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期中考前满分冲刺之中等易错题
【专题过关】
类型一、圆周角定理(选、填、解)
1．如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， ， ，则
的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长 交 于E，作
交 的延长线于F，连接 ，证明 是等腰直角三角形，即可推出
，，再利用勾股定理求出 ，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长 交 于E，作 交 的延长线于F，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ．
故选：C．
2．如图， 是 的直径，A，C在圆上， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
由 是⊙O的直径，得到 ，再根据 及 与 互余即可
求解．
【详解】解：∵ 是⊙O的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ （同弧所对的圆周角相等），
．
故选：C．
3．如图， 、 是 上直径 两侧的两点．设 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是由 是直径求出 ．由 是
直径可得 ，由 可知 ，再根据圆周角定理可得 的
度数，即可得出答案．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
，
故答案为： ．
4．如图，点A，B，C，D，E都在 上，连接 ．若 所对圆心角的度
数为 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作辅助线构造圆内接四边形是解
题关键．
连接 ，由圆周角定理可得 ，由于四边形 为 的内接四边形，根据
圆内接四边形对角互补求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
所对圆心角的度数为 ，
．
点 都在 上，
∴四边形 为 的内接四边形，
，
．
故答案为： ．
5．如图，在 中， 为弦， 为直径， 于E， 于F， 与
相交于G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识点，熟练
掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）连接 ，容易得到 和 相等，利用 证明 和 全等即可；
（2）连接 ，设 ，则 ，根据 容易求出 ，再根据垂径
定理求出 的值，最后在 中根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，
∵ 于E， 于F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 于E，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：连接 ，设 ，则 ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ 于E， ，
∴ ，
∴在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的半径为 ．
6．如图，点A、B、C在 上， 是直径， 的角平分线 与 交于点D，与
交于点M，且 ，连接 ，交 于点N．
(1)证明： ；
(2)试猜想 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)OD AB，证明见解析【分析】（1）根据 ，证得 ，进而根据垂径定理证得 ；
（2）先证明 是 的中位线，得出 ，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：猜想 ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是
熟练掌握相关的定理和性质．
类型二、一元二次方程的应用——单循环与传播问题(选、填、解)
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人
传染了 个人，则可列方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列
出方程．
根据流感传染模型，起始1人患病，每轮传染中每人传染x人，两轮后总患病人数为
，据此列方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，根据题意得，
∵ 起始患病人数为1，
第一轮后患病人数为： ，
第二轮后患病人数为： ，
又∵ 两轮后总患病人数为49，
∴ ，
故选：B．
2．某次排球邀请赛，规则是参赛的每两队之间要比赛一场，赛程安排时间是 天，每天安
排 场比赛．设有 支球队参赛，则 的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有 支球队参赛，根据题意得
，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关
键．
【详解】解：设有 支球队参赛，
根据题意得 ，
解得： ， （舍去），
故选： ．
3．有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有
支球队．【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有 支球队，则每两队之间比赛一场，共
比赛场数为 ，根据总场数45列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的
关键．
【详解】解：设共有 支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为 ，
根据题意，有 ，
方程两边同时乘以2，得 ，
整理得 ，
因式分解得 ，
解得 或 ，
由于球队数量为正整数，
故 ，
故答案为：10．
4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了
人．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮
传染后总人数为169，列出方程 ，解方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
则第一轮后患病人数为 ，
第二轮后患病人数为 ，
根据题意， ，
解得 或 （舍去），所以 ．
故答案为：12．
5．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的多少人？
【答案】每轮每人传染的 人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染 人，第一轮后共有 名感染
者，第二轮后共有 名感染者，由此列方程解答，根据实际情况取舍方程的解，即可
求解．
【详解】解：设每个人传染 人，根据题意列方程得，
，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：每轮每人传染的 人．
6．在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八
强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区
小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组
赛？
【答案】南区共有 支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
设南区共有 支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，根据“所有参赛队伍采用双循
环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛”建立方程求解即可．
【详解】解：设南区共有 支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，
由题意得， ，
解得： ， （舍），
答：南区共有 支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛．
类型三、一元二次方程的应用——增长率问题(选、填、解)
1．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值
之和为175亿元，若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二
