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期中考前满分冲刺之中等易错题
【专题过关】
类型一、圆周角定理(选、填、解)
1．如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， ， ，则
的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 是 的直径，A，C在圆上， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．3．如图， 、 是 上直径 两侧的两点．设 ，则 ．
4．如图，点A，B，C，D，E都在 上，连接 ．若 所对圆心角的度
数为 ，则 ．
5．如图，在 中， 为弦， 为直径， 于E， 于F， 与
相交于G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
6．如图，点A、B、C在 上， 是直径， 的角平分线 与 交于点D，与
交于点M，且 ，连接 ，交 于点N．
(1)证明： ；(2)试猜想 与 之间的数量关系，并证明．
类型二、一元二次方程的应用——单循环与传播问题(选、填、解)
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人
传染了 个人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．某次排球邀请赛，规则是参赛的每两队之间要比赛一场，赛程安排时间是 天，每天安
排 场比赛．设有 支球队参赛，则 的值是（ ）．
A． B． C． D．
3．有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有
支球队．
4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了
人．
5．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就
有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的多少人？
6．在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八
强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区
小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组
赛？
类型三、一元二次方程的应用——增长率问题(选、填、解)
1．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值
之和为175亿元，若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．某商品原价200元，经过两次相同百分率的降价后价格为162元，设每次降价的百分率
为 ，则可列方程为（ ）
A． B． C．D．
3．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物
的产量两年内从 千克增加到 千克，则平均每年增产的百分率为 ．
4．某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分
率为x，据题意列方程
5．某电商平台某商品7月24日销量为5000个，7月25日和26日的总销量为30000个．
若这两天的销量相对于前一天的增长率均为 ，求 的值．
6．在2023年初的疫情期间，为了减少外出时间，许多人选择使用手机软件在线上买菜，
某买菜软件今年一月份新注册的用户为2500万，三月份新注册用户为3600万．问这两个
月每月新注册用户的平均增长率是多少？
类型四、二次函数的增减性与对称性(选、填、解)
1．二次函数 的图象，在对称轴右侧的部分是（ ）．
A． 随着 的增大而增大 B． 随着 的增大而减小
C． 随着 的增大先增大后减小 D． 随着 的增大先减小后增大
2．二次函数 的图象不经过的象限为（ ）
A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限
3．已知二次函数 ，其中 （ 为常数）．
（1）当 时， 的取值范围是 ；
（2）若 恒成立，则 的取值范围是 ．
4．在平面直角坐标系中，若点 ， ，在抛物线 上，且
位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线 ．
（1）当 时， 与 满足的等量关系为 ；
（2）已知点 在该抛物线上，若对于 ，都有 ，则 的取值范围为
．5．已知二次函数 ．
(1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标；
(2)当 为何值时， 随 的增大而增大．
6．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和点 ．
(1)当 时，比较 的大小，并说明理由；
(2)当 时， 随 的增大而减小，且 的最大值与最小值的差为 ，求 的最小值．
类型五、一元二次方程的应用——动点问题(选、填、解)
1．如图，在 中， ，点 、 同时从 、 两点出
发，分别沿 ， 方向匀速运动到终点 ，其速度都为 ．若要使 的面积
为 面积的一半，则需要运动（ ）
A． B． C． 或 D．
2．如图，在 中， ， ， 动点P从点A开始以
的速度沿 边向点B运动；动点Q从点B开始以 的速度沿 边向点C运动．如果
P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
①当 时， 的面积为 ；②t有两个不同的值，都使 的面积为 ；
③ 的面积可以为
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，在 中， ， ， ，动点P、Q分别从点A、B同
时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为 ，点 的速度为 ，点Q运
动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使 的面积为 ，则点P运动的时间是
s．
4．如图，在 中， ， 的长为 ，点 从点 开始，沿 边向点 以
的速度移动，点 从点 开始，沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分
别从 、 同时出发， 秒后 的面积等于 ．
5．如图，在 中， ， ， 点P从点A开始沿 边向点B
以 的速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以 的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ；
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ；
(3)在问题（1）中， 的面积能否等于 ，若能，求出P、Q运动时间，若面积不能
为 ，说明理由？
6．如图，在矩形 中， ， ，点M从A点出发沿 以 速
度向B点运动，同时点N从B点出发沿 以 的速度向C点运动，当其中一点到达
终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时， ？
(2)当t为何值时， 的面积是 面积的一半？
类型六、利润问题(含一元二次方程与二次函数)(解)
1．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每
千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
(1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？
(2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价
不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了 ，售价比第一次提高了 ；乙种水果的进货量为100千克，售价不
变．求m的值．
2．为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱．
(1)当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为 元/箱，若每次下降的
百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变
的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20
箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出 件，每件盈利 元，为了扩大销售，
增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价
元，商场平均每天可多售出 件，若商场每天盈利 元，请帮助商场算一算，每件应降
价多少元？
4．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为 万元，市场调研表明：当销售价为
万元时，平均每周能售出 辆，而当销售价每降低 万元时，平均每周能多售出 辆．如果
设每辆汽车降价 万元，每辆汽车的销售利润为 万元． 销售利润 销售价 进货价
(1)求 与 的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出 的取值范围；
(2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
5．材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其
中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看
作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、
运输等费用．
