文档文本内容
专题 04 正方形中的模型、长度关系、路径问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:20)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)(cid:20)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)a= 2b(cid:22)(cid:35)(cid:21)(cid:20)...................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)a±b= 2c(cid:22)(cid:35)(cid:21)(cid:20)............................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:20)........................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:20)..................................................................................................................................11
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:20)..................................................................................................................................11
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:41)(cid:20)..................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:21)(cid:20)..................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:20)..............................................................................................................................16
(cid:31)(cid:22)(cid:49) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)
(cid:31)(cid:22)1(cid:10)(cid:51)(cid:39)(cid:52)(cid:53)(cid:39) (cid:31)(cid:22)2(cid:10)(cid:51)(cid:39)(cid:55)(cid:52)(cid:53)(cid:39)
(cid:56)(cid:57)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:58) (cid:56)(cid:57)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:58)
(cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:61) (cid:62) (cid:61) (cid:58) (cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:61) (cid:63) (cid:61) + (cid:58)
𝐵𝐸 𝐶𝐹⇔𝐴𝐸⊥𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐸⊥𝐹𝐺⇒𝐴𝐸 𝐹𝐺 𝐶𝐺 𝐵𝐸 𝐵𝐹
(cid:31)(cid:22)(cid:64) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)
(cid:56)(cid:57)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:63) =45°(cid:58) (cid:59)(cid:60)(cid:10)(cid:65) = + (cid:66)
∠𝐸𝐴𝐹 (cid:67)EA(cid:68)(cid:69)𝐸𝐹 𝐵(cid:63)𝐸FA𝐷(cid:68)𝐹(cid:69) (cid:58)
(cid:70)(cid:46)(cid:10) ∠𝐵𝐸𝐹 (cid:71)∠S𝐷AS𝐹(cid:72)𝐸(cid:63)
△𝐴𝐷=𝐹≌ △(cid:63)𝐴𝐵𝐺 = (cid:63)
⇒𝐴𝐹 𝐴𝐺 ∠𝐸𝐴𝐺(cid:71)S∠AS𝐸(cid:72)𝐴𝐹(cid:58)
⇒△𝐸𝐴𝐺≌ △𝐸𝐴𝐹【题型1 正方形中的十字架模型】
(cid:15)(cid:73)1(cid:20)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:77)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:11)(cid:84)(cid:27)(cid:49)(cid:85)(cid:86)(cid:11)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:63)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:74)(cid:75)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:10)
(cid:98)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:21)(cid:101)(cid:102)(cid:27)(cid:70)(cid:77)−−“(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)”(cid:27)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)
(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:63)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:21)(cid:10)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:49)(cid:120)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:121)(cid:122)(cid:63)E(cid:63)F(cid:80)(cid:123)(cid:27)(cid:124)(cid:120)(cid:125)(cid:63)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:124)
(cid:56)(cid:46) (cid:129) (cid:63)(cid:62)(cid:130)(cid:131) (cid:63)(cid:132)(cid:133)(cid:114)(cid:124)(cid:56)(cid:46)(cid:134)(cid:48)𝐴(cid:135)𝐵𝐶(cid:136)𝐷(cid:52)(cid:137)(cid:133)(cid:136)
(cid:138)(cid:139)𝐵(cid:112)𝐸(cid:79)(cid:35)𝐴𝐹(cid:21)(cid:63)(cid:108)(cid:80)(cid:114)𝐵(cid:115)𝐸(cid:70)⊥𝐴(cid:77)𝐹(cid:27)(cid:10)
(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:58)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷𝐹
(cid:140) (cid:63) + = + =90°
= (cid:63)(cid:71)(cid:141)(cid:142)*(cid:72)
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐹 ∴∠𝐵𝐸𝐴 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐷
∴∠Rt𝐵𝐸𝐴 ∠𝐴R𝐹t𝐷 (cid:63) = (cid:58)
∴(cid:113)(cid:143)△(cid:27)𝐴(cid:80)𝐵(cid:138)𝐸≌(cid:139)(cid:124)△(cid:120)𝐷(cid:51)𝐴(cid:39)𝐹 (cid:69)∴(cid:144)𝐵𝐸(cid:107)(cid:23)𝐴(cid:24)𝐹(cid:25) (cid:49)(cid:145)(cid:138)(cid:119)(cid:112)(cid:27)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:148)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:124)(cid:56)(cid:146)(cid:147)(cid:149)(cid:94)(cid:150)(cid:151)(cid:63)(cid:80)(cid:152)(cid:114)(cid:124)(cid:56)(cid:146)
(cid:147)(cid:153)(cid:154)(cid:94)(cid:134)(cid:155)(cid:136)(cid:138)(cid:156)(cid:108)(cid:109)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:49)𝐴(cid:161)𝐵(cid:162)𝐶𝐷(cid:106)(cid:10)
(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:148)(cid:39)M(cid:163)N(cid:163)P(cid:163)Q(cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:163) (cid:163) (cid:112)(cid:27)(cid:96)(cid:164)(cid:118)(cid:39)(cid:63)(cid:62) (cid:63)(cid:150)(cid:165)
(cid:52)O(cid:63)(cid:166) (cid:153)(cid:154)(cid:76)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:94)(cid:134)(cid:58)(cid:167)(cid:98)(cid:116)(cid:78)(cid:10) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑀𝑁⊥𝑃𝑄
(cid:168)(cid:39)M(cid:169)𝑀𝑁 (cid:63)𝑃𝑄(cid:150)(cid:165)(cid:52)E(cid:63)(cid:168)(cid:39)P(cid:169) (cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)F(cid:58)(cid:166)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:129) (cid:174)(cid:52)(cid:175)(cid:25)(cid:63)
= 𝑀(cid:63)𝐸⊥𝐶=𝐷 (cid:58) = (cid:63) 𝑃=𝐹⊥𝐴𝐷 𝐴𝑀𝐸𝐷 𝐴𝐵𝑃𝐹
∴(cid:107)𝑀(cid:118)𝐸(cid:119)(cid:25)𝐴𝐷QO𝑃N𝐹D(cid:26)𝐴(cid:63)𝐵 ∵𝐴𝐵 =𝐴𝐷 =∴𝑀90𝐸°(cid:63)𝑃𝐹
… ∵∠𝑁𝑂𝑄 ∠𝐷
(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:96)(cid:97)(cid:10)(cid:176)(cid:142)(cid:112)(cid:79)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:27)(cid:69)(cid:177)(cid:168)(cid:178)(cid:63)(cid:45)(cid:179)(cid:78)(cid:180)(cid:35)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:181)(cid:182)(cid:146)(cid:183)(cid:69)(cid:27)“(cid:141)(cid:142)*”(cid:80)__________________________(cid:58)
