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期中考前满分冲刺之基础常考题
【专题过关】
类型一、中心(轴)对称图形与对称的坐标(选、填)
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要
注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻
找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A、是中心对称图形而不是轴对称图形；
B、是轴对称图形而不是中心对称图形；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形；
D、是轴对称图形而不是中心对称图形；
故选：C．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解
题的关键．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称
中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意；
B选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．在平面直角坐标系中， 和 关于原点 中心对称，若点 的坐标为 ，
则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图
形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．根据题意可得，点 和点 关于原点对称，据此
求出 的坐标即可．
【详解】解： 和 关于原点 中心对称，
∴点 和点 关于原点对称，
∵点 的坐标为 ，∴ 的坐标为 ．
故选：D．
4．已知点 和点 关于坐标原点对称，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，
它们的坐标符号相反特点求出 ， 的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点
对称点的坐标规律．
【详解】解：∵点 和点 关于坐标原点对称，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
5．在平面直角坐标系中，点 与点B关于点 成中心对称，则点B的坐标是
．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称的性质，点P是点A和点B的中点，应用中点公式进行列式
计算，求解点B的坐标，即可作答．
【详解】解：设点B的坐标为 ，
∵点 与点B关于点 成中心对称，
∴点 是 的中点
∵点 ，点 ，
∴横坐标： ，纵坐标：
∴ ， ．∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
6．在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，根据关于原点对称的点的坐标特
点：两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标都互为相反数，可以直接写出答案．
【详解】解：点 关于原点对称的点的横坐标为 ，纵坐标为 ，
因此对称点的坐标是 ．
故答案为： ．
类型二、配方变形(选、填)
1．用配方法解方程 ，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
故选：B．
2．用配方法解一元二次方程 时，配方后的方程是（）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，使用配方法解一元二次方程，先将常数项移项，
再两边加上一次项系数一半的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
3．一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将一元二次方程转化为完
全平方形式，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
4．若一元二次方程 经过配方，变形为 的形式，则n的值为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再
减去这个数即可完成配方．
【详解】解：由题意得
，
即 ．∴ ．
故答案为：10．
5．将方程 转化为 的形式，则 ．
【答案】
【分析】根据配方法解题即可．
本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键．
【详解】解： ，
移项，得 ．
配方，得 ，即 ．
又 ．
解得 ．
故 ，
故答案为： ．
6．把方程 化成 的形式，则 分别是 ．
【答案】 ，6
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．方程配方得到结果，确定出 与 的值即可．
【详解】解：方程整理得： ，
配方得： ，即 ，
， ，
故答案为： ，6．
类型三、一元二次方程的解与根的情况(选、填)
1．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将
代入方程，求解m的值即可．【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴代入得： ，
整理得： ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
2．若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程，将根代入方程求解 的值．
【详解】 是方程 的根，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
3．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握有两个不相等的实数根时， 是解题
关键，先将方程化为标准形式，再根据判别式大于零求m的取值范围，从而确定可能的值．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 化为标准形式为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ 的值可能是8．
故选：A．
4．已知m是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查方程的根的定义，整式的运算，熟练掌握方程的根的定义和整体代入思
想是解题的关键，根据题意得到 ， ，再化简
，代入即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴
∴ ， ，
∴
．
故答案为： ．
5．若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，
熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相
等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程
没有实数根．
根据方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零列式求解即可．
【详解】解：∵方程 是一元二次方程，
∴ ．
∵方程有两个实数根，∴ ．
解得 ．
综上， 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
6．关于x的一元二次方程 有两个相等的正实数根，m取值是
．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关
知识点是解题关键．
根据方程有两个相等的正实数根得到 ，求出 ，再检验即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得 或
当 时，方程为 ，解得 ，不符合题意；
当 时，方程为 ，解得 ，符合题意
∴ ，
故答案为： ．
类型四、二次函数的图象与性质(选、填)
1．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了顶点式 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由 ，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 ．
