A=∠D、CB=CE，不满足定理，使ΔABC≅ΔEDC，故B选
项不正确；
C选项，AB=DE、∠B=∠E、CB=CE，满足定理：SAS，使ΔABC≅ΔEDC，故C
选项正确；
D选项，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE、∠B=∠E、CB=CE，满足定
理：ASA，使ΔABC≅ΔEDC，故D选项正确.
故答案为：B.
【分析】 要使△ABC≌△ DEC，已知CB=CE，可根据SSS、SAS、ASA进行逐一判断
即可.
题型3：直角三角形全等的判定与求度数
3.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且
AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数．
【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，{AE=CF
∵ ，
AB=CB
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠BFC=90°-20°=70°．
【解析】【分析】（1）根据题目条件，由两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相
等，即可证明两个直角三角形全等。
（2）在直角三角形CBA中，根据题意可得，∠BAC=45°，即可求得∠BAE=20°，根
据（1）中证明的 Rt△ABE≌Rt△CBF ，即可求得∠FCB=20°，在直角三角形 BFC
中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠BFC的度数。
【变式3-1】如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，点D到AB、AC的距离相
等，且∠B=70∘，求∠CAD的度数.
【答案】解：如下图，过点D分别作AB、AC的垂线交于点E、F，
∵点D到AB、AC的距离相等，
∴DE=DF，又∵∠AED=∠AFD=90°，AD是△ADE与△ADF的公共边，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠CAD=∠BAD，
对于Rt△ABD，∠BAD=90°-∠B=20°，
∴∠CAD=20°.
【解析】【分析】根据点D到AB、AC的距离相等，可得AD是∠BAC的角平分线，
然后根据三角形的内角和公式可求得∠BAD，继而求得∠CAD.
【变式3-2】如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD
于F．
（1）求证：△ABC≌△BED；
（2）求∠BFC的度数．
【答案】（1）证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠BED=90°，
在△ABC和△BED中，
∴△ABC≌△BED（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BED，
∴∠DBE=∠CAB，
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°．
∴∠DBE+∠ACB=90°．
∴在△BFC中，∠BFC=90°．
【解析】【分析】（1）在两个直角三角形中，已知的条件有：AB=BE、BC=DE、
∠ABC=∠E=90°，即可由SAS判定两个三角形全等．
（2）根据（1）题证得的全等三角形，可得到∠DBE=∠A，由于∠A、∠BCF互余，所以∠FBC、∠BCF互余，即∠BFC是直角．
题型4：直角三角形全等的判定与求长度
4.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足
分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．
【答案】解：∵∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ACD和△CEB中，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴BE=CD=2．
【解析】【分析】已知了CD的长，求BE的长，可通过证明三角形BEC和ACD全等
来得出．这两个三角形中已知的条件只有一组直角，根据∠ABC=∠BAC=45°，因此
∠ACB=90°，AC=BC，我们发现∠DAC和∠BCE同为∠ACD的余角，因此
∠DAC=∠BCE，这样就构成了三角形ACD和BCE全等的条件，两三角形全等．这样
就能求出BE、CD的关系就能得出BE的长．
【变式4-1】如图， ∠1=∠2 ， CE⊥AB 于E， CF⊥AD 交AD的延长线于F，
且 BC=DC .
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；（2）若 DF=1cm ， AD=3cm ，则AB的长为 cm.
【答案】（1）解：BE=DF，理由是：
∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
{BC=DC
CE=CF
∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL) ，
∴BE=DF；
（2）5
【解析】【解答】解：（2）在Rt△AFC和Rt△AEC中
，AC=AC，CF=CE
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AE=AF，
∵AD=3cm，DF=1cm，
∴AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，
∴AB=AE+BE=5cm.
故答案为：5.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得CE=CF，然后利用HL证明△CEB≌△CFD，据
此可得结论；
（2）易证△AFC≌△AEC，得到AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，然后根据
AB=AE+BE进行计算.
