夜雨聆风
福州大学高等数学 B（下）期末试卷 A
（2025 年 7 月 4 日）
学院：__________ 专业：__________
学号：__________ 姓名：__________
一、单项选择（每小题 3 分，共 60 分）。
1、 已知 ，且 ，则 ( )。
(A) (B) (C) (D) 2
2、 原点关于直线 的对称点为( )。
(A) (B)
(C) (D)
3、 设 为常数，则 ( )。
(A) 等于 0 (B) 等于
(C) 不存在 (D) 存在与否与 的取值有关
4、 设函数 由方程 确定，则 ( )。
(A) (B) (C) (D)
5、 设函数 有二阶连续偏导数且满足 和 ，则 ( )。
(A) (B) (C) (D)
6、 曲面 上任一点处的切平面在各个坐标轴上的截距的平方和为( )。
(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64
7、 曲线 ，在点 处的切线为( )。
(A)
(B)
(C)
(D)
8、 设函数 连续，区域 ，则 ( )。
(A)
(B)
(C)
(D)
9、 设 ，其中有界闭区域 由平面 及三个坐标面所围成，则( )。
(A) (B)
(C) (D)
10、 设平面曲线 ， 所围成的区域为 ， 与 轴围成的区域为 ，则下列各式中成立的是( )。
(A)
(B)
(C)
(D)
11、 设 由 及 轴围成，则 ( )。
(A) 0 (B) (C) (D)
12、 设 连续，记 ，则柱面坐标系下的累次积分
化为在球面坐标系下的累次积分为( )。
(A)
(B)
(C)
(D)
13、 设 区域由 所围成，则曲线积分 ( )。
(A) 0 (B) (C) (D)
14、 设球面 ，取外侧，则下列等式中不正确的是( )。
(A)
(B)
(C)
(D)
15、 设 为上半单位圆 ，则 ( )。
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
16、 设级数 收敛，则级数( )。
(A) 收敛
(B) 收敛
(C) 收敛
(D) 收敛
17、 下列级数中，收敛的级数是( )。
(A) (B)
(C) (D)
18、 已知幂级数 在 处发散，在 处收敛，则幂级数 的收敛域为( )。
(A) (B)
(C) (D)
19、 级数 ( )。
(A) (B) 1 (C) (D) 2
20、 设 ，它的正弦级数为 ，其中 ，则 ( )。
(A) (B)
(C) (D)
二、（8 分）
设 ，，。求方向导数 。
三、（8 分）
在曲面 上分布有质量，已知其面密度为 ，试求其质量。
四、（8 分）
质点在变力 作用下，沿曲线 从点 运动到点 ，求在此过程中力 所做的功。
五、（8 分）
计算曲面积分 ，其中 为曲面 ，取上侧。
六、（8 分）
求无穷级数 的和 。
完整课程长按下方二维码
▼
参考解答
一、选择题
1、B 2、A 3、A 4、 D 5、C
6、D 7、B 8、D 9、A 10、B
11、B 12、B 13、D 14、C 15、B
16、C 17、D 18、B 19、A 20、C
二、（8 分）
解：已知 ，则 散度
梯度
方向向量 的单位向量
方向导数
三、（8 分）求曲面的质量
解：曲面 是上半球面，其在 平面上的投影区域为 。 计算曲面面积元素 ：
质量 。将 代入面密度：
令 ，则 对应 。
四、（8 分）求变力所做的功
解：力 。 曲线 是以 为圆心、半径为 的圆。该圆不包含原点 ，且在第一象限。
设 。
因为 且 所在区域不含原点（单连通区域），故 为保守场，做功与路径无关。
设势函数 ,
由 ，积分得 。
，符合。
所以势函数为 。
做功：
五、（8 分）计算曲面积分
解：曲面 取上侧，是一个开口向上的锥面。 添加顶面 ，取下侧。 则 构成封闭曲面，取外侧。 由高斯公式：
其中 。 散度 。
计算三重积分： 利用柱坐标 ：
由于区域关于 平面对称， 是 的奇函数，其积分为 。
计算顶面积分： 在 上，。取下侧符号为负。
六、（8 分）求无穷级数的和
解：整理并化简级数通项得到
令 ，考察函数 。
已知 ，
故 。 代入得：
代入
最后乘以前面的系数 ：
