夜雨聆风15.一直径为的空心球壳内放有一实心小球，不计球壳厚度，二者静置在水平面上时，球壳顶端与天花板间距离为，将其以初速度竖直上抛，球壳与天花板发生碰撞后以原速率反弹，碰撞时间极短，经后与小球发生第一次碰撞。 所有碰撞均为弹性碰撞，重力加速度，不计空气阻力。
（1）求小球直径
（2）求球壳与小球发生碰撞后的速度差大小，及第一次与第二次 碰撞的时间间隔
（3）若球壳与小球发生第8次碰撞前的速度为，求球壳落地时的速度大小。
分析与解答：
（1）小球与球壳一起竖直上抛至球壳即将与天花板碰撞时的速度
（2）小球与球壳顶部发生第一次 碰撞前后动量守恒（取向下为正方向，设小球的质量为m，球壳的质量为M，下同）有方程
完全弹性碰撞，碰撞前后动能不变,有方程
解得
可以解得第一次碰撞后的速度差
第一次到第二次碰撞用时（3）当小球与球壳发生第二次碰撞，即小球碰撞球壳底部时，小球与球壳经过了相同的时间，向下的速度增加量相同，所以速度差不变仍为。由于碰撞是弹性碰撞，动量守恒且动能不变。由第一问的推理同样可以得到每一次碰撞前的接近速度等于碰撞后分离速度（参见“动量一章的一维碰撞系统理论”动量一章的一维碰撞系统理论），即由于每二次碰撞之间经历相同的时候，加速度都相同，所以速度差保持不变，而每一次碰撞前后速度差保持不变，即奇数次碰撞之后小球的速度比球壳的速度大，偶数次碰撞之后球壳的速度比小球速度大。小球就这样在球壳内来回碰撞，共同加速下落。每二次碰撞之间的时间均相等且为。当小球与球壳第8次碰撞前，从球壳从天花板碰撞之后开始经历了，对二个物体整体用动量定理得由于第8次碰撞将发生在球壳的底部，故小球的速度比球壳的速度大，即解得由此可以求出每一次碰撞前后的速度，每碰一次，绘制速度时间图像如下
其中黑色图像为球壳从与天花板碰撞开始的图像，蓝色图像则为小球的运动图像，其中绿色阴影“面积”为球壳向下运动的位移。由图像可以得到规律：偶数次碰撞前每二次碰撞球壳的总位移呈等差数列，设碰撞次，第二次碰撞前第二次碰撞到第四次碰撞位移第四次到第六次碰撞内的位移以此类推，有第到第次碰撞位移由等差数列公式得2n次碰撞前的总位移为下降距离不大于6m，故得n最大取5，即偶数碰撞次数最大为10次，球壳运动了共4.5m，距离地面还有1.5m。
由速度时间图像可知第2n次碰撞后球壳的速度为故第10次碰撞后球壳的速度为由于偶数次碰撞是在球壳底部，碰撞之后球壳速度比小球速度大，故小球速度为又经过0.1s发生第11次碰撞，球壳又向下运动了由图像可知第2n次碰撞后与第（2n+1）次碰撞后球壳与小球的速度发生了交换。故可知第11次碰撞后球壳的速度等于第10次碰撞后小球的速度此时球壳距离地面，估算可知不会发生第12次碰撞。可以求得球壳落地时的速度为本题前二问都不难，重点在第（3）问。碰撞理论必须熟记，特别是碰撞相关的二级结论。物理过程的简单重复一定用数学归纳法去思考，在这里利用了速度时间图像去归纳，比较简单直观并且不容易出错。当然也可以用公式去归纳，注意奇偶次碰撞之不同，得出的归纳公式比较繁琐。总之对这类题要有个清晰条理的理解与认识，才能正确解答。
