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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 39 练 圆的方程、直线与圆的位置关系（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令 ，利用判别式法即可；法二：通过整理得 ，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设 ，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令 ，则 ，
代入原式化简得 ，
因为存在实数 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
故 的最大值是 ，
法二： ，整理得 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
，所以 ，则 ，即 时， 取得最大值 ，
法三：由 可得 ，设 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得 ，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.3．（2022·北京·统考高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．
4．（2021·北京·统考高考真题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化
时，若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时， 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.二、多选题
5．（2021·全国·统考高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
6．（2021·全国·统考高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；
分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线
的距离的取值范围是 .
三、填空题7．（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足
“ 面积为 ”的m的一个值 ．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 ，以及点 到直线 的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
8．（2022·天津·统考高考真题）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，
则 ．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于 的等式，即可解得 的值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
9．（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
10．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方
程为 ．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .
故答案为：
11．（2022·全国·统考高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】 或 或 或 ．
【分析】方法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆
的方程为 ；（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立
得 ，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或
．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
12．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
【答案】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的值，
求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .故答案为： .
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知 ， ，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程.
【详解】因为以 、 为直径两端点的圆的圆心坐标为 ，
半径为 ，所以所求圆的标准方程为 ，
即以 为直径的圆的方程为 .
故选：A
2．若圆 的半径为2，则实数 的值为（ ）
A．-9 B．-8 C．9 D．8
【答案】D
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
3．圆 在点 处的切线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算出 ，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案.
【详解】因为 ，所以 在圆 上，
的圆心为 ，
故 ，
设圆 在点 处的切线方程斜率为 ，
故 ，解得 ，
所以圆 在点 处的切线方程为 ，
变形得到 ，即 .
故选：A
4．直线 与圆 相交于 、 两点，若 ，则 等于（ ）
A．0 B． C． 或0 D． 或0
【答案】D
【分析】求出 到圆心的距离和圆心 到直线 的距离，即可求出 的值.
【详解】由题意，
∵ ，
∴ 到圆心的距离为 ，
∴圆心 到直线 的距离为：，即 .
解得： 或 ，
故选：D.
5．若圆 与圆 关于直线 对称，过点 的圆P与y轴相切，则
圆心P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后设出圆
心P的坐标为 ，圆心到点C的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求出圆心P的轨迹方程．
【详解】圆 的圆心为 ，圆 的圆心为 ，
因为圆 与圆 关于直线 对称，
所以 的中点 满足直线 方程，解得 ，
过点 的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为 ，
所以 解得： ，
故选：C．
6．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】求出圆心坐标与半径，再计算出圆心到直线的距离，即可判断.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，又圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相交.
故选：A
7．在 轴上的截距分别为 的直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得直线 的方程为 ，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意得，直线 的方程为 ，即 ，
又由 ，可化为 ，
可得圆 的圆心为 ，半径为 ，则圆心到直线 的距离 ，
所以直线 被圆 截得的弦长为 ．
故选：B.
8．已知直线 和圆O: ， 则圆心O到直线 的距离的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 恒过定点 ,再根据当 时，圆心O到直线 的距离的最大即可求解.
【详解】由直线 ，可得 ，
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ,
且 ,
所以定点 在圆 内，
所以当 时，圆心O到直线 的距离的最大值为 ，
故选：B.
9．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据切线的性质可得三角形全等，进而根据边角关系即可求解.
【详解】方程 可化为 ，
则圆心 为 ，半径为 ，
因为 ，在 中， ， ，
所以 ，所以 ，
故选：D．
10．设O为坐标原点，A为圆C： 上一个动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】利用直线与圆的位置关系解三角形即可.
【详解】
如图所示，当直线 与圆相切时，A为切点，此时 最大，易得 ,
由 ，即 ，
所以 .
故选：C
11．过原点且与圆 相切的直线方程是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据圆的方程写出圆心坐标、半径，讨论切线斜率存在性，结合点线距离公式求切线方程.
【详解】由题意，圆的方程为 ，圆心为 ，半径为2，
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，
由圆心 到直线的距离等于半径2，即 ，可得 ，
因此一条切线方程为 ；当切线斜率不存在时， 轴是符合条件的切线，方程为 ，故选：C
12．两定点A，B的距离为3，动点M满足 ，则M点的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．
【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，
则 ，设点 ，
由 ，得 ，化简并整理得： ，
于是得点M的轨迹是以点 为圆心，2为半径的圆，其周长为 ，
所以M点的轨迹长为 .
故选：A.
13．已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆C的一条切
线，切点为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．7
【答案】D
【分析】根据题意，得到直线 过圆心 ，求得 ，得到 ，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由圆 ，可得 ，
所以圆心 ，半径为 ，
又由直线 是圆 的对称轴，即直线 过圆心 ，
即 ，解得 ，即 ，
则 ，
所以切线长为 .
故选：D.
14．圆M： 与两个坐标轴共有3个公共点，则实数m的值是（ ）
A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1
【答案】D
【分析】分圆M与x轴相切同时与y轴相交，圆M与y轴相切同时与x轴相交，或者圆M与x轴y轴相交
且过坐标原点，三种情况求解即可
【详解】由条件得，圆M与x轴相切同时与y轴相交，圆M与y轴相切同时与x轴相交，或者圆M与x
轴y轴相交且过坐标原点，
圆M： ，圆心
①若圆M与x轴相切，则圆的半径为2，
当圆的半径为2时， ， ，此时圆M： 与x轴相切，与y轴两个交点，符
合题意；
②若圆M与y轴相切，则圆的半径为1，
当圆的半径为1时， ， ，此时圆M： 与y轴相切，与x轴无交点，不合
题意，
③若圆M与x轴y轴相交且过坐标原点，此时 ，圆M： ，经检验符合题意．
综上，实数m的值为0或
故选：D二、多选题
15．已知圆 的标准方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的圆心为 B．点 在圆内
C．圆 的半径为5 D．点 在圆内
【答案】ABC
【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为5，AC正确；
由 ，得点 在圆内，B正确；
由 ，得点 在圆外，D错误.
