FY24暑假初二B14直角三角形的判定及其性质教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

14B 直角三角形的判定及其性质 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）直角三角形全等的判定 （2）直角三角形的性质 （3）直角三角形性质的推论 2. 考情分析 （1）直角三角形的判定及其推论属于图形与几何板块，占期末考试分值约20%； （2）主要考察直角三角形的性质及判定定理，以选择题、填空题为主，也可以结合全等三 角形判定定理、线段的垂直平分线与角平分线综合考察解答题； （3）对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明，第三节：直角三角形； （4）直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点 是直角三角形的性质及应用；综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条 件集中到直角三角形中进行求解． 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片 1：直角三角形全等的判定 30分钟 切片 2：直角三角形的性质 30分钟 切片 3：直角三角形性质的推论 30分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——直角三角形全等的判定【建议时长：30 分钟】 考点一：直角三角形全等的判定 知识笔记1 直角三角形全等的判定: （1）直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用； （2）直角三角形全等还有一个特殊的判定方法：__________________________________ __________________________________________. 【填空答案】 有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“H．L”）． 例题1: （1）（★★☆☆☆）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( ) A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 （2）（★★☆☆☆）（2022闵行月考）如图，C =D=90，添加一个条件，可使用“HL”判 定RtABC与RtABD全等．以下给出的条件适合的是( ) A．AC = AD B．AC = BC C．ABC =ABD D．AD=BD （3）（★★★☆☆）（2021徐汇期末）如图，在ABC 中，AB=BC，AD⊥ BC于点D，CE ⊥ AB 于点E，AD和CE 相交于点O，BO的延长线交AC 于点F ，则图中全等的直角三角形有 ( )对． 2A．3 B．4 C．5 D．6 （4）（★★★☆☆）如图，已知：在ABC 中，ABC的平分线与AC 边的垂直平分线相交于 点N ，过点N 作ND⊥ AB于D，NE ⊥ BC 于E．求证：AD=CE． 【常规讲解】 （1）解：A、正确．符合AAS ； B、正确．符合SAS ； C 、正确．符合HL； D、错误．要证两三角形全等必须有边的参与． 故选：D． （2）解：添加AC = AD，理由如下： C =D=90， 在RtADB和RtACB中， AC= AD  ， AB= AB RtADBRtACB(HL)， 故选：A． （3）解：全等三角形有ABF CBF ，ADBCEB，CODAOE，COF AOF ， ADC CEA，EOBDOB，共6对， 3理由是： AD⊥BC，CE ⊥ AB， CEB=ADB=90，AEC =CDA=90， 在ADB和CEB中， ADB=CEB  ABD=CBE，  AB=CB ADBCEB(AAS)， AD=CE ，BD=BE，DCO=EAO， AB=CB， BC−BD= AB−BE， 即CD= AE， 在CDO和AEO中， DCO=EAO  CD= AE ，  CDO=AEO CDOAEO(ASA)， CO= AO，DO=EO， 在COB和AOB中， BC =BA  BO=BO ，  CO= AO COBAOB(SSS)， CBF =ABF ， 在ABF和CBF 中， AB=CB  ABF =CBF ，  FB=FB ABF CBF(SAS)， CF = AF ， 在RtAFO和RtCFO中， AO=CO  ， AF =CF RtAFORtCFO(HL)， 4同理：ADC CEA(HL)， 在EOB和DOB中， OD=OE  OB=OB ，  BD=BE EOBDOB(SSS) 故选：D． （4）证明：连接AN 、CN ． MN 是AC 边的垂直平分线，BN 是ABC的平分线，ND⊥ AB，NE ⊥ BC ， AN =CN ，DN =EN， 在RtAND和RtCNE中， AN =CN  ， DN =EN RtANDRtCNE， AD=CE ． 