问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本 （元）
与生产量 （个）的关系式为 ．
(1)求该工艺品的固定成本和可变成本．
(2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量 （个）与销售单价 （元/个）之间的对应关系如图所示：
①销量 与销售单价 之间的函数关系式．
②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？
6．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量 （件）与销售单价
（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表：
销售单价 （元） 60 65 70
日销售量 （件） 200 150 100
(1)根据以上信息，求 关于 的函数关系式；
(2)已知销售单价为60元时，日销售利润 为2000元.［注：日销售利润 日销售量 （销
售单价-成本单价）]
①求该商品的成本单价是多少元；
②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润；
③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润 有最大值，日销售利润的最大值为多
少元．
类型七、图形问题(含一元二次方程与二次函数)(解)
1．如图，在面积为 的正方形的四个直角处，分别剪去四个面积均为
的小正方形，制成一个无盖的长方体盒子．
(1)用含a的式子表示这个长方体盒子的底面边长；
(2)若该长方体盒子的容积为 ，求a的值．
2．某学校计划利用一片空地建一个面积为 的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长
度为 ，另外三边用总长为 的木板墙．(1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个 宽的门，那么这个车棚的长和宽
分别应为多少米？
(2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，
使得停车区的面积为 ，那么小路的宽度是多少米？
3．在一块长 ，宽 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一
半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你为小芳
的方案符合条件吗？若不符合，请求出小芳方案中的花园四周小路正确的宽度．
(2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，
并加以说明．
4．如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为 的
铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为 ，窗户的透光面积为 （铝合金框条的宽度不
计）．(1)求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围．
(2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？
5．如图，有长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为 ） 围成中间隔有
一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽 为 ，苗圃 面积为 ．
(1)求S与x的函数表达式；
(2)如果要围成面积为 的花圃， 的长是多少米？
6．如图，用一根长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 ），围成矩形
花圃 ，中间有三道篱笆，均平行于墙 ．设边 的长为 ．
(1)若围成的花圃的面积为 ，求边 的长；
(2)当 取何值时所围成的花圃的面积最大？最大面积是多少？
类型八、网格作图(解)
1．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， 的位置
如图所示，先作 关于原点O成中心对称的 ，再把 向上平移4个单
位长度得到 ．(1)画出 和 ；
(2) 与 关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________．
(3)已知 为 轴上一点．若 的面积为6，直接写出点P的坐标___________．
2．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标为 ．
(1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ；
(2)写出 各顶点的坐标．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标
系， 的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)画出 关于原点 的中心对称图形 ．并写出点 的对应点 的坐标；
(2)画出将 绕原点 按逆时针方向旋转 后的图形 ；
(3)连接 ， ， ，求出 的面积．
4．如图， 的顶点坐标分别为 ，
(1)画出 关于y轴的对称图形 ；
(2)将 绕原点O顺时针旋转 ，得到 ．
(3)在x轴上求作一点P，使 的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，
直接写出结果）
5．如下图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为
．请按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）(1)将 绕点O逆时针旋转 得到 ，画出 ．
(2) 与 关于原点O成中心对称，画出 ．
6．如图，已知方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．现有 三点，
其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)请根据点 的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，点 的坐标是_____；
(2)网格中 的形状是_____，并画出 的中线 ；
(3)若点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ，则点 的坐标为_____；
(4)在图中 边 上找一个点 使得它与点 点 构成的三角形为等腰三角形．
(5)在y轴上找一点 ，使 的面积等于 的面积，则点 的坐标为_____．
类型九、圆的切线证明(解)
1．如图，在 中， ， 平分 ， 交边 于点 ，点 为边上一点， 经过点 、 并且交 于另一点 ．
(1)作出 并标出点 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，
①证明：直线 是 的切线；
②若 与 交于点 ，且 ， ，求 的长．
2．如图，在 中， ， 是 的平分线， 是 上一点，以 为半
径的 经过点 ，与 ， 分别交于点 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
3．如图1，在 中，点P在边 上， ， 是
的外接圆．
(1)求证： 是 的切线；(2)当 是 的直径时，如图2，求 的度数．
4．如图，在 中， ，以 为直径的⊙O交BC于点D， ，垂足为
点E．
(1)求证：直线 与 相切：
(2)当 时，求线段 的长．
5．如图， 是 的弦， 为过点 的切线上一点，且 ， 分别在
上，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的度数．
6．如图， 内接于 ， ， ， 与 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．类型十、二次函数与不等式结合(解)
1．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 的图象．
(1)补充表格中的y值；
x … …
… ________ ________ ________ ________ …
(2)在平面直角坐标系中画出 的图象；
(3)结合图象，当 时，y的取值范围为________．
2．在平面直角坐标系 中，已知抛物线： ．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；(2)点 ， 在抛物线上，其中 ，
①若 的最小值是 ，求 的最大值；
②若对于 都有 ，直接写出t的取值范围．
3．已知二次函数 的图象如图所示．
(1) ________ ， ________ ；
(2)方程 的两个根为_____；
(3)观察图象，当 时， 的取值范围为_____．
(4)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点 ．
4．已知二次函数 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 时，请直接写出 的取值范围．
5．已知二次函数 （ 为常数）．
(1)该函数图象与 轴交于 两点，若点 坐标为 ，
① 的值是 ，点 的坐标是 ；
②当 时，借助图象，求自变量 的取值范围；
(2)对于一切实数 ，若函数值 总成立，求 的取值范围（用含 的式子表示）；
(3)当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，求 与的值及 的取值范围．
6．已知二次函数 的y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 …
y … 0 1 0 …
(1)求这个二次函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
(3)直接写出不等式 的解集__________；
(4)当 时，y的取值范围是 ．