故选：ABC
16．设直线l过点 ，且与圆 相切，则l的斜率是（ ）
A．－1 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，求直线斜率.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为1,
当直线l斜率不存在时，直线 显然与圆 不相切.
当直线l斜率存在时，设l： ，即 .
又l与圆相切，则圆心到直线距离 ．解得 .故选：BD
17．已知直线 与圆 ，若点 为直线l上的一个动点，下列说法正确的是
（ ）
A．直线l与圆 相交
B．若点Q为圆 上的动点，则 的取值范围为
C．与直线l平行且截圆 的弦长为2的直线为 或
D．圆C上存在两个点到直线 的距离为
【答案】BD
【分析】根据圆心到直线的距离即可求解ABD，由平行的斜率关系，结合弦长公式即可求解C.
【详解】对于A:圆心 到直线 的距离为 ，故直线与圆 相离，
A错误，
对于B，圆上的点到直线的最小距离为 ，故 的取值范围为 ，B正确，
对于C，设与 平行的直线为 ，
由于圆心到直线的距离为 ，所以 ，
故直线为 或 ，故C错误，
对于D，由于圆上的点到直线的最小距离为 ，最大距离为 ，
而 ，故圆C上存在两个点到直线 的距离为 ，D正确，
故选：BD
18．已知直线 ： 和圆O： ，则（ ）A．直线 恒过定点
B．存在k使得直线 与直线 ： 垂直
C．直线 与圆 相交
D．直线 被圆 截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线
恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由 可得， ，
令 ，即 ，此时 ，
所以直线 恒过定点 ，A错误；
对B，因为直线 ： 的斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，即 ，
此时直线 与直线 垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点 到圆心的距离为 ，
所以定点 在圆内，所以直线 与圆 相交,C正确；
对D，设直线 恒过定点 ，
圆心到直线 的最大距离为 ,
此时直线 被圆 截得的弦长最短为 ，D错误；
故选：BC.
19．圆C： ，点 为圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为3C． 的最大值为9 D． 无最大值
【答案】AC
【分析】设 ，则 ，利用直线与圆有公共点可求出k的最值，求得P到原点的距离，可求
的最大值．
【详解】圆C： 的圆心为 ，半径为 ，
设 ，则 ，因P在圆上，所以 ，
解得 ，故 的取值范围是 ，故A正确，D错误；
因为 的几何意义为P点到原点距离的平方，
又P到原点的距离的取值范围为 ，
所以 的取值范置为 ，故 的最大值为9，故B错误，C正确．
故选：AC．
20．已知圆 ，直线 为直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ，
切点为 ，则下列各选项正确的是（ ）
A．四边形 面积的最小值为4
B．四边形 面积的最大值为8
C．当 最大时，
D．当 最大时，直线 的方程为【答案】ACD
【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、正方形的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾
股定理计算求解.
【详解】由圆的几何性质可得 ，圆 ，半径为2，如下图所示：
对于 ，由切线长定理可得 ，又因为 ，所以 ，所以四边形 的面
积 ，
因为 ，
当 时， 取最小值，且 ，
所以四边形 的面积的最小值为 ，故A正确；
对于 ，因为 无最大值，即 无最大值，故四边形 面积无最大值，故B错误；
对于 ，因为 为锐角， ，且 ，
故当 最小时， 最大，此时 最大，此时 ，故C正确；
对于D，由上可知，当 最大时， 且 ，
故四边形 为正方形，且有 ，直线 ，则 的方程为 ，联立 ，可得 ，即点 ，
由正方形的几何性质可知，直线 过线段 的中点 ，
此时直线 的方程为 ，故D正确.
故选：ACD.
21．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为 的圆形区域内．已知小岛
中心位于轮船正西 处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（ ）
A．南偏西 方向 B．南偏西 方向
C．北偏西 方向 D．北偏西 方向
【答案】BCD
【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解
轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项
判断即可.
【详解】如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，
则轮船所在的位置为 ，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 ，
设轮船航线所在直线的方程为 ，即 ，
由 ，得 或 ．
因为 ，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西
25°方向．故选：BCD三、填空题
22．若方程 表示圆，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据 计算即可.
【详解】由题可知：
所以
故答案为：
23．已知 ， ， ，则过A，B，C三点圆的一般方程 ．
【答案】
【分析】设圆的一般方程为 ，解方程组即得解.
【详解】设圆的一般方程为 ，
由题意得 ，
解得 ， ， ．
圆的一般方程是 ．
故答案为： ．
24．已知点A（1，2）在圆C： 外，则实数m的取值范围为 .
【答案】【分析】由 表示圆可得 ，点A（1，2）在圆C外可得
，求解即可.
【详解】由题意， 表示圆，
故 ，即 或 ，
点A（1，2）在圆C： 外，
故 ，即
故实数m的取值范围为 或 ，
故答案为： .
25．已知两点 ， ，点P满足 ，则点P的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】设 ，所以 ，
因此由 ，
所以点P的轨迹方程为 ，
故答案为：
26．直线l： 与圆C： 交A，B两点，若D为圆C上一点，且 为等
边三角形，则r的值为 .