练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( ) A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等 C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等 （2）（★★☆☆☆）如图， AB⊥CD ，垂足为 O ．添加下列一组条件后，不能判定 RtAOCRtBOD的是( ) 5A．AC = BD，OA=OB B．OA=OD，A=B C．AC = BD，OC =OD D．AC = BD，AC //BD （3）（★★★☆☆）如图，ABC 中，AB= AC，BD⊥ AC于D，CE ⊥ AB于E，BD和CE 交于点O，连接AO，则图中有______对全等的直角三角形． （4）（★★★☆☆）已知：如图，AD平分BAC，DE⊥ AB于E，DF ⊥ AC于F ，DB=DC ， 求证：EB=FC． （5）（★★★☆☆）（2021•普陀期末）如图，ABC 中，BD平分ABC，DG⊥ AC于点G ， 且点G 为AC 的中点，DE ⊥BA于点E，DF ⊥ BC于点F ．求证：AE =CF ． 【常规讲解】 （1）解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意； B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意； 6C 、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意； D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意． 故选：A． （2）解：A、当AC = BD，OA=OB时，根据HL定理可以判定RtAOCRtBOD，故本 选项不符合题意； B、当OA=OD，A=B时，不能判定RtAOCRtBOD，故本选项符合题意； C 、当AC = BD，OC =OD时，根据HL定理可以判定RtAOCRtBOD，故不符合题意； D、当AC //BD时，A=B，根据AAS 定理可以判定RtAOCRtBOD，故本选项不 符合题意； 故选：B． （3）解： 高BD、CE 交于点O， AEO=ADO=90， 图中的全等的直角三角形有： ①在AEC 与ADB中， AEO=ADO  EAC =DAB ，  AC = AB AEC ADB(AAS)， ABO=ACO， AB= AC ， ABC =ACB， CBO=BCO， OB=OC ； ②在AEO与ADO中， AEO=ADO  BAO=CAO，  AO= AO AEOADO(AAS)， ③在BOE与COD中， 7BEO=CDO  BOE=COD，  BO=CO BOE COD(AAS)； ④在BCE 与CBD中， CEB=BDC  CBO=BCO，  BC =CB BCE CBD(AAS)．共有4对． 故答案为：4． （4）证明： AD平分BAC，DE⊥ AB于E，DF ⊥ AC于F ， DE=DF，BED=CFD=90． DE=DF 在RtBDE和RtCDF中， ， DB=DC RtBDERtCDF(HL)， EB=FC ． （5）证明：如图，连接AD，CD， BD平分ABC，DG⊥ AC，DF ⊥ BC， DE=DF， DG⊥ AC ，点G 为AC 的中点， DG是AC 的垂直平分线， AD=CD， 在RtADE和RtCDF中， AD=CD  ， DE=DF RtADERtCDF(HL)， AE =CF． 8知识加油站 2——直角三角形的性质【建议时长：30分钟】 考点二：直角三角形的性质 知识笔记2 直角三角形的性质 定理1：____________________________________________________； 定理2：____________________________________________________； 【填空答案】 直角三角形的两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 例题2: （1）（★★★☆☆）如图，在RtABC中，ACB=90，A=62，CD⊥ AB，垂足为D， E是BC的中点，连接ED，则EDC的度数是． （2）（★★★☆☆）（2022•青浦区青浦实验中学期末）如图，已知ABC 中，C =2B， 1 AH ⊥BC于点H，D是AC 中点，DE //AB，求证：EH = AC． 