2025
5第五章
大数定律与中心极限定理第二部分、题型解析
题型一、切比雪夫不等式(★)
一、切比雪夫不等式 设随机变量 X 有E(X ) = 和D(X ) = 2 ,则对于任
E E
2
给 0, 有P{| X − | } . #hmmti
2
1Ex1-
D(X )
等价形式为 P{| X − E(X ) | } 1 −
2
解题思路——切比雪夫可以用于估计随机变量 X 与期望 E X 距离远近
的概率，需要先知道EX 与 D X 才能估计概率. 一般题目会提示用切比
雪夫不等式来估计概率.【例5.1】 设 X , X , , X 是相互独立的随机变量，且
1 2 n
1 n
E(X ) = , D(X ) = 2 0,i = 1,2, ,n,令 X = X ，则根据切比雪夫
i i i
n
i=1
B
不等式有估计P{| X − | 2} ( ).
4n + 1 4n − 1 1 n
(A) (B) (C) (D)
4n 4n 4n 4n − 1
El X) = EXi t
M
= =
EX
=
=
DX D (Xi) = = F
DX
=
=
-
: PS1X-ul < 20) = P91 * -EX12093 1- =
1
2
↑n &
I 4n-1
=
1-
=
44
44【例5.2】 设 X ,Y 为两个随机变量，其中EX = 2, EY = −1，
DX = 9, DY = 16，且 X , Y
1
的相关系数为= − ，由切比雪夫不等式得
2
P{| X + Y − 1| 10} ( B ).
.
84 87 3 4
(A) (B) (C) (D)
100 100 4 5
E(x+ Y) = EXTEX = 2 - 1 = 1
D(x + Y) = DX + DX + 20v(X-X) = 9 + 16 + 29MX-
25 + 2x( E(x3x4 13
= - =
D(X X)
+
~ P((x + Y - 11 < 101 = PSIXX + Y) - E(X + Y) < 10) > 1-
102
13 87
1-
=
-
100 100【例5.3】 一个骰子连续掷 4 次，所得点数和记为 X ，用切比雪夫不等
式估计P{10 X 18}.
:RE FND Xi (i
=
1 2 3 4)
. , ,
Xy
(1) X X + Xz + X3 +
= ,
+ 6x5 =
Exi (x + +
=
Xi I 23456 EXE (xj jxt
=
= + +
55 555
P
DXi EXE -LEX 25
=
4x2
·: EX E(Xi + Xi+ X3 + (x) = 14
= =
4x4 35
DX D(X +Xz +X3 + Xy) =
= , =
1414731-
1910x183 P1 191x
14947
= - 4ax -
- =
-
=
=题型二、大数定律(★)
一、切比雪夫大数定律 设 X , X , , X , 是相互独立的随机变量序列,
1 2 n
它们的数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界,则对任意 0,
1 n 1 n
有lim P X − E(X ) = 1. EX1 60
=
i i
n n
n→
i=1 i=1
EXz
55
=
X2
,
↓ Exi EXs 75
=二、辛钦大数定律 设随机变量 X , X , , X , 相互独立, 服从同一分
1 2 n
布, 且具有数学期望E(X ) = ,i = 1,2, ,则对任意
i
0 , 有
1 n
lim P
X −
= 1.
i
n
n→
i=1
⑳XP
EXC
,
FEETYLE三、伯努利大数定律 设 是
n
n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, p 是
事件 A在每次试验中发生的概率, 则对任意的 0 , 有
lim P
Pn − p
= 1.
n
n→
GET
A
A
解题思路——大数定律的题目可能考查 1.定理的条件；2.定理内容，
考查以辛钦大数定律为主：相互独立、同分布的随机变量序列的平均
值依概率收敛于期望值.【例5.4】 将一个骰子重复掷 n 次,各次掷出的点数依次为 X , X , X ,
1 2 n
1 n T
则当n → 时, X = X 以概率收敛于___z___.
i
n
i=1
EX E
#E
=【例5.5】 设 X , X , , X 是相互独立的随机变量，且E(X ) = ,
1 2 n i
D(X ) = 2 0,i = 1,2, ,n,则对任意的
i
0
n
⑪
， lim P(| X − n| ) =
i
n→
i=1
____O____.
X P
u
,
plx -ux)
M
0题型三、中心极限定理(★)
一、独立同分布中心极限定理
设随机变量 X , X , , X 相互独立，服从相同分布，E(x ) = ,
1 2 n k
n
D(x ) = 2,k = 1,2, 则 X 近似地服从正态分布 N(n,n 2).
k k
k=1
n
X − n Ex
=M
k X −
即Y = k=1 = 近似地服从 N(0, 1).
n =
n DX
n
*
,
N(M二、棣莫佛—拉普拉斯定理 设随机变量
n
服从参数 n , p (0 p 1)的二
− np
项分布, 则 n 近似服从 N(0, 1)．
np(1 − p)
I
~N (nP nDC -p)
Up
,解题思路——中心极限定理是说 n 足够大时，一些独立的随机变量不
论服从什么分布，它们的和或平均值近似服从正态分布，这时只需计
算其期望和方差即知服从何正态分布，并可以简化计算概率.【例5.6】
生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每
箱平均重 50kg，标准差为 5kg。若用最大载重量为 5t 的汽车承运，
试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载
的概率大于 0.977.((2)=0.977，其中(x)是标准正态分布函数).
#R E 5
XI EX = 50 DXi =
,
J
i EX ,
Pil
X Xi
=
DX25N
EX 50n
=
,
L
FREE
:* X N (son 25n)
,【例5.6】
生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每
箱平均重 50kg，标准差为 5kg。若用最大载重量为 5t 的汽车承运，
试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载
的概率大于 0.977.((2)=0.977，其中(x)是标准正态分布函数).
PSX = 5000) = PS X-Ion 5000 - 50m y 19 XSon 10 ona
=
so
(100t0om)
97 @2
> 0
= . =
,
1 1000-1 2 in <98 02
.
Egg
