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期中考前满分冲刺之基础常考题
思维导图
【类型覆盖】类型一、中心对称与中心对称图形
1．下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，解答此题的关键是要明确：中心对称图形是要寻找对
称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的特征逐项判断即可．
【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、图形是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．“扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下
列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键
是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够
与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】 、图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题
意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选： ．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要
注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻
找对称中心，旋转 后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断
即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．把 放入平面直角坐标系中，若对角线的交点为原点，且 ，则点C的坐
标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及坐标与图形的性质，因为平行四边形是
中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，从而根据A点坐
标可求C点坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，且平行四边形是中心对称图形，
∴当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，
∵∴ ，
故答案为： ．
5．在平面直角坐标系中， 位于第二象限，点A的坐标是 ， 关于原点对
称的图形 ，则点 坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都
互为相反数即可得到答案．
【详解】解：∵ 和 关于原点对称，点A的坐标是 ，
∴点 坐标为 ，
故答案为： ．
6．若点 关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围
．
【答案】
【分析】本题考查的是关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的坐标的性质是
解题的关键． 首先根据关于原点对称的点的坐标特点判断出A点在第三象限，再根据第三
象限内的点的坐标符号可得 ，再解不等式即可．
【详解】解：∵点 关于原点的对称点在第一象限，
∴点A在第三象限，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．类型二、二次函数的平移
1．把二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的
图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的法则“上加下减、
左加右减”即可解答．
【详解】解：二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后
所得的图象的函数解析式为 ，
故选：D．
2．将抛物线 ，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得新抛物线的
函数关系式为（ ）
A． B． C． D．y
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移
规律求解即可．
【详解】解：将抛物线 ，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得
新抛物线的函数关系式为
3．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像先向左平移2个单位长度，再向上平
移1个单位长度，所得新的抛物线对应的函数解析式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上
加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：由题意，所得新的抛物线对应的函数解析式为 ．
故选B．
4．二次函数的 图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平
移后的图象对应的二次函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移
规律求解即可．
【详解】解：二次函数的 图象向右平移2个单位长度后，再向
上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为
，
故答案为： ．
5．二次函数 的图象向左平移2个单位长度，得到新的图象的二次函数解析式是
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移，解题关键是明确函数平移变化规律，准确解答．根
据“上加下减，左加右减”求解即可．
【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，得到的二次函数解析式为 ．
故答案为： ．6．将拋物线 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的
顶点是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查函数图像平移的性质，根据二次函数平移性质“左加右减，上加下
减”，得出将抛物线 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的
抛物线的解析式，求顶点坐标即可．
【详解】解：
∴将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线的解析式为 ，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为 ．
故答案为： ．
类型三、二次函数的图像与性质
1．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线
C．函数的最小值为 D．当 时，y随x增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．根据二次
函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线 ，故选项B错误，不符合题意；
最小值为 ，故选项C正确，符合题意；
当 时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意，
故选：C．2．下列关于二次函数 的图象和性质说法正确的是（ ）
A．该函数的图象开口向上
B．若点 和 是该函数的图象上的两点，则 ．
C．该函数的图象对称轴为直线
D．该函数的最大值为
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二
