专题04正方形中的模型、长度关系、路径问题(专项训练)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本

专题 04 正方形中的模型、长度关系、路径问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:20)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)(cid:20)......................................................................................................................13
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)a= 2b(cid:22)(cid:35)(cid:21)(cid:20).................................................................................................................24
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)a±b= 2c(cid:22)(cid:35)(cid:21)(cid:20)..........................................................................................................33
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:20)......................................................................................................................................41
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:20)..................................................................................................................................47
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:20)..................................................................................................................................53
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:41)(cid:20)..................................................................................................................................58
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:21)(cid:20)..................................................................................................................................65
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:20)..............................................................................................................................73
(cid:31)(cid:22)(cid:49) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)
(cid:31)(cid:22)1(cid:10)(cid:51)(cid:39)(cid:52)(cid:53)(cid:39) (cid:31)(cid:22)2(cid:10)(cid:51)(cid:39)(cid:55)(cid:52)(cid:53)(cid:39)
(cid:56)(cid:57)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:58) (cid:56)(cid:57)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:58)
(cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:61) (cid:62) (cid:61) (cid:58) (cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:61) (cid:63) (cid:61) + (cid:58)
𝐵𝐸 𝐶𝐹⇔𝐴𝐸⊥𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐸⊥𝐹𝐺⇒𝐴𝐸 𝐹𝐺 𝐶𝐺 𝐵𝐸 𝐵𝐹
(cid:31)(cid:22)(cid:64) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)
(cid:56)(cid:57)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:63) =45°(cid:58) (cid:59)(cid:60)(cid:10)(cid:65) = + (cid:66)
∠𝐸𝐴𝐹 (cid:67)EA(cid:68)(cid:69)𝐸𝐹 𝐵(cid:63)𝐸FA𝐷(cid:68)𝐹(cid:69) (cid:58)
(cid:70)(cid:46)(cid:10) ∠𝐵𝐸𝐹 (cid:71)∠S𝐷AS𝐹(cid:72)𝐸(cid:63)
△𝐴𝐷=𝐹≌ △(cid:63)𝐴𝐵𝐺 = (cid:63)
⇒𝐴𝐹 𝐴𝐺 ∠𝐸𝐴𝐺(cid:71)S∠AS𝐸(cid:72)𝐴𝐹(cid:58)
⇒△𝐸𝐴𝐺≌ △𝐸𝐴𝐹【题型1 正方形中的十字架模型】
(cid:15)(cid:73)1(cid:20)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:77)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:11)(cid:84)(cid:27)(cid:49)(cid:85)(cid:86)(cid:11)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:63)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:74)(cid:75)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:10)
(cid:98)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:21)(cid:101)(cid:102)(cid:27)(cid:70)(cid:77)−−“(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)”(cid:27)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)
(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:63)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:21)(cid:10)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:49)(cid:120)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:121)(cid:122)(cid:63)E(cid:63)F(cid:80)(cid:123)(cid:27)(cid:124)(cid:120)(cid:125)(cid:63)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:124)
(cid:56)(cid:46) (cid:129) (cid:63)(cid:62)(cid:130)(cid:131) (cid:63)(cid:132)(cid:133)(cid:114)(cid:124)(cid:56)(cid:46)(cid:134)(cid:48)𝐴(cid:135)𝐵𝐶(cid:136)𝐷(cid:52)(cid:137)(cid:133)(cid:136)
(cid:138)(cid:139)𝐵(cid:112)𝐸(cid:79)(cid:35)𝐴𝐹(cid:21)(cid:63)(cid:108)(cid:80)(cid:114)𝐵(cid:115)𝐸(cid:70)⊥𝐴(cid:77)𝐹(cid:27)(cid:10)
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:58)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷𝐹
(cid:140) (cid:63) + = + =90°
= (cid:63)(cid:71)(cid:141)(cid:142)*(cid:72)
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐹 ∴∠𝐵𝐸𝐴 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐷
∴∠Rt𝐵𝐸𝐴 ∠𝐴R𝐹t𝐷 (cid:63) = (cid:58)
∴(cid:113)(cid:143)△(cid:27)𝐴(cid:80)𝐵(cid:138)𝐸≌(cid:139)(cid:124)△(cid:120)𝐷(cid:51)𝐴(cid:39)𝐹 (cid:69)∴(cid:144)𝐵𝐸(cid:107)(cid:23)𝐴(cid:24)𝐹(cid:25) (cid:49)(cid:145)(cid:138)(cid:119)(cid:112)(cid:27)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:148)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:124)(cid:56)(cid:146)(cid:147)(cid:149)(cid:94)(cid:150)(cid:151)(cid:63)(cid:80)(cid:152)(cid:114)(cid:124)(cid:56)(cid:146)
(cid:147)(cid:153)(cid:154)(cid:94)(cid:134)(cid:155)(cid:136)(cid:138)(cid:156)(cid:108)(cid:109)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:49)𝐴(cid:161)𝐵(cid:162)𝐶𝐷(cid:106)(cid:10)
(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:148)(cid:39)M(cid:163)N(cid:163)P(cid:163)Q(cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:163) (cid:163) (cid:112)(cid:27)(cid:96)(cid:164)(cid:118)(cid:39)(cid:63)(cid:62) (cid:63)(cid:150)(cid:165)
(cid:52)O(cid:63)(cid:166) (cid:153)(cid:154)(cid:76)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:94)(cid:134)(cid:58)(cid:167)(cid:98)(cid:116)(cid:78)(cid:10) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑀𝑁⊥𝑃𝑄
(cid:168)(cid:39)M(cid:169)𝑀𝑁 (cid:63)𝑃𝑄(cid:150)(cid:165)(cid:52)E(cid:63)(cid:168)(cid:39)P(cid:169) (cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)F(cid:58)(cid:166)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:129) (cid:174)(cid:52)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
= 𝑀(cid:63)𝐸⊥𝐶=𝐷 (cid:58) = (cid:63) 𝑃=𝐹⊥𝐴𝐷 𝐴𝑀𝐸𝐷 𝐴𝐵𝑃𝐹
∴(cid:107)𝑀(cid:118)𝐸(cid:119)(cid:25)𝐴𝐷QO𝑃N𝐹D(cid:26)𝐴(cid:63)𝐵 ∵𝐴𝐵 =𝐴𝐷 =∴𝑀90𝐸°(cid:63)𝑃𝐹
… ∵∠𝑁𝑂𝑄 ∠𝐷
(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:176)(cid:142)(cid:112)(cid:79)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:27)(cid:69)(cid:177)(cid:168)(cid:178)(cid:63)(cid:45)(cid:179)(cid:78)(cid:180)(cid:35)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:181)(cid:182)(cid:146)(cid:183)(cid:69)(cid:27)“(cid:141)(cid:142)*”(cid:80)__________________________(cid:58)
(2)(cid:107)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:27)(cid:69)(cid:177)(cid:168)(cid:178)(cid:63)(cid:184)(cid:126)(cid:185)(cid:186)(cid:27)(cid:86)(cid:11)(cid:70)(cid:187)(cid:113)(cid:10)_______(cid:58)(cid:71)(cid:188)(cid:78)(cid:79)(cid:189)(cid:190)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:124)(cid:190)(cid:72)(cid:58)
A(cid:58)(cid:193)(cid:194)(cid:70)(cid:187) B(cid:58)(cid:24)(cid:178)(cid:70)(cid:187) C(cid:58)(cid:98)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:49)(cid:198)(cid:27)(cid:70)(cid:187) D(cid:58)(cid:199)(cid:86)(cid:70)(cid:187)
(3)(cid:88)(cid:176)(cid:142)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:200)(cid:201)(cid:27)(cid:70)(cid:46)(cid:63)(cid:202)(cid:203)(cid:117)2(cid:204)(cid:205)(cid:27)(cid:172)(cid:173)(cid:168)(cid:178)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1)(cid:83)(cid:34)(cid:27)(cid:205)(cid:34)(cid:94)(cid:134)(2)A(cid:163)C
(3)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:176)(cid:142)(cid:172)(cid:173)(cid:168)(cid:178)(cid:69)(cid:177)(cid:208)(cid:157)(cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:107)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:27)(cid:69)(cid:177)(cid:168)(cid:178)(cid:63)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:193)(cid:194)(cid:70)(cid:187)(cid:129)(cid:98)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:49)(cid:198)(cid:27)(cid:70)(cid:187)(cid:66)
(cid:71)3(cid:72)(cid:212)(cid:168)(cid:134)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:129)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197) = (cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:71)1(cid:72) △𝑀𝐸𝑁≌△𝑃𝐹𝑄 𝑀𝑁 𝑃𝑄
+ ∵𝐵=𝐸⊥𝐴𝐹 + =90°
∴∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐷(cid:63)𝐴𝐹 ∠𝐴=𝐹𝐷
∴∠𝐵𝐸𝐴=90°−∠ 𝐷𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐷 90°−∠𝐷𝐴𝐹
∴(cid:176)∠(cid:142)𝐵𝐸(cid:83)𝐴(cid:34)(cid:27)∠(cid:205)𝐴𝐹(cid:34)𝐷(cid:94)(cid:134)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197)
(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10)(cid:83)(cid:34)(cid:27)(cid:205)(cid:34)(cid:94)(cid:134)(cid:58)
(cid:71)2(cid:72)(cid:107)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:27)(cid:69)(cid:177)(cid:168)(cid:178)(cid:63)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:193)(cid:194)(cid:70)(cid:187)(cid:129)(cid:98)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:49)(cid:198)(cid:27)(cid:70)(cid:187)
(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10)A(cid:163)C(cid:58)
(cid:71)3(cid:72) + =180°
∴∠+𝑂𝑁𝐷 ∠=𝑂1𝑄8𝐷0°
∵∠𝑃𝑄𝐹 =∠𝑂𝑄𝐷
∴∠𝑀𝑁𝐸=∠𝑃𝑄𝐹=90°
∵∠𝑀𝐸𝑁 ∠𝑃𝐹𝑄 (cid:63)
∴△𝑀=𝐸𝑁≌△𝑃𝐹𝑄
∴(cid:15)𝑀(cid:39)𝑁(cid:220)(cid:20)𝑃(cid:221)𝑄(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:83)(cid:34)(cid:27)(cid:205)(cid:34)(cid:94)(cid:134)(cid:63)(cid:223)(cid:221)(cid:27)(cid:86)(cid:11)(cid:70)(cid:187)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:23)(cid:226)(cid:167)(cid:45)(cid:21)(cid:164)(cid:80)(cid:45)(cid:21)
(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)1-1(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236)·(cid:237)(cid:26)(cid:72)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:10)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:116)(cid:238)(cid:39) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:163) (cid:112)(cid:63)(cid:62) (cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52) (cid:63)(cid:132)(cid:133) (cid:76) (cid:94)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:88)(cid:172)(cid:173)(cid:239)(cid:27)(cid:59)(cid:60)(cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:116)(cid:238)(cid:39)𝐸(cid:80)𝐹(cid:119) (cid:27)(cid:26)𝐵𝐶(cid:39)(cid:63)𝐶𝐷(cid:80) (cid:112)𝐴(cid:27)𝐸(cid:39)⊥(cid:63)𝐵(cid:168)𝐹 (cid:39) (cid:169) 𝑀 (cid:63)(cid:69)𝐴𝐸(cid:144)(cid:240)𝐵𝐹 (cid:163) (cid:76)(cid:39) (cid:163) (cid:63)(cid:148)
𝐸 𝐴𝐷 𝐹 𝐶𝐸 𝐹 𝐺𝐻⊥𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐺 𝐻=1(cid:63) =5(cid:63)(cid:241)(cid:146)(cid:147) (cid:27)(cid:48)(cid:66)
𝐵(3𝐺)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)𝐶𝐻(cid:107)(cid:134)(cid:119)(cid:216)(cid:34)(cid:25) 𝐴𝐺(cid:26)(cid:58)(cid:39) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:163) (cid:112)(cid:63)(cid:62) = (cid:63)(cid:148) (cid:76) (cid:240)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:62) (cid:63)
①(cid:241) (cid:27)(cid:242)(cid:86)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝑀 𝐶𝑀⊥𝐴𝐸
②(cid:217)(cid:243)∠𝐴(cid:146)𝑀(cid:147)𝐹 (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:245)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1)𝐵𝑀= 𝐴𝑀(cid:63)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(2) =7 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(3)①𝐴𝐺 =60°(cid:66)② = (cid:63)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)∠(cid:20)𝐴𝑀(cid:71)𝐹1(cid:72)(cid:172)(cid:173) 𝐴𝑀 2𝐵𝑀 (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:172)(cid:173)(cid:59)(cid:60)(cid:93)(cid:246)(cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:172)(cid:173) = △=𝐴1(cid:63)𝐵𝐸≌△=𝐵𝐶𝐹(cid:63)(cid:172)(cid:173) (cid:63)(cid:166) = = =4(cid:63)(cid:98) (cid:52) (cid:26)(cid:39)(cid:131)(cid:197)
=8(cid:63)(cid:166)𝐺𝐵 =𝑀8𝐶(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:241)𝐺𝑀(cid:192)(cid:179)𝐵(cid:206)𝐶(cid:58) △𝐻𝑀𝐺≌△𝐸𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐻𝑀 5−1 𝐸 𝐴𝐷
𝐴(cid:71)𝐷3(cid:72)①(cid:172)(cid:173)𝐴𝐵 + =60°(cid:63)(cid:98) = + (cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197)(cid:179)(cid:206)(cid:66)② (cid:172)(cid:173) (cid:52)(cid:134)(cid:119)(cid:216)
′
(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:131)(cid:197) ∠𝐴𝐵𝑀=6∠0𝐵°(cid:63)𝐴𝐸(cid:172)(cid:173) ∠𝐴(cid:52)𝑀(cid:151)𝐹(cid:34)(cid:216)∠𝐴(cid:34)𝐵(cid:25)𝑀(cid:63)(cid:241)∠𝐵(cid:192)𝐴𝐸 =30°(cid:63) =△60𝑀°(cid:63)𝑀(cid:166)𝐶 =
′ ′ ′ ′
(cid:63)(cid:98) =∠𝑀 𝑀𝐶(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197)(cid:179)(cid:206)(cid:58)△𝐴𝑀𝑀 ∠𝐴𝑀𝑀 ∠𝑀𝐴𝑀 𝐴𝑀 2𝐴
′ ′
𝑀(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)𝐵𝑀(cid:71)1(cid:72)𝐴𝑀 =
(cid:172)(cid:173)(cid:10) (cid:118)(cid:119)(cid:25)𝐴𝐸 𝐵(cid:80)𝐹(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
=∵ (cid:63) 𝐴𝐵𝐶=𝐷 =90°(cid:63)
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 (cid:63)∠𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸 (cid:63)90°−∠𝐴𝐸𝐵
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐹=90°(cid:63)
∴∠𝐵𝑀𝐸= (cid:63)
∴∠𝐶𝐵𝐹 =90°−∠(cid:63)𝐴𝐸𝐵
(cid:107)∴∠𝐵𝐴𝐸 (cid:76)∠𝐶𝐵𝐹 (cid:26)(cid:63)
△𝐴𝐵𝐸= △(cid:63)𝐵𝐶𝐹 = (cid:63) =
∵∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐶 𝐴(cid:63)𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹
∴△𝐴=𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹
∴(cid:71)𝐴2𝐸(cid:72)(cid:116)𝐵(cid:117)𝐹(cid:63)(cid:168) (cid:169) (cid:63)(cid:166)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
𝐺 𝐺𝑀⊥𝐶𝐷 𝐺𝐵𝐶𝑀= =1(cid:63) = (cid:63)
∴𝐺𝐵 𝑀𝐶(cid:63) 𝐺𝑀 𝐵𝐶
∵𝐺𝐻⊥𝐸+𝐶 =90°(cid:63)
∴∠𝐸𝐶=𝐷90∠°(cid:63)𝐺𝐻𝐶
∵∠𝐷 + =90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐸𝐶𝐷
∴∠(cid:118)𝐺(cid:119)𝐻𝐶(cid:25) ∠𝐷𝐸(cid:80)𝐶 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = = (cid:63)
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐷 𝐶𝐷(cid:63) 𝐵𝐶 𝐺=𝑀 =90°(cid:63) =
∵∠𝐺𝐻𝐶 ∠𝐷𝐸𝐶 (cid:63)∠𝐻𝑀𝐺 ∠𝐷 𝐺𝑀 𝐶𝐷
∴△𝐻𝑀=𝐺≌△=𝐸𝐷𝐶 =4(cid:63)
∴𝐷(cid:52)𝐸 𝐻(cid:26)𝑀(cid:39)(cid:58)5−1
∵𝐸 =𝐴𝐷8
∴𝐴𝐷 =8(cid:63)
∴𝐴𝐵= =7
∴(cid:71)𝐴3𝐺(cid:72)①8(cid:10)−1 (cid:52)(cid:134)(cid:119)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
= (cid:63)∵△𝐴𝐵𝐶= = =60°
(cid:107)∴𝐴𝐵 𝐵(cid:76)𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶(cid:26)(cid:63)∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
△𝐴=𝐵𝐸 (cid:63)△𝐵𝐶𝐹 = (cid:63) = (cid:63)
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐸 𝐶𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌=△𝐵𝐶𝐹
∴(cid:140)∠𝐵𝐴𝐸 ∠=𝐶𝐵𝐹 + =60°
∵∠𝐴𝐵+𝐸 ∠𝐴𝐵=𝑀60°∠𝐶𝐵𝐹
∴(cid:140)∠𝐴𝐵𝑀 ∠=𝐵𝐴𝐸 +
∵∠𝐴𝑀=𝐹60°∠𝐴𝐵𝑀 ∠𝐵𝐴𝐸
∴∠𝐴𝑀𝐹② =
(cid:167)(cid:98)𝐴𝑀(cid:10) 2𝐵𝑀
(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:247) (cid:248) (cid:39)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:193)60°(cid:63)
(cid:52)△(cid:134)𝐵(cid:119)𝑀(cid:216)𝐶 (cid:34)𝐶(cid:25)(cid:63)
∵△𝐴(cid:76)𝐵𝐶 (cid:253)(cid:254)(cid:63)(cid:208)(cid:131)(cid:197)
′
∴𝐵𝐶 𝐴𝐶 △𝐴𝑀 𝐶
= (cid:58) = (cid:63) =
′ ′ ′
∴𝐵𝑀 𝐴𝑀(cid:52)(cid:134)(cid:119)𝐶𝑀(cid:216)(cid:34)𝐶(cid:25)𝑀(cid:63) ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐶𝐴𝑀
′
∴△𝑀𝑀 𝐶=60°
′
∴(cid:140)∠𝑀 𝑀𝐶
∵𝐶𝑀⊥=𝐴𝐸 =30°
′
∴(cid:98)∠①𝐴𝑀(cid:131)𝑀 90=°−60°
∠=𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹
′
∴∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐶𝐴𝑀 + = + = =60°
′ ′
∴∠𝑀𝐴𝑀 =∠𝑀𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝑀=9∠0°𝑀𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶
′
∴∠𝐴𝑀 𝑀 (cid:52)1(cid:151)8(cid:34)0°−(cid:216)3(cid:34)0°(cid:25)−60°
′
(cid:140)∴△𝐴𝑀𝑀 =30°(cid:63) =60°
′ ′
∵∠=𝐴𝑀𝑀 ∠𝑀𝐴𝑀
′
∴(cid:140)𝐴𝑀 2=𝐴𝑀
′
∵𝐵=𝑀 𝐴𝑀
∴(cid:15)𝐴(cid:39)𝑀(cid:220)(cid:20)2(cid:156)𝐵𝑀(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:255)30°(cid:34)(cid:27)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:163)(cid:134)(cid:119)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)
(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:134)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:80)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)1-2(cid:20)(cid:262)(cid:256)(cid:10)
(cid:116)(cid:117)①(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:52)(cid:119) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:71)(cid:39) (cid:55)(cid:76)(cid:39) (cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:63)(cid:240) (cid:139)
(cid:39) (cid:63)(cid:171)(cid:172)(cid:10) = 𝐴𝐵(cid:58)𝐶𝐷(cid:71)(cid:55)(cid:265)𝐸(cid:126)(cid:172)(cid:173)𝐴𝐵(cid:72) 𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴 𝐴𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶
𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐹(cid:162)(cid:106)(cid:10)
(cid:116)(cid:117)②(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:52)(cid:119) (cid:63) (cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:71)(cid:39) (cid:63) (cid:55)(cid:76)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:53)(cid:39)(cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
(cid:169) (cid:27)(cid:150)(cid:146)(cid:69)(cid:144)(cid:240)(cid:119)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:63) (cid:139)𝐸(cid:39)𝐹 (cid:63) (cid:63)(cid:150)𝐴(cid:165)𝐵(cid:52)𝐶(cid:58)𝐷(cid:148) (cid:52) (cid:26)𝐸(cid:39)(cid:63)𝐹 =1(cid:63) =4(cid:63)(cid:241) (cid:27)(cid:48)(cid:58) 𝐸𝐹
𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐺 𝐻 𝑂 𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐴𝐵 𝐺𝐻
(cid:95)(cid:186)(cid:10)
(cid:95)(cid:186)(cid:10)(cid:116)(cid:117)③(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:63) (cid:112)(cid:63) = (cid:63) (cid:63) (cid:94)(cid:240)(cid:139)(cid:39) (cid:58)(cid:148) =3(cid:63)
(cid:117)(cid:26)(cid:266)(cid:267)(cid:183)(cid:69)(cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:76)(cid:23)(cid:24)𝐴𝐵(cid:25)𝐶𝐷 (cid:27)(cid:79)𝐸(cid:268)𝐹(cid:269)(cid:270)(cid:52)2:𝐵3𝐶(cid:63)(cid:166)𝐶𝐷 𝐵(cid:27)𝐸(cid:79)(cid:268)𝐶𝐹(cid:52)(cid:271)𝐵(cid:271)𝐹(cid:271)𝐴(cid:63)𝐸 (cid:27)(cid:272)𝐺 (cid:48)(cid:52)𝐴(cid:271)𝐵(cid:271)(cid:271)(cid:58)
𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐺 △𝐴𝐵𝐺
3
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(cid:262)(cid:256)(cid:10)(cid:207)(cid:218)(cid:45)(cid:162)(cid:106)(cid:10) 17(cid:66)(cid:95)(cid:186)(cid:10) (cid:63) 15+3
2
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:262)(cid:256)(cid:10)(cid:98)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) = (cid:63) = =90°(cid:63)(cid:172)(cid:131) = (cid:63)(cid:98) (cid:172)(cid:131)
(ASA)(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:192)(cid:59)(cid:60)𝐴𝐷(cid:66) 𝐴𝐵 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐹 𝐴𝑆𝐴
(cid:162)△(cid:106)𝐷𝐴(cid:10)𝐸(cid:69)≌(cid:144)△(cid:168)𝐴𝐵(cid:39)𝐹 (cid:163) (cid:169) (cid:63) (cid:63)(cid:69)(cid:144)(cid:240) (cid:163) (cid:139)(cid:39) (cid:163) (cid:63)(cid:98)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) (cid:63)
= (cid:63) 𝐴=𝐷 𝐴=𝑁9∥0°𝐺(cid:63)𝐻(cid:273)(cid:192)𝐷𝑀(cid:118)∥(cid:119)𝐸(cid:25)𝐹 (cid:80)𝐵(cid:68)𝐶(cid:274)(cid:118)𝐴𝐵(cid:119)(cid:25)(cid:63)𝑁 𝑀= =1(cid:63) = (cid:63)(cid:172)𝐴𝐵(cid:192)∥𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐶𝐷(cid:63)∠(cid:83)𝐷(cid:167)𝐴𝐵(cid:63)(cid:118)∠(cid:119)𝐵(cid:25) (cid:80)(cid:68)(cid:274)(cid:118)(cid:119)(cid:25)𝐷𝑀(cid:63)𝐸𝐹 = (cid:63) 𝑀𝐸(cid:63)(cid:172)𝐷(cid:131)𝐹 𝐷=𝑀 𝐸𝐹(cid:63)(cid:98)ASA(cid:172)(cid:131)
𝐷𝑀⊥𝐺𝐻 𝐴𝐺𝐻𝑁 𝐺𝐻 𝐴𝑁 𝐴𝑁⊥𝐷𝑀 ∠𝐴𝐷1𝑀 ∠𝐵𝐴𝑁
(cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:273)(cid:192) = (cid:63)(cid:98) (cid:52) (cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:131)(cid:192) = =2(cid:63)(cid:166)
2
△𝐴𝐷𝑀≌△𝐵𝐴𝑁 𝐷𝑀 𝐴𝑁 𝐷𝑀 𝐺𝐻 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐵
= =1(cid:63)(cid:98)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:131)(cid:192) = + = 17(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:192)(cid:59)(cid:238)(cid:66)
2 2
𝐴𝑀 𝐴𝐸−𝑀𝐸 𝐷𝑀 𝐴𝐷 𝐴𝑀(cid:95)(cid:186)(cid:10) =9(cid:63)(cid:98)(cid:266)(cid:267)(cid:183)(cid:69)(cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:76)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:52)2:3(cid:63)(cid:131)(cid:192)(cid:266)(cid:267)(cid:183)(cid:69)(cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52)6(cid:63)(cid:277)
正方形
𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 3
(cid:278)(cid:183)(cid:69)(cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52)3(cid:63)(cid:98)SAS(cid:172)(cid:131) (cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63) = (cid:63)(cid:166) = (cid:63)
四边形 2
△𝐴𝐵𝐸≌△𝐵𝐶𝐹 ∠𝐵𝐸𝐴 ∠𝐵𝐹𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐺 1 𝑆 3 𝐶𝐸𝐺𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐺
+ =90°(cid:63)(cid:166) =90°(cid:63) =90°(cid:63)(cid:279) = (cid:63) = (cid:63)(cid:166) = (cid:63) =6(cid:63)(cid:98)(cid:275)(cid:276)(cid:42)
2 2
∠(cid:167)𝐹(cid:131)𝐵𝐶(cid:192) ∠ + 𝐵𝐸𝐴 = =3∠𝐵(cid:63)𝐺𝐸 + + ∠𝐴𝐺 = 𝐵 15(cid:63)(cid:208) +𝐴𝐺 = 𝑎 15 𝐵(cid:63)𝐺(cid:131)(cid:192)𝑏 + 𝑎 = 𝑏 15(cid:63)2(cid:208)𝑎𝑏(cid:157)(cid:131)(cid:192)(cid:59)(cid:238)(cid:58)
2 2 2 2 2 2 2
(cid:15)(cid:218)(cid:45)𝑎(cid:20)(cid:262)(cid:256)𝑏(cid:10) 𝐴𝐵 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 (𝑎 𝑏) 𝑎 𝑏
(cid:172)(cid:173)(cid:10) (cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
=∵ (cid:63) 𝐴𝐵𝐶=𝐷 =90°(cid:63)
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵(cid:63)∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐹
∵𝐴𝐹⊥𝐷+𝐸 =90°(cid:63) + =90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝐹 =∠𝐵𝐴𝐹(cid:63) ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐴𝐷𝐸
(cid:107)∴∠𝐴𝐷𝐸 (cid:129)∠𝐵𝐴𝐹 (cid:26)(cid:63)
△𝐷𝐴=𝐸 △𝐴𝐵𝐹
= (cid:63)
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵𝐴𝐹
𝐴𝐷 𝐴𝐵
∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐹 (ASA)(cid:63)
∴△𝐷𝐴=𝐸≌△(cid:66)𝐴𝐵𝐹
(cid:162)∴(cid:106)𝐷𝐸(cid:10) 𝐴𝐹
(cid:45)(cid:10)(cid:69)(cid:144)(cid:168)(cid:39) (cid:163) (cid:169) (cid:63) (cid:63)(cid:69)(cid:144)(cid:240) (cid:163) (cid:139)(cid:39) (cid:163) (cid:63)(cid:116)(cid:117)②(cid:280)(cid:281)(cid:10)
(cid:118)(cid:119)(cid:25) 𝐴(cid:80)(cid:23)𝐷(cid:24)𝐴(cid:25)𝑁(cid:63)∥𝐺𝐻 𝐷𝑀∥𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑁 𝑀
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷 = (cid:63) = =90°(cid:63)
∴𝐴(cid:118)𝐵(cid:119)∥(cid:25)𝐶𝐷 𝐴𝐵(cid:80)(cid:68)𝐶𝐷(cid:274)(cid:118)∠(cid:119)𝐷𝐴(cid:25)𝐵(cid:63) ∠𝐵