(2)(cid:107)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:27)(cid:69)(cid:177)(cid:168)(cid:178)(cid:63)(cid:184)(cid:126)(cid:185)(cid:186)(cid:27)(cid:86)(cid:11)(cid:70)(cid:187)(cid:113)(cid:10)_______(cid:58)(cid:71)(cid:188)(cid:78)(cid:79)(cid:189)(cid:190)(cid:26)(cid:191)(cid:192)(cid:124)(cid:190)(cid:72)(cid:58)
A(cid:58)(cid:193)(cid:194)(cid:70)(cid:187) B(cid:58)(cid:24)(cid:178)(cid:70)(cid:187) C(cid:58)(cid:98)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:49)(cid:198)(cid:27)(cid:70)(cid:187) D(cid:58)(cid:199)(cid:86)(cid:70)(cid:187)
(3)(cid:88)(cid:176)(cid:142)(cid:81)(cid:60)(cid:87)(cid:200)(cid:201)(cid:27)(cid:70)(cid:46)(cid:63)(cid:202)(cid:203)(cid:117)2(cid:204)(cid:205)(cid:27)(cid:172)(cid:173)(cid:168)(cid:178)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)1-1(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)·(cid:215)(cid:26)(cid:72)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:10)
𝐴𝐵𝐶𝐷(1)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:116)(cid:216)(cid:39) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:163) (cid:112)(cid:63)(cid:62) (cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52) (cid:63)(cid:132)(cid:133) (cid:76) (cid:94)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:88)(cid:172)(cid:173)(cid:217)(cid:27)(cid:59)(cid:60)(cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:116)(cid:216)(cid:39)𝐸(cid:80)𝐹(cid:119) (cid:27)(cid:26)𝐵𝐶(cid:39)(cid:63)𝐶𝐷(cid:80) (cid:112)𝐴(cid:27)𝐸(cid:39)⊥(cid:63)𝐵(cid:168)𝐹 (cid:39) (cid:169) 𝑀 (cid:63)(cid:69)𝐴𝐸(cid:144)(cid:218)𝐵𝐹 (cid:163) (cid:76)(cid:39) (cid:163) (cid:63)(cid:148)
=1(cid:63) =5(cid:63)𝐸(cid:219)(cid:146)(cid:147)𝐴𝐷 (cid:27)(cid:48)(cid:66)𝐹 𝐶𝐸 𝐹 𝐺𝐻⊥𝐶𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐺 𝐻
𝐵(3𝐺)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)𝐶𝐻(cid:107)(cid:134)(cid:119)(cid:220)(cid:34)(cid:25) 𝐴𝐺(cid:26)(cid:58)(cid:39) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:163) (cid:112)(cid:63)(cid:62) = (cid:63)(cid:148) (cid:76) (cid:218)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:62) (cid:63)
①(cid:219) (cid:27)(cid:221)(cid:86)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐴 𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝑀 𝐶𝑀⊥𝐴𝐸
②(cid:222)(cid:223)∠𝐴(cid:146)𝑀(cid:147)𝐹 (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:226)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)1-2(cid:20)𝐵(cid:227)𝑀(cid:228)(cid:10)𝐴𝑀
(cid:116)(cid:117)①(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:52)(cid:119) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:71)(cid:39) (cid:55)(cid:76)(cid:39) (cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:63)(cid:218) (cid:139)
(cid:39) (cid:63)(cid:171)(cid:172)(cid:10) = 𝐴𝐵(cid:58)𝐶𝐷(cid:71)(cid:55)(cid:233)𝐸(cid:126)(cid:172)(cid:173)𝐴𝐵(cid:72) 𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴 𝐴𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶
𝐹 𝐷𝐸 𝐴𝐹
(cid:162)(cid:106)(cid:10)
(cid:116)(cid:117)②(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:52)(cid:119) (cid:63) (cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:71)(cid:39) (cid:63) (cid:55)(cid:76)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:53)(cid:39)(cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)
(cid:169) (cid:27)(cid:150)(cid:146)(cid:69)(cid:144)(cid:218)(cid:119)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:63) (cid:139)𝐸(cid:39)𝐹 (cid:63) (cid:63)(cid:150)𝐴(cid:165)𝐵(cid:52)𝐶(cid:58)𝐷(cid:148) (cid:52) (cid:26)𝐸(cid:39)(cid:63)𝐹 =1(cid:63) =4(cid:63)(cid:219) (cid:27)(cid:48)(cid:58) 𝐸𝐹
𝐸𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐺 𝐻 𝑂 𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐴𝐵 𝐺𝐻
(cid:95)(cid:186)(cid:10)
(cid:95)(cid:186)(cid:10)(cid:116)(cid:117)③(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:63) (cid:112)(cid:63) = (cid:63) (cid:63) (cid:94)(cid:218)(cid:139)(cid:39) (cid:58)(cid:148) =3(cid:63)
(cid:117)(cid:26)(cid:234)(cid:235)(cid:183)(cid:69)(cid:27)(cid:79)(cid:236)(cid:76)(cid:23)(cid:24)𝐴𝐵(cid:25)𝐶𝐷 (cid:27)(cid:79)𝐸(cid:236)𝐹(cid:237)(cid:238)(cid:52)2:𝐵3𝐶(cid:63)(cid:166)𝐶𝐷 𝐵(cid:27)𝐸(cid:79)(cid:236)𝐶𝐹(cid:52)(cid:239)𝐵(cid:239)𝐹(cid:239)𝐴(cid:63)𝐸 (cid:27)(cid:240)𝐺 (cid:48)(cid:52)𝐴(cid:239)𝐵(cid:239)(cid:239)(cid:58)
𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐺 △𝐴𝐵𝐺(cid:15)(cid:206)(cid:207)1-3(cid:20)(cid:86)(cid:11)(cid:241)(cid:38)(cid:10)(cid:162)(cid:106)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:71)1(cid:72)(cid:242)(cid:187)(cid:10)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:107)CD(cid:163)AD(cid:119)(cid:112)(cid:63)(cid:62)BF AE(cid:63)(cid:242)(cid:187)(cid:146)(cid:147)AE(cid:76)BF
(cid:237)(cid:243)(cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:10) (cid:58) ⊥
(cid:71)2(cid:72)(cid:162)(cid:106)(cid:10)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:163)F(cid:163)G(cid:163)H(cid:69)(cid:144)(cid:107)AB(cid:63)BC(cid:63)CD(cid:63)AD(cid:119)(cid:112)(cid:63)(cid:62)EG HF(cid:63)(cid:156)
(cid:244)(cid:146)(cid:147)HF(cid:76)EG(cid:94)(cid:134)(cid:135)?(cid:116)(cid:216)(cid:94)(cid:134)(cid:88)(cid:245)(cid:192)(cid:172)(cid:173)(cid:63)(cid:116)(cid:216)(cid:55)(cid:94)(cid:134)(cid:88)(cid:226)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58) ⊥
(cid:71)3(cid:72)(cid:95)(cid:186)(cid:10)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:246)(cid:119)(cid:48)(cid:52)4(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:247)(cid:248)ABCD(cid:36)(cid:37)(cid:63)(cid:130)(cid:39)A(cid:249)(cid:107)CD(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:39)E(cid:250)(cid:63)(cid:39)B(cid:249)(cid:107)(cid:39)F
(cid:250)(cid:63)(cid:36)(cid:251)(cid:52)MN(cid:63)(cid:166)(cid:146)(cid:147)MN(cid:27)(cid:48)(cid:52) (cid:58)
【题型2 正方形中的夹半角模型】
(cid:15)(cid:73)2(cid:20)(cid:71)2025·(cid:252)(cid:253)(cid:253)(cid:254)·(cid:26)(cid:77)(cid:90)(cid:21)(cid:72)(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:255)(cid:256)(cid:20)(cid:107)(cid:86)(cid:11)(cid:257)(cid:230)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:112)(cid:63)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:158)(cid:118)(cid:119)(cid:25)(cid:52)(cid:261)(cid:262)(cid:63)(cid:162)(cid:106)(cid:263)
