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专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直
模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的平分线，
于点 ，则 度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在 ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长
线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交△AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是 ABE的角平分线；②BE是 ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④A△H是 ACF的角平分线和高
△ △
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，
AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，
若 ， ．(1)求 的度数．(2)试写出 与 关系式，并证明．(3)如图，F
为AE的延长线上的一点， 于D，这时 与 的关系式是否变化，说明理由．
模型2：双垂直模型
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结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③ 。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于
点P，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若
， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， 于点F，
于点 ， 与 交于点 ， ．(1)求 的度数．(2)若 ，求 的长．
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模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③ 。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证：
．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD
交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．
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例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如
果 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在 中，
， 是角平分线，D是 上的点， 、 相交于点F．
(1)若 时，如图所示，求证： ；(2)若 时，试问 还成立吗？若成
立说明理由；若不成立，请比较 和 的大小，并说明理由．
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课后专项训练
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交
于点D，交 于点E， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图， 中， ， 平分 ，若 ，
，则 （ ）
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A． B． C． D．
3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在 中， 平分 交 于点 、 平分 交
于点 ， 与 相交于点 ， 是 边上的高，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 分别是
的中线、角平分线和高线， 交 于点G，交 于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于 的面积； ② ；
③ ； ④ ．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， ，
是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点G，交 于点H，下面结论： 的面积＝
的面积； ； ； ．其中结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上
取一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长
为 ．
7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别是
的高和角平分线，点E为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ．
8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别在边 、
上， 、 相交于点 ．
(1)给出下列信息：① ；② 是 的角平分线；③ 是 的高．请你用其中的两
个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
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条件：______，结论：______．（填序号） 证明：
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．（用含 的代数式表示）
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， 于 ， 平分
交 于 ，交 于F．(1)如果 ，求 的度数；(2)试说明： ．
10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学
式）．如图．在直角 中， 是斜边 上的高， ．
(1)求 的度数；(2)求 的度数．
解：（1） （已知）， ______° ，
（______），
______° ______°（等量代换），
（2） （______），
_____（等式的性质），
（已知），
______ ______°（等量代换）．
11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在 中， ， 于点D，E为 上
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一点， (1)求证： 平分 ；(2)若 ，求证： ．
12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分
∠DCB交AB于点E，(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．
13．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在 中， 分别是 的角平分线和高
线， ， ．
(1)若 ，则 _______；
(2)小明说：“无需给出 的具体数值，只需确定 与 的差值，即可确定 的度数．”请通过计
算验证小明的说法是否正确．
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14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上的高，
是 的平分线．(1)求 的度数；(2)若 ，试探求 、 、 之间的数量关
系．
15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，
我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在 中， 为 的平分线， ， ．求证： 为 的“等角分割
线”；
(3)在 中，若 ， 是 的“等角分割线”，请求出所有可能的 的度数．
16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点
作 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 .
（1）求证： ；（2）求证： ；（3）若 ， ，请用含 ，
的代数式表示 的面积， ___________（直接写出结果）
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17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在 中， ， 平分 ．
(1)如图①，若 于D，求 的度数．(2)如图②若点P为 上一点， ，求 的
度数．
18．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在 中， ， 于点D， 平分
交 于点E，交 于点F，求证： ．
19．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在 中， ， 平分
．
(1)求 的度数；(2)求 的度数；(3)直接写出 ， ， 三个角之间的数量关系．
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20．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在 中， 为 的高， 为 的角平分
线， 交 于点G， 比 大 ， ，求 的大小．
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