【答案】
【分析】由圆的几何性质与点到直线距离公式求解．
【详解】由题意得 ，则 ，则圆心 到 的距离为 ，得 ，
故答案为：
27．圆 上点到直线 距离的最小值是 ．
【答案】1
【分析】求出圆心到直线的距离后减去半径可得．
【详解】由题意圆心为 ，半径为1，圆心到已知直线的距离为 ，
所以所求距离最小值为 ．
故答案为：1.
28．点A是圆 上的一个动点，点 ，当点A在圆上运动时，线段 的中点P的轨迹方程
为 .
【答案】
【分析】设 ，利用中点坐标公式可用x，y表示出 ，再根据点A在圆 上，
即可得到答案．
【详解】设 ，又点 ，
则 ，
所以 ， ，
又点A在圆 上，
则 ，即 ，
所以线段AB的中点P的轨迹方程为 ．故答案为： ．
29．写出过点 且与圆 相切的一条直线方程 .
【答案】 或 （写出一条即可）【分析】设切线为 ，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出 的值，即可得解.
【详解】依题意切线的斜率存在，设斜率为 ，则切线为 ，
即 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 或 ，
所以切线方程为 或 .
故答案为： 或 （写出一条即可）
30．若圆 上恰有4个点到直线 的距离为2，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】求得圆心坐标和半径，结合题意，得到圆心到直线的距离小于 ，列出不等式，即可求解.
【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
如图所示，过圆心 作直线 的垂线，垂足为 ，交圆 于点 ，
要使得圆 上有4个点到直线 的距离为 ，则满足 ，
又由圆心到直线 的距离为 ，
可得 ，解答 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .31．已知直线 与曲线 有两个交点，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由直线与圆的位置关系数形结合计算即可.
【详解】 ，即 过定点 ，
，即曲线 为原点为圆心，2为半径的半圆，
如图所示，设 与曲线 切于点C，曲线 与横轴负半轴交于点B，
则 ， ，故 .
故答案为： .
32．已知圆 ： ，圆 的弦 被点 平分，则弦 所在的直线方程是
．
【答案】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心 ，由于圆 的弦 被点 平分，故 ，
得到 ，由点斜式求解即可.
【详解】因为圆 ： ，
所以化为标准方程为： ，所以圆心 .
又圆 的弦 被点 平分，故 ，而直线 斜率不存在，所以 ，
由于 过点 ，故直线 的方程为： .
故答案为： .
四、解答题
33．在平面直角坐标系xOy中，设动点P到两定点 ， 的距离的比值为2的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l过点M，且点N到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线l与曲线C的位置关系．
【答案】(1)
(2) ，相交
【分析】（1）利用两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据点到直线距离公式，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】（1）设 为所求曲线C上任意一点，由题意得 ．又 ， ，
所以 ，整理得 ．
故曲线C的方程为 ．
（2）显然 的圆心坐标为 ，半径为 ，
当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
设直线l的方程为 ，
因为点N到直线l的距离为1．所以 ，解得 ．
所以直线l的方程为 ，即 ．所以圆心C到直线l的距离为 ，
因为 ，所以直线l与曲线C相交．
34．已知圆心在直线 上， 和 是圆上的两点.
(1)求该圆的方程；
(2)若点P为该圆上一动点，O为坐标原点，试求直线 斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的圆心为 ，由 求得 ，从而可得圆心坐标和半径，进而可写出
圆的方程；
（2）设过原点 的直线 的方程为 ，由题意可得圆心 到直线 的距离 ，结合点
线距离公式求解即可.
【详解】（1）由题意，圆心在直线 上，
设圆的圆心为 ，
由 ，得 ，解得 ，
圆心 ，半径 ，
该圆的方程为 .
（2）由题意，设过原点 的直线 的方程为 ，即 ，圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 或 .
所以直线 的斜率的取值范围为 .
35．已知圆心为 的圆经过 ， 两点，且圆心 在直线 上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)求过点 且与圆 相切的直线方程．
【答案】(1)
(2) 和
【分析】（1）求出线段 的垂直平分线方程，圆心 在线段 的垂直平分线上，故联立两直线方程，
求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；
（2）设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出 ，得到切线方程.
【详解】（1） 的中点为 ， ，所以线段 的垂直平分线方程为 ，
由垂径定理可知，圆心 在线段 的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组 的解，解之得
所以圆心 的坐标是 ，圆的半径 ，所以圆 的标准方程是 ．
（2）由题意斜率不存在时不满足，所以设切线方程为 即
由已知得 解得
所以切线方程为 和
36．已知直线 经过点 ，圆 ．
(1)若直线 与圆C相切，求直线 的方程；
(2)若直线 被圆C截得的弦长为 ，求直线 的方程．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）根据直线与圆相切， 进行求解；
（2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可.
【详解】（1）由已知圆 ，所以圆心坐标为 ，半径为2.
当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为： ，此时是与圆 相切，满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 为： ，即 ，
则圆C的圆心到直线l的距离 ，解得 ，
故直线l的方程为 ．综上，直线l的方程为 或 ．
（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为 ，
所以圆心到直线l的距离为 ．由（1）可知，直线 的斜率一定存在，设直线 为： ，即 ，则圆心到直线l的距
离 ，解得 或 ．
故直线l的方程为 或 ．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系可得 ，再由基本不等式求解即可.
【详解】由 可得 ，故圆的圆心 ，直径是4，
由题意，直线 过圆心 ，即 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立.