2 （3）（★★★★☆）如图（1），已知锐角ABC 中，CD、BE分别是AB、AC 边上的高，M 、 N 分别是线段BC、DE的中点． ①求证：MN ⊥DE ． 9②连接DM，ME，猜想A与DME之间的关系，并证明猜想． ③当A变为钝角时，如图②，上述①②中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不 需证明；若结论不成立，说明理由． 【常规讲解】 （1）解： ACB=90，A=62， B=90−A=90−62=28， CD⊥ AB， CDB=90， DCE =90−B=90−28=62， E是BC的中点， 1 1 DE = ，CE= BC ， 2 2 DE=CE ， EDC =DCE =62， 故答案为：62． （2）证明：连接DH ， DE//AB， B=DEC， C =2B， C =2DEC， AH ⊥BC 于点H ，D是AC 中点， 1 HD= AC=CD， 2 C =DHC， DHC =2DEC， 10DHC =DEC+HDE， DEC =HDE， DH =EH， 1 EH = AC ． 2 （3）①证明：如图（1），连接DM，ME， CD、BE分别是AB、AC 边上的高，M 是BC的中点， 1 1 DM = BC，ME= BC， 2 2 DM =ME， 又 N 为DE中点， MN ⊥DE； ②在ABC 中，ABC+ACB=180−A， DM =ME =BM =MC， BMD+CME=(180−2ABC)+(180−2ACB)， =360−2(ABC+ACB)， =360−2(180−A)， =2A， DME =180−2A； ③结论①成立，结论②不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在ABC 中，ABC+ACB=180−BAC ， DM =ME =BM =MC， BME+CMD=2ACB+2ABC， =2(180−BAC)， =360−2BAC， DME=180−(360−2BAC)， =2BAC−180． 11练习2: 【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）如图，RtABC中，BAC =90，C =20，点D为斜边BC的中点， 连接AD，AE ⊥ BC于点E，则DAE为______度． （2）（★★★☆☆）已知：如图，在ABC 中，AD是边BC上的高，CE 是边AB上的中线， G 是CE 的中点，DG ⊥CE于点G ．求证：B=2BCE ． （3）（★★★★☆）（2021•普陀期末）已知：在RtABC中，BAC =90，点D 是BC的中 点，点E在AD上． ①当B=ACE时，求证：CE ⊥ AD． ②当AC =CE时，求证：2B=ACE ． 【常规讲解】 （1）解： BAC =90，点D为斜边BC的中点， 121 AD=CD= BC ， 2 C =DAC =20， ADE =C+DAC =40， AE ⊥BC ， AEC =90， EAD=90−ADE=50， 故答案为：50． （2）证明：如图：连DE， G是CE 的中点，DG ⊥CE， DG是CE 的垂直平分线， DE =DC， AD是高，CE 是中线， DE是RtADB的斜边AB上的中线， 1 DE=BE= AB， 2 DC =BE； DE=DC， DEC =BCE， EDB=DEC+BCE =2BCE ， DE=BE， B=EDB， B=2BCE． （3）证明： 在RtABC中，BAC =90，点D 是BC 的中点， 1 AD=BD=CD= BC， 2 B=BAD，DAC =ACD． 13① BAC =90，B=BAD， B+DAC =BAD+DAC =90， B=ACE， ACE+DAC =90， AEC =90， CE⊥ AD． ② B=BAD， ADC =B+BAD=2B． AC =CE ， AEC =CAE， CAE =ACD， AEC =ACD， ACE =ACD−DCE=AEC−DCE=ADC， 2B=ACE． 