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第 06 讲 解题技巧专题：三角形中的倒角模型之双角平分线
和高线模型
目录
【模型一 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】....................................................................................1
【模型二 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】.....................................................................3
【模型三 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】....................................................................................8
【模型四 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】...........................................................................12
【过关检测】............................................................................................................................................................15
【模型一 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型】
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论： 。
证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴ ， 。
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A。
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴ ， 。
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学科网（北京）股份有限公司∴ ∠ P=180°- （ ∠ PBC+∠ PCB ） =180°- （ ∠ ABC+∠ DCB ） =180°- （ 360°-∠ A-∠ D ） =
（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
。
证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴ ， 。
∴ ∠ P=180°- （ ∠ PCD+∠ PDC ） =180°- （ ∠ BCD+∠ CDE ） =180°- （ 540°-∠ A-∠ D-∠ E ）
=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。
例1．如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等，若 ，则
．
【答案】
【分析】由条件可知 平分 和 ，利用三角形内角和可求得 ．
【详解】解：∵点P到 三边的距离相等，
∴ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部
分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答案）
(2)若 ，求出 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出
与 的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
（3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠PBC= ∠ABC= ×40°=20°，∠PCB= ∠ACB= ×80°=40°．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°；
（2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC，
∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+ ∠BAC=90°+ ×100°=140°；
（3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠DCB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）= （∠A+∠D）．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个
解答思路求解是解题的关键．
【模型二 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型】
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
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学科网（北京）股份有限公司∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A。
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2， ，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴ ， 。
1 1
∴∠P=∠PCD-∠PBC= （∠ACD-∠ABC）= ∠A= 。同理：∠P= ∠P= ，∠P=
1 1 1 2 1 n
例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分
∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A
度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是
否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用 和 表示出 ，再根
据角平分线的定义得到 ， ，然后整理即可．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用 和 表示出 ，再根据角平分
线的定义得到 ， ，然后整理即可．
【详解】（1）解：如图2， 是等边三角形， ， ，
平分 ， 平分 ． ， ，
， ；
如图3， 是等腰三角形， ， ， ，
平分 ， 平分 ． ， ，
， ；故答案为 ， ， ；
（2）解：成立，如图1，在 中， ，
在 中， ， （1）
平分 ， 平分 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ， （2）
由（1） （2）， ， ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答
是关键．
例2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）特例感知
（1）如图1， 是 的平分线， 是 外角的角平分线．
①若 ，则 ________；
②判断 与 的数量关系，并说明理由．
类比迁移
（2）如图2， 是 的外角， 的平分线与 的平分线交于点 ， 的平分线
与 的平分线交于点 ， ， 的平分线与 的平分线交于点 （ 为正整数）．设
，则 ________．
拓展应用
（3）如图3，在 中， 是 的外角， 的三等分线与 的三等分线交于点 ．若
， ，请直接写出 的度数．（用含 、 的式子表示）
【答案】（1）① ； ；（2） ；（3） 或 或 或
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理；
（1）根据角平分线的定义得出 ， ，根据三角形的外角的性质可得
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学科网（北京）股份有限公司， ，进而得出 ；
（2）根据三角形的外角性质可得 ， ，根据角平分线的定义可得
， ，整理得到 ，同理可得 ，从而判断出后一个
角是前一个角的 ，然后表示出 即可得答案．
（3）分情况讨论，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分
∴
∵
∴
又∵
∴
当 时，
故答案为： ．
② ，
理由如下，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分
∴
