夜雨聆风【命题趋势与难度分析】本篇收录了 1998 年至 2018 年的中后期真题。这一阶段，命题风格发生了明显的“进化”，从单纯的代数拼凑走向了“综合性与抽象性”。 近年来的考法主要呈现三大难点：一是“脱帽定理”的应用（如1998年），利用极限存在且分母为零的条件，反推分子或积分限为零；二是考察区间端点的限制（如2011年），要求考生分别处理 和 两个不同方向的极限，综合界定参数范围；三是无穷小阶数的精细化考察（如2013年），死抠泰勒公式展开的最后一项。这类题目极度考验考生思考问题的全面性。
5.【1998年，数二，5分】
确定常数 的值，使 .
【技巧】：“脱帽定理”（极限存在且非零时分子分母同趋于零）、洛必达法则及等价无穷小。
【解答】： 当 时，分子 。因为极限存在且 ，分母也必须趋于 0：
因此积分下限必定有 。 将 代入并对原极限使用洛必达法则（上下同时求导）：
分母应用等价无穷小 ，故分母等价于 。
为使极限存在且非零，当 时分子必定趋于 0，即 。 将 代入：
故极限值 。
【答案】：
6.【2011年，数二，10分】
已知函数 ，设 ，试求 的取值范围.
【技巧】：分别在两端处理洛必达法则，注意在 时等价替换或反复求导的严格限制条件。
【解答】：(1) 考查 的极限：
当 时，，故积分 。 代入可得 。 为使 ，需满足指数大于0，即 。
(2) 考查 的极限：当 时，分子 。为使 ，分母必须趋于无穷大，首先需有 。 利用洛必达法则：
由于分子 ，若 ，则分母有界或趋于0，极限发散。故需 ，即 。 当 时，原式再次符合 “” 型，再次使用洛必达法则：
为使该极限为 0，分母的次数必须大于0，即 （已知满足）。
综上所述，结合两个条件 和 ，解得 的取值范围是 。
【答案】：
7.【2013年，数一，4分】
已知极限 ，其中 为常数，且 ，则（ ）
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
【技巧】：函数泰勒公式展开求无穷小的阶数，考察对 展开系数的记忆。
【解答】： 当 时，将 展开为麦克劳林级数：。 代入分子得到：
原极限可化为：
为使该极限存在且不为0，分母的阶数必须精确等于分子的阶数，即必须有 。 此时极限值 。
【答案】：(D)
8.【2018年，数一，4分】
若 , 则 ________.
【技巧】：复合型 极限。利用指数对数恒等式 及等价无穷小代换。
【解答】： 原式为 型极限。转化为指数形式求解：
由于 时，，，且分母中的 ：
由此可知，原极限等于 。 已知极限值为 ，即 。解得 。
【答案】：