(cid:38)(cid:39)(cid:27)(cid:264)(cid:265)(cid:35)(cid:21)(cid:58)(cid:148)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:119) (cid:63) (cid:112)(cid:63)(cid:62) =45°(cid:63)(cid:108)(cid:109)(cid:266)(cid:237)(cid:52)“(cid:33)(cid:34)
(cid:31)(cid:22)”(cid:63)(cid:107)(cid:45)(cid:267)“(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)”(cid:35)𝐴(cid:21)𝐵(cid:244)𝐶𝐷(cid:63)(cid:268)(cid:193)(cid:80)(cid:49)(cid:269)𝑀(cid:270)(cid:186)𝑁(cid:27)(cid:24)(cid:271)(cid:58)𝐶𝐷 𝐵𝐶 ∠𝑀𝐴𝑁
(1)(cid:15)(cid:272)(cid:161)(cid:273)(cid:274)(cid:20)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:246) (cid:275)(cid:39)A(cid:276)(cid:244)(cid:277)(cid:268)(cid:193)90°(cid:63)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:229)(cid:230)(cid:63)(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:58)(cid:186)(cid:134)
(cid:207)(cid:84)(cid:192)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) (cid:27)△(cid:86)𝐴(cid:224)𝐷𝑀(cid:3)(cid:225)_____(cid:58) 𝐷 𝐵 △𝐴𝐵𝐸 𝑀𝑁
𝐷𝑀 𝐵𝑁 𝑀𝑁(2)(cid:15)(cid:278)(cid:238)(cid:162)(cid:106)(cid:20)(cid:81)(cid:173)(cid:279)(cid:206)(cid:39)(cid:27)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:63)(cid:160)(cid:49)(cid:161)(cid:162)(cid:106)(cid:10)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119) (cid:63) (cid:27)(cid:283)
(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:63) =45°(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:186)(cid:134)(cid:207)(cid:84)(cid:192)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) 𝑀(cid:27)𝑁(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:226)𝐴(cid:173)𝐵𝐶(cid:167)𝐷(cid:98)(cid:66)𝐶𝐷 𝐵𝐶
(3)(cid:15)(cid:103)(cid:104)∠(cid:283)𝑀(cid:284)𝐴(cid:20)𝑁(cid:285)(cid:286)(cid:81)(cid:145)(cid:200)(cid:192)𝑀(cid:287)𝑁(cid:27)(cid:162)(cid:106)(cid:24)(cid:288)(cid:10)(cid:116)(cid:117)𝑀3(cid:63)𝑁(cid:107)𝐷(cid:118)𝑀(cid:119)(cid:25)𝐵𝑁 (cid:26)(cid:63) = (cid:63) =120°(cid:63)
+ =180°(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:119) (cid:63) (cid:112)(cid:63) =60°(cid:63)(cid:186)𝐴𝐵(cid:134)𝐶(cid:207)𝐷(cid:84)(cid:192)𝐴(cid:146)𝐵(cid:147) 𝐴𝐷(cid:63) ∠𝐵(cid:63)𝐴𝐷 (cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)
∠(cid:91)𝐵(cid:226)(cid:173)∠(cid:167)𝐷(cid:98)(cid:58) 𝑁 𝑀 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝑀𝐴𝑁 𝐵𝑁 𝐷𝑀 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:206)(cid:207)2-1(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:80) (cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63) (cid:80) (cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)(cid:62) =45°(cid:58)(cid:219)(cid:172)(cid:10) + = (cid:58)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:206)(cid:207)2-2(cid:20)(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)(cid:162)(cid:106)
(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:119)(cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)(cid:62) =45°(cid:58)(cid:246) (cid:275)(cid:39)D(cid:289)(cid:244)(cid:277)
(cid:268)(cid:193)90°(cid:63)(cid:131)(cid:197)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:58) 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 △𝐷𝐴𝐸
△𝐷𝐶𝑀
(1)(cid:219)(cid:172)(cid:10) = + (cid:66)
(2)(cid:290) =𝐸1𝐹(cid:244)(cid:63)𝐴(cid:219)𝐸 𝐶(cid:27)𝐹(cid:48)(cid:58)
(3)(cid:162)(cid:106)𝐴𝐸(cid:283)(cid:284)(cid:10)(cid:116)(cid:117)(cid:63)𝐶𝐹(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) + =180°(cid:63) + =8(cid:58)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:80)(cid:119) (cid:163)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵 ∠𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
(cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)(cid:62) = (cid:58)(cid:219) (cid:27)(cid:240)(cid:48)(cid:58)
2
(cid:15)(cid:206)(cid:207)2-3(cid:20)∠(cid:71)𝐸𝐴2𝐹025·(cid:252)∠(cid:253)𝐵𝐴(cid:291)𝐷(cid:292)·(cid:220)(cid:31)△(cid:72)𝐶𝐸(cid:290)𝐹(cid:264)(cid:265)(cid:117)(cid:25)(cid:26)(cid:63)(cid:124)(cid:120)(cid:293)(cid:53)(cid:39)(cid:27)(cid:34)(cid:294)(cid:107)(cid:34)(cid:221)(cid:80)(cid:7)(cid:293)(cid:18)(cid:34)(cid:49)(cid:33)(cid:27)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:108)
(cid:109)(cid:266)(cid:237)(cid:52)“(cid:33)(cid:34)(cid:31)(cid:22)”(cid:63)(cid:295)(cid:270)(cid:186)“(cid:268)(cid:193)(cid:27)(cid:296)(cid:39)”(cid:297)(cid:298)(cid:117)(cid:25)(cid:27)(cid:264)(cid:265)(cid:206)(cid:299)(cid:63)(cid:130)(cid:131)(cid:124)(cid:120)(cid:69)(cid:300)(cid:27)(cid:34)(cid:206)(cid:299)(cid:93)(cid:52)(cid:49)(cid:120)(cid:220)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
(cid:94)(cid:290)(cid:139)(cid:43)(cid:44)(cid:192)(cid:124)(cid:120)(cid:220)(cid:34)(cid:25)(cid:203)(cid:134)(cid:58)
(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:272)(cid:162)(cid:20)
(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) = = =90°(cid:63) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:119)(cid:112)(cid:27)(cid:39)(cid:63)
(cid:62) =45°(cid:63)(cid:219)(cid:192)(cid:117)𝐴(cid:26)𝐵(cid:146)𝐶𝐷(cid:147) (cid:63)𝐴𝐷 (cid:63)𝐶𝐷 (cid:237)∠(cid:243)𝐴(cid:27)(cid:86)∠𝐴(cid:224)𝐷(cid:3)𝐶(cid:225)(cid:58)∠𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:116)∠(cid:117)𝐸1𝐷(cid:63)𝐹(cid:188)(cid:56)(cid:57)(cid:192)(cid:102)(cid:10)(cid:246) 𝐸(cid:275)𝐹 (cid:301)𝐴(cid:39)𝐸 (cid:289)𝐹𝐶(cid:244)(cid:277)(cid:268)(cid:193)90°(cid:197) (cid:280)(cid:281)(cid:63)(cid:176)(cid:142)“(cid:268)(cid:193)(cid:27)(cid:302)(cid:303)”(cid:69)(cid:177) (cid:76) (cid:237)
(cid:243)(cid:27)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:304)(cid:295)(cid:168)(cid:203)(cid:134)(cid:27)△(cid:302)(cid:303)𝐴𝐷(cid:131)𝐸(cid:197)(cid:146)(cid:147)𝐷(cid:237)(cid:243)(cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:157)△(cid:172)𝐶(cid:131)𝐷𝑀(cid:59)(cid:60)(cid:58) 𝐶𝑀 𝐴𝐸(cid:15)(cid:278)(cid:238)(cid:69)(cid:177)(cid:20)
