文档内容
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模块四 几何压轴
第 10 讲 三角形与四边形中的计算（压轴题）
（思维导图+1考点+ 8种题型（含33考向）+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
►题型01 全等构造
考向一 遇“等腰△+逆等线”→构“X”型全等
考向二 遇“中点/中线”→构“X”型全等
考向三 遇“等腰直角△”→构一线三等角型全等
考向四 遇“一线两直角”→构一线三垂直型全等
考向五 遇“一线两等角”→构一线三等角型全等
考向六 SA→构“SAS,ASA,AAS”型全等
考向七 遇“显性/隐性夹半角”→构旋转型全等
►题型02 相似构造
考向一 平行线转移角→构造母子型相似
考向二 遇一线两垂直-构造一线三垂直型相似
考向三 遇共顶点等角-构造旋转型相似
►题型03 三角函数转化
考向一 直接解直角三角形
考向二 作垂线构造直角三角形
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考向三 利用等角代换
考向四 利用共圆代换
►题型04 旋转变换，翻折变换
考向一 对角互补模型→造共顶点的等腰三角形
考向二 三条线段共端点→造共顶点全等/相似三角形
考向三 类比旋转→整体旋转
考向四 翻折全等的对应角相等→导线段的数量关系
考向五 导角相等得线段的关系
►题型05 中点处理
考向一 已知中点→造中位线模型
考向二 中点+等腰→构三线合一
考向三 中点+直角→构斜边中线
考向四 中点+平行线→构A/X型
►题型06 角平分线处理
考向一 角平分线上→造双垂，构轴对称全等
考向二 角平分线+平行→造等腰三角形
考向三 角平分线+垂线→构三线合一
考向四 角平分线为轴→构翻折型全等
►题型07 图形拼接
考向一 面积关系+方程
考向二 方案选择+相似
►题型08 分类讨论
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考向一 腰与底不明的分类讨论
考向二 直角不明的分类讨论
考向三 动点位置不明分类讨论
考向四 图形状态下的分类讨论
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
三角形与四边形中的计算问题作为中考数学中的常见压轴题型，其命题特点和趋势
对于学生备考具有重要的指导意义。以下从考点分布、题型特点、解题策略和备考建议
四个方面进行详细分析。
【考点分布】
1. 三角形部分：主要涉及三角形的相似与全等判定及性质、三角函数的应用、面积计
算以及特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形）的性质运用。其中，相似三角形的判
定与性质结合三角函数的应用是高频考点。
2. 四边形部分：重点考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，特别是四
边形的对角线性质、内角和与外角和定理、中位线定理等。此外，不规则四边形的面积
计算及其与三角形的关系也是常考内容。
【题型特点】
1. 综合性：压轴题往往将三角形与四边形的知识点进行深度融合，要求学生具备较强
的知识整合能力。例如，通过构造辅助线将四边形问题转化为三角形问题，或利用三角
形相似解决四边形中的角度与长度关系。
2. 创新性：题目背景新颖，可能结合实际问题或几何图形的动态变化，考查学生的逻
辑推理能力和空间想象能力。如动态几何问题，要求学生在图形运动过程中捕捉不变
量，进而解决问题。
三角形与四边形 3. 计算复杂性：涉及较多的代数运算，包括方程求解、代数式的化简与变形等，对学
中的计算（压轴 生的计算准确性和效率要求较高。
题）
【解题策略】
1. 熟练掌握基础知识：深入理解三角形与四边形的定义、性质、判定定理及三角函数
公式，这是解题的基础。
2. 强化图形分析能力：学会从复杂的图形中提取关键信息，合理构造辅助线，将复杂
问题简单化。
3. 掌握解题技巧：如利用相似三角形的比例关系求解边长，利用三角函数求解角度；
掌握面积法的多种应用，如利用面积公式求解边长、利用面积关系证明几何定理等。
4. 注重逻辑推理：培养严密的逻辑思维能力，学会从已知条件出发，逐步推导出未知
结论。
【备考建议】
1. 系统复习：全面梳理三角形与四边形的知识点，形成知识网络，确保基础扎实。
2. 针对性训练：针对压轴题的特点，进行专项训练，提高解题能力和应试技巧。
3. 错题整理：及时整理错题，分析错误原因，避免重复犯错。
4. 模拟演练：定期进行模拟考试，检验学习成果，调整备考策略。
综上所述，三角形与四边形中的计算（压轴题）考查内容广泛，题型多样，对学生
的综合能力要求较高。通过系统复习、针对性训练和科学备考，学生可以有效提升解题
能力，取得优异成绩。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
►题型01 全等构造
考向一 遇“等腰△+逆等线”→构“X”型全等
1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点
N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH AC于点H．
⊥
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(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，
使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．
考向二 遇“中点/中线”→构“X”型全等
3．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB=5，BD=4，
CD=3，点E是AC的中点，则BE的长为（ ）．
5
A．2 B． C．√5 D．3
2
4．（21-22八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
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（1）如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．根据__________可以判定△ADC≌__________，
得出AC=__________．
这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范
围是__________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知
条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC边的中点，∠EDF=90°，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF，请判断BE，CF，EF的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3，△ABC中，∠B=90°，AB=3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=5，且
∠ADE=90°，请直接写出AE的长．
考向三 遇“等腰直角△”→构一线三等角型全等
5．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为
△ABC内一点，∠ADC=90°，CD=1，AD=3，则DB= ．
6．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0,4)，点
B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 ．
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k
7．（2023·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y= (x>0)的图象上．点
x
A的坐标为(m,2)．连接OA,OB,AB．若OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 ．
8．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针
旋转90°得到PA'，连接C A'．若AD=9，AB=5，C A'=2√2，则BP= ．
9．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，已知点A(3,0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋
转120°到线段AC，若点C的坐标为(7,h)，则h= ．
10．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在
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BC边上，连接AD，作BE⊥AD于点E，连接CE．若∠CED=45°，CD=√10，则CE的长为 ．
考向四 遇“一线两直角”→构一线三垂直型全等
11．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，点E为BC上一动点，DC⊥BC，