故选：D.
2．已知圆 ，直线 则直线 被圆 截得的弦长的最
小值为（ ）
A．5 B．4 C．10 D．2
【答案】C【分析】先判定直线 过定点，再由弦长公式计算即可.
【详解】由 ，
，即 过定点 ，
由 得 ，半径 ，
则当 时，C到 的距离最远，此时 被圆 截得的弦长最小，
最小值为 .
故选：C
3．当直线 被圆 截得的弦长最短时，实数 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据直线方程可得直线 经过定点 ，再由圆心到直线距离最大时弦长最短，由斜率关系即可
求得 .
【详解】将直线 的方程变形为 ，
由 可导 ，所以直线 经过定点 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，因为 ，所以点 在圆 内，
故当 时，圆心 到直线 的距离取最大值，此时直线 被圆 截得的弦长最短，
因为 ，直线 的斜率为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
4．已知点 是直线 ： 和 ： 的交点，点 是
圆 ： 上的动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知点 的轨迹是以 的中点 ，半径 的圆，结合圆的性质运算求
解.
【详解】因为直线 ： ，即 ，
令 ，解得 ，可知直线 过定点 ，
同理可知：直线 过定点 ，
又因为 ，可知 ，
所以直线 与直线 的交点 的轨迹是以 的中点 ，半径 的圆，
因为圆 的圆心 ，半径 ，
所以 的最大值是 .
故选：B.
5．已知 是坐标原点，若圆 上有2个点到 的距离为2，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先求出到原点 的距离为2的轨迹方程 ，再由题意可知圆 与圆 有两个公共点，
利用圆与圆的位置关系即可求得实数 的取值范围.
【详解】将圆 的方程化为标准方程得 ，所以 .
到原点 的距离为2的轨迹方程为 ，
因为圆 上有2个点到 的距离为2，所以圆 与圆 相交，
所以 ，又 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
6．已知点 ，点 是坐标原点，点 是圆 上的动点，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出点 的轨迹，把 的最大值转化为点 到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最
大值即可作答.
【详解】令点 ，则 ，于是 ，即点 的轨迹是直线 ，
圆 的圆心 ，半径 ，而点 在圆 上，则 ，因此 ，令点 关于直线 对称点 ， ，
则有 ，解得 ，即 ，
因此 ，当且仅当点 共线，且点 在线段 上时取等号，
直线 方程为 ，由 ，解得 ，即直线 与直线 交于点 ，
所以当点 与 重合时， ， .
故选：C
7．已知A，B是圆C： 上的两个动点，且 ，若 ，则点P到直线AB
距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】D
【分析】设P、C到直线AB的距离分别为 ，根据题意结合垂径定理可得 ，再根据
结合几何关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆C： 的圆心 ，半径 ，
则 ，
设P、C到直线AB的距离分别为 ，
因为 ，解得 ，
分别过P、C作 ，垂足分别为 ，再过C作 ，垂足为 ，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，则 ，
当且仅当 ，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，
所以点P到直线AB距离的最大值为7.
故选：D.
8．经过直线 与圆 的两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．然后将结合图形求解圆心和半径
即可求解；
【详解】
由题可知，当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．
圆 ，即圆 ，
所以圆心坐标为 ，半径为3，弦心距 ，弦长为 ，则所求圆的半径为2,
接下来求解所求圆的圆心位置P：
所以 ，
过圆 的圆心和直线 垂直的直线方程为： ，即
．
最小圆的圆心为 与直线 的交点，
解方程组可得 ，
所求面积最小的圆方程为 ．
故选：C．
9．过点 作圆 的两条切线，设切点分别为A，B，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求解出直线 的方程，在圆 中求出弦长 ，再求出点 到直线 的距离，从
而得出 的面积.
【详解】解：设圆 的圆心为 ，
因为过点 作圆 的两条切线，设切点分别为 ， ，
所以 ， ， ， 四点在以 为直径的圆上，设为 ，
故 的方程为 ，即 ，
将两圆联立方程组 ，解得 ，
故直线 ： ，点 到直线 ： 的距离为 ，
在圆 中，点 到直线 ： 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的面积为 .
故选：B.
10．在平面直角坐标系中，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意圆 的标准方程为 ，如图 ，
又 ，所以 ，又由圆心到直线的距离可求出 的最小值，
进而求解.【详解】如下图所示：
由题意圆 的标准方程为 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
又圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，所以不妨设 ，
则 ，
又因为 在 单调递增，所以当且仅当 即 ，即当且仅当直线 垂直已知直线
时，
有最大值 .
故选：A.