月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为 ，进而列式即可作答．
【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为 ，则二月份工业
产值为 亿元，三月份工业产值为 亿元，
∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，
∴ ，
故选：D
2．某商品原价200元，经过两次相同百分率的降价后价格为162元，设每次降价的百分率
为 ，则可列方程为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用——平均增长率（降低率）问题．设每次降价的百
分率为x，根据两次降价后价格变化列方程．
【详解】解：∵商品原价200元，每次降价百分率为x，
∴第一次降价后价格为 元，
第二次降价后价格为 元．
∵最终价格为162元，
∴ ．
对比选项，B选项方程形式正确．
故选：B．
3．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物
的产量两年内从 千克增加到 千克，则平均每年增产的百分率为 ．【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．设平均每年的增产率为x，根据该作物的产量两年内从 千克增加到 千克，
即可得出关于x的一元二次方程，解之取正值，即可得出结论．
【详解】解∶设平均每年的增产率为x，依题意得
，
解得 ， (舍去)
故答案为∶ ．
4．某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分
率为x，据题意列方程
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程是实际应用—增长率问题．
设月平均增长率为x，根据1月份某种钢的产量 3月份某种钢的产量，列出方程
即可．
【详解】解：设月平均增长率为x，
则 ，
故答案为： ．
5．某电商平台某商品7月24日销量为5000个，7月25日和26日的总销量为30000个．
若这两天的销量相对于前一天的增长率均为 ，求 的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的实际应用．直接利用已知分别表示出7月25日和
7月26日的销量，进而列出方程，求解即可．
【详解】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为 ，则可列方程为：
．
令 ，
则 ，即 ，
解得： 或 （舍），
故 ．
6．在2023年初的疫情期间，为了减少外出时间，许多人选择使用手机软件在线上买菜，
某买菜软件今年一月份新注册的用户为2500万，三月份新注册用户为3600万．问这两个
月每月新注册用户的平均增长率是多少？
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．设二、三两个月新注册用户的平均增长率是x，根据该买菜软件今年一月份及三
月份新注册用户人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设二、三两个月新注册用户的平均增长率是x，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：这两个月每月新注册用户的平均增长率是 ．
类型四、二次函数的增减性与对称性(选、填、解)
1．二次函数 的图象，在对称轴右侧的部分是（ ）．
A． 随着 的增大而增大 B． 随着 的增大而减小
C． 随着 的增大先增大后减小 D． 随着 的增大先减小后增大
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右
侧部分y随x增大而减小．
【详解】解：∵二次函数 中 ，
∴抛物线开口向下．
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小．
故选：B．
2．二次函数 的图象不经过的象限为（ ）A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方
向，与坐标轴的交点，画出图象判断．
根据二次函数 的解析式，由于 ，抛物线开口向上，且最小值为4，因此
始终为正，图象不经过 的象限．
【详解】∵ ， ，
∴抛物线开口向上，
∵ ，
∴ ，
∴函数值 始终为正数，
∴图象经过第一象限和第二象限，但不经过第三象限和第四象限．
故选A．
3．已知二次函数 ，其中 （ 为常数）．
（1）当 时， 的取值范围是 ；
（2）若 恒成立，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是：
（1）当 时， 的取值范围为 ，根据二次函数的性质求解即可；
（2）分三种情况讨论：①当 时；当 时；③当 时，根据二次函
数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当 时， ，
∵函数 ， ，
∴抛物线开口向上
∴当 时， 有最小值为 ；∵当 时， ；当 时， ，
∴当 时， 有最大值为 ，
∴ 的取值范围为 ；
（2）①当 时，
∵抛物线开口向上，当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值为 ，
又 ，
∴ ，
解得 ；
②当 时，
∵抛物线开口向上，当 时， 有最小值，
∴当 时， 有最大值为 ，或当 时， 有最大值为
，
又 ，
∴ ，或
解得 或 ；
③当 时，
∵抛物线开口向上，当 时， 随 的增大而减小，∴当 时， 有最大值为 ，
又 ，
∴ ，
解得 ；
综上， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
4．在平面直角坐标系中，若点 ， ，在抛物线 上，且
位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线 ．
（1）当 时， 与 满足的等量关系为 ；
（2）已知点 在该抛物线上，若对于 ，都有 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握
二次函数的性质．
（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）由题意可知点 在对称轴的左侧，点 ， 在对称轴的右侧，点
到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 ．
【详解】解：（1） ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）由题意可知，点 在对称轴的左侧,点 ， 在对称轴的右侧，，都有 ，
∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
，解得 ，
故答案为： ．
5．已知二次函数 ．
(1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标；
(2)当 为何值时， 随 的增大而增大．
【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点坐标为
(2)当 时， 随 的增大而增大
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用配方法化为顶点式，再根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，
y随x增大而减小进行解答即可．
【详解】（1）解： ，
该函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）解： ，
抛物线的开口向下，
当 时， 随 的增大而增大．
6．在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和点 ．
(1)当 时，比较 的大小，并说明理由；
(2)当 时， 随 的增大而减小，且 的最大值与最小值的差为 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)h的最小值为16．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握
二次函数与方程及不等式的关系．（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先求得对称轴为直线 ，再分当 时，当 时，两种情况讨论，根据抛物线
