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专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型
模型1、双角平分线模型
图1 图2 图3
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论： ．
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
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条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
h
2
C C
D D
h
3 h
1
B A E B A E
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三
边的距离相等，若 ，则 ．
【答案】
【分析】由条件可知 平分 和 ，利用三角形内角和可求得 ．
【详解】解：∵点P到 三边的距离相等，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中， ，DP，CP分别
平分 ， ，则 的度数是 ．
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【答案】
【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵五边形的内角和为 ，∴ ，
∵ 分别为 、 的平分线，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为 是解题关键．
例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在 ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交
△
于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋ ∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，
CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析(2) AE+CD=AC，证明见解析
【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC= ∠BAC，∠OCA=
∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、
CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证 AEO≌△AMO， DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，
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∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC= ∠BAC，∠OCA= ∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA= （∠BAC+∠BCA）= （180°-∠ABC）=90°- ∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°- ∠ABC），即∠AOC=90°+ ∠ABC；
（2）解： AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+ ∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中， ，∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，S AOM= AO×MK，S MON= ON×ML，∴ ，
△ △
∵ ，∴ ，∵AO=3OD，∴ ，∴ ，∴AN= AM= AE，
∵AN+NC=AC，∴ AE+CD=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理
的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点
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E，则 ．
【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得
∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA = （∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角
平分线的定义是解答的关键．
例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若
， ，求 的度数.
【答案】
【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在 中，∠BGC=180°-（ ∠EBC+ ∠BCF）=180°- （∠EBC+∠BCF）
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=180°- （180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°- （180°-m°+180°-n°）；=
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系
简化计算得出．
例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，则
∠BDC＝（ ）
A．35° B．25° C．70° D．60°
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE，再根据三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE＝∠D＋∠CBD，∠ACE＝∠A＋∠ABC，然后整理求出∠D＝
∠A．
【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD＝ ∠ABC，∠DCE＝ ∠ACE，
由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠D＋∠CBD，∠ACE＝∠A＋∠ABC，
∴∠D＋∠CBD＝ （∠A＋∠ABC）∴∠D＝ ∠A，
∵∠A＝70°，∴∠D＝ ×70°＝35°．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．
例7．（2022秋·八年级课时练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是
的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，……以此
类推，若 ，则 ．
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【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与
1 1
它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠ABC+∠A，整理即可得解 ，同理
1 1 1
求出∠A，∠A，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据此规律即可得解．
2 3
【详解】∵AB是∠ABC的平分线，AC是∠ACD的平分线，
1 1
∴∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，
1 1
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠ABC+∠A，
1 1 1
∴ （∠A+∠ABC）= ∠ABC+∠A，∴∠A= ∠A，
1 1
∵∠A=α．∠A= ∠A= α，同理可得∠A= ∠A= α，
1 2 1
根据规律推导，∴ ，故答案为 ．
【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
例8．（2023春·成都市七年级课时练习）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE
为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记 ， ，则以下结论① ，
② ，③ ，④ ，正确的是 ．（把所有正确的结论的
序号写在横线上）
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【答案】①④
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋ ∠1，∠BOC＝
90°＋∠2，再分析判断．
【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝ ∠ACD，∠DBE＝ ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE＝ （∠ACD−∠ABC）＝ ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°− （∠ABC＋∠ACB）＝180°− （180°−∠1）＝90°＋ ∠1，
故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝ ∠ACB，∠ACE＝ ∠ACD，
∴∠OCE＝ （∠ACB＋∠ACD）＝ ×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以
及角平分线的定义．
例9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1所示，在 中， 和 的平分线将
于点O，则有 ，请说明理由．
（2）如图2所示，在 中，内角的平分线 和外角 的平分线交于点O，请直接写出
与 之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分 ， ，则有 ，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分 ， ，请直接写出 与 ， 之间的关系，不必说
明理由．
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【答案】(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4)
【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得
出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；
(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式
∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；
(4) AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外
角性质和内角和性质即可得出结果．
【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=
∴∠BOC=
(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD
∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD
∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD∴∠BAC=2∠BOC
(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C
∴∠D-∠P=∠P-∠C∴
(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y
∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y
∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∴ D+∠AEG=∠MAP∴∠∠∴D∵+180°-（∠C+2x）-y=y
∴x+y= ∴ ∴
【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．
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例9．（2023·江苏八年级课时练习）（1）如图所示，在 中， 分别是 和 的平分
线，证明： ．
（2）如图所示， 的外角平分线 和 相交于点D，证明： ．
（3）如图所示， 的内角平分线 和外角平分线 相交于点D，证明： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设 ．
由 的内角和为 ，得 ．①
由 的内角和为 ，得 ．②
由②得 ．③
把③代入①，得 ，
即 ，即
（2）∵BD、CD为 ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
△
∴
由三角形内角和定理得， ，
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°- （∠A+180°），=90°- ∠A；
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（3）如图：
∵BD为 ABC的角平分线，交AC与点E，CD为 ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
△ △
∴∠1=∠2，∠5= （∠A+2∠1），∠3=∠4，
在 ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①
△
在 CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3- （∠A+2∠1），
△
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D= ∠A．
【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
课后专项训练
1．（2023·成都·八年级月考）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线 交于点
，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：延长 ，作 ， ， ，设 ，
平分 ， ， ，
平分 ， ， ， ，