14知识加油站 3——直角三角形性质的推论【建议时长：30 分钟】 考点三：直角三角形性质推论 知识笔记3 直角三角形性质的推论 （1）在直角三角形中，_________________________________________________________； （2）在直角三角形中，_________________________________________________________； 【填空答案】 （1）30°所对的直角边等于斜边的一半； （2）如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 例题3: （1）（★★★☆☆）已知：如图，在ABC中，ACB=90，CD⊥ AB，D 为垂足，A=30， BD=3，那么BC =________． （2）（★★★☆☆）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E ，使AE = AB， 则EBC的度数为________． （3）（★★★★☆）若等腰三角形一腰上的高等于这条腰的一半，则此三角形的顶角的度数为 ________．度． （4）（★★★☆☆）如图，已知RtABC中，ACB=90，B=15，边 AB的垂直平分线 15交边BC 于点E，垂足为点D ，取线段BE 的中点F ，联结DF．求证：AC =DF ．（说 明：此题的证明过程需要批注理由） （5）（★★★☆☆）已知MAN ，AC 平分MAN ． ①在图1中，若MAN =120，ABC =ADC =90，求证：AB+ AD= AC； ②在图2中，若MAN =120，ABC+ADC =180，则①中的结论是否仍然成立？若成 立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【常规讲解】 （1）解： ABC中，ACB=90，A=30， B=60， 又CD⊥ AB， BCD=30， BD=3， BC =2BD=6， 故答案为6． （2）解： 四边形ABCD是矩形， D=ABC =90，AD=BC，DC//AB， AB=AE，AB=2CB， AE=2AD， DEA=30， DC//AB， DEA=EAB=30， AE=AB， 161 ABE=AEB= (180−EAB)=75， 2 ABC =90， EBC =90−75=15， 故答案为：15． （3）解：分两种情况讨论： ①当BD在三角形内部时， 1 BD= AB，ADB=90， 2 A=30； ②当BD在三角形外部时， 1 BD= AB，ADB=90， 2 DAB=30，ABC =180−DAB=30=150． 故答案为：30或150． （4）证明：连接 AE， DE是 AB的垂直平分线（已知）， AE=BE，EDB=90（线段垂直平分线的性质）， EAB=EBA=15（等边对等角）， AEC =30（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， RtEDB中， F是BE 的中点（已知）， 1 DF = BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 2 RtACE中， AEC =30（已知）， 1 AC= AE（直角三角形30角所对的直角边是斜边的一半）， 2 AC=DF （等量代换）． （5）①证明： MAN =120，AC 平分MAN ， CAD=CAB=60． 17又ABC =ADC =90， 1 1 AD= AC，AB= AC， 2 2 AB+ AD= AC． ②解：结论仍成立．理由如下： 作CE⊥ AM 、CF ⊥ AN于E 、F ．则CED=CFB=90， AC平分MAN ， CE=CF ． ABC+ADC =180，ADC+CDE =180 CDE =ABC， 在CDE和CBF中， CDE =CBF  CED=CFB ，  CE =CF CDE CBF(AAS)， DE=BF． MAN =120， AC 平分MAN ， MAC =NAC =60，ECA=FCA=30， 1 1 在RtACE与RtACF中，则有AE= AC ，AF = AC， 2 2 1 1 则AD+AB= AD+AF +BF = AD+AF +DE= AE+AF = AC+ AC= AC． 2 2 AD+ AB= AC． 18练习3: 【学习框12】 1 （1）（★★★☆☆）如图，在RtABC中，ACB=90，CH ⊥ AB于H ，如果CH = AC， 2 那么B=_______度． （2）（★★★☆☆）如图，在ABC中，ACB=90，CD⊥ AB于D ，EC 是 AB上的中线， 若AB=10cm，DE =2.5cm，则A=_______． （3）（★★★☆☆）RtABC中，ACB=90，BAC =30，AD平分BAC，MN 是AD 的垂直平分线，交AD于点M ，交 AB于点N ，已知DC =2，求AN 的长． （4）（★★★☆☆）（2023•崇明期末）已知如图，在 ABC中，AB= AC，B=30， AD⊥ AC，求证：CD=2BD． （5）（★★★☆☆）（2023•闵行期末）已知点D是等边 ABC边BC的中点，E 、F 分别为 边AB、射线AC 上的点，且EDF =120． 