∴ = 𝐷𝑀=𝐸𝐹1(cid:63) = (cid:63)
∴𝑀𝐸 𝐷𝐹(cid:63) 𝐷𝑀(cid:63) 𝐸𝐹
∵𝐴𝑁∥𝐺𝐻 (cid:63)𝐺𝐻⊥𝐸𝐹
(cid:83)∴(cid:167)𝐷𝑀(cid:63)⊥(cid:118)𝐺(cid:119)𝐻(cid:25) (cid:80)(cid:68)(cid:274)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:63)
= (cid:63)𝐴𝐺𝐻𝑁
∴𝐺𝐻 𝐴𝑁(cid:63) (cid:63)
∵𝐷𝑀∥𝐸𝐹 (cid:63)𝐺𝐻⊥𝐸𝐹
∴𝐴𝑁⊥𝐷+𝑀 =90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝑁 ∠𝐴𝐷𝑀+ =90°(cid:63)
∵∠𝐷𝐴𝑁 =∠𝐵𝐴𝑁(cid:63)
(cid:107)∴∠𝐴𝐷𝑀 (cid:129)∠𝐵𝐴𝑁 (cid:26)(cid:63)
△𝐴𝐷𝑀 =△𝐵𝐴𝑁
= (cid:63)
∠𝐴𝐷=𝑀 ∠𝐵𝐴=𝑁90°
𝐴𝐷 𝐴𝐵
∠𝐷𝐴𝑀 ∠𝐴𝐵𝑁 (ASA)(cid:63)
∴△𝐴𝐷=𝑀≌△(cid:63)𝐵𝐴𝑁
∴𝐷𝑀= 𝐴𝑁(cid:63)
∴𝐸𝐹 =𝐺𝐻 (cid:63)
∴𝐷(cid:52)𝑀 𝐺(cid:26)𝐻(cid:39)(cid:63)
∵𝐸 𝐴𝐵1
= =2(cid:63)
2
∴𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 = =1(cid:63)
∴𝐴𝑀 𝐴𝐸−𝑀𝐸 2−1
= + = 4 +1 = 17(cid:63)
2 2 2 2
∴𝐷𝑀
= 1
𝐴
7
𝐷(cid:66) 𝐴𝑀
(cid:95)∴(cid:186)𝐺𝐻(cid:10)
(cid:45)(cid:10) =3(cid:63)
∵𝐴𝐵 =3×3=9(cid:63)
正方形
∴𝑆(cid:266)(cid:267)(cid:183)𝐴(cid:69)𝐵𝐶(cid:27)𝐷 (cid:79)(cid:268)(cid:76)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:52)2:3(cid:63)
∵ 2 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:266)(cid:267)(cid:183)(cid:69)(cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52)(cid:10) ×9=6(cid:63)
3
∴(cid:277)(cid:278)(cid:183)(cid:69)(cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52)(cid:10) =3(cid:63)
(cid:107)∴ (cid:129) (cid:26)(cid:63)9−6
△𝐴𝐵𝐸 =△𝐵𝐶𝐹
= =90°(cid:63)
𝐵𝐸= 𝐶𝐹
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐶𝐹
𝐴𝐵 𝐵𝐶 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴𝐵𝐸≌=△𝐵𝐶𝐹(cid:63) = (cid:63)
四边形
∴∠𝐵𝐸𝐴 ∠1𝐵𝐹𝐶 3𝑆△𝐴𝐵𝐺 𝑆 𝐶𝐸𝐺𝐹
= ×3= (cid:63) + =90°(cid:63)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐺 =90°(cid:63) ∠𝐹𝐵𝐶 ∠𝐵𝐸𝐴
∴∠𝐵𝐺𝐸 =90°(cid:63)
∴∠𝐴𝐺𝐵(cid:279) = (cid:63) = (cid:63)
𝐴1𝐺 𝑎3 𝐵𝐺 𝑏
(cid:166) = (cid:63)
2 2
𝑎𝑏 =6(cid:63)
∴2𝑎𝑏+ = =3 (cid:63)
2 2 2 2
∵𝑎 +𝑏 +𝐴𝐵 =3 +6=15(cid:63)
2 2 2
(cid:208)∴𝑎 +2𝑎𝑏=𝑏15(cid:63)
2
(𝑎+ 𝑏=) 15(cid:63)(cid:208) + = 15(cid:63)
∴𝑎 𝑏 (cid:27)(cid:272)(cid:48)(cid:52) 𝐵15𝐺+3𝐴(cid:63)𝐺
∴△𝐴𝐵𝐺 3
(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10) (cid:63) 15+3(cid:58)
2
(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:68)(cid:274)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:163)(cid:216)
(cid:34)(cid:25)(cid:79)(cid:268)(cid:76)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:79)(cid:268)(cid:27)(cid:282)(cid:283)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:43)(cid:128)(cid:68)(cid:274)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)
(cid:227)(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)1-3(cid:20)(cid:86)(cid:11)(cid:286)(cid:38)(cid:10)(cid:162)(cid:106)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:71)1(cid:72)(cid:287)(cid:187)(cid:10)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:107)CD(cid:163)AD(cid:119)(cid:112)(cid:63)(cid:62)BF AE(cid:63)(cid:287)(cid:187)(cid:146)(cid:147)AE(cid:76)BF
(cid:269)(cid:288)(cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:10) (cid:58) ⊥
(cid:71)2(cid:72)(cid:162)(cid:106)(cid:10)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:163)F(cid:163)G(cid:163)H(cid:69)(cid:144)(cid:107)AB(cid:63)BC(cid:63)CD(cid:63)AD(cid:119)(cid:112)(cid:63)(cid:62)EG HF(cid:63)(cid:156)
(cid:250)(cid:146)(cid:147)HF(cid:76)EG(cid:94)(cid:134)(cid:135)?(cid:116)(cid:238)(cid:94)(cid:134)(cid:88)(cid:289)(cid:192)(cid:172)(cid:173)(cid:63)(cid:116)(cid:238)(cid:55)(cid:94)(cid:134)(cid:88)(cid:245)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58) ⊥
(cid:71)3(cid:72)(cid:95)(cid:186)(cid:10)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:247)(cid:119)(cid:48)(cid:52)4(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:290)(cid:291)ABCD(cid:36)(cid:37)(cid:63)(cid:130)(cid:39)A(cid:292)(cid:107)CD(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:39)E(cid:293)(cid:63)(cid:39)B(cid:292)(cid:107)(cid:39)F
(cid:293)(cid:63)(cid:36)(cid:294)(cid:52)MN(cid:63)(cid:166)(cid:146)(cid:147)MN(cid:27)(cid:48)(cid:52) (cid:58)(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)AE=BF(cid:66)(cid:71)2(cid:72)HF=EG(cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:207)(cid:45)(cid:177)(cid:66)(cid:71)3(cid:72)2 5
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:295)(cid:186)AAS(cid:172)(cid:173) ABF DAE(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197)(cid:59)(cid:60)(cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:168)(cid:39)E(cid:169)EM CD(cid:63)(cid:150)(cid:165)△(cid:52)M≌(cid:63)△(cid:168)(cid:39)H(cid:169)HN BC(cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)N(cid:63)(cid:295)(cid:186)ASA(cid:172)(cid:173) HFN EGM(cid:63)(cid:208)(cid:157)
(cid:131)(cid:197)(cid:59)(cid:60)(cid:66) ⊥ ⊥ △ ≌△
(cid:71)3(cid:72)(cid:263)(cid:264)NE(cid:63)(cid:169)NP AD(cid:240)AD(cid:139)(cid:39)P(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:295)(cid:186)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:296)(cid:157)(cid:158)(cid:180)(cid:192)(cid:24)(cid:178)(cid:63)(cid:188)(cid:297)(cid:45)(cid:192)DM
(cid:27)(cid:48)(cid:63)(cid:107)Rt EFN(cid:129)R⊥t NEC(cid:26)(cid:63)(cid:131)(cid:197)EF2+FN2=CE2+CN2(cid:63)(cid:241)(cid:192)FN(cid:63)(cid:298)(cid:295)(cid:186)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:208)(cid:157)(cid:241)(cid:192)MN(cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)△(cid:71)1(cid:72)AE=B△F(cid:63)
(cid:118)(cid:119)(cid:25)ABCD(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵AD=AB(cid:63) BAF= ADE=90°(cid:63)
∴ DAE+ A∠ED=90∠°(cid:63)
∴B∠F AE∠(cid:63)
∵ A⊥FB+ DAE=90°(cid:63)
∴∠AED=∠AFB(cid:63)
∴(cid:107)∠ ABF∠(cid:129) DAE(cid:26)(cid:63)
△ = △
= (cid:63)
∠𝐴𝐹𝐵 =∠𝐴𝐸𝐷
∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐴𝐷𝐸
A𝐴B𝐵F 𝐴D𝐷AE(cid:71)AAS(cid:72)(cid:63)
∴B△F=AE≌(cid:66)△
∴(cid:71)2(cid:72)EG=HF(cid:63)(cid:167)(cid:98)(cid:80)(cid:10)
(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:168)(cid:39)E(cid:169)EM CD(cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)M(cid:63)(cid:168)(cid:39)H(cid:169)HN BC(cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)N(cid:63)
(cid:118)(cid:119)(cid:25)ABCD(cid:80)(cid:23)(cid:24)⊥(cid:25)(cid:63) ⊥
∵EM=HN(cid:63)
∴ EPQ=90°(cid:63)
∵∠PEQ+ PQE=90°(cid:63)(cid:140)EM BC(cid:63)
∴∠PQE=∠HFN(cid:63) ∥
∴∠PEQ+∠HFN=90°(cid:63)(cid:140) HFN+ FHN=90°(cid:63)
∴∠PEQ=∠FHN(cid:63) ∠ ∠
∴(cid:107)∠ HFN∠(cid:129) EGM(cid:26)(cid:63)
△ = △
= (cid:63)
∠𝐹𝐻𝑁=∠𝐺𝐸𝑀
𝐻𝑁 𝐸𝑀
∠𝐻H𝑁F𝐹N ∠E𝐸G𝑀M𝐺(cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)
∴H△F=EG≌(cid:66)△
∴
(cid:71)3(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264)NE(cid:63)(cid:169)NP AD(cid:240)AD(cid:139)(cid:39)P(cid:63)
(cid:98)(cid:118)(cid:119)(cid:25)ABCD(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:299)(cid:36)⊥(cid:37)(cid:256)(cid:63)FN=BN(cid:63)EM=AM(cid:63)EF=AB(cid:63) EFN= B=90°(cid:63)
(cid:107)Rt DEM(cid:26)(cid:63)DM2+DE2=EM2(cid:63) ∠ ∠
△AB=BC=CD=DA=4(cid:63)E(cid:52)BC(cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)
∵DE=2(cid:63)
∴DM2+22=(cid:71)4-DM(cid:72)2(cid:63)
∴ 3
(cid:45)(cid:131)DM= (cid:63)
2
(cid:107)Rt EFN(cid:26)(cid:63)EF2+FN2=EN2(cid:63)
(cid:107)Rt△NEC(cid:26)(cid:63)CE2+CN2=EN2(cid:63)
EF2+△FN2=CE2+CN2(cid:63)
∴42+FN2=22+(cid:71)4-FN(cid:72)2(cid:63)
∴ 1
(cid:45)(cid:131)(cid:63)FN= (cid:63)
2
1
BN=AP= (cid:63)
2
∴ 3 1
MP=AD-DM-AP=4- - =2(cid:63)
2 2
∴
(cid:107)Rt MPN(cid:26)(cid:63)MN= + =2 5(cid:58)
2 2
△ 𝑀𝑃 𝑃𝑁
(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:300)(cid:36)(cid:228)(cid:215)(cid:27)(cid:35)(cid:21)(cid:63)(cid:301)(cid:197)(cid:94)(cid:95)(cid:27)
(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:295)(cid:186)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:241)(cid:45)(cid:80)(cid:45)(cid:302)(cid:221)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
【题型2 正方形中的夹半角模型】
(cid:15)(cid:73)2(cid:20)(cid:71)2025·(cid:303)(cid:304)(cid:304)(cid:305)·(cid:26)(cid:77)(cid:90)(cid:21)(cid:72)(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:306)(cid:307)(cid:20)(cid:107)(cid:86)(cid:11)(cid:308)(cid:254)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:112)(cid:63)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:158)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:52)(cid:312)(cid:313)(cid:63)(cid:162)(cid:106)(cid:314)
(cid:38)(cid:39)(cid:27)(cid:315)(cid:316)(cid:35)(cid:21)(cid:58)(cid:148)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:119) (cid:63) (cid:112)(cid:63)(cid:62) =45°(cid:63)(cid:108)(cid:109)(cid:317)(cid:269)(cid:52)“(cid:33)(cid:34)
(cid:31)(cid:22)”(cid:63)(cid:107)(cid:45)(cid:302)“(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)”(cid:35)𝐴(cid:21)𝐵(cid:250)𝐶𝐷(cid:63)(cid:252)(cid:193)(cid:80)(cid:49)(cid:318)𝑀(cid:319)(cid:186)𝑁(cid:27)(cid:24)(cid:320)(cid:58)𝐶𝐷 𝐵𝐶 ∠𝑀𝐴𝑁(1)(cid:15)(cid:321)(cid:161)(cid:322)(cid:323)(cid:20)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:247) (cid:248)(cid:39)A(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:193)90°(cid:63)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:253)(cid:254)(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:58)(cid:186)(cid:134)
(cid:229)(cid:84)(cid:192)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) (cid:27)△(cid:86)𝐴(cid:213)𝐷𝑀(cid:3)(cid:244)_____(cid:58) 𝐷 𝐵 △𝐴𝐵𝐸 𝑀𝑁
(2)(cid:15)(cid:324)(cid:270)(cid:162)𝐷(cid:106)𝑀(cid:20)(cid:81)𝐵(cid:173)𝑁(cid:325)𝑀(cid:228)𝑁(cid:39)(cid:27)(cid:326)(cid:327)(cid:328)(cid:63)(cid:160)(cid:49)(cid:161)(cid:162)(cid:106)(cid:10)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119) (cid:63) (cid:27)(cid:329)
(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:63) =45°(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:186)(cid:134)(cid:229)(cid:84)(cid:192)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) 𝑀(cid:27)𝑁(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:245)𝐴(cid:173)𝐵𝐶(cid:167)𝐷(cid:98)(cid:66)𝐶𝐷 𝐵𝐶
(3)(cid:15)(cid:103)(cid:104)∠(cid:329)𝑀(cid:330)𝐴(cid:20)𝑁(cid:331)(cid:332)(cid:81)(cid:145)(cid:200)(cid:192)𝑀(cid:333)𝑁(cid:27)(cid:162)(cid:106)(cid:24)(cid:334)(cid:10)(cid:116)(cid:117)𝑀3(cid:63)𝑁(cid:107)𝐷(cid:118)𝑀(cid:119)(cid:25)𝐵𝑁 (cid:26)(cid:63) = (cid:63) =120°(cid:63)
+ =180°(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:119) (cid:63) (cid:112)(cid:63) =60°(cid:63)(cid:186)𝐴𝐵(cid:134)𝐶(cid:229)𝐷(cid:84)(cid:192)𝐴(cid:146)𝐵(cid:147) 𝐴𝐷(cid:63) ∠𝐵(cid:63)𝐴𝐷 (cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)
∠(cid:91)𝐵(cid:245)(cid:173)∠(cid:167)𝐷(cid:98)(cid:58) 𝑁 𝑀 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝑀𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐷𝑀 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1) + =
(2) =𝐷𝑀 (cid:63)𝐵𝑁(cid:167)(cid:98)𝑀(cid:207)𝑁(cid:45)(cid:177)
(3)𝐵𝑁−+𝐷𝑀 =𝑀𝑁
(cid:15)(cid:69)𝐷𝑀(cid:177)(cid:20)𝐵(cid:221)𝑁(cid:21)(cid:77)𝑀(cid:222)𝑁(cid:211)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:117)(cid:25)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:295)(cid:186)(cid:117)(cid:25)(cid:27)(cid:252)
(cid:193)(cid:335)(cid:43)(cid:44)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:71)1(cid:72)(cid:176)(cid:142)(cid:117)(cid:25)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:157)(cid:131) = (cid:63) = (cid:63) = (cid:63) = (cid:63)(cid:154)(cid:328)(cid:172)(cid:173)E(cid:163)
B(cid:163)N(cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:63)(cid:298)(cid:172)(cid:173) 𝐷𝑀 𝐵𝐸(cid:63)(cid:131)𝐴(cid:197)𝑀 𝐴=𝐸 ∠(cid:63)𝐷𝐴(cid:208)𝑀(cid:131)(cid:179)∠(cid:206)𝐵𝐴(cid:66)𝐸 ∠𝐴𝐷𝑀 ∠𝐴𝐵𝐸
(cid:71)2(cid:72)(cid:247) (cid:248)(cid:39)A(cid:249)△(cid:250)𝐸(cid:251)𝐴𝑁(cid:252)≌(cid:193)△90𝑀°(cid:63)𝐴𝑁(cid:39) (cid:76)(cid:39)𝐸𝑁(cid:253)(cid:254)𝑀(cid:63)𝑁(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:299)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)
(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)△(cid:63)𝐴(cid:157)𝐷(cid:337)𝑀(cid:161)(cid:172)(cid:173) = (cid:63)(cid:208)(cid:131)(cid:179)(cid:206)𝐷(cid:66) 𝐵 △𝐴𝐵𝐸
(cid:71)3(cid:72)(cid:247) (cid:248)(cid:39)A𝐸(cid:249)𝑁(cid:250)(cid:251)𝑀(cid:252)𝑁(cid:193)120°(cid:63)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:253)(cid:254)(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:117)(cid:25)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:157)(cid:131)
= △(cid:63)𝐴𝐷𝑀= (cid:63) = (cid:63) 𝐷 =𝐵 (cid:63)(cid:154)(cid:328)(cid:172)△(cid:173)𝐴𝐵E𝐸(cid:163)B(cid:163)N(cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:63)(cid:298)(cid:172)(cid:173)
𝐷𝑀 𝐵𝐸 𝐴𝑀 (cid:63)𝐴(cid:131)𝐸 (cid:197)∠𝐷𝐴=𝑀 ∠(cid:63)𝐵𝐴(cid:208)𝐸(cid:131)(cid:179)∠𝐴(cid:206)𝐷(cid:58)𝑀 ∠𝐴𝐵𝐸
(cid:15)△(cid:218)𝐸𝐴(cid:45)𝑁(cid:20)≌(cid:71)△1𝑀(cid:72)𝐴(cid:45)𝑁(cid:10) 𝐸𝑁 (cid:248)𝑀(cid:39)𝑁A(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:193)90°(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63)
= (cid:63) =∵△(cid:63)𝐴𝐷𝑀 = (cid:63) = △(cid:63)𝐴𝐵𝐸
∴𝐷(cid:118)𝑀(cid:119)(cid:25)𝐵𝐸 𝐴(cid:80)𝑀(cid:23)(cid:24)𝐴𝐸(cid:25)(cid:63)∠𝐷𝐴𝑀 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷𝑀 ∠𝐴𝐵𝐸
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 = =90°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶=1∠8𝐴0𝐷°𝑀(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝑁E(cid:163)B(cid:163)N(cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:63)
∴ =45 (cid:63)
∘
∵∠𝑀𝐴𝑁+ =45°(cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑁=45°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐸 =∠4𝐵5°𝐴(cid:63)𝑁
∴∠𝐸𝐴𝑁= (cid:63)
∴∠𝐸𝐴=𝑁 ∠(cid:63)𝑀𝐴𝑁
∵𝐴𝑁 𝐴𝑁 SAS)(cid:63)
∴△𝐸𝐴=𝑁≌△(cid:63)𝑀𝐴𝑁(
∴𝐸𝑁+ 𝑀𝑁= (cid:63)
∴𝐸𝐵 +𝐵𝑁 =𝑀𝑁(cid:66)
(cid:219)∴(cid:179)𝐷𝑀(cid:206)(cid:52)𝐵(cid:10)𝑁 𝑀+𝑁 = (cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:45)(cid:10) 𝐷𝑀 𝐵𝑁= 𝑀(cid:66)𝑁(cid:167)(cid:98)(cid:116)(cid:78)(cid:10)
(cid:247) (cid:248)𝐵𝑁(cid:39)−𝐷A𝑀(cid:249)(cid:250)𝑀(cid:251)𝑁(cid:252)(cid:193)90°(cid:63)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:253)(cid:254)(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63)
△𝐴=𝐷𝑀 (cid:63) = (cid:63) = 𝐷 (cid:63)𝐵 = △𝐴=𝐵9𝐸0°(cid:63)
∴E𝐷𝑀(cid:107) 𝐵(cid:112)𝐸(cid:63)𝐴𝑀 𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝑀 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷𝑀 ∠𝐴𝐵𝐸
∴(cid:118)(cid:119)𝐵(cid:25)𝐶 (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 + =90°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐷 +∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐸𝐴𝐷 =90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝑀 =∠4𝐸5𝐴(cid:63)𝐷 ∠𝐸𝐴𝑀
∘
∵∠𝑀𝐴𝑁= =45°(cid:63)
∴∠𝐸𝐴=𝑁 ∠(cid:63)𝑀𝐴𝑁
∵𝐴𝑁 𝐴𝑁 SAS)(cid:63)
∴△𝐸𝐴=𝑁≌△(cid:63)𝑀𝐴𝑁(
∴𝐸𝑁 𝑀𝑁= (cid:63)
∴𝐵𝑁−𝐵𝐸 =𝑀𝑁(cid:66)
∴𝐵𝑁−𝐷𝑀 𝑀𝑁(cid:71)3(cid:72)(cid:45)(cid:10) + = (cid:58)(cid:167)(cid:98)(cid:116)(cid:78)(cid:10)
(cid:247) (cid:248)𝐷𝑀(cid:39)A𝐵(cid:249)𝑁(cid:250)(cid:251)𝑀(cid:252)𝑁(cid:193)120°(cid:63)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:253)(cid:254)(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63)
△𝐴=𝐷𝑀 (cid:63) = (cid:63) = 𝐷 (cid:63) 𝐵 = △(cid:63)𝐴𝐵𝐸
∴𝐷𝑀 𝐵=𝐸120𝐴°𝑀(cid:63) 𝐴𝐸 =∠𝐷6𝐴0𝑀° ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷𝑀 ∠𝐴𝐵𝐸
∵∠𝐵𝐴𝐷 + =∠𝑀𝐴𝑁 =60°(cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑁= 120°−=606°0°
∴∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐵𝐴𝑁 ∠𝐸𝐴𝑁
∴∠𝐸𝐴𝑁+ ∠𝑀=𝐴𝑁180°
∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷 = + =180°
∴∠E𝐴(cid:163)𝐵B𝐸(cid:163)N∠(cid:216)𝐴𝐵(cid:39)𝐶(cid:336)(cid:146)∠𝐷(cid:63) ∠𝐴𝐵𝐶
∴ = (cid:63)
∵𝐴𝑁 𝐴𝑁 SAS)(cid:63)
∴△𝐸𝐴=𝑁≌△(cid:63)𝑀𝐴𝑁(
∴𝐸𝑁+ 𝑀𝑁= (cid:63)
∴𝐸𝐵 +𝐵𝑁 =𝑀𝑁(cid:58)
∴𝐷𝑀 𝐵𝑁 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:228)(cid:229)2-1(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:80) (cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63) (cid:80) (cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)(cid:62) =45°(cid:58)(cid:241)(cid:172)(cid:10) + = (cid:58)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(cid:207)(cid:45)(cid:177)(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:129)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:338)(cid:339) = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:157)(cid:172) (SAS)(cid:63) = (cid:63) = (cid:63)𝐵(cid:160)𝐶(cid:49)(cid:161)(cid:245)(cid:173) =𝐶𝐺 𝐴𝐸(cid:63)(cid:171)(cid:172)
△(𝐴S𝐷A𝐸S)≌(cid:63)△(cid:208)𝐶(cid:157)𝐷𝐺(cid:172)(cid:173)(cid:59)(cid:60)(cid:58)𝐷𝐸(cid:258)(cid:340)𝐷(cid:91)𝐺(cid:341)(cid:286)∠𝐴(cid:95)𝐷(cid:186)𝐸 (cid:123)∠(cid:109)𝐶(cid:27)𝐷𝐺(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:169)(cid:284)(cid:285)∠(cid:146)𝐸𝐷(cid:43)𝐹(cid:44)(cid:192)∠(cid:203)𝐹𝐷(cid:134)𝐺(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:80)(cid:45)(cid:21)
(cid:27)△(cid:3)𝐷𝐸(cid:227)𝐹(cid:58)≌△𝐷𝐺𝐹
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:172)(cid:173)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:338)(cid:339) = (cid:63)
𝐵𝐶 𝐶𝐺 𝐴𝐸
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵(cid:63)𝐶𝐷 = = = =90°(cid:63)
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴 (∠SA𝐴S𝐷)𝐶(cid:63) ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐶𝐺
∴△𝐴=𝐷𝐸≌(cid:63)△𝐶𝐷𝐺 = (cid:58)
∴𝐷𝐸 𝐷=𝐺45∠°(cid:63)𝐴𝐷(cid:166)𝐸 ∠𝐶𝐷+𝐺 = =45°
∵∠𝐸𝐷𝐹= +∠𝐴𝐷𝐸 =∠4𝐶5𝐷°(cid:58)𝐹 ∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐸𝐷𝐹
∴∠𝐹𝐷𝐺= ∠𝐶𝐷𝐹(cid:58)∠𝐶𝐷𝐺
∴(cid:107)∠𝐸𝐷𝐹 (cid:129)∠𝐹𝐷𝐺 (cid:26)
△𝐷𝐸=𝐹 △𝐷𝐺𝐹
= (cid:63)
𝐷𝐸=𝐷𝐺
∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝐹𝐷𝐺
𝐷𝐹 𝐷𝐹 (SAS)
∴△𝐷=𝐸𝐹≌(cid:58)△𝐷𝐺𝐹
∴(cid:208)𝐸𝐹 =𝐺𝐹 +
A
𝐸
E 𝐹+C
𝐺
F 𝐶=E
𝐶
F
𝐹(cid:58)
∴(cid:15)(cid:228)(cid:229)2-2(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)(cid:162)(cid:106)
(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:119)(cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)(cid:62) =45°(cid:58)(cid:247) (cid:248)(cid:39)D(cid:342)(cid:250)(cid:251)
(cid:252)(cid:193)90°(cid:63)(cid:131)(cid:197)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:58) 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 △𝐷𝐴𝐸
△𝐷𝐶𝑀(1)(cid:241)(cid:172)(cid:10) = + (cid:66)
(2)(cid:343) =𝐸1𝐹(cid:250)(cid:63)𝐴(cid:241)𝐸 𝐶(cid:27)𝐹(cid:48)(cid:58)
(3)(cid:162)(cid:106)𝐴𝐸(cid:329)(cid:330)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:63)𝐶𝐹(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) + =180°(cid:63) + =8(cid:58)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:80)(cid:119) (cid:163)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵 ∠𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
(cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)(cid:62) = (cid:58)(cid:241) (cid:27)(cid:272)(cid:48)(cid:58)
2
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1)∠(cid:207)𝐸(cid:218)𝐴𝐹(cid:45) ∠𝐵𝐴𝐷 △𝐶𝐸𝐹
3
(2) =
2
(3)8𝐶𝐹
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:98)(cid:252)(cid:193)(cid:157)(cid:131) = (cid:63) (cid:52)(cid:151)(cid:34)(cid:63)(cid:157)(cid:131)(cid:192) + =90°(cid:63)(cid:98) =45°(cid:63)(cid:131)(cid:197)
(cid:52)45°(cid:63)(cid:157)(cid:131)(cid:192) = 𝐷𝐸 (cid:63)𝐷(cid:298)𝑀(cid:98) ∠𝐸=𝐷𝑀 (cid:63)(cid:295)(cid:186)SAS(cid:157)(cid:131)∠(cid:192)𝐸𝐷(cid:216)𝐹(cid:34)(cid:25)∠𝑀𝐷𝐹(cid:76)(cid:216)(cid:34)(cid:25) ∠𝐸(cid:203)𝐷𝐹(cid:134)(cid:63)(cid:98)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)∠𝑀𝐷𝐹
(cid:25)(cid:27)(cid:138)(cid:95)(cid:119)(cid:94)(cid:134)∠(cid:157)𝐸𝐷(cid:131)𝐹(cid:192) ∠𝑀=𝐷𝐹 + 𝐷(cid:66)𝐹 𝐷𝐹 𝐷𝐸𝐹 𝑀𝐷𝐹
(cid:71)2(cid:72)(cid:98)(cid:71)1(cid:72)(cid:27)(cid:203)(cid:134)(cid:131)𝐸(cid:197)𝐹 𝐶=𝐹 𝐴=𝐸1(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63)(cid:186) (cid:241)(cid:192) (cid:27)(cid:48)(cid:63)(cid:298)(cid:98) + (cid:241)(cid:192)
(cid:27)(cid:48)(cid:63)(cid:279) = = (cid:63)(cid:157)𝐴𝐸(cid:131)(cid:192)𝐶𝑀 = = (cid:63)(cid:107)(cid:151)𝐴(cid:34)𝐵(cid:216)−𝐴(cid:34)𝐸(cid:25) 𝐸𝐵(cid:26)(cid:63)(cid:295)(cid:186)(cid:275)(cid:276)𝐵(cid:42)𝐶 (cid:167)𝐶(cid:180)𝑀(cid:192)(cid:3)(cid:139)𝐵𝑀
(cid:27)(cid:24)(cid:178)(cid:63)𝐸(cid:241)𝐹(cid:192)(cid:24)𝑀(cid:178)𝐹(cid:27)(cid:45)𝑥(cid:131)(cid:197) (cid:27)(cid:41)𝐵𝐹(cid:63)(cid:208)𝐵(cid:52)𝑀−𝐹(cid:27)𝑀(cid:48)(cid:58)𝐵𝑀−𝐸𝐹 𝐵𝐸𝐹 𝑥
(cid:71)3(cid:72)(cid:103)(cid:104)(cid:329)(cid:330)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)𝑥(cid:24)(cid:25) (cid:26)𝐸(cid:63)𝐹 (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:119) (cid:163) (cid:112)(cid:63)(cid:62) =45°(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:83)(cid:71)2(cid:72)(cid:157)
(cid:131)(cid:59)(cid:60) = + (cid:153)(cid:154)(cid:93)(cid:246)(cid:63)(cid:298)𝐴𝐵(cid:59)𝐶(cid:254)𝐷 +𝐸 𝐹=8(cid:63)(cid:208)(cid:157)𝐵(cid:169)𝐶(cid:179)𝐶(cid:58)𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:218)(cid:45)𝐸(cid:20)𝐹(cid:71)1(cid:72)𝐴𝐸(cid:172)(cid:173)𝐶(cid:10)𝐹 (cid:342)(cid:250)(cid:251)(cid:252)𝐵(cid:193)𝐶90°𝐶(cid:131)𝐷(cid:197) (cid:63)
= + ∵△𝐷=𝐴𝐸180°(cid:63) = (cid:63) △𝐷𝐶𝑀
∴∠(cid:163)𝐹𝐶𝑀(cid:163) ∠(cid:216)𝐹(cid:39)𝐶𝐷(cid:336)(cid:146)∠(cid:63)𝐷𝐶𝑀 𝐴𝐸 𝐶𝑀
∴𝐹 =𝐶 𝑀(cid:63) =90°(cid:63)
∴𝐷𝐸 𝐷+𝑀 ∠𝐸𝐷=𝑀90°(cid:63)
∴∠𝐸𝐷𝐹=∠4𝐹5°𝐷(cid:63)𝑀
∵∠𝐸𝐷𝐹 = =45°(cid:63)
(cid:107)∴∠𝐹𝐷𝑀 (cid:129)∠𝐸𝐷𝐹 (cid:26)(cid:63)
△𝐷𝐸𝐹 △𝐷𝑀𝐹=
= (cid:63)
𝐷𝐸 =𝐷𝑀
∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝑀𝐷𝐹
𝐷𝐹 𝐷𝐹 (SAS)(cid:63)
∴△𝐷=𝐸𝐹≌△(cid:63)𝐷𝑀𝐹
∴𝐸𝐹=𝑀𝐹+ (cid:66)
(cid:71)∴2𝐸(cid:72)𝐹(cid:45)(cid:10)𝐶𝐹(cid:279) 𝐴𝐸= = (cid:63)
= =𝐸𝐹1(cid:63)𝑀𝐹=3𝑥(cid:63)
∵𝐴𝐸 =𝐶𝑀+ 𝐵=𝐶3+1=4(cid:63)
∴𝐵𝑀= 𝐵𝐶 𝐶𝑀= = (cid:63)
∴𝐵𝐹 =𝐵𝑀−𝑀𝐹= 𝐵𝑀−=𝐸2𝐹(cid:63) 4−𝑥
(cid:107)∴R𝐸t𝐵 𝐴𝐵−(cid:26)𝐴(cid:63)𝐸(cid:98)(cid:275)3−(cid:276)1(cid:42)(cid:167)(cid:131)(cid:63)
+△𝐸𝐵𝐹=
2 2 2
𝐸(cid:208)𝐵2 +𝐵𝐹 𝐸𝐹= (cid:63)
2 2 2
(45−𝑥) 𝑥
(cid:45)(cid:131) = (cid:63)
2
𝑥 5
(cid:166) = = (cid:58)
2
𝐸𝐹 𝑀𝐹 5 3
= = = (cid:66)
2 2
∴(cid:71)𝐶3𝐹(cid:72)(cid:45)𝑀(cid:10)𝐹(cid:116)−𝐶(cid:117)𝑀 ②(cid:63)−(cid:247)1 (cid:248)(cid:39) (cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:193)(cid:34)(cid:242)(cid:52) (cid:27)(cid:242)(cid:86)(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63)
△𝐴𝐷𝐹 𝐴 ∠𝐵𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐻
(cid:98)(cid:252)(cid:193)(cid:157)(cid:131)(cid:63) = (cid:63) = (cid:63) = (cid:63) = (cid:63)
1 𝐴𝐻 𝐴𝐹 𝐵𝐻 𝐷𝐹 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐻 ∠𝐷 ∠𝐴𝐵𝐻
= (cid:63)
2
∵∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐷𝐴𝐵
1
= + = + = (cid:63)
2
∴∠𝐻𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐻(cid:63) ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
