文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期中测试
总分：120分
考生姓名：
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第二十一-二十四章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如
果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B. 该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
C. 该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D. 该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2．用配方法解方程 时，变形结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即
可．
【详解】解： ，
移项，得 ，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ，
配方，得 ．
故选：D．
3．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的顶点式，熟悉顶点式 的顶点坐标为 是解题关键．
将二次函数解析式化为顶点形式 ，即可得到顶点坐标 ．
【详解】解：∵ ，
∴ 顶点坐标为 ．
故选：D．
4．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，需要判断一元二次方程的根的情况，可通过计算判别
式来确定．判别式 的值决定根的性质： 时有有两个不相等的实数根， 时有两个相等的实
根， 时没有实数根．
【详解】解： ，
一元二次方程没有实数根．
故选：C．
5．将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题关键．根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，向右平移1个单位，x变为 ；向上平移2个单位，
y值增加2．
【详解】解：∵抛物线 向右平移1个单位，
∴x替换为 ，得 ；
∵再向上平移2个单位，
∴y值增加2，得 ．
故选A．
6．物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所
示），该正八边形绕其中心 旋转 后能与自身重合，那么 的值可能是（ ）
A．22.5 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，
这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋
转对称图形的定义结合图形特点作答．
【详解】解：∵ ，
∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合，即 ．
故选：C．
7．如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若 ，则 的长为
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据垂径定理可得 ，再对 运用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
8．如图， 是 的直径，点C，D是圆上两点，连接 ．若 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可得 ，然后利用同弧所对
的圆周角相等可得 ，即可解答．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故选：C．
9．抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点在 和 之间，其部分图象如图，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤
（k为任意实数）；⑥若 是抛物线上两点，则 ．正确结论的个数是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用
二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与 轴交于正半轴，
，
∵拋物线对称轴为 ，
∴ ，故①正确．
该函数图象与 轴两个交点，则 ，即 ，故②正确．
由图象可知，当 时， ，
∴ ，故③错误．
∵抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点在 和 之间，
∴与 轴的另一个交点在 和 之间，
∴当 时， ，
，
，
∴ ，故④正确．
∵当 时， 取得最大值，
∴ ，即 （ 为任意实数），故⑤正确．
，
∴点 关于抛物线对称轴 对称，
∴ ，故⑥错误．综上所述，正确的是①②④⑤，共4个．
故选：B．
10．在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点 的坐标为 ，每一次将 绕着点 逆时
针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的4倍，第一次旋转后得到 ，第二次旋转后得到 ，
…，依次类推，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标规律变化，旋转变换，等边三角形性质，解直角三角形的相关计算，根据题意
可知，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，故 在第二象限，且 ，画出示意图，
即可得到答案．
【详解】解：由已知可得：
第一次旋转后， 在第一象限， ，
第二次旋转后， 在第二象限， ，
第三次旋转后， 在x轴负半轴， ，
第四次旋转后， 在第三象限， ，
第五次旋转后， 在第四象限， ，
第六次旋转后， 在x轴正半轴， ，
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而 ，
在第二象限，且 ，
点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若关于x的一元二次方程 （ ）的一个解是 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元
二次方程解的定义，将 代入方程 中，得到 ，即 ，再代入所求
表达式 计算即可．
【详解】解： 是方程 的解，
代入得， ，
，即 ，
，
故答案为： ．
12．近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经
“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的
年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根
据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程．
【详解】解：设年平均增长率为 ，则2024年收入为 万元，2025年收入为 万元．
根据题意，2025年收入为3.92万元，故列方程为 ，
故答案为： ．
13．方程 的两个根为 ， ，那么 的值等于 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟
记：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
【详解】解：∵方程 的两个根为 ， ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为 ，两侧距底面
处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 ，则这个隧道入口的最大高度约为 （结果精确
到 ）．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，解此题的关键是理解题意，求得相应的函数解析
式，注意待定系数法的应用．
建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知， ， ， ，又由抛物线的顶点在
轴上，即可设抛物线的解析式为 ，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析
式，继而求得这个隧道入口的最大高度．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知， ， ， ．
设抛物线的表达式为 ．
把 ， 代入，得 解得该抛物线的表达式为 ，则 ，
这个隧道入口的最大高度约为 ．
故答案为： ．
15．如图，在四边形 中， ， ， ， ，将线段 绕点D逆时针旋
转 至 位置，连接 ， 的面积为 ．
【答案】2
【分析】此题重点考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识．作
于点G，作 交 的延长线于点F，可证明四边形 是矩形，得 ，
，则 ， ，由旋转得 ， ，即可
证明 ，得 ，即可求得．
【详解】解：作 于点G，作 交 的延长线于点F，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
， ，
由旋转得 ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
故答案为：2．
16．如图，在 中， ， ，点D是 所在平面上的一个动点，且
，则 面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，解题的关键是确定点 的运动
轨迹．
如图，作 ，交 于点 ，先通过等腰三角形三线合一和余弦的定义求出 ，由此
得到 ，以 为圆心， 为半径作 ，根据 可知点 在 的优弧 上
运动，可得到当点 运动到如图所示的位置，即 、 、 三点共线时， 的面积最大，求出最
大值即可．
【详解】解：如图，作 ，交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
以 为圆心， 为半径作 ，∵ ，
∴点 在 的优弧 上运动，
当点 运动到如图所示的位置，即 、 、 三点共线时， 的面积最大，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 面积的最大值为 ，
故答案为： ．
三、解答题：本题共8小题，共72分.