19①如图1，当DF⊥AC，AB =4时，求BE的长； 1 ②如图2，当F 在边AC 上时，求证：BE+CF = AB； 2 【常规讲解】 （1）解： CH ⊥ AB ， AHC =90， 1 CH = AC ， 2 A=30， ACB=90， B=90−A=60， 故答案为：60． （2）解： CD⊥ AB， ADC =90， EC 是直角ACB的斜边 AB上的中线，AB=10cm， 1 1 EC= AB=5(cm)，AE=BE= AB(cm)， 2 2 AE=EC ， A=ACE， CE =5cm，DE =2.5cm，ADC =90， 1 DE= CE， 2 ECD=30， CED=90−ECD=60， A+ACE =CED=60，A=ACE， A=30， 20故答案为：30． （3）解：如图所示，过D 作DE⊥AB于点E ，连接DN ， AD平分BAC，DC ⊥ AC，DE⊥AB， DE =CD=2， BAC =30， AD平分BAC， BAD=15， MN 是 AD的垂直平分线， NA=ND， ADN =NAD=15， DNE=30， DN =2DE=4， AN =4． 证明：∵在 ABC中，AB= AC，B=30， （4） ∴C =B=30， ∴BAC =180−B−C=120， ∵AD⊥ AC， ∴DAC =90， ∴CD=2AD，∠BAD=∠BAC−∠DAC =30， ∴B=BAD， ∴BD= AD， ∴CD=2BD． （5）①解：如图1， 21∵ ABC是等边三角形， ∴B=C =60，BC=AC=AB=4， ∵点D是线段BC的中点， 1 ∴BD=DC= BC=2， 2 ∵DF⊥AC， ∴AFD=90， ∴AED=360−60−90−120=90， ∴BED=90， ∴BDE =30， 1 ∴BE= BD=1； 2 ②解：过点D作DM ⊥AB于M，作DN⊥AC于N ，如图2， 则有AMD=BMD=AND=CND=90， ∵A=60， ∴MDN =360−60−90−90=120， ∵EDF =120， ∴MDE =NDF ， 在 MBD和 NCD中， 22BMD＝CND  B=C ，  BD=CD ∴ MBD≌ NCD(AAS)， ∴BM =CN，DM =DN ， 在 EMD和 FND中， EMD＝FND  DM =DN  MDE=NDF ∴ EMD≌ FND(ASA) ∴EM =FN， 1 1 ∴BE+CF =BM +EM +CN−FN =BM +CN =2BM =BD= BC= AB； 2 2 23全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★★☆☆）在RtABC中，C=30，斜边 AC 的长为5cm，则 AB 的长为( ) A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm 【常规讲解】 解： ABC为直角三角形，C=30， 1 AB= AC=2.5cm． 2 故选：B ． 练习2: （1）（★★★☆☆）如图，在RtABC中，C =90，A=15，DE垂直平分AB交AC 于E，若BC=1，则AE=_______． （2）（★★★☆☆）在ABC中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR⊥ AB，PS ⊥ AC， 垂足分别是R，S，PR= PS ，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS = AR；②PQ//AR； ③BRPCSP．其中正确的是_______． （3）（★★★☆☆）如图，矩形ABCD的对角线相交于O ， AE平分BAD交BC 于E ，若 CAE =15，则COE =_______度． 24【常规讲解】 （1）解： DE垂直平分 AB， BAE=B=15， BEC =ABE+A=15+15=30， AE=BE =2BC =2 （2）解：连接 AP， 在RtASP和RtARP中， PR=PS  AP= AP RtASPRtARP(HL)，  ①AS = AR正确； AQ=PQ， QAP=QPA， 又 RtASPRtARP， PAR=PAQ， 于是RAP=QPA，  ②PQ//AR正确； ③BRPCSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为：①②． 