(cid:71)2(cid:72)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:63) =45°(cid:63)(cid:62) =10(cid:63) =14(cid:63)
=8(cid:63)(cid:219) (cid:27)(cid:48)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐶
𝐶(cid:15)𝐹(cid:11)(cid:158)(cid:305)(cid:186)(cid:20)𝐵𝐸
(cid:71)3(cid:72)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:63) (cid:76) (cid:149)(cid:202)(cid:63)(cid:39) (cid:163) (cid:69)(cid:144)(cid:107)(cid:306)(cid:146) (cid:163) (cid:112)(cid:63)(cid:62)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐸 𝐹 𝐶𝐵 𝐷𝐶
= (cid:58)(cid:290) =4(cid:63) =9(cid:63) =2(cid:244)(cid:63)(cid:219)(cid:192) (cid:27)(cid:240)(cid:48)(cid:58)
2
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐹
【题型3 正方形中的 = 2 型问题】
(cid:15)(cid:73)3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24) 𝐚 (cid:25) 𝐛 (cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:63)F(cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:63) (cid:27)(cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:63)(cid:62) = (cid:63) (cid:27)(cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:218) (cid:139)(cid:39)
G(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵 𝐵𝐹 𝐶𝐸 𝐸𝐵 𝐴𝐹
(1)(cid:219) (cid:27)(cid:221)(cid:86)(cid:66)
(2)(cid:107)(cid:146)∠𝐴(cid:147)𝐺𝐸EG(cid:112)(cid:307)(cid:39)H(cid:63)(cid:130)(cid:131) = (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63) (cid:58)
①(cid:141)(cid:21)(cid:164)(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)(cid:66) 𝐺𝐻 𝐴𝐺 𝐴𝐻 𝐶𝐻
②(cid:186)(cid:134)(cid:207)(cid:308)(cid:309)(cid:146)(cid:147) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)3-1(cid:20)(cid:107)(cid:23)(cid:24)𝐶(cid:25)𝐻 𝐺𝐵(cid:26)(cid:63) (cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:55)(cid:76)(cid:39) (cid:63) (cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:63)(cid:39) (cid:3)(cid:139)(cid:306)(cid:146) (cid:27)(cid:138)(cid:266)(cid:39)(cid:52)(cid:39) (cid:63)
(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:91)(cid:283)(cid:48)𝐴𝐵(cid:218)𝐶𝐷 (cid:139)(cid:39)𝐸 (cid:58) 𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝐶 𝐴𝐸 𝐹
𝐴𝐹 𝐹𝐸 𝐶𝐷 𝐺(1)(cid:219)(cid:192) (cid:27)(cid:221)(cid:86)(cid:66)
(2)(cid:168)(cid:39)∠A𝐴(cid:169)𝐹𝐸 (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:39) (cid:169) (cid:218) (cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:58)
①(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)𝐴(cid:66)𝐾⊥𝐹𝐺 𝐾 𝐸 𝐸𝐻⊥𝐸𝐴 𝐴𝐺 𝐻 𝐶𝐻
②(cid:186)(cid:134)(cid:207)(cid:308)(cid:309)(cid:146)(cid:147) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)3-2(cid:20)(cid:257)(cid:230)(cid:76)𝐶(cid:258)𝐻(cid:259)𝐵𝐸
(cid:86)(cid:11)(cid:241)(cid:38)(cid:260)(cid:112)(cid:63)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:158)“(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:268)(cid:193)”(cid:52)(cid:184)(cid:21)(cid:310)(cid:104)(cid:162)(cid:106)(cid:241)(cid:38)(cid:58)
(cid:15)(cid:162)(cid:311)(cid:102)(cid:312)(cid:20)
(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)①(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:246)(cid:146)(cid:147) (cid:275)(cid:39) (cid:289)(cid:244)(cid:277)(cid:268)(cid:193)90°(cid:131)(cid:197)
(cid:146)(cid:147) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:157)(cid:172)(cid:131)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 (cid:58)𝐶𝐷(cid:88)(cid:84)(cid:192)(cid:172)(cid:173)𝐴𝐹(cid:168)⊥(cid:178)𝐵(cid:58)𝐸 𝐹 𝐴𝐹 𝐴
(cid:15)(cid:313)𝐴(cid:314)𝐺(cid:70)(cid:77)(cid:20)𝐷𝐺 △𝐴𝐵𝐹≌△𝐴𝐷𝐺
(cid:71)2(cid:72)(cid:107)(cid:71)1(cid:72)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:78)(cid:63)(cid:116)(cid:117)②(cid:63)(cid:283)(cid:48) (cid:63) (cid:218)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:274)(cid:242)(cid:187)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) (cid:237)(cid:243)(cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:172)
(cid:173)(cid:217)(cid:27)(cid:242)(cid:187)(cid:58) 𝐵𝐸 𝐺𝐷 𝐻 𝐵𝐹 𝐹𝐻 𝐷𝐻
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(cid:283)(cid:284)(cid:20)
(cid:71)3(cid:72)(cid:107)(cid:71)2(cid:72)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:78)(cid:63)(cid:116)(cid:117)③(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:246)(cid:146)(cid:147) (cid:275)(cid:39) (cid:289)(cid:244)(cid:277)(cid:268)(cid:193)90°(cid:131)(cid:197)(cid:146)(cid:147) (cid:63)(cid:39) (cid:107) (cid:112)(cid:63)(cid:274)
(cid:242)(cid:187) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:217)(cid:27)(cid:242)𝐶(cid:187)𝐻(cid:58) 𝐷𝐻 𝐻 𝐻𝑃 𝑃 𝐵𝐻
𝐵𝑃 𝐶𝐻
(cid:15)(cid:206)(cid:207)3-3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:39) (cid:107)(cid:119) (cid:112)(cid:63) (cid:52)(cid:134)(cid:315)(cid:151)(cid:34)(cid:220)(cid:34)(cid:25).
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 △𝐴𝐸𝐹(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:290)
=90°
(cid:63)(cid:219)(cid:172)
=45°
(cid:66)
∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐷𝐶𝐹
(cid:71)2(cid:72)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:290)
=90°
(cid:63)(cid:307) (cid:27)(cid:26)(cid:39) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:219)(cid:172)(cid:10) = 2
∠𝐸𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝑃 𝑃𝐷 𝐸𝐶 𝑃𝐷
【题型4 正方形中的 ± = 2 型问题】
(cid:15)(cid:73)4(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210) 𝒂 (cid:78)· 𝒃 (cid:203)(cid:316)·(cid:215) 𝒄 (cid:317)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:39) (cid:107) (cid:27)(cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:63)(cid:62) = (cid:63)
(cid:80) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:169) (cid:218)(cid:306)(cid:146) (cid:139)(cid:39) (cid:58)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐹
𝐷𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐺⊥𝐴𝐹 𝐷𝐶 𝐺