∴∠𝐻𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐹= + =180°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵𝐻 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸(cid:39) (cid:163) (cid:163) (cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:63)
(cid:107)∴ 𝐻 𝐵(cid:129)𝐸 (cid:26)(cid:63)
△𝐴𝐸=𝐻 △𝐴𝐸𝐹
= (cid:63)
𝐴𝐻= 𝐴𝐹
∠𝐻𝐴𝐸 ∠𝐸𝐴𝐹
𝐴𝐸 𝐴𝐸 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴𝐸=𝐻≌△(cid:63)𝐴𝐸𝐹
∴𝐸𝐹 =𝐻𝐸 + (cid:63)
∵𝐻𝐸= 𝐵𝐻+ 𝐵𝐸(cid:66)
∴𝐸𝐹+ 𝐷𝐹=8𝐵𝐸
∵𝐵𝐶+𝐶𝐷+ + =8(cid:63)( + )+ + =8(cid:63)
∴(cid:166)𝐵(𝐸 +𝐸𝐶 )𝐶+𝐹 𝐷+𝐹 =8(cid:63)𝐵𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐶 𝐶𝐹
𝐵𝐸+ 𝐻+𝐵 𝐸=𝐶8(cid:63)𝐶𝐹
∴𝐸𝐻+ 𝐸𝐶+ 𝐶𝐹=8(cid:63)
∴(cid:166)𝐸𝐹 𝐸𝐶(cid:27)(cid:272)𝐶𝐹(cid:48)(cid:52)8(cid:58)
(cid:15)(cid:39)△(cid:220)𝐶𝐸(cid:20)𝐹(cid:156)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:158)(cid:299)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:295)(cid:186)(cid:211)(cid:193)(cid:194)
(cid:299)(cid:24)(cid:178)(cid:27)(cid:70)(cid:187)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:224)(cid:225)(cid:299)(cid:42)(cid:167)(cid:80)(cid:45)(cid:221)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)2-3(cid:20)(cid:71)2025·(cid:303)(cid:304)(cid:344)(cid:345)·(cid:216)(cid:31)(cid:72)(cid:343)(cid:315)(cid:316)(cid:117)(cid:25)(cid:26)(cid:63)(cid:124)(cid:120)(cid:336)(cid:53)(cid:39)(cid:27)(cid:34)(cid:280)(cid:107)(cid:34)(cid:242)(cid:80)(cid:7)(cid:336)(cid:18)(cid:34)(cid:49)(cid:33)(cid:27)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:108)
(cid:109)(cid:317)(cid:269)(cid:52)“(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)”(cid:63)(cid:212)(cid:319)(cid:186)“(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:346)(cid:39)”(cid:347)(cid:348)(cid:117)(cid:25)(cid:27)(cid:315)(cid:316)(cid:228)(cid:215)(cid:63)(cid:130)(cid:131)(cid:124)(cid:120)(cid:69)(cid:349)(cid:27)(cid:34)(cid:228)(cid:215)(cid:93)(cid:52)(cid:49)(cid:120)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
(cid:94)(cid:343)(cid:139)(cid:43)(cid:44)(cid:192)(cid:124)(cid:120)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:203)(cid:134)(cid:58)
(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:321)(cid:162)(cid:20)
(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) = = =90°(cid:63) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:119)(cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)
(cid:62) =45°(cid:63)(cid:241)(cid:192)(cid:117)𝐴(cid:26)𝐵(cid:146)𝐶𝐷(cid:147) (cid:63)𝐴𝐷 (cid:63)𝐶𝐷 (cid:269)∠(cid:288)𝐴(cid:27)(cid:86)∠𝐴(cid:213)𝐷(cid:3)𝐶(cid:244)(cid:58)∠𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:116)∠(cid:117)𝐸1𝐷(cid:63)𝐹(cid:188)(cid:56)(cid:57)(cid:192)(cid:102)(cid:10)(cid:247) 𝐸(cid:248)𝐹 (cid:350)𝐴(cid:39)𝐸 (cid:342)𝐹𝐶(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:193)90°(cid:197) (cid:326)(cid:327)(cid:63)(cid:176)(cid:142)“(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)”(cid:69)(cid:177) (cid:76) (cid:269)
(cid:288)(cid:27)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:298)(cid:212)(cid:168)(cid:203)(cid:134)(cid:27)△(cid:224)(cid:225)𝐴𝐷(cid:131)𝐸(cid:197)(cid:146)(cid:147)𝐷(cid:269)(cid:288)(cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:157)△(cid:172)𝐶(cid:131)𝐷𝑀(cid:59)(cid:60)(cid:58) 𝐶𝑀 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:324)(cid:270)(cid:69)(cid:177)(cid:20)
(cid:71)2(cid:72)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:63) =45°(cid:63)(cid:62) =10(cid:63) =14(cid:63)
=8(cid:63)(cid:241) (cid:27)(cid:48)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐶
𝐶(cid:15)𝐹(cid:11)(cid:158)(cid:351)(cid:186)(cid:20)𝐵𝐸
(cid:71)3(cid:72)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) (cid:76) (cid:149)(cid:202)(cid:63)(cid:39) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:352)(cid:146) (cid:163) (cid:112)(cid:63)(cid:62)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐸 𝐹 𝐶𝐵 𝐷𝐶1
= (cid:58)(cid:343) =4(cid:63) =9(cid:63) =2(cid:250)(cid:63)(cid:241)(cid:192) (cid:27)(cid:272)(cid:48)(cid:58)
2
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐹
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(cid:71)1(cid:72) = + (cid:66)(cid:207)(cid:45)(cid:177)(cid:10)(cid:71)2(cid:72) =5(cid:66)(cid:71)3(cid:72)17
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)𝐸(cid:222)𝐹(cid:216)(cid:34)𝐹𝐶(cid:25)(cid:27)𝐴(cid:256)𝐸 (cid:257)(cid:63)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:80)𝐵𝐸(cid:260)(cid:261)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)
(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:11)(cid:354)(cid:186)(cid:252)(cid:193)(cid:320)(cid:355)(cid:356)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:58)
(cid:71)1(cid:72) (cid:248)(cid:39) (cid:252)(cid:193)90°(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:166) (cid:63)(cid:273)(cid:192) = (cid:63) = (cid:63)
= △𝐴(cid:63)𝐷(cid:176)𝐸(cid:142) 𝐷 =45°(cid:63) △𝐷+𝐶𝑀 △=𝐴45𝐷°𝐸(cid:63)≌(cid:203)△(cid:134)𝐷(cid:216)𝐶𝑀(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)∠(cid:42)𝐴(cid:129)𝐷𝐸(cid:224)(cid:225)∠(cid:63)𝑀(cid:166)𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝑀 (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:66)
𝐴(cid:71)𝐸2(cid:72)(cid:107)𝐶𝑀 (cid:112)(cid:339)(cid:39)∠𝐸𝐷(cid:63)𝐹(cid:130)(cid:131) ∠=𝐴𝐷𝐸(cid:63)(cid:176)∠(cid:142)𝐶𝐷(cid:118)𝐹(cid:119)(cid:25)(cid:27)(cid:357)(cid:34)(cid:129)360°(cid:63)(cid:166) + △=𝐷18𝐸0𝐹°≌(cid:63)△(cid:131)𝐷(cid:197)𝑀𝐹
+𝐷𝐶 =180𝐺°(cid:63)(cid:176)(cid:142)𝐷(cid:203)𝐺(cid:134)(cid:216)𝐵(cid:34)𝐸(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:166) ∠𝐵𝐴𝐷(cid:63)(cid:131)∠(cid:197)𝐵𝐶𝐷 = (cid:63) = (cid:63)
∠(cid:298)𝐴(cid:176)𝐵𝐶(cid:142)(cid:203)∠(cid:134)𝐷(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:166) (cid:63)(cid:279)△𝐴𝐵=𝐸≌(cid:63)△(cid:131)𝐴(cid:197)𝐷𝐺 =10𝐴+𝐸 (cid:63)𝐴𝐺 =∠𝐵𝐴𝐸 (cid:63)∠𝐷𝐴𝐺
= + = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)△(cid:45)𝐴(cid:192)𝐸𝐹≌(cid:208)△(cid:157)𝐴(cid:66)𝐺𝐹 𝐵𝐸 𝑥 𝐶𝐸 𝑥 𝐶𝐺 14−𝑥
𝐹(cid:71)𝐺3(cid:72)(cid:107)𝐶𝐺 (cid:112)𝐶𝐹(cid:339)(cid:39)22(cid:63)−𝑥(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:118)𝑥(cid:119)(cid:25)(cid:27)(cid:357)(cid:34)(cid:129)360°(cid:63) (cid:76) (cid:149)(cid:202)(cid:63)(cid:131)(cid:197)
+𝐷𝐶 =1𝐺80°(cid:63)(cid:176)𝐷(cid:142)𝑀(cid:134)(cid:213)𝐵(cid:214)𝐸(cid:215)(cid:63)(cid:273)(cid:192) = (cid:63)(cid:176)(cid:142)∠(cid:203)𝐴𝐵(cid:134)𝐶(cid:216)(cid:34)∠𝐴(cid:25)𝐷(cid:27)𝐶 (cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:166)
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 (cid:63)(cid:273)(cid:192) = (cid:63) = ∠𝐴𝐷(cid:63)𝐶(cid:298)(cid:176)∠𝐴(cid:142)𝐵(cid:34)𝐸 (cid:269)(cid:288)(cid:27)(cid:185)(cid:283)(cid:63)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)(cid:298)(cid:176)(cid:142)(cid:203)
(cid:134)△(cid:216)𝐴𝐵(cid:34)𝐸(cid:25)≌(cid:27)△(cid:217)𝐴𝐷(cid:42)𝐺(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)𝐴𝐸(cid:166) 𝐴𝐺 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠(cid:63)𝐷𝐴𝐺 = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:272)(cid:48)(cid:63)(cid:208)∠𝐸(cid:157)𝐴(cid:58)𝐹 ∠𝑀𝐴𝐹
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:71)1(cid:72) = △+𝐸𝐴𝐹(cid:63)≌(cid:167)△(cid:98)𝑀(cid:116)𝐴𝐹(cid:78)(cid:10)𝐸𝐹 𝑀𝐹
(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63)𝐸𝐹 =𝐹𝐶 (cid:63)𝐴𝐸 = = =90°(cid:63)
∵ (cid:248)𝐴(cid:39)𝐵𝐶𝐷(cid:252)(cid:193)90𝐴°𝐷(cid:131)(cid:197)𝐶𝐷 ∠𝐴(cid:63)∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
∴△𝐴𝐷𝐸 𝐷 (cid:63) △𝐷𝐶𝑀
∴△𝐴𝐷𝐸=≌△𝐷𝐶𝑀(cid:63) = (cid:63) = (cid:63) (cid:63) (cid:63) (cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐸=4∠5𝑀°(cid:63)𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝑀 𝐴𝐸 𝐶𝑀 𝐵 𝐶 𝐷
∵∠𝐸𝐷𝐹+ =45°(cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐸 +∠𝐶𝐷𝐹 = =45°(cid:63)
∴(cid:107)∠𝑀𝐷𝐶 ∠(cid:129)𝐶𝐷𝐹 ∠𝑀(cid:26)𝐷(cid:63)𝐹
∴ △𝐷𝐸𝐹 △𝐷𝑀𝐹=
= (cid:63)
𝐷𝐸 =𝐷𝑀
∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝑀𝐷𝐹
𝐷𝐹 𝐷𝐹 (cid:63)
∴△𝐷=𝐸𝐹≌=△𝐷𝑀+𝐹 = + (cid:66)
∴(cid:71)𝐸2𝐹(cid:72)(cid:107)𝐹𝐹 (cid:112)𝐹(cid:339)𝐶(cid:39)𝐶(cid:63)𝑀(cid:130)(cid:131)𝐹𝐶 =𝐴𝐸 (cid:63)
𝐷𝐶 𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐸
= =90°(cid:63)
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷=180°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶=𝐷180°(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷 =180°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵=𝐶 ∠𝐴𝐵(cid:63)𝐸
∴(cid:107)∠𝐷 ∠𝐴(cid:129)𝐵𝐸 (cid:26)(cid:63)
△𝐴=𝐵𝐸 △𝐴𝐷𝐺
= (cid:63)
𝐴𝐵=𝐴𝐷
∠𝐷 ∠𝐴𝐵𝐸
𝐵𝐸 𝐷𝐺 (cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:63)△𝐴𝐷𝐺 = (cid:63)
∴𝐴𝐸 𝐴=𝐺45∠°(cid:63)𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐺
∵∠𝐸𝐴𝐹+ = + =45°(cid:63)
∴∠𝐸𝐴𝐵 =∠9𝐵0°𝐴(cid:63)𝐹 ∠𝐷𝐴𝐺 ∠𝐵𝐴𝐹
∵∠𝐵𝐴𝐷= =45°(cid:63)
∴∠𝐹𝐴=𝐺 (cid:63)∠𝐹𝐴𝐸= (cid:63)
∵𝐴𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐹 (cid:63)𝐴𝐹
∴△𝐴=𝐸𝐹≌(cid:63)△𝐴𝐺𝐹
∴(cid:279)𝐸𝐹 =𝐹𝐺(cid:63)
𝐵𝐸=1𝑥0(cid:63) =14(cid:63) =8(cid:63)
∵𝐵𝐶=10+𝐷(cid:63)𝐶 = 𝐶𝐹 (cid:63) = + = (cid:63)
∴𝐶𝐸 𝑥 𝐶𝐺 14−𝑥 𝐹𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐹 22−𝑥(cid:107)Rt (cid:26)(cid:63) + = (cid:63)
2 2 2
∴8 +△(10𝐸𝐹+𝐶 ) =𝐹𝐶( 𝐸𝐶) (cid:63) 𝐸𝐹
2 2 2
∴(cid:45)(cid:131)(cid:10) =5(cid:63)𝑥 22−𝑥
=𝑥5(cid:66)
∴(cid:71)𝐵3𝐸(cid:72)(cid:107) (cid:112)(cid:339)(cid:39) (cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)
𝐷𝐶 𝑀 𝐷𝑀 𝐵𝐸
(cid:76) (cid:149)(cid:202)(cid:63)
∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶 =180°(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶=180°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵𝐶 =∠𝐴𝐵𝐸(cid:63)
∴(cid:107)∠𝐴𝐷𝐶 (cid:129)∠𝐴𝐵𝐸 (cid:26)(cid:63)
△𝐴𝐵=𝐸 △𝐴𝐷𝑀
= (cid:63)
𝐴𝐵= 𝐴𝐷
∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐸
𝐵𝐸 𝐵𝑀 (cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:63)△𝐴𝐷𝑀 = (cid:63)
∴𝐴𝑀 𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝑀 ∠𝐸𝐴𝐵1
= + = (cid:63)
2
∵∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
1
+ = = (cid:63)
2
∴∠𝐷𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐹(cid:63) ∠𝑀𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
∴(cid:107)∠𝐸𝐴𝐹 (cid:129)∠𝑀𝐴𝐹 (cid:26)(cid:63)
△𝐸𝐴=𝐹 △𝑀𝐴𝐹
= (cid:63)
𝐴𝐸 =𝐴𝑀
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝑀𝐴𝐹
𝐴𝐹 𝐴𝐹 (cid:63)
∴△𝐸=𝐴𝐹≌(cid:63)△𝑀𝐴𝐹
∴𝐸𝐹 =𝑀𝐹 = (cid:63)
∵𝑀𝐹= 𝐹𝐷−𝐷𝑀(cid:63) 𝐹𝐷−𝐵𝐸
∴𝐸𝐹 𝐹𝐷−𝐵𝐸= + + = + + + + = + + (cid:63)
∴𝐶△𝐸=𝐶𝐹4(cid:63)𝐶𝐸 =𝐸9𝐹(cid:63) 𝐶𝐹=2𝐵(cid:63)𝐶 𝐵𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐹−𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐷 2𝐶𝐹
∵𝐵𝐶 = 𝐷𝐶+ +𝐶𝐹 =4+9+4=17(cid:58)
∴ 【 𝐶 题 △𝐸 型 𝐶𝐹 3 𝐵 正 𝐶 方形 𝐶𝐷 中的 2𝐶𝐹 = 2 型问题】
(cid:15)(cid:73)3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24) 𝐚 (cid:25) 𝐛 (cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:63)F(cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:63) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:63)(cid:62) = (cid:63) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:240) (cid:139)(cid:39)
G(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵 𝐵𝐹 𝐶𝐸 𝐸𝐵 𝐴𝐹
(1)(cid:241) (cid:27)(cid:242)(cid:86)(cid:66)
(2)(cid:107)(cid:146)∠𝐴(cid:147)𝐺𝐸EG(cid:112)(cid:339)(cid:39)H(cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63) (cid:58)
①(cid:141)(cid:21)(cid:164)(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)(cid:66) 𝐺𝐻 𝐴𝐺 𝐴𝐻 𝐶𝐻
②(cid:186)(cid:134)(cid:229)(cid:358)(cid:281)(cid:146)(cid:147) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1) =𝐶𝐻90°𝐺𝐵
(2) = 2∠𝐴(cid:63)𝐺𝐸(cid:172)(cid:173)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)𝐶𝐻(cid:177)(cid:20)(cid:221)𝐺(cid:21)𝐵(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:68)(cid:274)(cid:146)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:203)(cid:134)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:27)
(cid:260)(cid:261)(cid:123)(cid:109)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:129)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:169)(cid:192)(cid:254)(cid:167)(cid:27)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:80)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:71)1(cid:72)(cid:176)(cid:142)(cid:21)(cid:164)(cid:157)(cid:131)(cid:63) = (cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:63)(cid:98)(cid:156)(cid:157)(cid:172) (cid:63)(cid:131)(cid:197)
= (cid:63)(cid:298)(cid:176)(cid:142) +𝐴𝐵 𝐵𝐶=9𝐵0𝐹°(cid:63)𝐶𝐸 ∠=𝐴𝐵𝐹 ∠(cid:63)𝐵(cid:208)𝐶𝐸(cid:157)(cid:131)(cid:197) =90°(cid:58)△𝐴𝐵𝐹≌△𝐵𝐶𝐸
∠(cid:71)𝐹2(cid:72)(cid:141)∠𝐸(cid:142)(cid:21)(cid:164)(cid:202)(cid:359)∠(cid:117)𝐸 (cid:25)∠(cid:328)𝐶(cid:63)𝐵𝐸(cid:168)(cid:39) (cid:169) ∠𝐶𝐵𝐸(cid:240) ∠𝐺(cid:139)𝐵𝐹(cid:39)(cid:63)(cid:176)(cid:142) ∠=𝐴𝐺𝐸(cid:63) (cid:63)(cid:157)(cid:131)(cid:197) (cid:163) (cid:52)
(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:298)(cid:172) 𝐵 (cid:63)𝐵(cid:208)𝐼∥𝐴(cid:157)𝐻(cid:131)(cid:197)𝐴𝐹(cid:146)(cid:147)𝐼 (cid:76) (cid:27)𝐺𝐻(cid:86)(cid:213)(cid:3)𝐴𝐺(cid:244)(cid:58)𝐵𝐼∥𝐴𝐻 △𝐺𝐴𝐻 △𝐺𝐵𝐼
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:45)(cid:10)(cid:116)(cid:117)△(cid:280)𝐴(cid:281)𝐼𝐵(cid:63)≌𝐵𝐻𝐶 𝐶𝐻 𝐺𝐵(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶=𝐷 (cid:63) = =90°(cid:63)
∴ 𝐴𝐵 𝐵=𝐶 ∠𝐴𝐵=𝐶 90∠°(cid:63)𝐷𝐶𝐵
∴ ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐵=𝐶𝐸
= =90°(cid:63)
𝐴𝐵=𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐵𝐶𝐸
∵
𝐵𝐹 𝐶𝐸(cid:63)
∴ △𝐴=𝐵𝐹≌(cid:63)△𝐵𝐶𝐸
∴ ∠ 𝐹 +∠𝐸 =90°(cid:63) = (cid:63)
∵ ∠𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐸=90°(cid:63) ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐺𝐵𝐹
∴ ∠𝐹 ∠=𝐺𝐵9𝐹0°(cid:63)
∴ ∠𝐹𝐺𝐵= =90°(cid:58)
∴ ∠𝐴𝐺𝐸=19800°(cid:58)°−∠𝐹𝐺𝐵
(cid:71)∴2(cid:72)∠𝐴(cid:45)𝐺𝐸(cid:10)① (cid:116)(cid:117)(cid:280)(cid:281)(cid:63)(cid:107)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:339)(cid:39)H(cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63) (cid:63)
𝐸𝐺 𝐺𝐻 𝐴𝐺 𝐴𝐻 𝐶𝐻
② (cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:240) (cid:139) (cid:39)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:280)(cid:281)(cid:63)
𝐵 𝐵𝐼∥𝐴𝐻 𝐴𝐹 𝐼=90°(cid:63) = (cid:63)
(cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)∵(cid:25)∠(cid:63)𝐴𝐺𝐸 𝐺𝐻 𝐴𝐺
∴ △𝐺𝐴𝐻= =45°(cid:63)
∴ ∠𝐺𝐴𝐻(cid:63)∠𝐺𝐻𝐴
∵ 𝐵𝐼∥𝐴𝐻= =45°(cid:63) = =45°(cid:63)
∴ ∠𝐺𝐼𝐵 (cid:52)∠(cid:134)𝐺𝐴(cid:353)𝐻(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)∠𝐺(cid:63)𝐵𝐼 ∠𝐺𝐻𝐴
∴ △𝐺=𝐵𝐼 (cid:63)
∴ 𝐺𝐵 𝐺𝐼= (cid:63)(cid:208) = (cid:63)
∴ 𝐴𝐺−𝐺𝐼 𝐺𝐻−𝐺𝐵(cid:71)(cid:360)(cid:49)𝐴(cid:35)𝐼 (cid:361)𝐻(cid:172)𝐵(cid:72)(cid:63)
∵ △𝐴𝐵𝐹=≌△𝐵𝐶(cid:63)𝐸
(cid:140)∴ ∠𝐹 𝐴𝐵 =∠𝐸𝐵(cid:63)𝐶
∵ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 (cid:63)
∴ △𝐴=𝐼𝐵≌(cid:63)𝐵𝐻𝐶
∴ 𝐶𝐻 𝐵(cid:52)𝐼(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∵ △𝐺=𝐵𝐼2 (cid:63)
∴ 𝐵𝐼 = 2𝐺𝐵 (cid:58)
(cid:15)∴(cid:228)𝐶(cid:229)𝐻 3-1(cid:20)𝐺(cid:107)𝐵(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:55)(cid:76)(cid:39) (cid:63) (cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:63)(cid:39) (cid:3)(cid:139)(cid:352)(cid:146) (cid:27)(cid:138)(cid:317)(cid:39)(cid:52)(cid:39) (cid:63)
(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:91)(cid:329)(cid:48)𝐴𝐵(cid:240)𝐶𝐷 (cid:139)(cid:39)𝐸 (cid:58) 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝐶 𝐴𝐸 𝐹
𝐴𝐹 𝐹𝐸 𝐶𝐷 𝐺
(1)(cid:241)(cid:192) (cid:27)(cid:242)(cid:86)(cid:66)
∠𝐴𝐹𝐸(2)(cid:168)(cid:39)A(cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:39) (cid:169) (cid:240) (cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:58)
①(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)𝐴(cid:66)𝐾⊥𝐹𝐺 𝐾 𝐸 𝐸𝐻⊥𝐸𝐴 𝐴𝐺 𝐻 𝐶𝐻
②(cid:186)(cid:134)(cid:229)(cid:358)(cid:281)(cid:146)(cid:147) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1)45° 𝐶𝐻 𝐵𝐸
(2)①(cid:117)(cid:207)(cid:218)(cid:45)(cid:66)② = 2 (cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:207)(cid:218)(cid:45)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)（1）由“ 𝐶𝐻 ”可证𝐵𝐸 ，可得 = =45°；
（2）①根据题意画𝑆出𝑆𝑆图形即可△；𝐴②𝐸𝐹先≌求△𝐴𝐸𝐶 =45∠°，𝐴𝐹由𝐸“ ∠𝐴𝐶”𝐵可证 ，可得 = ，
= = ，即可求解． ∠𝐸𝐴𝐺 𝐴𝑆𝐴 △𝐴𝐵𝐸≌△𝐸𝑁𝐻 𝐵𝐸 𝑁𝐻
𝐴(cid:15)𝐵(cid:218)(cid:45)𝐸(cid:20)𝑁(cid:71)1𝐵(cid:72)𝐶(cid:45)(cid:10)如图，连接 ，
𝐴𝐶
四边形 是正方形，
∵ =𝐴𝐵4𝐶5𝐷°，
∴∠点𝐴𝐶关𝐵于射线 的对称点为点 ，
∵ 𝐶= ， 𝐴𝐸= ， 𝐹
又∴𝐴𝐹 =𝐴𝐶 𝐸，𝐹 𝐸𝐶
∵𝐴𝐸 𝐴𝐸 SSS)，
∴△𝐴𝐸𝐹≌=△𝐴𝐸𝐶(=45°；
(cid:71)∴2∠(cid:72)𝐴𝐹(cid:45)𝐸(cid:10)①∠𝐴如𝐶𝐵图所示：
② = 2 ，理由如下：
𝐶𝐻 𝐵𝐸连接 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，
𝐴𝐶 ， 𝐻 𝐻=𝑁4⊥5𝐵°，𝐶 𝐵𝐶 𝑁
∵𝐴𝐾=⊥𝐹𝐺2 ∠，𝐴𝐹𝐸
∴𝐴𝐹= 2𝐴𝐾= ，
∵𝐴𝐶 = 𝐴，𝐵 𝐴𝐹
又∴𝐴𝐵 =𝐴𝐾 ，
R∵t𝐴𝐸 𝐴𝐸Rt HL)，
∴ △𝐴=𝐵𝐸≌ △，𝐴𝐾𝐸(
∴∠𝐵𝐴=𝐸 ∠=𝐸𝐴𝐾， = ，
∵𝐴Rt𝐾 𝐴𝐵 R𝐴t𝐷 𝐴𝐺 H𝐴L𝐺)，
∴ △𝐴𝐺=𝐾≌ △，𝐴 𝐺 𝐷(
∴∠𝐷𝐴𝐺=4∠5𝐾°𝐴，𝐺
∴∠𝐸𝐴𝐺 ，
∵𝐴𝐸⊥𝐸=𝐻 =45°， + =90°= + ，
∴∠𝐸𝐴=𝐺 ∠，𝐴𝐻𝐸 = ∠𝐴，𝐸𝐵 ∠𝐶𝐸𝐻 ∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐵𝐴𝐸
又∴𝐴𝐸 𝐸𝐻= ∠𝐵𝐴𝐸 =∠9𝐶0°𝐸，𝐻
∵∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐸𝑁𝐻ASA)，
∴△𝐴𝐵=𝐸≌△，𝐸𝑁𝐻=( = ，
∴𝐵𝐸=𝑁𝐻=𝐴𝐵 ，𝐸𝑁 𝐵𝐶
∴𝐵𝐸 =𝐶𝑁2 𝑁=𝐻 2 ．
(cid:15)∴(cid:39)𝐶𝐻(cid:220)(cid:20)本𝐻题𝑁是四边𝐵形𝐸综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直
角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
(cid:15)(cid:228)(cid:229)3-2(cid:20)(cid:308)(cid:254)(cid:76)(cid:309)(cid:310)
(cid:86)(cid:11)(cid:286)(cid:38)(cid:311)(cid:112)(cid:63)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:158)“(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:252)(cid:193)”(cid:52)(cid:184)(cid:21)(cid:362)(cid:104)(cid:162)(cid:106)(cid:286)(cid:38)(cid:58)
(cid:15)(cid:162)(cid:363)(cid:102)(cid:210)(cid:20)
(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)①(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:247)(cid:146)(cid:147) (cid:248)(cid:39) (cid:342)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:193)90°(cid:131)(cid:197)
(cid:146)(cid:147) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:157)(cid:172)(cid:131)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 (cid:58)𝐶𝐷(cid:88)(cid:84)(cid:192)(cid:172)(cid:173)𝐴𝐹(cid:168)⊥(cid:178)𝐵(cid:58)𝐸 𝐹 𝐴𝐹 𝐴
(cid:15)(cid:364)𝐴(cid:365)𝐺(cid:70)(cid:77)(cid:20)𝐷𝐺 △𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺
(cid:71)2(cid:72)(cid:107)(cid:71)1(cid:72)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:78)(cid:63)(cid:116)(cid:117)②(cid:63)(cid:329)(cid:48) (cid:63) (cid:240)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:323)(cid:287)(cid:187)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) (cid:269)(cid:288)(cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:172)
𝐵𝐸 𝐺𝐷 𝐻 𝐵𝐹 𝐹𝐻 𝐷𝐻(cid:173)(cid:239)(cid:27)(cid:287)(cid:187)(cid:58)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:329)(cid:330)(cid:20)
(cid:71)3(cid:72)(cid:107)(cid:71)2(cid:72)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:78)(cid:63)(cid:116)(cid:117)③(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:247)(cid:146)(cid:147) (cid:248)(cid:39) (cid:342)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:193)90°(cid:131)(cid:197)(cid:146)(cid:147) (cid:63)(cid:39) (cid:107) (cid:112)(cid:63)(cid:323)
(cid:287)(cid:187) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:239)(cid:27)(cid:287)𝐶(cid:187)𝐻(cid:58) 𝐷𝐻 𝐻 𝐻𝑃 𝑃 𝐵𝐻
𝐵𝑃 𝐶𝐻
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:172)(cid:173)(cid:207)(cid:45)(cid:177)(cid:66)(cid:71)2(cid:72) + = (cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:207)(cid:45)(cid:177)(cid:71)3(cid:72) = 2 (cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:157)(cid:273)(cid:192) = 𝐵𝐹=9𝐷0𝐻°(cid:63)(cid:188)𝐹(cid:297)𝐻 = (cid:63)(cid:176)𝐵(cid:142)𝑃SAS(cid:208)𝐶(cid:157)𝐻(cid:131)(cid:172)(cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:176)(cid:142) ∠𝐺𝐴𝐹(cid:63) ∠𝐷𝐴𝐵= =90°∠(cid:63)𝐺𝐴𝐷= ∠𝐵(cid:160)𝐴𝐹(cid:297)(cid:157)(cid:273)(cid:192)(cid:175)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:188)(cid:297)
= (cid:63)△(cid:160)𝐴(cid:49)𝐵(cid:161)𝐹≌(cid:131)△(cid:192)𝐴(cid:59)𝐷(cid:238)𝐺 (cid:66)∠𝐴𝐹𝐵 ∠𝐴𝐺𝐷 𝐵𝐹 𝐷𝐺 𝐴𝐹𝐻𝐺
𝐹(cid:71)𝐻3(cid:72)(cid:107)𝐺𝐻 (cid:112)(cid:338)(cid:339) = (cid:63)(cid:172)(cid:173) (SAS)(cid:131) = (cid:63) = (cid:63)(cid:160)(cid:297)(cid:131)(cid:192)
=𝐵𝐻 =9𝐵0𝑋°(cid:63)(cid:188)𝐷𝐻(cid:297) = △2𝐶𝐵𝑋(cid:63)≌(cid:160)△(cid:49)𝐶(cid:161)𝐷𝐻(cid:131)(cid:192)(cid:59)(cid:60)(cid:58)𝐶𝑋 𝐶𝐻 ∠𝐵𝐶𝑋 ∠𝐷𝐶𝐻
∠(cid:15)𝐻(cid:218)𝐶𝑋(cid:45)(cid:20)∠(cid:71)𝐵1𝐶(cid:72)𝐷(cid:172)(cid:173)(cid:10) (cid:118)(cid:119)(cid:25)𝐻𝑋 (cid:80)𝐶(cid:23)𝐻(cid:24)(cid:25)(cid:63)
=90°(cid:63) =∵ (cid:63) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴(cid:146)∠𝐵(cid:147)𝐴𝐷 (cid:248)(cid:39) (cid:342)𝐴(cid:250)𝐵(cid:251)(cid:252)𝐴𝐷(cid:193)90°(cid:131)(cid:197)(cid:146)(cid:147) (cid:63)
∵ =𝐴𝐹 (cid:63) 𝐴 =90°= (cid:63) 𝐴𝐺
∴𝐴𝐺 𝐴𝐹 ∠𝐺𝐴=𝐹 ∠𝐵𝐴(cid:63)𝐷(cid:208) = (cid:63)
∴(cid:107)∠𝐵𝐴𝐷−∠(cid:129)𝐹𝐴𝐷 ∠(cid:26)𝐺𝐴(cid:63)𝐹−∠𝐹𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐷𝐴𝐺
△𝐴𝐵=𝐹 △𝐴𝐷𝐺
= (cid:63)
𝐴𝐵 =𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐷𝐴𝐺
𝐴𝐹 𝐴𝐺 (SAS)(cid:66)
∴(cid:71)△2(cid:72)𝐴𝐵(cid:45)𝐹(cid:10)≌△𝐴+𝐷𝐺 = (cid:63)
(cid:172)(cid:173)(cid:10) 𝐵𝐹 𝐷(cid:63)𝐻 𝐹𝐻
∵=𝐴𝐹⊥𝐵𝐸=90°(cid:63)
∴(cid:98)∠(cid:71)𝐴𝐹1𝐵(cid:72)(cid:256)∠(cid:10)𝐴𝐹𝐻 (cid:63)
△𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺= =90°(cid:63) = (cid:63)
∴∠𝐴𝐹𝐵=9∠0𝐴°𝐺(cid:63)𝐷 𝐵𝐹 𝐷𝐺
∵(cid:118)∠𝐺(cid:119)𝐴𝐹(cid:25) (cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
∴ = 𝐴𝐹(cid:63)𝐻𝐺
∵(cid:175)𝐴𝐺(cid:25) 𝐴𝐹 (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∴ =𝐴𝐹𝐻𝐺= + = + (cid:63)
∴(cid:208)𝐹𝐻 +𝐺𝐻 =𝐷𝐺 (cid:66)𝐷𝐻 𝐵𝐹 𝐷𝐻
(cid:71)𝐵3(cid:72)𝐹(cid:45)𝐷(cid:10)𝐻 =𝐹𝐻2 (cid:58)
(cid:172)(cid:173)(cid:10)(cid:116)(cid:117)𝐵(cid:63)𝑃(cid:107) 𝐶(cid:112)𝐻(cid:338)(cid:339) = (cid:63)
𝐵𝐻 𝐵𝑋 𝐷𝐻
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:129) (cid:366)(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°=𝐴𝐹𝐻𝐺(cid:63) = (cid:63) = (cid:63)
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐺𝐻𝐹= ∠𝐷𝐸𝐻 ∠𝐵=𝐸𝐶 𝐵𝐶(cid:63) 𝐷𝐶
∴(cid:107)∠𝐶𝐵𝑋 (cid:129)90°−∠𝐵𝐸(cid:26)𝐶(cid:63)90°−∠𝐷𝐸𝐻 ∠𝐶𝐷𝐻
△𝐶𝐵=𝑋 △𝐶𝐷𝐻
= (cid:63)
𝐵𝐶= 𝐷𝐶
∠𝐶𝐵𝑋 ∠𝐶𝐷𝐻
𝐵𝑋 𝐷𝐻 (SAS)(cid:63)
∴△𝐶=𝐵𝑋≌(cid:63)△𝐶𝐷𝐻 = (cid:63)
∴𝐶𝑋 𝐶+𝐻 ∠𝐵𝐶=𝑋 ∠𝐷𝐶+𝐻 (cid:63)
∴∠𝐵𝐶𝑋 =∠𝐷𝐶𝑋 =∠9𝐷0°𝐶(cid:63)𝐻 ∠𝐷𝐶𝑋
∴∠𝐻𝐶𝑋 ∠𝐵𝐶𝐷
= + = + = 2 (cid:63)
2 2 2 2
∴(cid:247)𝐻𝑋(cid:146)(cid:147) 𝐶𝑋(cid:248)(cid:39)𝐶𝐻(cid:342)(cid:250)(cid:251)(cid:252)𝐶𝑋(cid:193)90𝐶°(cid:131)𝐻(cid:197)(cid:146)(cid:147)𝐶𝐻(cid:63)
∵ = 𝐷𝐻(cid:63) 𝐻 𝐻𝑃
∴𝑃𝐻= 𝐷𝐻 = = = = 2 (cid:63)
∴𝐵𝑃 𝐵𝐻−𝑃𝐻 𝐵𝐻−𝐷𝐻 𝐵𝐻−𝐵𝑋 𝐻𝑋 𝐶𝐻(cid:208) = 2 (cid:58)
(cid:15)𝐵(cid:39)𝑃(cid:220)(cid:20)(cid:221)𝐶(cid:21)𝐻(cid:77)(cid:222)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)
(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:43)(cid:44)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)3-3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:39) (cid:107)(cid:119) (cid:112)(cid:63) (cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25).