， ，
， ，
在 和 中， ，
， ．故选： ．
2．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，点E在 的延
长线上， 的平分线 与 的平分线 相交于点D，连接 ，下列结论中不正确的是（
）
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出 ，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出
，再利用三角形的内角和定理求出 ，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义
和角平分线的定义求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 ，即可判断C选项；利用角平分线
的性质，推出 为 的外角平分线，然后列式计算求出 ，即可判断D选项．
【详解】解： ， ，
，故A选项正确，不符合题意；
平分 ， ，
在 中， ，
，故B选项错误，符合题意；
平分 ， ，
在 中， ，故C选项正确，不符合题意；
、 分别是 和 的平分线， 到 、 、 的距离相等，
是 的外角平分线， ，
故D选项正确，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．
3．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半
轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
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A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和
定理即可求出∠D的度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，∴∠DAO= ∠OAC= （180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD= ∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°- （180°-∠OAB）-∠OAB- ∠ABO=90°- （∠OAB+∠ABO）=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°- （∠OAB+∠ABO）．本题属于基础
题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
4．（2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点 在 内，且到三边的距离相等，连接
．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点 在 内，且到三边的距离相等，可知 是角平分线的交点，则 ，
，由 ，可得 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵点 在 内，且到三边的距离相等，
∴ 是角平分线的交点，∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
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∵ ，∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
5．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC
与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【分析】先根据角平分线的定义得到 ， ，再根据三角形外角性质得
， ，则 ，利用等式的性质得到 ，然后把
的度数代入计算即可．
【详解】解答：解：∵ 的平分线与 的平分线交于点D，∴ ， ，
∵ ，即 ，∴ ，
∵ ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°
和三角形外角性质进行分析是解题关键．
6．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边
上的高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ）
【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明 ，
， ， ，可判断③，由 ，
，可得 ，从而可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵ 是 角平分线，∴ ，故①符合题意；
∵ 是边 上的高，∴ ，故②符合题意；
∵ 是 角平分线， 平分 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故③不符合题意；
∵ ， ，
∴
，故④符合题意；故选C
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，
灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．
7．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， ， 的
平分线与外角 的平分线交于点E，连接 ，则 的度数为 ．
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【答案】 /37度
【分析】由角平分线的性质可得 ，进而可证明 是 的外角平分线，再利用三角形
的内角和定理解答即可．
【详解】解：过E点分别作 于 ，作 于点G，作 于H，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，∴ ， ，
∴ ，∴ 是 的外角平分线，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
8．（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线，
是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，若
，则 ．
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【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形外角的性质可得
，化简可得 ，进一步找出其中的规律，即可求出 的度数．
【详解】解： 和 分别是 的内角平分线和外角平分线，
， ，
又 ， ，
， ，
同理可得： ， ，
则 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出 ， ，
与 的规律是解题的关键．
9．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与外角
的平分线相交于点M，作 的延长线得到射线 ，作射线 ，有下面四个结论：
① ；② ；③射线 是 的角平分线；④ ．
所有正确结论的序号是 ．
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【答案】①③④
【分析】由角平分线的定义可知 ．再根据三角形外角的性质得出 ，
即可确定 ，故①正确；过点M作 于点F， 于点G， 于点
H，由角平分线的性质定理可得出 ．即易证 ，得出
，即说明射线 是 的角平分线，故③正确；利用反证法，假设 ，易证
，即得出 ．由 ，可知 ，即说明 不成立，
故②错误；由 ，即得出 ．再根据角平分线
的定义即得出 ，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判
断④正确．
【详解】解：∵ 为 的平分线，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，故①正确；
如图，过点M作 于点F， 于点G， 于点H，
∵ 为 的平分线， 为 的平分线，∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ，即射线 是 的角平分线，故③正确；
假设 ，∴ ．
∵ 为 的平分线， 是 的角平分线，
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∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
∵ ，∴ ，∴假设不成立，故②错误；
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴
，∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质
及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO
与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【答案】40°
【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO= ∠ACB，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD= ∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD= （∠ACB+∠ACE）= ×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题
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的关键．
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，ADm，ABC的平分线与BCD的
平分线交于点P，则P ．（用含字母m的代数式表示）
1
【答案】 m
2
【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内
角和定理求出∠P的度数即可．
【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，
1 1
∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC= ABC，∠BCP= BCD，
2 2
1 1 1 1
∴∠PBC+∠BCP= ABC+ BCD= (ABC+BCD) (360m)
2 2 2 2
1 1 1
∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）= 180 (360m) m 故答案为： m．
2 2 2
【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表
达出∠PBC+∠BCP的度数．
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角
平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
【答案】36°
1
【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=2 ×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平
分线及三角形内角和即可求得结果．
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1
【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=2 ×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°，
1
又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴2 （∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，
∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是
关键．
13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在 ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分
线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2△）如图（2）所示，若O为∠ABC的平
分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
【答案】(1)∠BOC= ∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC= ∠A；理由见解析
【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分
线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，最后得出结论；
(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出
∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．
【详解】(1)∠BOC= ∠A+90°．在 ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
△
在 BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又△∵ BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∴ ∠BOC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°．∴ ∠BOC=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)= 90°+ ∠A．
(2)∠BOC= ∠A．
∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC， ∠BOC=∠OCE-∠OBC
又∵ BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．
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∴∠BOC=∠OCE-∠OBC= ∠ACE- ∠ABC= (∠ACE-∠ABC)= ∠A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．
14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，
完成所提出的问题.
