文档内容
12.2.4 直角三角形全等的判定(HL) 教学设计
一、教学目标：
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
二、教学重、难点：
重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．
难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．
三、教学准备：
课件、三角尺、圆规等。
四、教学过程：
复习回顾
1.判定两个三角形全等方法____________________.
2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.
(1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用
简写法).
(2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用
简写法).
(3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用
简写法).
若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？
知识精讲
探究：任意画出一个Rt ABC，使∠C=90°，再画一个Rt A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，
A′B′=AB. 把画好的Rt A′B′C′剪下，放到Rt ABC上，它们全等吗？
△ △
△ △斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
注意：
(1)“HL”定理是仅适用于Rt 的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使
用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.
△
(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt . 书写格式为：
△
在Rt ABC和Rt A′B′C′中，
∴ R △ t ABC≌Rt △ A′B′C′(HL)
△ △
典例解析
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角，
在Rt ABC和Rt BAD中，
{AB
=
BA
¿¿¿¿
△ △
∴ Rt ABC≌Rt BAD (HL) ，
∴ BC=AD.
△ △
【针对练习】如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线
行走，并同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
解：AD=BE，理由如下：
依题意可得，AC=BC，CD=CE.∵ DA⊥AB，EB⊥AB，
∴ ∠A=∠B=90°，
在Rt ACD和Rt BCE中，
{CD
=
CE
¿¿¿¿
△ △
∴ Rt ACD≌Rt BCE (HL) ，
∴ AD=BE.
△ △
例2.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC.
证明:连接DC.
∵AC⊥AD，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt ADC和Rt BCD中，
△ △
∴Rt ADC≌Rt BCD (HL) ，
∴AD=BC.
△ △
【针对练习】已知：如图， ， ， ，求证： ．
证明：连接AC,如下图，
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴ ∠B=∠D=90°,
在Rt ABC和Rt ADC中，
△ △
∴Rt ABC≌Rt ADC (HL) ,
∴BC△=BD. △例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线,且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分
别为E、F.求证BE=CF.
证明:AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE、DF分别垂直于AB、AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS) ，
∴DE=DF，
在Rt BDE和Rt CDF中，
△ △
∴ Rt BDE≌Rt CDF（HL），
∴BE=CF.
△ △
【针对练习】已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：
BE＝DE．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴在 与 中，
，
∴ （HL），
∴∠BAE＝∠DAE，
在 与 中，
，
∴ （SAS），
∴BE＝DE．
例4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC
上，连接DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．
（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE；
（2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
在Rt CDF和Rt EDB中，
△ △
，
∴Rt CDF≌Rt EDB（HL），
∴∠CFD＝∠B，
△ △
∵∠CFD+∠AFD＝180°，
∴∠B+∠AFD＝180°；
（3）解：由（2）知，Rt CDF≌Rt EDB，
∴CF＝BE，
△ △
由（1）知AC＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+BE，
∵AC＝AF+CF，
∴AB＝AF+2BE，
∵AB＝m，AF＝n，
∴BE＝ （m﹣n）．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测1.判定两个直角三角形全等的方法有________________________________.
2.如图，已知∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件?把增加的条件填在
横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由.
(1)________________( )(2)________________( ) (3)________________( )
(4)________________( )
3.如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D,若BC=10cm，则BD=______cm.
4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF.
5.如图，已知，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，AC=CE.求证：AC⊥CE.
6.如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3
个作为题设,余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加以证明.① AB=DE，② AC=DF，
③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.
己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)
【参考答案】
1. SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2. (1)BC=AD; HL;(2) AC=BD; HL;(3) ∠CAB=∠DBA; AAS;(4) ∠CBA=∠DAB; AAS.
3.5
4.证明：∵ BF=CE，
∴ BF-EF=CE-EF，即 BE=CF，
∵ AE⊥BC，DF⊥BC，
∴ ∠AEB=∠DFC=90°，
在Rt ABE和Rt DCF中，
{AB
=
DC
¿¿¿¿
△ △
∴ Rt ABE≌Rt DCF (HL) ，
∴ AE=DF
△ △
5.证明:AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt ABC和Rt CDE中,
△ △
∴Rt ABC≌Rt CDE(HL) ，
△ △
∴∠A=∠ECD，
∵∠A+∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
即AC⊥CE.
6. ①②④─③
证明:∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，在△ABC和△DEF中,
∴ △ABC≌△DEF(SSS) ，
∴∠ABC=∠DEF，
①③④─②
证明:∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF.
五、教学反思：
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行. 在探究直角三角形
全等的判定方法—“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流. 在寻找未知的等边或等角
时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明. 此外，还要注重通过适
量的练习巩固所学的新知识.
