文档文本内容
专题 03 五大双角平分线夹角模型（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:32)(cid:26)(cid:32)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:19)..................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 8 (cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:19)..............................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:19)..............................................................................................................20
(cid:20)(cid:21)1(cid:10)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:36)(cid:37)(cid:10)BP(cid:27)(cid:28) (cid:38)CP(cid:27)(cid:28) ．
(cid:39)(cid:40)(cid:10) =90
∠
°
𝐴
+
𝐵1𝐶
．
∠𝐴𝐶𝐵
2
(cid:20)(cid:21)2(cid:10) ∠𝑃 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:31) ∠ (cid:23) 𝐴 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)
(cid:36)(cid:37)(cid:10)BP(cid:27)(cid:28) (cid:38)CP(cid:27)(cid:28) ．
(cid:39)(cid:40)(cid:10) =90
∠
°
𝐷1𝐵𝐶
．
∠𝐸𝐶𝐵
2
(cid:20)(cid:21)3(cid:10) ∠𝑃 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:32) − (cid:26) ∠ (cid:32) 𝐴 (cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)(cid:36)(cid:37)(cid:10)BP(cid:27)(cid:28) (cid:38)CP(cid:27)(cid:28) ．
(cid:39)(cid:40)(cid:10) = 1 ∠𝐴 ． 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷
2
(cid:20)(cid:21)4(cid:10) ∠𝑃8(cid:33)(cid:24) ∠ (cid:25) 𝐴 (cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)
(cid:36)(cid:37)(cid:10)AP(cid:27)(cid:28) (cid:38)CP(cid:27)(cid:28) ．
(cid:39)(cid:40)(cid:10) = 1 ( ∠𝐵𝐴 + 𝐷 ． ∠𝐵𝐶𝐷
2 科AA+
(cid:20)(cid:21)5(cid:10) ∠𝑃 (cid:34)(cid:35) ∠ (cid:24) 𝐵 (cid:25) ∠ (cid:23) 𝐷 (cid:27) ) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:20)(cid:21)1 号 ★ 全
众
公
注
关
，
① 源
资
辅
教
(cid:36)(cid:37)(cid:10)BP(cid:27)(cid:28) (cid:38)CP(cid:27)(cid:28) ．
(cid:39)(cid:40)(cid:10) = 1 ( ∠𝐴𝐵 + 𝐷 ． ∠𝐴𝐶𝐷
2
(cid:34)(cid:35) ∠ (cid:24) 𝑃 (cid:25)(cid:23)(cid:27) ∠𝐴 (cid:28)(cid:29) ∠ (cid:30) 𝐷 (cid:23) ) (cid:20)(cid:21)2
②
(cid:36)(cid:37)(cid:10)AP(cid:27)(cid:28) (cid:38)DP(cid:27)(cid:28) > ．
(cid:39)(cid:40)(cid:10) = 1 ( ∠𝐵𝐴𝐶 ． ∠𝐵𝐷𝐶(∠𝐶 ∠𝐵)
2
∠𝑃 ∠𝐶−∠𝐵)【模型1 三角形双内角平分线夹角模型】
(cid:15)(cid:41)1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:44) (cid:45)(cid:38)(cid:46)(cid:47) =70°(cid:38) (cid:48) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:48) (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)O(cid:38)(cid:54) (cid:49)(cid:55)(cid:56)
(cid:57) (cid:58)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝑂𝐵 𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)125°
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) + (cid:38)(cid:69)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:67)(cid:68) + (cid:38)(cid:71)(cid:72)(cid:73)
(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)∠𝐴.𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)
(cid:44) ABC(cid:45), 全
科AA+
★
号
众
公
注
△ + = = =1关10°(cid:38)
，
源
资
辅
教
∠𝐴𝐵𝐶 (cid:84)∠𝐴𝐶𝐵(cid:49)(cid:23)18(cid:27)0°(cid:28)−∠(cid:29)𝐴 180(cid:50)°−(cid:51)7(cid:52)0°(cid:53)O(cid:38)
∵∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 = 1 ( 𝐵 + 𝑂,𝐶𝑂 )= 1 ×110°=55°(cid:38)
2 2
∴∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:44) (cid:45),
△𝐵=𝑂𝐶 + = =125°(cid:38)
∠(cid:85)𝐵(cid:59)𝑂𝐶(cid:60)(cid:57)1:18205°−°.(∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵) 180°−55°
(cid:15)(cid:53)(cid:86)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:38)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:49)(cid:73)(cid:74)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97).
(cid:15)(cid:98)(cid:76)1-1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:44) (cid:45)(cid:38) =90°(cid:38) (cid:52) (cid:38) (cid:84) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38) (cid:84)
(cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)(cid:99)𝛥(cid:100)𝐴(cid:101)𝐵𝐶 ∠(cid:84)𝐴𝐶𝐵 (cid:49)(cid:56)(cid:102)𝐶(cid:3)𝐷(cid:103)⊥(cid:38)𝐴𝐵(cid:104)(cid:105)𝐷(cid:106)(cid:66)∠𝐴(cid:107)𝐶.𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷
𝐹 ∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐵𝐹𝐶
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19) = (cid:38)(cid:108)(cid:82)(cid:61).
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:62)∠𝐴(cid:63)𝐸𝐶(cid:23)(cid:27)∠(cid:28)𝐵(cid:29)𝐹𝐶(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:113)(cid:114)(cid:23)(cid:115)(cid:116)(cid:38)(cid:80)(cid:28)(cid:117)(cid:67)(cid:68) =135°(cid:38) =135°(cid:38)(cid:79)(cid:80)(cid:100)
∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐵𝐹𝐶(cid:101)(cid:68) (cid:84) (cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:3)(cid:103).
(cid:15)(cid:83)∠(cid:82)𝐴(cid:19)𝐸𝐶(cid:82)(cid:10)∠𝐵𝐹𝐶 = .(cid:66)(cid:107)(cid:42)(cid:118)(cid:10)
(cid:38) ∠𝐴𝐸𝐶 ∠𝐵𝐹𝐶
∵𝐶𝐷⊥𝐴+𝐵 =90°(cid:38)
∴∠𝐷𝐴𝐶(cid:84)∠𝐷𝐶𝐴(cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)
∵∠𝐴𝐶𝐷 + ∠𝐶𝐴𝐷 = 1 + 𝐸 =45°(cid:38)
2
∴∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐸𝐶𝐴 (∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐷𝐶𝐴)
= + =135°(cid:38)
∴(cid:119)∠(cid:66)𝐴𝐸(cid:80)𝐶(cid:67) 180°−=(∠1𝐸3𝐴5°𝐶(cid:38) ∠𝐸𝐶𝐴)
=∠𝐵𝐹𝐶 .
(cid:15)∴(cid:53)∠𝐴(cid:86)𝐸𝐶(cid:19)(cid:87)∠(cid:88)𝐵(cid:89)𝐹𝐶(cid:90)(cid:91)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:113)(cid:114)(cid:23)(cid:115)(cid:116)(cid:120)(cid:50)(cid:3)(cid:47)(cid:121).(cid:122)(cid:123)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:23)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:113)(cid:114)(cid:23)(cid:115)(cid:116)(cid:124)(cid:32)(cid:109)(cid:110)(cid:67)(cid:68) (cid:84) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97).
(cid:15)(cid:98)(cid:76)1-2(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:46)(cid:47) (cid:48)∠𝐴𝐸𝐶(cid:49)∠(cid:27)𝐵(cid:28)𝐹𝐶(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38) (cid:125)(cid:53) (cid:126) // (cid:58)
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝑂 𝐸𝐹 𝑂 𝐸𝐹 𝐵𝐶
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:127)1(cid:128)(cid:129) =50°(cid:38) =60°(cid:38)(cid:67) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:130)
(cid:127)2(cid:128)(cid:129)∠𝐴𝐵𝐶 =130°(cid:38)∠𝐴𝐶𝐵 =2:3(cid:38)(cid:67)∠𝐵𝑂𝐶 (cid:48) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:58)
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)∠(cid:127)𝐵𝑂1𝐶(cid:128)125° (cid:127)2∠(cid:128)16:∠0°2(cid:130)40° ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)(cid:107)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:80)(cid:67)(cid:81) OBC=25°(cid:38) OCB=30°(cid:38)(cid:69)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:82)(cid:79)(cid:80)(cid:130)
(cid:127)2(cid:128)(cid:107)(cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:37)(cid:131)(cid:67) 1(cid:38) 2(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:62)∠(cid:63)(cid:27)(cid:132)(cid:29)(cid:49)(cid:109)∠(cid:110)(cid:79)(cid:80)(cid:81) OBC(cid:38) OCB(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:73)(cid:74)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)
(cid:70)(cid:80)(cid:67)(cid:82)(cid:130) ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10)(cid:127)1(cid:128) (cid:64) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:84)CO(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)
= =
1∵∠𝐴𝐵𝐶
(cid:38)
∠𝐴𝐶𝐵
= =
𝐵1𝑂
(cid:38)
𝑂
2 2
∴∠𝐸𝐵𝑂 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐹𝐶𝑂 ∠𝑂𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:133) =50°(cid:38) =60°(cid:38)
∠𝐴𝐵𝐶=25°(cid:38) ∠𝐴𝐶𝐵=30°(cid:38)
∴∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵 =125°(cid:130)
∴∠𝐵𝑂𝐶 180°−∠𝑂𝐵𝐶−∠𝑂𝐶𝐵(cid:127)2(cid:128) =130°(cid:38)
+∵∠𝐵𝑂=𝐶50°(cid:38)
∴∠1 ∠=2 3:2(cid:38)