25（3）解：在矩形ABCD中， AO=BO=CO=DO，ABC =90， CAE =15， AE平分BAD， BAE =BEA=45， AB=BE， BAC =60，OA=OB， AOB是等边三角形， BAC =60， 1 BCA=30，AB= AC=BO， 2 BE=BO， 又 DBC =ACB=30， 在BOE中 BOE=(180−DBC)2=75， COE=180−60−75=45． 故答案为：45． 练习3: （★★★☆☆）如图，ABC中，AB= AC，BAC=120，AD⊥ AC 交BC 于点D ， 求证：BC =3AD． 【常规讲解】 证明：在ABC中， AB= AC ，BAC=120， B=C =30， 又 AD⊥ AC ， DAC =90， C=30 CD=2AD，BAD=B=30， AD=DB， 26BC =CD+BD= AD+DC = AD+2AD=3AD． 练习4: （★★★☆☆）在RtABC中，ABC =90，BD为ABC的角平分线，F 为AC 的中点， AE//BC交BD的延长线于点E ，其中FBC =2FBD． （1）求EDC的度数． （2）求证：BF = AE． 【常规讲解】 解：（1） ABC =90，BD为ABC的角平分线， ABD=DBC =45， FBC =2FBD． FBD=15，FBC =30， ABC =90，点F 是AC 中点， AF =BF =CF ， C =FBC =30， EDC =C+DBC =75； （2） C=30，ABC =90， AC =2AB， AB=AF=BF， AE//BC， E=DBC =45=ABD， AB=AE， AE=BF． 27关卡二 练习5: （★★★★☆）如图，在RtABC中，BAC =90，点D在BC上，过D作DF ⊥BC交BA 的延长线于F ，连接AD、CF ，若CFE =32，ADB=45，则B的大小是( ) A．32 B．64 C．77 D．87 【常规讲解】 解：如图，取CF 的中点T ，连接DT ， AT ． BAC =90，FD⊥ BC ， CAF =CDF =90， 1 AT =DT = CF， 2 TD=TC =TA， TDA=TAD，TDC =TCD， ADB=45， ADT +TDC =135， ATC =360−2135=90， AT ⊥CF ， CT =TF ， AC = AF， AFC=45， BFD=45−32=13， BDF =90， B=90−BFD=77， 故选：C ． 28练习6: （★★★★☆）已知：在ABC中，ABC =90，点E 在直线 AB 上，ED与直线AC 垂直， 垂足为D，且点M 为EC中点，连接BM ，DM ． （1）如图1，若点E 在线段 AB 上，探究线段BM 与DM 及BMD与BCD所满足的数量 关系，并直接写出你得到的结论； （2）如图2，若点E 在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜 想并加以证明； （3）若点E 在 AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM 与DM 及BMD与BCD所满足的数量关系． 【常规讲解】 解：（1）结论：BM =DM ，BMD=2BCD． 理由： BM 、DM 分别是RtDEC、RtEBC的斜边上的中线， 1 BM =DM = CE； 2 又 BM =MC ，MCB=MBC，即BME =2BCM ； 同理可得DME =2DCM ； BME+DME=2(BCM +DCM)，即BMD=2BCD． （2）在（1）中得到的结论不发生变化．即BM =DM ，BMD=2BCD 证法一： 点M 是RtBEC的斜边EC的中点， 1 BM = EC=MC， 2 又点M 是RtBEC的斜边EC的中点， 291 DM = EC=MC，BM =DM ； 2 BM =MC ，DM =MC， CBM =BCM ，DCM =CDM ， BMD=EMB−EMD=2BCM −2DCM =2(BCM −DCM)=2BCD， 即BMD=2BCD． 证法二： 点M 是RtBEC的斜边EC的中点， 1 BM = EC =ME； 2 又点M 是RtDEC的斜边EC的中点， 1 DM = EC=MC， 2 BM =DM ； BM =ME，DM =MC， BEC =EBM ，MCD=MDC ， BEM +MCD=BAC =90−BCD， BMD=180−(BMC+DME) =180−2(BEM +MCD)=180−2(90−BCD)=2BCD， 即BMD=2BCD． （3）所画图形如图所示： 图1中有BM =DM ，BMD=2BCD； 图2中BCD不存在，有BM =DM ； 图3中有BM =DM ，BMD=360−2BCD． 解法同（2）． 30