二、多选题
11．已知圆 ，直线 ．则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l与圆C有可能相交，也有可能相切
D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为
【答案】ABD
【分析】对于A， ，联立 求定点；
对于B，令 求 轴交点纵坐标即可得弦长；
对于C，判断A中定点、圆心距离与半径大小判断直线与圆位置；
对于D，根据直线 被圆 截得弦长最短，只需 与圆心 连线垂直于直线 ，即可得方程．
【详解】由 ，则 ，得 ，即 恒过定点 ，故A正确；
令 ，则 ，可得 ，故圆 被 轴截得的弦长为 ，
故B正确；
由 到圆心 的距离 ，故直线 与圆 恒相交，故C错误；
要使直线 被圆 截得弦长最短，只需 与圆心 连线垂直于直线 ，由于 与圆心 连线的斜
率为 ，所以直线 无斜率，又直线经过 ，故方程为 ，故D正确．
故选：ABD．
12．已知直线 ： ， 和圆 ： ，下列说法正确的是（ ）
A．直线 与圆 可能相切
B．直线 与圆 一定相交
C．当 时，圆 上存在2个点到直线 的距离为1
D．直线 被圆 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC
【分析】由直线方程得出直线 过定点 ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB，由
，利用到直线 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C，由直线 与 垂直时，弦长最小判断
D．
【详解】由直线 方程知直线 过定点 ，又 ，因此 在圆 内部，所以直线 一定与圆
相交，A错，B正确；
时，圆心 到直线 的距离为 ，但 ，因此与直线 距离为1的两条
直线，一条与圆 相交，一条与圆 相离，所以圆 上存在2个点到直线 的距离为1，C正确；
又 ，当直线 与 垂直时，弦长为 ，因此直线 被圆 所截得的弦长的最小
值为 ，D错．
故选：BC．
13．若两定点 ， ，动点 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹所围成区域的面积为
B． 面积的最大值为
C．点 到直线 距离的最大值为
D．若圆 上存在满足条件的点 ，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】由 可整理得到点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆；根据圆的面积
公式可知A正确；根据点 到直线 的距离的最大值为 可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值
为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆
半径之间的关系，解不等式可求得D正确.【详解】设 ，由 得： ，
，整理可得： ，
点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆；
对于A，点 轨迹围成的区域面积为 ，A正确；
对于B， ， 若 取得最大值，则点 到直线 的距离最大，即到 轴的距离最大，
点 到直线 的距离的最大值为 ，
面积的最大值为 ，B正确；
对于C， 圆心 到直线 的距离 ，
点 到直线 距离的最大值为 ，C错误；
对于D，由题意知：点 的轨迹与圆 有公共点，即两圆有公共点，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距为 ， ，
解得： ，即 的取值范围为 ，D正确.故选：ABD.
14．已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切B．若直线l与圆C交于A，B两点，则 的最大值为4
C．当 时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆C的交点
【答案】BCD
【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.
【详解】 ，圆心 且半径为 ，
因为直线 过定点 ，且点 在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即 ，
故A不正确；
当直线l经过圆心时， 取最大值即圆的直径 ，故B正确；
当 时，直线 ，因为圆心C到直线l的距离 ，所以 ，
所以圆C上有4个点到直线的距离为 ，故C正确；
当 时，直线 ，曲线 ，
即 一定过直线 与圆 的交点，故D正确．
故选：BCD．
15．在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线 与圆 相切于点 ，直线
与 轴、 轴分别交于点 .下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若 是圆 上的动点，则 的最大值是【答案】ABC
【分析】根据直线与圆相切求出直线斜率k判断A，求出在坐标轴上的截距判断B，根据直角三角形判断
C，再由圆上动点与定点的距离转化为圆心到定点距离求最值判断D.
【详解】如图，
因为 ，
所以圆心 到直线 的距离等于半径2，
即 ，解得直线 斜率 ，所以A正确.
中，令 ，则 ，令 ，则 ，
，故B正确.
因为点A坐标为 ，则 ，所以 .
所以选项C正确.
的最大值等于 ，所以选项D不正确.
故选：ABC三、填空题
16．已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点， 是 的中点，则 点的轨
迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得 ，从而可得 ，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】圆 ，所以圆心为 ，半径为2，设 ，
由线段 的中点为 ，可得 ，即有 ，
即 ，所以点 的轨迹方程为 ．
故答案为：
17．若直线l： 与圆C： 有公共点，则实数a的最小值是 ．
【答案】-4
【分析】根据直线与圆的位置关系结合条件可得参数的取值范围，进而即得.
【详解】 由于直线l： 与圆C： 有公共点，
因此圆心 到直线l： 的距离 ，
于是 ，解得 ，因此实数a的最小值是 ．
故答案为：-4.
18．已知圆C与直线 相切于点 ，且圆心C在直线 上．过原点引圆C的切线，
则切线长为 ．【答案】
【分析】设出圆心的坐标 ，用两种角度表示出半径的表达式，列方程即可求出圆心坐标还有半径，
然后求切线长即可.
【详解】设圆心坐标为 ，圆的半径为 ，由题意，圆心 到 的距离为 ，即
，
又圆心到 的距离也是 ，即 ，故 ，
整理得 ，即 ，则圆心坐标为 ，半径为 ，原点到圆心的距离是
，
于是过原点作圆的切线长为： .
故答案为：
19．已知 ，又P点为圆O： 上任意一点且满足 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，然后根据题意可得 化简后可求出 的值.
【详解】设 ，则 ，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以
故答案为： ．
20．已知⊙M： ，直线l： ，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线
，切点为A，则切线段 长的最小值为 ．
【答案】1
【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．
【详解】⊙M： 的圆心坐标为 ，半径为2，如图，
，且 ，
故要使 最小，则 最小，此时PM⊥l，
因为圆心M到直线l： 的距离为 ，
∴ 的最小值为
故答案为：1．
21．已知圆 ： ，圆 上恰有3个点到直线 ： 的距离为 ，则 ．
【答案】【分析】求出圆 的圆心和半径，根据条件可知圆心到直线 的距离为 ，进一步计算即可.
【详解】圆 ： ，
化为
所以圆心为 ，半径为 ，
因为圆 上恰有3个点到直线 ： 的距离为 ，
所以圆心到直线 的距离为 ，
则 ，
解得
故答案为：
22．已知圆 的直径 ，点 满足 .记点 的轨迹为 ，设 与 交于 两点，则
.