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 △𝐴𝐸𝐹
(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:343)
=90°
(cid:63)(cid:241)(cid:172)
=45°
(cid:66)
∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐷𝐶𝐹
(cid:71)2(cid:72)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:343)
=90°
(cid:63)(cid:339) (cid:27)(cid:26)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:241)(cid:172)(cid:10) = 2
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:207)∠(cid:45)𝐸(cid:177)𝐴𝐹(cid:66)(cid:71)2(cid:72)(cid:207)(cid:45)𝐸(cid:177)𝐹. 𝑃 𝑃𝐷 𝐸𝐶 𝑃𝐷
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:157)(cid:172) (cid:63)(cid:171)(cid:256)(cid:216)(cid:34)(cid:25)FCG(cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:208)
=45°
(cid:63)(cid:298)(cid:241)(cid:192) (cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:355)(cid:356)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:63)(cid:263)△(cid:264)𝐵𝐴𝐸≅(cid:63)△(cid:107)𝐺𝐸𝐹(cid:112)(cid:338)(cid:339) (cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:367)(cid:241)(cid:172)∠𝐹𝐶𝐺 (cid:63)(cid:368)∠𝐷(cid:297)𝐶(cid:157)𝐹(cid:172)
= (cid:63)(cid:107) (cid:26)𝐷(cid:63)𝐹(cid:295)(cid:186)𝐷(cid:275)𝐶(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:208)𝐷𝐺(cid:157)(cid:241)(cid:172).𝐷𝐺 𝐷𝐹 𝐸𝐺 △𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐷𝐹
𝐸(cid:15)𝐶(cid:218)(cid:45)𝐶(cid:20)𝐺(cid:45)(cid:10)𝑅(𝑡1)△(cid:169)𝐸𝐶𝐺
=90° 𝐹𝐺⊥𝐵𝐶
∴∠(cid:118)𝐺(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷= =90°
∴𝐴𝐵 𝐵+𝐶,∠𝐵 =∠𝐷9𝐶0𝐵°
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠90𝐴°𝐸𝐵
∵∠𝐴𝐸𝐹+ =90°
∴∠𝐹𝐸𝐶 =∠𝐴𝐸𝐵
∴∠𝐴𝐸𝐵 (cid:80)∠(cid:134)𝐸(cid:353)𝐹𝐶(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)
∵△𝐴=𝐸𝐹
∴𝐴𝐸 =𝐸𝐹 =90°
∵∠𝐵 ∠𝐺 ( )
∴△𝐵𝐴=𝐸≅△𝐺𝐸=𝐹 𝐴𝐴𝑆
∴𝐵𝐸 𝐹𝐺,𝐴𝐵 𝐸𝐺=
∴𝐵𝐶 =𝐸𝐺
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐺
∴𝐶𝐺 =𝐹90𝐺°
∵∠𝐺 =45°
∴∠𝐹𝐶𝐺 =45°
∴∠𝐷𝐶𝐹
(2)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:107) (cid:112)(cid:338)(cid:339) (cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:263)(cid:264)
𝐷𝐹(cid:52)(cid:134)(cid:353)𝐷𝐶(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)𝐷(cid:25)𝐺 (cid:63) 𝐷𝐺=9𝐷0𝐹° 𝐸𝐺
∵ △=𝐴𝐸𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹
∴𝐴(cid:118)𝐸(cid:119)(cid:25)𝐴𝐹 (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = = = = =90°
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐷 𝐷𝐶 𝐵𝐶,∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐹( )
∴△𝐴𝐵=𝐸≅△𝐴𝐷𝐹=𝑆𝐴𝑆 =90°
∴𝐵𝐸 𝐷+𝐹,∠𝐴𝐷𝐹=1∠8𝐵0°
∴∠𝐴𝐷𝐹(cid:216)(cid:39)∠𝐴(cid:336)𝐷(cid:146)𝐶
∴𝐹,(cid:52)𝐷,𝐶 (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63) =
∵𝑃 𝐸𝐹1 𝐷𝐺 𝐷𝐹
=
2
∴𝑃𝐷 𝐸𝐺
= =
∵𝐵𝐸= 𝐷𝐹 𝐷𝐺
∴𝐸𝐶 𝐶𝐺
(cid:107) (cid:26)(cid:63) = + = 2
2 2
𝑅𝑡△
=
𝐸𝐶𝐺
2
(cid:208)𝐸𝐺
=
𝐸
2
𝐶 𝐶𝐺 𝐸𝐶
∴2𝑃𝐷 𝐸𝐶, 𝐸𝐶 𝑃𝐷(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:308)(cid:254)(cid:63)(cid:184)(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:203)(cid:134)(cid:163)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:27)(cid:355)
(cid:356)(cid:369)(cid:242)(cid:370)(cid:18).
【题型4 正方形中的 ± = 2 型问题】
(cid:15)(cid:73)4(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)(cid:232) 𝒂 (cid:78)· 𝒃 (cid:203)(cid:371)·(cid:237) 𝒄 (cid:372)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:39) (cid:107) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:63)(cid:62) = (cid:63)
(cid:80) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:169) (cid:240)(cid:352)(cid:146) (cid:139)(cid:39) (cid:58)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐹
𝐷𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐺⊥𝐴𝐹 𝐷𝐶 𝐺
(1)(cid:116)(cid:117)①(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:343) = (cid:250)(cid:63)(cid:217)(cid:243) (cid:27)(cid:25)(cid:373)(cid:63)(cid:91)(cid:245)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)②(cid:63)(cid:343) 𝐴𝐺 (cid:250)𝐷(cid:63)𝐹(cid:84)(cid:192)𝐸𝐹(cid:146)(cid:147) △𝐴𝐹(cid:269)𝐺(cid:288)(cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1)(cid:134)(cid:353)𝐷(cid:151)𝐹≠(cid:34)𝐸(cid:216)𝐹(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:207)(cid:45)(cid:177)𝐴𝐷,𝐷𝐹,𝐷𝐺
(2) = 2 + (cid:63)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)𝐷𝐺(cid:177)(cid:20)(cid:221)𝐷(cid:21)𝐹(cid:77)(cid:222)𝐴(cid:211)𝐷(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)
(cid:94)(cid:3)(cid:256)(cid:257)(cid:39)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:71)1(cid:72)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:21)(cid:164)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)(cid:157)(cid:172)(cid:173) (cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197)(cid:59)(cid:60)(cid:66)
(cid:71)2(cid:72) =𝐶𝐹2 (cid:374) (cid:63)(cid:168)(cid:39)∠𝐴(cid:169)𝐷𝐹 ∠𝐺𝐶(cid:63)𝐹(cid:240) (cid:139)(cid:39)△𝐴(cid:63)𝐷(cid:131)𝐹≌(cid:197)△𝐺𝐶=𝐹 2 (cid:63)
(cid:157)(cid:172)(cid:173)𝐷𝐺 𝐷𝐹 𝐴𝐷(cid:71)ASA(cid:72)𝐹(cid:63)𝐹(cid:131)𝐻(cid:197)⊥𝐷𝐸= 𝐷(cid:63)𝐺(cid:208)(cid:157)𝐻(cid:131)(cid:197) 𝐷=𝐻2 +𝐷𝐹 (cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)△(cid:71)𝐴𝐷1(cid:72)𝐹≌(cid:45)△(cid:10)𝐺(cid:71)𝐶𝐹1(cid:72) (cid:80)(cid:134)(cid:353)𝐴(cid:151)𝐷(cid:34)(cid:216)𝐺𝐻(cid:34)(cid:25)(cid:58)(cid:167)(cid:98)(cid:116)𝐷(cid:78)𝐺(cid:10) 𝐷𝐹 𝐴𝐷
(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:58) △𝐴𝐹𝐺
𝐶𝐹(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶=90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐶=𝐸 (cid:63)∠𝐺𝐶𝐸= (cid:63)
∵𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐹 𝐸𝐹 1
(cid:63) = = (cid:63) = =45°(cid:63)
2
∴𝐶𝐹⊥𝐷=𝐸 𝐶𝐹 +𝐷𝐹 𝐷=𝐸13∠5𝐸°(cid:63)𝐶𝐹 ∠𝐶=𝐷𝐹 + =135°(cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶(cid:63)∠𝐶𝐷𝐹 ∠𝐺𝐶𝐹 ∠𝐺𝐶𝐸 ∠𝐸𝐶𝐹
∴∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐺𝐶𝐹 (cid:63)
∵𝐹𝐺⊥𝐴=𝐹,𝐶𝐹⊥𝐷=𝐸90°(cid:63)
∴∠𝐴𝐹𝐺 ∠𝐷𝐹𝐶= (cid:63)(cid:208) = (cid:63)
(cid:107)∴∠𝐴𝐹𝐺−(cid:129)∠𝐴𝐹𝐶 ∠(cid:26)𝐷(cid:63)𝐹𝐶−∠𝐴𝐹𝐶 ∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐺𝐹𝐶
△𝐴𝐷=𝐹 △𝐺𝐶𝐹
= (cid:63)
∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐺𝐶𝐹
𝐷𝐹 𝐶𝐹
∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐺𝐹𝐶 (cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)
∴△𝐴𝐷=𝐹≌△(cid:63)𝐺𝐶𝐹
∴𝐴𝐹 𝐺=𝐹90°(cid:63)
∵∠𝐴𝐹𝐺(cid:80)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:66)
(cid:71)∴△2(cid:72)𝐴𝐹(cid:45)𝐺(cid:10) = 2 (cid:374) (cid:63)
(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:168)(cid:39)𝐷𝐺(cid:169) 𝐷𝐹 (cid:63)𝐴𝐷(cid:240) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:166) =90°(cid:63)
𝐹 𝐹𝐻⊥𝐷𝐸 𝐷𝐺 𝐻 ∠𝐷𝐹𝐻
(cid:98)(cid:71)1(cid:72)(cid:131) =45°(cid:63)
∠𝐶𝐷𝐸=45°= (cid:63)
∴∠𝐷𝐻=𝐹 (cid:63) ∠𝐶=𝐷𝐸135°(cid:63)
∴𝐷𝐹 𝐻𝐹 ∠𝐺𝐻𝐹
(cid:107)Rt (cid:26)(cid:63) = + = + = 2 (cid:58)
2 2 2 2
(cid:98)(cid:71)1△(cid:72)𝐷(cid:131)𝐹𝐻 𝐷=𝐻135°(cid:63)𝐷𝐹 𝐻𝐹 𝐷𝐹 𝐷𝐹 𝐷𝐹
=∠𝐴𝐷𝐹 (cid:63)
(cid:83)∴(cid:71)∠𝐴1𝐷(cid:72)𝐹(cid:131) ∠𝐺𝐻𝐹= (cid:63)
(cid:107) (cid:129)∠𝐴𝐹𝐷 ∠(cid:26)𝐺(cid:63)𝐹𝐻
△𝐴𝐷=𝐹 △𝐺𝐻𝐹
= (cid:63)
∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐺𝐻𝐹
𝐷𝐹 𝐻𝐹
∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐺𝐹𝐻 (cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)
∴△𝐴𝐷=𝐹≌△(cid:63)𝐺𝐻𝐹
∴𝐴𝐷=𝐺𝐻(cid:374) = 2 (cid:374) (cid:58)
(cid:15)∴(cid:228)𝐷𝐺(cid:229)4𝐷-1𝐻(cid:20)(cid:71)𝐺2𝐻4-25(cid:230)𝐷(cid:231)𝐹(cid:232)(cid:78)𝐴𝐷·(cid:16)(cid:375)(cid:376)(cid:303)·(cid:237)(cid:372)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:63)F(cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:129) (cid:112)(cid:63)
= (cid:63) (cid:76) (cid:240)(cid:139)(cid:39)G(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷
𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(1)(cid:217)(cid:243) (cid:76) (cid:27)(cid:326)(cid:327)(cid:3)(cid:244)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:66)
(2)(cid:263)(cid:264)𝐴𝐸(cid:63)(cid:339)𝐵𝐹 (cid:26)(cid:39)O(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:58)(cid:168)(cid:39)C(cid:169) (cid:63)(cid:240) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)H(cid:58)
①(cid:141)(cid:21)𝐴(cid:164)𝐶(cid:202)(cid:203)(cid:117)𝐴𝐶(cid:25)(cid:66) 𝑂𝐺 𝐶𝐻⊥𝐴𝐸 𝐴𝐸
②(cid:186)(cid:134)(cid:229)(cid:358)(cid:281)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) (cid:269)(cid:288)(cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1) 𝐴(cid:63)𝐺(cid:207)𝑂(cid:45)𝐺(cid:177)𝐺𝐻
(2)①(cid:117)(cid:207)(cid:45)𝐴(cid:177)𝐸(cid:66)⊥②𝐵𝐹 = 2 (cid:63)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:23)𝐺(cid:24)𝐻(cid:25)−𝐴(cid:27)𝐺(cid:224)(cid:225)(cid:129)𝑂(cid:203)𝐺(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:134)(cid:63)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:80)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:223)(cid:221)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:254)(cid:167)(cid:169)
(cid:192)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:58)
(cid:71)1(cid:72)(cid:212)(cid:168)(cid:172)(cid:173)Rt Rt (HL)(cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:298)(cid:98)(cid:377)(cid:34)(cid:269)(cid:288)(cid:27)(cid:3)(cid:244)(cid:208)(cid:157)(cid:241)(cid:45)(cid:66)
(cid:71)2(cid:72)①(cid:176)(cid:142)(cid:21)(cid:164)△(cid:202)𝐴(cid:203)𝐵(cid:117)𝐹≌(cid:25)(cid:208)△(cid:157)𝐷(cid:66)𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐸𝐴𝐷②(cid:339) (cid:27)(cid:26)(cid:39)T(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39)O(cid:169) (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) AAS
)(cid:63)(cid:298)𝑂(cid:98)𝐻(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)𝑂𝑇(cid:225)(cid:131)(cid:192)(cid:118)(cid:119)(cid:25)𝑂𝑀⊥𝐵(cid:52)𝐺(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:226)(cid:42) =45°(cid:63)(cid:298)(cid:98)(cid:275)(cid:276)△(cid:42)𝐵(cid:167)𝑀(cid:226)𝑂≌(cid:42)△𝐴𝑇𝑂(
2 𝑂𝑀𝐺𝑇 ∠𝑂𝐺𝑇
= = (cid:63)(cid:154)(cid:328)(cid:59)(cid:254)(cid:117)(cid:25)(cid:241)(cid:45)(cid:208)(cid:157)(cid:58)
2
𝑂(cid:15)𝑇(cid:218)(cid:45)𝐺(cid:20)𝑇(cid:71)1(cid:72)𝑂(cid:45)𝐺(cid:10) (cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= =∵ =90𝐴°(cid:63)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷(cid:63),∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐷
∵𝐴Rt𝐸 𝐵𝐹 Rt (HL)(cid:63)
∴ △𝐴=𝐵𝐹≌ △(cid:63)𝐷𝐴𝐸
∴∠𝐴𝐵𝐹+ ∠𝐸𝐴𝐷=90°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴𝐹𝐵 =90°(cid:63)
∴∠𝐸𝐴𝐷=∠90𝐴°𝐹(cid:63)𝐵
∴∠𝐴𝐺𝐹 (cid:66)
∴(cid:71)𝐴2𝐸(cid:72)⊥(cid:45)𝐵(cid:10)𝐹 ①(cid:176)(cid:142)(cid:21)(cid:164)(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)(cid:116)(cid:117)(cid:280)(cid:281)(cid:10)
②(cid:339) (cid:27)(cid:26)(cid:39)T(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39)O(cid:169) (cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:280)(cid:281)(cid:10)
(cid:176)(cid:142)(cid:21)𝐴𝐻(cid:164)(cid:131)(cid:10) = 𝑂𝑇 =90°(cid:63) 𝑂𝑀⊥𝐵𝐺
(cid:27)(cid:26)(cid:39)T(cid:63)∠𝐵𝐺𝑇(cid:27)(cid:26)∠(cid:39)𝐺𝑀O(cid:63)𝑂
∵𝐴𝐻 (cid:63) =𝐴𝐶 (cid:63)
∴𝑂𝑇∥𝐶𝐻 (cid:63)𝐴𝑇 𝑇𝐻
∴(cid:118)𝑂𝑇(cid:119)⊥(cid:25)𝐴𝐻 (cid:52)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
∴(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝑂𝑀𝐺𝑇(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷 = =45°(cid:63)
∴𝐵𝑂 𝐴=𝑂,∠𝐴𝐵𝑂(cid:63) ∠𝑂𝐴𝐷
∴∠𝑂𝐵𝑀=∠𝑂𝐴𝑇=90°(cid:63)
∵∠𝐵𝑀𝑂 ∠𝐴𝑇𝑂 AAS)(cid:63)
∴△𝐵𝑀𝑂≌△𝐴𝑇𝑂(= (cid:63)
∴(cid:118)𝑂𝑀(cid:119)(cid:25)𝑂𝑇 (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∴ =𝑂𝑀45𝐺°𝑇(cid:63)
∴∠𝑂𝐺𝑇= =45°(cid:63)
∴∠𝑂𝐺𝑇 ∠𝐺𝑂2𝑇
= = (cid:63)
2
∴𝑂𝑇= 𝐺𝑇 𝑂=𝐺 = (cid:63)
∵𝐺𝑇 =𝐴𝑇−𝐴𝐺 =𝑇𝐻−2𝐴𝐺(cid:58) 𝐺𝐻−𝑇𝐺−𝐴𝐺
∴(cid:15)2(cid:228)𝐺𝑇(cid:229)4𝐺-2𝐻(cid:20)−(cid:116)𝐴𝐺(cid:117)(cid:63)(cid:107)𝑂(cid:23)𝐺(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:80)BC(cid:119)(cid:112)(cid:96)(cid:164)(cid:49)(cid:39)(cid:63)(cid:263)(cid:264)AE(cid:63)(cid:168)(cid:39)D(cid:169) (cid:240)AB(cid:139)
F(cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)G(cid:58) 𝐷𝐹⊥𝐴𝐸
(1)(cid:241)(cid:172)(cid:10) = (cid:66)
(2)(cid:148)(cid:39)E𝐴(cid:80)𝐹BC𝐵(cid:27)𝐸(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:263)(cid:264)BG(cid:63)(cid:88)(cid:162)(cid:106)(cid:146)(cid:147)FG(cid:63)BG(cid:63)EG(cid:269)(cid:288)(cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(1)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(2)FG(cid:374)EG(cid:61) 2BG(cid:63)(cid:167)(cid:98)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:172)(cid:173) ABE DAF(cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)(cid:157)(cid:131)AF(cid:61)BE(cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:168)(cid:39)B(cid:169)BG(cid:27)△(cid:150)(cid:146)≌(cid:240)△AE(cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)H(cid:58)(cid:172)(cid:173) BFG BEH(cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)(cid:273)(cid:192)BG(cid:61)BH(cid:63) FG(cid:61)EH(cid:63)
(cid:154)(cid:328)(cid:295)(cid:186)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:158)(cid:299)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:208)△(cid:157)(cid:45)≌(cid:302)△(cid:35)(cid:21)(cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:172)(cid:173)(cid:10) (cid:118)(cid:119)(cid:25)ABCD(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
ABE(cid:61) DAF(cid:61)90°(cid:63)∵AD(cid:61)AB(cid:63)
∴D∠F AE(cid:63)∠
∵ AG⊥D(cid:61)90°(cid:63)
∴∠DAG(cid:374) ADF(cid:61)90°(cid:63) DAG(cid:374) BAE(cid:61)90°(cid:63)
∴∠BAE(cid:61)∠ADF(cid:63) ∠ ∠
∴∠ABE ∠DAF(cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)
∴A△F(cid:61)B≌E△(cid:66)
∴(cid:71)2(cid:72)FG(cid:374)EG(cid:61) 2BG(cid:66)
(cid:167)(cid:98)(cid:10)(cid:168)(cid:39)B(cid:169)BG(cid:27)(cid:150)(cid:146)(cid:240)AE(cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)H(cid:63)
E(cid:80)BC(cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)
∵BE(cid:61)EC(cid:63)
∵AB(cid:61)CB(cid:63)AF(cid:61)BE(cid:63)
∵AF(cid:61)BF(cid:61)BE(cid:61)CE(cid:63)
∴BH BG(cid:63)
∵ G⊥BH(cid:61)90°(cid:63)
∴∠ABC(cid:61) GBH(cid:61)90°(cid:63)
∵∠FBG(cid:61)∠EBH(cid:63)
∴D∠F AE(cid:63)∠
∵ FG⊥E(cid:61) EBF(cid:61)90°(cid:63)
∴∠BFG(cid:374)∠BEG(cid:61)180°(cid:63)
∴∠BEG(cid:374)∠BEH(cid:61)180°(cid:63)
∵∠BFG(cid:61)∠BEH(cid:63)
∴∠BFG ∠BEH(cid:71)ASA(cid:72)(cid:63)
∴B△G(cid:61)B≌H△(cid:63)FG(cid:61)EH(cid:63)
∴GH(cid:61) 2BG(cid:63)
∴FG(cid:374)EG(cid:61)GH(cid:63)
∴FG(cid:374)EG(cid:61) 2BG(cid:58)
∴(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:45)
(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:80)(cid:23)(cid:226)(cid:378)(cid:301)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:58)(cid:15)(cid:228)(cid:229)4-3(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:16)(cid:375)(cid:379)(cid:68)·(cid:237)(cid:372)(cid:72)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:39)E(cid:80)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63)(cid:169)(cid:352)(cid:146) (cid:63)(cid:240) (cid:139)
(cid:39)F(cid:63) = (0°< <45°)(cid:58)(cid:39)A(cid:3)(cid:139)(cid:352)(cid:146) (cid:27)(cid:138)𝐴(cid:317)𝐵𝐶(cid:39)𝐷(cid:52)(cid:39)G(cid:63)(cid:263)(cid:264)𝐶𝐷(cid:63) (cid:63)(cid:146)(cid:147) (cid:76)𝐵𝐸(cid:63) 𝐴(cid:69)𝐶(cid:144)
(cid:240)(cid:139)(cid:39)∠P𝐶(cid:63)𝐵𝐸Q(cid:58)𝛼 𝛼 𝐵𝐸 𝐵𝐺 𝐶𝐺 𝐴𝐺 𝐵𝐸 𝐵𝐶
(1)①(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)(cid:66)
②(cid:241) (cid:27)(cid:242)(cid:86)(cid:66)
(2)(cid:329)(cid:48)∠𝐴𝐺𝐶(cid:240)(cid:352)(cid:146) (cid:139)(cid:39)H(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:148) = (cid:63)(cid:186)(cid:134)(cid:229)(cid:358)(cid:281) (cid:63) (cid:63) (cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)𝐺𝐶(1)①(cid:207)𝐵(cid:45)𝐹(cid:177)(cid:66)②45° 𝐴𝐻 𝑃𝐹 𝐶𝐹 𝐵𝑄 𝐶𝐻 𝐴𝐺
(2) =2 2 + 2 (cid:63)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)𝐴𝐺(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)𝐵(cid:77)𝑄(cid:222)(cid:211)(cid:23)𝐶𝐻(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:380)(cid:138)(cid:317)(cid:27)
(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:23)(cid:226)(cid:381)(cid:355)(cid:356)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:71)1(cid:72)①(cid:176)(cid:142)(cid:21)(cid:164)(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)(cid:208)(cid:157)(cid:66)
②(cid:98)(cid:39) (cid:63) (cid:3)(cid:139)(cid:352)(cid:146) (cid:138)(cid:317)(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63) = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)(cid:241)(cid:131)
+𝐴 𝐺 =90°(cid:63)𝐵(cid:131)𝐸(cid:197) = 𝐴𝐺⊥𝐵=𝐸 (cid:63)(cid:273)𝐴𝑃(cid:192) 𝐺𝑃= = (cid:63)(cid:139)(cid:80)(cid:131)(cid:197) = ∠𝐵𝐴𝑃 ∠𝐵𝐺𝑃=45°(cid:66)
∠(cid:71)𝐶2𝐵(cid:72)𝐸(cid:263)(cid:264)∠𝐴𝐵𝐸(cid:240) (cid:139)(cid:39) (cid:63)∠(cid:263)𝐵(cid:264)𝐺𝑃 (cid:63)∠(cid:241)𝐵𝐴(cid:131)𝑃 𝛼 (cid:63)𝐵𝐶= 𝐴𝐵 (cid:63)𝐵(cid:131)𝐺(cid:197) =∠𝐴𝐺𝐶 =∠4𝐵5𝐺°(cid:63)𝐶−(cid:241)∠(cid:131)𝐵𝐺𝑃
= 𝐵𝐷 (cid:63)𝐴(cid:176)𝐶 (cid:142)(cid:203)𝑂(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)𝑂𝑃(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)𝑃(cid:197)𝑂∥𝐺𝐶= 𝐺𝐶(cid:63) 2𝑃=𝑂 (cid:63)(cid:131)∠(cid:197)𝐴𝑃𝑂 =∠𝐴𝐺(cid:63)𝐶(cid:241)(cid:131) = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:134)
∠(cid:353)𝑂(cid:151)𝑃𝐹(cid:34)(cid:216)∠(cid:34)𝐴(cid:25)𝐶𝐷(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197)(cid:59)(cid:60)(cid:58) 𝑃𝑂 𝐸𝐶 𝐵𝑄 𝐶𝐸 𝐵𝑄 𝑃𝑂 𝐺𝐶 2𝐵𝑄
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:45)(cid:10)①(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)(cid:116)(cid:78)(cid:66)
② (cid:39) (cid:63) (cid:3)(cid:139)(cid:352)(cid:146) (cid:138)(cid:317)(cid:63)
∵ 𝐴 𝐺 𝐵𝐸(cid:63) = (cid:63)
∴𝐴𝐺⊥=𝐵𝐸(cid:63)𝐴𝑃 𝐺𝑃
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐺 (cid:63)
∴∠(cid:118)𝐵(cid:119)𝐴𝑃(cid:25) ∠𝐵𝐺(cid:52)𝑃(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ +𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)
∴∠𝐶𝐵𝐸+∠𝐴𝐵𝐸 = =90°(cid:63)
∵∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐴𝐵𝐸 =18(cid:63)0°−∠𝐴𝑃𝐵
∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐵𝐸 =𝛼(cid:63)
∴∠𝐵𝐺𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃 𝛼 = (cid:63)
∴∠𝐶𝐵=𝐺 1=80°−(cid:63)∠𝐵𝑃𝐺−∠𝐵𝐺𝑃−∠𝐶𝐵𝐸 90°−2𝛼
∵𝐵𝐶 𝐴=𝐵 𝐵𝐺= ÷2= +45°(cid:63)
∴∠𝐵𝐺𝐶= ∠𝐵𝐶𝐺 (180°=−∠45𝐶°𝐵(cid:66)𝐺) 𝛼
(cid:71)∴2∠(cid:72)𝐴𝐺(cid:45)𝐶(cid:10) ∠𝐵=𝐺𝐶2−∠2𝐵𝐺𝑃+ 2 (cid:63)
(cid:167)(cid:98)(cid:10)(cid:116)(cid:117)𝐴(cid:63)𝐺(cid:263)(cid:264) 𝐵(cid:240)𝑄 (cid:139)𝐶(cid:39)𝐻 (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝑂 𝑂𝑃
= (cid:63) = (cid:63)
∵𝐴𝑃 𝑃𝐺(cid:63) 𝐴𝑂= 𝑂𝐶(cid:63)
∴𝑃𝑂∥𝐺𝐶= 𝐺𝐶 =2𝑃4𝑂5°(cid:63)
∴∠𝐴𝑃𝑂= ∠𝐴𝐺𝐶 =45°(cid:63)
∴∠𝑂𝑃𝐹 910°−∠𝐴𝑃𝑂
= =45°(cid:63)
2
∵ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶(cid:63)𝐷
(cid:107)∴∠𝑂𝑃𝐹 (cid:76)∠𝐴𝐶𝐷 (cid:26)(cid:63)
△𝑂𝐹𝑃 △𝐸𝐹𝐶=
= (cid:63)
∠𝑂𝑃𝐹 =∠𝐴𝐶𝐷
𝑃𝐹 𝐶𝐹
∠ 𝑂𝐹𝑃 ∠𝐸𝐹𝐶 ASA)(cid:63)
∴ △=𝑂𝐹𝑃≌(cid:63)△𝐸𝐹𝐶(
∴𝑃𝑂= 𝐸𝐶(cid:63) = =90°(cid:63) = (cid:63)
∵𝐴 𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 AS∠A𝐵)𝐶(cid:63)𝐷 ∠𝐵𝐴𝑄 ∠𝐶𝐵𝐸
∴ △=𝐵𝐴𝑄≌(cid:63)△𝐶𝐵𝐸(
∴𝐵𝑄=𝐶𝐸(cid:63)
∴𝐵𝑄= 𝑃𝑂 (cid:63)
∴𝐺𝐶 =2𝐵𝑄(cid:63) =45°(cid:63)
∵𝐴𝐻 𝐺=𝐻 ∠𝐴𝐺=𝐶45°(cid:63) =90°(cid:63)
∴∠ 𝐺𝐴𝐻= 2∠𝐴𝐺𝐶= 2( +∠𝐴𝐻𝐺)= 2( + )(cid:63)
∴ 𝐴𝐺=2 2𝐻𝐺 + 2𝐺𝐶(cid:58)𝐶𝐻 2𝑄𝐵 𝐶𝐻
【 ∴ 题 𝐴 型 𝐺 5 正方 𝐵𝑄 形的折 𝐶 叠 𝐻 】
(cid:15)(cid:73)5(cid:20)(cid:71)24-25(cid:382)(cid:231)(cid:232)(cid:112)·(cid:383)(cid:304)(cid:364)(cid:384)·(cid:237)(cid:26)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39) M (cid:80) (cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:247)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑀𝐶 △𝐶𝐵𝑀
(cid:385)(cid:151)(cid:146) (cid:334)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:357)(cid:300)(cid:36)(cid:63)(cid:39) B (cid:27)(cid:138)(cid:95)(cid:39)(cid:52)(cid:39) N(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63) (cid:63)(cid:166) (cid:134)(cid:139)(cid:71)(cid:271)(cid:271)(cid:72)
𝑁𝐷
𝐶𝑀 𝐷𝑁 𝐴𝑁 𝑁𝐶
1 2 6 10
A(cid:58) B(cid:58) C(cid:58) D(cid:58)
2 2 4 5
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)D
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:329)(cid:48) (cid:240) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:295)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:172)(cid:173)Rt Rt (HL)(cid:63)(cid:273)(cid:192)
= (cid:63) 𝑀𝑁 =𝐴𝐷 (cid:63)𝐸(cid:59)(cid:254)(cid:134)(cid:353)𝐶𝐸(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:279) = =△𝐶(cid:63)𝑁𝐸≌ △𝐶𝐷𝐸
𝑁𝐸 𝐷𝐸 ∠𝑁𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐸⊥𝐷𝑁 𝑁𝐸 𝐷𝐸 𝑚
= = = = (cid:63)(cid:59)(cid:254)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:273)(cid:192) (cid:63) (cid:63)(cid:160)(cid:297)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)(cid:298)(cid:295)(cid:186)(cid:134)(cid:79)(cid:268)(cid:320)(cid:241)(cid:192) (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:45)
3
𝑥