的开口方向，进而求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 和点 ，且 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：对称轴为直线 ，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴分两种情况讨论：
当 时，抛物线开口向上，要使 时，y随x增大而减小，
则对称轴 ；
当 时，抛物线开口向下，要使 时，y随x增大而减小，
则对称轴 ；
当 时：抛物线开口向上，对称轴 ，在 时，y随x增大而减小，
∴当 时，y有最大值， ；
当 时，y有最小值， ；
则 ，
∵ ，
∴当 时，h取得最小值，
∴ ；
当 时：抛物线开口向下，对称轴 ，
在 时，y随x增大而减小，
∴当 时，y有最大值， ；当 时，y有最小值， ；
则 ，
∵ ，
∴当 时，h取得最小值，
∴ ，
∵ ，
∴h的最小值为16．
类型五、一元二次方程的应用——动点问题(选、填、解)
1．如图，在 中， ，点 、 同时从 、 两点出
发，分别沿 ， 方向匀速运动到终点 ，其速度都为 ．若要使 的面积
为 面积的一半，则需要运动（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列
出方程求解．
设运动的时间为 ，表示出相关线段的长度，根据面积列出方程求解即可．
【详解】解：设运动的时间为 ，根据题意得，
，∴ ，
解得 或 ，
当点 到达终点时，所需时间为 ，
当点 到达终点时，所需时间为 ，
∴取 ，
故选：A．
2．如图，在 中， ， ， 动点P从点A开始以
的速度沿 边向点B运动；动点Q从点B开始以 的速度沿 边向点C运动．如果
P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
①当 时， 的面积为 ；
②t有两个不同的值，都使 的面积为 ；
③ 的面积可以为
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，
正确列出一元二次方程是解题的关键．
①当 时， ， ，利用三角形的面积公式，可求出 的面积为
；②当运动时间为 秒时， ， ，根据 的面
积为 ，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设 的面积可以
为 ，根据 的面积为 ，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即 的面积不能为
【详解】解：①当 时， ， ，
，结论①正确；
② 秒， 秒，
当运动时间为 秒时， ， ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
有两个不同的值，都使 的面积为 ，结论②正确；
③假设 的面积可以为 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即 的面积不能为 ，结论③不正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：C．
3．如图，在 中， ， ， ，动点P、Q分别从点A、B同
时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为 ，点 的速度为 ，点Q运
动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使 的面积为 ，则点P运动的时间是
s．【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练地建立方
程求解是解本题的关键．先求解 ，设运动时间为 ，可得 ，
再利用面积建立方程求解，即可求出时间t．
【详解】解： ，
，
设运动时间为 ，
，
的面积为 ，
，
解得： ，
当 时， ，不成立，舍去，
．
故答案为： ．
4．如图，在 中， ， 的长为 ，点 从点 开始，沿 边向点 以
的速度移动，点 从点 开始，沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分
别从 、 同时出发， 秒后 的面积等于 ．【答案】 或
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“ 的面积等于
”，得出等量关系是解决问题的关键．
根据直角三角形的面积公式和路程 速度 时间进行求解即可．
【详解】设 秒后， 的面积等于 ，由题意可得：
，
整理得 ，
解得 ， ．
经检验均是原方程的解．
或 秒后， 的面积等于 ．
故答案为： 或 ．
5．如图，在 中， ， ， 点P从点A开始沿 边向点B
以 的速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以 的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ；(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ；
(3)在问题（1）中， 的面积能否等于 ，若能，求出P、Q运动时间，若面积不能
为 ，说明理由？
【答案】(1)1秒
(2)0或2秒
(3)不能 ，见解析
【分析】（1）设t秒后， 的面积等于 ，根据三角形面积公式得到
，然后解一元二次方程即可；
（2）设t秒后， 的长度等于5cm，利用勾股定理得到 ，然后解一元二
次方程即可；
（3）设t秒后， 的面积等于 ；利用三角形面积公式得到 ，整理
得 ，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数的解，从而可判断 的
面积不能等于
本题考查了一元二次方程的应用：运用三角形的面积公式和勾股定理列方程．
【详解】（1）解：设t秒后， 的面积等于 ，则 ， ，
，
的面积等于 ，
，
整理得 ，
解得 ， 舍去 ，
答：1秒后， 的面积等于 ；（2）设t秒后， 的长度等于5cm，则 ， ， ，
的长度等于5cm，
，
整理得 ，
解得 ， ，
答：0秒或2秒后，PQ的长度为 ；
（3）不能．
理由如下：
设t秒后， 的面积等于 ；
的面积等于 ，
，
整理得 ，
，
方程没有实数的解，
的面积不能等于
6．如图，在矩形 中， ， ，点M从A点出发沿 以 速
度向B点运动，同时点N从B点出发沿 以 的速度向C点运动，当其中一点到达
终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时， ？(2)当t为何值时， 的面积是 面积的一半？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形性质和 ，得到 ，根据勾股定理得到
，得到 ，解得；
（2）根据 ， ，可得 ， ，根据
，得到 ，解得 ，取 ．
【详解】（1）解：∵在矩形 中， ， ，
且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故当t值为1或 时， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
化简得 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴当t值为3时， 的面积是 面积的一半．
【点睛】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，写动点移动距离表达式，勾股
定理，三角形面积公式，是解题的关键．
类型六、利润问题(含一元二次方程与二次函数)(解)
1．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每
千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
(1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？
(2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价
不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量
的基础上增加了 ，售价比第一次提高了 ；乙种水果的进货量为100千克，售价不
变．求m的值．
【答案】(1)第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克
(2)m的值为10
【分析】本题主要考查了列一元一次方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找
准等量关系，列出方程求解．
（1）设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果 千克，根据购买的总价列出方程
求解即可；
（2）根据利润列出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果 千克，
依题意得 ，
解得
当 时， ．
