文档内容
北师大八年级上册数学知识点总结
第 1 章 勾股定理
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
注意：（1）勾股定理是揭示直角三角形三边数量关系的定理，只适应于直角三角形，如果不是直角三
角形，那么三边就不存在这种数量关系；
（2）应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，即斜边，在Rt△ABC中斜边未必一
定是c，当∠A=90°时，a2=b2+c2;当∠B=90°时，b2=a2+c2.
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是面积法（图形的割补、拼接等）。用拼接方式验证勾股定理的思
路是：
（1）将直角三角形拼成一个新的规则图形，如正方形、长方形、梯形等；
（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.
常见方法如下：
验证方法一：毕达哥拉斯证法
b a
如图1，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
a
c
b
c
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
c
大正方形面积为 b
c
a
所以 a b
验证方法二：赵爽弦图 图1
1
如图2，大正方形的面积可以表示为c2，又可以表示为 ab×4+(b−a) 2 ,
2
1
所以c2= ab×4+(b−a) 2
2
即c2=2ab+b2−2ab+a2.
所以
验证方法三：美国总统证法
图2
1如图，梯形ABCD的面积可以表示为 ，
1 1
也可以表示为S =2∙ ab+ c2
梯形 2 2
1 1 1
所以 (a+b)∙(a+b)=2∙ ab+ c2 ，化简可得
2 2 2
3.勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理
内容：如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意事项：
⑴定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足
，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边;
⑵由于未确定三角形是否为直角三角形，故在使用勾股定理的逆定理前，不能使用“斜边、直角边”之类的
词语；
⑶勾股定理逆定理的延伸
设 ， ， 为三角形的三条边：
①若满足 ，则这个三角形是直角三角形；
②若满足 ，则这个三角形是钝角三角形；
③若 ，则这个三角形是锐角三角形；
直角三角形的判断方法
有两种：（1）根据角，利用两锐角互余判定；（2）根据边，利用直角三角形的判别条件（勾股定理逆定
理）判定.
勾股数
内容：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，
称 ， ， 为一组勾股数.
⑴勾股数满足两个条件：① ；②三个数均为正整数.
⑵常见的勾股数有：
a b c 备注
3 4 5
6 8 10
5 12 13
6 8 10 3，4，5同时扩大2倍
7 24 25
8 15 17
29 12 15 3，4，5同时扩大3倍
9 40 41
10 24 26 5，12，13同时扩大2倍
12 16 20 3，4，5同时扩大4倍
⑶一组勾股数中的各数同时扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数，如 ， ， 是一组勾股数，则
1
ka,kb,kc(k为正整数）也是勾股数.但注意，每组勾股数缩小为原来的 时，虽然依然满足勾股定理，
k
但不一定还是勾股数，如3，4，5是一组勾股数，6，8，10也是一组勾股数，但是0.3，0.4，0.5不是一组
勾股数。
⑷判断一组数是不是勾股数的方法
①确定三个正整数；②计算最大数的平方与较小两数的平方和；③若两者相等，则为勾股数，否则不是。
⑸勾股数的几种形式
①若n为大于1的整数，则a=n2−1,b=2n,c=n2+1是勾股数；
②若n为正整数，则a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1是勾股数；
③若m>n，m,n为正整数，则a=m2−n2,b=2mn，c=m2+n2是勾股数.
注意：以勾股数为边长的三角形为直角三角形，但是能构成直角三角形的三条边长度不一定是勾股数.
4．勾股定理（逆定理）的应用
应用一 直角的判断
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推
算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平
方比较而得到错误的结论；
应用二 垂直距离的计算
过直线外一点和该条直线上所有点的连线中，垂直线段最短，根据这一性质，在解决最短距离的实际问题中，
就需要作出点到直线的垂直线段，构造直角三角形，应用勾股定理去解决这类问题；
计算最短路程
把立体图形展开，得到平面图形，根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短
距离．
第 2 章 实数
1、无理数
无理数概念：
内容：无限不循环小数叫做无理数。
学习无理数应该把握无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是无限不循环小
数.判断一个数是不是无理数，对照这3个特征一个也不能少.
无理数分类
3判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环小数，常见的无理数形式有三种，如下：
①一般的无限不循环小数，包含无规律的无限不循环小数和有规律的无限不循环小数，无规律的无限不循环
小数如2.31257823…;有规律的无限不循环小数如0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）等；
π
②π及含π的数，如π，3π， ，π−5等；
2
3
√7,√2
③开方开不尽的数，如 等.