𝐴(cid:21)𝐵(cid:58) 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝑥 𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝑚 𝐷𝑁(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:329)(cid:48) (cid:240) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
𝑀𝑁 𝐴𝐷 𝐸 𝐶𝐸
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= (cid:63) = =90°(cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:98)∴(cid:36)𝐵𝐶(cid:37)(cid:27)𝐷(cid:224)𝐶(cid:225)∠(cid:157)𝐵(cid:256)(cid:63)∠𝐶𝐷𝐸= (cid:63) = =90°(cid:63)
=90°= 𝑁𝐶(cid:63) 𝐵𝐶=∠𝐶𝑁(cid:63)𝑀 ∠𝐵
∴∠𝐶𝑁=𝐸 (cid:63) ∠𝐶𝐷𝐸 𝐶𝑁 𝐶𝐷
∵𝐶 R𝐸t 𝐶𝐸 Rt (HL)(cid:63)
∴ =△𝐶𝑁(cid:63)𝐸≌ △𝐶=𝐷𝐸 (cid:63)
(cid:208)∴𝑁𝐸(cid:68)(cid:69)𝐷𝐸 ∠𝑁(cid:63)𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
𝐶 𝐸 = ∠𝐷(cid:63)𝐶𝑁
∵ 𝐶𝑁 𝐶𝐷(cid:63)
(cid:279)∴𝐶𝐸⊥=𝐷𝑁 = (cid:63) = = = = (cid:63)
𝑁𝐸= 𝐷(cid:63)𝐸 𝑚 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝑥
∴𝐶(cid:39)𝑁 M 𝑥(cid:80) (cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)
∵ 𝐴𝐵
= = = (cid:63)
2
𝑥
∴𝑁𝑀 𝐵𝑀 𝐴𝑀
= (cid:63)(cid:208) = + = + (cid:63)
2 2 2 2
2 2 2 𝑥 𝑥 2
∵𝐴 𝐸 =𝑀𝐸+−𝐴𝑀(cid:63) 𝐴𝐸 𝑚 − 𝑚 𝑥𝑚
∵ 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐸
(cid:208) = + + (cid:63)
2
𝑥 𝑚 𝑥𝑚 𝑚
(cid:386)(cid:167)(cid:131) = (cid:63)
3
𝑥
𝑚
10
= + = + = (cid:63)
3 2 3
2 2 2 𝑥 𝑥
∴𝐶𝐸 𝐷𝐶 𝐷𝐸 1 𝑥 1
=2× = (cid:63)
四边形 2 2
∵ 𝑆 𝐶𝐷𝐸𝑁 𝐷𝐶⋅𝐷𝐸 𝐶𝐸⋅𝐷𝑁
1 1 10
2× = × (cid:63)
2 3 2 3
𝑥 𝑥
∴ 𝑥⋅ 𝐷𝑁10
(cid:45)(cid:131) = (cid:63)
5
𝑥
𝐷𝑁 10 10
= 5 = (cid:58)
𝑥 5
𝑁𝐷
(cid:219)∴(cid:189)𝑁(cid:10)𝐶 D(cid:58)𝑥
(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:224)(cid:225)(cid:129)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:45)
(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:107)(cid:139)(cid:295)(cid:186)(cid:134)(cid:79)(cid:268)(cid:320)(cid:241)(cid:192) (cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)5-1(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)𝐷(cid:119)𝑁(cid:48)(cid:52)4(cid:63)(cid:39)G(cid:80)(cid:119) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:39)E(cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:247)
(cid:385) (cid:300)(cid:36)(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:263)𝐴(cid:264)𝐵𝐶𝐷(cid:58)(cid:343) (cid:40)(cid:81)(cid:250)(cid:63) (cid:27)(cid:48)𝐴𝐷(cid:52) (cid:58) 𝐶𝐷 𝐵𝐸 △𝐵𝐶𝐸
𝐵𝐸 △𝐵𝐹𝐸 𝐺𝐹 𝐺𝐹 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)2 5
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)−(cid:184)2(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:300)(cid:36)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:226)(cid:42)(cid:343)(cid:39)G(cid:163)F(cid:163)B(cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:250)(cid:63) (cid:40)(cid:81)
(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:63)(cid:83)(cid:250)(cid:4)(cid:164)(cid:185)(cid:186)(cid:79)(cid:268)(cid:320)(cid:241)(cid:150)(cid:146)(cid:147)(cid:27)(cid:48)(cid:242)(cid:58)(cid:176)(cid:142)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:129)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:157)(cid:131) (cid:27)(cid:48)(cid:63)(cid:298)𝐺𝐹(cid:98)(cid:300)
(cid:36)(cid:256) = =4(cid:63)(cid:98) (cid:157)(cid:256)(cid:343)(cid:39)G(cid:163)F(cid:163)B(cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:250)(cid:63) (cid:40)(cid:81)(cid:63)(cid:59)(cid:254)(cid:387)(cid:25)(cid:79)𝐵(cid:268)𝐺(cid:163)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:79)(cid:268)
(cid:241)(cid:45)𝐵(cid:208)𝐹(cid:157)(cid:58)𝐵𝐴 𝐹𝐺≥𝐵𝐺−𝐵𝐹 𝐺𝐹
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10) (cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)4(cid:63)
= =9∵0°(cid:63) 𝐴=𝐵𝐶𝐷= =4(cid:63)
∴(cid:39)∠𝐶G(cid:80)∠𝐴(cid:119) (cid:27)(cid:26)(cid:39)𝐴𝐵(cid:63) 𝐴𝐷 𝐵𝐶
∵ = =𝐴𝐷2(cid:63)
∴(cid:263)𝐴(cid:264)𝐺 𝐷(cid:63)𝐺
𝐵𝐺
= + = 4 +2 =2 5(cid:63)
2 2 2 2
∴(cid:247)𝐵𝐺 𝐴𝐵(cid:385) 𝐴(cid:300)𝐺(cid:36)(cid:131)(cid:197) (cid:63)
∵ △𝐵𝐶𝐸 𝐵𝐸 △𝐵𝐹𝐸= =4(cid:63)
∴𝐵𝐹 𝐵𝐶 (cid:63)
∵(cid:343)𝐺𝐹(cid:39)≥G𝐵(cid:163)𝐺−F(cid:163)𝐵𝐹B(cid:216)(cid:39)(cid:336)(cid:146)(cid:250)(cid:63) (cid:40)(cid:81)(cid:63)
∴(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:279) = (cid:63)(cid:166) = 𝐺𝐹= (cid:63)
𝐸𝐺 𝐷𝐸 𝑥 𝐶𝐸 𝐸𝐹 4−𝑥
= + + (cid:63)
梯形
∵𝑆1 𝐶𝐵𝐺𝐷 𝑆△𝐸𝐷𝐺1 𝑆△𝐵𝐶𝐸1 𝑆△𝐸𝐵𝐺 1
×(2+4)×4= × + ×4×( )+ ×2 5×( )(cid:63)
2 2 2 2
∴ 2𝑥 4−𝑥 4−𝑥
(cid:45)(cid:131) = 5(cid:63)
𝑥 6−2
= ( 5)=2 5 (cid:58)
∴(cid:219)𝐶(cid:179)𝐸(cid:206)(cid:52)4−(cid:10) 62−25−2(cid:58) −2
(cid:15)(cid:228)(cid:229)5-2(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:361)(cid:256)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:290)(cid:291) (cid:63)M(cid:163)N(cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:388) (cid:119)(cid:334)(cid:112)(cid:300)(cid:36)(cid:63)(cid:130)(cid:39)C(cid:389)(cid:390)(cid:292)
(cid:107) (cid:112)(cid:27)P(cid:39)(cid:293)(cid:63) (cid:52)(cid:36)(cid:294)(cid:63)(cid:166) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:27)(cid:242)(cid:86)(cid:52)(cid:71) (cid:72)𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶
𝑀𝑁 𝐵𝑄 ∠𝑃𝐵𝑄
A(cid:58)20° B(cid:58)25° C(cid:58)30° D(cid:58)60°
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)C
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:184)(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:134)(cid:119)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:21)(cid:66)(cid:339)
𝐵𝑃1
(cid:27)(cid:26)(cid:39)E(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:175)(cid:25)(cid:63)(cid:131)(cid:192) =90°(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) = =
2
(cid:63)(cid:172)(cid:173) 𝑁(cid:52)𝐸 (cid:134)(cid:119)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)𝐴(cid:131)𝐵𝑁(cid:192)𝑀 =60°(cid:63)(cid:208)∠𝐵(cid:157)𝑁(cid:131)𝑀(cid:192)(cid:59)(cid:238)(cid:58) 𝑁𝐸 𝐵𝐸
𝐵(cid:15)𝑃(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)△(cid:10)𝐵(cid:339)𝑁𝐸 (cid:27)(cid:26)(cid:39)E(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)∠𝑁(cid:116)𝐵(cid:117)𝐸(cid:280)(cid:281)(cid:10)
𝐵𝑃 𝑁𝐸(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = (cid:63) = = = =90°(cid:63) (cid:63)
∴(cid:176)𝐴(cid:142)𝐵(cid:36)(cid:37)𝐵𝐶(cid:27)(cid:224)𝐶(cid:225)𝐷(cid:256)(cid:10)𝐴𝐷 =∠𝐴𝐵𝐶(cid:63) ∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷(cid:63)𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
M(cid:163)N(cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) 𝐵𝑃(cid:27)(cid:26)𝐵(cid:39)𝐶(cid:63)∠𝑃𝐵𝑄 ∠𝐶𝐵𝑄
∵ 1 𝐴𝐷 1𝐵𝐶
= = (cid:63)
2 2
∴𝐵𝑁= 𝐵𝐶(cid:63),𝐴𝑀 𝐴𝐷
∴𝐵𝑁 𝐴(cid:63)𝑀
∵(cid:118)𝐴𝐷(cid:119)∥𝐵(cid:25)𝐶 (cid:52)(cid:68)(cid:274)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:63)
∴ =𝐴𝐵9𝑁0𝑀°(cid:63)
∵(cid:118)∠𝐴(cid:119)𝐵𝑁(cid:25) (cid:52)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
∴ 𝐴=𝐵9𝑁0𝑀°(cid:63)
∴E∠𝐵(cid:52)𝑁𝑀(cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)
∵ 𝐵𝑃 1
= = (cid:63)
2
∴𝑁𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝑃
1
= (cid:63) = (cid:63)
2
∵𝐵𝑃 =𝐵𝐶 =𝐵𝑁 (cid:63) 𝐵𝐶
∴𝐵𝑁 𝑁(cid:52)𝐸(cid:134)(cid:119)𝐵𝐸(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝐵𝑁𝐸=60°(cid:63)
∴∠𝑁𝐵𝐸 1
= = =30°(cid:58)
2
∴(cid:219)∠(cid:189)𝑃𝐵(cid:10)𝑄C(cid:58)∠𝐶𝐵𝑄 ∠𝐸𝐵𝑁
(cid:15)(cid:228)(cid:229)5-3(cid:20)(cid:308)(cid:254)(cid:76)(cid:309)(cid:310)
(cid:286)(cid:38)(cid:311)(cid:112)(cid:63)(cid:391)(cid:17)(cid:392)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:300)(cid:36)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:160)(cid:274)(cid:162)(cid:106)(cid:286)(cid:38)(cid:63)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:393)(cid:168)(cid:38)(cid:394)(cid:395)(cid:169)(cid:162)(cid:106)(cid:63)(cid:102)(cid:104)(cid:211)(cid:277)(cid:288)(cid:346)(cid:396)(cid:63)(cid:91)
(cid:268)(cid:397)(cid:211)(cid:86)(cid:11)(cid:286)(cid:38)(cid:393)(cid:398)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:312)(cid:313)(cid:20)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:101)(cid:352)(cid:146) (cid:63)(cid:240)(cid:119) (cid:139)(cid:39) (cid:71)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:55)(cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:58)(cid:212)(cid:168)(cid:300)(cid:36)(cid:63)(cid:130)(cid:39) (cid:292)(cid:107)(cid:352)(cid:146)
𝐴 𝐴𝐻 𝐶𝐷 𝐻 𝐻 𝐷 𝐵 𝐴𝐻(cid:112)(cid:27)(cid:39) (cid:293)(cid:63)(cid:36)(cid:294) (cid:240) (cid:139) (cid:63)(cid:329)(cid:48) (cid:240) (cid:139) (cid:58)
𝐺 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐸 𝐸𝐺 𝐶𝐷 𝐹
(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:162)(cid:106)(cid:20)
(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:343)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:253)(cid:254)(cid:250)(cid:63) (cid:76) (cid:27)(cid:18)(cid:81)(cid:3)(cid:244)(cid:80)________(cid:66) (cid:80)________(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:58)
(cid:71)2(cid:72)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:343)(cid:39)𝐻(cid:52)(cid:119)𝐶 (cid:112)(cid:96)(cid:164)(cid:49)𝐹𝐺(cid:39)(cid:250)𝐹(cid:71)𝐷(cid:76) (cid:76)(cid:39) (cid:55)(cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:63)(cid:263)(cid:264)△𝐶(cid:63)𝐹𝐸(cid:287)(cid:187) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:213)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:91)(cid:245)
(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58) 𝐻 𝐶𝐷 𝐻 𝐶 𝐴𝐹 𝐹𝐺 𝐹𝐷
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)(cid:71)1(cid:72) = (cid:66)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:66)(cid:71)2(cid:72) = (cid:63)(cid:167)(cid:98)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:399)𝐹(cid:139)𝐺(cid:118)(cid:119)𝐹𝐷(cid:25)(cid:308)(cid:254)(cid:21)(cid:63)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)𝐹(cid:24)𝐺(cid:25)(cid:27)𝐹(cid:224)𝐷(cid:225)(cid:63)(cid:300)(cid:36)(cid:228)(cid:215)(cid:63)(cid:134)(cid:34)(cid:138)(cid:134)(cid:119)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)
(cid:225)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:23)(cid:226)(cid:378)(cid:301)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:71)1(cid:72)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:295)(cid:186)HL(cid:172)(cid:173)Rt Rt (cid:63)(cid:273)(cid:192) =90°(cid:63)
= 𝐴𝐹 =45°(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:66) △𝐴𝐹𝐷≌ △𝐴𝐹𝐺 ∠𝐸𝐶𝐹
∠(cid:71)𝐶2𝐸(cid:72)𝐹(cid:176)(cid:142)∠𝐶(cid:23)𝐹(cid:24)𝐸(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:295)(cid:186)HL(cid:172)(cid:173)Rt Rt (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:192) = (cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63) △𝐴𝐺𝐹≌ △𝐴𝐷𝐹 𝐹𝐺 𝐹𝐷
𝐴𝐹
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 =90°(cid:63) = (cid:63)
∴(cid:98)∠(cid:300)𝐵(cid:36)(cid:157)∠𝐷(cid:256)(cid:10)∠𝐸𝐶=𝐹 (cid:63) 𝐴𝐵= 𝐴𝐷=90°(cid:63)
= 𝐴=𝐺90°(cid:63)𝐴𝐵 ∠𝐴𝐺𝐸 ∠𝐵
∴∠𝐴𝐺=𝐹 (cid:63)∠𝐷 = (cid:63)
∵𝐴Rt𝐹 𝐴𝐹 𝐴R𝐷t 𝐴𝐺 (HL)(cid:63)
∴ △=𝐴𝐹𝐷(cid:63)≌ △𝐴𝐹𝐺
∴𝐹𝐺 𝐹=𝐷90°(cid:63) =45°(cid:63)
∵∠𝐶𝐺𝐸 ∠𝐺𝐶𝐸=45°(cid:63)
∴∠𝐶𝐸𝐹=90°(cid:63)
∵∠𝐸𝐶𝐹= =45°(cid:63)
∴∠𝐶𝐸=𝐹 (cid:63)∠𝐶𝐹𝐸
∴𝐶𝐸 𝐶(cid:80)𝐹 (cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:58)
∴(cid:219)△(cid:179)𝐸(cid:206)𝐶(cid:52)𝐹 (cid:10) = (cid:66)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:66)
(cid:71)2(cid:72) =𝐹𝐺(cid:63)(cid:167)𝐹𝐷(cid:98)(cid:116)(cid:78)(cid:63)
(cid:118)(cid:119)𝐹(cid:25)𝐺 𝐹𝐷(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷90°(cid:63) = (cid:63)
∴(cid:98)∠(cid:300)𝐵(cid:36)(cid:157)∠𝐷(cid:256) =𝐴𝐷 =𝐴𝐵 =90°(cid:63) = = (cid:63)
= (cid:63)∠𝐴𝐺𝐹 ∠𝐵 ∠𝐷 𝐴𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∵𝐴Rt𝐹 𝐴𝐹 Rt (HL)(cid:63)
∴ FG △=𝐴 F 𝐺 D 𝐹(cid:58)≌ △𝐴𝐷𝐹
∴ 【题型6 正方形中的动点】
(cid:15)(cid:73)6(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:400)(cid:16)(cid:401)(cid:402)·(cid:237)(cid:372)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)8(cid:63)M(cid:52)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)
(cid:139)(cid:39) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:3)(cid:139)(cid:59)(cid:60)1(cid:129)2(cid:63)(cid:78)(cid:180)(cid:217)(cid:243)(cid:23)(cid:226)(cid:27)𝐴(cid:80)𝐵𝐶(cid:71)𝐷 (cid:72) 𝐵𝐷 𝑀𝑃⊥𝐶𝐷
(cid:59)(cid:60)𝑃1,(cid:10)𝑀𝑄(cid:118)⊥(cid:119)𝐵(cid:25)𝐶 𝑄(cid:80)(cid:403)(cid:25)(cid:10)
(cid:59)(cid:60)2(cid:10)(cid:343) (cid:27)𝑃(cid:48)𝑀(cid:40)𝑄𝐶(cid:81)(cid:250)(cid:63)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52)12
𝑃𝑄 𝑃𝑀𝑄𝐶
A(cid:58)(cid:404)(cid:113)(cid:59)(cid:60)1(cid:23)(cid:226) B(cid:58)(cid:404)(cid:113)(cid:59)(cid:60)2(cid:23)(cid:226)
C(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:129)2(cid:366)(cid:23)(cid:226) D(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:129)2(cid:366)(cid:55)(cid:23)(cid:226)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)A
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:150)(cid:146)(cid:147)(cid:40)(cid:405)(cid:63)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:76) (cid:240)(cid:139)(cid:39)O(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:98)
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)8(cid:63)(cid:157)(cid:131)(cid:298)(cid:59)(cid:254) (cid:63) (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:172)(cid:173)(cid:118)(cid:119)𝐴(cid:25)𝐶 𝐵𝐷(cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:63)(cid:166) 𝐶𝑀
= 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:63)(cid:343)O(cid:76)M(cid:253)(cid:254)(cid:250) 𝑀(cid:27)𝑃(cid:48)⊥(cid:40)𝐶(cid:81)𝐷 (cid:63)𝑀(cid:156)𝑄(cid:250)⊥𝐵𝐶 = =45°(cid:63)𝑃𝑀𝑄𝐶= =4 2(cid:63)(cid:241)(cid:192)
𝑃𝑄= 𝐶𝑀≥=𝑂4(cid:63)𝐶 (cid:157)(cid:131)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:27)𝑃(cid:79)𝑄(cid:268)(cid:52) =∠4𝑂×𝐶4𝐵=1∠6𝑀(cid:58)𝐶𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝑀
𝐶𝑄 𝑄𝑀 𝑃𝑀𝑄𝐶 𝐶𝑄⋅𝑄𝑀(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)8(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:76) (cid:240)(cid:139)(cid:39)O(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝑀
∵𝑀𝑃⊥𝐶=𝐷90°(cid:63) =45°(cid:63) = =8(cid:63)
∴∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝑂𝐶𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 1 1
(cid:107)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:98)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:131)(cid:10) = = = = 8 +8 =4 2(cid:63)
2 2
2 2
(cid:63) 𝐵𝐶𝐷 (cid:63) 𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝐵𝐷
∵𝑀𝑃⊥𝐶=𝐷 𝑀𝑄⊥=𝐵9𝐶0°= (cid:63)
∴(cid:118)∠𝑀(cid:119)𝑃(cid:25)𝐶 ∠𝑀𝑄(cid:80)𝐶(cid:175)(cid:25)(cid:63)(cid:219)(cid:59)∠𝐵(cid:60)𝐶𝐷1(cid:23)(cid:226)(cid:66)
∴(cid:118)(cid:119)(cid:25)𝑃𝑀𝑄𝐶(cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝑃𝑀(cid:63)𝑄𝐶
∴𝑃𝑄 𝐶𝑀(cid:63)
∵𝐶𝑀≥𝑂𝐶(cid:63)
∴(cid:343)𝑃𝑄O≥(cid:76)𝑂𝐶M(cid:253)(cid:254)(cid:250) (cid:27)(cid:48)(cid:40)(cid:81)(cid:63)(cid:156)(cid:250) = =45°(cid:63)(cid:63)
∴ = =𝑃4𝑄5°(cid:63) ∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝑀𝐶𝐵
∴∠𝑄𝑀=𝐶 ∠(cid:63)𝑀𝐶𝐵
∴(cid:107)𝐶(cid:151)𝑄(cid:34)(cid:216)𝑄𝑀(cid:34)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:98)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:131)(cid:10) + = (cid:63)
2 2 2
𝐶𝑀𝑄 𝐶𝑄 𝑀𝑄 𝐶𝑀
=(4 2) (cid:63)
2
2
∴2𝐶𝑄= =4(cid:63)
∴(cid:118)𝐶𝑄(cid:119)(cid:25)𝑄𝑀 (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52) =4×4=16(cid:63)
∴(cid:59)(cid:60)2𝑃(cid:406)𝑀(cid:407)𝑄(cid:63)𝐶 𝐶𝑄⋅𝑄𝑀
∴(cid:308)(cid:112)(cid:280)(cid:408)(cid:63)(cid:404)(cid:113)(cid:59)(cid:60)1(cid:23)(cid:226)(cid:63)
(cid:219)(cid:189)(cid:10)A(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)6-1(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:233)(cid:234)(cid:409)(cid:410)·(cid:237)(cid:26)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:175)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =10(cid:63) =4(cid:63)(cid:39)E(cid:158)(cid:411)(cid:412)2
(cid:120)(cid:413)(cid:326)(cid:48)(cid:242)(cid:27)(cid:414)(cid:242)(cid:188)(cid:39)D(cid:192)(cid:102)(cid:334)(cid:39)C(cid:185)(cid:38)(cid:71)(cid:55)(cid:76)(cid:39)C(cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:63)𝐴𝐵(cid:263)𝐶(cid:264)𝐷 (cid:63)𝐴(cid:158)𝐵 (cid:52)(cid:119)𝐴(cid:334)𝐷(cid:415)(cid:416)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)
(cid:263)(cid:264) (cid:63) (cid:58)(cid:148)t(cid:412)(cid:328) (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:389)(cid:390)(cid:52)2 (cid:63)(cid:166)t(cid:27)(cid:41)(cid:52) (cid:58)𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐸𝐹𝐺
2
𝐶𝐹 𝐶𝐺 △𝐶𝐹𝐺 𝑡19
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)
8
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:184)(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:168)(cid:39)C(cid:169) (cid:139)M(cid:63)(cid:329)(cid:48)
1𝐶𝑀⊥𝐵𝐸 1 𝑀𝐶
(cid:240) (cid:139)N(cid:63)(cid:157)(cid:172)(cid:173)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:63)(cid:166) = (cid:63)(cid:166)(cid:157)(cid:172)(cid:173) + = (cid:63)(cid:208) =
2 2
2 2
𝐹𝐺 𝑀𝐸𝐹𝑁 𝑀𝑁 𝐸𝐹 𝑆△𝐵𝐸𝐶 𝑆△𝐶𝐹𝐺 𝐵𝐸 𝑆△𝐶𝐹𝐺 𝐵𝐸 −
1
(cid:66)(cid:98)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197) = =10(cid:63) = =4(cid:63) =90°(cid:63)(cid:166) = (cid:63) =
2
𝑆△𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸 10−2𝑡
𝑆△𝐵𝐶𝐸
( ) 4
= (cid:63)(cid:98)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:131) =( ) +4 (cid:63)(cid:166) ( )=2 (cid:63)(cid:45)(cid:24)(cid:178)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:197)(cid:179)
2 2 2
2 2 2 10−2𝑡 + 2
(cid:206)𝐵𝐶(cid:58)⋅𝐶𝐸 20−4𝑡 𝐵𝐸 10−2𝑡 − 20−4𝑡 𝑡
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:66)(cid:116)(cid:117)(cid:280)(cid:281)(cid:63)(cid:168)(cid:39)C(cid:169) (cid:139)M(cid:63)(cid:329)(cid:48) (cid:240) (cid:139)N(cid:63)
𝐶𝑀⊥𝐵𝐸 𝑀𝐶 𝐹𝐺
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ 𝐵=𝐸𝐹𝐺 =90°(cid:63) = = (cid:63)
∴(cid:140)∠𝑀𝐸𝐹 ∠𝐸(cid:63)𝐹𝑁 𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝐵𝐸
(cid:118)∵(cid:119)𝐶𝑀(cid:25)⊥𝐵𝐸 (cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
∴ = 𝑀𝐸(cid:63)𝐹𝑁
∴𝑀𝑁 𝐸𝐹 1 1 1 1 1
+ = + = ( + )= = (cid:63)
2 2 2 2 2
2
∴𝑆△𝐵𝐸𝐶 𝑆△𝐶𝐹𝐺 𝐹𝐺⋅𝐶𝑁 𝐵𝐸⋅𝐶𝑀 𝐵𝐸 𝐶𝑀 𝐶𝑁 𝐵𝐸⋅𝑀𝑁 𝐵𝐸
1
= (cid:66)
2
2
∴(cid:118)𝑆△ (cid:119) 𝐶𝐹 (cid:25) 𝐺 𝐵𝐸(cid:80)−(cid:175) 𝑆△ (cid:25) 𝐵𝐶 (cid:63) 𝐸
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷10(cid:63) = =4(cid:63) =90°(cid:63)
∴(cid:98)𝐶(cid:21)𝐷(cid:164)(cid:131)𝐴𝐵(cid:63) = 𝐵𝐶(cid:63) 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷
= 𝐷𝐸(cid:63) 2𝑡
∴𝐶𝐸 10−2𝑡1
= = (cid:63)
2
∴ (cid:107) 𝑆 R △ t 𝐵𝐶𝐸 𝐵 (cid:26) 𝐶 (cid:63) ⋅𝐶 (cid:98) 𝐸 (cid:275)(cid:276) 20 (cid:42) − (cid:167) 4𝑡 (cid:131) = + =( ) +4 (cid:63)
2 2 2 2 2
( △)𝐸𝐵4𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐸 10−2𝑡
( )=2 (cid:63)
2 2 2
10−2𝑡 + 2
∴ 19 − 20−4𝑡 𝑡
(cid:45)(cid:131) = (cid:63)
8
𝑡 19
(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10) (cid:58)
8
(cid:15)(cid:228)(cid:229)6-2(cid:20)(cid:71)2025·(cid:417)(cid:233)(cid:418)(cid:419)·(cid:64)(cid:31)(cid:72)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:80)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)
(cid:139)(cid:39) (cid:58)(cid:148)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52)6(cid:63)(cid:166)𝐴𝐵𝐶(cid:27)𝐷(cid:48)(cid:52)𝐴(cid:71)𝐵 (cid:72)6,𝑃 𝐴𝐶 𝑃𝐸⊥𝐴𝐷 𝐸
𝑃𝐹A⊥(cid:58)𝐶𝐷4 𝐹 B(cid:58)𝑃2𝐹𝐷5𝐸 C(cid:58)𝐵𝑃2 6 D(cid:58)2 3
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)C
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
(cid:63)(cid:98)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) (cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:98)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:160)(cid:297)(cid:131)(cid:192) 𝐸𝐹
𝑃𝐷= (cid:63)(cid:295)(cid:186) + =△𝐵𝐶+𝑃≌△=𝐷𝐶𝑃=6(cid:63) 𝑃𝐵 𝑃𝐷 =6(cid:63)(cid:241)(cid:192) + 𝐸𝐹=24𝑃(cid:63)𝐷(cid:368)(cid:297)(cid:131)(cid:192)
四边形
2 2
𝑃𝐵=𝐸𝐹=2 6𝑃(cid:58)𝐸(cid:258)(cid:259)𝑃𝐹(cid:260)(cid:261)𝐷(cid:112)𝐹(cid:408)(cid:256)𝐹(cid:257)𝐶 (cid:80)𝐶(cid:45)𝐷(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:27)𝑆 (cid:3)(cid:227) 𝑃 (cid:58) 𝐸𝐷𝐹 𝑃𝐸 𝑃𝐹
𝑃(cid:15)𝐵(cid:218)(cid:45)𝐸(cid:20)𝐹(cid:45)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63) (cid:63)
𝐸𝐹 𝑃𝐷
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) =6(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = =6𝐴(cid:63)𝐵 = =45°(cid:63) = (cid:63) =90°(cid:63)
∴𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷 SA𝐴S𝐵)(cid:63) ∠𝐵𝐶𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃 𝐶𝑃 𝐶𝑃 ∠𝐴𝐷𝐶
∴△𝐵𝐶=𝑃≌△(cid:63)𝐷𝐶𝑃(
∴𝑃𝐵 𝑃𝐷(cid:63) (cid:63)
∵𝑃𝐸⊥𝐴=𝐷 𝑃𝐹⊥=𝐶𝐷 =90°(cid:63)
∴∠(cid:118)𝑃(cid:119)𝐸𝐷(cid:25) ∠𝐴𝐷(cid:80)𝐶(cid:175)(cid:25)∠𝑃(cid:63)𝐹𝐷
∴ = 𝐸𝑃=𝐹𝐷 (cid:63) = (cid:63)
∴𝐸𝐹 𝑃𝐷(cid:63) 𝑃𝐵 𝑃=𝐸45°(cid:63)𝐷𝐹
∵𝑃𝐹⊥𝐶𝐷 ∠𝑃𝐶𝐷=45°(cid:63)
∴∠𝐹𝑃𝐶(cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝑃𝐹=𝐶 (cid:63)
∴𝑃𝐹+ 𝐹𝐶= + = =6(cid:63)
∴𝑃𝐸 +𝑃𝐹 𝐷=𝐹36(cid:63)𝐹𝐶 𝐷𝐶
2
∴(𝑃𝐸 +𝑃𝐹)+ =36(cid:63)
2 2