答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克；
（2）解：依题意得整理得
解得 （不合题意，舍去）
答：m的值为10．
2．为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱．
(1)当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为 元/箱，若每次下降的
百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变
的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20
箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？
【答案】(1)
(2) 元或 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
（1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价 每次下降的百分率
，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值；
（2）设每箱应涨价y元，则每箱盈利 元，每天可售出 箱，根据现
该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为m，
依题意得： ，
解得： （不合题意，舍去），
答：每次下降的百分率为 ；
（2）解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利 元，每天可售出 箱，
依题意得： ，
整理得： ，解得： ．
答：每箱应涨价4元或8元．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出 件，每件盈利 元，为了扩大销售，
增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价
元，商场平均每天可多售出 件，若商场每天盈利 元，请帮助商场算一算，每件应降
价多少元？
【答案】每件衬衫应降价 元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫应降价 元，由题意可列方程
，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是
解题的关键．
【详解】解：设每件衬衫应降价 元，
由题意可得 ，
化简得
解得， ， ，
∵为了尽量减少库存，由 ，
所以应该选择降价 元，
答：每件衬衫应降价 元．
4．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为 万元，市场调研表明：当销售价为
万元时，平均每周能售出 辆，而当销售价每降低 万元时，平均每周能多售出 辆．如果
设每辆汽车降价 万元，每辆汽车的销售利润为 万元． 销售利润 销售价 进货价
(1)求 与 的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出 的取值范围；
(2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) （ ）；
(2)每辆汽车的定价为 万元，平均每周的利润最大，最大利润为 万元．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）根据利润等于（ 进货价 降价）可得出y关于x的函数关系式，化简即可；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车
的销售利润乘以销售量，可得出S关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的
性质可得答案．
【详解】（1）由题意得： ，
∴ （ ）；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，
则
，
∴ 时，S最大为50．
∵ （万元），
∴每辆汽车的定价为 万元时，销售利润最大，最大利润为50万元．
5．材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其
中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看
作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、
运输等费用．
问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本 （元）
与生产量 （个）的关系式为 ．
(1)求该工艺品的固定成本和可变成本．
(2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量 （个）与销售单价 （元/个）之间
的对应关系如图所示：
①销量 与销售单价 之间的函数关系式．
②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元(2)① ，②当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是
69100
【分析】本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我
们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳
动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答．
（2）①运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式 ；
②经分析列式得 ，结合二次函数的性质，得出开口向下，在 有最大值，w
有最大值，再代入计算即可解答．
【详解】（1）解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为： ，且可变成本
与该产品生产的件数有关，
∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元．
（2）解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为 ，
则 ，解得： ．
∴所求关系式为 ．
②成本应基于生产量（即销量y），即 ，其中 ，
设利润 ，
．
∵ ，
∴当 时，w有最大值，且最大值为69100．
6．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量 （件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表：
销售单价 （元） 60 65 70
日销售量 （件） 200 150 100
(1)根据以上信息，求 关于 的函数关系式；
(2)已知销售单价为60元时，日销售利润 为2000元.［注：日销售利润 日销售量 （销
售单价-成本单价）]
①求该商品的成本单价是多少元；
②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润；
③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润 有最大值，日销售利润的最大值为多
少元．
【答案】(1)
(2)①50元；②2160元；③当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250
元
【分析】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，抛物线的图象和性质，熟练
掌握各知识点是解题的关键．
（1）先设y关于x的函数关系式为 ，然后用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）①设该产品的成本单价是 元，根据题意可列方程 求解即可；
②根据题意得 ．代入 计算即可；
③将②中函数关系式根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设日销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足的一次函数表达式为
，
把 代入得 ，
解得 ，
一次函数表达式为 ；（2）解：①设该产品的成本单价是 元，根据题意，
得 ，
解得 ，
该商品的成本单价是50元；
②根据题意，得 ．
当 时， （元）；
③ ，
抛物线开口向下，
当 时， 有最大值，最大值为2250，
答：当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元.
