一年一度的第18届全国大学生数学竞赛（CMC），在今天上午圆满结束，想必每场考试都是几家欢喜几家愁。目前完整试题回忆版已经流出，我们将针对今年的试卷做一个简单的点评与讲解

先说结论：今年数学类卷子比较怪异（但难度是正常的，和往期基本持平），而非数卷子则纯纯放水，分数线可能会大涨。另外今年数学类CMC第五题是全卷最难的题，非常有区分度，但是它是我们的公众号原题！

文章大致包含这几部分：完整试题，简单点评，分数线预测以及详细解析，将分为数学类和非数学类两个板块来讲

数学类真题解析&点评预测

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点评：解析几何有点发疯...但其实不难，第二题是送的，3,4俩题看上去抽象实际上转化为矩阵语言之后几乎是白送你分的，不需要脑子（别被吓到就好），第六题小问多属于繁而不难的问题，路都铺好了

第五题才是全卷真正的压轴题，不过恰好这是我们的公众号原题！只能说公众号的读者以及学员们有福了，为什么老能出现我们的原题呢？感觉疑似是命题人报班了

• 注意看这是我们三个月前在公众号上面发的文章，和真题是一模一样的，至此我们年年考试都必定押中原题的神话，仍在继续！

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公众号文章如下，可以自己去看

https://mp.weixin.qq.com/s/htbVcTkVVoy6bqxgOG4gXQ

分数线预测：北京上海这种超级强省4.5个题应该可以进决赛，5个题必进，一般的中强省份4个题肯定稳稳当当了，比如像四川这种省份3.5个题估计就足够进决赛，弱省的话，完整做出3个题即可

顺便恭喜一下我们的学员，注意这位是大一新生哟，而且是数学系甚至提前交卷！感觉进决赛已经稳了

注意这里指的是保证做对的情况下，伪证或者骗分不算数，然后下面是逐题解析

第一题

设三条直线 ，，。 （1）验证它们两两异面，用待定系数法求经过这三条直线的二次曲面 ，将其化为标准形并指出类型。 （2）一根直杆  在空间中滑动，始终与这三条直线都相交。证明杆所在的整条直线都在  上；求所有这样的直线，说明它们构成单参数直线族；求  的另一族直母线，并指出  在其中的位置。 （3）求  上经过点  的两条直母线。