∵
∴
又∵
∴
（2） 是 的外角， 是 的外角，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司的平分线与 的平分线交于点 ，
， ，
，
同理可得 ，
，
，
同理： ，
．
故答案为：
（3）如图所示，
∵ ，
∴
∵ 的三等分线与 的三等分线交于点
∴
∴ ；
∵
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴ ；
∵
∴ ；
综上所述， 或 或 或
【模型三 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型】
C
D
B A E
图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴ ， 。
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠EBC+∠BCF）=180°- （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- （180°+∠A）=90°+ ∠A。
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点 D；结论：AD平分
∠CAD。
证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,
例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 分别是 的平分线，
分别是 的角平分线．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，则 ________ ， ________ ；
(2)当 变化时， 的值是否变化？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)不变，见解析
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，邻补角等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定
理，邻补角是解题的关键．
（1）由题意得， ，则 ，
， ，
， ；
（2）同理（1）， ，则 ，
， ，则 ，
，由 ，作答即可．
【详解】（1）解：∵ 分别是 的平分线， 分别是 的角平分
线，∴ ， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：当 变化时， 的值不变，理由如下；
同理（1），
， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 变化时， 的值不变．
例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)若 ，则 的度数是 ；
(2)如图②，作 的外角 ， 的角平分线交于点 ，试探索 ， 之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段 交于点 ，试探索 ， 之间的数量关系．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识．
（1）先求出 ，进而求出 ，即可求出 ；
（2）先求出 ，进而求出 ，即可求出
；
（3）延长 至点 ，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 与 的平分线相交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）解： ， ，
，
点 是 和 的角平分线的交点，
， ，
，
；
（3）解：如图③，延长 至点 ，
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学科网（北京）股份有限公司， 为 的外角 的角平分线，
是 的外角 的角平分线，
，
平分 ，
，
，
，
即 ，
，
即 ．
【模型四 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型】
1）条件：如图1，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，结论： ．
2）条件：如图2，F为 的角平分线AE的延长线上的一点， 于D，结论：
．
图1 图2
1）证明：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司2）证明：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，
， ．
例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在 中， ， ， 是 的角平分
线．
（1）如图1，若 是 的高，则 的度数为 ．
（2）如图2，若 是 的角平分线，G是 延长线上一点，过点G作 于点H，则 的
度数为 ．
【答案】 /10度 /30度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出
是解本题的关键．
（1）首先根据三角形内角和定理得到 ，然后由角平分线概念得到
，然后由三角形外角的性质得到 ，进而求解即可；
（2）首先由角平分线的概念得到 ，然后由三角形外角的性质得到
，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴
∴ ；
（2）∵ 是 的角平分线
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∴
∵
∴
∴ ．
故答案为： ； ．
例2．已知：在 中， ， 平分 交 于点 ．
(1)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图①， 于点 ，若 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
(3)如图②，在 中， 于点 ， 是 上的任意一点（不与点 ， 重合），过点 作
于点 ，且 ，请你运用（2）中的结论求出 的度数；
(4)在（3）的条件下，若点 在 的延长线上（如图③），其他条件不变，则 的度数会发生改变吗？
说明理由．
【答案】(1) (2) (3) (4) 的度数不会发生改变，理由见解析
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得 ，再结合角平分线的定义可知
，然后由“直角三角形两锐角互余”可得 ，
进而可得 ，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论；
（3）结合 ，易得 ，再证明 ，由“两直线平行，同位角相等”
可得 ，即可获得答案；
（4）证明 ，由“两直线平行，内错角相等”可得 ，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵在 中， ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 时， ；
（2）由（1）可知， ，∴当 时，∴ ；
（3）∵ ，而 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ；
（4） 的度数大小不发生改变．理由如下：
∵ ， ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、
垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图， 是 的角平分线， 相交于点D，
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，先由三角形内角和定
理求出 ，再由角平分线的定义得到 ，据此根
据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在 中， 是角平分线， ，垂足为D，点
D在点E的左侧， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内
角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得 ，结合 是角平分线，可得
，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得 ，由此可求
的度数．
【详解】解： ， ，
，
是角平分线，
，
又 ，
，
．
故选：A．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 于点O，点E，F分别是射线 上的动点（不
与点O重合），延长 至点G， 的角平分线及其反向延长线分别交 的角平分线于
点M，N．若 中有一个角是另一个角的4倍，则 为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．先根据角平分线和平角的定义可得：
，分4种情况讨论，①当 时，②当 时，③当 时，④当