∵∠1:∠ = 23 ×50°=30°(cid:38) = 2 ×50°=20°(cid:38)
5 5
∴∠1 ∠2
// (cid:38)
∵𝐵𝐹 𝐵=𝐶 =30°(cid:38) = =20°(cid:38)
∴∠𝑂𝐵𝐶(cid:64) ∠1 (cid:49)(cid:27)(cid:28)∠(cid:29)𝑂𝐶𝐵(cid:84)C∠O2(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)
∵∠𝐴𝐵𝐶=∠6𝐴0𝐶°(cid:38)𝐵 =𝐵40𝑂°(cid:58) 𝑂
∴(cid:15)∠(cid:53)𝐴𝐵(cid:86)𝐶(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:134)∠(cid:135)𝐴(cid:89)𝐶𝐵(cid:90)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:27)(cid:132)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:120)(cid:136)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:120)(cid:47)(cid:121)
(cid:53)(cid:49)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:74)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)1-3(cid:19)(cid:42)(cid:43)1(cid:38)(cid:53)A(cid:48)B(cid:28)(cid:117)(cid:44)(cid:140)(cid:29)OM(cid:48)ON(cid:141)(cid:139)(cid:142)(cid:127)(cid:143)(cid:84)(cid:53)O(cid:144)(cid:138)(cid:128)(cid:38)AC(cid:48)BC(cid:28)(cid:117)(cid:96) BAO(cid:64) ABO
(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)BC(cid:145)(cid:146)(cid:29)(cid:51)OM(cid:52)(cid:53)G(cid:58) ∠ ∠
(cid:127)1(cid:128)(cid:129) MON=60°(cid:38)(cid:54) ACG= (cid:130)(cid:127)(cid:112)(cid:147)(cid:148)(cid:68)(cid:59)(cid:60)(cid:128)
(cid:127)2(cid:128)(cid:129)∠MON=n°(cid:38)(cid:67)(cid:68)∠ ACG(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:130)(cid:127)(cid:74)(cid:149)n(cid:49)(cid:150)(cid:56)(cid:76)(cid:151)(cid:152)(cid:128)全
科AA+
★
号
众
公
注
(cid:127)3(cid:128)(cid:42)(cid:43)∠ 2(cid:38)(cid:129) MON=8∠0°(cid:38)(cid:125)(cid:53)C(cid:153)CF关OA(cid:51)AB(cid:52)(cid:53)F(cid:38)(cid:67) BGO(cid:84) ACF(cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:3)(cid:103)(cid:58)
，
源
资
辅
教
∠ ∥ ∠ ∠
1
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)60°(cid:130)(cid:127)2(cid:128)90°- n°(cid:130)(cid:127)3(cid:128) BGO- ACF=50°
2
∠ ∠
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) BAO+ ABO(cid:38)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:38)
(cid:81)(cid:154)(cid:59)(cid:60)(cid:130) ∠ ∠
(cid:127)2(cid:128)(cid:155)(cid:156)(cid:127)1(cid:128)(cid:49)(cid:82)(cid:157)(cid:82)(cid:59)(cid:130)
(cid:127)3(cid:128)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:132)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:81)(cid:154) ACF= CAG(cid:38)(cid:62)(cid:63)(cid:127)2(cid:128)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:82)(cid:59)(cid:58)
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10)(cid:127)1(cid:128) MON=∠60°(cid:38) ∠
BAO+ ABO=120°∵(cid:38)∠
∴∠AC(cid:48)BC∠(cid:28)(cid:117)(cid:96) BAO(cid:64) ABO(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
∵ ∠ ∠CBA= 1 ABO(cid:38) CAB= 1 BAO(cid:38)
2 2
∴∠ ∠ ∠ ∠
1
CBA+ CAB= (cid:127) ABO+ BAO(cid:128)=60°(cid:38)
2
∴∠
ACG=
∠
CBA+ C
∠
AB=60°
∠(cid:38)
(cid:85)∴∠(cid:59)(cid:60)(cid:57)∠(cid:10)60°(cid:130)∠
(cid:127)2(cid:128) MON=n°(cid:38)
BAO∵∠+ ABO=180°-n°(cid:38)
∴∠AC(cid:48)BC∠(cid:28)(cid:117)(cid:96) BAO(cid:64) ABO(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
∵ CBA= 1 ABO(cid:38) ∠ CAB= 1∠ BAO(cid:38)
2 2
∴∠ ∠ ∠ ∠
1 1
CBA+ CAB= (cid:127) ABO+ BAO(cid:128)=90°- n°(cid:38)
2 2
∴∠ ∠ ∠ ∠
1
ACG= CBA+ CAB=90°- n°(cid:130)
2
∴∠ ∠ ∠
(cid:127)3(cid:128) CF OA(cid:38)
AC∵F= C∥AG(cid:38)
科AA+
全
∴∠BGO-∠ACF= BGO- CAG= ACG(cid:38) 号 ★
众
公
注
关
，
∴∠ ∠ ∠ ∠1 ∠ 源
(cid:107)(cid:127)2(cid:128)(cid:81)(cid:10) ACG=90°- ×80°=50资°(cid:58)
辅
2教
∠
BGO- ACF=50°(cid:58)
(cid:15)∴∠(cid:53)(cid:86)(cid:19)∠(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:49)(cid:96)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:48)(cid:27)(cid:132)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:158)(cid:159)(cid:113)(cid:112)(cid:29)(cid:27)(cid:132)(cid:48)(cid:26)(cid:160)(cid:23)(cid:50)
(cid:120)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
【模型2 三角形双外角平分线夹角模型】
(cid:15)(cid:41)2(cid:19) (cid:49)(cid:113)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:58)
△𝐴𝐵𝐶 𝐹
(1)(cid:42)(cid:43)1(cid:38)(cid:129) =30°(cid:38)(cid:54) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:57)__________(cid:58)
(2)(cid:42)(cid:43)2(cid:38)(cid:125)∠(cid:53)𝐴 (cid:153)(cid:112)(cid:29) ∠𝐵𝐹𝐶(cid:38)(cid:28)(cid:117)(cid:51)(cid:140)(cid:29) (cid:38) (cid:52)(cid:53) (cid:38) (cid:38)(cid:129)(cid:161) = (cid:38) = (cid:38)(cid:54) (cid:84) +
(cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:3)(cid:103)(cid:96)__𝐹________𝑀(cid:58)𝑁∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑀 𝑁 ∠𝑀𝐹𝐵 𝛼 ∠𝑁𝐹𝐶 𝛽 ∠𝐴 𝛼 𝛽
(3)(cid:44)(cid:127)2(cid:128)(cid:49)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:38)(cid:162)(cid:112)(cid:29) (cid:163)(cid:53) (cid:164)(cid:142)(cid:58)
𝑀𝑁 𝐹(cid:42)(cid:43)3(cid:38)(cid:165)(cid:112)(cid:29) (cid:84)(cid:29)(cid:166) (cid:167)(cid:168)(cid:51)(cid:53)(cid:169)(cid:38)(cid:99)(cid:170)(cid:171) (cid:84) (cid:38) (cid:172)(cid:173)(cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:3)(cid:103)(cid:38)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:66)(cid:107)(cid:58)
①(cid:165)(cid:112)(cid:29) (cid:84)(cid:29)(cid:166)𝑀𝑁 (cid:168)(cid:51)(cid:53)𝐵(cid:169)𝐶(cid:38)(cid:99)(cid:174) (cid:45) (cid:84) (cid:38)∠(cid:172)𝐴(cid:173)𝛼(cid:49)(cid:56)𝛽(cid:102)(cid:3)(cid:103)(cid:96)(cid:175)(cid:176)(cid:71)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:129)(cid:177)(cid:178)(cid:38)(cid:180)(cid:105)(cid:106)(cid:66)(cid:107)(cid:130)
②(cid:129)(cid:143)(cid:177)(cid:178)(cid:38)𝑀(cid:180)𝑁(cid:181)(cid:68)(cid:22)𝐵(cid:182)𝐶(cid:172)(cid:173)(cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:3)(cid:103)①(cid:58) ∠𝐴 𝛼 𝛽
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)(1)75°
1
(2) + =90°
2
𝛼 𝛽− ∠𝐴
(3) + 1 =90°(cid:38)(cid:108)(cid:82)(cid:61)(cid:130) (cid:143)(cid:177)(cid:178)(cid:38) 1 =90°(cid:183) 1 =90°
2 2 2
①𝛼 𝛽− ∠𝐴 ② 𝛽−𝛼− ∠𝐴 𝛼−𝛽− ∠𝐴
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:80)(cid:81) + = (cid:38)(cid:184)(cid:185)(cid:80)(cid:81) + =180°+ (cid:38)
(cid:69)(cid:107)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:80)(cid:81) + ∠ = 𝐴 9 𝐶 0 𝐵 °+ ∠1𝐴𝐵 (cid:38) 𝐶 (cid:186)(cid:72) 18 (cid:107) 0° (cid:22) −∠ (cid:23) 𝐴 (cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66) ∠𝐶 (cid:80) 𝐵𝐷 (cid:81) ∠𝐵𝐶𝐸 = 1 (cid:38) ∠𝐴 (cid:187)
2 2
∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐵𝐶𝐹 ∠𝐴 ∠𝐵𝐹𝐶 90°− ∠𝐴
(cid:132)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:130)
(cid:127)2(cid:128)(cid:107)(cid:127)1(cid:128)(cid:80)(cid:81)(cid:107)(cid:127)1(cid:128)(cid:80)(cid:81) = 1 (cid:38)(cid:69)(cid:107) + + =180°(cid:150)(cid:188)(cid:187)(cid:132)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:130)
2
∠𝐵𝐹𝐶 90°− ∠𝐴 𝛼 ∠𝐵𝐹𝐶 𝛽
(cid:127)3(cid:128) (cid:62)(cid:63)(cid:127)1(cid:128)(cid:45)(cid:49)(cid:39)(cid:40) = 1 (cid:38)(cid:189)(cid:111)(cid:27)(cid:23)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:38)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:154)(cid:59)(cid:60)(cid:130) (cid:28)(cid:113)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:187)(cid:132)(cid:193)(cid:40)(cid:10)
2 科AA+
① ∠𝐵𝐹𝐶 90°− ∠𝐴 ★ 全 ②
(cid:62)(cid:63)(cid:127)1(cid:128)(cid:45)(cid:49)(cid:39)(cid:40) = 1 (cid:38)(cid:189)(cid:111)(cid:27)(cid:23)(cid:49)(cid:65)(cid:70)众(cid:38)(cid:79)号(cid:80)(cid:81)(cid:154)(cid:59)(cid:60)(cid:58)
公
2 注
关
，
源
∠𝐵𝐹𝐶 90°−资∠𝐴
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)(cid:82)(cid:10) + 辅 + =180°(cid:38)
教
+ = ∵∠𝐴 ∠𝐴(cid:38)𝐶𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐶=118800°°(cid:38)−∠𝐴 + =180°(cid:38)
∵∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶𝐵𝐷
∴=∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸+
