17.1勾股定理（解析版）-2020-2021学年度八年级数学下册精讲精练（人教版）_1、初中学习资料_4-2、数学_4-2-4、初二数学下册_人教数学八年级下课时练习（088份）

17.1 勾股定理 知识点1：直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 知识点2：勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 a2 +b2 =c2 知识点3：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； （2）用于解决带有平方关系的证明问题； （3）与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 【例题1】（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连 结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【解析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结1 合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF= CD． 2 ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB 10． =√AC2+BC2=√82+62= 又∵CD为中线， 1 ∴CD= AB＝5． 2 ∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点， 1 ∴BF是△CDE的中位线，则BF= CD＝2.5． 2 【例题2】（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线 于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为 ． 【答案】4√5 【解析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案． 延长BD到F，使得DF＝BD， ∵CD⊥BF， ∴△BCF是等腰三角形， ∴BC＝CF， 过点C点作CH∥AB，交BF于点H ∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F， ∴HF＝HC， ∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3， ∴HF＝HC＝8﹣3＝5， 在Rt△CDH， ∴由勾股定理可知：CD＝4， 在Rt△BCD中， ∴BC 4 =√82+42= √5 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2 D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2 【答案】D 【解析】利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．根据勾股定理的内容，即可解答． A．勾股定理只限于在直角三角形里应用，故A可排除； B．虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B可排除； C．在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也排除； D．符合勾股定理，正确．2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是 cm，则另一条直角边的长是（ ） A．4cm B． cm C．6cm D． cm 【答案】C 【解析】根据含30度角的直角三角形求出AB，根据勾股定理求出BC即可． ∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2 cm， ∴AB=2AC=4 cm， 由勾股定理得：BC= =6cm 3．已知直角三角形的一直角边长为24，斜边长为25，则另一条直角边长为（ ） A．16 B．12 C．9 D．7 【答案】D 【解析】本题直接根据勾股定理求解即可． 由勾股定理的变形公式可得：另一直角边长= =7． 4．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】A 【解析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当 4为腰时，此时等腰三角形的边 长为4、4、6；②当6为腰时，此时等腰三角形的边长为4、6、6；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边 可运用解直角三角形的知识求出高． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， 边长为4、6的等腰三角形有4、4、6与4、6、6两种情况， ①当是4、4、6时，底边上的高AD= = = ；②当是4、6、6时，同理求出底边上的高AD是 = ． 5．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 【答案】A 【解析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2； 另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为 =2c． 即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 6．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子 的底部在水平方向上应滑动（ ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】C 【解析】顶端离地面15米，梯子长25米，运用勾股定理可以得出梯子在水平距离的长度，再利用要使梯 子顶端离地24米，求出梯子底端水平距离，进而求出梯子方向上滑行的距离． ∵一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15 米， ∴梯子水平距离为： =20米， ∵要使梯子顶端离地24米， ∴梯子水平滑动距离为： =7米， ∴梯子的底部在水平方向上应滑动：20﹣7=13米． 7．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE， F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【解析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结 1 合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF= CD． 2 ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB 10． =√AC2+BC2=√82+62= 又∵CD为中线， 1 ∴CD= AB＝5． 2 ∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点， 1 ∴BF是△CDE的中位线，则BF= CD＝2.5． 2 二、填空题 8．如图，三个正方形中的两个的面积S=25，S=144，则另一个的面积S 为 ． 1 2 3 【答案】169 【解析】注意能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明：S+S=S． 1 2 3 根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：S+S=S．则S 为169． 1 2 3 3 由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169， 即面积S 为169． 3 9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则 正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．【答案】49cm2． 【解析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面 积．由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2． 10.小明从家中出发，先向正东前进200m，接着又朝正南方向前进150m，则这时小明离家的直线距离 为 m． 【答案】250 【解析】根据正东和正南可知道，开始走的两段路可看为直角三角形的直角边，然后这时小明离家的直线 距离为可知道求的是斜边的长． ∵先向正东前进200m，接着又朝正南方向前进150m， ∴这时小明离家的直线距离为 =250． 这时小明离家的直线距离为250m． 11．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的高是 ． 【答案】 ． 【解析】在直角三角形中，已知两直角边长为5，12，根据勾股定理可以计算斜边的长，根据三角形面积 的不同方法计算可以求得斜边的高的长度． 在直角三角形中，已知两直角边为5，12， 则斜边长为 =13， 根据面积法，直角三角形面积可以根据两直角边求值，也可以根据斜边和斜边上的高求值， 即可求得两直角边的乘积=斜边长×斜边上高线长， 斜边上的高线长= = 三、解答题 12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚 度，请计算阳光透过的最大面积．【答案】阳光透过的最大面积为200平方米． 【解析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算． 根据勾股定理得，蔬菜大棚的斜面的宽度即直角三角形的斜边长为： m， 所以蔬菜大棚的斜面面积为：10×20=200m2． 13．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元， 请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？ 【答案】612 【解析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理 即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积． 由勾股定理，AC= = =12（m）． 则地毯总长为12+5=17（m）， 则地毯的总面积为17×2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元． 14．阅读下面内容后，请回答下面的问题： 学习勾股定理有关内容后，老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知直角三角形 ABC的两边长分 别为3和4，请你求出第三边．”同学们经片刻的思考与交流后，张雨同学举手说：“第三边长是 5”； 王宁同学说：“第三边长是 ．”还有一些同学也提出了不同的看法…假如你也在课堂上，你的意见如何？ 为什么？ 【答案】 或5． 【解析】（1）当3、4，是直角边时，第三边等于 （2）当3与所求的第三边是直角边，4是斜边时，第三边等于 ， 所以本题的答案应该是 或5．15.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一 点，求证：（1） ；（2） ． 【答案】解析。 ACBECD 【解析】证明:（1） ∵ ， ACDBCD ACDACE ∴ ． BCD ACE 即 ． BC  AC,DC  EC ∵ ， ∴ △ACE≌△BCD． ACB （2）∵ 是等腰直角三角形， B BAC 45 ∴ ． B CAE 45 ∵ △ACE≌△BCD， ∴ ． DAE CAE BAC 45 4590 ∴ ． ∴ AD2  AE2  DE2 ． 由（1）知AE＝DB， ∴ AD2+DB2 = DE2 ． 16．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，求另一边BC. 【答案】6或10 【解析】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出 BD和 CD，从而可求出BC的长.在图①中，由勾股定理，得BD＝＝＝8 CD＝＝＝2 ∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10. 在图②中，由勾股定理，得BD＝＝＝8 CD＝＝＝2 ∴BC＝BD―CD＝8―2＝6