时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论．
【详解】解： 平分 平分 ，
，
，
；
①当 时
，
平分 ，
，
，
，
；
②当 时，
，
，
此种情况不成立；
③当 时，
设 ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
；
④当 时，
设 ，
，
，
此种情况不成立；
综上所述， 的度数为 或 ；
故选：A．
4．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在 中， ， 分别平分 ， ，
且交于点 ， 为外角 的平分线， 的延长线交 于点 ，则以下结论：① ；②
；③ ；④点 在 的角平分线上；⑤ 一定成立的有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．多于3
【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到 ，再结合平角概念得
，则运用三角形外角性质得 ，因为 ， 分
别平分 ， ，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点 在 的角平分线上；结合
三角形外角性质以及角平分线的性质得 ．本题考查角平分线的性质以及三角形外角
性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识
点熟练掌握．
【详解】解： 为外角 的角平分线， 平分 ，
， ，
又 是 的外角，
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学科网（北京）股份有限公司，
故①正确；
， 分别平分 ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
故②是正确的．
连接 ，如图所示：
， 分别平分 ， ，且三角形的三条角平分线会交于一
点，
∴点 在 的角平分线上，
故④是正确的．
∵题干提供的信息都是角的条件，
且 三点共线，无法通过等角对等角得出 ，
故③ 是错误的．
∵ ，
平分 ，
∴
平分 ，
∴
∴
故⑤是错误的．
故选：C．
二、填空题
5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点O是 内一点， ， 、 分别是 和
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学科网（北京）股份有限公司的角平分线，则 等于 ．
【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线定义的应用，根据三角形内角和定理求出
，根据角平分线求出 ， 求出 ，
根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， 分别是 与 的角
平分线，点D在 的延长线上，则 ．
【答案】 /18度
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，根据点D在 的延长线上，得到
，由角平分线的定义可得 ，根据三角形外角的性质
即可求 的度数．
【详解】解：点D在 的延长线上，
是 的一个外角，
，
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学科网（北京）股份有限公司分别是 与 的角平分线，
，
，
，
故答案为： ．
7．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知 的角平分线与 的外角平分线交
于点D， 的外角角平分线与 的外角角平分线交于点E，则 ．
【答案】 /90度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】该题主要考查了 角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是
理解题意．
根据角平分线得出 ，根据三角形外角的性质即可得
，再根据内角和定理得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ 的角平分线与 的外角平分线交于点D， 的外角角平分线与 的外
角角平分线交于点E，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
21 / 36
学科网（北京）股份有限公司8．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图， 和 分别是△ 的内角平分线和外角平分线， 是
的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线， 是 的角平分线．
若 ，则 为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出 ， ，
与 的规律是解题的关键．
根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形外角的性质可得
，化简可得 ，进一步找出其中的规律，即可求出 的度数．
【详解】解：∵ 和 分别是 的内角平分线和外角平分线，
， ，
又 ， ，
，
，
同理可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ，
∵ ，
，
，
故答案为： ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·天津西青·期中）如图1，在 中， 是 的角平分线；
(1)填写下面的表格．
的度数
的度数
(2)试猜想 与 之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题：
（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，得到 ，逐一进行计算即可；
（2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ 时， ；
时， ；
时， ；
填表如下：
的度数
的度
数
（2） ，证明如下：
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
10．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）在 中， 是边 上的高．
(1)如图1，若 是边 上的中线， ，求 的长．
(2)如图2，若 是 的角平分线， 时，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查三角形的三线，三角形的面积公式，三角形的内角和定理：
（1）三角形的面积求出 的长，中线求出 的长，线段的和差关系求出 的长即可；
（2）三角形的内角和定理求出 的度数， 的度数，角平分线求出 的度数，利用角的和
差关系即可求出 的度数．
【详解】（1）解：∵ 是边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是边 上的中线，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 是边 上的高，
∴ ，
∴ ．
11．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形 形似圆规，这样的四边形称为“规形”．
(1)如图①，在规形 中，若 ，求 的度数；
(2)如图②，在规形 中， 和 的角平分线 交于点E，且 ，试探究
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了外角的性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）如图1，延长 交 于 ，则 ，根据 ，计算求解即
可；
（2）如图2，延长 交 于 ，记 的夹角为 ，由 分别是 和 的角平
分线，可得 ， ，即 ， ，由题意知，
， ，则 ，进而可
得 ．
【详解】（1）解：如图1，延长 交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）解： ，理由如下；
如图2，延长 交 于 ，记 的夹角为 ，
∵ 分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，即 ， ，
由题意知， ， ，
∴ ，即 ．
12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）新定义：在 中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n
为大于1的正整数），则称 为“n倍角三角形”． 例如，在 中，若∠ ，则
，因为 最大， 最小，且 ，所以 为“3倍角三角形”．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在 中，若 ，则△DEF为“_______倍角三角形”．
(2)如图，在 中， 的角平分线相交于点D，若 为“3倍角三角形”，
