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前面我们学了数列极限的定义，今天要进入一个更一般、更重要的概念——函数极限。小昊，函数极限和数列极限是什么关系？
数列可以看作自变量为正整数n的函数，xn等于f(n)，n属于正整数。数列的极限，就是当n趋于无穷大时，f(n)无限接近某个确定的数a。把这个概念中的特殊性——自变量只取正整数、变化过程只有n趋于无穷大——撇开，就可以引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，这个数就叫做在这一变化过程中函数的极限。
也就是说，数列极限是函数极限的一种特殊情况。
没错。而函数极限由于自变量的变化过程不同，表现为不同的形式。教材主要研究两种情形：第一种，自变量x趋于有限值x零，记作x趋于x零；第二种，自变量x的绝对值无限增大，即x趋于无穷大。今天我们先讲第一种。
好，先看x趋于x零的情形。
如果在x趋于x零的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，就说A是函数f(x)当x趋于x零时的极限。当然，这里首先假定函数f(x)在点x零的某个去心邻域内是有定义的。
等等，"去心邻域"是什么意思？
就是把x零本身去掉的邻域。也就是说，我们关心的是x零附近的点，但不包括x零本身。这一点非常重要——后面会解释为什么。
好的，继续。f(x)无限接近A，怎么用数学语言精确表达呢？
和数列极限类似，f(x)无限接近A就是f(x)减A的绝对值能任意小，用f(x)减A的绝对值小于艾普西隆来表达，其中艾普西隆是任意给定的正数。但因为f(x)无限接近A是在x趋于x零的过程中实现的，所以对于任意给定的艾普西隆，只要求充分接近于x零的x所对应的f(x)满足不等式就够了。而充分接近于x零的x，可以表达为0小于x减x零的绝对值小于德尔塔，其中德尔塔是某个正数。
0小于x减x零的绝对值——这个0小于保证x不等于x零；小于德尔塔保证x足够接近x零。
从几何上看，适合0小于x减x零的绝对值小于德尔塔的x的全体，就是点x零的去心德尔塔邻域，半径德尔塔体现了x接近x零的程度。
好了，现在可以给出严格定义了吧？
定义1：设函数f(x)在点x零的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数艾普西隆——不论它多么小——总存在正数德尔塔，使得当x满足0小于x减x零的绝对值小于德尔塔时，对应的函数值f(x)都满足f(x)减A的绝对值小于艾普西隆，那么常数A就叫做函数f(x)当x趋于x零时的极限，记作x趋于x零时f(x)的极限等于A，或者f(x)趋于A，当x趋于x零时。
和数列极限的艾普西隆-N定义对比一下？
数列极限是：任意艾普西隆大于0，存在正整数N，当n大于N时，xn减a的绝对值小于艾普西隆；函数极限是：任意艾普西隆大于0，存在德尔塔大于0，当0小于x减x零的绝对值小于德尔塔时，f(x)减A的绝对值小于艾普西隆。N控制n足够大，德尔塔控制x足够接近x零，本质都是对"充分接近"的精确刻画。
所以艾普西隆-德尔塔语言和艾普西隆-N语言是一脉相承的！
完全正确。定义1可以简洁地表述为：x趋于x零时f(x)的极限等于A，等价于：任意艾普西隆大于0，存在德尔塔大于0，当0小于x减x零的绝对值小于德尔塔时，有f(x)减A的绝对值小于艾普西隆。
教材特别指出了一个要点：定义中0小于x减x零的绝对值，表示x不等于x零。所以x趋于x零时f(x)有没有极限，与f(x)在点x零是否有定义并无关系。
也就是说，即使f(x)在x零处没有定义，或者f(x零)不等于A，都不影响极限的判断？
对。极限关注的是x接近x零时f(x)的趋势，而不是f(x)在x零处取什么值——甚至不需要在那里有定义。这是极限概念的核心精神：看趋势，不看个别点。
能从几何上理解这个定义吗？
当然。任意给定正数艾普西隆，作平行于x轴的两条直线y等于A加艾普西隆和y等于A减艾普西隆，它们之间是一个横条区域。根据定义，对于给定的艾普西隆，存在x零的一个德尔塔邻域，当f(x)的图形上的点的横坐标x在这个邻域内但x不等于x零时，这些点的纵坐标f(x)满足f(x)减A的绝对值小于艾普西隆，也就是A减艾普西隆小于f(x)小于A加艾普西隆。也就是说，这些点落在那个横条区域内。
简单说就是：在x零附近足够窄的一段内，曲线被限制在A上下艾普西隆的横条里。艾普西隆多窄，总有一个德尔塔能把曲线兜住。
来看例1：证明x趋于x零时常数c的极限等于c。
常函数f(x)等于c，极限也是c，感觉是显然的。
感觉是显然的，但用艾普西隆-德尔塔定义验证也很简单。f(x)减A等于c减c等于0，所以f(x)减A的绝对值恒等于0。对于任意艾普西隆大于0，可任取德尔塔大于0——比如取德尔塔等于1——当0小于x减x零的绝对值小于德尔塔时，0小于艾普西隆自然成立。所以x趋于x零时c的极限等于c。
德尔塔可以随便取，因为f(x)减A恒等于0，根本不需要靠德尔塔来控制。
例2：证明x趋于x零时x的极限等于x零。
这个也很直观——f(x)等于x，那x趋于x零时f(x)当然趋于x零。
用定义验证：f(x)减A等于x减x零的绝对值。对于任意艾普西隆大于0，取德尔塔等于艾普西隆。当0小于x减x零的绝对值小于德尔塔等于艾普西隆时，f(x)减A的绝对值等于x减x零的绝对值小于艾普西隆自然成立。所以x趋于x零时x的极限等于x零。
这道题德尔塔等于艾普西隆，和例1一样非常干净。
对。例1和例2是最基本的极限，虽然简单，但体现了用艾普西隆-德尔塔定义证明极限的标准流程：先算f(x)减A的绝对值，再由艾普西隆确定德尔塔，验证条件成立。
来对比总结一下吧。
好的。第一，数列极限用艾普西隆-N语言，函数极限用艾普西隆-德尔塔语言，逻辑结构完全平行：都是"对任意艾普西隆大于0，存在某个量，使得某个条件成立时，函数值减极限的绝对值小于艾普西隆"。第二，N控制n足够大，德尔塔控制x足够接近x零，本质上都是刻画"充分接近"。第三，数列极限要求n大于N，函数极限要求0小于x减x零的绝对值小于德尔塔——多了一个"0小于"，这是因为极限与f(x)在x零处的定义无关。第四，艾普西隆可以任意小，德尔塔依赖于艾普西隆，艾普西隆越小，德尔塔通常也越小。
最后一个要点——极限看的是趋势，不看个别点。这是函数极限的核心精神。
说得好！下次我们将继续学习函数极限的其他情形——x趋于无穷大时的极限，以及单侧极限。
感谢收听，我们下次再见！
再见！
