夜雨聆风摘 要 在动态法测量固体材料的杨氏模量实验中，学生难以理解模型并确定基频共振频率。针对此问题，本文利用有限元软件 COMSOL:Multiphysics(简称 COMSOL)进行数字化课程资源建设的探索，完成了等截面、变截面细长杆弯曲振动的App开发。通过输入几何参数、材料参数等，可自动完成几何建模、网格划分，并基于有限元计算及后处理可视化，输出细长杆特征频率(包括基频和高阶)、节点位置、相应振型及谐响应等。仿真后特征频率以及节点位置与理论公式计算值进行对比。结果表明，仿真结果具有准确性、可靠性。App经过编译可不依赖于COMSOL直接运行，不仅对教学具有良好的辅助作用，同时在实际工程结构设计、振动控制中具有重要的参考应用价值。
动态法测量固体材料的杨氏模量实验”，基于等截面细长杆弯曲横振动方程，通过测量其基频共振频率最终确定材料的杨氏模量，该方法适用于各种金属材料、脆性材料;等截面细长杆自由弯曲振动的数学模型为四阶偏微分方程，该方程的建立和求解学生理解起来有一定的难度3实际实验操作中，由于细长杆、换能器、支撑系统的基频、一次谐波、高次谐波等均可以发生共振，因此需要首先进行基频共振频率的估算，从而排除频率干扰。同时在实际应用中，材料可能是变截面，其截面面积、惯性矩将沿细长杆轴向改变基频共振频率的估算将无公式可循。因此基于有限元软件COMSOL，开发这样的一套App，通过频率提取和模态分析，获得等截面、复杂截面、变截面细长杆的基频共振频率，具有非常重要的意义。在实际的工程结构设计、振动控制中，如塔吊，烟筒的风振、机翼的振动等，也可基于该模型"进行研究。因此，App的开发对于实际工程设计和应用亦有较高的参考价值。
图1 欧拉—伯努利梁示意图
(a)等截面细长杆;(b)变截面细长杆
图2 App开发流程图界面展示
图3 App界面
(a)软件主界面图;(b)等截面细长杆研究界面;(c)变截面细长杆研究界面
图4 细长杆的振型及节点位置图
(a)等截面细长杆基频振型图;(b)变截面细长杆基频振型图;(c)等截面细长杆基频节点位置图;(d)变截面细长杆基频节点位置图
图5 等截面细长杆中点处位移及应力与时间的关系
(a)细长杆中点处应力与时间关系;(b)细长杆中点处位移与时
间关系
表1 共振频率数据对比表
表2 节点位置数据对比表
结语
通过COMSOL对细长杆弯曲振动的App开发，是基于有限元计算进行数字化物理课程资源建设的探索，其计算输出结果具有科学的物理意义。通过改变不同的参数，不仅可以获得等截面细长杆的节点位置、共振频率和振型，还可进行二者输出结果的直观对比，增加了实验内容的广度和深度，提升了课程的“高阶性”。同时，引导学生将其用于实际工程领域，以解决复杂物理问题，如结构桁架、电视塔的风振问题[8.9及振型分析-12;或用于确定桥梁或高层建筑的结构薄弱点，提高其稳定性[3-15]等，突出了实验“创新性”。通过后续更改模型、修改边界条件等拓展研究，可揭示更多的物理机制，增加了“挑战度”。因此，App资源开发基于实验课程，面向实际应用，不仅可提升课程的“两性一度”，在实际工程领域中亦具有重要的参考价值。
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