探究1：如图l，在 ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90 +
△
∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1= ∠ABC, ∠2= ∠ACB
∴∠l+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180 -∠A)= 90 - ∠A
∴∠BOC=180 -(∠1+∠2) =180 -(90 - ∠A)=90 + ∠A
(1)探究2；如图2中，O是 ∠ABC与外角 ∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样
的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关
系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D
有怎样的关系？（直接写出结论）
【答案】（1）探究2结论：∠BOC= ；（2）探究3：结论∠BOC=90°－ ；（3）拓展：结论
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不
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相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2= ∠ACD= （∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即
可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和
定理解答；（3）同（1）的求解思路．
【详解】（1）探究2结论：∠BOC= ∠A．理由如下：如图，
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2= ∠ACD= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1= ∠A+∠1-∠1= ∠A，即∠BOC= ∠A；
（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°- （∠A+∠ACB）- （∠A+∠ABC），
=180°- （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°- （180°+∠A），=90°- ∠A；故答案为∠BOC=90°- ∠A．
（3）∠OBC+∠OCB= （360°-∠A-∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°- （360°-∠A-∠B）= （∠A+∠D）．故答案为∠BOC= （∠A+∠D）．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，
整体思想的利用是解题的关键．
15．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重
合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝ °；若∠MON＝90°，则∠ACG＝ °；
（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝n°，过C
作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．
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【答案】（1）60°；45°；（2）90°－ n；（3）90°－ n．
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可
得到∠ACG的度数；（2）根据（1）中的结论即可求出答案；（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得
到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.
【详解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC= ∠ABO，∠BAC= ∠BAO，
当∠MON＝60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC= (∠ABO+∠BAO)= （180°-∠MON）=60°，
当∠MON＝90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC= (∠ABO+∠BAO)= （180°-∠MON）=45°，故答案为：60°，45°；
（2）由（1）知∠ACG= （180°-∠MON），
∵∠MON＝n°，∴∠ACG= （180°-∠MON）=90°－ n；
（3）∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO
∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，
∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,
∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,
∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－ n，∴∠BGO－∠ACF=90°－ n.
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【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理
解和利用.