【变式4-2】如图， ∠ACB=90° ， AC=BC ， AD⊥CE ， BE⊥CE ，垂足分
别为 D ， E ．
（1）求证： △ACD≌△CBE ；
（2）若 AD=12 ， DE=7 ，请直接写出 BE 的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90° ， BE⊥CE ，∴∠ECB+∠ACD=90° ， ∠ECB+∠CBE=90° ，
∴∠ACD=∠CBE ，
∵AD⊥CE ， BE⊥CE ，
∴∠ADC=∠CEB=90° ，
∵AC=BC ，∴△ACD≌△CBE
（2）解：BE=5
【解析】【解答】（2）解：∵△ACD≌△CBE ，
∴AD=CE，BE=CD，
∴BE=CD=AD-DE=5 ．
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 角 的 余 角 相 等 可 得 ∠ACD=∠CBE， 再 利 用
∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC，可证明△ACD≌△CBE；
（2）根据全等三角形的性质可得 BE=CD，CE=AD=12，再利用线段的和差计算出
CD=CE-DE即可。
题型5：直角三角形全等的判定与证明
5.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过点C，过A、B两点分别作直线l的垂
线AE、BF，垂足分别为E、F，AE=CF，求证：∠ACB=90°
【答案】证明：在Rt△ACE和Rt△CBF中，
{AC=BC
，
AE=CF
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）
∴∠EAC=∠BCF
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°.
【解析】【分析】先证出 Rt△ACE≌Rt△CBF，得出∠EAC=∠BCF，从而得出
∠ACE+∠BCF=90°，即可得出∠ACB的度数.
【变式5-1】如图所示，在 △ABC 中， ∠C=90°，AC=BC ，AD平分 ∠BAC 交
BC于D， DE⊥AB 于E，求证 △DEB 的周长等于AB的长【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
{AD＝AD
，
CD＝DE
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∴△DEB 的周长等于AB的长.
【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等
三角形的性质得出 Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周
长，即可得出结论。
【变式5-2】如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 交
CD 的延长线于点 F,BE=DF ．
求证：点A在 ∠BCD 的平分线上．
【答案】证明：在Rt△AEB和Rt△AFD中，
{AB=AD
，
BE=DF
∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF．
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∴点A在∠BCD的平分线上．
【解析】【分析】由HL判定Rt△AEB≌Rt△AFD，再根据角平分线的判定定理即可得
出结论．
题型6：直角三角形全等的判定与求探究6.（1）问题原型：
如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连
接BE，使BE=AC．求证：DE=CD；
（2）问题拓展：
如图2，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使
FM=EF，连接CM．判断线段AC与CM的大小关系，井说明理由；
（3）问题延伸：
在上述问题原型和问题拓展条件及结论下，在图②中，若连接AM，则△ACM为
三角形．
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90 ，
∴∠ABC=45°
∴∠BAD=45°
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
{BD=AD
BE=AC
∴△BDE≌△ADC（HL），
∴DE=CD；
（2）AC=CM，理由：
∵点F是BC中点，
∴BF=CF
在△BEF和△CMF中，
{
BF=CF
∠BFE=∠CFM
EF=MF
∴△BEF≌△CMF（SAS），
∴BE=CM；
由（1）知，BE=AC，∴AC=СM；
（3）等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）如图②
连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠ACD，
由（2）知，△BEF≌△CMF，
∴∠EBF=∠BCM，
∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°，
∵AC=CM，
∴△ACM为等腰直角三角形．
【分析】（1）利用HL证出△BDE≌△ADC，即可得出结论；
（2）利用SAS证出△BEF≌△CMF，由（1）知，BE=AC，即可得出结论；
（3）连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，得出∠BED=∠ACD，由（2）知，
△BEF≌△CMF，得出∠EBF=∠BCM，再根据∠ACM=∠ACD+∠BCM即可得出答案。
【变式6-1】如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，
EF⊥AD，垂足为F，且AB==DE，AF=CD，点G是AD与BE 的交点.
