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专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型
模型1、双角平分线模型
图1 图2 图3
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论： ．
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
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条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
h
2
C C
D D
h
3 h
1
B A E B A E
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三
边的距离相等，若 ，则 ．
例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中， ，DP，CP分别
平分 ， ，则 的度数是 ．
例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在 ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交
△
于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋ ∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，
CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
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例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点
E，则 ．
例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若
， ，求 的度数.
例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，则
∠BDC＝（ ）
A．35° B．25° C．70° D．60°
例7．（2022秋·八年级课时练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是
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的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，……以此
类推，若 ，则 ．
例8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE
为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记 ， ，则以下结论① ，
② ，③ ，④ ，正确的是 ．（把所有正确的结论的
序号写在横线上）
例9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在 中， 和 的平分线将
于点O，则有 ，请说明理由．
（2）如图2所示，在 中，内角的平分线 和外角 的平分线交于点O，请直接写出
与 之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分 ， ，则有 ，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分 ， ，请直接写出 与 ， 之间的关系，不必说
明理由．
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课后专项训练
1．（2023·成都·八年级月考）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线 交于点
，若 ，则
A． B． C． D．
2．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，点E在 的延
长线上， 的平分线 与 的平分线 相交于点D，连接 ，下列结论中不正确的是（
）
A． B． C． D．
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3．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半
轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
4．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点 在 内，且到三边的距离相等，连接
．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC
与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边
上的高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， ， 的
平分线与外角 的平分线交于点E，连接 ，则 的度数为 ．
8．（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线，
是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，若
，则 ．
9．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与外角
的平分线相交于点M，作 的延长线得到射线 ，作射线 ，有下面四个结论：
① ；② ；③射线 是 的角平分线；④ ．
所有正确结论的序号是 ．
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10．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO
与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，ADm，ABC的平分线与BCD的
平分线交于点P，则P ．（用含字母m的代数式表示）
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角
平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在 ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分
线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2△）如图（2）所示，若O为∠ABC的平
分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
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14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，
完成所提出的问题.
探究1：如图l，在 ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90 +
△
∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1= ∠ABC, ∠2= ∠ACB
∴∠l+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180 -∠A)= 90 - ∠A
∴∠BOC=180 -(∠1+∠2) =180 -(90 - ∠A)=90 + ∠A
(1)探究2；如图2中，O是 ∠ABC与外角 ∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样
的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关
系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D
有怎样的关系？（直接写出结论）
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15．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重
合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝ °；若∠MON＝90°，则∠ACG＝ °；
（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C
作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．
16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC度数＝ 度（直接写出结果）；
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②∠BDC的度数为 （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角
平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般
性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线
的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在 中，点 是 内角 平分线 与外角 的平分线
的交点，则有 ．请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为 ，
又因为在 中， ，
所以 ．
所以 ______．（理由是：等式性质）
同理可得： ______．
又因为 和 分别是 和 的角平分线，
所以 ， ______ ．
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所以 ．
即 （ ）．
所以 ．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在 中， ．延长 至 ，延长 至 ，已知 、
的角平分线与 的角平分线及其反向延长线交于 、 ，求 的度数；
【变式拓展】（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．
①已知 ， ，求 的度数；②直接写出 与 的关系．
18．（2023春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现：
如图1，在 中， ， 和 的平分线交于 ，则 的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在 中， 的平分线和 的外角 的角平分线交于 ，则 与 的关
系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在 中， 外角 的角平分线和 的外角 的角平分线交于 ，请直接写
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出 与 的关系是______．
19．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【基本模型】（1）如图1，在 中， 平分 ，
平分外角 ，试说明 ．
【变式应用】（2）如图2， ，A，B分别是射线 上的两个动点， 与 的
平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；
若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3， ，作 的平分线 ，A是射线 上的一定点，B是直线
上的任意一点（不与点O重合），连接 ，设 的平分线与 的邻补角的平分线的交点为
P，请直接写出 的度数．
20．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，
我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在 中， ，
，则 与 互为“和谐角”， 为“和谐三角形”．
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【理解】(1)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知 是和谐 中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定 的取值范围，并说明理由；
(4)【应用】如图， 中， ， ， 交 于点F，点D是 延长线上一点，
，若 是和谐 中的一个和谐角，设 ，则 ______．
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