16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．
①当α＝70°时，∠BDC度数＝ 度（直接写出结果）；
②∠BDC的度数为 （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角
平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）（1）①125°；② ，（2） ；（3）
【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角
和定理可求∠BDC；
②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；
（2）由三角形外角性质得 ，然后结合角平分线的定义求解；
（3）由折叠的对称性得 ，结合（1）②的结论可得答案．
【详解】解：（1）①∵ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
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＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣ （180°﹣70°）
＝125°
②∵ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣ （180°﹣∠A）
＝90°+ ∠A
＝90°+ α．
故答案分别为125°，90°+ α．
（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE
∴ ， ，
∴ ＝
即 ．
（3）由轴对称性质知： ，
由（1）②可得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角
性质是解题的关键．
17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般
性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线
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的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】（1）如图1，在 中，点 是 内角 平分线 与外角 的平分线
的交点，则有 ．请补齐下方的说理过程．
理由如下：因为 ，
又因为在 中， ，
所以 ．
所以 ______．（理由是：等式性质）
同理可得： ______．
又因为 和 分别是 和 的角平分线，
所以 ， ______ ．
所以 ．
即 （ ）．
所以 ．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】（2）如图2，在 中， ．延长 至 ，延长 至 ，已知 、
的角平分线与 的角平分线及其反向延长线交于 、 ，求 的度数；
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【变式拓展】（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．
①已知 ， ，求 的度数；
②直接写出 与 的关系．
【答案】（1）ECB，ACB，ECB；（2）70°；（3）①205°；② = （ ）+90°
【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；
（2）先推出∠AEC= ∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解；
（3）①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N= ∠M，进而即可求解；②根据∠N=
∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】解：（1）因为 ，
又因为在 中， ，
所以 ．
所以 ECB．（理由是：等式性质）
同理可得： _ACB_．
又因为 和 分别是 和 的角平分线，
所以 ， __ECB____ ．
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所以 ．
即 （ ）．
所以 ．
故答案是：ECB，ACB，ECB；
（2）∵ ，
∴∠AEC= ∠ABC=20°，
∵ 、 的角平分线与 的角平分线及其反向延长线交于 、 ，
∴∠EAC+∠FAC= ∠ABC+ = (∠ABC+ )= ×180°=90°，
∴∠F=180°-90°-20°=70°；
（3）①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，
∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，
∴∠N= ∠M，
∵ ， ，
∴∠M=180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°，
∴∠N=25°，
∴ =360°-（180°-25°）=205°；
②∵ =360°-（180°-∠N）=180°+∠N， + =180°+∠M，
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又∵∠N= ∠M，
∴ -180°= （ + -180°），
即： = （ ）+90°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的
性质，是解题的关键．
18．（2023春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现：
如图1，在 中， ， 和 的平分线交于 ，则 的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在 中， 的平分线和 的外角 的角平分线交于 ，则 与 的关
系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在 中， 外角 的角平分线和 的外角 的角平分线交于 ，请直接写
出 与 的关系是______．
【答案】（1）110°；（2） ；（3）
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即
可；
（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根据角平分线的定义解答；
（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于 ，
∴ ， ，
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∴
故答案为110°
（2） ，
证明：∵ 是 的外角，
是 的外角，
∴
，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）由（1）得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角
形外角性质是解题的关键．
19．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【基本模型】（1）如图1，在 中， 平分 ，
平分外角 ，试说明 ．
【变式应用】（2）如图2， ，A，B分别是射线 上的两个动点， 与 的
平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；
若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3， ，作 的平分线 ，A是射线 上的一定点，B是直线
上的任意一点（不与点O重合），连接 ，设 的平分线与 的邻补角的平分线的交点为
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
P，请直接写出 的度数．
【答案】（1）见解析（2）不变， （3） 或
【分析】(1)利用三角形外角定理分别在△ABC与△BCP中建立等式关系：∠1=∠2+∠P，2∠1=2∠2+∠A，则
，于是 ．
(2)与(1)的思路一样，可以先证得 ，然后结合已知 ，可得 ．
(3)分两种情况讨论．根据点B所处的位置不同，则 或 ， 的度数等于
度数的一半即可求得结果．
【详解】解：(1)如图1，
∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ 平分 ， 平分
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
(2) 的大小不变．
理由：如图2，
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∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
(3)分两种情况讨论：
①如图3，
∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
∴ ．
②如图4，
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∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角定理，解题的关键是灵活对等式进行适当变形．
20．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，
我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在 中， ，
，则 与 互为“和谐角”， 为“和谐三角形”．
【理解】(1)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知 是和谐 中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定 的取值范围，并说明理由；
(4)【应用】如图， 中， ， ， 交 于点F，点D是 延长线上一点，
，若 是和谐 中的一个和谐角，设 ，则 ______．
【答案】(1)10(2)30或22.5(3) ，理由见解析(4) 或 或 或
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【分析】（1）根据和谐三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案；（2）根据和谐三角形的概
念分两种情况求解即可；（3）由题意得出另外两个角分别为 和 ，列出不等式求解即可；
（4）分两种情况：①当 与 互为和谐角时， 或 ；②当
与 互为和谐角时， 或 ，列出方程求出答案即可．
【详解】（1）设最小角为α，
∵ 为和谐三角形， ，∴ ，
∴ ，∴这个三角形中最小的内角为 ．故答案为：10；
（2）∵ ，当 与 互为“和谐角”时，则最小角为 ；
当 与 互为“和谐角”时，设最小角为α，∴ ，∴ ，
综上： 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为 或 ；故答案为：30或
22.5；
（3）∵ 是和谐 中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，
∴另外两个角分别为 和 ，∴ ，∴ ；
（4）∵ 是 的外角， 是 的外角，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ；
①当 与 互为和谐角时， 或 ，
∴ 或 ，解得 或 ；
②当 与 互为和谐角时， 或 ，
∴ 或 ，解得 或 ，
综上所述： 的值为 或 或 或 ．故答案为： 或 或 或 ．
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【点睛】本题查了三角形内角和定理，三角形外角的性质以及和谐角和和谐三角形的概念，一元一次方程
的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本
题的关键．
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