连接AE，DE．DE与AC交于点F，∠DFC=45°，AC=2√15，CE=3√3，若BE=DC，则AE=
．
考向五 遇“一线两等角”→构一线三等角型全等
12．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，点E在∠C
内部，且△ADE是等边三角形，∠CBE=60°．若BC=5，BE=3，则△ABD的面积为（ ）
5√3
A． B．3√3 C．4√3 D．5√3
2
13．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E为Rt△ABC外
一点，且△ADE为等边三角形，∠CBE=60°，若BC=7，BE=4，则△ADE的边长为 ．
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考向六 SA→构“SAS,ASA,AAS”型全等
14．（21-22八年级上·辽宁大连·期中）如图，△ABC为等边三角形，若
∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°)，则∠BCD= （用含α的式子表示）．
15．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD BC，垂足为点D，线段AE与
线段CD相交于点F，且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝3DE，则⊥cosE的值为 ．
考向七 遇“显性/隐性夹半角”→构旋转型全等
16．（2017·湖北武汉·中考真题）如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，
则DE的长为 ．
17．（2021·贵州贵阳·一模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，点E,F在AB边上，∠ECF=45°．
若AE=10,EF=15，则BF的长为 ．
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►题型02 相似构造
考向一 平行线转移角→构造母子型相似
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接
DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（ ）
√10 3√10 1 2
A． B． C． D．
10 10 3 3
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，点E
OF 5
在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若∠ACD=2∠OEC， = ，则菱形ABCD的面积为
FE 6
．
考向二 遇一线两垂直-构造一线三垂直型相似
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A(0,−2)，B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若
∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 ．
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k
4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线y = (x>0)上，连接AO并延长，交双曲线
1 x
k
y = (x<0)于点B，点C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为
2 4x
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考向三 遇共顶点等角-构造旋转型相似
5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在CB的延长线
上，且∠DAE=120°，若AB=2√3，DB=3，求CE的长为 ．
考向四 遇“显性夹半角”→构旋转型相似6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，
AB=AC=2√3,∠BAC=120°，点D，E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为
（ ）
A．3+√3 B．3√3−3 C．2√3−1 D．3√3−4
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►题型03 三角函数转化
考向一 直接解直角三角形
1. （2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，
∠BAC=∠CAD=45°，AB+AD=2，则⊙O的半径是（ ）
√6 2√2 √3 √2
A． B． C． D．
3 3 2 2
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．
连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B．√2 C．√3 D．√5
考向二 作垂线构造直角三角形
3 ．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则
sin∠EBC的值为（ ）
√3 √7 √21 5√7
A． B． C． D．
5 5 14 14
4．（2023·天津河北·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2√3，连接AC，点E在AC上，
∠≝=90°,EC平分∠≝,AE= ．
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5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长
DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为 ．
考向三 利用等角代换
6．（2024·海南·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别
1
以点M、N为圆心，大于 MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若
2
∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形BCDE的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为
M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（ ）
4√5 3√5 2√5
A．√5 B． C． D．
5 5 5
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考向四 利用共圆代换
8．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，
点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直
线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2 B．4√3−2 C．2√3 D．4
►题型04 旋转变换，翻折变换
考向一 对角互补模型→造共顶点的等腰三角形
1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
CD=2√2，连接BD、AC，若∠ABD=60°，AC=√10，则BC的长为 ．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形ABCD中，∠BCD=90°,∠BAC=45°，连接
AC,BE⊥AD于点E,∠ABE=∠ACD，AE=2√2,CD=3，则BC的长为 ．
3．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知，在△ABC中，∠ACB=60°，CD平分∠ACB．点E、F分别在边
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AC、BC上，∠EDF=120°，当AD=6,BD=4时，则△ADE与△BDF的面积之和S为 ．
考向二 三条线段共端点→造共顶点全等/相似三角形
4．（2023·山东滨州·中考真题）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段
AP,BP,CP为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
5．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何
图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本
质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解
题中的应用，
例：如图1，已知P为等边三角形ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°.