有理数与无理数的区别
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形
式 。
有理数与无理数的判断
目前我们常见的数不是有理数，就是无理数.在辨别时，首先要对各数进行化简，若化简后数的外在形
式是整数、分数、有限小数、循环小数，则这个数就是有理数.
常见的无理数近似值
√2=1.414 √3=1.732 √5=2.236 √6≈2.449 √7≈2.646 √10=3.162
2、算术平方根
定义：一般地，如果一个正数 x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0，即√0=0；
√a
表示方法：记作“ ”，读作根号a，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方
√9=3
根是3，即 。
性质
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根；
算术平方根的双重非负性
√a
①若 有意义，则被开方数a是非负数。
②算术平方根本身是非负数。
{a≥0
上述两点总结来说，即
√a≥0
算术平方根等于本身的数是 0 或 1 ，即若 √a=a,那么a为：0或1.
43、平方根
定义：一般地，如果一个数 x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二
次方根）。
±√a
表示方法：正数a的平方根记做“ ”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。
平方根等于自身的数是 0 ， 即若±√a= a，那么a=0;
算术平方根与平方根的关系
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。算术平方根只有一个值，并且是非
√a ±√a
负数，它只表示为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： 。
4、立方根
定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次
方根）。
3
√a
表示方法：记作 ，读作“三次根号a”；
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
根据性质可得立方根具有两个特征
①保号性，即一个数的立方根和它本身符号一致；
②唯一性，任何数都有且只有一个立方根.
性质延伸：互为相反数的两个数，其立方根也互为相反数，如 8的立方根为2，-8的立方根为-2，即
3 3
√−a=−√a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
算术平方根、平方根与立方根的异同
立方根是它本身的数是 - 1 , 0 ， 1 ，即若 a3=a，那么a为−1，0，1；
立方根的几个重要等式
5①(√3 a) 3=a;②√3 a3=a;③ √ 3 −a=−√ 3 a .
5、估算
用估算法确定无理数的大小：夹逼法
对于带根号的无理数的近似值的确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼
近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
“精确到”与“误差小于”的区别
精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不
唯一。
用估算的方法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出
无理数的大致范围，再作具体比较。比较两个数的大小常见方法：
√2 1 √2 1
1.估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较.如比较 与 ，因为√2 ≈1.414＞1，所以 ＞ .
2 2 2 2
2.作差法：若√a−√b>0，则√a>√b；若√a−√b<0，则√a<√b .
3.乘方法：把含有根号的两个无理数同时乘方（一般平方或立方），比较乘方后的数的大小，同时考虑
符号确定大小即可.
4.放缩法：要证明a>b,可以先找个中间数c，转证a>c,c>b .
5.作商法、倒数法等.
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：
（1）若a＞b≥0,则√a>√b
（2）若a＞b，则√3 a>√3 b或a3>b3
（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2
6、实数
实数概念
内容：有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数； 绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。
实数分类
6注意：实数也可以分为正实数、0与负实数。
实数的性质
①相反数：实数a的相反数是-a；
1
a
②倒数：实数a的倒数是 （a≠0）；
√a 1 √a
注意：若a>0，则√a的倒数是 ,即 =
a √a a
{a(a≥0)¿¿¿¿
③绝对值：实数a的绝对值|a|= ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两
个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算
①在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
②运算顺序与有理数的一致：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面
的。
③两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数，如−√2+√2=0，−√2×√2=-2；无理数与有理数的和、
差结果一定是无理数；无理数与一个非零有理数的乘积，结果一定是无理数.
实数与数轴的关系
每个实数与数轴上的点是一一对应的：
（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示一个实数。
7、二次根式及有关计算
（1）二次根式定义
7√a（a≥0）
形如 的式子叫做二次根式，a叫做被开方数
√
注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“ ”，另外，只看它的初始外在形态，不看它计算或化
√9 √9
简的结果，如 =3， 是二次根式,但3不是二次根式;
（2）被开方数a≥0，其中a可以是数，也可以是代数式.
