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期中考前满分冲刺之中等易错题
思维导图
【类型覆盖】类型一、二次函数的各项系数关系
1．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与x轴交于A，B两点，且
．给出下列4个结论：① ；② ；③ ；④若m为任意
实数，则 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线 ，其图象一
部分如图所示，对于下列说法：① ；② ；③ ；④当 时，
．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
3．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，现给出以下结
论： ； ； ； （ 为实数），其中错误结论
的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，抛物线 与x轴交于点 和B，与y轴的正半轴交于点
C．下列结论： ； ； ； ，其中正确结论
是 ．
5．已知抛物线 的对称轴为 ，与 轴正半轴的交点为 ，其部分图
象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，
， 是抛物线上的三点，则 ．其中正确结论的 ．6．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列结
论中：
① ；
② （ 为任意实数）；
③ ；
④若 是抛物线上不同的两个点，则 ．
其中正确的结论有 ．
类型二、一元二次方程的根与系数关系
1．若m、n是关于x的方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．
2．关于x的一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．10
3．已知关于x的方程 的两个根分别为 ，则 的值为
.4．已知 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
5．已知方程 的两个根为 ， ，在不求解 ， 的值的情况下，求下列代
数式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
6．关于 的方程 ．
(1)求证：不论 取何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有两个实数根 ，且 ，求 的值．
类型三、一元二次方程的应用二
1．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发
布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微
信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活
动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．
设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，
如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，那么x满足的
方程是（ ）A． B．
C． D．
3．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 的速度竖直上拋，那么物体
经过 离地面的高度（单位：m）为 ．根据物理学规律，物体经过 s
落回地面．（结果保留小数后两位）
4．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），
余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则 ．
5．“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的
山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山
西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，
以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110
元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒．
(1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒；
(2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？
6．如图，在 中， ， ，点M从点A开始沿 以
的速度向点C运动（到点C时停止），过点M作 ，交 与点N，并设点M的运
动时间为 ．
(1)当t为何值时， 的面积为 ？
(2)若 ，求t的值．
类型四、二次函数的应用
1．如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一边 靠墙， 的
长不能超过 ，其余的三边 用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①
的长可以为 ；② 有两个不同的值满足菜园的面积为 ；③菜园 面积的最
大值为 ．正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线 为某一抛物线的一部分，杯口
，杯底 ，且 ，杯深 ，如图2若盛有部分水的水杯倾斜
（即 ），水面正好经过点B，则此时点P到杯口 的距离为（ ）A． B． C． D．
3．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度
与水平距离 满足 ，则水柱的最大高度是 米．
4．如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高 米，现要水平放置横
截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横
截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为 米．
5．某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过
程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t
（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S 与t之间的函数关系），根据图象提供的
信息，解答下列问题：(1)此软件上市第几个月后开始盈利?
(2)求累积利润S（万元）与销售时间t（月）间的函数表达式；
(3)第几个月公司的月利润为2.5万元?
6．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点 ，运动员（可视
为一质点）在空中运动的路线是经过原点 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空
中最高处点 ，正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开
动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，人水点恰好距点 的水平距离为5米，问该运动员
此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点 的正前方 ， 两点，且 ， ，该运动员入水后
运动路线对应的抛物线解析式为 ，且顶点 距水面4米．若该运动员的出
水点 在 之间（含 ， 两点），求 的取值范围．
类型五、圆的内接四边形1．如图，四边形 内接于 ， 交 的延长线于点 ，若 平分 ，
， ，则 的长为（ ）．
A．2 B．3 C． D．
2．如图，四边形 内接于 ，且点 是优弧 的中点，连接 ，若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是半径为1的圆 的一条弦，以 为一边在圆 内作正 ，点 为圆
上不同于点 的一点，且 （其中 为常数，且 ）， 的延长线交圆
于点 ，则 的长为 .