∴𝑃(cid:175)𝐸(cid:25) 𝑃𝐹 (cid:27)2(cid:79)𝑃(cid:268)𝐸⋅=𝑃𝐹6(cid:63)
∵ 𝐸𝑃𝐹=𝐷6(cid:63)
∴𝑃𝐸⋅𝑃+𝐹 +2×6=36(cid:63)
2 2
∴𝑃𝐸 +𝑃𝐹 =24(cid:63)
2 2
∴𝑃𝐸 +𝑃𝐹 = (cid:63)
2 2 2
∵𝑃𝐸 =𝑃2𝐹4(cid:63) 𝐸𝐹
2
∴𝐸𝐹=2 6(cid:420) 6(cid:71)(cid:55)(cid:421)(cid:254)(cid:21)(cid:164)(cid:63)(cid:422)(cid:423)(cid:72)(cid:63)
∴𝐸𝐹 = =2−26(cid:63)
(cid:219)∴(cid:189)𝑃𝐵(cid:10)C(cid:58)𝐸𝐹
(cid:15)(cid:228)(cid:229)6-3(cid:20)(cid:71)24-25(cid:382)(cid:231)(cid:232)(cid:112)·(cid:233)(cid:424)(cid:425)(cid:236)·(cid:237)(cid:372)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =4 (cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63)
(cid:62) =3 (cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:185)(cid:38)(cid:46)(cid:146)(cid:52) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:63)(cid:414)𝐴(cid:242)𝐵(cid:52)(cid:411)(cid:412) cm2cm(cid:63)𝑃(cid:185)(cid:38)(cid:250)(cid:288)𝐴𝐵(cid:52) (cid:63)
(cid:80)𝐴(cid:134)𝑃(cid:353)(cid:216)(cid:34) cm(cid:25)(cid:63)(cid:166)𝐸(cid:27)(cid:41)(cid:52) (cid:58) 𝐴→𝐵→𝐶→𝐷→𝐴 𝑡 △𝐷𝑃𝐸
𝑡
5 63 121
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20) (cid:420) (cid:420)
2 16 16
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:241)(cid:192) =1cm(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:39)E(cid:27)(cid:326)(cid:327)(cid:69)(cid:216)(cid:318)(cid:306)(cid:426)(cid:160)(cid:274)(cid:45)(cid:179)(cid:208)(cid:157)(cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)𝐵(cid:118)𝑃 (cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= =∵ = 𝐴𝐵=𝐶4𝐷cm(cid:63) = = = =90°(cid:63)
∴𝐴𝐵=3𝐴𝐷(cid:63)𝐶𝐷 𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐷
∵𝐴𝑃 =1 ccmm
∴①𝐵𝑃(cid:343) = (cid:250)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)
𝐷𝑃 𝐷𝐸= (cid:63) = = = =90°
∵𝐴𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐴 (∠H𝐵L)(cid:63)∠𝐶 ∠𝐷
∴△𝐴=𝐷𝑃≌=△3𝐶c𝐷m𝐸(cid:63)
∴𝐴𝑃 =𝐶𝐸 =1cm
∴𝐵𝐸 𝑃𝐵 4 1 5
(cid:156)(cid:250) = = =
2 2 2
𝐴𝐵+𝐵𝐸 +
②(cid:343)𝑡 = (cid:250)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)
𝐷𝐸 𝑃𝐸
(cid:279) = cm,(cid:166) =( )cm,
(cid:166)𝐶𝐸 +𝑥 =𝐵𝐸 4−𝑥+ =
2 2 2 2 2 2
𝐶𝐸 + 𝐷𝐶 = 𝐷𝐸+,𝑃𝐵 (cid:63)𝐵𝐸 𝑃𝐸
2 2 2 2
∴(cid:208)𝐶𝐸 +4𝐷𝐶=1𝑃+𝐵( 𝐵𝐸) (cid:63)
2 2 2 2
𝑥 1 4−𝑥
(cid:45)(cid:131) =
8
𝑥
1 31
= = cm
8 8
∴𝐵𝐸 4− 31
4 63
= = 8 =
2 2 16
𝐴𝐵+𝐵𝐸 +
∴③𝑡 (cid:343) = (cid:250)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)
𝐷𝐸 𝑃𝐸
(cid:279) = = cm,(cid:166) =( )cm,
(cid:166)𝐷𝐸 +𝑃𝐸 =𝑥 , 𝐴𝐸 4−𝑥
2 2 2
𝐴𝐸 𝐴𝑃 𝑃𝐸(cid:208)( ) +3 = (cid:63)
2 2 2
4−𝑥 25 𝑥
(cid:45)(cid:131) =
8
𝑥 25
4×3 121
= = 8 =
2 2 16
𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐸 +
∴𝑡 5 63 121
(cid:308)(cid:112)(cid:157)(cid:256)(cid:63) (cid:27)(cid:41)(cid:52) (cid:420) (cid:420) (cid:58)
2 16 16
𝑡5 63 121
(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10) (cid:420) (cid:420) (cid:58)
2 16 16
(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:156)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:163)(cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:42)(cid:427)(cid:163)(cid:49)(cid:428)(cid:49)(cid:429)
(cid:24)(cid:178)(cid:27)(cid:95)(cid:186)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:69)(cid:324)(cid:430)(cid:60)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
【题型7 正方形中的最值】
(cid:15)(cid:73)7(cid:20)(cid:71)2025(cid:382)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:203)(cid:371)·(cid:431)(cid:21)(cid:259)(cid:100)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:175)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = =4(cid:63)(cid:38)(cid:39)E(cid:188)(cid:39)A(cid:185)(cid:38)(cid:197)(cid:39)
D(cid:63)(cid:158) (cid:52)(cid:119)(cid:107) (cid:27)(cid:415)(cid:416)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:166)𝐴𝐵𝐶(cid:27)𝐷(cid:40)(cid:81)𝐴(cid:41)𝐵(cid:52) 2 , 𝐴 𝐷 (cid:63)(cid:39)F(cid:185)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)
(cid:52) 𝐶 𝐸 (cid:58) 𝐶𝐸 𝐶𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐹 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20) 3 2 4 2
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:27)(cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:299)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:329)(cid:48) (cid:197)(cid:39)P(cid:63)(cid:130) = (cid:63)(cid:263)
(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39)F(cid:169) (cid:27)(cid:150)(cid:146)(cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)H(cid:63)(cid:367)(cid:172) (cid:63)(cid:172)(cid:192) = (cid:63)𝐴𝐷(cid:131)(cid:192) (cid:39)(cid:107)(cid:158)𝐷P𝑃(cid:52)(cid:53)𝐷𝐶(cid:39)(cid:63)
(cid:52)𝐹(cid:49)𝑃(cid:119)(cid:27)45°(cid:27) 𝐴(cid:27)𝐷(cid:432)(cid:49)(cid:119)(cid:112)(cid:185)(cid:38)(cid:63)(cid:241)(cid:192)(cid:40)(cid:81)(cid:41)△(cid:66)𝐶𝐷(cid:172)𝐸(cid:173)≌△𝐸=𝐻𝐹2 =𝐹𝐻2 𝐻(cid:63)𝑃 (cid:131)(cid:192)(cid:343)𝐹(cid:38)(cid:39)E(cid:188)(cid:39)A(cid:185)(cid:38)(cid:197)𝑃𝐴
(cid:39)D(cid:250)(cid:63) (cid:27)∠(cid:48)𝑃(cid:188) (cid:228)(cid:194)(cid:197)0(cid:63)(cid:160)(cid:297)(cid:241)(cid:192)(cid:59)(cid:60)(cid:58) 𝐹𝑃 𝐻𝑃 𝐸𝐷
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)𝐷𝐸(cid:10)(cid:329)(cid:48) 𝐴𝐷(cid:197)(cid:39)P(cid:63)(cid:130) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39)F(cid:169) (cid:27)(cid:150)(cid:146)(cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)H(cid:58)
𝐴𝐷 𝐷𝑃 𝐷𝐶 𝐹𝑃 𝐴𝐷
(cid:107)(cid:175)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = =2= =90°= (cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐷𝑃,∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐸𝐻𝐹(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = = (cid:63)
=𝐶𝐸𝐹𝐺 ∠𝐶𝐸=𝐹 90°(cid:63),𝐶𝐸 𝐸𝐹
∴∠𝐶𝐸𝐷 90°−∠(cid:63)𝐹𝐸𝐻 ∠𝐸𝐹𝐻
∴△𝐶=𝐷𝐸≌△=𝐸𝐻𝐹 = (cid:63)
∴𝐸𝐻= 𝐶𝐷(cid:63)𝐷𝑃,𝐸𝐷 𝐹𝐻
∴𝐸𝐷 =𝐻𝑃(cid:63)
∴𝐹𝐻=4𝐻5𝑃°(cid:58)
∴∠𝑃(cid:39)(cid:107)(cid:158)P(cid:52)(cid:53)(cid:39)(cid:63) (cid:52)(cid:49)(cid:119)(cid:27)45°(cid:27) (cid:27)(cid:432)(cid:49)(cid:119)(cid:112)(cid:185)(cid:38)(cid:63)
∴𝐹 𝑃𝐴 2 ∠𝑃2
(cid:343) (cid:250) (cid:40)(cid:81)(cid:63)(cid:40)(cid:81)(cid:41)= = (4+2)= 3 2(cid:58)
2 2
𝐴𝐹⊥𝐹=𝑃 𝐴𝐹 = (cid:63) 𝐴𝑃
∵∠𝐹𝐻=𝑃 290° ,𝐹=𝐻 2𝐻𝑃(cid:58)
∴(cid:343)𝐹(cid:38)𝑃(cid:39)E(cid:188)𝐻𝑃(cid:39)A(cid:185)(cid:38)𝐸(cid:197)𝐷(cid:39)D(cid:250)(cid:63) (cid:27)(cid:48)(cid:188) (cid:228)(cid:194)(cid:197)0(cid:63)
(cid:39)F(cid:185)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:52) 2 = 4𝐷𝐸2(cid:58) 𝐴𝐷
∴(cid:15)(cid:228)(cid:229)7-1(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)𝐴(cid:232)𝐷(cid:78)·(cid:383)(cid:424)(cid:433)(cid:345)·(cid:237)(cid:372)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:39)D(cid:80)y(cid:380)(cid:23)(cid:33)(cid:380)(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:39)A(cid:107)x(cid:380)(cid:23)(cid:33)(cid:380)(cid:112)(cid:63)
=8(cid:63)(cid:158) (cid:52)(cid:119)(cid:107)(cid:360)(cid:49)(cid:434)(cid:435)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:166) (cid:27)(cid:40)(cid:18)(cid:41)(cid:52) (cid:58)
𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐵
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)4 5+4/4+4 5
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:216)(cid:119)(cid:3)(cid:244)(cid:63)(cid:341)(cid:286)(cid:185)(cid:186)(cid:114)(cid:436)(cid:224)
(cid:225)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
1
(cid:339) (cid:27)(cid:26)(cid:39)H(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:299)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:437)(cid:119)(cid:26)(cid:146)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) = = =4(cid:63)
2
𝐴𝐷 𝑂𝐻,𝐶𝐻 𝑂𝐻 𝐴𝐻 𝐴𝐷
(cid:298)(cid:98)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:226)(cid:42) =4 5(cid:63)(cid:298)(cid:98)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:216)(cid:119)(cid:3)(cid:244)(cid:157)(cid:241)(cid:45)(cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:116)(cid:117)𝐵(cid:63)𝐻(cid:339) (cid:27)(cid:26)(cid:39)H(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
𝐴𝐷 𝑂𝐻,𝐵𝐻(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°(cid:63) = = =8(cid:63)
∴(cid:39)∠𝐷H𝐴𝐵(cid:80) (cid:27)(cid:26)𝐴(cid:39)𝐵(cid:63) 𝐵𝐶 =𝐴𝐷90°(cid:63)
∵ 𝐴𝐷 1 ∠𝐴𝑂𝐵
= = =4(cid:63)
2
∴𝑂𝐻 𝐴𝐻 𝐴𝐷
= + = 4 +8 =4 5(cid:63)
2 2 2 2
∴(cid:107)𝐵𝐻 𝐴(cid:26)𝐻(cid:63) 𝐴𝐵 + =4 5+4(cid:63)
(cid:343)△(cid:39)𝑂H𝐵𝐻(cid:107) (cid:112)𝑂𝐵(cid:250)≤(cid:63)𝑂𝐻(cid:113)(cid:40)𝐻𝐵(cid:18)(cid:41)(cid:63)(cid:40)(cid:18)(cid:41)(cid:52)4 5+4(cid:63)
∴(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10)𝑂4𝐵5+4(cid:58)𝑂𝐵
(cid:15)(cid:228)(cid:229)7-2(cid:20)(cid:71)2025·(cid:438)(cid:345)(cid:439)(cid:440)·(cid:64)(cid:31)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:119) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:39) (cid:107)(cid:119) (cid:112)(cid:63)(cid:62)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 𝐴𝐷
= (cid:63)(cid:38)(cid:39) (cid:188)(cid:39) (cid:385) (cid:185)(cid:38)(cid:197)(cid:39) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:166)(cid:146)(cid:147)
3
𝐷(cid:48)𝐹(cid:242)(cid:27)(cid:40)𝐴𝐷(cid:81)(cid:41)(cid:52) 𝑃 (cid:58)𝐸 𝐸𝐹 𝐹 𝑃 𝑃𝑄⊥𝐵𝐶 𝑄 𝑃𝑅⊥𝐶𝐷 𝑅 𝑄𝑅 𝑄𝑅
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)3
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:184)(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:129)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:150)(cid:146)(cid:147)(cid:40)(cid:405)(cid:63)
(cid:367)(cid:245)(cid:173)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131) = (cid:63)(cid:343) (cid:250)(cid:63) (cid:40)(cid:405)(cid:63)(cid:208) (cid:40)(cid:405)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
(cid:298)(cid:176)(cid:142)(cid:275)(cid:276)(cid:42)𝑃(cid:167)𝑄(cid:241)𝐶𝑅(cid:192) (cid:63)(cid:154)(cid:328)(cid:176)(cid:142) = 𝑄𝑅 𝐶𝑃 𝐶𝑃⊥𝐸𝐹 𝐶𝑃 (cid:157)(cid:131)(cid:179)(cid:206)𝑄(cid:58)𝑅 𝐶𝐸,𝐶𝐹
正方形
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:280)𝐸(cid:281)𝐹(cid:63) 𝑆△𝐶𝐸𝐹 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐸𝐹−𝑆△𝐵𝐶𝐸−𝑆△𝐶𝐷𝐹
= = =90°(cid:63)
∵(cid:118)∠𝑃(cid:119)𝑄𝐶(cid:25) ∠𝐶 (cid:80)∠(cid:175)𝑃(cid:25)𝑅𝐶(cid:63)
∴ 𝑃𝑄𝐶𝑅= (cid:63)
∴(cid:343)𝑄𝑅 𝐶𝑃(cid:250)(cid:63) (cid:40)(cid:405)(cid:63)(cid:208) (cid:40)(cid:405)(cid:58)
(cid:263)𝐶(cid:264)𝑃⊥𝐸𝐹(cid:63) 𝐶𝑃 𝑄𝑅
𝐶𝐸,𝐶𝐹 3
(cid:98)(cid:21)(cid:164)(cid:131) = = = = = =3(cid:63)
2
𝐴𝐸 𝐵𝐸 ,𝐴𝐹 2,𝐷𝐹 1,𝐵𝐶 𝐶𝐷
3 5
(cid:176)(cid:142)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:131) = + = ( ) +2 = (cid:63)
2 2
2
2 2 2
= 𝐸𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹
正方形
∴𝑆△𝐶𝐸𝐹 𝑆 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆1△𝐴𝐸𝐹−𝑆△𝐵𝐶1𝐸−𝑆△𝐶𝐷𝐹
=
2 2 2
𝐴𝐵⋅𝐵𝐶− 𝐴𝐸⋅𝐴𝐹− 𝐵𝐶⋅𝐵𝐸− 𝐶𝐷⋅𝐷𝐹
1 3 1 3 1 1 5
=3× × × × × ×1×3 = × (cid:63)
2 2 2 2 2 2 2
(cid:45)(cid:131) 3=−3(cid:58) 2− 3− 𝐶𝑃
(cid:280)(cid:158)𝐶𝑃(cid:48)(cid:242)(cid:27)(cid:40)(cid:81)(cid:41)(cid:80)3(cid:58)
(cid:219)(cid:179)𝑄(cid:206)𝑅(cid:52)(cid:10)3(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)7-3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:119)(cid:48)(cid:52)3 2(cid:63) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:247)(cid:146)(cid:147) (cid:248) (cid:39)(cid:249)(cid:250)
(cid:251)(cid:252)(cid:193)90°(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:263)(cid:264) 𝐴(cid:163)𝐵𝐶𝐷(cid:58) 𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐶
𝐶𝐹 𝐷𝐹 𝐸𝐹
(1)(cid:217)(cid:243) (cid:27)(cid:25)(cid:373)(cid:63)(cid:91)(cid:245)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:66)
(2)(cid:339) △(cid:26)(cid:39)𝐷𝐸𝐹(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63) (cid:63)(cid:166) (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:80)(cid:152)(cid:52)(cid:42)(cid:41)(cid:136)(cid:116)(cid:238)(cid:80)(cid:63)(cid:88)(cid:241)(cid:192)(cid:114)(cid:120)(cid:41)(cid:66)(cid:116)(cid:238)(cid:55)(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:88)(cid:245)
(cid:173)(cid:167)(cid:98)𝐸𝐹(cid:58) 𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺 △𝐵𝐶𝐺
(3)(cid:39) (cid:80)(cid:39) (cid:3)(cid:139)(cid:151)(cid:146) (cid:27)(cid:138)(cid:317)(cid:39)(cid:63)(cid:151)(cid:264)(cid:84)(cid:192)(cid:146)(cid:147) (cid:27)(cid:40)(cid:81)(cid:41)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)𝐻(cid:20)(1)𝐺 (cid:80)(cid:151)𝐵𝐷(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:167)(cid:98)(cid:207)(cid:45)(cid:177) 𝐴𝐻
△𝐷𝐸𝐹(2)(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:52)4.5
3 2
(3)
2
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:158)(cid:112)(cid:256)(cid:257)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)
(cid:3)(cid:227)(cid:66)
(cid:71)1(cid:72)(cid:176)(cid:142)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:157)(cid:131) = =45°(cid:63) = (cid:63) =90°(cid:298)(cid:176)(cid:142)(cid:252)(cid:193)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:157)(cid:131)
= (cid:63) =90°(cid:63)(cid:188)(cid:297)∠(cid:172)𝐶𝐵(cid:131)𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶 (cid:63)𝐵(cid:131)𝐶(cid:197)𝐷𝐶 ∠=𝐵𝐶𝐷 =45°(cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:241)(cid:131)
𝐶𝐸 𝐶=𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹+ =90°(cid:66) △𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹 ∠𝐷𝐵𝐶 ∠𝐶𝐷𝐹
∠(cid:71)𝐵2𝐷(cid:72)𝐹(cid:263)(cid:264)∠𝐵𝐷(cid:63)𝐶 (cid:169)∠𝐶𝐷𝐹 (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:157)(cid:131) (cid:63)(cid:98) = =90°(cid:63)(cid:39) (cid:52) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:157)(cid:131)
′ ′ ′
𝐷1𝐺 𝐺𝐻 ⊥𝐶𝐷 𝐻3 2 𝐺𝐻 ∥𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹 𝐺 𝐸𝐹
= = (cid:63)(cid:166) = = (cid:63)(cid:188)(cid:297)(cid:241)(cid:131) =4.5(cid:66)
2 2
′ ′
𝐷(cid:71)𝐺3(cid:72)(cid:176)𝐶𝐺(cid:142)(cid:380)(cid:138)𝐸𝐹(cid:317)(cid:27)(cid:224)𝐶𝐻(cid:225)(cid:76)(cid:23)𝐷𝐻(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:172)(cid:173)
𝑆△𝐵𝐶𝐺
(SAS)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:71)2(cid:72)(cid:27)(cid:59)(cid:60)(cid:131)(cid:192)
1 3 2 △𝐴𝐵𝐻≌△𝐶𝐵𝐺 𝐴𝐻 𝐶𝐺
= (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:241)(cid:45)(cid:58)
2 2
𝐶(cid:15)𝐺(cid:218)≥(cid:45)𝐶(cid:20)𝐷(cid:71)1(cid:72)(cid:45)(cid:10) (cid:80)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:167)(cid:98)(cid:116)(cid:78)(cid:63)
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)△(cid:25)𝐷𝐸(cid:63)𝐹 (cid:52)(cid:138)(cid:34)(cid:146)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = (cid:63) 𝐵𝐷 = =45°(cid:63) =90°(cid:63)
∴𝐴(cid:146)𝐵(cid:147) 𝐵(cid:248)𝐶 (cid:39)𝐶𝐷(cid:249)(cid:250)𝐴(cid:251)𝐷(cid:252)(cid:193)∠𝐶9𝐵0°𝐷(cid:131)(cid:197)∠𝐵𝐷(cid:63)𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
∵ =𝐶𝐸 (cid:63)𝐶 =90°(cid:63) 𝐶𝐹
(cid:140)∴𝐶𝐸 𝐶𝐹=∠𝐸𝐶𝐹 (cid:63) = (cid:63)
∵∠𝐵𝐶=𝐸 ∠𝐵𝐶(cid:63)𝐷−∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐷𝐶𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹−∠𝐸𝐶𝐷
(cid:107)∴∠𝐵𝐶𝐸 (cid:129)∠𝐷𝐶𝐹 (cid:26)(cid:10)
△𝐵𝐶=𝐸 △𝐷𝐶𝐹
= (cid:63)
𝐵𝐶 =𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐹
𝐶𝐸 𝐶𝐹 ( )(cid:63)
∴△𝐵𝐶𝐸≌=△𝐷𝐶𝐹=𝑆𝐴4𝑆5°(cid:63)
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐹+ =90°(cid:63)
∴∠𝐸𝐷𝐹(cid:80)(cid:151)∠𝐵(cid:34)𝐷(cid:216)𝐶(cid:34)∠(cid:25)𝐶(cid:66)𝐷𝐹
(cid:71)∴△2(cid:72)𝐷(cid:80)𝐸𝐹(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:166) = =90°(cid:63)
′ ′ ′
𝐷𝐺 𝐺𝐻 ⊥𝐶𝐷 𝐻 ∠𝐺𝐻 𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷(cid:63)
′
∴ 𝐺𝐻(cid:76)∥𝐵𝐶 (cid:27)(cid:119) (cid:112)(cid:27)(cid:441)(cid:94)(cid:134)(cid:63)
′
∴𝐶𝐻 =△𝐵𝐶𝐺 =9𝐵0𝐶°(cid:63)(cid:39) (cid:52) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)
∵∠𝐸𝐷𝐹 ∠𝐸1𝐶𝐹 𝐺 𝐸𝐹
= = (cid:63)
2
∴𝐷𝐺 𝐶𝐺 𝐸𝐹
1 1 3 2
= = = ×3 2= (cid:63)
2 2 2
′ ′
∴𝐶𝐻 𝐷𝐻 1 𝐷𝐶 1 3 2
= = ×3 2× =4.5(cid:63)
2 2 2
′
(cid:71)∴3𝑆(cid:72) △𝐵 (cid:45) 𝐶𝐺 (cid:10)(cid:116)𝐵(cid:117)𝐶(cid:63)⋅𝐶𝐻
(cid:39) (cid:80)(cid:39) (cid:3)(cid:139)(cid:151)(cid:146) (cid:27)(cid:138)(cid:317)(cid:39)(cid:63)
∵ 𝐻= 𝐺(cid:63) =𝐵𝐷
∴𝐵𝐻 𝐵=𝐺 ∠𝐻𝐵𝐷 ∠𝐺𝐵𝐷
∴(cid:140)∠𝐴𝐵𝐻= ∠𝐶(cid:63)𝐵𝐺
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 (SAS)
∴△𝐴=𝐵𝐻≌(cid:63)△𝐶𝐵𝐺
∴(cid:343)𝐴𝐻 𝐶𝐺(cid:250)(cid:63) (cid:339)(cid:131)(cid:40)(cid:81)(cid:41)(cid:63)(cid:208) (cid:339)(cid:131)(cid:40)(cid:81)(cid:41)(cid:63)
𝐶𝐺⊥𝐸𝐹 𝐶𝐺1 3 2 𝐴𝐻
(cid:98)(cid:71)2(cid:72)(cid:157)(cid:131) = (cid:63)
2 2
𝐶𝐺≥ 𝐶𝐷
3 2
(cid:27)(cid:40)(cid:81)(cid:41)(cid:52) (cid:58)
2
∴𝐴𝐻
【题型8 正方形中的定值】
(cid:15)(cid:73)8(cid:20)(cid:71)24-25(cid:442)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:443)(cid:424)(cid:444)(cid:26)·(cid:237)(cid:372)(cid:72)(cid:15)(cid:333)(cid:256)(cid:20)(cid:107) (cid:26)(cid:63)(cid:148) = (cid:63)(cid:166) = (cid:63)(cid:208) (cid:80)(cid:134)
(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:58) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:361)(cid:256)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:39)E(cid:52)(cid:119) (cid:112)(cid:445)(cid:139)(cid:39)A(cid:163)B(cid:27)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63) (cid:63)(cid:240) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264)
(cid:58)(cid:39) (cid:52) (cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:49)(cid:42)(cid:39)(cid:63)𝐴(cid:446)𝐵(cid:165)𝐶𝐷 = (cid:58) 𝐴𝐵(cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:76) (cid:240)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264)𝐸𝐹∥(cid:58)𝐴𝐶(cid:71)(cid:447)(cid:4)𝐵𝐶(cid:10)(cid:23)(cid:24)𝐹(cid:25)(cid:27)(cid:118)
𝐷(cid:56)𝐹(cid:119)(cid:366)(cid:94)𝐺(cid:134)𝐷(cid:63)𝐴(cid:118)(cid:120)(cid:34)(cid:366)(cid:80)(cid:151)(cid:34)(cid:72) 𝐴𝐺 𝐴𝐷 𝐺𝐸 𝐷𝐹 𝐻 𝐵𝐻
(1)(cid:217)(cid:243) (cid:27)(cid:25)(cid:373)(cid:66)
(2)(cid:323)(cid:245)(cid:173)△(cid:10)𝐵𝐸𝐹 (cid:66)
(3)(cid:162)(cid:106) △(cid:80)𝐴(cid:152)𝐺𝐸(cid:52)≌(cid:42)△(cid:41)𝐶(cid:136)𝐷𝐹(cid:116)(cid:238)(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:88)(cid:245)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:63)(cid:91)(cid:241)(cid:192)(cid:448)(cid:42)(cid:41)(cid:66)(cid:116)(cid:238)(cid:55)(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:88)(cid:245)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)∠𝐸(1𝐻)𝐵 (cid:80)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)
(2)(cid:207)(cid:45)(cid:177) △𝐵𝐸𝐹
(3) (cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:52)45°(cid:63)(cid:167)(cid:98)(cid:207)(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)∠𝐸(cid:177)𝐻(cid:20)𝐵(cid:71)1(cid:72)(cid:367)(cid:241)(cid:192) = =45°(cid:63)(cid:298)(cid:176)(cid:142)(cid:68)(cid:274)(cid:146)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:157)(cid:131)
= = ∠𝐵=𝐴𝐶 ∠𝐴=𝐶𝐵45°(cid:63)(cid:188)(cid:297)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:45)(cid:179)(cid:66)
∠(cid:71)𝐵2𝐸(cid:72)𝐹(cid:176)(cid:142)∠𝐵𝐴𝐶= ∠(cid:63)𝐴𝐶𝐵 =∠𝐵𝐹(cid:63)𝐸(cid:157)(cid:131) = (cid:63)(cid:298)𝐵(cid:98)𝐸 𝐵=𝐹 (cid:63)(cid:157)(cid:131) = (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:45)(cid:179)(cid:66)
(cid:71)3(cid:72)(cid:107) 𝐵(cid:339)𝐸(cid:39)M𝐵𝐹(cid:130)𝐴𝐵= 𝐵𝐶(cid:63)(cid:263)(cid:264)𝐴𝐸(cid:63)(cid:172)𝐶𝐹(cid:173) 𝐴𝐺 𝐴𝐷 (cid:63)(cid:157)𝐴(cid:131)𝐺 𝐶=𝐷 = (cid:63)(cid:188)(cid:297)(cid:131)
(cid:197) 𝐺𝐸= =9𝑀0𝐸°(cid:63)(cid:160)𝐹𝐻(cid:297)(cid:131)(cid:197) 𝐵𝑀 (cid:52)(cid:134)△(cid:353)𝐵(cid:151)𝐸(cid:34)𝑀(cid:216)≌(cid:34)△(cid:25)𝐵𝐹(cid:63)𝐻(cid:208)(cid:157)(cid:45)(cid:179)𝐵𝑀(cid:58) 𝐵𝐻,∠𝐸𝐵𝑀 ∠𝐹𝐵𝐻
(cid:15)∠(cid:218)𝐻(cid:45)𝐵(cid:20)𝑀(cid:71)1∠(cid:72)𝐹𝐵(cid:45)𝐸(cid:10) (cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)△(cid:24)𝐵𝑀(cid:25)𝐻(cid:63)
=90°(cid:63) =∵ (cid:63) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵1 𝐶𝐵
= = ( )=45°(cid:63)
2
∴∠𝐵𝐴𝐶 (cid:63)∠𝐴𝐶𝐵 180°−90°
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶= = = =45°(cid:63)
∴∠𝐵𝐸=𝐹 (cid:63)∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐹𝐸
∴𝐵𝐸 𝐵(cid:80)𝐹 (cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝐵𝐸𝐹=90°(cid:63)
∵∠𝐴𝐵𝐶 (cid:80)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:66)
∴(cid:71)△2(cid:72)𝐵𝐸(cid:45)𝐹(cid:10) = (cid:63) =
∵𝐵𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶= (cid:63)(cid:208) = (cid:63)
∴𝐴𝐵−=𝐴𝐸 𝐵𝐶=−𝐵𝐹(cid:63) 𝐴𝐸 𝐶𝐹
∵𝐴𝐺=𝐴𝐷(cid:63),𝐴𝐷 𝐶𝐷
∴𝐴𝐺 𝐶=𝐷 =90°(cid:63)
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷 =90°= (cid:63)
∴(cid:107)∠𝐸𝐴𝐺 (cid:129)180°−∠𝐵(cid:26)𝐴𝐷(cid:63) ∠𝐵𝐶𝐷
△=𝐴𝐺𝐸(cid:63)△𝐶𝐷𝐹= (cid:63) = (cid:63)
∵𝐴𝐺 𝐶𝐷 ∠𝐸𝐴𝐺(SAS∠)𝐵(cid:66)𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐶𝐹
∴(cid:71)△3(cid:72)𝐴𝐺(cid:45)𝐸(cid:10)≌(cid:80)△(cid:42)𝐶𝐷(cid:41)𝐹(cid:63)(cid:52)45°(cid:63)(cid:167)(cid:98)(cid:116)(cid:78)(cid:10)
(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107) (cid:339)(cid:39)M(cid:130) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