（2）、二次根式性质
√ab=√a.√b(a≥0,b≥0)
性质1： 即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;
注意：公式可以推广为√ a∙b∙c∙d∙ ⋯ ∙n=√a∙√b∙√c∙√d∙ ⋯ ∙√n(a,b,c,d,⋯,n≥0)
√a √a
= (a≥0,b>0)
b √b
性质2： ，即商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
注意①被开方数中的分母b不能为0;
√a √a √−a
②若a<0,b<0,则化简 被开方数的被除式和除式要加上负号，即 = .
b b −b
（3）最简二次根式
概念：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式
最简二次根式满足条件
①被开方数的因数是整数，因式是整式，不能含有分母；
= 2 ¿ GB3 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
二次根式化简后的结果应满足下面三个条件
①被开方数中不含分母或小数；
②被开方数中不含指数大于1的因数或因式；
③分母中不含有根号.
（4）同类二次根式
概念：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
例如√8、√18、4√2是同类二次根式（√8= 2√2，√18= 3√2）
（5）二次根式乘除法法则
√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)
法则1：乘法法则 ）
√a √a
= (a≥0,b>0)
√b b
法则2：除法法则 ）
（6）二次根式加减法步骤
①化：将各个二次因式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式
③合：合并被开方数相同的二次根式--------将系数相加减，根指数与被开方数保持不变.
（7）二次根式去根号法则
8(√a) 2 =a(a≥0)
①
注意：√a2与(√a ) 2 是有区别的：
⑴a的取值范围不同. √a2中a可以是正数，可以是负数，也可以是0，而(√a ) 2 中的a的取值只能是非负
数；
⑵运算顺序不同.√a2中a是先平方再算算术平方根，，而(√a ) 2 中a是先求算术平方根再平方.
（8）分母有理化
概念：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。
(√a) 2 =a(a≥0)
依据：分式的基本性质和二次根式的性质公式 。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代
数式互为有理化因式。
注意互为有理化因式有如下几种类型：
m a a a b a b a b a b
④ 与 ；② 与 ；③ 与 ；
m a n b m a n b a, b
④ 与 （其中 都是最简二次根式）
第 3 章 位置与坐标
1、生活中确定位置的方法
在平面内确定一个物体的位置一般需要2个数据：
①行列定位法
②方位角加距离定位法
9在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。如下图，超市在学校的北偏东60°方向，且
距离学校500米处；
注意事项：方位角加距离定位法要注意中心位置的选取，上方描述的位置是以学校为中心，如果选择以
超市为中心，则学校在超市的南偏西60°方向，且距离超市500米处；
③方格定位法
④区域定位法
⑤经纬度定位法
利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。如图北京的位置约
是“北纬40°，东经116°”.
2、平面直角坐标系的相关概念
在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，构成了平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，取
向右的方向为正方向；竖直的数轴称为y轴，又称纵轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直
角坐标系的原点。
注意：一般情况下，同一直角坐标系的x轴，y轴的单位长度是相同的，但在实际问题中，两坐标轴的
单位长度要根据实际问题调整，故可以不同.但是在同一坐标轴上的单位长度必须相同.
3、象限的划分
（1）、建立平面直角坐标系后，整个平面被分为 6 个部分 ：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限、
横轴、纵轴。横轴和纵轴是各象限的分界线，不属于任何象限。
右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限(如下图)．
10注意：①理解象限的概念时，要注意它们是按逆时针方向排列的，不要弄错方向。
②坐标轴上的点不属于任何一个象限。
（2）、建立平面直角坐标系后，平面上任何一个点都有唯一的一个有序实数对与它对应，称为点的坐标，
反之，任何一个有序实数对，都可在平面直角坐标系内找到唯一的一点与它对应．
4、点的坐标
（1）、坐标含义
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点
P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。 y
P
b
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间
用“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，
a 0 x
当
a≠b
时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
（2）、点P(a,b)到坐标轴及原点的距离：
①点P(a,b)到x轴的距离等于|b|
②点P(a,b)到y轴的距离等于|a|
③点P(a,b)到原点的距离等于√a2+b2（由勾股定理得）
5、不同位置点的坐标特征
坐标轴上点的坐标特征
x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。
11 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同；
各象限的角平分线上的点的坐标特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数
注意：到x轴、y轴的距离相等的点，横坐标、纵坐标相等或互为相反数
关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
① 点P与点 关于x轴对称（上下）⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数， y
P(x,y)
y
即点P（x，y）关于x轴的对称点为 （x，-y）
x
0
-y
② 点P与点 关于y轴对称（左右）⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数， P'(x,-y)
y
即点P（x，y）关于y轴的对称点为 （-x，y）
P(x,y) P'(-x,y)
③ 点P与点 关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数，
x
x 0 -x
即点P（x，y）关于原点的对称点为 （-x，-y）
y
P(x,y)
规律： y
-x
x
关于谁对称谁不变，另一个变相反； x 0
-y
关于原点对称，两个分别变相反。 P'(-x,-y)
6、轴对称与坐标变换
（1）、图形的坐标变化与轴对称
①横坐标不变，纵坐标分别乘-1，所得图形与x轴对称；反之与y轴对称。
②在坐标系中作轴对称图形的方法：确定对称点坐标，描出各对称点，依次连线。
（2）、直角坐标系中对称点的坐标关系
12①关于x轴对称的两点坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
②关于y轴对称的两点坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
7、建立直角坐标系的原则
平面直角坐标系的建立要尽量使坐标简单、运算过程简单，一般原则如下：
（1）、使图形中尽量多的点在坐标轴上；
（2）、以某些特殊线段所在的直线为x轴或y轴（如三角形的底或高）；
（3）以轴对称图形的对称轴为x轴或y轴；
（4）以某已知点为原点.