=180°−(∠𝐴𝐵𝐶 +180−∠)𝐴𝐶𝐵
=360°−(∠𝐴𝐵𝐶 ∠)𝐴𝐶𝐵
=316800°°−+180(cid:38)°−∠𝐴
(cid:64) (cid:28)∠𝐴(cid:117)(cid:96) (cid:64) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
∵𝐵𝐹 𝐶 = 𝐹 1 ∠ (cid:38) 𝐷𝐵𝐶 ∠ = 𝐵𝐶1𝐸 (cid:38)
2 2
∴∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐹 ∠𝐵𝐶𝐸
+ (cid:38)
∴∠1𝐶𝐵𝐹 ∠𝐵1𝐶𝐹
= +
2 2
1∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸
= ( + )
2
∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐸1
= ×(180°+ )
2
∠𝐴
=90°+ 1 (cid:38)
2
∠𝐴
+ + =180°(cid:38)
∵∠𝐵𝐹𝐶 = ∠𝐶𝐵𝐹 ( ∠𝐵𝐶𝐹 + )= 90°+ 1 = 1 =75°(cid:38)
2 2
(cid:85)∴(cid:59)∠𝐵(cid:60)𝐹𝐶(cid:57)(cid:10)1
7
8
5
0 °(cid:130)°− ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐵𝐶𝐹 180°− ∠𝐴 90°− ∠𝐴
(cid:127)2(cid:128)(cid:82)(cid:10) + 1 =90°(cid:38)
2
𝛼 𝛽− ∠𝐴
(cid:107)(cid:127)1(cid:128)(cid:80)(cid:81) = 1 (cid:38)
2
∠𝐵𝐹𝐶 90°− ∠𝐴
+ + =180°(cid:38)
∵𝛼
+
∠𝐵
+
𝐹𝐶 𝛽1
=180°(cid:38)
2
∴𝛼 𝛽 90°− ∠𝐴
(cid:79) + 1 =90°(cid:58)
2
𝛼 𝛽− ∠𝐴
(cid:127)3(cid:128)(cid:82)(cid:10) (cid:165)(cid:112)(cid:29) (cid:84)(cid:29)(cid:166) (cid:167)(cid:168)(cid:51)(cid:53)(cid:169)(cid:38) + 1 =90°(cid:38)
2 科AA+
(cid:66)(cid:107)(cid:42)(cid:118)(cid:10) ① 𝑀𝑁 𝐵𝐶 𝛼 𝛽− ∠𝐴 号 ★ 全
众
公
注
关
，
= 1 (cid:38) + 资 源 + =180°(cid:38)
辅
2 教
∵∠𝐵𝐹𝐶 90°− ∠𝐴 ∠𝑀𝐹𝐵 ∠𝑁𝐹𝐶 ∠𝐵𝐹𝐶
+ + 1 =180°(cid:38)
2
∴𝛼 𝛽 90°− ∠𝐴
(cid:79) + 1 =90°(cid:130)
2
𝛼 𝛽− ∠𝐴
(cid:165)(cid:112)(cid:29) (cid:84)(cid:29)(cid:166) (cid:168)(cid:51)(cid:53)(cid:169)(cid:38) (cid:45) (cid:84) (cid:38) (cid:172)(cid:173)(cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:3)(cid:103)(cid:143)(cid:177)(cid:178)(cid:38)(cid:194)(cid:28)(cid:113)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:40)(cid:10)
② a(cid:58)(cid:42)(cid:43)1(cid:38) 𝑀𝑁 (cid:165) (cid:44)(cid:29) 𝐵 (cid:166) 𝐶 (cid:141)(cid:38) (cid:44) ① (cid:140)(cid:29) ∠𝐴 (cid:141)(cid:169) 𝛼 (cid:38) 𝛽 1 =90°(cid:38)
2
𝑀 𝐴𝐵 𝑁 𝐴𝐶 𝛽−𝛼− ∠𝐴
(cid:38)
= 1 (cid:38) + =180°(cid:38)
2
∵∠𝐵𝐹𝐶 90°− ∠𝐴 ∠𝐵𝐹𝐶−∠𝑀𝐹𝐵 ∠𝑁𝐹𝐶
1 + =180°(cid:38)
2
∴90°− ∠𝐴−𝛼 𝛽
(cid:79) 1 =90°(cid:38)
2
𝛽−𝛼− ∠𝐴b(cid:58)(cid:42)(cid:43)2(cid:38)(cid:165) (cid:44)(cid:140)(cid:29) (cid:141)(cid:38) (cid:44)(cid:29)(cid:166) (cid:141)(cid:169)(cid:38) 1 =90°(cid:38)
2
𝑀 𝐴𝐵 𝑁 𝐴𝐶 𝛼−𝛽− ∠𝐴
(cid:38)
= 1 (cid:38) + =180°(cid:38)
2
∵∠𝐵𝐹𝐶 90°− ∠𝐴 ∠𝐵𝐹𝐶−∠𝑁𝐹𝐶 ∠𝑀𝐹𝐵
1 + =180°(cid:38)
2
∴90°− ∠𝐴−𝛽 𝛼
(cid:79) 1 =90°(cid:58)
2
𝛼−𝛽− ∠𝐴
(cid:15)(cid:53)(cid:86)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:48)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:48)(cid:27)(cid:23)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:38)(cid:122)(cid:123)(cid:158)(cid:159)(cid:189)(cid:141)(cid:47)(cid:121)(cid:53)(cid:38)(cid:195)
(cid:74)(cid:28)(cid:196)(cid:193)(cid:40)(cid:49)(cid:94)(cid:95)(cid:82)(cid:88)(cid:38)(cid:96)(cid:82)(cid:197)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)2-1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:46)(cid:47)(cid:44) (cid:45)(cid:38) (cid:48) (cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)(cid:129) = (cid:38) = (cid:38)(cid:67)
(cid:49)(cid:55)(cid:56). 𝛥𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶 𝐺 ∠𝐴𝐵𝐶 𝑚° ∠𝐴𝐶𝐵 𝑛° ∠𝐵𝐺𝐶
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19) = 1 ( + )
2
∘ ∘
∠𝐵𝐺𝐶 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:139)(cid:74)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:47)(cid:121)(cid:75)(cid:68)(cid:120)(cid:76)(cid:67)(cid:82)(cid:79)(cid:80)(cid:58)(cid:82)(cid:59)(cid:125)(cid:198)(cid:45)(cid:135)(cid:4)(cid:199)(cid:150)(cid:188)(cid:84)(cid:172)(cid:168)(cid:3)(cid:49)(cid:120)(cid:102)(cid:3)(cid:103)(cid:58)
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10) B(cid:48) C(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)G(cid:38)
(cid:44) BCG(cid:45)(cid:38) ∠ ∠
B 𝛥 GC=180°-(cid:127)1 EBC+ 1 BCF(cid:128)
2 2
∠ ∠ ∠
1
=180°- (cid:127) EBC+ BCF(cid:128)
2
∠ ∠
1
=180°- (cid:127)180°- ABC+180°- ACB(cid:128)
2
∠ ∠
1
=180°- (cid:127)180°-m°+180°-n°(cid:128)(cid:130)
21
= ( + )
2
∘ ∘
𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:53)(cid:86)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:49)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:189)(cid:111)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:47)(cid:121)(cid:58)(cid:197)(cid:196)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:96)(cid:200)(cid:68)(cid:84)(cid:172)(cid:50)(cid:3)(cid:49)(cid:120)(cid:102)(cid:3)(cid:103)
(cid:201)(cid:202)(cid:77)(cid:78)(cid:81)(cid:68)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)2-2(cid:19)(cid:127)23-24(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:166)(cid:123)(cid:211)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:38) (cid:96) (cid:113)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:51)(cid:53)(cid:38) (cid:96) (cid:49)(cid:113)(cid:31)
(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:51)(cid:53)(cid:38) (cid:38) (cid:44) (cid:141)(cid:38)(cid:133) (cid:38) (cid:44) (cid:141)(cid:130)(cid:42)(cid:212) 𝐺 𝛥𝐴=𝐹6𝐸6°(cid:38)(cid:213)(cid:214) = (cid:55)(cid:58) 𝑃 𝛥𝐴𝐵𝐶
𝐹 𝐶 𝐴𝑁 𝐵 𝐸 𝐴𝑀 ∠𝐹𝐺𝐸 ∠𝑃
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)66
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:48)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:80)(cid:67)(cid:81)(cid:10) = 1 × = 1
2 2
∠𝐺 180°− [360°−(180°−∠𝐴)] 90°−
(cid:38) = 1 × = 1 (cid:38)(cid:217)(cid:189) = =66°(cid:58)
2 2
(cid:15)
∠𝐴
(cid:83)(cid:82)
∠𝑃
(cid:19)(cid:82)
1
(cid:10)
80
(cid:218)
°−
(cid:57) (cid:96)
[360°−(
(cid:113)
18
(cid:31)
0°
(cid:23)
−∠
(cid:27)
𝐴
(cid:28)
)]
(cid:29)(cid:49)
90
(cid:51)
°−
(cid:53)
∠
(cid:38)
𝐴 ∠𝑃 ∠𝐹𝐺
科
𝐸 AA+
全
★
号
众
=
1
×
𝐺 △𝐴𝐹𝐸
= 注
1 公(cid:38)
关
2 ， 2
源
资
辅
∴∠𝐹𝐺𝐸 180°− [360°教−(180°−∠𝐴)] 90°− ∠𝐴
(cid:96) (cid:113)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:51)(cid:53)(cid:38)
∵𝑃 = △𝐴𝐵𝐶 1 × = 1 (cid:38)
2 2
∴∠𝑃 180°− [360°−(180°−∠𝐴)] 90°− ∠𝐴
= =66°(cid:58)
∴(cid:85)∠(cid:59)𝑃(cid:60)(cid:57)∠𝐹(cid:10)𝐺6𝐸6(cid:58)
(cid:15)(cid:53)(cid:86)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:48)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:39)(cid:138)(cid:43)(cid:24)(cid:122)(cid:123)(cid:139)(cid:74)(cid:65)(cid:66)(cid:64)
(cid:109)(cid:110)(cid:187)(cid:132)(cid:67)(cid:82)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)2-3(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:44)(cid:215)(cid:216)(cid:24)ABCD(cid:45)(cid:38) DAB(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:84) ABC(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)P(cid:38)(cid:126)
D+ C=200°(cid:38)(cid:54) P=( ) ∠ ∠
∠ ∠ ∠
A(cid:58)10 ° B(cid:58)20 °C(cid:58)30° D(cid:58)40°
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)A
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:96)360°(cid:80)(cid:189)(cid:67)(cid:81) DAB+ ABC=160°(cid:58)(cid:71)(cid:72)(cid:107)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:219)(cid:220)(cid:23)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:67)
1 1 ∠ ∠ 1
(cid:81) PAB+ ABP= DAB+ ABC+ (180°− ABC)=90°+ ( DAB+ ABC)=170°(cid:38)(cid:217)(cid:189)(cid:62)(cid:63) ABP(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)
2 2 2
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ △
(cid:66)(cid:67)(cid:81) P(cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:80)(cid:58)
(cid:15)(cid:83)(cid:82)∠(cid:19)(cid:82)(cid:10)(cid:42)(cid:43),
D+ C=200° , DAB+ ABC+ C+ D=360°(cid:38)
∵∠DA∠B+ ABC=∠160°. ∠ ∠ ∠
∴(cid:133)∠ DAB∠(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:84) ABC(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)P(cid:38)
∵ P ∠ AB+ ABP= 1 DAB+ ∠ ABC+ 1 (180°− ABC)=90°+ 1 ( DAB+ ABC)=170°(cid:38)
2 2 2
∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
P=180°−( PAB+ ABP)=10°.