（1）求证∶ BG=EG;
（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若
成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明： ∵BC⊥AD，EF⊥AD，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
{AB=DE
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴BC＝EF
∵BC⊥AD，EF⊥AD
∴BC//EF
∴∠FEG=∠CBG
在△EFG和△BCG中
{∠FEG=∠CBG
EF=BC
∠EFG=∠BGC
∴△EFG≌△BCG （ASA）
∴EG＝BG
（2）解：成立. 证明如下：
∵BC⊥AD，EF⊥AD
∴∠ACB＝∠DFE＝90°
∵AF＝CD
∴AF－FC＝CD－FC
∴AC＝DF
在Rt△ABC和Rt△DFE中
{AB=DE
AC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）
∴∠A＝∠D
在△DEG和△ABG中
{
∠D=∠A
∠DGE=∠AGB
DE=AB
∴△DEG≌△ABG （AAS）
∴EG＝BG
【解析】【分析】（1）由HL证明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由ASA
证明出△EFG≌△BCG （ASA）得出EG＝BG；（2）由 HL 证明出 Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出 BC＝EF，由 AAS 证明出
△DEG≌△ABG （AAS）得出EG＝BG.
【变式6-2】已知： AB⊥BD ， ED⊥BD ， AC=CE ， BC=DE ．
（1）试猜想线段 AC 与 CE 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将 CD 沿 CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 AC ⊥C E
1 2
还成立吗？请说明理由．
（3）若将 CD 沿 CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 AC ⊥C E
1 2
还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）解： AC⊥CE 理由如下：
∵AB⊥BD ， ED⊥BD ，
∴∠B=∠D=90°
{AC=CE
在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中
BC=DE
∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL) ，
∴∠A=∠DCE
∵∠B=90° ，
∴∠A+∠ACB=90° ，
∴∠ACE=180°-(∠DCE+∠ACB)=90° ，
∴AC⊥CE
（2）解：成立，理由如下：
∵AB⊥BD ， ED⊥BD ，
∴∠B=∠D=90° ，
{AC =C E
在 Rt△ABC 和 Rt△C DE 中 1 2 ，
1 2 BC =DE
1
∴Rt△ABC ≌Rt△C DE(HL) ，
1 2
∴∠A=∠DC E ，
2
∵∠B=90° ，
∴∠A+∠AC B=90° ，
1
∴∠DC E+∠AC B=90° ，
2 1在 △C FC 中， ∠C FC =180°-(∠DC E+∠AC B)=90° ，
1 2 1 2 2 1
∴AC ⊥C E
1 2
（3）解：成立，理由如下：
∵AB⊥BD ， ED⊥BD ，
∴∠ABC =∠D=90°
1
{AC =C E
在 Rt△ABC 和 Rt△C DE 中 1 2 ，
1 2 BC =DE
1
∴Rt△ABC ≌Rt△C DE(HL) ，
1 2
∴∠A=∠DC E ，
2
∵∠ABC =90° ，
1
∴∠A+∠AC B=90° ，
1
在 △C FC 中， ∠C FC =180°-(∠DC E+∠AC B)=90° ，
1 2 1 2 2 1
∴AC ⊥C E
1 2
【解析】【分析】（1）先求出 ，再利用HL证明三角形全等，求出
，最后进行证明求解即可；
（2）先求出 ，再证明 Rt△ABC ≌Rt△C DE(HL) ， 最后利
1 2
用三角形的内角和等于180°，进行证明即可；
（3）先求出 ，再证明 Rt△ABC ≌Rt△C DE(HL) ， 求出
1 2
∠A=∠DC E ， 最后计算求解即可。
2
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是
（ ）
A．BD＝AD B．∠B＝∠C
C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，
在 Rt△ADB与 Rt△ADC中，
{AD=AD
，
AB=AC
∴Rt△ADB≅Rt△ADC，
∴∠B=∠C， ∠BAD=∠CAD， BD=CD，
故答案为：B.