【答案】
【分析】首先建立坐标系，分别求圆 和圆 的方程，两圆相减后求直线 的方程，再根据弦长公式求
解弦长.
【详解】以线段 的中点为原点，以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，
则圆 的方程为 ，， ，设 ，
由题意可知， ，
整理为 ，，
则圆 的方程为 ；
两圆相减得直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
所以线段 .
故答案为：
23．已知 为圆 ： 上一动点， ，点 为 轴上一动点，则 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】根据数形结合得到 的最小值是 ，求 最小值转化为求 最小值，
点 关于 轴的对称点为 ， ，由对称性可求得答案.
【详解】如图，由题意， 的最小值是 ， 最小值即为求 最小值，点
关于 轴的对称点为 ，则 ，
当 ， ， 三点共线时， 最小，
，即此时 的值最小，即
的最小值为 .
故答案为： .
24．已知点 ，点 是直线 上任意一点，且 ，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【分析】求以线段 为直径的圆的方程，可知直线 与圆 相离，结合点到直线的距离公式运算
求解.
【详解】因为线段 的中点为 ，且 ，
可知以线段 为直径的圆的圆心为 ，半径方程 ，方程为 ，
因为 ，则点 在以线段 为直径的圆外，
即直线 与圆 相离，
可得圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： .25．设 ，过定点 的动直线 ，和过定点 的动直线 交于点 ，圆
，则下列说法正确的有 ．
①直线 过定点 ； ②直线 与圆 相交最短弦长为2；
③动点 的曲线与圆 相交； ④ 最大值为5．
【答案】①②③
【分析】根据直线系求直线过定点判断①，根据半弦长、半径、圆心距关系求弦长判断②，由圆心距判断
两圆的关系判断③，根据 ，设 ，利用三角函数求最值判断④.
【详解】①：由 ，
有 ，所以直线过的定点为 ，故①正确；
②：由圆的标准方可得图心为 ，半径 ，直线 过的定点为 ，
当 时所得弦长最短．则 ，又 ，所以 ，
得 ，则圆心到直线 的距离为 ，所以弦长为： ，
故②正确；
③：当 时， ，则点 ，此时点 在圆 外：当 时，由直线 得 ，代入直线 中得点 的方程为
圆 也适合，得 ．半径为 ，
所以圆心距 ．所以两圆相交．故③正确；
④：由 ．当 时， ，有 ，
当 时． ，则 ，所以 ，
又点 是两直线的交点，所以 ，所以 ，
设 ，则 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，故④错误．
故答案为：①②③．
四、解答题
26．已知圆C的圆心在直线 上，且该圆与x轴相切.
(1)若圆C经过点 ，求该圆的方程；
(2)若圆C被直线 截得的弦长为 ，求该圆的方程.
【答案】(1) 或 ；
(2) 或 .
【分析】（1）由题意可设圆心坐标，进而设圆的标准方程，将圆过的点的坐标代入，求得参数，即得答
案.
（2）求出圆心到直线的距离的表达式，利用圆心距、弦长、半径之间的关系列式计算，求得参数，即可
得答案.
【详解】（1）由圆C的圆心在直线 上可设圆心为 ，由于该圆与x轴相切.，故圆的半径 ，
故可设圆的方程为 ，
又圆C经过点 ，故 ，
即 ，解得 或 ，
所以圆的方程为 或 ；
（2）由（1）知圆的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
圆C被直线 截得的弦长为 ，故 ，
即 ，解得 ，
故圆的方程为 或 .
27．已知圆C： 和定点 ，直线l： （ ）.
(1)当 时，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足 ，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长.
（2）先求得 点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】（1）圆C： ，圆心 ，半径 ，
当 时，直线l的方程为 ，所以圆心C到直线l的距离 ，
故弦长为 .
（2）设 ，则 ，
由 ， ，得 .
化简得 ，
所以点M的轨迹是以 为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线l： 上，所以 与圆D有公共点，
所以 ，
解得 ，
所以m的取值范围是 .28．已知半径为4的圆 与直线 相切，圆心 在 轴的负半轴上.
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 与圆 相交于 两点，且 的面积为8，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 .
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出半径,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心 ，则 ，解得 或 （舍），
所以圆 的方程为 .
（2）设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或
29．已知 ，直线 ，设圆 的半径为1，圆心在 上.
(1)若圆心 也在直线 上，且过点 的直线 与圆 有公共点，求直线 的斜率 的取值范围；(2)若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的纵坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立两直线方程，求出圆心，从而得到圆的方程， 再由直线m与圆有公共点，可通过求出
的取值范围.；
（2）设圆心 为 ，设 ，根据 得到点 的轨迹方程为圆，由题意得到两圆有
交点，从而得到不等式组，求出圆心 的横坐标 的取值范围.
【详解】（1）由题得圆心在直线 和直线 上.
则联立 ，解得 ，即圆心 的坐标为 。
故圆的方程为 .
故设过点 的直线方程为： ，即
由直线 与圆 有公共点，则圆心到直线 的距离满足
解得
（2）根据圆心 在直线 上，可设圆心为 .
则圆的方程为 .
若圆 上存在点 ，使 ，设
∴ ，整理可得 。
故点 在以 为圆心，2为半径的圆上，又点 也在圆 上.故圆 和圆 有交点. ∴ ，即 ，
解得 ，即 的取值范围为
所以圆心 的纵坐标 的取值范围为
30．已知圆 ，直线 过点 .
(1)当直线 与圆 相切时，求直线 的斜率；
(2)线段 的端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点
和点 之间的关系式，再利用点 的坐标满足的关系式得到点 的坐标满足的条件，即可求出.