类型七、图形问题(含一元二次方程与二次函数)(解)
1．如图，在面积为 的正方形的四个直角处，分别剪去四个面积均为
的小正方形，制成一个无盖的长方体盒子．
(1)用含a的式子表示这个长方体盒子的底面边长；
(2)若该长方体盒子的容积为 ，求a的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】本题主要考查了二次根式的应用和一元二次方程的解法，解决此题的关键是根据
题意列出式子和方程；（1）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长即可；
（2）根据体积公式得到方程，解方程即可得到答案；
【详解】（1）解：由题可知：
，
故这个长方体盒子的底面边长为 ；
（2）解：由长方体的体积公式可知： ，
整理得， ，
解得： （舍去）
∴a的值为 ．
2．某学校计划利用一片空地建一个面积为 的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长
度为 ，另外三边用总长为 的木板墙．
(1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个 宽的门，那么这个车棚的长和宽
分别应为多少米？
(2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，
使得停车区的面积为 ，那么小路的宽度是多少米？
【答案】(1)车棚的长为 米，宽为 米
(2)小路的宽为 米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设与墙垂直的一面为 米，然后可得另两面则为 米，然后利用其面积为
列出方程求解即可；
（2）设小路的宽为 米，利用去掉小路的面积为 平方米列出方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为 米，另一面则为 米根据题意得： ，
整理得： ，
解得 或 ，
当 时， (舍去)，
当 时， ，
答：车棚的长为 米，宽为 米．
（2）解：设小路的宽为 米，
根据题意得： ，
整理得 ，
解得： (舍去)， ，
答：小路的宽为 米．
3．在一块长 ，宽 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一
半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你为小芳
的方案符合条件吗？若不符合，请求出小芳方案中的花园四周小路正确的宽度．
(2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，
并加以说明．
【答案】(1)小芳的方案不符合条件，小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米
(2)图见解析，说明见解析
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，利用面积关系设计图案等内容，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程．
（1）设小芳方案中的花园四周小路的宽度为x米，根据面积关系列出方程，然后求解即可；
（2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，设计图案即可．
【详解】（1）解：小芳的方案不符合条件，小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米．
理由：
设小芳方案中的花园四周小路的宽度为x米，由题意得：
，
，
或 不合题意，舍去 ，
小芳方案中的花园四周小路正确的宽度为2米；
（2）解： 花园的设计草图如下：
说明：取边长为 的一边的中点为三角形的一个顶点，对边的两个端点为三角形的另外
两个顶点，此三角形的面积为矩形的面积的一半．
4．如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为 的
铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为 ，窗户的透光面积为 （铝合金框条的宽度不
计）．
(1)求 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围．(2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？
【答案】(1) ，
(2)当 ， 时，窗户的透光面积达到最大，最大面积是
【分析】（1）根据矩形的面积公式可求得函数解析式，根据长宽均大于 求得 取值范围；
（2）将（1）中解析式配成顶点式，即可求最大面积．
【详解】（1）解：由题意，得 ，
，
关于 的函数表达式为 ．
， ，
自变量 的取值范围为 ．
（2）解：由（1），得 ．
， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
此时， ，即 ．
故当 ， 时，
窗户的透光面积达到最大，最大面积是 ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键．
5．如图，有长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为 ） 围成中间隔有
一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽 为 ，苗圃 面积为 ．
(1)求S与x的函数表达式；
(2)如果要围成面积为 的花圃， 的长是多少米？【答案】(1)
(2)8米
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的综合应用，根据题意确定二次函数的解析
式成为解答本题的关键．
（1）先表示出 的长，再利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（2）令 ，求出 的长即可．
【详解】（1）解：设花圃的宽 为 ，则 ，根据题意得：
，
即S与x的函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
即 的长是8米．
6．如图，用一根长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 ），围成矩形
花圃 ，中间有三道篱笆，均平行于墙 ．设边 的长为 ．
(1)若围成的花圃的面积为 ，求边 的长；
(2)当 取何值时所围成的花圃的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)当 时，S取得最大值，此时花圃的面积是
【分析】主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意．（1）表示出 的长为 ，然后列出一元二次方程求解即可；
（2）设花圃的面积为S，表示出 ，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵该花圃的边 的长为 ，则 的长为 ，
由题意，得 ，即 ，
解得 ， ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意，舍去，
∴ 的长是 ；
（2）设花圃的面积为S，则 ．
，
∴当 时，S取得最大值，此时花圃的面积是 ．
类型八、网格作图(解)
1．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， 的位置
如图所示，先作 关于原点O成中心对称的 ，再把 向上平移4个单