(1)(cid:116)(cid:117)①(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:290) = (cid:244)(cid:63)(cid:222)(cid:223) (cid:27)(cid:25)(cid:318)(cid:63)(cid:91)(cid:226)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)②(cid:63)(cid:290) 𝐴𝐺 (cid:244)𝐷(cid:63)𝐹(cid:84)(cid:192)𝐸𝐹(cid:146)(cid:147) △𝐴𝐹(cid:237)𝐺(cid:243)(cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)4-1(cid:20)(cid:71)𝐷24𝐹-2≠5𝐸(cid:208)𝐹(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:16)(cid:319)(cid:320)𝐴(cid:252)𝐷·,(cid:215)𝐷𝐹(cid:317),𝐷(cid:72)𝐺(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:63)F(cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:129) (cid:112)(cid:63)
= (cid:63) (cid:76) (cid:218)(cid:139)(cid:39)G(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷
𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(1)(cid:222)(cid:223) (cid:76) (cid:27)(cid:280)(cid:281)(cid:3)(cid:225)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:66)
(2)(cid:231)(cid:232)𝐴𝐸(cid:63)(cid:307)𝐵𝐹 (cid:26)(cid:39)O(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:58)(cid:168)(cid:39)C(cid:169) (cid:63)(cid:218) (cid:27)(cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)H(cid:58)
①(cid:141)(cid:21)𝐴(cid:164)𝐶(cid:202)(cid:203)(cid:117)𝐴𝐶(cid:25)(cid:66) 𝑂𝐺 𝐶𝐻⊥𝐴𝐸 𝐴𝐸
②(cid:186)(cid:134)(cid:207)(cid:308)(cid:309)(cid:146)(cid:147) (cid:63) (cid:63) (cid:237)(cid:243)(cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)4-2(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)𝐴(cid:107)𝐺(cid:23)(cid:24)𝑂𝐺(cid:25)A𝐺B𝐻CD(cid:26)(cid:63)(cid:39)E(cid:80)BC(cid:119)(cid:112)(cid:96)(cid:164)(cid:49)(cid:39)(cid:63)(cid:231)(cid:232)AE(cid:63)(cid:168)(cid:39)D(cid:169) (cid:218)AB(cid:139)
𝐷𝐹⊥𝐴𝐸F(cid:63)(cid:150)(cid:165)(cid:52)G(cid:58)
(1)(cid:219)(cid:172)(cid:10) = (cid:66)
(2)(cid:148)(cid:39)E𝐴(cid:80)𝐹BC𝐵(cid:27)𝐸(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:231)(cid:232)BG(cid:63)(cid:88)(cid:162)(cid:106)(cid:146)(cid:147)FG(cid:63)BG(cid:63)EG(cid:237)(cid:243)(cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)4-3(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:16)(cid:319)(cid:321)(cid:68)·(cid:215)(cid:317)(cid:72)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:39)E(cid:80)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63)(cid:169)(cid:306)(cid:146) (cid:63)(cid:218) (cid:139)
(cid:39)F(cid:63) = (0°< <45°)(cid:58)(cid:39)A(cid:3)(cid:139)(cid:306)(cid:146) (cid:27)(cid:138)𝐴(cid:266)𝐵𝐶(cid:39)𝐷(cid:52)(cid:39)G(cid:63)(cid:231)(cid:232)𝐶𝐷(cid:63) (cid:63)(cid:146)(cid:147) (cid:76)𝐵𝐸(cid:63) 𝐴(cid:69)𝐶(cid:144)
(cid:218)(cid:139)(cid:39)∠P𝐶(cid:63)𝐵𝐸Q(cid:58)𝛼 𝛼 𝐵𝐸 𝐵𝐺 𝐶𝐺 𝐴𝐺 𝐵𝐸 𝐵𝐶
(1)①(cid:202)(cid:203)(cid:117)(cid:25)(cid:66)
②(cid:219) (cid:27)(cid:221)(cid:86)(cid:66)
(2)(cid:283)(cid:48)∠𝐴𝐺𝐶(cid:218)(cid:306)(cid:146) (cid:139)(cid:39)H(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:148) = (cid:63)(cid:186)(cid:134)(cid:207)(cid:308)(cid:309) (cid:63) (cid:63) (cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:172)(cid:173)(cid:58)
【题型
𝐺5𝐶
正方形
𝐵
的
𝐹
折叠】
𝐴𝐻 𝑃𝐹 𝐶𝐹 𝐵𝑄 𝐶𝐻 𝐴𝐺
(cid:15)(cid:73)5(cid:20)(cid:71)24-25(cid:322)(cid:209)(cid:210)(cid:112)·(cid:323)(cid:253)(cid:313)(cid:324)·(cid:215)(cid:26)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63)(cid:39) M (cid:80) (cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:246)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑀𝐶 △𝐶𝐵𝑀
(cid:325)(cid:151)(cid:146) (cid:288)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:326)(cid:327)(cid:36)(cid:63)(cid:39) B (cid:27)(cid:138)(cid:95)(cid:39)(cid:52)(cid:39) N(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63) (cid:63)(cid:166) (cid:134)(cid:139)(cid:71)(cid:239)(cid:239)(cid:72)
𝑁𝐷
𝐶𝑀 𝐷𝑁 𝐴𝑁 𝑁𝐶
1 2 6 10
A(cid:58) B(cid:58) C(cid:58) D(cid:58)
2 2 4 5(cid:15)(cid:206)(cid:207)5-1(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)4(cid:63)(cid:39)G(cid:80)(cid:119) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:39)E(cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:246)
(cid:325) (cid:327)(cid:36)(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:231)𝐴(cid:232)𝐵𝐶𝐷(cid:58)(cid:290) (cid:40)(cid:81)(cid:244)(cid:63) (cid:27)(cid:48)𝐴𝐷(cid:52) (cid:58) 𝐶𝐷 𝐵𝐸 △𝐵𝐶𝐸
𝐵𝐸 △𝐵𝐹𝐸 𝐺𝐹 𝐺𝐹 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:206)(cid:207)5-2(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:328)(cid:228)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:247)(cid:248) (cid:63)M(cid:163)N(cid:69)(cid:144)(cid:80) (cid:163) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:329) (cid:119)(cid:288)(cid:112)(cid:327)(cid:36)(cid:63)(cid:130)(cid:39)C(cid:330)(cid:331)(cid:249)
(cid:107) (cid:112)(cid:27)P(cid:39)(cid:250)(cid:63) (cid:52)(cid:36)(cid:251)(cid:63)(cid:166) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:27)(cid:221)(cid:86)(cid:52)(cid:71) (cid:72)𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐶
𝑀𝑁 𝐵𝑄 ∠𝑃𝐵𝑄
A(cid:58)20° B(cid:58)25° C(cid:58)30° D(cid:58)60°
(cid:15)(cid:206)(cid:207)5-3(cid:20)(cid:257)(cid:230)(cid:76)(cid:258)(cid:259)
(cid:241)(cid:38)(cid:260)(cid:112)(cid:63)(cid:332)(cid:17)(cid:333)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:327)(cid:36)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:160)(cid:334)(cid:162)(cid:106)(cid:241)(cid:38)(cid:63)(cid:83)(cid:11)(cid:109)(cid:335)(cid:168)(cid:38)(cid:336)(cid:337)(cid:169)(cid:162)(cid:106)(cid:63)(cid:102)(cid:104)(cid:338)(cid:339)(cid:243)(cid:296)(cid:340)(cid:63)(cid:91)
(cid:236)(cid:341)(cid:338)(cid:86)(cid:11)(cid:241)(cid:38)(cid:335)(cid:342)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:261)(cid:262)(cid:20)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:101)(cid:306)(cid:146) (cid:63)(cid:218)(cid:119) (cid:139)(cid:39) (cid:71)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:55)(cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:58)(cid:295)(cid:168)(cid:327)(cid:36)(cid:63)(cid:130)(cid:39) (cid:249)(cid:107)(cid:306)(cid:146)
(cid:112)(cid:27)(cid:39) (cid:250)(cid:63)(cid:36)(cid:251) (cid:218) (cid:139)𝐴 (cid:63)(cid:283)(cid:48)𝐴𝐻 (cid:218) (cid:139)𝐶𝐷(cid:58) 𝐻 𝐻 𝐷 𝐵 𝐴𝐻
𝐺 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐸 𝐸𝐺 𝐶𝐷 𝐹
(cid:15)(cid:35)(cid:21)(cid:162)(cid:106)(cid:20)