【详解】（1）已知 的圆心是 ，半径是 ，
设直线斜率为
则直线方程是 ，即 ，
则圆心到直线距离为 ，
解得直线的斜率 .
（2）设点 则，
由点 是 的中点得，
所以 ①因为 在圆 上运动，所以 ②
①代入②得，
化简得点 的轨迹方程是 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点 ，且点 关于直线 的
对称点 在圆 上，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出圆 关于直线 的对称圆的方程，由对称圆与圆 有公共点可得答案．
【详解】圆 的圆心为 ，
设 关于直线 的对称点为 ，
所以 ，解得 ，
关于直线 的对称点为 ，
由题意得，以 为圆心，以 为半径的圆与圆 有公共点，
所以 ，解得： .
故选：B．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆 关于直线 的对称的圆与圆 有公共点，考查了学
生思维能力.
2．已知三角形 中， ，角 的平分线交 于点 ，若 ，则三角形 面积的最大值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先根据正弦定理可得 ，再建立平面直角坐标系求解 的轨迹方程，进而可得 面积的
最大值.
【详解】在 中 ，在 中 ，
故 ， ，
因为 ，故 ，
又角 的平分线交 于点 ，则 ，故 .
故 .
以 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为 ， ，
故 ， ，设 ，则 ，
即 ，故 ，化简可得 ，即 ，故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（除
去 ）.
故当 纵坐标最大，即 时 面积取最大值为 .
故选：C
3．对于圆 上任意一点 ， 的值与 ， 无关，则
的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由点到直线距离公式知 可表示点 到直线 与直线
得距离之和的 倍，若其值与 ， 无关，则圆在平行线 与 之间，
即 ，解不等式即可.
【详解】由点到直线距离公式知点 到直线 与直线 的距离分别为
与 ，所以 ，
即可表示点 到直线 与直线 得距离之和的 倍，
若其值与 ， 无关，
则圆在平行线 与 之间，
即平行线间距离 ，
解得 或 ，
故选：B.
4．已知正方形 的边长为2，点 在以 为圆心，1为半径的圆上，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，取点 ，探讨满足条件 的点 的轨迹，再结合已知，求
出两条线段长度和的最小值作答.
【详解】依题意，以点 为原点，直线 分别为 轴建立平面直角坐标系，则 ，如图，
取点 ，设 ，当 时， ，
化简整理得 ，即点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，而点 在以 为圆心，1为半径的圆上，因此 ，显然点 在圆 ： 外，
则 ，当且仅当 为线段 与圆 的交点时取等号，
而 ，所以 的最小值为 .
故选：D
【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点 并求出满足条件 的点 的轨迹是解题的关
键.
5．若M、N为圆 上任意两点，P为直线 上一个动点，则 的最大值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断直线 与圆 的位置关系，再过点P作圆 的两条切线，由图形可得
，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得 的最大值，由此得解.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆 相离，
设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图，
显然 ，当PM，PN为两切线时取等号；
因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以 ， ，
由圆的对称性易得 ，显然 是锐角，
在 中， ，
又 ，所以 ，所以 ，∴ ．
故选：B．
.
【点睛】关键点睛：本题解题的突破口是通过过点 作圆 的切线，化三动点问题为一动点问题，从而利
用直线上的动点到圆心的最小距离求得 的最大值，由此得解.
6．已知点 是圆 上任意一点， ，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是 D． 的最大值是
【答案】B
【分析】利用三角换元的思想，结合三角函数最值的求法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的方程可化为 ，
设 ， 且 ， 且 ，
则 ，
当 ， 时， 取得最大值 ，故A错误；，
所以当 时， 取得最小值 ，故B正确；
，
所以当 时， 取得最小值 ，故C错误；
，
所以当 时， 取得最大值 ，故D错误.
故选：B
【点睛】利用三角换元的思想来求最值，是一个很好的方法.在圆的标准方程 可转化
为 ，类比 ，可以得到 ，则可进行三角换元
如下： .
二、多选题
7．在平面直角坐标系 中，圆 （ 为实数），点 ，点 为圆
上的动点，则（ ）
A．若 ，过点 可以作圆 的两条切线B．当 时，圆 与圆 的公共弦长为
C．圆 上始终存在两点与点 的距离为1，则 的取值范围为
D． 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对于A，只需判断点Q与圆的位置关系即可；对于B，先求公共弦所在直线方程，进而可求圆心
到直线的距离；对于C，只需 即可；对于D，将P点坐标用三角函数表示，再用数量积的
坐标运算即可.
【详解】圆M的圆心 ，半径 ，圆N的圆心 ，半径 ，
对于A， ，
所以点 在圆外，过点 可以作圆 的两条切线，A正确；
对于B，当 时，圆 ，
两圆方程相减得公共弦所在直线方程为 ，
则圆心 到直线的距离为 ，
所以公共弦长为 ，B错误；
对于C， ，只需 ，即
即 ， ，
解得 ，C正确；
对于D，设 ，，
，
，D正确.
故选：ACD
8．（多选题）已知向量 满足 .设 ，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C． 的最大值为
D． 无最大值
【答案】BD
【分析】利用平方的方法化简已知条件，先求得 ，然后建立空间直角坐标系，设 ，求得
点的轨迹，根据直线和圆的位置关系求得正确答案.
【详解】因为 ，所以 .
又 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 .
建立如图所示的直角坐标系 ，
设 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，即 点的轨迹是：圆心为 ，半径为 的圆，
设 ，则点 在直线 上运动，
则 ，令点 到直线 的距离为 ，
则 ，无最大值.