【分析】根据HL证明 Rt△ADB≅Rt△ADC，利用全等三角形的性质进行判断即
可.
2．如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（
）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°
∴△ABC和△ADC均为直角三角形
在Rt△ABC和Rt△ADC中
{CB=CD
∵
AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠1=∠CAD
∵∠2+∠CAD+∠D=180°
∴∠2=180°-90°-30°=60°
故答案为：D．
【分析】利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC可得∠1=∠CAD，再利用三角形的内
角和求出∠2=180°-90°-30°=60°即可。
3．如图，在等腰RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点
D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴DE=AD，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
{BD=BD
∵ ，
AD=DE
∴RtΔABD≌RtΔEBD(HL)，
∴AB=BE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证明RtΔABD≌RtΔEBD，可得AB=BE，再利用三角形的周长
公式可得△DEC的周长=DE+CD+CE=BC，再结合BC=10，即可得到答案。
4．如图， △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线CE与内角 ∠ABC 的平分线BE交于点
E，若 ∠BEC=40° ，则 ∠CAE 的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点
M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=（x-40）°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- （x° -
40°） - （x° - 40°） = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA （HL），
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故答案为：D
【分析】先求出EF = EM，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
5．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点
F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法计
算
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABF=∠ABC=90°，
∵AF=AE，
∴Rt△AFB≌Rt△AED(HL)，∴S =S ，
△AFB △AED
∴S =S ，
四边形AFCE 正方形ABCD
∵ AB＝4，
∴S =42=16，
正方形ABCD
∴S =16，
四边形AFCE
故答案为：C
【分析】先利用“HL”证明Rt△AFB≌Rt△AED，再利用全等的性质可得
S =S ，，再利用等量代换可得S =S ，最后利用正方形的性
△AFB △AED 四边形AFCE 正方形ABCD
质求解即可。
6．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，
PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S ＝
△PAC
S +S ．
△MAP △NCP
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，
{PM=PD
，
PA=PA
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
1
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝ ∠ABC+∠APB，
2
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S ＝S ，S ＝S ，
△APD △APM △CPD △CPN
∴S +S ＝S ，故④符合题意，
△APM △CPN △APC
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平
分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得
∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出
∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得
1
∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝ ∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝
2
2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S ＝S ，S ＝S ，据此判
△APD △APM △CPD △CPN
断即可.
7．如图， PD⊥AB ， PE⊥AC ，垂足分别为D、E，且 PD=PE ，则直接判定
△APD 与 △APE 全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【解析】【解答】解： ∵PD⊥AB ， PE⊥AC ，∴∠ADP=∠AEP=90° ，
{PD=PE
在 Rt△ADP 和 Rt△AEP 中 ，
AP=AP
∴Rt△ADP≅Rt△AEP(HL) ，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得：∠ADP=∠AEP=90°，再结合PD=PE，AP=AP，可利用
“HL”证明全等。
8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①
∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD.其中正确的是（
）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；1
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①正确，
2
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用
HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝
AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利
用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝
∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出
∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
9．如图所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂
足为E，若AB＝13cm，则△DBE的周长为 .
【答案】13cm
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵∠C=∠DEA=90°，AD=AD，DE=DC ，
∴△CAD≅△EAD(HL) ，
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴BC=AE，AB＝13cm，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=13cm.
故答案为：13cm.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DC，证明△CAD≌△EAD，得到AC=AE，结合
AC=BC可得BC=AE，然后将△DBE的周长转化为AB，据此解答.