注意：在平面内，由于图形放置方式不同，建立的平面直角坐标系不同，所得点的坐标也不同.
8、平面两点间的距离公式
坐标轴上两点间距离
如果A、B是X轴上两点， A点(x ， 0) ， B点(x ， 0) ，那么点 A 和B 的距离为|
1 2
AB|=|x -x | ;
1 2
如果A、B是y轴上两点，A点(0 ， y ) ，B点(0 ， y ) ，那么点A 和 B的距离为|AB|
1 2
=|y -y | .
1 2
平面内任意两点间的距离 y
如图，设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )．过A，B分别向x轴、y轴作垂线AA 1 ，AA 2 和BB 1 ，BB 2 ， B 2 B
垂足分别为A ，A ，B ，B ，其中直线BB 和AA 相交于点C．
1 2 1 2 1 2
两点的距离公式：
A C
|AB|＝． A 2
A 1 O B 1 x
9、用坐标表示平移：见下图
P（x，y＋a）
向上平移a个单位长度
向左平移a个单位长度 向右平移a个单位长度
P（x－a，y） P（x，y） P（x＋a，y）
向下平移a个单位长度
第 4 章 一次函数
P（x，y－a）
131、函数
函数的概念
一般的，如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，并且对于变量 的每一个值，变量 都有一个唯一的值
与它对应，那么我们就称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。
理解函数的关键四点：
（1）有两个变量；（2）一个变量变化，另一个随之变化；（3）对于自变量 每一个确定的值，函数 有
且仅有一个值与之对应；（4）函数不是数，是过程中 、 的变量关系。
函数的三种表示方法
（1）列表法（2）关系式法（3）图像法
函数的值及定义域
（1）函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值 ，函数有唯一确定的对应值，称为自变量等于
时的函数值。
（2）定义域：一般的，一次函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定自变量取值范围两点：一是必须使含有自变量的代数式有意义，二是必须满足实际问题的意义。
确定函数定义域的方法
（1）整式型，函数定义域为全体实数；
（2）分式型，分式的分母不等于零；
（3）二次根式型，被开方数大于等于零；
（4）含有指数为零的式子，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
2、一次函数与正比例函数
一次函数的概念
若两个变量 、 间的对应关系可以表示成 （ 、 为常数， ）的形式，则成 是 的一
次函数。
注意：（1）一次函数关系式 是一个等式，其左边是函数y，右边是关于自变量x的整式，分母中
不能含有字母；
14（2）自变量x的次数是1，一次项系数 ， 可以为任意实数.
正比例函数的概念
对于一次函数 （ ），当 时，变为 ，这是把 叫做 的正比例函数。
注意：（1）正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函
数；
（2）在正比例函数 中， .