17．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
则 ，
或 ，
解得 ， ；（2）解： ，
，
则 ，即 ，
，
， ．
18．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于原点的中心对称图形 ．
(2)将 绕原点逆时针旋转 得 ，画出 ．
(3)在 轴上找一点 ，使 的值最小，请直接写出点 坐标：______．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】本题考查了点的坐标，两点之间线段最短，中心对称变换的性质，画旋转图形，熟练掌握知
识点的应用是解题的关键．
（ ）根据中心对称变换的性质找出对应点即可求解；
（ ）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（ ）作点 关于 轴对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，则 ，点
即为所求，然后求出直线 表达式，进而求出结论．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：如图，作点 关于 轴对称点 ，连接 交 轴于点 ，则点 即为所求，
∵
∴关于 轴对称点 ，连接 ，
∴ ，
根据两点之间线段最短可得 的最小值为 长，
设直线 表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 表达式为 ，
当 时， ，解得： ，
∴点 坐标为 ，
故答案为： ．
19．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根：
(2)若此方程的两实数根 满足 ，求实数 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是完全平方公式的变形．
（1）根据一元二次方程根的判别式即可证明；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系和完全平方公式的变形即可求解．
【详解】（1）证明：关于 的一元二次方程 ，
，
，
，
∴对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
，，
解得 ，
∴实数 的值为 ．
20．某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价
措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此
规律，要求每件盈利不少于33元．请回答：
(1)商场日销售量增加_______件，每件商品盈利_______元（用含x的代数式表示）；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】(1) ，
(2)每件商品降价15元
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据总利润 单件利润 销售量列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：设每件商品降价x元，商场日销售量增加 件，每件商品盈利
元；
（2）解：由题意可得： ，
整理可得 ，
解得： ， ，
∵每件盈利不少于33元，
∴ ，
∴每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元．
21．如图， 为 的直径，C为 上一点，D为 的中点，过C作 的切线交 的延长线于
E，交 的延长线于F，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．【答案】(1)见解析
(2) 的半径为
【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接 ，由切线的性质可得 ，证明 垂直平分 ，得出 ，证明
，得出 ，即可得证；
（2）结合（1）可得： ， ， ，由勾股定理可得 ，设
，则 ，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，D为 的中点，
∴ ，即 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴结合（1）可得： ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为 ．22．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 距地面 ，
水柱在距喷水头 水平距离 处达到最高，最高点距地面 ；建立如图所示的平面直角坐标系，并
设抛物线的表达式为 ，其中 （ ）是水柱距喷水头的水平距离， （ ）是水柱距地
面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)身高 的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在 轴上的横坐标 的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）由抛物线顶点 ，设抛物线的表达式为 ，用待定系数法可得抛物线的表达式；
（2）当 时， ，解得 或 ，进而可得结论．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为 ，
设抛物线的表达式为 ，
将 代入得： ，
解得 ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得 或 ，
结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为 ．
23．阅读下面材料，并解决问题：(1)如图①等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数．
为了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 ，这样就可以利用
旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 ______；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②， 中， ， ，E、F为 上的点且 ，求证：
；
(3)能力提升
如图③，在 中， ， ， ，点O为 内一点，连接 ，
， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由全等三角形的性质得， ， ， ， ，
再由等边三角形的性质与判定得， ，根据勾股定理逆定理得， ，进而求解即
可；
（2）将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，由旋转的性质和等量代换得
，从而证得 ，得 ， ，证得 ，得
，即可得证；
（3）将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 ，由全等三角形的性质和旋转的性质证得，
是等边三角形，得 ，进而得 ，再由直角三
角形的性质和勾股定理求得 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
， ， ， ，
∵ 是等边三角形，
，
，即 ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴点C、O、 、 在一条直线上，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直
角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24．如图1，二次函数 的图象交 轴于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为
，过点 、 的直线交二次函数的图象于点 ．
(1)求二次函数和直线 的函数表达式；(2)在 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点 为直线 上在第一象限内的动点，连接 、 ，将 沿 翻折得到 ，
连接 ，当 为直角三角形时，直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图2，作 的平分线交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，作点 关于x
轴的对称点 ，先证明 ，设点 ，则 ，用角平分线性质和三角形面
积即可求得答案；
（3）可分三种情况： 或 或 ，分别求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴该二次函数的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入，
得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解： 轴上存在一点 ，使得 ．
如图2，作 的平分线交 于点 ，过点 作 于点G，连接 ，作点 关于x轴的对
称点 ，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 与 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，根据对称性可得： ，
∴点 的坐标为： 或 ；
（3）①当 ，如图3；
则 ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②当 时，如图4，连接 交 于点G，过点B作 于点H，
设 ，则 ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∵ ，
∵直线 与抛物线交于A，D两点
∴
解得：
∴
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵点 在第一象限，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图5，连接 并延长交x轴于点G，过点B作 于点H，则，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
由翻折得： ，
在 中， ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
③当 时，如图6，
由翻折得： ，
∴ ，
∴B、E、D在同一条直线上，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述，点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，三角函数，勾股定
理，直角三角形性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质等知识，涉及知识点较多，综合性
强，有一定的难度，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