次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质逐一进行判断即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴抛物线的开口向下，故A选项错误；
该函数的图象的对称轴为 ，故C选项错误；
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，
∴ ，故B选项错误；
当 时，该函数的最大值为 ，故D选项正确；
故选：D．
3．对于抛物线 ，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线
C．若点 ， 在抛物上，则D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质以及平移的规律判断即可．本题考查二次函数的性质，二次
函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握平移的规律．
【详解】解：∵ ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
故A选项是正确的；
时， 随 的增大而减小，
则当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，
故D选项是正确的；
由平移规律可知，将抛物线 右平移1个单位，再向上平移2个单位，
则得到的抛物线解析式为 ，
即 ．
故B选项是正确的；
∵点 ， 在抛物上，且 ，
∴ 比 靠近对称轴，
∵抛物线开口向上，
∴ ，
故C选项是错误的；
故选：C．
4．若函数 的图象经过点 ，则 ，抛物线的开口方向是
，顶点坐标 ，它的对称轴是 ．
【答案】 1 向上 直线
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式，掌握二次函数的性质以及运用待定系数求函数解析式成为解题的关键．将点 代入 可求得a的值，
然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：将点 代入 可得： ，解得： ，
∴函数解析式为 ，
∴抛物线的开口方向是向上，顶点坐标为 ，它的对称轴是直线 ．
故答案为：1，向上， ，直线 ．
5．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将二次函数解析式化为顶点式，得出当 时，
二次函数由最小值为 ，结合 得出当 时， 取最大值，即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数对称轴为直线 ，开口向上，
∴当 时，二次函数由最小值为 ，
∵ ，
∴当 时， 取最大值为： ，
∴当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
6．二次函数 的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值
如表：其中正确的是 ．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …有如下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线 ；③抛物线与y轴的交
点坐标为 ；④当 时，y随x的增大而减小．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了二次函数性质，根据表格中的数据先求出抛物线的解析式为
，根据抛物线的解析式逐项进行判断即可．
【详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线经过点 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为： ，
∵ ，
∴抛物线的开口向上，故①正确；
抛物线的对称轴是直线 ，故②正确；
根据表格可知，抛物线与y轴的交点坐标为 ，故③错误；
当 时，y随x的增大而减小，故④正确；
综上分析可知：正确的是①②④．
故答案为：①②④．类型四、弧长、圆锥侧面积
1．如图是一张圆形纸片，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底
面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥底面半径．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长
可列出方程计算．
【详解】根据题意可知，扇形的圆心角 ，
则 ，
解得： ．
故选：A．
2．圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这
个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算
这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，
∴这个圆锥的母线长 ，
则这个圆锥的侧面积 ．
故选：B．3．如图，已知矩形 ， 的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得 的度数，
然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
【详解】 矩形 ，
，
∵ 的半径为3，
图中阴影部分的面积是： ，
故选：C．
4．已知扇形的面积是 ，圆心角 ，则这个扇形的半径是 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是 ，再根据扇形的面积公式即
可得出结论．
【详解】解：设该扇形的半径是 ，则
，
解得 ．
故答案为：2．
5．圆锥母线长为 ，底面圆半径为 ，则这个圆锥的侧面积等于 （结果
保留 ）．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆
锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵底面圆半径为 ，
∴底面圆的周长为 ，
∴圆锥的侧面积： ，
故答案为： ．
6．如图，在边长为3的等边三角形 中，以 为直径构造半圆，则图中阴影部分的面
积为 ．
【答案】
【分析】连接 ， ， ，根据等边三角形的判定与性质求出 、 、
是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积 求解
即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，
是等边三角形的边长为3，
， ，
以 为直径构造半圆，
，
、 是等边三角形，
， ，，
是等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
类型五、一元二次方程(含解方程)
1．已知关于 的方程 的一个根是2，则它的另一个根是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据 ，代入数值计算，
即可作答．
【详解】解：∵关于 的方程 的一个根是2，
∴设它的另一个根是 ，
则 ，
∴ ，
故选：A．
2．若 是方程 的一个解，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】D【分析】本题考查方程的解，以及解一元一次方程，将 代入方程 求解，
即可解题．
【详解】解： 是方程 的一个解，
，
解得 ，
故选：D．
3．若a为方程 的解，则 的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元
二次方程的关系是解题的关键．
由题意得 ，将其变形与 进行关联，即可求解．
【详解】解：∵a为方程 的解，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
4．当m 时，方程 是关于x的一元二次方程．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到
，进而求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： 或 （舍去）；
故答案为：
5．选用适当方法解下列方程：