故选：BD
9．已知曲线 上的动点满足 ， 为坐标原点，直线 过 和 两点， 为直线 上一动点，
过点 作曲线 的两条切线 为切点，则（ ）
A．点 与曲线 上点的最小距离为
B．线段 长度的最小值为
C． 的最小值为
D．存在点 ，使得 的面积为
【答案】CD
【分析】设点 ，由 ，求得 ，由圆的性质，取得点 与曲线 上点的最小距离为
，可判定A不正确；由 ，求得 的最小值为 ，可判定B错误；设 ，在直角三角形 中，求得 ，得到 ，结合函数的单调性，可判定C正确.结
合C选项求出 面积的最小值可判断D.
【详解】对于A，因为 ，设 ，则 ，可得曲线 的轨迹为圆.
方程为直线 ： ，圆心 到直线 的距离为 ，
则点 与曲线 上点的最小距离为 ，故A错误；
对于B，由图可知，在直角三角形 中， ，要使得线段 的长度最
小，则 取最小值，由选项A可知， 长度的最小值为 ，故B错误；
对于C，设 ，则 ，
在直角三角形 中， ， ，
所以 ，
所以
令 ，又 ，所以 ，又函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 的最小值为3，故C正确；
对于D，由切线长定理知，直线 垂直平分线段 ，得
，
当且仅当 与直线 垂直时取等号，即弦 长度的最小值为 .此时 ，设 的中点为 ，
则 ，
所以 ，
所以 的面积的最小值为 ，又 ， ，
的面积所以存在点 ，使得 的面积为3，故D正确.
故选：CD.
【点睛】关于切线长最小值问题，本题中是把切弦长问题根据勾股定理转化为圆心到直线的距离最短问题
进行解决.
三、填空题
10．已知圆 ，点 ，从坐标原点 向圆 作两条切线 ，切点分别
为 ，若切线 的斜率分别为 ， ，且 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据题意得到直线 ， 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到 ，结合 ，即
可求得圆心 的轨迹方程，求出 ，再由圆的性质可得 的取值范围．
【详解】由题意可知， ，半径为2，直线 ， ，
因为直线 ， 与圆 相切，
所以 ， ，
两边同时平方整理可得 ，
，所以 ， 是方程
的两个不相等的实数根，所以 ．又 ，
所以 ，即 ，则 ；
又 ，
根据圆的性质可得，
所以 ，
即 ．
故答案为： .
【点睛】思路点睛：求解定点到圆上动点距离的最值问题时，一般需要先求圆心到定点的距离，判定定点
与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果；也可根据圆的参数方程，结合三角函数的性质求解.
11．已知 与 相交于点 线段 是圆 的一条
动弦，且 则 的范围为
【答案】
【分析】先求得 点的轨迹，然后求得线段 中点的轨迹，结合向量运算以及圆与圆的位置关系等知识
求得正确答案.【详解】直线 ，即 ，
直线过定点 ，且斜率存在.
直线 ，即 ，
直线过定点 ，直线与 轴不平行.
线段 的中点为 ， ，由于 ，所以 ，
所以 点的轨迹是以线段 为直径的圆，
即 点的轨迹是圆 （除点 ）.
圆 的圆心为 ，半径为 ，
设 是 的中点，连接 ，则 垂直平分 ，
则 ，所以 点的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
即 点的轨迹是圆 ，
， 即圆 （除点 ）上的点，
与圆 上的点的距离， ，
所以 ，即 ，
所以 .故答案为：12．在平面直角坐标系 中，已知 ，圆 ，在直线 上存在异于 的定点 ，使
得对圆 上任意一点 ，都有 为常数），则 的坐标为 ．
【答案】
【分析】设 ， ，根据距离公式得到 对圆 上任意点 恒成立，
从而得到 对任意 恒成立，从而得到 ，
即可求出 与 ，从而得解.
【详解】设 ， ，
则 ， .
若在直线 上存在异于 的定点 ，使得对圆 上任意一点 ，都有 为常数 ，等价于 对圆 上任意点 恒成立，
即 ，
整理得 ，
因为点 在直线 上，所以 ，
由于 在圆 上，所以 ，
故 恒成立，
其中点 在圆 上，令 ，则 ，
所以直线 与圆有交点，
所以圆心到直线的距离小于等于半径，即 ，解得 ，即 ，
所以 ，显然 ，所以 ，
故 ，
因为 ，解得 或 .
当 时， ，此时 重合，舍去.
当 时， ，
综上，存在满足条件的定点 ，此时 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合 与 化简得恒成立，从而得到关于 的方程组，由此得解.
13．已知圆 ： 的图象在第四象限，直线 ： ， ： .若 上
存在点 ，过点 作圆 的切线 ， ，切点分别为A， ，使得 为等边三角形，则 被圆 截得
的弦长的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意可推得 的范围，以及 与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出
，然后推得 ，求解结合 的范围可得出 .然后表示出圆心到直
线 的距离，根据不等式的性质，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，圆 的圆心 ，半径 ，且有 .
则圆心到直线 ： 的距离 .
又直线 方程可化为 ，可知 ， ，
所以直线 过一、二、三象限，不过第四象限，直线 与圆相离.由题意易知 ，则 ， ，
所以有 ，即 ，所以 .
又 ， ，所以 ， ，所以 .
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以，直线 与圆 总相交，
又 ，所以 被圆 截得的弦长为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：根据已知得出 的范围，然后根据直线的斜截式方程得出 与圆的位置关系.