故答案为：D．
2．已知 ， 两点在抛物线 上，如果 ，那么下列结论
一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据抛物线解析式求得对称轴 ，根据开口方向可知当 时，y随x的增大而增大，
据此即可解答．
【详解】解：∵ 图象的开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大， ，
∵ ， 在抛物线 上， ，
∴ ．
故选：C．
3．关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上 B．当 时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是 D．当 时，y有最大值是5
【答案】B
【详解】解：选项A： ，函数的图象开口向下，故选项A错误；
选项B： ，当 时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
选项C：顶点坐标是 ，故选项C错误；
选项D：当 时，y有最大值 ，故选项D错误；
故选：
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性
质解答．
4．将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式
为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象，根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下
减”进行变换．
【详解】解：将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到的函数解析式为 ．
故答案为： ．
5．在平面直角坐标系 中，若点 和点 在二次函数 的图象上，则
（填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．
通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小．
【详解】解：对于点 ，代入 ，得 ；
对于点 ，代入得 ．
因为 ，所以 ．
故答案为：<．
6．已知点 ， 为二次函数 （ ）图象上两点，若 ，则
t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线 ，进而根据 ，可得 ，解不等式，即可求解．
【详解】解：二次函数 （ ）的对称轴为 ，开口向上，点
到对称轴的距离为 ，
由 ，可知点 到对称轴的距离应小于 ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
类型五、二次函数的平移(选、填)
1．将抛物线 平移后得到抛物线 ，则平移的方式是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握抛物线顶点式
（ ）中， 的变化对应图象左右平移（ 时向右平移， 时向
左平移）．
先确定原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标，原抛物线 的顶点为 ，平移后抛
物线 的顶点为 ；对比两个顶点的横坐标变化，从 到 是增加 ，据此判
断平移方向．
【详解】解：原抛物线 可化为 ，顶点坐标为 ；
平移后抛物线 ,可化为 ，顶点坐标为
顶点从 到 ，横坐标增加 ，即抛物线向右平移 个单位，与选项D一致．
故选：D．2．将抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛
物线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规则：上加下减、左加右减是解题的关
键．
根据平移规律，依次代换即可求解．
【详解】将抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到
的抛物线为
故所得抛物线为 ．
故选：A．
3．将抛物线 进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是
（ ）
A．向上平移4个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移4个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的平移，原抛物线的顶点为 ，平移后顶点需在坐标轴
（x轴或y轴）上，通过计算各选项平移后的顶点坐标，判断是否满足条件即可．
【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为 ．
选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为 ，不在坐标轴上；
选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为 ，在x轴上；选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为 ，不在坐标轴上；
选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为 ，不在坐标轴上．
∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位．
故选：B．
4．将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移．
根据二次函数图像平移规律“上加下减，左加右减”作答即可．
【详解】解：将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得
到的抛物线为 ．
故答案为： ．
5．把抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是
．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 向左平移2个单位长度所得抛
物线的解析式为： ，
由“上加下减”的原则可知，将抛物线 向上平移3个单位长度所得抛物线的解
析式为： ．故答案为： ．
6．将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为
．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，熟练掌握图象平移的规律是解决本题
的关键．
二次函数图象平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，根据此规则解题即可．
【详解】解：将抛物线 先向右平移2个单位，
根据“左加右减”原则，自变量 需要减去平移的单位 ，
∴得到 ，
再向下平移3个单位，
根据“上加下减”原则，在函数表达式整体上减去平移的单位 ，
所以得到 ．
故答案为： ．
类型六、旋转后求角度与坐标(选、填)
1．如图， 绕点O逆时针旋转 得到 ，若 ， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，求出 ，即可求得 的度数．
【详解】解：∵ 绕点O逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
2．如图， 是由 绕 点旋转得到的，若 ， ， ，
则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了图形的旋转，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出
，然后利用旋转角的定义即可求解，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由旋转定义可知：旋转角 ，
故选： ．
3．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形 对角线 的中点， 轴， ，
．将菱形 绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C
对应点的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得 ，
然后由勾股定理可得到 的长，即可求解．
【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴
上，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴点C的坐标为 ．
故选：D
4．如图，在平面直角坐标系 中，点 ．将线段 绕点 顺时针旋转
得到线段 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握全等
三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．
过点 作 轴于点D，证明 ，再利用全等三角形的对应边相等求
解．
【详解】解：∵点 ，
∴ ，
过点 作 轴于点D，则
由旋转得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．如图， 绕点C顺时针旋转 后得到了 ，且 于点D，则 的
度数为 ．【答案】
【分析】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连
线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂直的定义以及直角三角形两
锐角互余的性质．
根据旋转的性质，可得知 ， ，利用垂直的定义以及直角三角形两锐
角互余求得 的度数，即可求出 的度数．
【详解】解：∵ 绕点C顺时针旋转 后得到了 ，
∴ ， ．
∵ 于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：53．
6．如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 的
对应点 恰好落在斜边 上，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握相关知识是解决
问题的关键．根据旋转的性质可得 ， ， ，根据
等腰三角形两底角相等求出 ，再根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【详解】解：∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
类型七、圆的计算(选、填)
1．如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为 ，底面半径为 ，制作这把遮阳伞至少需要用
布料（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据侧面积公式，进行计算即可．
【详解】解：由题意，制作这把遮阳伞至少需要用布料 ；
故选B．
2．如图，在 中， ， ，以 为直径的 交 于点D，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条
弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接 ， ，根据 是 的直径，可得
，再根据 ， ，可得 的值，然后求得 ，从而求出
，再结合弧长公式进行列式，即可作答．
【详解】解：连接 ， ，如图所示：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3． 如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知 的长2π，且 ，则
的长为（ ）
A． B． 6 C． D． 12
【答案】C
【分析】连接 交 于点E，则由弧长公式可求得 ，从而 是等边三
角形，进而由平行线的性质得 ，由圆周角定理得 ，则平分 ，由等边三角形的性质得 ， ，再由等腰三角形的性
质得 ，在 中由勾股定理求得 的长，即可求得 ．
【详解】解：如图，连接 交 于点E，
设 ，则 ，
解得： ，
即 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定
理，弧长公式等知识，熟悉这些知识并灵活应用是关键．
4．李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为 ，扇形
的弧长是 ，那么这个圆锥的高是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是 ，根据扇形的
弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵扇形的弧长是 ，
∴圆锥的底面周长是 ，
设圆锥底面圆的半径是 ，
∴ ，解得：
∴圆锥的高是
故答案为： ．
5．圆锥的底面半径为 ，高为 ，那么这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是
解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积
公式求解即可．
【详解】解：如图，
底面半径为 ，高为 ，则底面周长等于 ，
由勾股定理得，母线长 ，那么侧面面积 ，
故答案为： ．
6．若圆锥的侧面展开扇形的半径为3，圆心角为 ，则该圆锥底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】此题考查扇形的弧长公式，根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长列方程求
解即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径长为 ，
∵圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，
∴
解得
故答案为 ．
类型八、垂径定理(选、填、解)
1．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得 ，
（点 ， 均在 上），铁球的半径 ，则铁球的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦
长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径．
根据垂径定理可得 ，设铁球的半径为 ，则 ，
，在 中，根据勾股定理可得 ，解关于 的
方程即可求解．
【详解】如图，设 交 于点 ，， ，
，
设铁球的半径为 ，则 ，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
在 中，
根据勾股定理，可得 ，
即 ，
解得 ，
因此，铁球的半径是 ，
故选： ．
2．如图， 是 的弦，半径 于点D．若 ， ，则 的长是
（ ）
A．4 B．5 C．8 D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接 ，由垂径定理得到 的长，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ．
故选：B．
3．已知 的半径为 ， 中有两条平行的弦 和 ， ， ，则两条
弦之间的距离为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，分弦 和 在圆心同侧和异侧两种情况
讨论，利用垂径定理和勾股定理求弦心距，再根据两弦的位置关系分情况计算两条弦之间
的距离．
【详解】解：如下图所示，当弦 和 在圆心 的同侧时，
过点 作 ，
，
，
， ，
， ，
的半径为 ，
，， ，
；
如下图所示，当弦 和 在圆心异侧时，
过点 作 ，并反向延长 交 于点 ，
，
，
， ，
， ，
的半径为 ，
，
， ，
；
两条弦之间的距离为 或
故答案为： 或
4．如图, 是 的直径, 是 的弦, ，垂足为点 ，
则 ．【答案】 /2厘米
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
结合题意，由垂径定理可得 垂直平分 ，然后在 中运用勾股定理求得 即
可求解．
【详解】解：由题意可知, 垂直平分 ， ，
∴ ，
在 中, ，
∴ ．
故答案为： ．
5．中式古典园林中大部分月亮门(如图1)可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意
图，E是 上一点， 经过圆心O，且 弦 ，垂足为M．已知 ，
．求这个月亮门的最大宽度 ( 的直径)．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，由垂径定理，即可得到答案；由垂径定理
得到 ，连接 ，设 的半径是 ，由勾股定理得到 ，据此列方程求出 ，这个月亮门的最大宽度是 ．
【详解】解：∵ 经过圆心O，且 弦 ， ，
∴ ，
连接 ，设 的半径是 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴这个月亮门的最大宽度是 ．