(1)(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练选择合适的方法解方程是关键．
（1）利用直接开平方法即可解答；
（2）利用配方法即可解答；
（3）利用公式法即可解答；
（4）利用十字相乘法即可解答．
【详解】（1）解： ，
移项，得 ，
两边都除以3，得 ，
两边开平方，得 ，
移项，得 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
两边都除以2，得 ，移项，得 ，
配方，得 ，即 ，
解得： ，
即 ， ；
（3）解： ，
这里 ， ， ，
，
，
解得： ， ；
（4）解： ，
方程左边因式分解，得 ，即 ，
解得： ， ．
6．解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ，
(2) ，(3) ，
(4) ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得 ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ， ；
（4）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ．
类型六、一元二次方程的根
1．方程 的根的情况是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 的根与判
别式的关系是解题的关键．
先求出判别式的值，再根据判别式的值判断方程根的情况即可．
【详解】解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．关于 的一元二次方程 ，其根的
判别式为 ．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个
相等的实数根；当 时，方程没有实数根．根据方程的系数结合根的判别式即可得出
，由此可得出方程没有实数根．
【详解】解：对于方程 ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程没有实数根．
选：D．
3．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程
的根的判别式为 ，且当 时，该方程有两个不相等的
实数根；当 时，该方程有两个相等的实数根；当 时，该方程没有实数根是解题
关键．
根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ，
∴实数 的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
4．关于 的一元二次方程 有两不等实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且【分析】本题主要考查学生对一元二次方程的掌握以及一元一次不等式，利用根的判别式
求出 的范围，再结合一元二次方程的定义即可．
【详解】关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，且
解得： 且
故答案为： 且 ．
5．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)当 时，求这个方程的解；
(2)当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
【答案】(1) ，
(2) 时，方程有两个相等的实数根； 时，此方程没有实数根
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．
（1）将 代入原方程，解一元二次方程即可；
（2）根据根的判别式解答即可；
【详解】（1）解：当 时，方程为 ，
，
解得， ， ；
（2） ，即 ，
∵ ，
∴ 时，方程有两个相等的实数根，
解得： ，即 时，方程有两个相等的实数根．
∴ 时，方程没有实数根
解得： ，
即 时，方程没有实数根．
6．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当这个方程有两个不相等的实数根时，求 的取值范围；
(2)若 是这个方程的一个根，求 的值和另一根．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】此题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的
判别式与根的个数之间的关系．
（1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可；
（2）将 代入 求出m的值，再解一元二次方程即可．
【详解】（1） 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
．
．
（2） 是这个方程的一个根，
．
．
原方程为 ．
解得 ， ，
即方程的另一根是 ．
类型七、一元二次方程的应用一
1．摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩
拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为 ，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程应用，关键是抓住增长率表示出12月的投放台数．根据8
月投放台数，列出用增长率表示9月和10月的投放台数，再根据题意列方程即可．
【详解】根据题意，计划9月投放 台，计划10月投放 台，所以可列
方程 ．
故选：D．
2．【数学文化】我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程
为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构造如图所示
的大正方形 ，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得
的长，从而解得 ．根据此法，图中正方形 的面积是（ ）
A．49 B．64 C．81 D．100
【答案】C
【分析】通过解方程求得 的值；然后利用正方形的面积公式得到 ，代入求值即
可．本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示
出来是解决问题的关键．
【详解】解：依题意，正方形的边长为
∴正方形的面积为由 得到： ．
解得： ， （负值舍去），
∴正方形 的面积 ，
故选：C．
3．如图，邻边不等的矩形花圃 ，它的一边 利用已有的16m的围墙，另外三边所
围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为 ，则 的长度是
m．
【答案】10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设 ，根据矩形的面积公式，列出一元二次
方程，进行求解即可．
【详解】解：设 ，则： ，由题意，得：
，
解得： ，
当 时， ，不符合题意，舍去
当 时， ，符合题意；
故 的长度是 ；
故答案为：10
4．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有 个人患了新
冠，经过两轮传染后共有 个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染 人，则 的值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等
量关系是解题的关键．【详解】解：由题意可得， ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
5．某种计算机 (中央处理器)经过7，8月连续两次降价，每片售价由2 500元降到了
1600元，已知每次降价的百分率相同
(1)求每次降价的百分率
(2)若9月继续保持相同的百分率降价，则这款 在9月的售价为多少元?
【答案】(1)20%
(2)1280元
【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价
格，即可得出关于x的一元二次方程，解出x的值，即可得出答案；
（2）根据该种品牌手机9月份的售价=该种品牌手机8月份的售价 下降率），即可求
解.