位长度得到 ．
(1)画出 和 ；(2) 与 关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是___________．
(3)已知 为 轴上一点．若 的面积为6，直接写出点P的坐标___________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】题考查了画中心对称图形，平移作图找出对称中心坐标，利用网格求三角形的面
积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质，分别找到点 ，再依次连接得 ，然后根据平移
的性质得点 ，再依次连接得 ，即可作答．
（2）分别连接 ，它们经过点 ，则该点即为对称中心；
（3）设 点坐标为 ，再根据面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图， 和 所作；
（2）解：如图， 与 关于 点成中心对称，
∴ 点的坐标为 ；
故答案为 ．
（3）解：设 点坐标为 ，
的面积为6，，
解得 ， ，
点坐标为 或 ．
故答案为 或 ．
2．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标为 ．
(1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ；
(2)写出 各顶点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的作图，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤．
（1）由旋转的性质，可得出 各顶点的对应点，再顺次连接各对应点即可画出
；
（2）由（1）即可得出 各顶点的坐标．
【详解】（1）解：如图，（2）解：由旋转可得， ．
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标
系， 的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于原点 的中心对称图形 ．并写出点 的对应点 的坐标；
(2)画出将 绕原点 按逆时针方向旋转 后的图形 ；
(3)连接 ， ， ，求出 的面积．
【答案】(1)图见解析，点 的坐标为
(2)图见解析
(3)8【分析】本题主要考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，写出直角坐标系
中点的坐标等知识点，熟练掌握旋转的性质、画旋转图形的方法是解题的关键．
（1）按照画中心对称图形的方法画出 ，并写出点 的坐标即可；
（2）按照画旋转图形的方法画出 即可；
（3）根据三角形的面积公式求面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求：
点 的坐标为 ；
（2）解：如图， 即为所求：
（3）解：如图，连接 ， ， ，∴ 的面积为： ．
4．如图， 的顶点坐标分别为 ，
(1)画出 关于y轴的对称图形 ；
(2)将 绕原点O顺时针旋转 ，得到 ．
(3)在x轴上求作一点P，使 的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，
直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析，点P坐标为
【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据轴对称的性质，画出 即可；（2）根据旋转的性质，画出 即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 。
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求；
（3）如图，点 即为所求，由图可知：点P坐标为 ；
5．如下图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为
．请按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）
(1)将 绕点O逆时针旋转 得到 ，画出 ．
(2) 与 关于原点O成中心对称，画出 ．【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）利用平面直角坐标系中绕原点 逆时针旋转 的坐标变换规律，确定
各顶点旋转后的对应点，再连接这些点得到 ．
①点 旋转后， 的坐标为 ；
②点 旋转后， 的坐标为 ；
③点 旋转后， 的坐标为 ；
④依次连接这三个点，得到 ．
（2）利用关于原点 成中心对称的点的坐标特征，确定 各顶点的对称点坐标，再连
接这些点得到
①点 关于原点对称的点 的坐标为
②点 关于原点对称的点 的坐标为
③点 关于原点对称的点 的坐标为
④依次连接这三个点，得到 ．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．（2）解：如图， 即为所求．
【点睛】本题考查了图形的旋转和中心对称作图，解题关键是掌握点绕原点逆时针旋转
以及关于原点中心对称的坐标变换规律，从而准确得到变换后点的坐标，进而完成图形绘
制．
6．如图，已知方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．现有 三点，
其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．(1)请根据点 的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，点 的坐标是_____；
(2)网格中 的形状是_____，并画出 的中线 ；
(3)若点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ，则点 的坐标为_____；
(4)在图中 边 上找一个点 使得它与点 点 构成的三角形为等腰三角形．
(5)在y轴上找一点 ，使 的面积等于 的面积，则点 的坐标为_____．
【答案】(1)图见解析，
(2)直角三角形，图见解析
(3)图见解析，
(4)点 见解析
(5) 或
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再根据坐标系作答即可；
（2）先求出三角形三边的长度，再由勾股定理的逆定理即可证明 是直角三角形，然
后由中线的定义画图即可；
（3）先在图中作点 关于直线 的对称点为点 ，在根据点 在坐标系中的位置求解即
可；
（4）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求解；
（5）先求出 的面积为8，由题意可得， 的面积也为8，再把 拆成两个
三角形的面积的和即可求解．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示：由图得， ，
故答案为： ；
（2）解： ， ， ，
且 ，
的形状是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
如图所示， 的中线 即为所求；
（3）解：在图中作点 关于直线 的对称点为点 ，则点 的坐标为 ，
故答案为： ；（4）解： 是直角三角形，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
要在 边 上找一个点 使得它与点 和点 构成的三角形为等腰三角形，
点 应为斜边 的中点，
如图所示，点 即为所求；