4．如图， 是圆内接四边形 的一条对角线，点D关于 的对称点E在边 上，
若 ，则 °．5．如图，四边形 内接于 ， ，过点C作 ，使得
，交 的延长线于点E．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
6．如图，圆内接四边形 的对角线 ，BD交于点 ，BD平分 ，
．
(1)求证DB平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交AB的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
类型六、圆的阴影面积
1．如图，正六边形 的边长为4，以A为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连
接 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
2．半圆的直径 在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且 ，连接
，取 的中点D，连接 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在直角三角形 中， ， ，从中剪掉两个半径相等的
扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
4．如图，在矩形 中， ，以 为直径的半圆 与 相切于点 ，连
接 ，以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，则图中阴影部分的面积是
．（结果保留 ）5．如图， 是⊙O的直径， 与 相切于点B，连接 、 ，过圆心O作
，连接 并延长，交 延长线于点A．
(1)求证： ；
(2)若F是 的中点， 的半径为2，求阴影部分的面积．
6．如图1，在 中， ， ， ，延长 至点D，使 ，
连接 ，以 为直径的 绕点A顺时针旋转．
(1)如图2， 旋转 °时， 与 第一次相切．
(2)在（1）的条件下，判断 与 的位置关系并加以证明．
(3)如图3，若 与 相切于点M，与 相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．
类型七、二次函数的面积问题
1．如图，已知抛物线 过点 与 ，与 轴交于点 ．点 在抛
物线上，且与点 关于对称轴 对称．(1)求该抛物线的函数关系式和对称轴；
(2)求 的面积．
2．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， （点 在点 的右
边）抛物线顶点为 ，求 的面积；
3．如图，已知直线 与抛物线 相交于点 和点 两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 是位于直线 上方抛物线上的一动点，当 的面积 最大时，求：此时点
的坐标；
(3)在 轴上找点 ，使 是等腰三角形，请直接写出点Q坐标．
4．综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知 ， ，点P是第一象限抛物线上对
称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
(2)连接 ，求 面积的最大值．
5．如图，一次函数 的图象与二次函数 图象交于点 和 ，与
轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的面积；
(2)点 是抛物线上一点，且 的面积与 的面积相等，求点 的坐标．
6．如图，抛物线 与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴
相交于点A，直线 的函数解析式为 ．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在直线 上方的抛物线上有一点M，求四边形 面积的最大值及此时点M的坐标．类型八、二次函数的将军饮马
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴的正半轴上， 在x轴的正半
轴上， 的平分线交 于点D，E为 的中点．已知 ，二次函数
的图象经过A，C两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形 ，求四边形
周长的最小值．
2．如图，二次函数 的图像交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，连
接 ．
(1)直接写出点 、 的坐标， ； ．
(2) 是抛物线对称轴上的一点，连接 、 ．求 的最小值．
(3)点 是 下方抛物线上的一点， 连接 、 ．当 的面积最大时，求点 坐标．
3．如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与 轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 ，使 的周长最小，求 的周长的最小值及此时
点 的坐标；
(3)若 为抛物线在第一象限的一动点，则 最大值 ．
4．如图，已知抛物线 经过 两点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点P是对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值．
5．如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 经过点
B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E，使 的值最小，求 的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出P点坐标；
若不存在，请说明理由．
6．对抛物线 ，定义：点 叫做该抛物线的焦点，直线 叫做
该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述
材料解决以下问题：如图，已知抛物线 ： 的图象与 轴交于 ， 两点，且
过点 ，
(1)求抛物线 的解析式和点 坐标；
(2)若将抛物线 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到抛物线 的图象．
①抛物线 的解析式为___________
②设 为抛物线 上任意一点， 轴于点 ，求 的最小值；
类型九、利用三大运动设计图案
1．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三
角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．2．如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合
要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中．
(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．
3．有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所
示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻
转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．
例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每
幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放
入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个
图形块，补全图形．
(1)第一关：完成图4中的图案．
(2)第二关：完成图5中的图案．
4．如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边
形称为格点多边形，线段 位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格
点多边形．(1)
请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且 为对角线．
(2)请在图2中画一个以 为边，面积为 的三角形．
5．如图 方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按
下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10；
(3)在图3中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10．
6．如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均
在格点上）．
(1)在图1中画一个以 为腰的 ．
(2)在图2中画一个四边形 ，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．类型十、圆的切线证明
1．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，D是 延长线的一点，
交 的延长线于E， 于F，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
2． 如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交 于点D，
过点D作直线 于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
3．如图，在 中，以 为直径的 分别与 ， 相交于点D，E，且 ，
过D作 ，垂足为F．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
4．如图，已知 是 的直径， 于点B，D是 上异于A、B的一个动点，连
接 ，过O作 交 于点C．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
5．如图，以点O为圆心， 长为直径作圆，在 上取一点C，延长 至点D，连接
， ，过点A作 交 的延长线于点E．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
6．如图，在菱形 中， 为菱形的一条对角线，以AB为直径作⊙ ，交 于点
，交 于点 ， 为CD边上一点，且 ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求⊙ 的半径．