∴∠ ∠ ∠
科AA+
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:85)(cid:221):A.
【模型3 三角形一内一外角平分线夹角模型】
(cid:15)(cid:41)3(cid:19)(cid:127)22-23(cid:222)(cid:204)(cid:205)(cid:118)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:209)·(cid:226)(cid:45)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:38) (cid:57)(cid:112)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:38) =90°(cid:38) (cid:57) (cid:49)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:38)(cid:84) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:51)(cid:52)(cid:53)E(cid:38) (cid:96) (cid:49)(cid:31)△(cid:23)𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:28)(cid:29)(cid:38) (cid:84) (cid:50)∠(cid:51)𝐴𝐶(cid:52)𝐵(cid:53)G(cid:38)(cid:54)𝐴𝐷 ∠(cid:84)𝐶𝐴𝐵 (cid:49)(cid:64)
(cid:57)(cid:127) ∠(cid:128)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐺 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐺 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐺𝐵𝐹
A(cid:58)120° B(cid:58)125° C(cid:58)130° D(cid:58)135°
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)D(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:67)(cid:68) =45°(cid:38) =90°(cid:38)(cid:227)(cid:68) =45°(cid:38)(cid:80)(cid:81)(cid:39)
(cid:40)(cid:58) ∠𝐵𝐸𝐺 ∠𝐸𝐵𝐺 ∠𝐺
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10) =90°(cid:38)
+ ∵∠=𝐴𝐶9𝐵0°(cid:38)
∴∠𝐶𝐴(cid:38)𝐵 (cid:28)∠𝐶(cid:117)𝐵(cid:27)𝐴(cid:28) (cid:38) (cid:38)
∵𝐴𝐸 𝐵
+
𝐸
=
∠1𝐶𝐴𝐵
+
∠𝐶1𝐵𝐴
=45°(cid:38)
2 2
∴∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐸𝐵𝐴 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴
(cid:27)(cid:28) (cid:38)
∵𝐵𝐺
=
∠1𝐶𝐵𝐹
(cid:38)
2
∴∠𝐶𝐵𝐺 ∠𝐶𝐵𝐹
= 1 (cid:38)
2
∵∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐴
= + = 1 + 1 =90°(cid:38)
2 2
∴∠𝐺𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐺 ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹 ∠𝐶𝐵𝐴
= =45°(cid:38)
∴∠𝐺 9=0°−45°(cid:38)
∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐺= + = =135°(cid:38)(cid:85)D(cid:228)(cid:229)全(cid:58)
科AA+
★
号
众
公
注
∴(cid:85)∠(cid:221)𝐴𝐷(cid:10)𝐶D(cid:58)∠𝐺𝐵𝐹 ∠𝐵𝐷𝐺 ∠𝐷𝐵𝐺 180°−∠关𝐺
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:53)(cid:86)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:38)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:96)(cid:230)(cid:231)(cid:139)(cid:74)(cid:217)(cid:11)(cid:47)(cid:121)(cid:82)(cid:232)(cid:174)(cid:88)(cid:38)
(cid:233)(cid:52)(cid:45)(cid:89)(cid:234)(cid:89)(cid:88)(cid:21)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)3-1(cid:19)(cid:127)2024(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:141)·(cid:235)(cid:236)·(cid:237)(cid:88)(cid:123)(cid:211)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:44) (cid:45)(cid:38) (cid:38) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38) (cid:96)
(cid:31)(cid:23)(cid:84)(cid:26)(cid:23) (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:53)(cid:38) (cid:96) (cid:38) (cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)△(cid:29)𝐴(cid:51)𝐵𝐶(cid:53)(cid:38)(cid:129)∠𝐴𝐵𝐶 ∠=𝐴1𝐶2𝐵0°(cid:38)(cid:54) =(cid:127)(cid:238)𝑂(cid:238)(cid:128)𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵
∠𝐴𝐵𝐶 𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐷
A(cid:58)15° B(cid:58)20° C(cid:58)25° D(cid:58)30°
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)D
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:70)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:49)(cid:239)(cid:74)(cid:38)(cid:122)(cid:47)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:96)(cid:82)(cid:59)(cid:197)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)(cid:62)(cid:63)
(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:168) = 1 (cid:38) = 1 (cid:38)(cid:81) =90°(cid:38)(cid:62)(cid:63)(cid:31)(cid:23)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:38)
2 2
∠𝐴𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐹 ∠𝑂𝐶𝐷
= + (cid:38)(cid:81) = =30°(cid:58)
∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝑂𝐶𝐷 ∠𝐷 ∠𝐷 120°−90°(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10) (cid:27)(cid:28) (cid:38) (cid:27)(cid:28) (cid:49)(cid:31)(cid:23)
= 1 ∵𝐶𝑂 (cid:38) ∠𝐴𝐵 = 𝐶1 𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
2 2
∴∠𝐴𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐹
+ =180°
∵∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐹 1
= + = + =90°
2
∴∠𝑂𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝑂 ∠𝐴𝐶𝐷 (∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐹)
= +
∴∠𝐵𝑂=𝐶 ∠𝑂𝐶𝐷 =∠3𝐷0°
∴(cid:85)∠(cid:221)𝐷(cid:10)D120°−90°
(cid:15)(cid:98)(cid:76)3-2(cid:19)(cid:127)2024(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:240)(cid:241)·(cid:242)(cid:243)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:38) (cid:27)(cid:28) (cid:51) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:52) (cid:38)(cid:51) (cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:52) (cid:38)(cid:129) = (cid:38)(cid:54) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:127) (cid:128)𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐷 △𝐴𝐵𝐶
𝐸 ∠𝐸𝐷𝐶 ∠𝐶𝐸𝐷 ∠𝐴
科AA+
全
★
号
众
公
注
A(cid:58)70° B(cid:58)80° 关C(cid:58)90° D(cid:58)100°
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)C
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:109)(cid:110)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:48)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:38)(cid:62)(cid:63)(cid:88)(cid:199)(cid:81)(cid:154) =90°(cid:38)(cid:227)(cid:68)
=45°(cid:38)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:109)(cid:110)(cid:227)(cid:68) (cid:84) (cid:49)(cid:64)(cid:38)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:79)(cid:80)(cid:82)(cid:88)∠(cid:58)𝐷𝐶𝐸
∠(cid:15)𝐷(cid:83)𝐸𝐶(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10) (cid:27)(cid:28) (cid:38) (cid:27)∠(cid:28)𝐴𝐵𝐶 ∠(cid:38)𝐴𝐶𝐵
= ∵ 𝐶 = 𝐷1 ∠𝐴 (cid:38) 𝐶𝐵 𝐸𝐶 = ∠𝐴𝐶 = 𝑃 1 (cid:38)
2 2
∴∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝑃𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝑃
+ = 1 + 1 (cid:38)
2 2
∴∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝑃
= 1 ( + )= 1 ×180°=90°(cid:38)
2 2
∴∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝑃
= (cid:38)
∵ ∠𝐸𝐷𝐶=4∠5°𝐶(cid:38)𝐸𝐷
∴∠𝐸(cid:27)𝐷𝐶(cid:28) (cid:38)
∵𝐵𝐸 = ∠𝐴𝐵𝐶 = 1 (cid:38)
2
∴∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
+ = + =2( + )=2×45°=90°(cid:38)
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 2∠𝐷𝐵𝐶 2∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐷𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵=90°(cid:58)
(cid:85)∴(cid:221)∠𝐴(cid:10)C(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)3-3(cid:19)(cid:127)24-25(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:141)·(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:247)·(cid:226)(cid:45)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:38) (cid:64) (cid:28)(cid:117)(cid:96) (cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:64)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