𝐺𝐸 𝑀𝐸 𝐹𝐻 𝐵𝑀
(cid:98)(cid:71)2(cid:72)(cid:131)(cid:10) (cid:63)
= △𝐴(cid:63)𝐺𝐸≌△𝐶𝐷𝐹
∴∠𝐴𝐸𝐺 ∠𝐶𝐹=𝐷 (cid:63)
∴(cid:208)180°−∠𝐴=𝐸𝐺 1(cid:63)80°−∠𝐶𝐹𝐷
(cid:107)∠𝐵𝐸𝑀 (cid:129)∠𝐵𝐹𝐻 (cid:26)(cid:63)
△𝐵=𝐸𝑀 (cid:63)△𝐵𝐹𝐻= (cid:63) = (cid:63)
∵𝑀𝐸 𝐹𝐻 ∠𝐵𝐸𝑀(SAS∠)(cid:63)𝐵𝐹𝐻 𝐵𝐸 𝐵𝐹
∴△𝐵=𝐸𝑀≌△𝐵𝐹𝐻= (cid:63)
∴𝐵𝑀 𝐵+𝐻,∠𝐸𝐵𝑀= ∠𝐹𝐵𝐻+ (cid:63)
∴(cid:208)∠𝐸𝐵𝑀 =∠𝐸𝐵𝐻 =∠9𝐹0𝐵°𝐻(cid:63) ∠𝐸𝐵𝐻
∠𝐻𝐵𝑀(cid:52)(cid:134)∠𝐹(cid:353)𝐵(cid:151)𝐸 (cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝐵𝑀𝐻=45°(cid:58)
∴(cid:15)∠(cid:39)𝐵𝐻(cid:220)𝐸(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:184)(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:68)(cid:274)(cid:146)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:258)(cid:259)
(cid:260)(cid:261)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:68)(cid:274)(cid:146)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)(cid:15)(cid:228)(cid:229)8-1(cid:20)(cid:71)2025·(cid:417)(cid:233)(cid:449)(cid:450)·(cid:49)(cid:31)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107) (cid:26)(cid:63) =90°(cid:63)(cid:69)(cid:144)(cid:158) (cid:27)(cid:216)(cid:119)(cid:334)(cid:451)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:58)(cid:263)(cid:59) △(cid:63)(cid:148)𝐴𝐵𝐶 = ∠(cid:63)𝐴𝐶𝐵 = (cid:63) = (cid:71)△a(cid:52)𝐴𝐵(cid:319)𝐶(cid:86)(cid:72)(cid:63)(cid:166)(cid:78)(cid:180)(cid:377)(cid:229)(cid:52)
𝐴(cid:42)𝐶(cid:41)𝐹𝐺(cid:27)(cid:80)(cid:71) (cid:72)𝐵𝐷𝐸𝐶 𝐴𝑀𝑁𝐵 𝐷𝑁 𝐷𝑁 𝑥 𝐴𝐶 𝑦 𝐵𝐶 𝑎
A(cid:58) + B(cid:58) + C(cid:58) D(cid:58)
2 2 𝑥 2 2
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)𝑥 D𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 −𝑦
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:184)(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:217)(cid:42)(cid:299)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)
(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:217)(cid:42)(cid:299)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227).(cid:168)(cid:39)N(cid:169) (cid:63)(cid:240) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)H(cid:63)(cid:98)(cid:21)(cid:164)(cid:171)(cid:131)
= = =90°= = = (cid:63)(cid:154)𝑁(cid:328)𝐻(cid:157)⊥(cid:131)𝐷𝐵 𝐷𝐵 (AAS)(cid:63)(cid:166)(cid:113)
𝐴𝐵= 𝑁𝐵,∠=𝐶𝐵𝐷 =∠𝐴𝐵𝑁= = (cid:63)∠(cid:160)𝐶𝐵(cid:297)𝐻,(cid:176)𝐵𝐶(cid:142)(cid:275)𝐵(cid:276)𝐷(cid:42)(cid:167)𝑎(cid:157)(cid:160)(cid:274)(cid:241)(cid:45)(cid:58)△𝐴𝐵𝐶≌△𝑁𝐵𝐻
𝐴(cid:15)𝐶(cid:218)(cid:45)𝑁(cid:20)𝐻(cid:45)(cid:10)𝑦,(cid:168)𝐵𝐶(cid:39)N𝐵(cid:169)𝐻 𝑎 𝐵𝐷(cid:63)(cid:240) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)H(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:280)(cid:281)(cid:10)
𝑁𝐻⊥𝐷𝐵 𝐷𝐵
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)
∵ = 𝐴𝐶𝐹𝐺 = 𝐵𝐷𝐸=𝐶90°= 𝐴𝑀𝑁𝐵 = = (cid:63)
∴𝐴𝐵 𝑁+𝐵,∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐵𝑁+ =∠𝐶9𝐵0°𝐻(cid:63),𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑎
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐻(cid:63)∠𝐴𝐵𝐻 ∠𝑁𝐵𝐻
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑁𝐵𝐻=90°(cid:63)
∵∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝑁𝐻𝐵 (AAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝐶≌△=𝑁𝐵𝐻 = = = (cid:63)
∴𝐴𝐶 𝑁𝐻 𝑦,𝐵𝐶 𝐵𝐻 𝑎 𝐵𝐷(cid:107)Rt (cid:26)(cid:63)(cid:98)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:157)(cid:131)(cid:10) = (cid:63)
2 2 2
(cid:208) △𝐷𝐻=𝑁4 (cid:63) 𝐷𝐻 𝐷𝑁 −𝑁𝐻
2 2 2
𝑥 −𝑦(cid:80)(cid:42)(cid:41)𝑎(cid:66)
2 2
∴(cid:219)𝑥(cid:189)−D𝑦(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)8-2(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:119)(cid:48)(cid:52)8(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:80)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63)(cid:62) = (cid:63)(cid:39) (cid:80) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)
(cid:166)(cid:39) (cid:197)(cid:119) (cid:27)(cid:452)(cid:453)(cid:269)(cid:129) + (cid:27)(cid:41)𝐴𝐵(cid:71)𝐶 𝐷 (cid:72) 𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝑃 𝐶𝐸
𝑃 𝐵𝐷,𝐵𝐶 𝑃𝑀 𝑃𝑁
A(cid:58)(cid:80)(cid:42)(cid:41)4 2 B(cid:58)(cid:80)(cid:42)(cid:41)8 C(cid:58)(cid:113)(cid:40)(cid:81)(cid:41)4 2 D(cid:58)(cid:113)(cid:40)(cid:18)(cid:41)8
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)A
2
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39)E(cid:169) (cid:139)(cid:39)F(cid:63)(cid:166) =90°(cid:63)(cid:241)(cid:45) = = =4 2(cid:63)(cid:298)(cid:295)(cid:186)
2
(cid:134)(cid:79)(cid:268)(cid:320)(cid:157)(cid:131)(cid:179)(cid:206)(cid:58)𝐵𝑃 𝐸𝐹⊥𝐵𝐶 ∠𝐸𝐹𝐵 𝐵𝐹 𝐸𝐹 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39)E(cid:169) (cid:139)(cid:39)F(cid:63)(cid:166) =90°(cid:63)
𝐵𝑃 𝐸𝐹⊥𝐵𝐶 ∠𝐸𝐹𝐵
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:157)(cid:256) =45°(cid:63)
∵ (cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)∠(cid:216)𝐸(cid:34)𝐵𝐹(cid:25)(cid:63)
∴(cid:23)△(cid:24)𝐵𝐸(cid:25)𝐹(cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)8(cid:63)
∵ = =8(cid:63)
∴𝐵𝐸 𝐵𝐶 2
= = =4 2(cid:63)
2
∴𝐵𝐹 𝐸𝐹(cid:63) 𝐵𝐸 (cid:63)(cid:297) + = (cid:63)
∵𝑃1𝑀⊥𝐵𝐷 𝑃1𝑁⊥𝐵𝐶 𝑆1 △𝐵𝑃𝐸 𝑆△𝐵𝑃𝐶 𝑆△𝐵𝐸𝐶
× + × = × (cid:63)
2 2 2
∴ 𝐵𝐸= 𝑃𝑀(cid:63) 𝐵𝐶 𝑃𝑁 𝐵𝐶 𝐸𝐹
∵𝐵𝐸 𝐵𝐶+ = =4 2(cid:58)
∴(cid:166)𝑃(cid:39)𝑀 (cid:197)𝑃(cid:119)𝑁 𝐸(cid:63)𝐹 (cid:27)(cid:452)(cid:453)(cid:269)(cid:129) + (cid:27)(cid:41)(cid:80)(cid:42)(cid:41)4 2(cid:58)
(cid:219)(cid:189)𝑃A(cid:58) 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝑃𝑀 𝑃𝑁
1
(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:163)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:79)(cid:268)(cid:131)(cid:197)
2
1 1
× + × = × (cid:80)(cid:45)(cid:179)(cid:221)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
2 2
𝐵(cid:15)𝐸(cid:228)(cid:229)𝑃𝑀8-3(cid:20)𝐵(cid:116)𝐶(cid:117)(cid:63)𝑃(cid:23)𝑁(cid:24)(cid:25)𝐵𝐶ABC𝐸D𝐹(cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)(cid:42)(cid:41)(cid:63)E(cid:80)(cid:119)CD(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:55)(cid:76)(cid:39)C(cid:63)D(cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:63)AE(cid:240)(cid:138)(cid:34)(cid:146)
BD(cid:139)(cid:39)F(cid:63)FG AE(cid:240)BC(cid:139)(cid:39)G(cid:63)GH BD(cid:139)(cid:39)H(cid:58)(cid:210)(cid:289)(cid:192)(cid:78)(cid:180)(cid:454)(cid:21)(cid:10)①AF(cid:61)FG(cid:66)②FH(cid:27)(cid:48)(cid:242)(cid:52)(cid:42)
(cid:41)(cid:58)(cid:166)(cid:71)(cid:271)(cid:271)(cid:72)⊥ ⊥
A(cid:58)①(cid:80)(cid:90)(cid:454)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:90)(cid:454)(cid:21) B(cid:58)①(cid:80)(cid:90)(cid:454)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:455)(cid:454)(cid:21)
C(cid:58)①(cid:80)(cid:455)(cid:454)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:90)(cid:454)(cid:21) D(cid:58)①(cid:80)(cid:455)(cid:454)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:455)(cid:454)(cid:21)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)A
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:367)(cid:176)(cid:142)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:203)(cid:134)(cid:217)(cid:42)(cid:42)(cid:167)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) = = (cid:63)(cid:298)(cid:176)(cid:142)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:27)
(cid:357)(cid:34)(cid:129)(cid:42)(cid:167)(cid:163)(cid:456)(cid:202)(cid:34)(cid:42)(cid:427)(cid:163)(cid:134)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:154)(cid:328)(cid:176)𝐴(cid:142)𝐹(cid:134)(cid:353)𝐶𝐹(cid:216),∠(cid:34)𝐵𝐴(cid:25)𝐹(cid:27)(cid:224)∠(cid:225)𝐵𝐶(cid:131)𝐹(cid:192) = (cid:63)(cid:188)(cid:297)
(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:217)(cid:243)①(cid:23)(cid:226)(cid:66)(cid:367)(cid:176)(cid:142)∠(cid:151)𝐶(cid:34)𝐺𝐹(cid:216)(cid:34)∠(cid:25)𝐵𝐶(cid:27)𝐹(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:192) = = 𝐶𝐹= 𝐹𝐺 (cid:63)(cid:298)
(cid:59)(cid:254)𝐴(cid:21)𝐹(cid:71)1(cid:72)𝐹𝐺(cid:27)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:42)(cid:167)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:157)(cid:131) = ∠(cid:63)𝐴𝑂(cid:154)𝐹(cid:328)(cid:176)∠(cid:142)𝐹𝐻(cid:23)𝐺(cid:24)(cid:25)90A°B,∠C𝑂D𝐴(cid:27)𝐹(cid:119)(cid:48)∠𝐺(cid:52)𝐹(cid:42)𝐻(cid:41)(cid:208)
(cid:157)(cid:217)(cid:243)②(cid:23)(cid:226)(cid:58) 𝐹𝐻 𝑂𝐴
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:172)(cid:173)(cid:10)(cid:263)(cid:264)CF
(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)(cid:63) = = =45°
𝐴𝐵 𝐵𝐶A,∠B𝐴=𝐵𝐹BC ∠𝐶𝐵𝐹
(cid:107) ABF(cid:129) CBF(cid:26)(cid:63) ABF= CBF=45°
BF=BF
∠ ∠
△ △
∴𝛥𝐴𝐵=𝐹≅𝛥𝐶𝐵𝐹(𝑆𝐴=𝑆)
∴𝐴𝐹 𝐶𝐹,∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵𝐶𝐹
∵𝐹𝐺⊥𝐴𝐸(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25)ABGF(cid:26)(cid:63) + = =180°
∴(cid:140) + =∠1𝐵8𝐴0°𝐹 ∠𝐵𝐺𝐹 360°−90°−90°
∵∠𝐵𝐺=𝐹 ∠𝐶𝐺𝐹
∴∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐺𝐹
∴∠𝐶𝐺=𝐹 ∠𝐵𝐶𝐹
∴𝐶𝐹 =𝐹𝐺(cid:66)
(cid:71)∴2𝐴(cid:72)𝐹(cid:263)(cid:264)𝐹𝐺AC(cid:240)BD(cid:139)O
(cid:118)(cid:119)(cid:25)ABCD(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = =90° 𝐻𝐺⊥𝐵𝐷
∴∠𝐴𝑂𝐹+ ∠𝐹𝐻𝐺= + =90°
∵∠𝑂𝐴𝐹=∠𝐴𝐹𝑂 90°,∠𝐺𝐹𝐻 ∠𝐴𝐹𝑂
∴(cid:98)∠(cid:71)𝑂1𝐴(cid:72)𝐹(cid:256)(cid:63)∠𝐺𝐹𝐻=
𝐹𝐴 𝐹𝐺
∴𝛥𝐴𝑂=𝐹≅𝛥𝐹𝐻𝐺(𝐴𝐴𝑆)
∴𝐹(cid:23)𝐻(cid:24)(cid:25)𝑂𝐴ABCD(cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)(cid:42)(cid:41)
∵ 1
(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:27)(cid:138)(cid:34)(cid:146)AC(cid:457)(cid:52)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:188)(cid:297) = (cid:52)(cid:42)(cid:41)
2
∴ (cid:27)(cid:48)(cid:242)(cid:52)(cid:42)(cid:41) 𝑂𝐴 𝐴𝐶
(cid:308)∴(cid:112)𝐹𝐻(cid:63)①②(cid:23)(cid:226)
(cid:219)(cid:189)(cid:10)A(cid:58)
(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:203)(cid:134)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:42)(cid:167)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:134)(cid:256)(cid:257)(cid:39)(cid:63)(cid:212)(cid:168)(cid:169)
(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:3)(cid:227)(cid:58)【题型9 构造正方形解题】
(cid:15)(cid:73)9(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:383)(cid:304)(cid:458)(cid:303)·(cid:237)(cid:26)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:361)(cid:256)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) (cid:52)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:55)
(cid:76)(cid:39) (cid:63) (cid:253)(cid:254)(cid:72)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:63)(cid:240) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:158)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:63) (cid:52)(cid:456)(cid:119)(cid:169)𝐸(cid:175)(cid:25) 𝐴𝐶(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:58)
𝐴 𝐶 𝐷𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐶𝐺
(1)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:241)(cid:172)(cid:10)(cid:175)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:361)(cid:256)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐷𝐸𝐹𝐺(cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)2(cid:63)(cid:343) =30°(cid:250)(cid:63)
①(cid:241) (cid:27)(cid:48)(cid:66) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸
②(cid:340)𝐶𝐺 (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52) (cid:63) (cid:27)(cid:79)(cid:268)(cid:52) (cid:63)(cid:166) : =_________(cid:58)
(cid:15)(cid:179)(cid:206)△(cid:20)𝐹(𝐶1)𝐺(cid:207)(cid:45)(cid:177) 𝑆1 △𝐷𝐶𝐺 𝑆2 𝑆1 𝑆2
(2)① 6 2(cid:66)② 3
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)−(cid:71)1(cid:72)(cid:98)(cid:23)2−(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:157)(cid:131) =90°(cid:63) =45°(cid:63)(cid:169) (cid:139) (cid:63) (cid:139) (cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:118)(cid:119)
(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)∠𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)∠𝐴(cid:298)𝐶(cid:172)𝐵(cid:173) 𝐸𝑀⊥𝐶𝐷(AA𝑀S)(cid:63)𝐸𝑁(cid:131)⊥(cid:192)𝐵𝐶 =𝑁 (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)
(cid:172)𝐸(cid:66)𝑀𝐶𝑁 𝐸𝑀 𝐸𝑁 ∠𝑀𝐸𝑁 △𝐷𝐸𝑀≌△𝐹𝐸𝑁 𝐷𝐸 𝐸𝐹
(cid:71)2(cid:72)①(cid:172)(cid:173) (SAS)(cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:169) (cid:139) (cid:63)(cid:166) (cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:279)
= = (cid:63)△(cid:166)𝐴𝐷𝐸≌=△𝐶2𝐷(cid:63)𝐺(cid:98)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)𝐶𝐺(cid:27)(cid:224)𝐴(cid:225)𝐸(cid:157)(cid:131)𝐸𝐻=⊥𝐴𝐷(cid:63)(cid:98)𝐻(cid:275)(cid:276)(cid:42)△(cid:167)𝐴𝐸(cid:157)𝐻(cid:131) = 3 (cid:63)(cid:59)(cid:254)
𝐴𝐻= 𝐸𝐻+ 𝑎 (cid:63)(cid:241)𝐴𝐸(cid:192) = 𝑎3 (cid:63)(cid:208)(cid:157)(cid:131)(cid:45)(cid:66)②(cid:169) 𝐷𝐸 (cid:240)2𝑎 (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139) (cid:63)(cid:169)𝐷𝐻 (cid:139)𝑎 (cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:118)(cid:119)
𝐴(cid:25)𝐷 𝐴𝐻(cid:52)(cid:23)𝐷(cid:24)𝐻(cid:25)(cid:63)(cid:131)(cid:192)𝑎 =−1(cid:63)(cid:241)(cid:192) = 3𝐺(cid:63)𝐾(cid:298)⊥𝐵(cid:98)𝐶(cid:216)(cid:34)𝐵𝐶(cid:25)(cid:79)(cid:268)(cid:7)(cid:229)(cid:282)𝐾(cid:283)(cid:208)(cid:157)𝐺𝐿(cid:131)⊥(cid:45)𝐶𝐷(cid:58) 𝐿
(cid:15)𝐺(cid:218)𝐿(cid:45)𝐶𝐾(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:172)(cid:173)(cid:10) (cid:118)𝐺(cid:119)𝐿 (cid:25)𝐺𝐾 (cid:52)(cid:23)𝐶(cid:24)𝐺(cid:25)(cid:63)4−2
=90°(cid:63) ∵=45°(cid:63)𝐴𝐵𝐶𝐷
∴(cid:116)∠(cid:117)𝐵𝐶(cid:63)𝐷(cid:169) ∠𝐴(cid:139)𝐶𝐵(cid:63) (cid:139) (cid:63)
𝐸𝑀⊥𝐶𝐷 𝑀 𝐸𝑁⊥𝐵𝐶 𝑁(cid:166) = = = =90°(cid:63)
(cid:118)∠(cid:119)𝐵𝐶(cid:25)𝐷 ∠𝐸𝑀(cid:52)𝐶(cid:175)(cid:25)∠(cid:63)𝐷𝑀𝐸 ∠𝐸𝑁𝐶
∴ =𝐸𝑀45𝐶°𝑁(cid:63)
∵∠𝐴𝐶𝐵 (cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝐸=𝐶𝑁 (cid:63)
∴(cid:118)𝐸𝑁(cid:119)(cid:25)𝐶𝑁 (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∴ = 𝐸𝑀(cid:63)𝐶𝑁 =90°(cid:63)
∴𝐸𝑀 𝐸𝑁(cid:63) ∠𝑀𝐸𝑁
∵𝐸𝐹⊥𝐷𝐸= =90°(cid:63)
∴∠𝑀𝐸𝑁 ∠𝐷𝐸𝐹= (cid:63)(cid:208) = (cid:63)
∴∠𝑀𝐸𝑁−∠𝑀𝐸𝐹 (∠A𝐷A𝐸S)𝐹(cid:63)−∠𝑀𝐸𝐹 ∠𝐷𝐸𝑀 ∠𝐹𝐸𝑁
∴△𝐷=𝐸𝑀≌(cid:63)△𝐹𝐸𝑁
∴(cid:175)𝐷𝐸(cid:25) 𝐸𝐹 (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:66)
∴(cid:71)2(cid:72)(cid:45)𝐷𝐸(cid:10)𝐹𝐺①(cid:98)(cid:71)1(cid:72)(cid:157)(cid:131)(cid:175)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= (cid:63) =90°(cid:63) 𝐷𝐸𝐹𝐺
∴(cid:118)𝐷𝐺(cid:119)(cid:25)𝐷𝐸 ∠(cid:80)𝐸𝐷(cid:23)𝐺(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷2(cid:63) =90°(cid:63) =45°(cid:63)
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷 =∠𝐴𝐷𝐶 (cid:63)∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐶−=∠𝐶𝐷𝐸 (cid:63)∠𝐸𝐷𝐺−∠𝐶𝐷𝐸
∴∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶𝐷𝐺 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐷𝐸≌(cid:63)△𝐶𝐷𝐺
∴(cid:116)𝐶(cid:117)𝐺(cid:63)(cid:169)𝐴𝐸 (cid:139) (cid:63)
𝐸𝐻⊥𝐴𝐷 𝐻(cid:166) (cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
△𝐴𝐸𝐻
(cid:279) = = (cid:63)(cid:166) = + = 2 (cid:63)
2 2
𝐴𝐻 =𝐸𝐻30°(cid:63)𝑎 𝐴𝐸 𝐴𝐻 𝐸𝐻 𝑎
∵∠𝐴𝐷=𝐸 = (cid:63)
∴𝐷𝐸 2𝐻𝐸 2𝑎
= = 3 (cid:63)
2 2
∴𝐷𝐻= 𝐷𝐸+ −𝐻𝐸= 3 +𝑎 =2(cid:63)
∵𝐴𝐷= 3𝐴𝐻 (cid:63)𝐷𝐻 𝑎 𝑎
∴𝑎 = −1= 2 = 6 2(cid:66)
∴②𝐶𝐺(cid:116)(cid:117)𝐴(cid:63)𝐸(cid:169) 𝑎 (cid:240)− (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139) (cid:63)(cid:169) (cid:139) (cid:63)
𝐺𝐾⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐾 𝐺𝐿⊥𝐶𝐷 𝐿
(cid:166) = = =90°(cid:63)
(cid:118)∠(cid:119)𝐺𝐿(cid:25)𝐶 ∠𝐺𝐾(cid:52)𝐶(cid:175)(cid:25)∠(cid:63)𝐾𝐶𝐿
∴ 𝐺𝐿𝐶𝐾
(cid:98)①(cid:157)(cid:131) (SAS)(cid:63) = 6 2(cid:63) = = =2( 3 )(cid:63)
=4△5°𝐴(cid:63)𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐺 𝐶𝐺 − 𝐺𝐹 𝐷𝐸 2𝑎 −1
∴∠𝐷𝐶𝐺 = =45°(cid:63)
∴∠𝐺𝐶𝐾 (cid:52)9(cid:134)0°(cid:353)−∠(cid:151)𝐷(cid:34)𝐶𝐺(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝐺=𝐾𝐶 (cid:63)
∴(cid:118)𝐺𝐾(cid:119)(cid:25)𝐶𝐾 (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∴ 𝐺𝐿𝐶𝐾= (cid:63)
∴𝐺𝐿 +𝐺𝐾 = (cid:63)
2 2 2
∵𝐺𝐾 𝐶𝐾 2𝐶𝐺 2
= = = ×( 6 2)= 3 (cid:63)
2 2
∴𝐺𝐾 𝐶𝐾 𝐶𝐺 − −1
= = 3(cid:63)
2 2
∴𝐹𝐾 𝐺𝐹 −𝐺𝐾 3−
= = 3 ( 3 )= 3 3+1= 3(cid:63)
∴𝐶𝐹 𝐹𝐾−𝐶𝐾 3− − −1 3− − 4−2
1 1
= = (cid:63) = = (cid:63)
2 2
∵𝑆1 𝑆△𝐹𝐶𝐺 𝐶𝐹⋅𝐺𝐾 𝑆2 𝑆△𝐷𝐶𝐺 𝐶𝐷⋅𝐺𝐿
: = =( 3):2= 3(cid:58)
∴(cid:15)𝑆(cid:39) 1 𝑆(cid:220) 2 (cid:20)(cid:221)𝐶𝐹(cid:21):𝐶(cid:77)𝐷(cid:222)(cid:211)4(cid:23)−2(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)2−(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:76)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:163)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:134)(cid:256)
(cid:257)(cid:39)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:158)(cid:112)(cid:256)(cid:257)(cid:39)(cid:91)(cid:341)(cid:286)(cid:185)(cid:186)(cid:63)(cid:355)(cid:356)(cid:459)(cid:343)(cid:27)(cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:80)(cid:45)(cid:156)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)9-1(cid:20)(cid:71)2025·(cid:118)(cid:460)(cid:383)(cid:428)·(cid:26)(cid:77)(cid:90)(cid:21)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:68)(cid:79)(cid:151)(cid:34)(cid:461)(cid:462)(cid:244) (cid:26)(cid:63)(cid:361)(cid:256)(cid:39) ( )(cid:63)(cid:39)B(cid:80)x(cid:380)(cid:463)
(cid:33)(cid:380)(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:39)C(cid:80)y(cid:380)(cid:463)(cid:33)(cid:380)(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63) =90°(cid:63)(cid:166) 𝑥𝑂𝑦= (cid:58)𝐴 −3,3
∠𝐵𝐴𝐶 𝑂𝐵−𝑂𝐶
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)6
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:68)(cid:79)(cid:151)(cid:34)(cid:461)(cid:462)(cid:244)(cid:26)(cid:461)(cid:462)(cid:76)(cid:146)(cid:147)(cid:48)(cid:242)(cid:27)(cid:3)(cid:244)(cid:163)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:129)(cid:217)(cid:42)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)
(cid:129)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:158)(cid:112)(cid:256)(cid:257)(cid:39)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:169) (cid:380)(cid:139)(cid:39) (cid:63) (cid:380)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:172)(cid:173) (ASA)(cid:63)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)(cid:464)(cid:69)(cid:146)(cid:147)(cid:208)(cid:157)(cid:241)
(cid:45)𝐴(cid:58)𝐸⊥𝑥 𝐸 𝐴𝐹⊥𝑦 𝐹 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹 𝐵𝐸 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:169) (cid:380)(cid:139)(cid:39) (cid:63) (cid:380)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)
𝐴𝐸⊥𝑥 𝐸 𝐴𝐹⊥𝑦 𝐹 𝐵𝐶( )(cid:63)
∵𝐴 −=3,3 =3(cid:63) =90°(cid:63)
∴(cid:118)𝐴𝐸(cid:119)(cid:25)𝐴𝐹 (cid:52)(cid:23)∠𝐹(cid:24)𝐴(cid:25)𝐸 (cid:63)
∴ = 𝐴𝐸=𝑂𝐹3(cid:63)
∴(cid:140)𝑂𝐸 𝑂𝐹=90°(cid:63)
∵∠𝐵𝐴+𝐶 = + =90°(cid:63)
∴(cid:208)∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐸𝐴𝐶 (cid:63)∠𝐹𝐴𝐶 ∠𝐸𝐴𝐶
(cid:107)∠𝐵𝐴𝐸 (cid:129)∠𝐹𝐴𝐶 (cid:26)(cid:63)
△𝐴𝐵=𝐸 △𝐴𝐶𝐹
= (cid:63)
∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐹𝐶
𝐴𝐸 𝐴𝐹
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐹 (ASA)(cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:63)△𝐴𝐶𝐹
∴𝐵𝐸=𝐶𝐹 (cid:63) = + (cid:63)
∵𝐵𝐸 𝑂𝐵=−𝑂𝐸+𝐶𝐹(cid:63)𝑂𝐶 𝑂𝐹
∴𝑂𝐵−𝑂𝐸= 𝑂𝐶+𝑂𝐹=3+3=6(cid:58)
∴(cid:219)𝑂(cid:179)𝐵−(cid:206)𝑂(cid:52)𝐶(cid:10)6𝑂(cid:58)𝐹 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:228)(cid:229)9-2(cid:20)(cid:71)2025(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:203)(cid:371)·(cid:431)(cid:21)(cid:259)(cid:100)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:361)(cid:256)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) =3(cid:63)(cid:39) (cid:52)(cid:138)(cid:34)(cid:146)
(cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:63)(cid:240) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:158) (cid:163) (cid:52)𝐴𝐵(cid:456)𝐶(cid:119)𝐷(cid:169)(cid:175)(cid:25) 𝐴𝐵(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)𝐸(cid:166)(cid:107)(cid:78)(cid:180)𝐴(cid:245)𝐶
(cid:320)(cid:26)(cid:10)① 𝐷𝐸 𝐸(cid:66)②𝐸𝐹(cid:118)⊥(cid:119)𝐷(cid:25)𝐸 𝐵𝐶(cid:80)(cid:23)(cid:24)𝐹(cid:25)(cid:66)③𝐷𝐸 𝐸𝐹(cid:27)(cid:18)(cid:81)(cid:465)(cid:350)(cid:39)𝐷𝐸(cid:27)𝐹(cid:185)𝐺(cid:38)(cid:55)(cid:243)𝐶(cid:325)𝐺(cid:228)(cid:66)④ +
(cid:27)(cid:41)(cid:80)(cid:42)(cid:41)△(cid:66)𝐴(cid:23)𝐷𝐸(cid:226)≌(cid:27)△(cid:113)𝐶 𝐷 𝐺 (cid:58) 𝐸𝐹𝐺𝐷 ∠𝐴𝐶𝐺 𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)①②④
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:184)(cid:126)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:203)(cid:134)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:129)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:116)(cid:117)(cid:63)
(cid:169) (cid:139)M(cid:63) (cid:139)N(cid:63)(cid:131)(cid:197) =90°(cid:63)(cid:241)(cid:131) = (cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)
(cid:176)𝐸(cid:142)𝑀(cid:23)⊥(cid:24)𝐵(cid:25)𝐶(cid:27)(cid:217)(cid:42)𝐸(cid:42)𝑁(cid:167)⊥(cid:131)𝐶𝐷(cid:197)(cid:175)(cid:25) ∠(cid:80)𝑀(cid:23)𝐸(cid:24)𝑁(cid:25)(cid:63)(cid:219)②(cid:23)(cid:226)𝐸𝑀(cid:66)(cid:176)𝐸(cid:142)𝑁(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197) = (cid:63)𝐸𝐹 𝐷𝐸
𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐷𝐸 𝐷𝐺= =90°(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197) = =45°(cid:63)(cid:131)(cid:197) =90°(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:219)③
∠(cid:406)𝐸(cid:407)𝐷𝐺(cid:66)(cid:176)∠(cid:142)𝐴(cid:23)𝐷𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197) = (cid:63) = (cid:63)∠(cid:176)𝐷𝐴(cid:142)𝐸(cid:203)(cid:134)∠𝐷(cid:216)𝐶(cid:34)𝐺(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:131)(cid:197)∠𝐴𝐶=𝐺 (cid:63)(cid:241)(cid:131)
+ = + = = 𝐷2𝐸 =𝐷3𝐺 2𝐴(cid:80)𝐷(cid:42)(cid:41)𝐷(cid:63)𝐶(cid:219)④(cid:23)(cid:226)(cid:58) 𝐴𝐸 𝐶𝐺
𝐶(cid:15)𝐸(cid:218)(cid:45)𝐶(cid:20)𝐺 (cid:45)𝐶(cid:10)𝐸(cid:116)(cid:117)𝐴𝐸(cid:63)(cid:169)𝐴𝐶 𝐴(cid:139)𝐵M(cid:63) (cid:139)N(cid:63)
𝐸𝑀⊥𝐵𝐶 𝐸𝑁⊥𝐶𝐷
= =90°
∴(cid:118)∠𝐸(cid:119)𝑀(cid:25)𝐶 ∠𝐸𝑁(cid:80)𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷(cid:63) =
∴∠𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)𝐴𝐷 𝐶𝐷
∴(cid:39)∠𝑀E𝐸(cid:80)𝑁(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:138)(cid:34)(cid:146)(cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)
∵ = (cid:63) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐸𝑀 𝐸=𝑁90°(cid:63)
∵∠𝐷𝐸𝐹 + = + =90°
∴∠𝐷𝐸𝑁=∠𝑁𝐸𝐹(cid:63)∠𝑀𝐸𝐹 ∠𝑁𝐸𝐹
∴∠𝐷𝐸𝑁=∠𝑀𝐸𝐹=90°(cid:63)
∵(cid:107)∠𝐷𝑁𝐸 (cid:129)∠𝐹𝑀𝐸 (cid:26)(cid:63)
△𝐷𝐸=𝑁 △𝐹𝐸𝑀
= (cid:63)
∠𝐷𝑁𝐸=∠𝐹𝑀𝐸
𝐸𝑁 𝐸𝑀
∠𝐷𝐸𝑁 ∠𝐹𝐸𝑀 (ASA)(cid:63)
∴△𝐷=𝐸𝑁≌(cid:63)△𝐹𝐸𝑀
∴(cid:118)𝐸𝐹(cid:119)(cid:25)𝐷𝐸 (cid:80)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
∵(cid:175)(cid:25) 𝐷𝐸𝐹(cid:80)𝐺(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:219)②(cid:23)(cid:226)(cid:66)
∴ =𝐷𝐸𝐹𝐺(cid:63) = =90°(cid:63)
∴𝐷𝐸 𝐷+𝐺 ∠𝐸𝐷=𝐺 ∠𝐴𝐷+𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐸𝐷𝐶(cid:63)∠𝐶𝐷𝐺 ∠𝐸𝐷𝐶,
∴∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶𝐷𝐺= (cid:63)
∵𝐴𝐷 𝐶𝐷 (SAS)(cid:63)(cid:219)①(cid:23)(cid:226)(cid:66)
∴△(cid:80)𝐴𝐷(cid:23)𝐸≌(cid:24)△(cid:25)𝐶𝐷𝐺 (cid:138)(cid:34)(cid:146)(cid:63)
∵𝐴𝐶 = 𝐴𝐵𝐶=𝐷45°(cid:63) =45°(cid:63)
∴∠𝐷𝐶𝐺=9∠0𝐷°𝐴(cid:80)𝐸(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:219)∠③𝐴𝐶(cid:406)𝐷(cid:407)(cid:66)
∴∠𝐴𝐶𝐺 (cid:63)
∵△𝐴=𝐷𝐸≌(cid:63)△𝐶𝐷𝐺
∴𝐴𝐸+ 𝐶𝐺= + = = 2 =3 2(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:58)(cid:219)④(cid:23)(cid:226)(cid:66)
∴(cid:219)𝐶(cid:179)𝐸(cid:206)𝐶(cid:52)𝐺(cid:10)①𝐶𝐸②④𝐴𝐸(cid:58) 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:228)(cid:229)9-3(cid:20)(cid:71)24-25(cid:442)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:118)(cid:460)(cid:93)(cid:366)·(cid:237)(cid:26)(cid:72)(cid:361)(cid:256) (cid:63) (cid:174)(cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
= △𝐴𝐵𝐶=90△°𝐴𝐷𝐸
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(1)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:241)(cid:172)(cid:10) = (cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:117)1𝐵(cid:27)𝐸(cid:223)(cid:466)𝐶(cid:112)𝐷(cid:329)(cid:48) (cid:129) (cid:94)(cid:240)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:148) =2(cid:63) =7(cid:63)(cid:241) (cid:27)
(cid:48)(cid:66) 𝐵𝐸 𝐷𝐶 𝐺 𝐴 𝐴𝐹⊥𝐵𝐺 𝐹 𝐶𝐺 𝐵𝐺 𝐵𝐹
(3)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:112)(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:240) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)
(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:241)𝐷 (cid:172)𝐸(cid:10) +𝐴𝐶,𝐴=𝐵 (cid:58) 𝐶𝐸 𝐷 𝐷𝐻⊥𝐶𝐸 𝐻 𝐴 𝐴𝐺∥𝐵𝐶 𝐻𝐷
𝐺(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)𝐶(𝐺1)(cid:207)(cid:45)(cid:177) 𝐶𝐺 𝐷𝐺 𝐶𝐸
(2) =2.5
(3)(cid:207)𝐵𝐹(cid:45)(cid:177)
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:71)1(cid:72)(cid:172)(cid:173) (SAS)(cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:66)
(cid:71)2(cid:72)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:169) △𝐴𝐵𝐸(cid:139)≌(cid:39)△𝐴N𝐶(cid:63)𝐷(cid:98)(cid:71)1(cid:72)(cid:256)(cid:63)𝐵𝐸 𝐶𝐷 (cid:63)(cid:172)(cid:173) (AAS)(cid:63)(cid:131)
= (cid:63)𝐴𝐺 = 𝐴𝑁(cid:63)⊥𝐷𝐺 = (cid:63)(cid:172)(cid:192) =△𝐵𝐴(cid:63)𝐸≌(cid:172)△(cid:173)𝐶(cid:118)𝐴(cid:119)𝐷(cid:25) △(cid:52)𝐴(cid:23)𝐸𝐹(cid:24)≌(cid:25)△(cid:63)𝐴(cid:131)𝐷𝑁 = (cid:63)(cid:83)(cid:167)
𝐴𝐹 𝐴𝑁 𝐸𝐹 (𝐷A𝑁AS)(cid:63)∠𝐸(cid:131)𝐴𝐹 =∠𝑁𝐴(cid:63)𝐶 (cid:279) =𝐹𝐺(cid:63)(cid:166)𝐺𝑁 = (cid:63)(cid:180)(cid:24)(cid:178)𝐴𝐹(cid:166)𝐺(cid:157)𝑁(cid:131)(cid:192)(cid:179)(cid:206)(cid:66) 𝐹𝐺 𝐺𝑁
(cid:71)△3𝐴(cid:72)𝐵(cid:107)𝐹≌△(cid:112)𝐴(cid:339)𝐶𝑁(cid:39)M(cid:63)(cid:130)(cid:131)𝐵𝐹 =𝐶𝑁(cid:63)(cid:263)𝐵(cid:264)𝐹 𝑥(cid:63)(cid:172)(cid:173)𝐶𝑁 𝑥 (SAS)(cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)
𝐶𝐸 𝐸𝑀 𝐷𝐺 𝐴𝑀 △𝐴𝐷𝐺≌△𝐴𝐸𝑀 𝐴𝐺 𝐴𝑀= (cid:63)(cid:172)(cid:173) (SAS)(cid:63)(cid:131)(cid:192) = (cid:63)(cid:166)(cid:157)(cid:131)(cid:192)(cid:59)(cid:60)(cid:58)
∠(cid:15)𝐺(cid:218)𝐴𝐷(cid:45)(cid:20)∠(cid:71)𝑀1𝐴(cid:72)𝐸(cid:172)(cid:173)(cid:10) △𝐴𝐶𝐺≌=△𝐴𝐶𝑀=90°(cid:63) 𝐶𝐺 𝐶𝑀
= (cid:63) ∵∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
∴∠𝐵𝐴𝐸 (cid:63)∠𝐶𝐴𝐷 (cid:174)(cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)
∵△𝐴=𝐵𝐶 (cid:63)△𝐴𝐷=𝐸
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐸 (𝐴S𝐷AS)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:66)△𝐴𝐶𝐷
∴(cid:71)𝐵2𝐸(cid:72)(cid:45)𝐶(cid:10)𝐷(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:169) (cid:139)(cid:39)N(cid:63)
𝐴𝐺 𝐴𝑁⊥𝐷𝐺
(cid:98)(cid:71)1(cid:72)(cid:256)(cid:63) (cid:63)
= △𝐵(cid:63)𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐸=𝐵 ∠(cid:63)𝐴𝐷𝐶 = =90°(cid:63)
∵𝐴𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐹𝐸(AA∠S)𝐴(cid:63)𝑁𝐷
∴△𝐴=𝐸𝐹≌(cid:63)△𝐴𝐷=𝑁 (cid:63) = (cid:63)
∴𝐴𝐹 𝐴=𝑁 𝐸𝐹 =𝐷9𝑁0°(cid:63)∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝑁𝐴𝐶
∴(cid:118)∠𝐹(cid:119)𝐴𝑁(cid:25) ∠𝐷𝐴(cid:52)𝐸(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∴ = 𝐴𝐹(cid:63)𝐺𝑁
∴(cid:83)𝐹(cid:167)𝐺 𝐺𝑁 (AAS)(cid:63)
=△𝐴𝐵(cid:63)𝐹≌△𝐴𝐶𝑁
∴(cid:279)𝐵𝐹 =𝐶𝑁(cid:63)(cid:166) = (cid:63)
𝐵𝐹= 𝑥 = 𝐶𝑁+ 𝑥 =2+ (cid:63)
∴𝐹𝐺+2+𝐺𝑁 =𝐶7𝐺(cid:63) 𝐶𝑁 𝑥
∴𝑥=2.5(cid:63)𝑥
∴𝑥 =2.5(cid:66)
∴(cid:71)𝐵3𝐹(cid:72)(cid:172)(cid:173)(cid:10)(cid:107) (cid:112)(cid:339)(cid:39)M(cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
𝐶𝐸 𝐸𝑀 𝐷𝐺 𝐴𝑀(cid:63)
∵𝐷𝐻⊥𝐶=𝐸90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐻𝐸=90°(cid:63)
∵∠𝐵𝐴𝐶 + =180°(cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐻+∠𝐴𝐸𝐻=180°(cid:63)
∵∠𝐴𝐷𝐻=∠𝐴𝐷𝐺(cid:63)
∴(cid:107)∠𝐴𝐷𝐺 (cid:76)∠𝐴𝐸𝑀 (cid:26)(cid:63)
△𝐴𝐷=𝐺 △𝐴𝐸𝑀
= (cid:63)
𝐴𝐷= 𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝐺 ∠𝐴𝐸𝑀
𝐷𝐺 𝐸𝑀 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐷𝐺≌(cid:63)△𝐴𝐸𝑀 = (cid:63)
∴𝐴𝐺 𝐴𝑀(cid:63) ∠𝐺𝐴𝐷 ∠𝑀𝐴𝐸
∵𝐴𝐺∥𝐵𝐶= =45°(cid:63)
∴∠𝐺𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐵 (cid:63)
∴(cid:107)∠𝐺𝐴𝐷 (cid:76)∠𝐷𝐴𝑀 (cid:26)(cid:63)
△𝐴𝐶=𝐺 △𝐴𝐶𝑀
= (cid:63)
𝐴𝐺 =𝐴𝑀
∠𝐶𝐴𝐺 ∠𝐶𝐴𝑀
𝐴𝐶 𝐴𝐶 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐶𝐺≌(cid:63)△𝐴𝐶𝑀
∴𝐶𝐺+ 𝐶𝑀= + = (cid:58)
∴(cid:15)𝐶(cid:39)𝐺(cid:220)𝐷(cid:20)𝐺(cid:221)(cid:21)𝐶(cid:399)𝑀(cid:139)(cid:118)𝐸𝑀(cid:119)(cid:25)(cid:308)𝐶𝐸(cid:254)(cid:21)(cid:63)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:134)
(cid:256)(cid:257)(cid:63)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:80)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:158)(cid:112)(cid:256)(cid:257)(cid:58)
【题型10 正方形中的路径长】
(cid:15)(cid:73)10(cid:20)(cid:71)24-25(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:78)·(cid:467)(cid:16)(cid:468)(cid:444)·(cid:237)(cid:372)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63)E(cid:52)(cid:119) (cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:168)(cid:39)E(cid:169)
(cid:63)(cid:62) = (cid:63)(cid:107)(cid:39)E(cid:188)(cid:39)B(cid:185)(cid:38)(cid:197)(cid:39)C(cid:27)(cid:168)(cid:178)(cid:26)𝐴(cid:63)𝐵𝐶(cid:39)𝐷F(cid:185)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:52)(cid:71)𝐵 𝐶 (cid:72)
𝐸𝐹⊥𝐴𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐸3 2
A(cid:58) B(cid:58)3 2 C(cid:58)6 D(cid:58)6 2
2
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)B
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:240) (cid:27)(cid:329)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:172)(cid:173) (AAS)(cid:63)(cid:166)
= =𝐹 𝐹(cid:63)𝐻(cid:172)⊥𝐵(cid:173)𝐶 𝐵𝐶 (cid:80)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)𝐻(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:131)𝐶𝐹(cid:197) △=𝐴4𝐵5𝐸°(cid:63)≌△(cid:208)(cid:39)𝐸𝐻𝐹(cid:107) (cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:146)(cid:112)(cid:185)(cid:38)(cid:63)
𝐴(cid:158)𝐵 (cid:52)𝐸𝐻(cid:119),𝐵(cid:63)𝐸(cid:107) 𝐹𝐻(cid:415)(cid:416)(cid:169)(cid:23)△(cid:24)𝐶(cid:25)𝐸𝐻 (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:166) =∠9𝐹0°𝐶(cid:63)𝐻(cid:107)(cid:39)E(cid:188)(cid:39)B𝐹(cid:185)(cid:38)∠𝐷(cid:197)𝐶(cid:39)𝐻 C(cid:27)(cid:168)(cid:178)(cid:26)(cid:63)(cid:39)F
(cid:185)𝐷(cid:38)𝐶(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:52)(cid:23)𝐷𝐶(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:138)𝐷(cid:34)𝐶(cid:146)𝑀𝐺 ,(cid:241)(cid:192)𝐶𝐺(cid:27)(cid:48)(cid:208)∠𝑀(cid:157)(cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:63)𝐷(cid:168)𝐶(cid:39)𝑀𝐺(cid:169) 𝐶(cid:240)𝐺 (cid:27)𝐶(cid:329)𝐺(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
𝐹 𝐹𝐻⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐻 𝐶𝐹
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°= (cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶+ =∠𝐵9𝐶0𝐷°
∴∠𝐴𝐸𝐵 (cid:63)∠𝐵𝐴𝐸 (cid:63)
∵𝐸𝐹⊥𝐴+𝐸 𝐹𝐻⊥=𝐵9𝐻0°(cid:63)
∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐻(cid:63)
∴∠𝐵𝐴=𝐸 (cid:63)∠𝐹𝐸𝐻
∵𝐸𝐹 𝐴𝐸 (AAS)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌△𝐸=𝐻𝐹 (cid:63)
∴𝐴𝐵=𝐸𝐻,=𝐵𝐸 (cid:63)𝐹𝐻 + = + = (cid:63)
∵𝐴𝐵= 𝐵𝐶 =𝐸𝐻(cid:63)𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐶,𝐶𝐻 𝐸𝐶 𝐸𝐻
∴𝐵𝐸 𝐶𝐻(cid:80)(cid:134)𝐹(cid:353)𝐻(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝐶𝐸𝐻=45°(cid:63)
∴∠𝐹𝐶𝐻(cid:68)(cid:69) (cid:63)
∴(cid:208)𝐶(cid:39)𝐹 (cid:107)∠𝐷𝐶𝐻(cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:146)(cid:112)(cid:185)(cid:38)(cid:63)
(cid:158) 𝐹(cid:52)(cid:119)∠𝐷(cid:63)𝐶(cid:107)𝐻 (cid:415)(cid:416)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:166) =90°
(cid:107)𝐷(cid:39)𝐶E(cid:188)(cid:39)B(cid:185)𝐷𝐶(cid:38)(cid:197)(cid:39)C(cid:27)(cid:168)(cid:178)𝐷𝐶(cid:26)𝑀(cid:63)𝐺(cid:39)F(cid:185)𝐶(cid:38)𝐺(cid:27)(cid:46)(cid:47)∠𝑀(cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:138)(cid:34)(cid:146) ,
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63) 𝐷𝐶𝑀𝐺 𝐶𝐺
∵ = 𝐴𝐵𝐶=𝐷 =3
∴𝐶𝑀 𝐶𝐷 𝐺𝑀
= + =3 2
2 2
∴(cid:208)𝐶(cid:39)𝐺 F(cid:185)𝐶(cid:38)𝑀(cid:27)(cid:46)𝑀(cid:47)𝐺(cid:48)(cid:52)3 2(cid:63)
(cid:219)(cid:189)(cid:10)B
(cid:15)(cid:39)(cid:220)(cid:20)(cid:156)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:163)(cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:134)(cid:256)
(cid:257)(cid:63)(cid:172)(cid:173)(cid:39) (cid:107) (cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:146)(cid:112)(cid:185)(cid:38)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:15)(cid:228)(cid:229)10-1𝐹(cid:20)(cid:71)∠2𝐷0𝐶2𝐻5·(cid:400)(cid:16)(cid:469)(cid:303)·(cid:64)(cid:31)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =1(cid:63) (cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:27)(cid:49)(cid:120)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:98)(cid:39) (cid:362)
(cid:470)(cid:185)(cid:38)(cid:63)(cid:185)(cid:38)(cid:197) (cid:471)(cid:472)(cid:58)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:158) (cid:52)(cid:151)(cid:34)(cid:119)(cid:334)(cid:415)(cid:416)𝐴(cid:169)𝐵𝐶(cid:134)𝐷(cid:353)(cid:151)(cid:34)𝐴𝐵(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)𝑃(cid:432)(cid:49)𝐵(cid:120)𝐶(cid:53)(cid:39)(cid:52) (cid:58)(cid:166)(cid:39) (cid:188) (cid:185)𝐵
(cid:38)(cid:197) (cid:27)(cid:168)(cid:178)(cid:26)(cid:63)𝐶(cid:39) (cid:27)(cid:185)(cid:38)(cid:46)𝐴𝑃(cid:47)(cid:48)(cid:52)𝐴 𝑃 (cid:58) 𝑄 𝑃 𝐵
𝐶 𝑄
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20) 2
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:163)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:58)(cid:116)(cid:117)(cid:63)
(cid:329)(cid:48) (cid:197)M(cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:166)(cid:39)Q(cid:185)(cid:38)(cid:473)(cid:474)(cid:80)(cid:146)(cid:147) (cid:63)(cid:172)(cid:173) (cid:63)(cid:295)(cid:186)(cid:39)Q(cid:27)
(cid:185)(cid:38)(cid:473)𝐴𝐷(cid:474)(cid:80)(cid:146)(cid:147) 𝐷(cid:63)𝑀(cid:59)(cid:254)𝐴(cid:275)𝐷(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)𝐶𝑀(cid:208)(cid:157)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:58) 𝐶𝑀 △𝐴𝐵𝑃≌△𝑃𝑁𝑄
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:116)𝐶(cid:117)𝑀(cid:63)(cid:329)(cid:48) (cid:197)M(cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:166)(cid:39)Q(cid:185)(cid:38)(cid:473)(cid:474)(cid:80)(cid:146)(cid:147) (cid:63)
𝐴𝐷 𝐷𝑀 𝐴𝐷 𝐶𝑀 𝐶𝑀
(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =1(cid:63)
∵ = 𝐴=𝐵𝐶𝐷 =𝐴𝐵 = = =1(cid:63)
∴∠𝐵 ∠𝐷 90°,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷(cid:169) (cid:139)N(cid:63)
𝑄𝑁=⊥𝐵𝐶(cid:63) =90°(cid:63)
∵𝑃𝐴 𝑃+𝑄 ∠𝐴𝑃=𝑄 90°(cid:63) + =90°(cid:63)
∴∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑄𝑃𝑁(cid:63) ∠𝑄𝑃𝑁 ∠𝑃𝑄𝑁
∴(cid:107)∠𝐴𝑃𝐵 (cid:129)∠𝑃𝑄𝑁 (cid:26)(cid:63)
△=𝐴𝐵𝑃 △=𝑃
9
𝑁
0
𝑄°
= (cid:63)
∠𝐵 ∠𝑃=𝑁𝑄
∠𝐴𝑃𝐵 ∠𝑃𝑄𝑁
𝐴𝑃 𝑃𝑄 (AAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝑃≌△=𝑃𝑁𝑄=1(cid:63) = (cid:63)
∴𝐴𝐵 =𝑃𝑁 𝐵=𝐶 = 𝑃𝐵(cid:63) 𝑁𝑄
∴𝐶𝑁 1=−𝑃45𝐶°(cid:63)𝑃𝐵 𝑄𝑁
∴(cid:39)∠𝑄Q𝐶𝑁(cid:107)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:63)
∴(cid:62)(cid:39)Q(cid:27)(cid:185)(cid:38)𝐶(cid:473)𝑀(cid:474)(cid:80)(cid:146)(cid:147) (cid:63) =90°(cid:63) = =1(cid:63)
𝐶𝑀 ∠𝐶𝐷𝑀 𝐷𝑀 𝐴𝐷
= + = 2(cid:58)
2 2
∵(cid:219)𝐶(cid:179)𝑀(cid:206)(cid:52)(cid:10)𝐶𝐷 2(cid:58)𝐷𝑀
(cid:15)(cid:228)(cid:229)10-2(cid:20)(cid:175)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =4(cid:63) =8(cid:63)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:80)(cid:119) (cid:163) (cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:62) = (cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)
(cid:158) (cid:52)(cid:119)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:24)𝐴(cid:25)𝐵𝐶𝐷 (cid:58)𝐴(cid:343)𝐵(cid:39)F(cid:188)𝐵C𝐶(cid:185)(cid:38)(cid:197)B(cid:39)(cid:27)(cid:168)(cid:178)(cid:26)(cid:63)𝐴𝐷H(cid:185)𝐵(cid:38)𝐶(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:52) 𝐶 𝐹 2 𝐴 𝐸 (cid:58)𝐸𝐹
𝐸𝐹 𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)4 10
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:175)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:461)(cid:462)(cid:76)(cid:117)(cid:25)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:217)(cid:42)(cid:129)(cid:224)(cid:225)(cid:63)(cid:49)(cid:429)(cid:199)
(cid:86)(cid:27)(cid:95)(cid:186)(cid:63)(cid:459)(cid:343)(cid:128)(cid:246)(cid:151)(cid:34)(cid:461)(cid:462)(cid:244)(cid:63)(cid:295)(cid:186)(cid:86)(cid:25)(cid:59)(cid:254)(cid:27)(cid:70)(cid:187)(cid:45)(cid:302)(cid:35)(cid:21)(cid:80)(cid:3)(cid:227)(cid:58)
(cid:158)B(cid:52)(cid:475)(cid:39)(cid:63) (cid:163) (cid:280)(cid:107)(cid:27)(cid:151)(cid:146)(cid:69)(cid:144)(cid:52) (cid:380)(cid:163) (cid:380)(cid:128)(cid:246)(cid:461)(cid:462)(cid:244)(cid:63)(cid:279) = (cid:63)(cid:166) = (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169)
(cid:139)M(cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169)𝐵𝐶 𝐴𝐵 (cid:139)N(cid:63)(cid:176)(cid:142)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝑥(cid:27)(cid:224)𝑦(cid:225)(cid:63)(cid:171)(cid:172) 𝐴𝐸 𝑚(AAS)𝐶(cid:63)𝐹(cid:131)(cid:192)2𝑚(4+ 𝐻 𝐻𝑀⊥)(cid:63)𝐴𝐷
(cid:208)H(cid:27)(cid:185)(cid:38)𝐹(cid:473)(cid:474)𝐹(cid:52)𝑁(cid:151)⊥𝐴(cid:146)𝐷(cid:63)(cid:298)(cid:98)0 4(cid:131)(cid:197)(cid:124)(cid:120)(cid:51)(cid:39)(cid:461)△(cid:462)𝐸(cid:63)𝐻(cid:176)𝑀(cid:142)≌(cid:461)△(cid:462)𝐹𝐸(cid:124)𝑁(cid:39)(cid:27)(cid:452)(cid:453)(cid:7)(cid:229)𝐻(cid:241)(cid:45)(cid:208)𝑚(cid:157),1(cid:58)2−3𝑚
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:158)B(cid:52)(cid:475)(cid:39)≤(cid:63)𝑚≤(cid:163) (cid:280)(cid:107)(cid:27)(cid:151)(cid:146)(cid:69)(cid:144)(cid:52) (cid:380)(cid:163) (cid:380)(cid:128)(cid:246)(cid:461)(cid:462)(cid:244)(cid:63)
(cid:166) (0,4)(cid:63) (0,0)(cid:63) (8,0)(cid:63) 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑥 𝑦
𝐴 𝐵 𝐶(cid:279) = (cid:63)(cid:166) = (cid:63)
(cid:168)𝐴(cid:39)𝐸 (cid:169)𝑚 𝐶𝐹(cid:139)2M𝑚(cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:139)N(cid:63)
(cid:166) 𝐻 𝐻=𝑀⊥𝐴𝐷 =90°(cid:63)(cid:118)(cid:119)𝐹(cid:25)𝐹𝑁⊥𝐴(cid:80)𝐷(cid:175)(cid:25)(cid:63)
∠𝐸=𝑀𝐻 =∠4𝐹(cid:63)𝑁𝐸 = = (cid:63)𝐶𝐷𝑁𝐹
∴(cid:118)𝐹𝑁(cid:119)(cid:25)𝐶𝐷 (cid:80)(cid:23)𝐷𝑁(cid:24)(cid:25)𝐶(cid:63)𝐹 2𝑚
∵ = 𝐸𝐹(cid:63)𝐺𝐻 =90°(cid:63)
∴𝐸𝐻 𝐹+𝐸 ∠𝐻𝐸𝐹=90°(cid:63)
∴∠𝐻𝐸𝑀+ ∠𝐹𝐸𝑁 =90°(cid:63)
∵∠𝐻𝐸𝑁 =∠𝐸𝐻𝑀(cid:63)
∴∠𝐸𝐻𝑀 ∠𝐹𝐸𝑁 (AAS)(cid:63)
∴△𝐸=𝐻𝑀≌=△4𝐹(cid:63)𝐸𝑁 = = (cid:63)
∴𝐸𝑀(4+𝐹𝑁 𝐻)(cid:63)𝑀(cid:208)𝐸𝑁 8−=3𝑚(4+ )+24(cid:63)
∴𝐻 = 𝑚,1+2−234𝑚(cid:63) 12−3𝑚 −3 𝑚
∴H𝑦(cid:27)(cid:185)−(cid:38)3𝑥(cid:473)(cid:474)(cid:52)(cid:151)(cid:146) = +24(cid:63)
∴0 4(cid:63) 𝑦 −3𝑥
∵(cid:343)≤𝑚=≤0(cid:250)(cid:63) (4,12)(cid:63)(cid:343) =4(cid:250)(cid:63) (8,0)(cid:63)
∴ 𝑚 𝐻 𝑚 𝐻
H(cid:185)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:52) ( ) +( ) =4 10(cid:63)
2 2
∴(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10)4 10 4−8 12−0
(cid:15)(cid:228)(cid:229)10-3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:52) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:240) (cid:119)(cid:139)(cid:39) (cid:58)(cid:39) (cid:188)(cid:39) (cid:192)(cid:102)(cid:63)
(cid:385) (cid:24)(cid:334)(cid:476)(cid:38)(cid:63)(cid:148)(cid:476)(cid:38)(cid:27)(cid:46)𝐴(cid:47)𝐵(cid:48)𝐶𝐷(cid:52)6(cid:63)𝑃(cid:166)𝐵𝐷(cid:27)(cid:26)(cid:39) (cid:476)(cid:38)(cid:27)(cid:46)𝑃(cid:47)𝑃(cid:48)𝑄(cid:52)⊥ 𝐴 𝑃 (cid:58)𝐶𝐷 𝑄 𝑃 𝐵
𝐵𝐷 𝐴𝑄 𝑀(cid:15)(cid:179)(cid:206)(cid:20)3 2
(cid:15)(cid:69)(cid:177)(cid:20)(cid:221)(cid:21)(cid:77)(cid:222)(cid:211)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:134)(cid:353)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:203)(cid:134)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:27)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:216)(cid:34)(cid:25)
(cid:26)(cid:326)(cid:146)(cid:42)(cid:167)(cid:158)(cid:299)(cid:275)(cid:276)(cid:42)(cid:167)(cid:63)(cid:308)(cid:254)(cid:260)(cid:261)(cid:158)(cid:112)(cid:224)(cid:225)(cid:129)(cid:217)(cid:42)(cid:63)(cid:91)(cid:477)(cid:258)(cid:259)(cid:185)(cid:186)(cid:80)(cid:45)(cid:21)(cid:3)(cid:227)(cid:58)(cid:176)(cid:142)(cid:21)(cid:164)(cid:63)(cid:181)(cid:192)(cid:185)(cid:38)(cid:328)
(cid:27)M(cid:39)(cid:326)(cid:327)(cid:63)(cid:298)(cid:176)(cid:142)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:326)(cid:146)(cid:42)(cid:167)(cid:208)(cid:157)(cid:241)(cid:131)(cid:58)
(cid:15)(cid:218)(cid:45)(cid:20)(cid:45)(cid:10)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:240) (cid:139)(cid:39)O(cid:63)(cid:263)(cid:264) (cid:63)(cid:168)P(cid:39)(cid:169) (cid:150)(cid:165)(cid:69)(cid:144)(cid:52)E(cid:163)F(cid:63)(cid:329)(cid:48)FP(cid:63)(cid:240)
(cid:139)G(cid:63) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐸⊥𝐴𝐷,𝑃𝐹⊥𝐶𝐷
𝐴(cid:23)𝐵(cid:24)(cid:25) (cid:63)
∵ 𝐴=𝐵𝐶𝐷 = =45° (cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐶 =90°,∠𝐸=𝐷𝐵90° ∠(cid:63)𝐶𝐷𝐵
∵∠𝑃𝐸𝐷=∠𝑃𝐹𝐷 =45°
∴∠𝐸𝑃=𝐷 ∠(cid:63)𝐸𝐷𝑃
(cid:166)∴(cid:118)𝑃𝐸(cid:119)(cid:25)𝐷𝐸 (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= 𝑃𝐸𝐷𝐹 =90° (cid:63)
∴𝑃𝐸 𝑃=𝐹,∠𝐸𝑃𝐹+ =90° (cid:63) = + =90° (cid:63)
∵∠𝐴𝑃𝑄= ∠𝐴𝑃𝐸(cid:63) ∠𝐸𝑃𝑄 ∠𝐸𝑃𝐹 ∠𝐹𝑃𝑄 ∠𝐸𝑃𝑄
(cid:107)∴∠𝐴𝑃𝐸 (cid:129)∠𝑄𝑃𝐹 (cid:26)
△𝑃𝐴𝐸 =△𝑃𝑄𝐹
= =90° (cid:63)
∠𝐴𝑃𝐸 =∠𝑄𝑃𝐹
∠𝑃𝐸𝐴 ∠𝑃𝐹𝑄
𝑃𝐸 𝑃𝐹 (cid:63)
∴△𝑃𝐴=𝐸≌△ (cid:66)𝑃𝑄𝐹
∴(cid:23)𝑃(cid:24)𝐴 (cid:25)𝑃𝑄 (cid:63)
∵ 𝐴=𝐵𝐶𝐷= = = = =45°
∴∠𝐴𝐵𝐶 (cid:63)∠𝐶 90°,∠𝐸𝐷𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷
∴𝐺𝐹∥𝐵𝐶=90° (cid:63)
∴∠𝐵𝐺𝑃 (cid:52)(cid:134)(cid:353)(cid:151)(cid:34)(cid:216)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△𝐵𝐺=𝑃6(cid:63)
∵𝐵𝑃 =3 2(cid:63)
∴𝐵𝐺= =3 2(cid:63)
∴(cid:23)𝐶(cid:24)𝐹 (cid:25)𝐵𝐺 (cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷= = = = (cid:63) O(cid:80) (cid:26)(cid:39)(cid:63)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝑃 (cid:63)∠𝐶𝐵𝑃 45°,𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐶
∴△𝐴𝐵=𝑃≌△=𝐶𝐵𝑃 (cid:63)
(cid:107)∴(cid:134)𝑃𝐴(cid:353)(cid:216)𝑃(cid:34)𝐶(cid:25)𝑃𝑄 (cid:26)(cid:63)
(cid:63)𝑃𝐶𝑄
∵𝑃𝐹⊥=𝐶𝑄 =3 2 (cid:63)
∴O𝐶(cid:80)𝐹 𝐹(cid:26)𝑄(cid:39)(cid:63)M(cid:80) (cid:26)(cid:39)(cid:63)
∵ 𝐴𝐶1 𝐴𝑄
= = =3 2 (cid:58)
2
∴𝑂𝑀 𝐶𝑄 𝐶𝐹
(cid:219)(cid:179)(cid:206)(cid:52)(cid:10)3 2(cid:58)