（5）解：由点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，且点
关于直线 对称，
，设垂足为点 ，
．
的面积等于 的面积，
．
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入 中得，，解得 ，
直线 的解析式为 ．
设直线 交 轴于点 ，则点 的横坐标为0，
把 代入 中，解得 ，
．
设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
，
，
，
解得 或 ，
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，平面内的点与有序数对一一对应，轴对称的性质，勾
股定理逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，解题的关键是掌握各个
知识点，灵活运用所学知识解决问题．
类型九、圆的切线证明(解)
1．如图，在 中， ， 平分 ， 交边 于点 ，点 为边
上一点， 经过点 、 并且交 于另一点 ．(1)作出 并标出点 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，
①证明：直线 是 的切线；
②若 与 交于点 ，且 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②10．
【分析】 作 的中垂线，交 于点 ，以点 为圆心、 为半径作圆即可得 ，
交 于点 ；
连接 ，证 ，由 得 于点 ，据此即可得证；
作 于点 ，可得四边形 是矩形，据此知 ，由 知
，再根据垂径定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示， 与点 即为所求．
（2）解：①如图，连接 ，
，
，
平分 ，
，
，，
，
，即 ，
是 上一点，
直线 是 的切线；
过点 作 于点 ，
则 ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
则 ，
．
【点睛】本题主要考查作图 复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定与中垂线的性质及切
线的判定、垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点．
2．如图，在 中， ， 是 的平分线， 是 上一点，以 为半
径的 经过点 ，与 ， 分别交于点 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的
关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径．
（1）连接 ，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出 ，进而得到 ，根据切线判定定理证明 是 的切线．
（2）过 作 ，证明四边形 是矩形得 ，再由垂径定理得 的长
度，最后在 中用勾股定理求出半径 ．
【详解】（1）证明：连接
是 的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
又 是 的半径，
是 的切线；
（2）解：过点 作 ，垂足为点
， ，
四边形 是矩形
，
在 中，
的半径为5．
3．如图1，在 中，点P在边 上， ， 是的外接圆．
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 是 的直径时，如图2，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理等知识，证明 是 的切线是解题的关
键．
（1）连接 ，并延长 交 于点Q，则 为 的直径，连接 ，证明 ，
根据切线的判定即可得到结论；
（2）证明 ，求出 ，得到 ，由（1）知，
，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接 ，并延长 交 于点Q，则 为 的直径，
连接 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ．
4．如图，在 中， ，以 为直径的⊙O交BC于点D， ，垂足为
点E．
(1)求证：直线 与 相切：
(2)当 时，求线段 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形
的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
（1）连接 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，得出
，进而得出 ，由 ，得出 ，即可证明 是 的
切线；
（2）先求出 ，再由勾股定理求出 ，最后再用面
积法求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2） 为直径，
，
∵ ，
为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵在直角 中， ，
∴ ，
解得 ．5．如图， 是 的弦， 为过点 的切线上一点，且 ， 分别在
上，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三
角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键．
（1）连接 ，先根据等腰三角形的性质得到 ，再根据切线的性质定
理可得 ，进而根据切线的判定定理可得结论；
（2）证明 得到 ，利用等腰三角形的性质求得
，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，∴ ，
∴ ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
6．如图， 内接于 ， ， ， 与 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理以及含 角的直角三角
形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接 ，先根据垂径定理可得 垂直平分 ，再根据平行线的性质可得
，然后根据圆的切线的性质即可得证；（2）连接 ，先根据圆周角定理可得 ，从而可得 ，再根
据含 度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
垂直平分 ，
，
，
又 是 的半径，
是 的切线；
（2）如图，连接 ，
， ，
，
，
由（1）已证 ，
，
，
．
类型十、二次函数与不等式结合(解)1．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 的图象．
(1)补充表格中的y值；
x … …
… ________ ________ ________ ________ …
(2)在平面直角坐标系中画出 的图象；
(3)结合图象，当 时，y的取值范围为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列
表，描点，连线是解题的关键．
（1）分别将 值代入函数解析式求解即可；
（2）描点，连线即可画出图象；
（3）根据函数图象，写出 时， 的取值范围．
【详解】（1）解：
当 ；
当 ；
当 ；
当 ；x … …
… …
（2）解：如图所示，
（3）解：根据图象，当 时，y的取值范围为
故答案为： ．
2．在平面直角坐标系 中，已知抛物线： ．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)；