（1）三条直线的方向向量分别为 、、，两两不平行，且由方程可知两两不相交，故两两异面。

将一般二次方程代入 ，整理后可写成

再代入  上的点 ，得

令 ，得 ，进而 。因此  的方程为 。作平移和正交变换

得到标准方程

故  为单叶双曲面。

（2）将杆所在直线的参数方程代入 ，得到次数不超过  的多项式。它在杆与  的三个交点处均为零；这三个交点互不相同，故该多项式恒为零，即整条直线都在  上。

设它与  的交点分别为 、，则直线方程为

代入  得 ，故 。再与  联立，由  得 ，故还须 。反之，这些条件也保证直线与三条直线都相交。因此所求直线恰为

参数  由它与  的交点唯一确定，故构成单参数直线族。

允许 ，再补入直线 ，便得到  的完整一族直母线。这三条例外直线分别平行于 ，不满足与三条直线都相交的条件。

由  的另一种配对，得到另一族直母线

以及直线 。其中 ，，而  正是补入的直线。

（3）将  代入两族方程，分别得到 、，故所求两条直母线为

第二题

设 。证明：存在 ，使对任意  都有

令 。由介值定理，可取 ，使 。由于 ，故

第三题

设  分别为  维和  维欧氏空间，内积分别记为 、。证明：对任意线性映射 ，存在唯一的线性映射 ，使

并证明：在任意两组标准正交基下， 与  的矩阵互为转置。

分别取  的标准正交基，设  的矩阵为 ， 的坐标列向量分别为 。定义  在这两组基下的矩阵为 ，则

若另一线性映射也满足此条件，设其矩阵为 ，则对任意 、，都有 ，从而 。因此所求映射存在且唯一，且其矩阵为 。由于标准正交基任取，第二个结论也随之成立。

第四题

设  分别为  维和  维欧氏空间， 为线性映射。证明：存在整数  及  的标准正交基 ，使  两两正交， 时 ，且当  时，。

在  中各取一组标准正交基，设  的矩阵为 。由于  为实对称半正定矩阵，存在正交矩阵 ，使

其中 ，其余特征值均为 。

取以  为坐标列向量的向量 ，则  是  的标准正交基，且

因此各像两两正交，，且  时 。当  时，取  及任意标准正交基即可。

第五题

对正整数集  的任意子集 ，记 ，其中 ，并令 。 （1）求所有满足下述条件的实数 ：存在正整数 ，使 。 （2）求集合 。

记 。对 ，有

（1）当  时，条件为 ；当  时，必有 。

反之，任取 ，由  严格递减且趋于 ，可取 ，使 。结合（1），便有 。因此所求范围为

（2）先证明：不选第一项时，所有可能的和恰好构成 。

任取 ，令 。从  开始逐项选择：若余数 ，便选取该项并将它减去；否则跳过。记处理第  项后的余数为 。

由（1）归纳可得 。事实上，选取时

跳过时，。于是 ，所选各项之和恰为 。

再根据是否选取第一项 ，得到

第六题

设  在  上恒正、二阶可导，且 。记 （）。证明： （1） 存在； （2） 收敛； （3） 均在  上有界； （4），进而  存在； （5） 存在，并求其值。

（1）至（3）令 。由  及微分方程，得

故  单调递减且非负，存在有限极限 ，并且

又由 ，得

因此  有界且有正下界， 有界；再由 ，可知  也有界。

（4）设 ，则

故  存在有限极限，从而  存在有限极限。结合 ，该极限只能为 。于是

（5）在  上对  应用中值定理，存在 ，使

由原方程及  有界，得

故 。同时，

因此 ，且 。

数学类到此结束，下面来看非数的

非数学类真题解析&点评预测

• 其中压轴题前面这个排版错了，正确版本如下

点评：这张卷子纯水，根本就没有所谓的压轴题，没什么区分度（甚至比考研卷子还要简单），所以今年分数线肯定会涨不少！至于具体涨多少难以估计，因为真的太简单了

虽然不会这么夸张，但是感觉真不排除80分才能进决赛的可能...卷子这么水，让人大无语

第一题

（1）求极限 。

（2）设函数

的导函数在  上连续，求 。

（3）求点  关于直线  的对称点。

（4）设  具有连续偏导数，且 ，，。若 ，求 。

（5）求极限 。

（1）由 ，得

（2）由  在  处连续且左右导数相等，得 、，故 ，从而 。

（3）记 。直线的方向向量为 ，点  在直线上，且

故  为垂足，所求对称点为 。

（4）由链式法则，

（5）由定积分定义，所求极限为

第二题

设  在  的某个邻域内连续，且

（1）若 ，判断  是否为极值，并证明。 （2）若 ，上述结论是否仍成立？若成立，给出证明；否则举出反例。

由连续性及极限条件，，且

（1）由 ，得

对充分接近原点的非零点成立。因此  是严格极小值。

（2）不一定成立。取 ，则

但  在原点附近有正有负，故  不是极值。

第三题

求微分方程 （）的解。

 是解。对非零解，由原方程得

积分得 ，故全部解为

其中  为任意常数。

第四题

半径为 （）的球，其球心在半径为  的定球球面上。 （1）求半径为  的球面落在定球内的部分面积 。 （2）当  最大时，求两球公共部分的体积。

（1）设两球球心分别为 ，半径分别为 ，则 。取两球交圆上一点 ，由余弦定理，交圆所在平面到  的距离为

被截球冠的高为 ，故

（2）由 ，知  在  时取得最大值。以  为球心按半径分层，公共部分的体积为

第五题

设  且有界。证明： （1）存在 ，使 ； （2）若  在  上无界，则存在 ，使 。

取 ，使 。若 ，其中 ，则对任意 、，由泰勒公式有

结合 ，得到

（1）若  没有零点，由连续性，必要时以  代替 ，可设 。在上述估计中取 ，令 ，得 ，与  矛盾。

（2）若  没有零点，同理可设 ，于是 。在上述估计中取 、，得 ，与  无界矛盾。

第六题

设 ，考虑幂级数 。 （1）求其收敛域。 （2）设其和函数为 ，求  展开所得幂级数的收敛域。

（1）收敛半径为

在  处， 发散；在  处， 由莱布尼茨判别法收敛。因此收敛域为 。

（2）在  内，原级数绝对收敛，相乘得到

由 ，得 ，故收敛半径仍为 ，且在  处发散。以下讨论 。

当  时，由 ，可知  不趋于 ，故  发散。

当  时，由求和的对称性，

其中利用了 。

记 ，，则交错级数余项估计给出 。于是

结合 ，可知 ，故在  处收敛。因此所求收敛域为

非数卷子解析就到这里了，最后祝大家考出好成绩

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