10．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝
CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．【答案】55°
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
{BE=CD
，
BD=CF
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】先利用HL得出Rt△BDE≌△Rt△CFD，再由全等三角形的对应角相等得出
∠BED=∠CDF，根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD的度数，得出
∠BED的度数，即可求出∠EDF的度数。
11．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝
CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
【答案】55°
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
{BE=CD
，
BD=CF
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．【分析】根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD=35°，根据“HL”证明
Rt△BDE≌△Rt△CFD，再利用全等三角形的性质求解即可。
三、解答题
12．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，DB＝BC，求证：
AC=AE+DE．
【答案】证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠EDB=∠C=90°，
在Rt△BED和Rt△BEC中，
{BD=BC
，
BE=BE
∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL），
∴DE=CE，
∴AC=AE+EC=AE+DE．
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△BED≌Rt△BEC，可得DE=CE，再利用
AC=AE+EC=AE+DE即可得证。
13．如图，在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中， ∠B=∠D=90° ， C 为 BD 上一点，
AC=CE ， BC=DE ．求证： AC⊥CE ．
【答案】证明：在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中，
{AC=CE
，
BC=DE∴Rt△ABC ≌ Rt△CDE （ HL ），
∴∠BAC=∠DCE ， ∠ACB=∠CED
∵Rt△ABC 中， ∠BAC+∠ACB=90°
∴∠DCE+∠ACB=90°
∴∠ACD=180°-(∠ACB+∠DCE)=180°-90°=90°
∴AC⊥CE ．
【解析】【分析】先利用“HL”证明 Rt△ABC ≌ Rt△CDE，可得∠BAC=∠DCE ，
∠ACB=∠CED，再利用三角形的内角和可得∠BAC+∠ACB=90°，所以
∠DCE+∠ACB=90°，最后利用∠ACD=180°-(∠ACB+∠DCE)=90°计算即可。
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝34°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于
F，DE＝DF．求∠ADB的度数．
【答案】解： ∵ 在 △ABC 中， ∠BAC=34°，∠ABC=110° ，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=36° ，
∵DE⊥AB，DF⊥AC ，
∴△ADF 和 △ADE 都是直角三角形，
{AD=AD
在 Rt△ADF 和 Rt△ADE 中， ，
DF=DE
∴Rt△ADF≅Rt△ADE(HL) ，
1
∴∠DAF=∠DAE= ∠BAC=17° ，
2
∴∠ADB=∠C+∠DAF=36°+17°=53° ．
【解析】【分析】△ADF 和 △ADE 都是直角三角形，在 Rt△ADF 和 Rt△ADE
1
中，利用HL证出Rt△ADF≅Rt△ADE ，得出∠DAF=∠DAE= ∠BAC=17° ，
2
即可得出∠ADB的度数．
四、综合题
15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB和∠DCB互补，CD＝CB，CE⊥AB于E．（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）试猜想AB，AD，AE的数量关系并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：过点C作CF⊥AD于F
∵在四边形ABCD中∠DAB+∠DCB=180°
∴∠ADC+∠B=180°
∵∠CDF+∠ADC=1800
∴∠B=∠CDF
∵CE⊥AB，CF⊥AD
∴∠CFD=∠CEB=90∘
在ΔCDF和ΔCBE中
{
∠CDF=∠B
∠CFD=∠CEB
CD=CB
∴ΔCDF≌ΔCBE
∴CF=CE
∵CE⊥AB，CF⊥AD
∴AC平分∠DAB.
（2）解：AB+AD=2AE
证明：由（1）可得ΔCDF≌ΔCBE
∴DF=BE
在RtΔACF和RtΔACE中
{CF=CE
AC=AC
∴ΔACF≌ΔACE，
∴AE=AF
∵AB=AE+BE，AD=AF-DF
∴AB+AD=AE+BE+AF-DF=2AE.
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥AD于F，证出ΔCDF≌ΔCBE，得出CF=CE，
即可得出结论；（2）由（1）可得 ΔCDF≌ΔCBE，得出DF=BE，证出 ΔACF≌ΔACE，得出
AE=AF，即可得出结论。