3、一次函数的图像
函数的图像
把一个函数的自变量的值和与之对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，
所有这些点组成的图形就叫做函数的图象。
注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。
描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）
第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对
应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
正比例函数 的图像和性质
正比例函数 的图像是经过（0，0）、（1，k）两点的直线，具体图像与性质如下表：
15（1）正比例函数的图像的特征是由系数k决定，k的符号决定图像经过的象限和函数的增减性。
（2）|k|越大，直线与x轴的夹角（锐角）就越大，y的值随x值的增加（或减小）而增加（或减小）得越
快。
一次函数图象的特点及性质
一次函数 的图像和性质如下：
（1）一次函数 的图像是一条直线，因此作函数图象时，只需要确定两个点，即可连接两
b
点做出函数图象，画图时通常选取（0，b）和（− ,0) ，即与两坐标轴相交的两点，过两点画直线即可。
k
（2）一次函数图像特征由k,b共同决定，k的符号决定函数的增减性，b决定直线与y轴交点的位置。同样
一次函数图像经过的象限和函数的增减性也可以决定k，b的符号。
（3）|k|的大小决定直线与x轴的夹角的大小，|k|越大，直线与x轴的夹角越大，直线越陡峭；|k|越小，直线
与x轴夹角越小，直线越平缓。
一次函数的平移
（1）上下平移
直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，
直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，
这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律，这个规律可以简记为：函数值：上加下减
1 1 1 1
实例：直线y=− x与y= x+3平行，将直线y=− x向上平移3个单位就是直线y=− x+3
2 2 2 2
(2)左右平移
直线y=kx+b向左平移n（n为正）个单位长度得到直线y=k(x+n)+b，
直线y=kx+b向右平移n（n为正）个单位长度得到直线y=k(x-n)+b，
16这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律，这个规律可以简记为：自变量：左加右减
总结：一次函数图像平移的规律
函数值：上加下减；自变量：左加右减.
y=kx+b与y=kx+b
拓展：直线 1 1 2 2的位置关系
①两直线平行：
k
1
=k
2
且b
1
¿b
2
k =k 且b =b
②两直线重合： 1 2 1 2
③两直线相交：
k
1
¿k
2
④两直线交于y轴上同一点:
k
1
¿k
2
， b
1
=b
2
注意：同一平面内，K相同但b不相同的两条直线平行，它们可以互相通过平移得到
4、一次函数的应用
确定正比例函数的表达式
正比例函数 只有一个待定系数 ，只需要除原点 之外的任意一点的坐标，即可求出 值，进而
求出函数表达式。
注意：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。
用待定系数法确定一次函数的表达式
一次函数 有两个待定系数 和 ，所以只需求出二者的值，即可求出函数表达式。
待定系数法：首先设函数 ；其次将两个已知点的坐标带人表达式，列出 、 的方程；最后求解
方程。
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
① 设：设出一次函数表达式，如 ；
② 代：将所给数据代入 中；
③ 解：解方程解出k，b的值；
④ 写：把求出的k，b代回表达式中，写出表达式.
一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”的方面看：一次函数 函数值为某一数值时，自变量 的值即为方程的解。
（2）从“形”的方面看：函数与 轴的交点的横坐标即为方程 的解。
利用图象信息解决实际问题
17两方面分析图象：
（1）根据函数图象可判断函数类型，注意特殊的点
（2）从 轴、 轴的实际意义去理解函数图象上的点的坐标的实际意义
18第五章 二元一次方程组
一、二元一次方程组
1、概念：
①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是 1的方程，叫二元一
次方程。
一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）
结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知
数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。
例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。
2
m
而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、 =n等都不是二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程
或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。
{2x−3 y=5 {7a+3b=−3 {m+n=2 { s−t=2
x+y=−8 a−2b=1 m−n=1 3s+t=−11
例如： 、 、 、 等都是二元一次方程
组。
{1
+n=2
{2x−3 y=5 {7a+3a=−3
m
x+z=−8 a−2a=1 m−n=1
而 、 、 等都不是二元一次方程组。
{2x=5
y=−8
注意：只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如： 、
{ s=2
t=−11
也是二元一次方程组。
2．二元一次方程和二元一次方程组的解
（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做
二元一次方程的解。
（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知
数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）
19¿¿
注：①写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“ ”把方程中两个未
知数的值连接起来写。
{x=a
y=b
二元方程解的写法的标准形式是： ，（其中a、b为常数）；
②一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；
③而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，
但也可能有无数组或无解（即无公共解）。
二元一次方程组的解的讨论：
已知二元一次方程组
①当 时，有唯一解；例：
②当 时，无解；例：
③当 时，有无数解。例：
二、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一
元”）
1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表
示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做
代入消元法，简称代入法。
注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：
①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未
知数的代数式表示出来；
②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知
数，得到一个一元一次方程；
③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
20④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，
求出另一个未知数的值；
⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。
2、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质
可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，
得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简
称加减法。
注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：
①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据
等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使
同一未知数前的系数相反或相等；
②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数
的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。
三、实际问题与二元一次方程组
1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 —> 设元
（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此
步骤不要忘记）
2、列方程组解应用题的常见题型：
（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，
总量 = 倍数 × 倍量；
（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；
（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、
追及问题等；
（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速；
②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速；
（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作时间，（有
时需把工作总量看作1）；
（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增长后的量，原
21量×（1-减少率）= 减少后的量；
（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物
的总量；
（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征
及其表示；
（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公
式；
（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。
四、三元一次方程组的解法
1、概念：由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知
数的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。
注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含
有三个未知数”的条件即可。
2、解三元一次方程组的基本思想：
消消元元
三元一次 二一元元一一次次
————————————————>>
方程组 方方程程组
((代代入入法法、、加加减减法法))
第6章 数据的分析
知识点一：平均数
平均数是衡量样本（求一组数据）和总体平均水平的特征数，通常用样本的平均数去估计
总体的平均数。
平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水
平，平均数分为算术平均数和加权平均数。
221
一般的，有n个数x 1 ,x 2 ,x 3 ⋅¿⋅,x n ,我们把 n (x 1 x 2 x 3 x n )叫做这n个数的算术