(2)点 ， 在抛物线上，其中 ，
①若 的最小值是 ，求 的最大值；②若对于 都有 ，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)①12；② 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数与不等式，熟练
掌握相关知识点是解题的关键．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）①根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为 ，结合 的范围可知当
时， 有最小值 ，则有 ，再根据二次函数的性质即可求出 的最大值；②利
用二次函数的性质求出 的最大值以及 的值，再结合 列出关于 的不等式，即可
求出t的取值范围．
【详解】（1）解： ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：① ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时， 有最小值 ，
∵ 的最小值是 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴当 时， 有最大值 ，∴ 的最大值为12；
②当 时， ，
∵ ， ， ，
∴当 时， 有最大值 ，
∵对于 都有 ，
∴ ，
解得 或 ；
∴t的取值范围为 或 ．
3．已知二次函数 的图象如图所示．
(1) ________ ， ________ ；
(2)方程 的两个根为_____；
(3)观察图象，当 时， 的取值范围为_____．
(4)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
(4)【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次
函数的关系，数形结合是解题的关键．
（1）根据函数的开口方向可判断 ，再根据函数图象与 轴的交点可判断 ；
（2）由二次函数 的图象可得对称轴为直线 ，函数图象与 轴的一个
交点为 ，利用二次函数的对称性求出函数与 轴的另一个交点，即可求解；
（3）由图可知，当 时，函数有最小值为 ，当 时， ，即可求解；
（4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可．
【详解】（1）解：由二次函数的图象可得 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由二次函数 的图象可得函数的对称轴为直线 ，函数图象与
轴的一个交点为 ，
函数图象与 轴的另一个交点为 ，
的两个根为 ， ，
故答案为： ， ；
（3）解： 二次函数 的开口向上，顶点为 ，
当 时，函数有最小值为 ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围为 ，
故答案为： ；
（4）解：设二次函数的解析式为 ，将 代入得 ，
解得 ，
二次函数的解析式为 ，
设将二次函数 图象向上平移 个单位长度后恰好过点 ，
则平移后的二次函数解析式为 ，将 代入得 ，
解得 ，
故答案为： ．
4．已知二次函数 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 时，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1) 的值为 ；
(2) 的值为 或 ；
(3) 的取值范围为 ．
【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关
键．
（ ）把 代入解析式即可求解；
（ ）把 代入解析式，然后解方程即可；
（ ）根据二次函数的性质的性质即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ 的值为 ；
（2）解：当 时， ，
解得： ， ，
∴ 的值为 或 ；
（3）解：∵ ，
∴当 时， 有最小值 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ，
∴当 时， 的取值范围为 ．5．已知二次函数 （ 为常数）．
(1)该函数图象与 轴交于 两点，若点 坐标为 ，
① 的值是 ，点 的坐标是 ；
②当 时，借助图象，求自变量 的取值范围；
(2)对于一切实数 ，若函数值 总成立，求 的取值范围（用含 的式子表示）；
(3)当 时（其中 为实数， ），自变量 的取值范围是 ，求 与
的值及 的取值范围．
【答案】(1)① ； ；② 或
(2)
(3) ，
【分析】（1）①依据题意，由二次函数 过点 代入可得 ，进而得二次
函数解析式，从而可以求出 ；②依据题意，由①令 分别求出对应自变量进而
可以得解；
（2）依据题意，由不等式变形得 ，对于一切实数成立，即对函数
与 轴无交点，可得 ，进而可以得解；
（3）依据题意可得抛物线上横坐标为 与 的两点关于对称轴对称，从而求出 ，
进而得二次函数解析式，再将 或 代入解析式即可得 的值，最后，为使
时， （其中 为实数， ）恒成立，则 必须小于等于抛物线的最小值，
即 ，求出二次函数最值即可求出 的范围．
【详解】（1）解：①二次函数 过点 ，
，
，∴二次函数为 ，
令 ，
，
∴解得 或 ，
∴ ，
故答案为： ； ；
②由题意，令 ，
∴ 或 ．
又 ，
∴二次函数图象开口向上．
∴当 时，满足题意的自变量有两部分，
∴ 或 ；
（2）解：∵对于一切实数 ，若函数值 总成立，
即 恒成立．
即 ．
∵ 开口向上，
∴ ，
∴ ；
（3）解：根据题意， ，则由抛物线的对称性可知，抛物线与直线 有两个交点，
若抛物线与直线 也有两个交点，则 的解集有两部分，
∴抛物线与直线 只有一个交点或没有交点，
∴直线 与抛物线的交点为 ，
∴对称轴 ，
；∴二次函数为 ，
∴当 或 时， ，即此时 ；
，
抛物线开口向上，
二次函数在 时，取最小值，为 ，
为使 时， （其中 为实数， ）恒成立，
则 必须小于等于抛物线的最小值，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性
质、由函数值范围求自变量范围、二次函数最值、不等式恒成立问题等知识，熟记二次函
数图象与性质是解决问题的关键．
6．已知二次函数 的y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 …
y … 0 1 0 …
(1)求这个二次函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
(3)直接写出不等式 的解集__________；(4)当 时，y的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数
图不等式等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法结合表格求解即可；
（2）根据表格、描点、连线即可画出二次函数的图象；
（3）先画出函数 ，然后根据函数图象即可解答；
（4）根据函数图象确定函数y在 的取值范围即可．
【详解】（1）解：由表格可得，当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，解得 ，
∴这个二次函数的表达式为 ．
（2）解：根据表格，描点、连线，画出函数图象如下：（3）解：如图：先画出函数 ，
由函数图象可得不等式 的解集为 ．
（4）解：当 时， ，
如图：由函数图象可得：当 时，y的取值范围是 ．