(cid:71)1(cid:72)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:290)(cid:39) (cid:76)(cid:39) (cid:229)(cid:230)(cid:244)(cid:63) (cid:76) (cid:27)(cid:18)(cid:81)(cid:3)(cid:225)(cid:80)________(cid:66) (cid:80)________(cid:220)(cid:34)(cid:25)(cid:58)
(cid:71)2(cid:72)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:290)(cid:39)𝐻(cid:52)(cid:119)𝐶 (cid:112)(cid:96)(cid:164)(cid:49)𝐹𝐺(cid:39)(cid:244)𝐹(cid:71)𝐷(cid:76) (cid:76)(cid:39) (cid:55)(cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:63)(cid:231)(cid:232)△𝐶(cid:63)𝐹𝐸(cid:242)(cid:187) (cid:76) (cid:27)(cid:86)(cid:224)(cid:3)(cid:225)(cid:63)(cid:91)(cid:226)
(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58) 𝐻 𝐶𝐷 𝐻 𝐶 𝐴𝐹 𝐹𝐺 𝐹𝐷【题型6 正方形中的动点】
(cid:15)(cid:73)6(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:343)(cid:16)(cid:344)(cid:345)·(cid:215)(cid:317)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)8(cid:63)M(cid:52)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)
(cid:139)(cid:39) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:3)(cid:139)(cid:59)(cid:60)1(cid:129)2(cid:63)(cid:78)(cid:180)(cid:222)(cid:223)(cid:23)(cid:346)(cid:27)𝐴(cid:80)𝐵𝐶(cid:71)𝐷 (cid:72) 𝐵𝐷 𝑀𝑃⊥𝐶𝐷
(cid:59)(cid:60)𝑃1,(cid:10)𝑀𝑄(cid:118)⊥(cid:119)𝐵(cid:25)𝐶 𝑄(cid:80)(cid:347)(cid:25)(cid:10)
(cid:59)(cid:60)2(cid:10)(cid:290) (cid:27)𝑃(cid:48)𝑀(cid:40)𝑄𝐶(cid:81)(cid:244)(cid:63)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:27)(cid:79)(cid:236)(cid:52)12
𝑃𝑄 𝑃𝑀𝑄𝐶
A(cid:58)(cid:348)(cid:113)(cid:59)(cid:60)1(cid:23)(cid:346) B(cid:58)(cid:348)(cid:113)(cid:59)(cid:60)2(cid:23)(cid:346)
C(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:129)2(cid:349)(cid:23)(cid:346) D(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:129)2(cid:349)(cid:55)(cid:23)(cid:346)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)6-1(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:211)(cid:212)(cid:350)(cid:351)·(cid:215)(cid:26)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:175)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =10(cid:63) =4(cid:63)(cid:39)E(cid:158)(cid:352)(cid:353)2
(cid:120)(cid:354)(cid:280)(cid:48)(cid:221)(cid:27)(cid:355)(cid:221)(cid:188)(cid:39)D(cid:192)(cid:102)(cid:288)(cid:39)C(cid:185)(cid:38)(cid:71)(cid:55)(cid:76)(cid:39)C(cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:63)𝐴𝐵(cid:231)𝐶(cid:232)𝐷 (cid:63)𝐴(cid:158)𝐵 (cid:52)(cid:119)𝐴(cid:288)𝐷(cid:356)(cid:357)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)
(cid:231)(cid:232) (cid:63) (cid:58)(cid:148)t(cid:353)(cid:282) (cid:27)(cid:79)(cid:236)(cid:330)(cid:331)(cid:52)2 (cid:63)(cid:166)t(cid:27)(cid:41)(cid:52) (cid:58)𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐸𝐹𝐺
2
𝐶𝐹 𝐶𝐺 △𝐶𝐹𝐺 𝑡
(cid:15)(cid:206)(cid:207)6-2(cid:20)(cid:71)2025·(cid:358)(cid:211)(cid:359)(cid:360)·(cid:64)(cid:31)(cid:72)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = (cid:80)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)
(cid:139)(cid:39) (cid:58)(cid:148)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:27)(cid:79)(cid:236)(cid:52)6(cid:63)(cid:166)𝐴𝐵𝐶(cid:27)𝐷(cid:48)(cid:52)𝐴(cid:71)𝐵 (cid:72)6,𝑃 𝐴𝐶 𝑃𝐸⊥𝐴𝐷 𝐸
𝑃𝐹A⊥(cid:58)𝐶𝐷4 𝐹 B(cid:58)𝑃2𝐹𝐷5𝐸 C(cid:58)𝐵𝑃2 6 D(cid:58)2 3
(cid:15)(cid:206)(cid:207)6-3(cid:20)(cid:71)24-25(cid:322)(cid:209)(cid:210)(cid:112)·(cid:211)(cid:361)(cid:362)(cid:214)·(cid:215)(cid:317)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =4 (cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:146)(cid:147) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63)
(cid:62) =3 (cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:185)(cid:38)(cid:46)(cid:146)(cid:52) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:63)(cid:355)𝐴(cid:221)𝐵(cid:52)(cid:352)(cid:353) cm2cm(cid:63)𝑃(cid:185)(cid:38)(cid:244)(cid:243)𝐴𝐵(cid:52) (cid:63)
(cid:80)𝐴(cid:134)𝑃(cid:315)(cid:220)(cid:34) cm(cid:25)(cid:63)(cid:166)𝐸(cid:27)(cid:41)(cid:52) (cid:58) 𝐴→𝐵→𝐶→𝐷→𝐴 𝑡 △𝐷𝑃𝐸
𝑡
【题型7 正方形中的最值】
(cid:15)(cid:73)7(cid:20)(cid:71)2025(cid:322)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:203)(cid:316)·(cid:363)(cid:21)(cid:364)(cid:100)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:175)(cid:25) (cid:26)(cid:63) = =4(cid:63)(cid:38)(cid:39)E(cid:188)(cid:39)A(cid:185)(cid:38)(cid:197)(cid:39)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 2,𝐴𝐷D(cid:63)(cid:158) (cid:52)(cid:119)(cid:107) (cid:27)(cid:356)(cid:357)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:166) (cid:27)(cid:40)(cid:81)(cid:41)(cid:52) (cid:63)(cid:39)F(cid:185)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)
(cid:52) 𝐶 𝐸 (cid:58) 𝐶𝐸 𝐶𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐹 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:206)(cid:207)7-1(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:323)(cid:361)(cid:365)(cid:292)·(cid:215)(cid:317)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:39)D(cid:80)y(cid:366)(cid:23)(cid:33)(cid:366)(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:39)A(cid:107)x(cid:366)(cid:23)(cid:33)(cid:366)(cid:112)(cid:63)
=8(cid:63)(cid:158) (cid:52)(cid:119)(cid:107)(cid:367)(cid:49)(cid:368)(cid:369)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:166) (cid:27)(cid:40)(cid:18)(cid:41)(cid:52) (cid:58)
𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐵
(cid:15)(cid:206)(cid:207)7-2(cid:20)(cid:71)2025·(cid:370)(cid:292)(cid:371)(cid:372)·(cid:64)(cid:31)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63)(cid:39) (cid:80)(cid:119) (cid:27)(cid:26)(cid:39)(cid:63)(cid:39) (cid:107)(cid:119) (cid:112)(cid:63)(cid:62)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐹 𝐴𝐷
= (cid:63)(cid:38)(cid:39) (cid:188)(cid:39) (cid:325) (cid:185)(cid:38)(cid:197)(cid:39) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:166)(cid:146)(cid:147)
3
𝐷(cid:48)𝐹(cid:221)(cid:27)(cid:40)𝐴𝐷(cid:81)(cid:41)(cid:52) 𝑃 (cid:58)𝐸 𝐸𝐹 𝐹 𝑃 𝑃𝑄⊥𝐵𝐶 𝑄 𝑃𝑅⊥𝐶𝐷 𝑅 𝑄𝑅 𝑄𝑅