−
平均数简称平均数，记做x（读作“x拔”）
（定义法）
当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。
且f
1
+f
2
+……+f
k
=n （加权法），其中f ,f ,f ⋅¿⋅f 表示
1 2 3 k
各相同数据的个数，称为权，“权”越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰
好为各权的和。
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。
当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式 ，其
中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数。
知识点二：众数与中位数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数
如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数一样，都是最大，那么这些个数据是
这组数据的众数. 如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小顺）的顺序进行排列，如果数据个数为奇数
则中间的那个数就是中位数，如果数据的个数为偶数，则中位数应是中间两个数据的平均
数。
平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有
关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，
当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数
则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；
当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
平均数中位数众数的区别与联系
23相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的
统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。
不同点
它们之间的区别，主要表现在以下方面。
1、定义不同
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
2、求法不同
平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中
间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是
这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。
3、个数不同
在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中
可能不止一个众数，也可能没有众数。
4、代表不同
平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中
等水平”。
众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代
表。
5、特点不同
平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点
是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。
中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置
上的代表值，不受数据极端值的影响。
众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据
中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个
众数，也可能会有多个或没有 。
6、作用不同
平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，
反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作
为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均
成绩、平均身高、平均体重等。
24中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据
的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数
据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众
数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
知识点三：方差与标准差
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，计算公式是s2= [(x- )2+(x - )2+…+(x - )2]；
1 2 n
一般的，一组数据的方差的算术平方根
√1 ¿ ¿ ¿
S= [(x −x) 2 +(x −x) 2 +…+(x −x) 2 ]称为这组数据的标准差。
n 1 2 n
标准差＝
方差与标准方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数（或衡量一组数据相对于它们的
平均数的离散程度）.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据单
位的平方，
标准方差的单位与原单位相同。
极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的
变化范围。
极差、方差和标准差的区别与联系：
联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动
大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。
区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组
数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组
数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变
化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往
计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。
标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与
25原数据单位相同。
平均数、方差的三个运算性质
x
如果一组数据x，x，x，……，x 的平均数是 ，方差是s2。
1 2 3 n
x
那么（1）一组新数据x+b，x+b，x+b，……，x+b的平均数是 +b，方差是s2。
1 2 3 n
x
（2）一组新数据ax，ax，ax，……，ax 的平均数是a ，方差是a2s2.
1 2 3 n
x
（3）一组新数据ax+b，ax+b，ax+b，……，ax+b的平均数是a +b，方差是a2s2.
1 2 3 n
第7章 平行线的证明
1．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，
互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角
都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下
形成的．
263．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一
条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
4．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
5．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且
在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并
且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中
的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角
必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直
线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成
“U”形．
6．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
27②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
7．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画
出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直
线平行时应用．
8．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成
同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说
成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单
说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
9．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角
相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同
旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角
相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
10．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系
来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
28区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
11．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且
每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．
在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的
关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐
角．
12．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知
事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”
后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的
正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，
即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证
必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证
29方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
3031