AP BP CP
求以 ， ， 为边的三角形中各个内角的度数.
解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以AP，BP，CP为边的
三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为AP，BP，CP的三角形来解决
问题．
解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC．
∴ BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP．
由旋转可知∠QAP=60°，∴ △APQ是等边三角形．【依据】
∴ QP=AP，∠3=∠4=60°．
∴ △QBP就是以AP，BP，CP为边的三角形．
∵ ∠APB=113°，∴ ∠5=∠APB−∠4=53°．
∵ ∠AQB=∠APC=123°.∴ ∠6=∠AQB−∠3=63°．
∴ ∠QBP=180°−∠5−∠6=64°．
∴以AP，BP，CP为边的三角形中，三个内角的度数分别为64°，63°，53°.
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构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表
达出来，使问题变简单．
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=102°，则在以线段AP，BP，CP
为边的三角形中，最小内角的度数为________°．
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求证：BD2=AD2+CD2．
考向三 类比旋转→整体旋转
k
6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，点A在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上，AB⊥y轴于点
x
B，C为x轴正半轴上一点，将△ABC绕点A旋转180°得到△AED，点C的对应点D恰好落在该函数图象
上．若△BOC的面积为6，则k的值为 ．
7．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D为边AC上的一点，当AD>AB时，
连接BD，将线段BD绕点B按逆时针方向旋转60°，得到线段BE，连接AE，DE．若AD=6，则△ABE
的面积的最大值为（ ）
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3√3 9√3
A．√3 B．√2 C． D．
2 4
8．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，直角坐标系中，点A(0,4)，B(3,0)，线段AB绕点B按顺时针方向旋转
45°得到线段BC，则点C的纵坐标为（ ）
√2 7√2
A．5 B．3+√2 C．5− D．
2 2
考向四 翻折全等的对应角相等→导线段的数量关系
9．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．将此矩形折叠，使
点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF，则△FDD'的面积为 ．
10．（2023·新疆·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，点E是AD上一动
点，将△ABE沿BE折叠得到△A'BE，当点A'恰好落在EC上时，DE的长为 ．
11．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与
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DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是 ．
考向五 导角相等得线段的关系
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠D=60°，E是CD上的一点，将△ADE沿
CP
AE翻折得到△AFE，EF交BC于点P．若DE=3CE，则 的值为 ．
PB
13．（2023·江苏宿迁·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，先将△ABC沿AC翻折到
△AB'C处，再将△AB'C沿AB'翻折到AB'C'处，延长CD交AC'于点M，则DM的长为 ．
►题型05 中点处理
考向一 已知中点→造中位线模型
14．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E是AB中
点，F是BC上一点，沿着EF折叠△B'EF，若AB'=2，则CF= ．
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15．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M，N分别是AF，
MN
DE的中点，连接MN，则 的值为 ．
AB
考向二 中点+等腰→构三线合一
16．（2024·山西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C
作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为 ．
考向三 中点+直角→构斜边中线
17．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=8，F是A´B的中点，C，
D分别是线段OA，OB的中点，E是CD的中点，连接EF，BE，则阴影部分的面积为 ．
18．（22-23九年级上·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为
圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为 ．
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考向四 中点+平行线→构A/X型
19．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，
5
EA=ED= ．
2
（1）△ADE的面积为 ；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 ．
20．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿
BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 ．
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►题型06 角平分线处理
考向一 角平分线上→造双垂，构轴对称全等
1．（2024·天津·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=8，点E是BC的中点，点F是CD边上一
点，连接AE，AF．
（1）AE 的长为 ；
（2）若AF平分∠DAE，则DF的长为 ．
考向二 角平分线+平行→造等腰三角形
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE OB交OA于点D，
EC OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ） ∥
⊥
A．2 B．2√3 C．4 D．4+2√3
3．（2022·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//
AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9
考向三 角平分线+垂线→构三线合一
4．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD为
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5
△ABC的角平分线，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，若CE= ，则BD的长为 ．
3
5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AC>AB，边AC上有一点
，过点 作 的垂线交 延长线于点 ．若 ，则S
D,∠ABD=∠ACB C BD D E EC=1,AC=2 △ABC =
S
△BEC
．
考向四 角平分线为轴→构翻折型全等
6．（2022·河北唐山·一模）如图，已知在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分线交于点I．若
BC=AI+AC，∠B=40°，则∠BAC为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
►题型07 图形拼接
考向一 面积关系+方程
1．（2023·浙江杭州·中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学
家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中间一个
小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE．设∠BAF=α,∠BEF=β，若
正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β，则n=（ ）
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A．5 B．4 C．3 D．2
2．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=8，DC=10，
AD