(cid:96) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38) (cid:96) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38) (cid:96)𝐵𝐴1 𝐶𝐴1(cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)△(cid:38)𝐴𝐵𝐶(cid:96) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:248)(cid:197)(cid:118)
(cid:249)𝐵𝐴(cid:58)2 (cid:129)∠𝐴1𝐵=𝐷 (cid:38)(cid:54) 𝐶𝐴= 2(cid:127) ∠ 𝐴(cid:128)1𝐶𝐷 𝐵𝐴3 ∠𝐴2𝐵𝐷 𝐶𝐴3 ∠𝐴2𝐶𝐷
∠𝐴 𝛼 ∠𝐴2024
1 1 1 1
A(cid:58) B(cid:58) C(cid:58) D(cid:58)
2 2023 2 2024 2 2025 2 2026
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)B 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:48)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:120)(cid:38)(cid:200)(cid:68)(cid:250)(cid:45)(cid:251)(cid:252)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:80)(cid:81) = = 1 (cid:38) = = 1 (cid:38)(cid:69)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)
2 2
(cid:80)(cid:81) = +
∠𝐴𝐵
(cid:38)
𝐴1 ∠𝐶𝐵
=
𝐴1 ∠
+
𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶
(cid:38)
𝐴1
×
∠
2
𝐷
(cid:81)
𝐶𝐴
科 (cid:10)
1
A
∠
A
𝐴𝐶+𝐷
= + (cid:38)(cid:54)
全
★
号
∠𝐴 = 𝐶𝐷 2 + ∠𝐶𝐵𝐴1 ∠𝐴① (cid:38)(cid:107) ∠𝐷 (cid:64) 𝐶𝐴1 (cid:81) ∠ (cid:10) 𝐴1 注 ∠𝐶 = 公𝐵𝐴1众 ② (cid:38)(cid:54) ② = 1 2 = ∠𝐷1𝐶𝐴 (cid:38) 1 (cid:202)(cid:201) 2∠ (cid:80) 𝐴1 (cid:81) 2∠𝐶 = 𝐵𝐴1 1 (cid:38)(cid:187)(cid:32)
关
， 2 2 2
源
资
∠𝐴𝐶𝐷 2∠𝐴1 2∠𝐶𝐵𝐴1③教 辅 ① ③ 2∠𝐴1 ∠𝐴 ∠𝐴1 ∠𝐴 ∠𝛼 ∠𝐴1 ∠𝐴
(cid:253)(cid:200)(cid:68)(cid:250)(cid:45)(cid:251)(cid:252)(cid:38)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:68) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:58)
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10) (cid:64) (cid:28)(cid:117)∠(cid:96)𝐴2024 (cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:64)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:38)
= 𝐵𝐴1 = 𝐶𝐴1 1 (cid:38) △𝐴𝐵𝐶 = = 1 (cid:38)
2 2
∴∠𝐴𝐵𝐴1 ∠𝐶𝐵𝐴1 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐴1 ∠𝐷𝐶𝐴1 ∠𝐴𝐶𝐷
= (cid:38)
∵∠𝐴 𝛼= + = + (cid:38) = + (cid:38)
∴∠×𝐴𝐶2𝐷(cid:81)(cid:10)∠𝐴𝐵𝐶 ∠=𝐴 2∠+𝐶𝐵𝐴1 ∠𝐴(cid:38)① ∠𝐷𝐶𝐴1 ∠𝐴1 ∠𝐶𝐵𝐴1②
② = 2∠𝐷𝐶𝐴+1 2∠𝐴1 (cid:38)2∠𝐶𝐵𝐴1
(cid:107)∴∠𝐴(cid:64)𝐶𝐷 (cid:81)2(cid:10)∠𝐴1 2∠=𝐶𝐵𝐴1(cid:38)③
① =③(cid:38) 2∠𝐴1 ∠𝐴
∵∠𝐴 = 𝛼1 = 1 (cid:38)
2 2
∴∠𝐴1 ∠𝐴 ∠𝛼
(cid:119)(cid:66) = 1 = 1 = 1 (cid:38)
2 4 2
∴∠𝐴2 ∠𝐴1 ∠𝐴 2 𝛼
= 1 = 1 = 1 (cid:38)
2 8 2
∠𝐴3 ∠𝐴2 ∠𝐴 3 𝛼…
= 1 = = 1 (cid:38)
2 2 2 2024
𝛼
(cid:85)∴(cid:221)∠𝐴(cid:10) 20 B 24 (cid:58) 2024 𝛼 2024 𝛼
【模型4 8 字形双角平分线夹角模型】
(cid:15)(cid:41)4(cid:19)(cid:127)22-23(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:141)·(cid:244)(cid:245)(cid:254)(cid:255)(cid:256)·(cid:226)(cid:45)(cid:128)(cid:42)(cid:43)(cid:38) (cid:64) (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)O(cid:38) = =
(cid:28)(cid:117)(cid:27)(cid:28) (cid:64) (cid:38)(cid:129) + + =165°(cid:38)(cid:54)𝐴𝐵 𝐶=𝐷 °(cid:58) ∠𝐶 ∠𝐶𝑂𝐴,∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷,𝐴𝑃,𝐷𝑃
∠𝐶𝐴𝑂 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐶 ∠𝑃 ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)70
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:80)(cid:81) = (cid:38)(cid:161) = =
科A=A+
= (cid:38)(cid:54)
全
★
号
众
= = (cid:38)(cid:69)(cid:107) ∠ (cid:28) 𝐵 (cid:117)(cid:27) ∠ (cid:28) 𝐶𝐴𝑂 注 公(cid:64) ∠𝐶 ∠ (cid:38) 𝐶𝑂 (cid:80) 𝐴 (cid:81) ∠𝐵𝐷𝐶 = 1∠𝐵𝑂𝐷 = 𝑥 (cid:38) = 1
关
， 2 2
源
资
辅
∠𝐵 ∠𝐶𝐴𝑂 180°−2𝑥 教 𝐴𝑃,𝐷𝑃 ∠𝐶𝐴𝑂 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝑂𝐴𝑃 ∠𝑂𝐴𝐶 90°−𝑥 ∠𝐵𝐷𝑃
= 1 (cid:38)(cid:69)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:80)(cid:81) + = + (cid:38)(cid:184)(cid:185)(cid:81)(cid:154) = 5 (cid:38)(cid:71)(cid:72)(cid:62)(cid:63)
2 2
∠𝑂𝐷𝐵 𝑥 ∠𝑃 ∠𝑂𝐴𝑃 ∠𝐵𝐷𝑃 ∠𝐵 ∠𝑃 90°− 𝑥
+ + =165°(cid:81)(cid:154)(cid:3)(cid:52)x(cid:49)(cid:257)(cid:198)(cid:38)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:82)(cid:58)
(cid:15)∠𝐶(cid:83)(cid:82)∠(cid:19)𝑃(cid:82)∠(cid:10)𝐵(cid:42)(cid:43)(cid:38)
= = (cid:38)
∵∠𝐶=∠𝐶𝑂𝐴,∠=𝐵𝐷𝐶 ∠=𝐵𝑂𝐷 (cid:38)
∴∠𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐴+ ∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷 + + =180°(cid:38)
∴∠𝐶 =∠𝐶𝑂𝐴(cid:38)∠𝑂𝐴𝐶 180°,∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐵
∴(cid:161)∠𝐵 =∠𝐶𝐴𝑂 = = = (cid:38)(cid:54) = = (cid:38)
∠𝐶 ∠𝐶𝑂𝐴 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝑂𝐷 𝑥 ∠𝐵 ∠𝐶𝐴𝑂 180°−2𝑥(cid:28)(cid:117)(cid:27)(cid:28) (cid:64) (cid:38)
∵𝐴𝑃,𝐷𝑃 = 1 ∠ = 𝐶𝐴𝑂 ∠ (cid:38) 𝐵𝐷𝐶 = 1 = 1 (cid:38)
2 2 2
∴∠𝑂𝐴𝑃 ∠𝑂𝐴𝐶 90°−𝑥 ∠𝐵𝐷𝑃 ∠𝑂𝐷𝐵 𝑥
+ + =180°= + + (cid:38) = (cid:38)
∵∠𝑃+∠𝑂𝐴𝑃=∠𝐴𝐸𝑃 + (cid:38) ∠𝐵𝐷𝑃 ∠𝐵 ∠𝐵𝐸𝐷 ∠𝐴𝐸𝑃 ∠𝐵𝐸𝐷
∴∠𝑃
+
∠𝑂𝐴𝑃
=
∠1𝐵𝐷
+
𝑃 ∠𝐵
(cid:38)
2
∴∠𝑃 90°−𝑥 𝑥 180°−2𝑥
= 1 (cid:38)
2
∴∠𝑃 90°− 𝑥
+ + =165°
∵∠𝐶
+
∠𝑃1 ∠
+
𝐵
=165°(cid:38)
2
∴𝑥 90°− 𝑥 180°−2𝑥
(cid:82)(cid:81)(cid:10) =70°(cid:38)
(cid:79) =𝑥70°(cid:58)
(cid:85)∠(cid:59)𝐶(cid:60)(cid:57)(cid:10)70
(cid:15)(cid:53)(cid:86)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:134)(cid:135)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:32)(cid:258)(cid:32)(cid:259)(cid:257)(cid:198)(cid:49)(cid:239)(cid:74)(cid:38)(cid:73)(cid:74)(cid:260)(cid:56)(cid:94)(cid:95)(cid:261)(cid:262)(cid:257)(cid:198)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)4-1(cid:19)(cid:27)(cid:263)(cid:26)(cid:38)(cid:215)(cid:36)(cid:29)(cid:166)AB(cid:38)BC(cid:38)CD(cid:38)DA(cid:264)(cid:35)(cid:265)(cid:259)(cid:266)(cid:147)全(cid:38) 科AB A C= A 24° + (cid:38) ADC=42°(cid:58)
★
号
众
公
注
(cid:127)1(cid:128) BAD(cid:64) BCD(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53)M(cid:127)关(cid:42)(cid:43)1(cid:128)(cid:38)(cid:67) AMC(cid:49)(cid:267)∠(cid:268)(cid:58) ∠
，
源
资
辅
教
(cid:127)2(cid:128)∠(cid:53)E(cid:44)B∠A(cid:49)(cid:145)(cid:146)(cid:29)(cid:141)(cid:38) DAE(cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:64) BCD(cid:27)∠(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53)N(cid:127)(cid:42)(cid:43)2(cid:128)(cid:38)(cid:67) ANC(cid:58)
∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)33°(cid:130)(cid:127)2(cid:128)123°
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)AM(cid:84)BC(cid:51)(cid:52)E(cid:38)AD(cid:84)MC(cid:51)(cid:52)F(cid:38)(cid:73)(cid:74)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:109)(cid:110)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:80)(cid:81)(cid:38) (cid:96)
(cid:64) (cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:38) (cid:96) (cid:64) (cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:38)(cid:75)(cid:68)(cid:3)(cid:52) (cid:49)(cid:257)(cid:198)(cid:269)(cid:38)(cid:77)(cid:78)(cid:81)(cid:68) ∠(cid:49)𝐵(cid:55)𝐸𝑀(cid:56)(cid:58)△𝐴𝐵𝐸
(cid:127)2△(cid:128)𝑀AN𝐶𝐸(cid:84)BC(cid:51)(cid:52)∠(cid:53)𝑀𝐹G𝐷(cid:38)AD△(cid:84)𝑀𝐴B𝐹C(cid:51)△(cid:52)𝐹(cid:53)𝐶𝐷F(cid:38)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:109)∠(cid:110)𝐴(cid:64)𝑀(cid:22)𝐶 (cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:80)(cid:81)(cid:38)∠𝐴𝑀𝐶(cid:96)
(cid:64) (cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:38) (cid:96) (cid:64) (cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:38)(cid:75)(cid:68)(cid:3)(cid:52) (cid:49)(cid:257)(cid:198)(cid:269)(cid:38)(cid:77)(cid:78)(cid:81)(cid:68) ∠𝐵𝐹(cid:49)𝐷(cid:55)(cid:56)△(cid:58)𝐴𝐵𝐹