(cid:15)(cid:206)(cid:207)7-3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:119)(cid:48)(cid:52)3 2(cid:63) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:246)(cid:146)(cid:147) (cid:275) (cid:39)(cid:276)(cid:244)
(cid:277)(cid:268)(cid:193)90°(cid:131)(cid:197) (cid:63)(cid:231)(cid:232) 𝐴(cid:163)𝐵𝐶𝐷(cid:58) 𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐶
𝐶𝐹 𝐷𝐹 𝐸𝐹(1)(cid:222)(cid:223) (cid:27)(cid:25)(cid:318)(cid:63)(cid:91)(cid:226)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:66)
(2)(cid:307) △(cid:26)(cid:39)𝐷𝐸𝐹(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63) (cid:63)(cid:166) (cid:27)(cid:79)(cid:236)(cid:80)(cid:152)(cid:52)(cid:42)(cid:41)(cid:136)(cid:116)(cid:216)(cid:80)(cid:63)(cid:88)(cid:219)(cid:192)(cid:114)(cid:120)(cid:41)(cid:66)(cid:116)(cid:216)(cid:55)(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:88)(cid:226)
(cid:173)(cid:167)(cid:98)𝐸𝐹(cid:58) 𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺 △𝐵𝐶𝐺
(3)(cid:39) (cid:80)(cid:39) (cid:3)(cid:139)(cid:151)(cid:146) (cid:27)(cid:138)(cid:266)(cid:39)(cid:63)(cid:151)(cid:232)(cid:84)(cid:192)(cid:146)(cid:147) (cid:27)(cid:40)(cid:81)(cid:41)(cid:58)
【题型 𝐻 8 正 𝐺 方形中的 𝐵 定 𝐷 值】 𝐴𝐻
(cid:15)(cid:73)8(cid:20)(cid:71)24-25(cid:373)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:374)(cid:361)(cid:375)(cid:26)·(cid:215)(cid:317)(cid:72)(cid:15)(cid:287)(cid:228)(cid:20)(cid:107) (cid:26)(cid:63)(cid:148) = (cid:63)(cid:166) = (cid:63)(cid:376) (cid:80)(cid:134)
(cid:315)(cid:220)(cid:34)(cid:25)(cid:58) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:45)(cid:267)(cid:35)(cid:21)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:328)(cid:228)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:39)E(cid:52)(cid:119) (cid:112)(cid:377)(cid:139)(cid:39)A(cid:163)B(cid:27)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63) (cid:63)(cid:218) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:231)(cid:232)
(cid:58)(cid:39) (cid:52) (cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:112)(cid:49)(cid:42)(cid:39)(cid:63)𝐴(cid:378)𝐵(cid:165)𝐶𝐷 = (cid:58) 𝐴𝐵(cid:27)(cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:76) (cid:218)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:231)(cid:232)𝐸𝐹∥(cid:58)𝐴𝐶(cid:71)(cid:379)(cid:4)𝐵𝐶(cid:10)(cid:23)(cid:24)𝐹(cid:25)(cid:27)(cid:118)
𝐷(cid:56)𝐹(cid:119)(cid:349)(cid:94)𝐺(cid:134)𝐷(cid:63)𝐴(cid:118)(cid:120)(cid:34)(cid:349)(cid:80)(cid:151)(cid:34)(cid:72) 𝐴𝐺 𝐴𝐷 𝐺𝐸 𝐷𝐹 𝐻 𝐵𝐻
(1)(cid:222)(cid:223) (cid:27)(cid:25)(cid:318)(cid:66)
(2)(cid:274)(cid:226)(cid:173)△(cid:10)𝐵𝐸𝐹 (cid:66)
(3)(cid:162)(cid:106) △(cid:80)𝐴(cid:152)𝐺𝐸(cid:52)≌(cid:42)△(cid:41)𝐶(cid:136)𝐷𝐹(cid:116)(cid:216)(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:88)(cid:226)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:63)(cid:91)(cid:219)(cid:192)(cid:380)(cid:42)(cid:41)(cid:66)(cid:116)(cid:216)(cid:55)(cid:80)(cid:42)(cid:41)(cid:63)(cid:88)(cid:226)(cid:173)(cid:167)(cid:98)(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)∠8-𝐸1𝐻(cid:20)𝐵(cid:71)2025·(cid:358)(cid:211)(cid:381)(cid:382)·(cid:49)(cid:31)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107) (cid:26)(cid:63) =90°(cid:63)(cid:69)(cid:144)(cid:158) (cid:27)(cid:220)(cid:119)(cid:288)(cid:383)(cid:169)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:58)(cid:231)(cid:59) △(cid:63)(cid:148)𝐴𝐵𝐶 = ∠(cid:63)𝐴𝐶𝐵 = (cid:63) = (cid:71)△a(cid:52)𝐴𝐵(cid:270)𝐶(cid:86)(cid:72)(cid:63)(cid:166)(cid:78)(cid:180)(cid:384)(cid:207)(cid:52)
𝐴(cid:42)𝐶(cid:41)𝐹𝐺(cid:27)(cid:80)(cid:71) (cid:72)𝐵𝐷𝐸𝐶 𝐴𝑀𝑁𝐵 𝐷𝑁 𝐷𝑁 𝑥 𝐴𝐶 𝑦 𝐵𝐶 𝑎
A(cid:58) + B(cid:58) + C(cid:58) D(cid:58)
2 2 𝑥 2 2
(cid:15)(cid:206)(cid:207)𝑥8-2(cid:20)𝑦 (cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:119)(cid:48) 𝑥 (cid:52)8(cid:27)𝑦 (cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) 𝑦 (cid:80)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:39)(cid:63) 𝑥 (cid:62)−𝑦 = (cid:63)(cid:39) (cid:80) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐶 𝑃 𝐶𝐸(cid:166)(cid:39) (cid:197)(cid:119) (cid:27)(cid:385)(cid:386)(cid:237)(cid:129) + (cid:27)(cid:41)(cid:71) (cid:72)
𝑃 𝐵𝐷,𝐵𝐶 𝑃𝑀 𝑃𝑁
A(cid:58)(cid:80)(cid:42)(cid:41)4 2 B(cid:58)(cid:80)(cid:42)(cid:41)8 C(cid:58)(cid:113)(cid:40)(cid:81)(cid:41)4 2 D(cid:58)(cid:113)(cid:40)(cid:18)(cid:41)8
(cid:15)(cid:206)(cid:207)8-3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)(cid:42)(cid:41)(cid:63)E(cid:80)(cid:119)CD(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:55)(cid:76)(cid:39)C(cid:63)D(cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:63)AE(cid:218)(cid:138)(cid:34)(cid:146)
BD(cid:139)(cid:39)F(cid:63)FG AE(cid:218)BC(cid:139)(cid:39)G(cid:63)GH BD(cid:139)(cid:39)H(cid:58)(cid:312)(cid:245)(cid:192)(cid:78)(cid:180)(cid:387)(cid:21)(cid:10)①AF(cid:61)FG(cid:66)②FH(cid:27)(cid:48)(cid:221)(cid:52)(cid:42)
(cid:41)(cid:58)(cid:166)(cid:71)(cid:239)(cid:239)(cid:72)⊥ ⊥
A(cid:58)①(cid:80)(cid:90)(cid:387)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:90)(cid:387)(cid:21) B(cid:58)①(cid:80)(cid:90)(cid:387)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:388)(cid:387)(cid:21)
C(cid:58)①(cid:80)(cid:388)(cid:387)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:90)(cid:387)(cid:21) D(cid:58)①(cid:80)(cid:388)(cid:387)(cid:21)(cid:63)②(cid:80)(cid:388)(cid:387)(cid:21)
【题型9 构造正方形解题】
(cid:15)(cid:73)9(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:323)(cid:253)(cid:389)(cid:252)·(cid:215)(cid:26)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:328)(cid:228)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) (cid:52)(cid:138)(cid:34)(cid:146) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:55)
(cid:76)(cid:39) (cid:63) (cid:229)(cid:230)(cid:72)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:63)(cid:218) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:158)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:63) (cid:52)(cid:390)(cid:119)(cid:169)𝐸(cid:175)(cid:25) 𝐴𝐶(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:58)