此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量
后来的量，其中增长用 ，减少用 ，难度一般．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
依题意，得： ，
解得： （不合题意，舍去）；
故每次下降的百分率为
（2）解： （元）；
故若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．
6．习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面
发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地 ，基地的一面靠墙
（墙的最大可用长度为 ），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两
个区域，并在如图所示的两处各留 宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为 ，
设苗圃 的一边 长为 ．(1)用含x的代数式表示基地靠墙一边 的长是 m；
(2)若基地 的面积为 ，求x的值；
(3)基地 的面积能否为 ．若能，请求出x的值：否则请说明理由．
【答案】(1)
(2)x的值为8
(3)基地 的面积不能为 ．理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．解题的关键是读懂题意，根据已
知列方程．
（1）木栏总长 ，两处各留 宽的门，设矩形 的一边 长为 ，即得 长；
（2）根据题意得： ，即可解得 的值；
（3）由题意得： ，由一元二次方程根的判别式可得答案．
【详解】（1）解：∵木栏总长 ，两处各留 宽的门，设矩形 的一边 长为
，
∴ 长为： ．
故答案为： ．
（2）解：根据题意得： ，
解得 或 ，
∵ 时， ， 时，
∴ 舍去，x的值为8；
（3）解：不能，理由如下：假设基地 的面积能为 ，由题意得： ，
整理得： ，
∴ ，
∴原方程没有实数根，
∴基地 的面积不能为 ．
类型八、图形的旋转(含网格画图)
1．如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若点 ， ， 共线，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理．利用旋转的性质和三角形内
角和定理即可求解．
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，且点 ， ， 共线，
， ，
．
故选：C．
2．如图，将 在平面内绕点A逆时针旋转到 的位置，若 ，则
的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了旋转的性质， 根据题意由旋转的性质可知 即可
求解．
【详解】解：由旋转的性质可知： ，
故选：C．
3．如图，正方形 的边长为 ， 为 边上一点， ． 绕着点 逆时针
旋转后与 重合，连结 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定
理，计算 ，根据旋转的性质，得出 ， ，
推出 ，根据勾股定理计算 即可，熟练掌握旋转的性
质、正方形的性质、勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵正方形 的边长为 ， 为 边上一点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 绕着点 逆时针旋转后与 重合，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
4．如图，在 中， ， ， ，点P是在 内一点，连
接 ， ， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ．若点C，P， ， 恰
好在同一直线上，则 ．【答案】
【分析】过点 作 交直线 于点 ，利用旋转的性质得 ，再证
明 ，根据含 直角三角形的性质及勾股定理求出 的长，然后在
中，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：过点 作 交直线 于点 ，
在 中， ， ，
， ，
将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，
，
，
在 中， ，
，
，若点C，P， ， 恰好在同一直线上，
在 中， ．
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含 直角三角形的性
质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，添加正确的辅助线是解题的关键．
5．如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．请你画出以下图形：
(1)将 向下平移4个单位，得到的 ；
(2)将 绕点 顺时针旋转 ，得到的 ；
(3)以点 为顶点的三角形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】本题考查平移和旋转作图，求网格中三角形的面积，作平移后的图形、旋转图形
的关键是把对应点的位置画正确．
（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点 ，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质进行作图即可；
（3）利用网格特点求出三角形面积即可．
【详解】（1） 如图所示，（2） 如图所示，
（3） ；
6．在平面直角坐标系中， 的顶点为 ．
(1)平移 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出平移后的 ；(2)将 以点 为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(3)已知将 绕某一点旋转可以得到 ，则旋转中心的坐标为______．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3) ．
【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）因为点 的对应点 的坐标为 ，所以找出点 的坐标，最后依次连接，即
可作答．
（2）因为将 以点 为旋转中心旋转 ，所以找出点 的坐标，最后
依次连接，即可作答
（3）运用数形结合思想，直接得 与 的旋转中心的坐标，即可作答．
【详解】（1）解： 如图所示：
（2）解： 如图所示：（3）解：由图得将 绕某一点旋转可以得到 ，则旋转中心的坐标为 ．
类型九、垂径定理
1．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工
作原理．如图 ，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆．已知圆心 在水面上方，
且 被水面截得弦AB长为 米， 半径长为 米，若点 为运行轨道的最低点，则点