(cid:15)(cid:83)△(cid:82)𝐹𝐶(cid:19)𝐷(cid:82)(cid:10)(cid:127)1(cid:128)∠A𝐴M𝐺𝐶(cid:84)B△C𝑁(cid:50)𝐺(cid:51)𝐶(cid:52)△E(cid:38)𝐴𝐵A𝐺D(cid:84)MC(cid:50)(cid:270)(cid:52)F(cid:38)∠(cid:42)𝐴𝑁(cid:43)𝐶(cid:10) ∠𝐴𝑁𝐶MA(cid:64)MC(cid:96) BAD(cid:64) BCD(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
∵(cid:161) BAM= M∠AD=a(cid:38) ∠BCM= MCD=b(cid:38)
∴ B∠EM(cid:96) ∠ABE(cid:64) M∠CE(cid:49)(cid:31)∠(cid:23)(cid:38)
∵∠M+ BC△M= B+ B△AM(cid:38)
∴(cid:79)∠(cid:10) M∠+b=24∠°+a ∠(cid:38)
(cid:133) ∠MFD(cid:96) MA①F(cid:64) CDF(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:38)
(cid:80)∵(cid:81)∠ M+a=42△°+b (cid:38)△
(cid:76)∠(cid:271) (cid:76)(cid:81)2 ②M=24°+42°(cid:38)
①(cid:82)(cid:81)(cid:10)②M=33°(cid:38)∠
科AA+
全
∠=33°(cid:58) 号 ★
众
公
注
关
，
(cid:127)∴∠2𝐴(cid:128)𝑀A𝐶N(cid:84)BC(cid:50)(cid:51)(cid:52)G(cid:38)AD(cid:84)BC源(cid:50)(cid:270)(cid:52)F(cid:38)(cid:42)(cid:43):
资
辅
教
NA(cid:64)NC(cid:96) EAD(cid:64) BCD(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
∵(cid:161) EAN= N∠AD=m(cid:38)∠BCN= NCD=n(cid:38)
∴ B∠FD(cid:96) ∠ABF(cid:64) FC∠D(cid:49)(cid:31)∠(cid:23)(cid:38)
∵∠B+ BA△D= D+ B△CD(cid:38)
∴(cid:79)∠(cid:10)2∠4°+(180∠°-2m∠(cid:128)=42°+2n(cid:38)
(cid:80)(cid:81)m+n=81° (cid:38)
(cid:133) AGC(cid:96) ①NGC(cid:64) ABG(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:38)
(cid:80)(cid:81)∵∠ N+n=24△°+(180°-m△(cid:128)(cid:38)
∠(cid:81) N=204°-(cid:127)m+n(cid:128) (cid:38)
∠(cid:76)(cid:150)(cid:188) (cid:76)(cid:38)(cid:81) ②N=204°-81°=123°(cid:38)
① =②123°(cid:58) ∠
∴(cid:15)∠(cid:53)𝐴𝑁(cid:86)𝐶(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:74)(cid:161)(cid:272)(cid:47)(cid:56)(cid:75)(cid:257)(cid:198)(cid:269)(cid:49)(cid:257)(cid:157)(cid:77)(cid:78)(cid:23)(cid:55)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)4-2(cid:19)(cid:42)(cid:43)1(cid:38)AD(cid:48)BC(cid:51)(cid:52)(cid:53)O(cid:38)(cid:81)(cid:154)(cid:49)(cid:56)(cid:11)(cid:273)(cid:87)(cid:43)(cid:24)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:172)(cid:57)‘8’(cid:33)(cid:24)ABCD(cid:58)
(cid:127)1(cid:128)(cid:99)(cid:105)(cid:106)(cid:10) A+ B(cid:277) C+ D(cid:130)
(cid:127)2(cid:128)(cid:42)(cid:43)2(cid:38)∠ABC∠(cid:64) ∠ADC∠(cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:52)E(cid:38)(cid:278)(cid:99)(cid:74)(cid:127)1(cid:128)(cid:45)(cid:49)(cid:56)(cid:11)(cid:273)(cid:87)(cid:43)(cid:24)(cid:64)(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:279)(cid:95) E(cid:84) A(cid:48)
C(cid:172)(cid:173)(cid:49)(cid:56)(cid:102)∠(cid:3)(cid:103)(cid:104)(cid:105)∠(cid:106)(cid:66)(cid:107)(cid:58) ∠ ∠
∠
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)(cid:108)(cid:82)(cid:61)(cid:130)(cid:127)2(cid:128)2 E(cid:277) A+ C(cid:38)(cid:66)(cid:107)(cid:108)(cid:82)(cid:61)
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)∠ (cid:65)(cid:66)∠(cid:10)∠ + = + = (cid:38)(cid:39)(cid:138)(cid:280)(cid:281)(cid:23)(cid:50)(cid:120)
(cid:80)(cid:81)(cid:39)(cid:40)(cid:58) ∠𝐴 ∠𝐵 180°−∠𝐴𝑂𝐵,∠全𝐶 科∠𝐷
AA
18
+
0°−∠𝐶𝑂𝐷
★
号
众
公
注
(cid:127)2(cid:128)(cid:73)(cid:74)(cid:127)1(cid:128)(cid:45)(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:161) ABE= EBC=x(cid:38)关ADE= EDC=y(cid:38)(cid:80)(cid:81) A+x= E+y(cid:38) C+y= E+x(cid:38)(cid:113)(cid:76)(cid:50)(cid:282)
，
源
资
辅
教
(cid:80)(cid:81)(cid:39)(cid:40)(cid:58) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10)(cid:127)1(cid:128)(cid:283)(cid:106)(cid:10) A+ B+ AOB(cid:277)180°(cid:38) C+ D+ COD(cid:277)180°(cid:38)
(cid:133) AOB(cid:277) COD(cid:38) ∵∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∵A∠+ B(cid:277) ∠C+ D(cid:58)
∴(cid:127)∠2(cid:128)∠(cid:39)(cid:40)(cid:10)∠2 ∠E(cid:277) A+ C(cid:58)
(cid:66)(cid:107)(cid:10) ABC∠(cid:64) A∠DC∠(cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:52)E(cid:38)
(cid:161) AB∵E∠(cid:277) EBC∠(cid:277)x(cid:38) ADE(cid:277) EDC(cid:277)y(cid:38)
∴ A∠+x(cid:277) E∠+y(cid:38) C+y(cid:277)∠ E+x(cid:38)∠
∵∠A+ C(cid:277)∠ E+ ∠E(cid:38) ∠
∴∠2 E(cid:277)∠ A+∠ C ∠(cid:58)
∴(cid:15)(cid:53)∠(cid:86)(cid:19)∠(cid:87)(cid:88)∠(cid:89)(cid:90)(cid:49)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:38)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:158)(cid:159)(cid:273)(cid:87)(cid:47)(cid:121)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)4-3(cid:19)(cid:42)(cid:43)1(cid:38)(cid:29)(cid:166) (cid:48) (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)(cid:266)(cid:147) (cid:48) (cid:38)(cid:274)(cid:275)(cid:284)(cid:24)(cid:42)(cid:43)1(cid:49)(cid:43)(cid:24)(cid:276)(cid:172)(cid:57)“8(cid:33)(cid:24)”(cid:58)(cid:42)(cid:43)
2(cid:38)(cid:44)(cid:43)1(cid:49)(cid:36)(cid:37)(cid:118)(cid:38) 𝐴𝐵(cid:64) 𝐶𝐷 (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝑂 (cid:64) 𝐴(cid:50)𝐷 (cid:51)𝐶(cid:52)𝐵(cid:53) (cid:38)(cid:104)(cid:126)(cid:84) (cid:48) (cid:28)(cid:117)(cid:50)(cid:51)(cid:52) (cid:48) (cid:58)(cid:99)(cid:82)
(cid:59)(cid:118)(cid:75)(cid:174)(cid:88)(cid:10) ∠𝐷𝐴𝐵 ∠𝐵𝐶𝐷 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝑃 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑀 𝑁(1)(cid:44)(cid:43)1(cid:45)(cid:38)(cid:283)(cid:106)(cid:10) + = + (cid:130)
(2)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:38)(cid:44)(cid:43)2∠(cid:45)𝐴“8(cid:33)∠𝐷(cid:24)”(cid:49)∠(cid:289)𝐶(cid:56)∠(cid:10)𝐵_____(cid:289)(cid:130)
(3)(cid:43)2(cid:45)(cid:38)(cid:165) =50(cid:55)(cid:38) =40(cid:55)(cid:169)(cid:38)(cid:67) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:58)
(4)(cid:43)2(cid:45) (cid:64)∠𝐷 (cid:57)(cid:290)(cid:199)(cid:23)(cid:169)∠𝐵(cid:38)(cid:250)(cid:291)(cid:36)(cid:37)(cid:143)(cid:98)∠(cid:38)𝑃(cid:99)(cid:174) (cid:84) (cid:48) (cid:172)(cid:173)(cid:292)(cid:44)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:49)(cid:56)(cid:102)(cid:3)(cid:103)(cid:58)(cid:127)(cid:112)(cid:147)(cid:148)(cid:68)
(cid:39)(cid:212)(cid:38)(cid:143)(cid:296)∠𝐷(cid:283)(cid:106)∠(cid:128)𝐵(cid:58) ∠𝑃 ∠𝐷 ∠𝐵
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)(1)(cid:108)(cid:82)(cid:61)
(2)6
(3) =45°
(4)∠𝑃 = +
科AA+
全
(cid:15)(cid:28)2∠(cid:61)𝑃(cid:19)(cid:127)∠𝐷1(cid:128)(cid:73)∠(cid:74)𝐵 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:84)(cid:280)(cid:281)(cid:23)(cid:50)(cid:120)(cid:80)(cid:81)号(cid:39)(cid:40)★(cid:130)
众
公
注
关
，
(cid:127)2(cid:128)(cid:107)(cid:51)(cid:53)(cid:168)(cid:53) (cid:38)(cid:69)(cid:28)(cid:196)(cid:229)(cid:65)源(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:154)(cid:59)(cid:60)(cid:130)
资
辅
教
(cid:127)3(cid:128)(cid:107)(cid:127)1(cid:128)(cid:80)(cid:81)𝑀,𝑂,𝑁 + = + (cid:38) + = + (cid:38)(cid:69)(cid:113)(cid:76)(cid:50)(cid:282)(cid:38)(cid:39)(cid:138)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)
(cid:65)(cid:70)(cid:80)(cid:81) + ∠=𝐷𝐴𝑃 (cid:38)∠(cid:69)𝐷(cid:284) ∠𝑃=5∠0𝐷°(cid:38)𝐶𝑃 ∠=𝑃4𝐶0𝐵°(cid:150)∠(cid:188)𝐵(cid:77)(cid:78)∠(cid:79)𝑃𝐴(cid:80)𝐵(cid:81)(cid:154)∠𝑃(cid:59)(cid:60)(cid:130)
(cid:127)4(cid:128)(cid:107)(cid:127)∠1𝐷(cid:128)(cid:80)∠(cid:81)𝐵 2∠𝑃+ =∠𝐷 + ∠(cid:38)𝐵 + = + (cid:38)(cid:69)(cid:113)(cid:76)(cid:50)(cid:282)(cid:38)(cid:39)(cid:138)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)
