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专题 16 三角形中位线和直角三角形斜边中线（原卷版）
第一部分 知识与方法梳理
类型一：三角形中位线
1．定义：
A
若 DE 为 的 中 位
连接三角形两边中点的线段．
线 ， 则 DE//BC ， 且
2．定理： D E
三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第
．
B C
三边的一半．
3．三角形中位线里隐含重要性质：
①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个
EF、GE、GF 是 的三条中位线，则有：①
全等的三角形．
A
② ，
②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周
1
S S E G
长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角 △EFG 4 △ABC
形面积的四分之一．
B C
F
类型二：直角三角形斜边中线
定理：
直角三角形斜边上的中线等于 A 相关结论：
斜边的一半． （1） ；
若 AD 为 斜边上的 （2） ， 为等腰三角形
B C
（3） ，
D
中线，则 ．
拓展：
在由两个直角三角形组成的图中，M为中点．
A
A 相关结论：
D （1） ；
M （2） ．
B C
B
C
M
D
类型三：中点辅助线综合
1. 倍长中线及类倍长中线
2. 构造三角形中位线
3. 构造直角三角形斜边中线
4. 平行＋中点，构造8字全等形
5. 作等腰三角形底边上的高第二部分 典例剖析
类型一 中位线定理的直接应用
1．（2023•连云港期末）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为
米．
2．（2023秋•六安期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD=❑√6，若E，F
分别为AB，BC的中点，则EF＝ ．
3．（2024•阿城区模拟）如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF
1
= BC，连接CD和EF．
2
（1）求证：CD＝EF；
（2）请直接写出与∠F相等的所有角（∠F除外）．
4．（2023秋•沂源县期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD
的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．类型二 构造中位线解题（重点）
5．（2024•鹿城区开学）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝
6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC＝ °．
6．（2024•碑林区一模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是∠BAC的角平分线，点E是BC的中
点，EF∥AD，则AF的长是 ．
7．（2024春•沙坪坝区月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，垂足为D，过D作
DE∥AC交AB于点E，过D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝
．
8．（2023秋•岱岳区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边
AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 ．
9．（2023秋•大悟县月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
1
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF= (AC−AB)；
2
（2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论： ．9．（2023秋•广饶县期末）【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝
45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，
BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
11．（2023秋•顺德区月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交
AC于N．
1
求证：AN= CN．
212．（2023春•洪泽区期中）如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点．若
AC＝4cm，BD＝6cm，求EF的长度．
13．（2023春•渠县期末）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段
EF与DG之间有什么关系？为什么？
14．（2023春•营口期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，过点A作AD⊥CD于点D，点E是AB的中
点，连接DE，若AC＝20，BC＝14，求DE的长．
类型三 直角三角形斜边中线定理的直接应用15．（2023秋•紫金县期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知
∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ cm．
16．（2023秋•鄞州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC
上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为 ．
17．（2022秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的
中点．
（1）若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是 ；
（2）若AE：EC＝3：2，则AF：EF＝ ．
18．（2023 秋•长泰县期中）如图，在 Rt△ABC 中，点 M 是斜边 BC 的中点，以 AM 为边作正方形
AMEF．若S正方形AMEF ＝4，则BC＝ ．
19．（2024•鼓楼区开学）如图，在△ABC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE
的中点．（1）求证：MN⊥DE；
MN
（2）若∠A＝60°，求 的值．
DE
20．（2023秋•宝山区月考）如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点．求
证：∠DEB＝2∠DCB．
类型三 构造直角三角形斜边中线解题
21．（2023秋•邗江区期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
求证：①BM＝DM；②MN⊥BD．
22．（2023秋•静安区期末）如图，在△ABC和△ADC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，联结AC与BD交于点
O，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN垂直平分BD．
23．（2023秋•射阳县期末）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．
求证：GF⊥DE．
24．（2022秋•盐都区期末）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中线，BD＝CE，
DF⊥BE于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若∠AEB＝66°，求∠C的度数．
25．（2023秋•闵行区期末）已知：如图，在△ABD中，∠D＝90°，点C在BD上，点E在AB上，AE＝
BE，DC＝BE，点G是CE的中点．
（1）求证：DG⊥EC；
（2）求证：∠B＝2∠GDC．
26．（2023秋•浙江期中）如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别
是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ＝∠ABQ＝90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ＝26，BP＝24时，求MN的长．27．（2023秋•丰县期中）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BAD＝30°，AC＝10，求BD的长．
28．（2023秋•苏州期中）已知：如图，在四边形 ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线
BD，AC的中点．
（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADC＝30°，BD＝8cm，试求线段EF的长度．
29．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM，ON上，其中∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动．Rt△ABC的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最
大距离为（ ）
A．2❑√2 B．❑√5 C．❑√5+1 D．❑√10
类型五 中点辅助线综合
30．（2023春•肥城市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2❑√2．E，F分别为边AB，BC的中点，连接
AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
❑√2
A． B．1 C．❑√2 D．2
2
31．（2023秋•常州期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，点
E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG＝FG时，线段
DE的长为（ ）
❑√41
A．❑√13 B．2 ❑√5 C． D．4
2
32．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和
AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 ．33．（2023秋•北仑区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在线段AC上取一点D，使CD＝CB，
作AE⊥BD交BD延长线于点E．点F是线段AB中点，连结CF，EF，EF交AC于点G．若AD＝BD，
CG
则 = ．
AE
34．已知∠MON＝90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，
对角线AC、BD相交于点P，连接OC．
（1）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（2）若OP＝4❑√2，求OA的长．
（3）求OC的最大值（提示：取AB的中点Q，连接CQ、OQ，运用两点之间，线段最短）
35．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠EAD，F为CD的中点，求证：BF＝
EF．36．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的
中点．
（1）说明：MB＝MC；
（2）设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB＝
MC是否还能成立？并证明其结论．