𝐴 𝐶 𝐷𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐶𝐺
(1)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:219)(cid:172)(cid:10)(cid:175)(cid:25) (cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:328)(cid:228)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐷𝐸𝐹𝐺(cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)2(cid:63)(cid:290) =30°(cid:244)(cid:63)
①(cid:219) (cid:27)(cid:48)(cid:66) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐸
𝐶𝐺②(cid:391) (cid:27)(cid:79)(cid:236)(cid:52) (cid:63) (cid:27)(cid:79)(cid:236)(cid:52) (cid:63)(cid:166) : =_________(cid:58)
(cid:15)(cid:206)(cid:207)△9𝐹-1𝐶(cid:20)𝐺(cid:71)2025·(cid:118)𝑆(cid:392) 1 (cid:323)△(cid:393)𝐷·(cid:26)𝐶𝐺(cid:77)(cid:90)(cid:21)(cid:72)(cid:116)𝑆(cid:117) 2 (cid:63)(cid:107)𝑆(cid:68) 1 𝑆(cid:79)2 (cid:151)(cid:34)(cid:394)(cid:395)(cid:225) (cid:26)(cid:63)(cid:328)(cid:228)(cid:39) ( )(cid:63)(cid:39)B(cid:80)x(cid:366)(cid:396)
(cid:33)(cid:366)(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:39)C(cid:80)y(cid:366)(cid:396)(cid:33)(cid:366)(cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63) =90°(cid:63)(cid:166) 𝑥𝑂𝑦= (cid:58)𝐴 −3,3
∠𝐵𝐴𝐶 𝑂𝐵−𝑂𝐶
(cid:15)(cid:206)(cid:207)9-2(cid:20)(cid:71)2025(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:203)(cid:316)·(cid:363)(cid:21)(cid:364)(cid:100)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:328)(cid:228)(cid:118)(cid:119)(cid:25) (cid:52)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) =3(cid:63)(cid:39) (cid:52)(cid:138)(cid:34)(cid:146)
(cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:63)(cid:218) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:158) (cid:163) (cid:52)𝐴𝐵(cid:390)𝐶(cid:119)𝐷(cid:169)(cid:175)(cid:25) 𝐴𝐵(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)𝐸(cid:166)(cid:107)(cid:78)(cid:180)𝐴(cid:226)𝐶
(cid:271)(cid:26)(cid:10)① 𝐷𝐸 𝐸(cid:66)②𝐸𝐹(cid:118)⊥(cid:119)𝐷(cid:25)𝐸 𝐵𝐶(cid:80)(cid:23)(cid:24)𝐹(cid:25)(cid:66)③𝐷𝐸 𝐸𝐹(cid:27)(cid:18)(cid:81)(cid:397)(cid:301)(cid:39)𝐷𝐸(cid:27)𝐹(cid:185)𝐺(cid:38)(cid:55)(cid:223)𝐶(cid:279)𝐺(cid:206)(cid:66)④ +
(cid:27)(cid:41)(cid:80)(cid:42)(cid:41)△(cid:66)𝐴(cid:23)𝐷𝐸(cid:346)≌(cid:27)△(cid:113)𝐶 𝐷 𝐺 (cid:58) 𝐸𝐹𝐺𝐷 ∠𝐴𝐶𝐺 𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:206)(cid:207)9-3(cid:20)(cid:71)24-25(cid:373)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:118)(cid:392)(cid:93)(cid:349)·(cid:215)(cid:26)(cid:72)(cid:328)(cid:228) (cid:63) (cid:174)(cid:52)(cid:134)(cid:315)(cid:151)(cid:34)(cid:220)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
= △𝐴𝐵𝐶=90△°𝐴𝐷𝐸
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(1)(cid:116)(cid:117)1(cid:63)(cid:219)(cid:172)(cid:10) = (cid:66)
(2)(cid:116)(cid:117)2(cid:63)(cid:107)(cid:117)1𝐵(cid:27)𝐸(cid:398)(cid:399)𝐶(cid:112)𝐷(cid:283)(cid:48) (cid:129) (cid:94)(cid:218)(cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:148) =2(cid:63) =7(cid:63)(cid:219) (cid:27)
(cid:48)(cid:66) 𝐵𝐸 𝐷𝐶 𝐺 𝐴 𝐴𝐹⊥𝐵𝐺 𝐹 𝐶𝐺 𝐵𝐺 𝐵𝐹
(3)(cid:116)(cid:117)3(cid:63)(cid:39) (cid:63) (cid:69)(cid:144)(cid:107) (cid:112)(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:139)(cid:39) (cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:218) (cid:27)(cid:283)(cid:48)(cid:146)(cid:139)(cid:39)
(cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:219)𝐷 (cid:172)𝐸(cid:10) +𝐴𝐶,𝐴=𝐵 (cid:58) 𝐶𝐸 𝐷 𝐷𝐻⊥𝐶𝐸 𝐻 𝐴 𝐴𝐺∥𝐵𝐶 𝐻𝐷
𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐺 𝐷𝐺 𝐶𝐸【题型10 正方形中的路径长】
(cid:15)(cid:73)10(cid:20)(cid:71)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:78)·(cid:400)(cid:16)(cid:401)(cid:375)·(cid:215)(cid:317)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:27)(cid:119)(cid:48)(cid:52)3(cid:63)E(cid:52)(cid:119) (cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:168)(cid:39)E(cid:169)
(cid:63)(cid:62) = (cid:63)(cid:107)(cid:39)E(cid:188)(cid:39)B(cid:185)(cid:38)(cid:197)(cid:39)C(cid:27)(cid:168)(cid:178)(cid:26)𝐴(cid:63)𝐵𝐶(cid:39)𝐷F(cid:185)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:52)(cid:71)𝐵 𝐶 (cid:72)
𝐸𝐹⊥𝐴𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐸
3 2
A(cid:58) B(cid:58)3 2 C(cid:58)6 D(cid:58)6 2
2
(cid:15)(cid:206)(cid:207)10-1(cid:20)(cid:71)2025·(cid:343)(cid:16)(cid:402)(cid:252)·(cid:64)(cid:31)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =1(cid:63) (cid:80)(cid:119) (cid:112)(cid:27)(cid:49)(cid:120)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:98)(cid:39) (cid:310)
(cid:403)(cid:185)(cid:38)(cid:63)(cid:185)(cid:38)(cid:197) (cid:404)(cid:405)(cid:58)(cid:231)(cid:232) (cid:63)(cid:158) (cid:52)(cid:151)(cid:34)(cid:119)(cid:288)(cid:356)(cid:357)𝐴(cid:169)𝐵𝐶(cid:134)𝐷(cid:315)(cid:151)(cid:34)𝐴𝐵(cid:220)(cid:34)(cid:25)(cid:63)𝑃(cid:406)(cid:49)𝐵(cid:120)𝐶(cid:53)(cid:39)(cid:52) (cid:58)(cid:166)(cid:39) (cid:188) (cid:185)𝐵
(cid:38)(cid:197) (cid:27)(cid:168)(cid:178)(cid:26)(cid:63)𝐶(cid:39) (cid:27)(cid:185)(cid:38)(cid:46)𝐴𝑃(cid:47)(cid:48)(cid:52)𝐴 𝑃 (cid:58) 𝑄 𝑃 𝐵
𝐶 𝑄
(cid:15)(cid:206)(cid:207)10-2(cid:20)(cid:175)(cid:25) (cid:26)(cid:63) =4(cid:63) =8(cid:63)E(cid:163)F(cid:69)(cid:144)(cid:80)(cid:119) (cid:163) (cid:112)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:62) = (cid:63)(cid:231)(cid:232) (cid:63)
(cid:158) (cid:52)(cid:119)(cid:43)(cid:44)(cid:23)(cid:24)𝐴(cid:25)𝐵𝐶𝐷 (cid:58)𝐴(cid:290)𝐵(cid:39)F(cid:188)𝐵C𝐶(cid:185)(cid:38)(cid:197)B(cid:39)(cid:27)(cid:168)(cid:178)(cid:26)(cid:63)𝐴𝐷H(cid:185)𝐵(cid:38)𝐶(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:52) 𝐶 𝐹 2 𝐴 𝐸 (cid:58)𝐸𝐹
𝐸𝐹 𝐸𝐹𝐺𝐻
(cid:15)(cid:206)(cid:207)10-3(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:63) (cid:52) (cid:112)(cid:49)(cid:38)(cid:39)(cid:63)(cid:168)(cid:39) (cid:169) (cid:218) (cid:119)(cid:139)(cid:39) (cid:58)(cid:39) (cid:188)(cid:39) (cid:192)(cid:102)(cid:63)
(cid:325) (cid:24)(cid:288)(cid:407)(cid:38)(cid:63)(cid:148)(cid:407)(cid:38)(cid:27)(cid:46)𝐴(cid:47)𝐵(cid:48)𝐶𝐷(cid:52)6(cid:63)𝑃(cid:166)𝐵𝐷(cid:27)(cid:26)(cid:39) (cid:407)(cid:38)(cid:27)(cid:46)𝑃(cid:47)𝑃(cid:48)𝑄(cid:52)⊥ 𝐴 𝑃 (cid:58)𝐶𝐷 𝑄 𝑃 𝐵
𝐵𝐷 𝐴𝑄 𝑀