(cid:70)(cid:80)(cid:81) + =∠𝐷𝐴𝑃(cid:58) ∠𝐷 ∠𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃 ∠𝑃𝐶𝐵 ∠𝐵 ∠𝑃𝐴𝐵 ∠𝑃
(cid:15)(cid:83)(cid:82)∠(cid:19)𝐷(cid:127)1(cid:128)∠𝐵(cid:283)(cid:106)2(cid:10)∠𝑃 + + = + + =180°(cid:38)
(cid:133) = (cid:38) ∵∠𝐴 ∠𝐷 ∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐶 ∠𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶
∵∠+𝐴𝑂𝐷 =∠𝐵𝑂+𝐶 (cid:130)
(cid:127)∴∠2𝐴(cid:128)(cid:51)∠(cid:53)𝐷(cid:168)(cid:53)∠𝐶 ∠𝐵(cid:38)
(cid:189) (cid:57)(cid:51)(cid:53)(cid:49)8𝑀(cid:33),𝑂(cid:24),𝑁(cid:168)1(cid:289)(cid:38)(cid:57) (cid:84) (cid:38)
(cid:189)𝑀(cid:57)(cid:51)(cid:53)(cid:49)8(cid:33)(cid:24)(cid:168)4(cid:289)(cid:38)(cid:57) △𝐴𝑀𝐷(cid:84) △𝐶𝑀(cid:38)𝑃 (cid:84) (cid:38) (cid:84) (cid:38) (cid:84) (cid:38)
(cid:189)𝑂(cid:57)(cid:51)(cid:53)(cid:49)8(cid:33)(cid:24)(cid:168)1(cid:289)(cid:38)(cid:57)△𝐴𝑂𝐷 (cid:84)△𝐶𝑂𝐵 (cid:38)△𝐴𝑂𝑀 △𝐶𝑂𝑁 △𝐴𝑂𝑀 △𝐶𝑂𝐵 △𝐶𝑂𝑁 △𝐴𝑂𝐷
(cid:217)𝑁(cid:189)(cid:38)“8(cid:33)(cid:24)”(cid:43)(cid:24)(cid:297)(cid:168)6(cid:289)(cid:58) △𝐴𝑁𝑃 △𝐶𝑁𝐵
(cid:85)(cid:59)(cid:60)(cid:57)(cid:10)6(cid:130)(cid:127)3(cid:128)(cid:107)(cid:127)1(cid:128)(cid:80)(cid:81)(cid:38) + = + (cid:38)
+ = ∠+𝐷𝐴𝑃 (cid:38)∠𝐷 ∠𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃①
∠𝑃𝐶𝐵 (cid:64)∠𝐵 ∠(cid:49)𝑃𝐴(cid:27)𝐵(cid:28)(cid:29)∠𝑃②(cid:64) (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)
∵∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐷(cid:38) 𝐴=𝑃 𝐶𝑃(cid:38) 𝑃
∴(cid:107)∠𝐷𝐴+𝑃 (cid:38)∠(cid:81)𝑃𝐴𝐵 ∠𝐷+𝐶𝑃 +∠𝑃𝐶𝐵 + = + + + (cid:38)
(cid:79)① ②= +∠𝐷𝐴𝑃(cid:38) ∠𝐷 ∠𝑃𝐶𝐵 ∠𝐵 ∠𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃 ∠𝑃𝐴𝐵 ∠𝑃
(cid:133)2∠𝑃 =∠50𝐷°(cid:38)∠𝐵 =40°(cid:38)
∵∠𝐷=50°+4∠0𝐵°=90°(cid:38)
∴2∠𝑃=45°(cid:130)
∴(cid:127)∠4𝑃(cid:128)(cid:3)(cid:103)(cid:10) = + (cid:58)
(cid:66)(cid:107)(cid:10)(cid:107)(cid:127)12(cid:128)∠(cid:81)𝑃 ∠𝐷 +∠𝐵 = + (cid:38)
+ = ∠𝐷𝐴+𝑃 ∠𝐷 (cid:38)∠𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃①
∠𝑃𝐶𝐵 (cid:64)∠𝐵 ∠(cid:49)𝑃𝐴(cid:27)𝐵(cid:28)(cid:29)∠𝑃②(cid:64) (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)
∵∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐷(cid:38) 𝐴=𝑃 𝐶𝑃(cid:38) 𝑃
科AA+
全
★
号
∴(cid:107)∠𝐷𝐴(cid:271)𝑃 (cid:38)∠𝑃(cid:81)𝐴𝐵 ∠𝐷+𝐶𝑃 +∠𝑃𝐶𝐵 + = + 公 众 + + (cid:38)
注
关
，
源
资
① =② + ∠𝐷(cid:58)𝐴𝑃 ∠𝐷 辅∠𝑃𝐶𝐵 ∠𝐵 ∠𝑃 ∠𝐷𝐶𝑃 ∠𝑃𝐴𝐵 ∠𝑃
教
∴(cid:15)2(cid:53)∠𝑃(cid:86)(cid:19)∠(cid:87)𝐷(cid:88)(cid:134)∠𝐵(cid:135)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:49)(cid:239)(cid:74)(cid:48)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:38)(cid:158)(cid:159)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)
(cid:65)(cid:66)(cid:82)(cid:232)“8(cid:33)(cid:24)”(cid:45)(cid:49)(cid:23)(cid:55)(cid:174)(cid:88)(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
【模型5 燕尾形双角平分线夹角模型】
(cid:15)(cid:41)5(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:215)(cid:216)(cid:24) (cid:45)(cid:38) = =90°(cid:38)(cid:84) (cid:48) (cid:50)(cid:219)(cid:49)(cid:113)(cid:31)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53)E(cid:38)(cid:129)
=50°(cid:38)(cid:54) (cid:49)(cid:55)(cid:56)𝐴(cid:57)𝐵𝐶(cid:127)𝐷 (cid:128)∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
∠𝐴 ∠𝐸
A(cid:58)45° B(cid:58)60° C(cid:58)40° D(cid:58)50°
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)C
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)(cid:139)(cid:74)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:120)(cid:52)360°(cid:38)(cid:80)(cid:67) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:69)(cid:73)(cid:74)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:80)
∠𝐷𝐶𝐵(cid:67) (cid:49)(cid:55)(cid:56)(cid:58)
(cid:15)∠(cid:83)𝐸(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:266)(cid:147) (cid:104)(cid:145)(cid:146)(cid:38)
𝐸𝐶
= =90°(cid:38) =50°(cid:38)
∵∠𝐴𝐷𝐶 =∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 =130°(cid:38)
∴∠𝐷𝐶𝐵(cid:48) 360°−(cid:50)9(cid:219)0°(cid:49)−9(cid:113)0°(cid:31)−(cid:23)50(cid:27)° (cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)
∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶 =45°(cid:38) 𝐸
∴∠𝐶𝐷=𝐸 ∠𝐶𝐵+𝐸 (cid:38) = + (cid:38)
(cid:79)∵∠1 ∠𝐶=𝐷𝐸 ∠𝐷+𝐸𝐶 ∠2+ ∠𝐶𝐵𝐸=1∠3𝐵0𝐸°𝐶
∠𝐷=𝐶𝐵 ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐶𝐵=𝐸40°∠(cid:58)𝐵𝐸𝐷
科AA+
全
∴(cid:85)∠(cid:221)𝐸(cid:10)1(cid:58)30°−45°−45° 号 ★
众
公
注
关
，
(cid:15)(cid:53)(cid:86)𝐶(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:139)(cid:74)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:48)源(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:82)(cid:88)(cid:3)(cid:97)(cid:96)(cid:298)(cid:229)(cid:77)(cid:78)(cid:58)
资
辅
教
(cid:15)(cid:98)(cid:76)5-1(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:46)(cid:47)(cid:44) (cid:45)(cid:38) =60°(cid:38) (cid:48) (cid:28)(cid:117)(cid:27)(cid:28) (cid:48) (cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38) (cid:48) (cid:28)
(cid:117)(cid:27)(cid:28) (cid:48) (cid:38)(cid:50)(cid:51)𝛥𝐴(cid:52)𝐵(cid:53)𝐶 (cid:38)(cid:67)∠𝐴 (cid:48) 𝐵𝐷 (cid:49)𝐶(cid:55)𝐷(cid:56). ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐸
∠𝐷𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵 𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐵𝐷𝐸
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19) =150°(cid:130) =60°.
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)∠(cid:62)𝐵(cid:63)𝐸𝐶(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)∠(cid:27)𝐵(cid:28)𝐷𝐸(cid:29)(cid:49)(cid:51)(cid:23)(cid:49)(cid:273)(cid:87)(cid:43)(cid:24)(cid:64)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:68)(cid:59)(cid:60)
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10)(cid:107)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:51)(cid:23)(cid:49)(cid:273)(cid:87)(cid:43)(cid:24)(cid:64)(cid:39)(cid:40)(cid:81)(cid:38) =90°+ 1 =120°(cid:130)
2
∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐴
=90°+ 1 =150°(cid:130)
2
∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶
(cid:48) (cid:28)(cid:117)(cid:27)(cid:28) (cid:48) (cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)
∵𝐵𝐸(cid:96)𝐶𝐸 (cid:49)(cid:27)(cid:28)∠(cid:29)𝐷𝐵(cid:38)𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵 𝐸
∴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐷𝐶= 1 =60°(cid:58)
2
∴∠BDE ∠BDC
(cid:15)(cid:53)(cid:86)(cid:19)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:189)(cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:122)(cid:123)(cid:158)(cid:159)(cid:50)(cid:3)(cid:49)(cid:47)(cid:121)(cid:53)(cid:96)(cid:82)(cid:88)
(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)5-2(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:38) (cid:96) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)CH(cid:96) (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38) (cid:84)CH(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:38)(cid:129) =150°(cid:38)
=110°(cid:38)(cid:67) 𝐵(cid:49)𝐺 (cid:55)∠(cid:56)𝐴𝐵. 𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐺 𝑂 ∠𝐵𝐷𝐶
∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐴
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19) =70°.