6．如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度 ，拱高 ．
(1)求圆弧所在圆的半径 的长；
(2)当水位上涨至跨度只有 时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶 ，即
，此时是否需采取紧急措施？
【答案】(1)圆弧所在圆的半径 的长为 ；
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用
勾股定理求解是解答此题的关键．（1）连接 ，利用 表示出 的长，在 中根据勾股定理求出 的值即可；
（2）连接 ，在 中，由勾股定理得出 的长，进而可得出 的长，据此可
得出结论．
【详解】（1）解：连接 ，设圆弧所在圆的半径为 ，
由题意得 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ；
答：圆弧所在圆的半径 的长为 ；
（2）解：连接 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ．
．
，
不需要采取紧急措施．
类型九、一元二次方程根与系数关系(选、填、解)
1．若 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值是 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查根的定义和根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．
通过将 代入方程 得到 ，根与系数关系可得 ，整体代入 变形求解即可．
【详解】 是方程 的根，
，即 ，
，
又 （根与系数关系），
，
，
故选：B．
2．若m、n是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握 ， 是一元二
次方程 的两根时， ， ．
由根与系数的关系得出 和 的值，再代入计算可得答案．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
则 ，
故选：B．
3．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将第二个方程 变形，得到 满
足的方程 ，与第一个方程 形式相同，且 ，因此和 是方程 的两个不相等的根，利用根与系数的关系求出 和
的值，代入所求表达式化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由 ，变形得 ，
又 ，且 ，
所以 和 是方程 的两个根，
由根与系数的关系，得 ，
所求表达式 ，
代入已知值，分子 ，分母 ，
所以 ，
故答案为： ．
4．设 、 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系；利用方程根的定义将高次项降
次，再结合根与系数的关系求解．
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，即 ．
则 ．
代入 ，得 ．原式 ．
由根与系数的关系，方程 的两根之和为 ．
∴ 原式 ．
故答案为： ．
5．已知关于 的方程 ．
(1)求证：不论 为何值，该方程总有实数根；
(2)若等腰 的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程
的两个根，请求出 的周长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2) 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，准确计算是解题的关键．
（1）根据判别式判断即可；
（2）根据等腰三角形的边的性质分类讨论，当 ， 为腰，则 ；当 ， 或 ， 为
腰，则 是方程的解，代入求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
不论 为何值，该方程总有实数根；
（2） 等腰 的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，
当 ， 为腰时， ， ，且 ，
，
解得： ，
，
周长 ；
当 ， 或 ， 为腰，则 是方程的解，，
，
，
，
的周长 ；
的周长为 或 ．
6．关于 的一元二次方程 有两个实数根 并且 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)是否存在 使得满足 ？若存在，请求 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，一元二次方程的根与
系数的关系等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，一元二次方
程的根与系数的关系是解题的关键．
（1）由题意知， ，计算求解即可；
（2）由题意知， ，则 ，可得
，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
解得： ，
∴实数 的取值范围为 ；
（2）解：存在，
理由如下；由题意知， ，
，
，
即 ，
解得： 或
由（1） ， 舍去，
∴
∴方程有解，即存在 使得满足 ．
类型十、解一元二次方程(解)
1．解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用公式法求解
即可．
【详解】解： ，
， ， ，
，
，
．
2．解方程：
(1) ；（用配方法）
(2) ．（用公式法）【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
（1）将常数项移到方程右边，当未知数二次项系数为１时，配方是等号两边都加上未知数
一次项系数一半的平方，然后开方运算即可；
（2）利用一元二次方程的求根公式 求解即可．
【详解】（1）解： ，
整理和 ，
配方得 ，即 ，
开方得 ，
解得 ， ；
（2）解： ，
， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
3．解方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用因式分解法求解即可，掌握解一元二次方程
的解法是解题的关键．【详解】解： ，
，
，
，
或 ，
解得： ， ．
4．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用因式分解法解方程，即可作答．
（2）运用因式分解法解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴ 或 ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，解得 ．
5．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
，
(4)
，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，能灵活的选择适当的方法解方程是关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（3）先移项，然后直接开方解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴ 或
∴ ， ．（2）
∴ 或
∴ ， ．
（3）
或
∴ ，
（4）
∴ 或
∴ ，
6．解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) （配方法）．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，(4) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
（1）先把方程变形为 ，再把方程两边开方得到 ，然后解两个一次方
程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为 或 ，然后解两个一次方程即可；
（3）先移项，再利用因式分解法把方程转化为 或 ，然后解两个一次方
程即可；
（4）利用配方法得到 ，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（3）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（4）解： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
