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福建师大附中 2024~2025 学年上学期期末考试
数学试卷
试卷：120分钟 满分：150分：
命题：连信榕 审核：许丽丽
第I卷选择题（共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）
A. B. C. D.
3.若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4.设等差数列 的前 项和 ，者 ，则数列 前99项和为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
5.下列命题错误的是（ ）
A.两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B.设 ，若 ，则
C.线性回归直线 一定经过样本数据的中心点
D.袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从从中不放回地随机摸出20个球，用随
机变量 表示样本中黄球的个数，则 服从二项分布，且
6.如图，对 五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，
且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.480种 B.640种 C.780种 D.920种
7.从重量分别为 克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数
为 ，下列各式的展式中 的系数为 的选项是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则（ ）
A. 为递增数列
B. 为递减数列
C.当 或2019时， 的值最大
D.使得 成立的 的最大值是4038
10.如图，在棱长为1的正方体 中， 分别是 的中点， 为线段 上的
动点，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 一定是异面直线
B.存在点 ，使得
C.直线 与平面 所成角的正切值的最大值当
D.过 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值
11.记函数 在区间 的极值点分别为 ，函数
的极值点分别为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 ，若 ，则 的一个取值为__________.
13.如图，已知 是圆 的两条直径， 是 的中点， 是 的中点，若
，则 __________.
学科网（北京）股份有限公司14.已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，圆 ，过 的直线
与抛物线 和圆 从上到下依次交于 四点，则 的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，
15.（本题13分）
如图，在等边三角形 中， 为边 上一点， ，点 ， 分别是边 上的动点
（不包括端点），若 ，且设
（1）求证：不论 为何值， 为定值.
（2）当 和 的面积相等时，求 的值.
16.（本题15分）
如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 是菱形，
， 是棱 上的动点，且 .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 .
（2）是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由.
17.（本题15分）
焦距为 的椭圆 ，如果满足 ，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆 ： 是等差椭圆，求 的值；
（2）对于焦距为6的等差椭圆 ，点 ， 分别为椭圆的左､右顶点，直线 交椭圆于 ， 两
点，（ ， 异于 ， ，设直线AP，BQ的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 ，若
存在，求出 ，不存在说明理由.
18.（本题17分）
高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包
括头痛､疲倦或不安､心律失常､心悸耳鸣等.最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为 ，大概每
三位成人中就有一位是高血压患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血
压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.
（1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，
健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计.
季度 1 2 3 4 5
血压明显降低
320 270 210 150 100
（或治愈）人数
若血压明显降低（或治愈）人数 与季度变量 （季度变量 依次为 ）具有线性相关关系，
请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？
学科网（北京）股份有限公司（2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲､乙､丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组
都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组､丙组的概率均为 ，若甲组挑战乙组，则
下次挑战权在乙组.若挑战权在乙组，则挑战甲组､丙组的概率分别为 ， ；若挑战权在丙组，则挑战甲
组､乙组的概率分别为 ， .
（i）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数 的分布列与数学期望；
（ii）定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 ，使得当
时， （ 是一个确定的实数），则称数列 为“聚点数列”， 称为数列 的聚
点.经过 次挑战后，挑战权在甲组的概率为 ，证明数列 为“聚点数列”，并求出聚点 的值.
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
.
19.（本题17分）
已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： 是周期函数；
（3）判断 在 上的零点个数，并说明理由.
高三数学试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B C D C C B BCD AD ABD
12. （答案不唯一 ） 13. 14.4
学科网（北京）股份有限公司15.（1） （2）
【详解】（1）在 中， ，
又 ，所以 ，
在 中 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，即不论 为何值， 恒成立；
（2）因为 ，
，
又 ， ，由（1）可得 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，所以 .
16.（1）证明见解析（2）存在实数 ，理由见解析
【详解】（1）
因为四边形 是菱形，所以 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
（2）
取棱 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形， ，
所以 为等边三角形，故 ⊥ ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，故 ， ， 两两垂直，
故以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 .
平面 的一个法向量为 ，设面 与面 所成的锐二面角为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
整理得 ，解得 或 （舍去）.
故存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 .
17.（1） ；（2）存在， .
【详解】（1）因为椭圆 是等差椭圆，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
化简得 .
（2）由 且 可知 ， ， .
所以椭圆方程为 ，如图，
联立直线 得 ，
， ，设 ，
则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
， ， ，
把 ， 代入，得 ，
所以存在实数 ，使得 .
18.（1）42人（2）（i）分布列见解析， （ii）证明见解析， .
【详解】（1）由已知可得 ，
.
又因为 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人.
（2）（i）由题知 的所有可能取值为0，1，2，
；
学科网（北京）股份有限公司；
，
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
（ii）设经过 次挑战后，挑战权在乙､丙组的概率分别为 ， ，
则当 时， ， ， ，
由后两个等式相加，得 .①
因为 ，所以 ， ，
代入①式得 ，
即 ，
所以 .
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
即 ，
所以由 ，得 ，即 ，
所以对任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正整数 （ 表示不超过 的
最大整数），使得当 时， ，
所以数列 为“聚点数列”，聚点 的值为 .
19.（1） （2证明见解析（3）3，理由见解析
【详解】
（1）因为 ， ， ，
所以所求切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ， ，
所以 ，即 是 的一个周期，故 是周期函数；
（3） 在 上的零点个数为3，理由如下：
注意到 ，由周期性，只需判断 在 上的零点个数，
当 时， ， ， ，
则 ，所以 在 上无零点，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ， ，
则 ，所以 在 上无零点，
当 时， ，
令 ，
，
即 ，
当 时， ， ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
结合单调性可知存在 ，使得 ，
所以 在 上有1个零点，
由 的周期是 可知， 在 上还有一个零点，
又 ，则 也为 的一个零点，
学科网（北京）股份有限公司综上， 在 上的零点个数为3.
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