(cid:15)(cid:28)(cid:61)(cid:19)∠(cid:62)𝐴(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:31)(cid:23)(cid:49)(cid:109)(cid:110)(cid:81)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:49)(cid:273)(cid:87)(cid:43)(cid:24)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:81)(cid:68) BDC(cid:48) BOC(cid:38)(cid:44)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:109)
(cid:110)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:68) ∠ ∠
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:82)(cid:10)(cid:107)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:49)(cid:273)(cid:87)(cid:43)(cid:24)(cid:84)(cid:39)(cid:40)(cid:80)(cid:81)(cid:38)
= + + 全
科AA+
★
号
众
公
注
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝑂+𝐶 ∠𝑂𝐵+𝐷 ∠𝑂𝐶𝐷① 关
，
源
资
辅
教
∠𝐵𝑂𝐶(cid:96) ∠𝐴 (cid:49)∠(cid:27)𝐴𝐵(cid:28)𝑂(cid:29)(cid:38)∠𝐴𝐶𝑂(cid:96)② (cid:49)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
∵𝐵𝐺 ∠=𝐴𝐵𝐷 (cid:38) 𝐺=𝐻 ∠𝐴𝐶(cid:58)𝐷
∴∠-𝐴𝐵(cid:81)𝑂(cid:38)∠𝑂𝐵=𝐷 ∠𝐴𝐶𝑂 ∠𝑂𝐶=𝐷70°(cid:58)
①(cid:15)(cid:53)②(cid:86)(cid:19)(cid:87)∠(cid:88)𝐴(cid:89)(cid:90)2∠(cid:91)𝐵(cid:22)𝑂𝐶(cid:23)−(cid:24)∠𝐵(cid:49)𝐷(cid:26)𝐶(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:38)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:58)(cid:4)(cid:199)(cid:73)(cid:74)“8(cid:33)(cid:24)”(cid:49)(cid:280)(cid:239)(cid:23)(cid:50)(cid:120)(cid:67)(cid:68)(cid:23)(cid:49)(cid:3)(cid:103)
(cid:96)(cid:82)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:38)(cid:135)(cid:4)(cid:199)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:49)(cid:73)(cid:74)(cid:58)
(cid:15)(cid:98)(cid:76)5-3(cid:19)(cid:127)23-24(cid:222)(cid:204)(cid:205)(cid:118)·(cid:223)(cid:224)(cid:207)(cid:236)·(cid:210)(cid:166)(cid:123)(cid:211)(cid:128)(cid:299)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:218)(cid:24)(cid:300)“(cid:34)(cid:35)”(cid:38)(cid:301)(cid:276)(cid:57)(cid:34)(cid:35)(cid:215)(cid:216)(cid:24)(cid:38)(cid:180)(cid:39)(cid:138)(cid:217)
(cid:11)(cid:47)(cid:121)(cid:82)(cid:232)(cid:118)(cid:75)(cid:174)(cid:88)(cid:10)
(1)(cid:74)(cid:43) (cid:283)(cid:106)(cid:10) = + + (cid:130)
(2)(cid:44)(cid:43)①(cid:45)(cid:38)(cid:129)∠𝐵(cid:27)𝐷𝐶(cid:28) ∠𝐴 (cid:38)∠𝐴𝐵(cid:27)𝐷(cid:28)∠𝐴𝐶𝐷(cid:38) (cid:84) (cid:51)(cid:52)E(cid:53)(cid:38)(cid:139)(cid:74)(cid:127)1(cid:128)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:148)(cid:68) (cid:48) (cid:64)
① 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶(cid:172)(cid:173)(cid:49)(cid:3)(cid:103)(cid:38)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:66)(cid:107)(cid:130)
(3)(cid:42)(cid:43) (cid:38)(cid:129) = 1 (cid:38) = 1 (cid:38)(cid:99)(cid:170)(cid:171) (cid:38) (cid:64) (cid:22)(cid:289)(cid:23)(cid:172)(cid:173)(cid:49)(cid:3)(cid:103)(cid:57)______(cid:127)(cid:112)
3 3
② ∠1 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠2 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:147)(cid:148)(cid:68)(cid:39)(cid:212)(cid:79)(cid:80)(cid:128)(cid:58)
(cid:15)(cid:59)(cid:60)(cid:19)(1)(cid:108)(cid:82)(cid:61)
(2) + = (cid:38)(cid:66)(cid:107)(cid:108)(cid:82)(cid:61)
(3)∠𝐵𝐷𝐶 +∠𝐵𝐴𝐶 =2∠𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:28)2∠(cid:61)𝐵(cid:19)𝐷𝐶(cid:87)(cid:88)∠(cid:89)𝐵𝐴(cid:90)𝐶(cid:22)(cid:23)3∠(cid:24)𝐵(cid:49)𝐸𝐶(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:111)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:65)(cid:70)(cid:38)(cid:82)(cid:59)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:96)(cid:122)(cid:47)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:49)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:120)(cid:52)180°(cid:96)
(cid:82)(cid:59)(cid:197)(cid:88)(cid:49)(cid:3)(cid:97)(cid:58)
(cid:127)1(cid:128)(cid:62)(cid:63)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:81) + + =180°(cid:38) + + =180°(cid:38)(cid:79)
+ + + ∠𝐴+𝐵𝐶 =∠1𝐴8𝐶0𝐵°(cid:38)(cid:79)∠𝐴(cid:80)(cid:67)(cid:81) ∠𝐷𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐷
∠𝐴𝐵+𝐷 ∠𝐷𝐵+𝐶 ∠𝐷𝐶=𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴 = (cid:38)(cid:54)(cid:302)(cid:131)(cid:81)(cid:154) = + + (cid:130)
∠(cid:127)𝐴2(cid:128)∠(cid:74)𝐴(cid:88)𝐵𝐷(cid:45)(cid:181)∠(cid:68)𝐴(cid:49)𝐶𝐷(cid:39)(cid:40)1(cid:151)80(cid:152)°−(cid:68)(180°−(cid:84)∠𝐵𝐷𝐶) (cid:38)∠(cid:69)𝐵(cid:284)𝐷𝐶(cid:113)(cid:76)(cid:50)(cid:303)(cid:79)(cid:80)(cid:81)∠(cid:68)𝐵𝐷(cid:39)𝐶(cid:40)(cid:130)∠𝐴 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷
(cid:127)3(cid:128)(cid:73)(cid:74)(cid:88)(cid:45)(cid:181)(cid:68)(cid:49)(cid:39)(cid:40)(cid:82)(cid:59)∠(cid:79)𝐵(cid:80)𝐷(cid:58)𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:83)(cid:82)(cid:19)(cid:127)1(cid:128)(cid:283)(cid:106)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:38)(cid:266)(cid:147) (cid:38) 全
科AA+
★
号
众
公
注
𝐵𝐶 关
，
源
资
辅
教
(cid:44) (cid:45)(cid:38) + + =180°(cid:38)
△𝐷𝐵𝐶+ ∵∠=𝐷𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵 (cid:130)∠𝐷
(cid:44)∴∠𝐷𝐵𝐶 (cid:45)∠(cid:38)𝐷𝐶𝐵 180°−∠𝐵𝐷𝐶
△𝐴𝐵𝐶+ + =180°(cid:38)
(cid:79)∵∠𝐴𝐵𝐶 +∠𝐴𝐶𝐵 +∠𝐴 + + =180°(cid:38)
(cid:185)∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶(cid:38)𝐷 ∠𝐴
∠𝐷𝐵+𝐶 ∠𝐷𝐶+𝐵 180=°−∠𝐵𝐷𝐶 = (cid:38)
(cid:79)∴∠𝐴 ∠=𝐴𝐵𝐷 +∠𝐴𝐶𝐷 +180°−(cid:58)(180°−∠𝐵𝐷𝐶) ∠𝐵𝐷𝐶
(cid:127)∠2(cid:128)𝐵𝐷𝐶 ∠+𝐴 ∠𝐴𝐵=𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷(cid:38)(cid:66)(cid:107)(cid:42)(cid:118)(cid:10)
(cid:107)(cid:88)(cid:199)∠(cid:81)𝐵𝐷(cid:38)𝐶 ∠𝐵𝐴=𝐶 2∠𝐵+𝐸𝐶 + (cid:38)
∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶 ∠1 ∠2①= + + (cid:38)
∠𝐵𝐸𝐶(cid:27)(cid:28)∠𝐵𝐴𝐶 (cid:38)∠𝐴𝐵(cid:27)𝐸(cid:28)∠𝐴𝐶𝐸(cid:38)②
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵(cid:38)𝐷 𝐶𝐸 = ∠𝐴(cid:38)𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐸(cid:81)(cid:38)∠1 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠=2 (cid:38)
①−② + ∠𝐵𝐷𝐶=−∠𝐵𝐸𝐶 (cid:130)∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐵𝐴𝐶
(cid:127)∴3∠(cid:128)𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵+𝐴𝐶 2∠=𝐵𝐸𝐶 (cid:38)(cid:66)(cid:107)(cid:10)
2
=
∠1𝐵𝐷𝐶
(cid:38)
∠𝐵𝐴𝐶
=
13∠𝐵𝐸
(cid:38)
𝐶
3 3
∵∠1 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠2 ∠𝐴𝐶𝐷
= 2 (cid:38) = 2 (cid:38)
3 3
∴∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐷
= + + = + 2 + 2 (cid:38)
3 3
∵∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷①
= + + (cid:38)
∠𝐵𝐷+𝐶 (cid:81)∠𝐵(cid:38)𝐴𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷②
② ① + = + 5 + 5 (cid:38)
3 3
∠𝐵𝐷𝐶 ∠
+
𝐵𝐸𝐶 2∠
=
𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴
+
𝐵𝐷 ∠𝐴
+
𝐶𝐷
(cid:38) 全
科AA+
★
号
众
公
注
∴3∠𝐵𝐷𝐶+3∠𝐵𝐸𝐶=6∠𝐵𝐴𝐶+ 5∠𝐴𝐵𝐷+ 5关∠𝐴𝐶𝐷+ (cid:38)
，
源
资
辅
教
∴3∠𝐵𝐷𝐶+3∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶+5(∠𝐵𝐴𝐶(cid:38) ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷)
∴3∠𝐵𝐷𝐶+3∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶(cid:58)5∠𝐵𝐷𝐶
(cid:85)∴(cid:59)2∠(cid:60)𝐵𝐷(cid:57)𝐶(cid:10) ∠𝐵𝐴𝐶 +3∠𝐵𝐸𝐶= (cid:58)
2∠𝐵𝐷𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 3∠𝐵𝐸𝐶