到弦AB所在直线的距离是（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接 交AB于点 ，根据垂径定理得到 米， ，再根据勾
股定理得到 即可得解．
【详解】解：连接 交AB于点 ，
依题得： 米， ， 米，
设 ，即 ，
中， ，
即 ，
解得 ，
即 米，
米，
即点 到弦AB所在直线的距离是 米．
故选： ．
2．如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知
，则圆形纸片的半径长是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点 作 于 ，则 ，
，设圆形纸片的半径长为 ，则 ， ，由勾股定理得
，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ，则 ， ，
设圆形纸片的半径长为 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴圆形纸片的半径长是 ，
故选： ．
3．如图，AB是 的弦，若 的半径 ，圆心 到弦AB的距离 ，则弦AB
的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由 可得 ， ，进而
利用勾股定理求出 即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是 中弦
的中点， 经过圆心O交 于点D，且 ， ，则 m．
【答案】8
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理．连接 ，先根据垂径定理、线段中点
的定义可得 ， ，设 的半径长为 ，再在 中，利用勾股定理
即可得 的半径，进一步计算即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
是 中的弦 的中点，且 ，
， ，
设 的半径长为 ，则 ，
在 中， ，
则 ，
故答案为：8．5．如图，AB是 的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点．
(1)若 的半径为5， ，则 ______， ______；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键；
(1)根据垂径定理推论得到 ，根据勾股定理即可求解；
(2)根据垂径定理推论得到 ，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：如图，连接
是 的直径， 是 的中点，
，
，
，
，
，
（2）解： 是 的直径， 是 的中点，
，，
，
，
，
，
，
故 的半径为
6．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉
好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若
一”的含义可以表示为：中孔直径 ，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需
推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧 ，设
弧 所在圆的圆心为 ，测得弧所对的弦长 ，半径 于点 ，测得 ，
连接 ，求该玉环中孔半径的长．
【答案】该玉环中孔半径的长
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理得出 ，设
，则 ，由勾股定理得出 ，求解即可得出
答案．
【详解】解： 半径 于点 ， ，
，
设 ，则 ，，
，
解得： ，
该玉环中孔半径的长 ．
类型十、圆周角定理
1．如图，在 中， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.
【详解】解：∵ ，
∴
故选：C
2．如图， 内接于 ， ， 连 接 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可知 ，再根据等腰三角形
的性质和三角形内角和定理，即可求得答案．
【详解】解：连结 ，
所对的圆周角和圆心角分别是 和 ，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
3．如图， 内接于 ，A为劣弧 的中点， ， 为 的直径，连
接 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根
据圆心角、弧、弦的关系得到 ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出
，接着根据圆周角定理得到 ， ，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出 ，从而得到 的长．
【详解】解： 为劣弧 的中点，
，
，
，
，
为 的直径，
，则
在 中， ，
∴ ，
．
故答案为： ．
4．如图， 为 的劣弧 上一点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的
关键．作圆周角 ，根据圆周角定理求出 的度数，根据圆内接四边形性质求出
即可．
【详解】解：如图作圆周角 ，使 在优弧上，，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
故答案为： ．
5．如图，四边形 内接于 ，D是弧 的中点，延长 到点E，使 ，连
接 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的半径，
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质；
（1）根据圆内接四边形的性质得到 ，再证明 即可得到
；
（2）连接 并延长交 于F，连接 ，则 ，根据已知条件得到
， ，求得 ，根据直角三角形的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵D是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 并延长交 于F，连接 ，
则 ，
∵D是弧 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径 ．
6．已知：如图，在 中， ，以 为直径的 与边 相交于点 ，
，垂足为点E．(1)求证：点 是 的中点；
(2)若 ，则 的长______．（直接写答案）
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线是解决
本题的关键．
（1）连接 ，如图，根据圆周角定理，由 为直径得到 ，然后根据等腰三
角形的性质得 ；
（2）先由勾股定理求出 ，再由等积法求出 即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
为直径，
，
，
，
，
即点 是 的中点；
（2）解：如图，∵ ， 为 中点，
∴
∵ ， ，
∴由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