请求出 的度数．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）本题主要考查了三角形内角和定理以及“n倍角三角形”，根据三角形内角和定理求出 ，
再根据n倍角三角形的定义判断即可；灵活利用三角形内角和定理是解题的关键；
（2）本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理及“n倍角三角形”，根据角平分线的定义、三
角形内角和定理求出 ，再根据n倍角三角形的定义分情况讨论即可．掌握分类讨论思想是解题的关
键．
【详解】（1）解：在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ 为“2倍角三角形” ．
故答案为：2．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 的角平分线相交于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为“3倍角三角形”，
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ．
综上所述， 的度数为 ．
13．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，作 外角 的角平分线交于点 ，试探索 之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段 、 交点 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出 的度
数．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出 ，进而求出 即
可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出 与 ，再根据角平分线的性质可求得 ，
最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在 中，由于 ，求出 ， ，所以如果 中，存在一个内
角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：① ；② ；③
；④ ；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解： ．
，
∵点P是 和 的平分线的交点，
；
（2）∵外角 ， 的角平分线交于点Q，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
；
（3）延长 至F，
为 的外角 的角平分线，
是 的外角 的平分线，
，
平分 ，
，
，
，
即 ，
又 ，
，即 ；
，
，
．
如果 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
① ，则 ， ；
② ，则 ， ， ；
③ ，则 ，解得 ；
④ ，则 ，解得 ．
综上所述， 的度数是 或 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用
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学科网（北京）股份有限公司三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
14．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【结论发现】
小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数
是三角形第三内角度数的一半．
【结论应用】
（1）如图1，在 中， ，点E是 的内角 平分线与外角 平分线的交点，
则 的度数为 °；
（2）如图2，在 中， ，延长 至点E，延长 至点D，已知 、 的角平分
线与 的角平分线及其反向延长线交于P、F，求 的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．
①已知 ， ，求 的度数；
②直接写出 与 的数量关系．
【答案】（1）20；（2） ；（3）① ；②
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）设 ，由角平分线定义得 ， ，
，由三角形外角定理得 ， ，则
，据此得 ，因此当 时可得 的度数；
（2）先求出 ，进而得 ，再由（1）可知 ，据此可得 的度数；
（3）①延长 ， 交于 ，延长 ， 交于 ，先求出 ，
，再根据 ， 得 ，则 ，由此可得
的度数；
②由①可知 ， ， ，则
，据此可得 与 的数量关系．
【详解】解：（1）设 ，
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， 平分 ，
， ， ，
， ，
整理得： ，
当 时， ，
故答案为：20．
（2） 和 是邻补角，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，
，
由（1）可知 ，
；
（3）①延长 ， 交于 ，延长 ， 交于 ，如下图所示：
， ，
即 ，
同理： ，
， ，
，
由（1）可知： ，
；
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学科网（北京）股份有限公司②由①可知： ， ， ，
，
．
【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识
图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关
键．
15．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角
平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】
（1）如图1，在 中， 、 的角平分线交于点P，若 ．则 ________；
【问题推广】
（2）如图2，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过点B作
于点H，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在 中， 、 分别平分 、 ，M、N、Q分别在 、 、 的延
长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ．若 ，则 的
度数为________（结果用含n的代数式表示）；
【拓展提升】
（4）在四边形 中， ，点F在直线 上运动（点F不与E，D两点重合），连接 ， ，
、 的角平分线交于点Q，若 ， ，直接写出 和α，β之间的数量关系．
【答案】（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4）F在E左侧 ；F在 中间 ；F在D右侧 ．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外
角的定义及性质
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先由角平分线的定义得到 ， ，再由三角形外角的性质得到
，根据三角形内角和定理推出 ，再由垂线的定义得到
，则 ．
（3）先由角平分线的定义得到 ， ， ， ，
， ，再由三角形内角和
，根据
，得到 ，由
此得解．
（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
【详解】（1） ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，即
．
（2） 平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
．
（3）如图3所示，
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学科网（北京）股份有限公司、 分别平分 、 ，
， ，
、 分别平分 、 ，
， ，
、 分别平分 、 ，
， ，
， ， ，
，
，
又 ， ， ，
即 ，
，
又 ， ，
，
，
．
（4）当点 在点 左侧时，如图4-1所示，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
当F在D、E之间时，如图4-2所示：
同理可得
， ，
，
，
当点F在D点右侧时，如图4-3所示：
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学科网（北京）股份有限公司同理可得
， ，
，
，
综上所述，F在E左侧 ；F在 中间 ；F在D右侧 ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线
的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键．
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